Системная революция и принцип дуального управления

Учитывая условие нормировки , можно из системы (3.3.11) исключить одну из связанных переменных, например q_m. В результате получим

(3.3.13)

где

(3.3.14)

(3.3.15)

(3.3.16)

В силу неотрицательности величин _ij неотрицательными являются и коэффициенты и , коэффициенты же (i ??j) в зависимости от обстоятельств могут иметь любой знак или быть равными нулю.

Если = const, то система (3.3.13) превращается в систему линейных дифференциальных уравнений. Например, в случае трех альтернатив мы имеем систему

(3.3.17)

q₃ = 1 q₁ q₂.

Или, обозначив

, (3.3.18)

приходим к одному уравнению второго порядка

. (3.3.19)

Отсюда легко найти условие возникновения колебаний общественного мнения в данном частном случае:

. (3.3.20)

Как показывает практический опыт, динамика изменения общественного мнения, как правило, носит ярко выраженный волнообразный характер (рис. 3.3.1-3.3.2)

Рис. 3.3.1. Эволюция представлений россиян о счастливой жизни: - получение образования; - интересная работа; - уважение людей; - надежные друзья; - процветание России; q_i - процент голосов от числа опрошенных [28]

Численные эксперименты, поставленные на описанной выше модели, свидетельствуют о том, что путем специального выбора функций J_i(t) и J_oo(t) и коэффициентов r_ij, определяющих в конечном счете частоты, амплитуды и фазы манипуляционных возмущений, можно, в принципе, добиться наилучшего для конкретной альтернативы (кандидата, например) распределения общественного мнения на момент голосования (т.е. добиться совпадения пика волны популярности с моментом коллективного выбора). В этом смысле можно говорить о существовании оптимальных стратегий информационного воздействия на общественное сознание. Общественное сознание обладает своими резонансными частотами (рис. 3.3.2).



Рис. 3.3.2. Изменение предпочтений граждан России на множестве основных кандидатов в президенты РФ перед и после президентских выборов 1996 г.: - Г.А. Зюганов; - Б.Н. Ельцин; - А.И. Лебедь; q_i - процент от общего числа избирателей, поддерживающих данную кандидатуру

3.3.2 Логистические модели цивилизационной динамики

Результаты многочисленных и разноплановых исследований свидетельствуют, что конкурирующие за общие ресурсы системы (цивилизации, этносы, экономические формации, промышленные компании и т.п.) подобно живым организмам проходят в своем развитии четыре основные стадии (фазы): зарождения, молодости, зрелости и старости. Продолжительность активной жизни реальных систем зависит от множества разнообразных внешних и внутренних факторов. Большую роль при этом играют процессы конкурентных взаимодействий. Указанные взаимодействия могут носить опосредованный (через общий ресурс) и потому достаточно мирный характер, но могут быть и антагонистичными, сопровождающимися взаимоуничтожением. И если в первом случае наибольшие шансы на выживание имеет наиболее эффективная (в смысле целесообразности использования запасов ресурсов) система, то во втором случае многое зависит от интенсивности подавления одной конкурирующей системы другой.

В настоящем параграфе мы рассмотрим лишь некоторые из возможных и, может быть, наиболее простые формальные модели динамики такого рода взаимодействий, основывающиеся на логистических уравнениях.

Пусть изменение переменной состояния некоторой системы (например, цивилизации) с течением времени описывается уравнением вида

, (3.3.21)

где x - переменная состояния (например, валовой продукт, производимый системой в единицу времени); k - общий объем запасов ресурса, который может быть израсходован в обеспечение производства продукта, другими словами, k - это предельная по x емкость среды существования цивилизации (этноса, формации и т.п.), л_i - параметр, определяющий интенсивность производства валового продукта (воспроизводства) системы i.

Решение этого уравнения при л = const, k = const имеет вид

. (3.3.22)

Это решение описывает так называемую логистическую кривую (рис. 3.3.3).

Рис. 3.3.3. Логистическая кривая

Заметим, что путем замены и уравнение может быть представлено в безразмерной форме

. (3.3.23)

Уравнение (3.3.23) имеет две точки равновесия: y₁ = 0 и y₂ = 1. Точка y₁ = 0 является точкой неустойчивого равновесия, а точка y₂ = 1 - устойчивого.

Учитывая конечную длительность проявления системы как единой целостной реальности, уравнение (3.3.21) мы в принципе должны записывать в виде

. (3.3.24)

Преобразуя (3.3.24), получаем

.

Обозначив

в, (3.3.25)

. (3.3.26)

Находим

.

Принимая в качестве единицы измерения времени величину Дt (т.е. вводя дискретное время) и обозначая

, (3.3.27)

получаем логистическое уравнение в дискретной форме

y_n+1 = вy_n(1 - y_n). (3.3.28)

Уравнение (3.3.28) при в > 1 имеет две точки равновесия: y₁ = 0 и . Для определения устойчивости отображения y_n+1 = ѓf (y_n) необходимо определить величину в точке равновесия. Если окажется, что · 1 > 1, то точка равновесия будет неустойчива (последовательность …..., , ...… будет расходиться). Очевидно, при 1 < в < 3 точка равновесия является неустойчивой, а точка равновесия - устойчива. При в > 3 вторая точка равновесия также становится неустойчивой. При 3 > > 4 уравнение (3.3.28) описывает множество многопериодических и хаотических движений. При = 3 величина y_n повторяется через каждую итерацию, т.е. устойчивым является движение с удвоенным периодом. При дальнейшем увеличении в двупериодическое движение становится неустойчивым, но устойчивым становится движение с периодом 4, которое далее замещается устойчивым циклом с периодом 8 при больших значениях в и т.д. Процесс удвоения периода повторяемости продолжается до тех пор, пока в не достигнет предельного значения в_? = 3,56994... . При > в_? могут возникать хаотические движения. Вблизи в_? значения параметра в, при которых происходит удвоение периода, подчиняются универсальному закону Фейгенбаума (справедливому, кстати, и для других более сложных отображений ).

(3.3.29)

В области < в < 4 существуют также достаточно узкие полоскиДв, которым отвечают периодические движения.

Предположим, что область возможных ресурсов для системы 2 включает в себя область возможных ресурсов системы 1 (рис. 3.3.4)

Рис. 3.3.4. Области ресурсов систем 1 и 2 (K₂ ? K₁)

Согласно схеме рис. 3.3.4 в пределах области K₁ рассматриваемые системы являются конкурирующими. Такого рода ситуация может, например, возникнуть тогда, когда система 2 окажется более эффективной (более разнообразной) в смысле используемых ею ресурсов. Поскольку K₂ ? K₁, то в области K₁ системы 1 и 2 являются конкурирующими. Данное обстоятельство можно учесть, в частности, следующим образом:

(3.3.30)

где k₁ и k₂ - соответственно ресурсные емкости областей K₁ и K₂.

Заметим, что в описываемой здесь модели также предполагается, что производительность л₂ не зависит от области используемого ресурса (K₁ или K₂).

Обозначая

, ,

, _,

,

переходим к системе безразмерных уравнений:

(3.3.31)

где, очевидно, б < 1.

Решение системы уравнений (3.3.31) выглядит следующим образом (рис. 3.3.5).

Время вытеснения одной цивилизации другой зависит от параметров л₁ и б.

Фазовый портрет системы (3.3.31) при 0 < б < 1 содержит три типа точек равновесия: устойчивый (y₁ = 0, y₂ = 1) и неустойчивый (y₁ = y₂ = 0) узел и седло (y₁ = 1, y₂ = 0) (рис. 3.3.6, а).

По мере приближения параметра б к 1 область сгущения траекторий, притягивающихся к точке (0, 1), все более и более сжимается и при б = 1 превращается в прямую линию. При этом происходит бифуркация, в результате которой линия, соединяющая точки (0, 1) и (1, 0), превращается в континуум пар «устойчивый узел - седло» (рис. 3.3.6, б). Все траектории, приходящие из бесконечности и из неустойчивого узла (0, 0), замыкаются теперь на этой прямой.

Рис. 3.3.5 Зависимость объема производства валового продукта двух конкурирующих систем от времени: а - безразмерные переменные; б - размерные переменные; x = x₁ + x₂ - суммарный объем производства валового продукта

а б

Рис. 3.3.6. Фазовые портреты системы двух опосредованно конкурирующих систем: а - 0 < < 1; б - = 1; о - точки равновесия

Траектории, пересекающие линию, соединяющую точки (0, 1) и на рис. 3.3.6, а, имеют касательные в точке пересечения , а траектории, пересекающие линию y₂ = y₁, - соответствующие касательные .

Траектории, пересекающие линию y₂ = y₁ на рис. 3.3.6, б, имеют касательные в точке пересечения .

Увеличение б в сторону значений, больших 1, с содержательной точки зрения означает переход к системе уравнений

(3.3.32)

Указанный переход обусловлен тем, что при б > 1 ресурсная область K₂ оказывается включенной в область K₁. При этом в фазовом пространстве точка (0, 1) становится седлом, а точка (1, 0) превращается в устойчивый узел.

Если моделируется процесс вытеснения одной системы другой в рамках единой метасистемы (например, в рамках одной экономики), то весьма важным показателем становится суммарный объем производства продукта x = x₁ + x₂ (рис. 3.3.5, б), производимый обеими системами вместе. Приведенная нами модель взаимодействий сравнительно просто распространяется на большее количество конкурирующих систем (цивилизаций, формаций, экономических систем, популяций биологических организмов, социальных групп языков и т.д.).

Следует также заметить, что максимальное по времени значение x₁(t) зависит не столько от сочетания параметров л₁, л₂ и б, сколько от соотношения начальных значений x₁₀ и x₂₀.

При рассмотрении эволюции опосредованно конкурирующих систем обычно учитывается тот опытный факт, что наиболее эффективные, наиболее разнообразные в своих ресурсных источниках системы зарождаются существенно позднее менее эффективных, менее разнообразных. Это позволяет упорядочить начальные значения соответствующих переменных следующим образом:

x_-01 >> x_-02 >> x_-03 >> ... >> x_-0n, (3.3.33)

где из двух конкурирующих систем i и j более сильной является система с большим номером, т.е. из условия

(K_i > K_j) (i > j). (3.3.34)

Указанная закономерность зарождения более сильных систем объясняется тем, что проблема повышения эффективности производства обобщенного продукта x возникает тогда, когда возможности его роста в старой системе оказываются исчерпанными, т.е. старая система в своей эволюции выходит на логистическое плато.

Дискретный (по времени) аналог описанной выше модели выглядит следующим образом:

(3.3.35)

Вполне очевидно, что в этом случае в системе взаимодействующих систем становятся возможными и более сложные виды движений: периодические и хаотические.

Определим возможные точки равновесия системы (3.3.35), для чего положим

С учетом (3.3.35) получаем

y_1,n = в₁y_1,n [1- y_1,n- y_2,n],

y_2,n = в₂y_2,n [1- бy_1,n- y_2,n].

Первая точка равновесия, очевидно, как и ранее, - начало координат, y_1,n = y_2,n = 0. Вторая - y_1,n = 0, y_2,n = (₂ - 1) / ₂. Третья - y_1,n = (₁ - 1) / ₁, y₂ = 0. Четвертая точка равновесия находится из условия y_1,n 0 и y_2,n 0. Ее координаты оказываются равными

(3.3.36)

В силу того, что величина ₁ обычно меньше величины ₂, то четвертая точка равновесия, как правило, содержательного интереса не представляет.

Для определения характера состояния равновесия в оставшихся трех точках необходимо вычислить производные трех правых частей отображений:

в соответствующих точках. В результате получим:

точка (0,0)	, , , ;
точка (1,0)	, , , ;
точка (0,1)	, , , .

Точка равновесия будет неустойчивой, если хотя бы одна из соответствующих ей частных производных удовлетворяет условию

. (3.3.37)

При выполнении (3.2.37), как уже отмечалось ранее, в силу дискретности шага по времени последовательность соответствующих переменных начнет расходиться (а возможно, и будет совершать некоторые периодические движения). Согласно представленным выше расчетам условия появления периодических движений, удвоения периодичности, появления хаоса опять связаны с параметрами _i. Если _i < 1, то точка равновесия устойчива, если хотя бы одно из _i > 1, то точка равновесия неустойчива.

Дополним систему уравнений (3.3.30) членами, описывающими взаимоподавление систем. В результате получим

(3.3.38)

Пусть, например, обменные члены в (3.3.38) имеют вид

, (3.3.39)

. (3.3.40)

Тогда систему (3.3.38) можно преобразовать к виду

Или, обозначая

, (3.3.41)

, (3.3.42)

получаем

 (3.3.43)

где е₁ и е₂ - параметры, характеризующие интенсивность антагонистических, взаимоуничтожающих взаимодействий.

Или, переходя к безразмерной форме, получаем следующую более простую систему уравнений:

(3.3.44)

где , , , е = е₂б.

Очевидно, е₁ 1, е₂ 1, 0 е.

Количество независимых параметров в системе (3.3.44) можно еще сократить, введя новую переменную времени

(3.3.45)

и обозначив

. (3.3.46)

Тогда вместо (3.3.44) будем иметь

(3.3.47)

Точками равновесия системы (3.3.47) будут следующие: (0, 0); (0, 1); (1, 0) и , . Последняя точка существует в области неотрицательных значений y₁ и y₂ только в случае е > 1. Как и ранее, первая точка (0, 0) является неустойчивым узлом, точка (0, 1) - устойчивым. Но в отличие от предыдущего точка (1, 0) является не седлом, а тоже устойчивым узлом. Новая же четвертая точка , есть седло. При стремлении е₂ к 1 (е 1/б) четвертая точка сливается с точкой (1, 0), превращая ее в седловую (происходит бифуркация). Аналогично при стремлении ₁ 1 и е > 1 такое слияние происходит с точкой (0, 1). Фазовый портрет рассматриваемой системы представлен на рис. 3.3.7.

Рис. 3.3.7. Фазовый портрет системы двух взаимоуничтожающих цивилизаций при е > 1: о - точки равновесия

Возможность превращения (за счет слияния) устойчивого узла (0, 1) в седло свидетельствует о том, что в случае отсутствия противодействия со стороны потенциально более сильной системы (например, более сильного этноса) последняя может быть полностью уничтожена. В промежуточном случае е₁ > 1 и е > 1, в зависимости от начальных условий возможны победы как более сильной системы, так и более слабой. Компромиссное состояние равновесия является неустойчивым. Борьба систем идет до полного подавления одной из них. Исторических примеров, описывающих подобные ситуации, можно привести великое множество.

В качестве дискретного аналога модели (3.3.47) можно рассматривать систему логистических уравнений вида

 (3.3.48)

или

(3.3.49)

Очевидно, что данная система уравнений в зависимости от сочетания параметров е₁, е и в, а также в зависимости от начальных условий y₁₀ и y₂₀ может порождать не только представленные выше эволюционные процессы, но и процессы периодические и хаотические. Последнее во многих случаях делает результат антагонистических взаимодействий двух систем непредсказуемым.

С системно-физической точки зрения хаос возникает в случае, когда перед системой, поведение которой подчиняется некоторому экстремизационному принципу (закону), возникает ситуация многозначного выбора, удовлетворяющего этому принципу (закону). Другими словами, экстремизационный характер ценностного принципа не всегда однозначно определяет выбор конкретной реакции системы.

Хаос есть проявление «замешательства» системы, обусловленного неоднозначностью выбора. И когда такой выбор становится многозначным, возникает хаотическое движение, которое можно рассматривать как периодическое с бесконечным большим периодом повторяемости.

В процессах конкурентных взаимодействий логистических систем (т.е. систем, имеющих предельный уровень развития) хаос возникает, как правило, при выходе одной их них на эволюционное плато (рис. 3.3.8).



Рис. 3.3.8. Зависимость валового продукта трех взаимодействующих цивилизаций: ЭП - эволюционное плато, t₁, t₂, t₃ - моменты времени «реального» проявления соответствующих структур

В заключение данного параграфа приведем еще одну из цивилизационных моделей - модель гонки вооружений Ричардсона. Система уравнений модели в простейшем случае (две конкурирующие страны или группы стран) выглядит следующим образом:

(3.3.50)

где x_i - объем вооружений (точнее, боевая мощь вооружений) i-й оперирующей стороны; V_i - некоторый постоянный стимул роста вооружений, независящий от уровня вооружений противоборствующей стороны. Отрицательные слагаемые в (3.3.50) описывают моральное и физическое старение вооружений.

Вводя обозначения

, (3.3.51)

, (3.3.52)

где и удовлетворяют условиям

система (3.3.52) легко преобразуется к виду

(3.3.53)

Характеристическое уравнение этой системы имеет два вещественных корня

.

Причем если

a₁₂a₂₁ > a₁₁a_22, (3.3.54)

то один из корней будет положительным. Таким образом, если взаимовлияние (включая подозрительность) двух стран будет достаточно велико (a₁₂ и a₂₁ относительно большие числа), то в системе двух стран (или двух коалиций стран) будет наблюдаться экспоненциальный рост вооружений. Если же указанное влияние не очень значительно (a₁₂a₂₁ < a₁₁a₂₂) (т.е. рассматриваемые страны не видят друг в друге большой опасности), то объемы вооружений этих стран будут экспоненциально приближаться к соответствующим предельным значениям при t : , т.е. , , т.е. .

С учетом предельных ресурсных возможностей участников гонки вооружений модель (3.3.50) может быть преобразована в связанную систему логистических уравнений

(3.3.55)

где k₁ и k₂ - параметры, характеризующие предельные ресурсные возможности соответствующих стран.

3.3.3 Возрастная динамика населения

Пренебрегая социальной неоднородностью и половыми различиями, обозначим через количество индивидов, имеющих в момент времени t возраст в интервале от до . Тогда приращение величины с(t, ф)Дф за время Дt будет равно

(3.3.56)

где м(t, ф) - средний темп смертности населения в возрасте ф в момент времени t. Разлагая функцию в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами, получим

. (3.3.57)

Поскольку старение индивида, имеющего в момент времени t возраст ф, за время Дt происходит именно на эту величину, то

Дф. (3.3.58)

При из (3.3.57) получаем основное уравнение демографической динамики (возрастной динамики населения)

. (3.3.59)

Общая численность населения на рассматриваемой территории в момент времени t будет, очевидно, равна

. (3.3.60)

Если данная территория открыта с точки зрения миграции населения, то уравнение (3.3.59) необходимо дополнить соответствующим слагаемым. В результате будем иметь

, (3.3.61)

где - средний балансовый удельный темп миграции (при н > 0 миграционный поток из системы превышает миграционный поток в систему и наоборот).

Пусть внешние и внутренние факторы, влияющие на демографическую ситуацию, давно стабилизировались так, что установилось равновесие

(3.3.62)

Тогда из (3.3.59) получаем

. (3.3.63)

Таким образом, в случае, если темп смертности не зависит от возраста и отсутствуют какие бы то ни было возмущения, демографическая кривая является экспоненциальной. Общая численность населения при этом согласно (3.3.60) оказывается равной

. (3.3.64)

Величина N, как и следовало ожидать, в данном случае не зависит от t.

Пусть теперь смертность является возрастающей функцией возраста вида

, (3.3.65)

где параметры м₀ и T предполагаются постоянными.

Очевидно, величина T играет роль порога, ограничивающего сверху среднюю продолжительность жизни.

Подставляя (3.3.65) в (3.3.59), находим

. (3.3.66)

В этом случае отношение с(ф)/с₀ стремится к нулю по мере приближения возраста ф к его критическому значению T. Такое поведение распределения с(t, ф) (демографической кривой) объясняется катастрофическим ростом смертности ( ?) по мере приближения к предельному возрасту T.

Общая численность населения в данном случае равна

. (3.3.67)

При этом, как и раньше, величина N от времени не зависит.

Пусть теперь

. (3.3.68)

При тех же исходных условиях получаем

. (3.3.69)

В случае положительных (что вполне естественно) значений постоянной m мы имеем более крутое, чем экспоненциальное, падение кривой распределения населения по возрасту. Однако она также имеет затянутый до ? «хвост».

Рассмотрим теперь случай нестационарного распределения. Возникновение нестационарных режимов может быть вызвано самыми различными причинами. Среди них можно, например, выделить такие, как колебания рождаемости (смертности), людские потери во время войн и вооруженных конфликтов, миграция населения, потери населения на производстве и транспорте, потери от эпидемий, смертельно опасных заболеваний и голода.

Из сказанного вытекает, что уравнения (3.3.59), (3.3.61) не являются замкнутыми. Чтобы их замкнуть, надо к ним добавить уравнение, определяющее величину с₀. В простейшем случае однородной в социальном, профессиональном и половом отношении популяции будем иметь

(3.3.70)

где б(t, ф) - удельный темп рождаемости в возрастной группе ф в момент времени t.

Предположим теперь, что отклонения демографической кривой от ее стационарного положения невелики и носят характер возмущений, которые можно представить в виде

, (3.3.71)

где с_с(t, ф) = с(ф) - стационарное решение уравнения (3.3.59) или (3.3.61); u(t, ф) - относительно небольшое нестационарное возмущение. Подставляя (3.3.71) в первое уравнение системы (3.3.70) при н= 0 и учитывая, что , будем иметь

. (3.3.72)

Так как

,

то

или

.

Откуда окончательно

. (3.3.73)

Уравнение (3.3.73) является справедливым только в том случае, если возмущение с(t, ф) является функцией запаздывающего аргумента (t - ф), т.е.

u(t, ф) = u(t - ф). (3.3.74)

Таким образом мы получили весьма интересный и практически широко известный результат, свидетельствующий о возможности возникновения и распространения демографической волны. Согласно (3.3.73) возмущение, возникшее в некоторой возрастной группе с течением времени распространяется, повторяясь, вверх по лестнице возрастов.

Следует, однако, заметить, что при получении решения (3.3.74) мы еще не учли положительной обратной связи рождаемости, которая задается вторым уравнением системы (3.3.70) и которая обеспечивает появление вторичных, третичных и т.д. демографических волн. Для упрощения анализа предположим, что воспроизводящими являются только индивиды, имеющие возраст ф₀, т.е.

б(t, ф) = б₀д(ф - ф₀), (3.3.75)

где д( - ф₀) - д-функция (д(x ? 0) = 0, д(x = 0) = ?); б₀ - const. С учетом этого предположения второе уравнение системы (3.3.70) будет выглядеть так:

. (3.3.76)

Отбрасывая стационарную составляющую, получаем

. (3.3.77)

Поскольку

u(t, ф₀) = u(t - ф₀),

то возмущение начальных условий будет происходить периодически в момент прохождения демографической волны через активную в смысле воспроизводства группу населения. Таким образом, в рамках данного приближения демографическая волна будет периодически (с периодом ф₀) повторяться. В реальной жизни в силу того, что воспроизводящей группой населения является не одна возрастная группа, а целое множество возрастных групп, демографическая волна, получающаяся в последующем как результат сложения многих волн с разными периодами ф₀ и разными амплитудами, начинает постепенно размываться. В этом смысле «раны», нанесенные возрастной стратификации населения войной или какими-либо другими бедствиями, постепенно затягиваются. При отсутствии значительных возмущений распределения с(t, ф) опять начинает приближаться к равновесному (стационарному) с_с(ф).

Знание средних периодов прохождения, глубины (амплитуды) и длительности демографических волн является чрезвычайно важным с точки зрения решения социальных, экономических и технологических проблем как в масштабах отдельно взятого региона, так и всей страны в целом. Каковы тенденции изменения доли трудоспособного населения, каковы тенденции изменения численности подрастающего поколения и численности пенсионеров - все это весьма существенные вопросы управления обществом. На рис. 3.3.9 в качестве примера приведены эмпирические данные (кривые 1 и 2) о распределении населения США по возрастам в 1870 г. и 1984 г.

На представленных графиках хорошо заметны повторяющиеся демографические волны (в частности, «беби-бум» 1950-1965 гг., что соответствует 20-35 лет на кривой 1984 г.). Сравнение данных за 1870 г. и 1984 г. указывает на значительное вмешательство общества в развитие демографической ситуации (приближение эмпирического распределения в среднем к почти линейному закону обусловлено, в первую очередь, ростом материального благополучия граждан и успехами медицины).

Рис. 3.3.9. Распределение населения США по возрастам в 1870 г. и в 1984 г.: 1 - распределение для 1984 г., 2 - для 1870 г.; 3 - теоретическое распределение при T ? 100, м₀ ? 0,01; 4 - теоретическое распределение при м 0,03

В общем случае, с учетом неоднородности возрастных групп по различным конфессиональным, социальным, экономическим, профессиональным, национальным, физико-географическим (территориальным и т.д.) признакам, модель демографической динамики становится существенно более сложной:

(3.3.78)

где А - матрица переходов из одних социальных групп в другие в связи с изменением возраста; М - матрица (диагональная) удельных темпов смертности; С - матрица интенсивностей переходов из одних социальных групп в другие внутри одной возрастной категории; D - матрица интенсивностей (темпов) миграции; Q - матрица удельных темпов рождаемости; - вектор распределения населения по возрастным половым, национальным, профессиональным и иным группам.

Зная матрицы A, M, C, D и Q, их зависимость от времени, с помощью (3.3.78) можно осуществлять моделирование структурной динамики народонаселения. Знание социально-возрастной стратификации позволяет, в частности, решать задачи анализа тенденций изменения качества населения. С помощью такого типа моделей возникает возможность прогнозирования таких социально опасных явлений, как наркомания, алкоголизм, дебилизация и т.п.

Рождаемость и смертность зависят от целого ряда факторов, в том числе и от возраста (рис. 3.3.10-3.3.11).

Рис. 3.3.10. Зависимость темпов смертности от возраста (США, 1957г., [8])



Рис. 3.3.11. Зависимость среднего темпа рождаемости от валового национального продукта в расчете на душу населения ( 1970-е гг.)

Как свидетельствуют многочисленные эмпирические исследования, средняя ожидаемая продолжительность жизни в значительной степени определяется уровнем питания населения (рис. 3.3.12).

Рис. 3.3.12. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от уровня питания

Как видно из предыдущего рассмотрения, средняя ожидаемая продолжительность жизни определяется не только существующими в данный момент темпами рождаемости и смертности, но и видом демографической кривой, сложившейся к этому моменту времени. Темпы же рождаемости и смертности, помимо отмеченных ранее, зависят и от множества других существенных факторов. Среди них, прежде всего, следует отметить экологические, психологические, технологические (например, наличие существенной разницы в темпах рождаемости и смертности в промышленных и сельскохозяйственных районах), социальные и другие факторы. Значительное влияние на демографическую ситуацию оказывают такие явления, как наркомания, алкоголизм, СПИД и т.п.

3.3.4 Процессы распространения и развития эпидемий

Эпидемии различных заболеваний представляют собой одну из серьезных и постоянно возникающих перед человеческим обществом проблем. Не менее, а может быть даже более серьезной и несомненно более сложной и многофазной является проблема информационных эпидемий, охватывающих порой весьма значительные слои населения. Процесс распространения и развития и тех и других связан с непосредственным (от индивида к индивиду) или опосредованным (через среду) обменным взаимодействием. В качестве элементов обмена при этом выступают либо микроорганизмы, либо те или иные идеи. Разумеется, не каждый контакт субъекта, с зараженным соответствующей идеей (больным) или со средой-посредником, является критическим в смысле его заражения. Поэтому мы можем говорить лишь об определенной вероятности заражения для соответствующих видов контактов. Очевидно, что вероятность заражения индивида при одном контакте зависит от целого ряда самых разнообразных условий (метеорологических, климатических, степени истощения организма, возраста, пола, национальности, уровня культуры и образования, социального положения и т.д.). Для одних видов заболеваний эта вероятность достаточно велика (например, для чумы или тифа), для других относительно низка.

Эпидемия как системный процесс включает следующие основные процессы:

· пространственного переноса (диффузии), которые могут осуществляться как участвующими в коммуникационных связях индивидами, так и посредниками-переносчиками вирусов данного заболевания или СМИ, если речь идет об информационных заболеваниях;

· локальных обменов между вирусоносителями (носителями идей) и незараженными индивидами;

· размножения вирусов, попавших в организм (перерождения его системы знаний, его модели мира);

· гибели пораженного микроорганизмами (идеями) индивида;

· ослабления (нейтрализации) вирусов (идей), вследствие чего больной индивид выздоравливает (процессы выздоровления). Если речь идет об эпидемии деструктивных идей, то под выздоровлением понимают разочарование в них «заразившегося» этими идеями.

Заметим однако, что заражение деструктивными идеями может привести к перерождению соответствующего гражданина в неполноценную и даже опасную для общества личность. Дальнейшее развитие информационной «болезни» может закончиться полной потерей указанного индивида как достойного члена рассматриваемого общества. В этом смысле мы можем говорить о «летальном» исходе данной «болезни».

С точки зрения управления процессом эпидемии, конечно, целесообразно выделить и такие процессы, как вакцинация, лечение, контрпропаганда, гибель, ограничение контактов вирусоносителей и здоровых, выявление носителей вирусов, перевоспитание и т.п.

Характерной особенностью многих видов эпидемических заболеваний является также возникновение иммунитета у части вакцинированного, информационно подготовленного или переболевшего населения. При наличии иммунитета контакт зараженного со «здоровым» не приводит к заражению (заболеванию) последнего.

Еще одной характерной особенностью некоторых эпидемических заболеваний является наличие в процессе протекания болезни одного индивида некоторого скрытого периода, в течение которого он не проявляет признаков болезни, но может быть при этом источником заражения других. Человек может высказывать идеи, не будучи глубоко убежденным в них.

Разумеется, мы здесь отметили лишь часть характерных черт эпидемических процессов, но мы и не ставили перед собой цели их всестороннего и глубокого рассмотрения. Наша задача заключается в другом, мы хотим с системно-физических позиций посмотреть на проблему развития и распространения «эпидемических» заболеваний и попытаться построить достаточно универсальные формальные модели, которые бы позволяли исследовать (хотя бы качественно) некоторые общие закономерности протекания соответствующих процессов и которые имели бы возможность своей адаптации для построения моделей динамики конкретных эпидемий.

Исходя из вышесказанного и пренебрегая возможностью существования иммунитета, процесс локального развития эпидемии можно описать с помощью следующей системы уравнений:

где x - численность «здорового» населения (незараженного соответствующей идеей); y - численность больного (инфицированного) населения (зараженного соответствующей идеей); y₁ - численность выявленных носителей инфекции (носителей идей); - вероятность того, что выявленный носитель не будет вступать в контакты, могущие привести к заражению здоровых граждан; н - частота контактов; p₀ - вероятность заражения при одном контакте; е - средняя интенсивность заражения населения от внешней среды (информационной, в частности); - интенсивность заражения населения в расчете на одного индивида за счет коммуникационных связей с внешним окружением исследуемого географического пункта или региона; б - средний темп естественного прироста или убыли населения в расчете на одного жителя; г - средний темп выздоровления в расчете на одного больного; д₁ - средний темп смертности в расчете на одного больного, не обеспеченного медицинской (информационной, духовной и т.п.) помощью; д₂ - средний темп смертности в расчете на одного больного, обеспеченного медицинской (информационной, духовной и т.п.) помощью; м - интенсивность тестирования (человек в единицу времени); м₁ - интенсивность неспециализированного (нецеленаправленного) тестирования в процессе обычного медицинского (информационного, в форме опросов) обслуживания (чел. в ед. времени); с - вероятность выявления инфицированного (зараженного деструктивными идеями) при тестировании; P(x, y) - вероятность того, что контакт произошел между здоровым и больным индивидом; Q(x, y) - доля невыявленных инфицированных в общем потоке при целенаправленном тестировании; k - коэффициент, характеризующий целенаправленность тестирования на группы риска (0 ? k ? 1); Q₁(y, x) - доля невыявленных инфицированных в общем потоке при нецеленаправленном тестировании; c_м0 - затраты финансовых средств на тестирование одного индивида; c_м - количество средств, выделяемых на тестирование в единицу времени; q - доля больных, находящихся на медицинском (информационном) обслуживании; с₀ - объем средств, выделяемых на лечение больных (разубеждение зараженного деструктивными идеями) в единицу времени; c_q0 - стоимость лечения одного больного (разубеждение зараженного деструктивными идеями) в единицу времени; u - показатель, характеризующий ограничение опасных контактов, включая меры пропагандистского и принудительного характера; c_u - количество средств, которое необходимо выделять в единицу времени на поддержание заданного значения u; c_u0 - коэффициент чувствительности u к затратам.

Величины x, y и y₁ выступают в роли переменных, описывающих состояние рассматриваемой нами системы. Слагаемые же, входящие в правые части дифференциальных уравнений системы (3.3.79) играют роль динамических факторов, определяющих в своей совокупности изменение этого состояния.

Как видно из представленной системы уравнений, обменные взаимодействия в данном случае описываются комбинационными, входящими в состав правых частей первых двух уравнений системы (3.3.79), содержащие произведения соответствующих численностей (x, y).

В представленном выше виде модель больше пригодна для проведения численных расчетов. Однако большой интерес представляет получение аналитических выражений, описывающих закономерности развития эпидемии, что путем даже многократного численного моделирования получить не всегда удается. Поэтому остается единственная возможность - пойти по пути некоторых упрощений.

В связи со сказанным, пренебрегая влиянием целого ряда факторов, упростим исходную систему уравнений, представив ее в следующем виде

(3.3.80)

где n = x₀ + y₀ - начальная численность населения.

Поделив второе уравнение на первое, находим

,

откуда

y = y₀ - (x - x₀).

Подставляя полученный результат в первое уравнение системы (3.3.80), получаем

.

Далее

,

или, преобразуя,

.

После интегрирования получаем

окончательно

, (3.3.81)

. (3.3.82)

Таким образом, в данном приближении (отсутствие естественной прибыли или убыли населения, отсутствие смертности по причине данной болезни, отсутствие выздоровлений, отсутствие естественного заражения и притока извне) при стремлении времени t к бесконечности все население будет заражено данным видом инфекции полностью.

Будем теперь предполагать, что болезнь не столь безнадежна, так что часть больных может выздороветь. Кроме того, будем предполагать, что переболевшие однажды приобретают (может быть, лишь на некоторый период времени) иммунитет. Кроме того, часть населения приобретает указанный иммунитет путем вакцинации (целенаправленной информационной обработки). С учетом принятых предположений основная часть системы уравнений, описывающих динамику локального развития эпидемии, приобретает следующий вид:

(3.3.83)

где z - количество здоровых граждан, обладающих в момент времени t иммунитетом, вследствие того, что они либо были к моменту начала эпидемии вакцинированы, либо уже переболели, приобретя иммунитет; l - доля выздоравливающих, которые приобретают иммунитет по отношению к рассматриваемой инфекции; 1/r - среднее время сохранения иммунитета. Если иммунитет приобретается раз и навсегда, то r = 0, если же иммунитет не приобретается никем, то l = 0.

Из практической эпидемиологии известно, что если доля вакцинированного населения превышает некоторое критическое значение, то можно прогнозировать достаточно слабое проявление эпидемии. То же самое можно сказать и об эпидемиях информационных заболеваний: если высок моральный дух народа, то безнравственные идеи в нем распространяются и приживаются весьма слабо. Попробуем проанализировать эту закономерность формально. Для упрощения исследования выберем следующую динамическую модель локального развития эпидемии:

где z₀ - количество вакцинированного (стойкого к деструктивным идеям) населения. Тогда, исходя из условия неположительности скорости прироста больных, получаем

или, учитывая, что x = n - y при t = 0,

.

Откуда

.

Пусть - допустимый верхний предел развития эпидемии. Тогда, исходя из последнего выражения, получаем, что необходимая для непревышения этого предела в развитии эпидемии доля вакцинированного (стойкого к деструктивным идеям) населения должна быть не меньше

.

Пусть, например, = 0,15 и , тогда , т.е. вакцинирования 10% населения достаточно, чтобы эпидемия в своем локальном развитии не превзошла величины y^*. Поскольку не всякая вакцина обладает 100%-ной эффективностью, то данное выражение следует уточнить с учетом эффективности вакцины:

,

где < 1 - эффективность вакцины (информационной обработки, идеологии, религии и т.д.).

Если , то

Этот результат является вполне очевидным, особенно для эпидемий информационных «заболеваний». Очевидно, что существование иммунитета несколько уменьшает критическое значение .

Распространение эпидемии в географическом пространстве можно исследовать, обобщая рассмотренные нами модели на случай нескольких географических пунктов или регионов (стран), связанных между собой коммуникационными потоками. Будем предполагать, что распределение населения в пространстве можно представить в виде графа, вершинами которого являются населенные пункты либо регионы или страны (в зависимости от целей исследования), а дугами - коммуникационные связи. В результате указанных представлений получаем дискретную модель динамики распространения и развития эпидемии в следующем виде:

(3.3.84)

где i, j - индексы населенных пунктов (регионов); m - общее число последних; - доля контактов индивида из i-го региона вследствие его поездок в регион j.

В данной модели учитывается, что инфекция (деструктивная идея или идеология) может проникнуть в данный населенный пункт, страну или регион как за счет заражения местного населения приехавшими извне по коммуникационным связям носителями инфекции (деструктивных идей или идеологий), так и своими первоначально здоровыми гражданами, которые могут заразиться, бывая вне своей страны или региона.

Доля контактов е_ij удовлетворяют естественному условию

. (3.3.85)

Для многих видов болезней, таких, как грипп, ОРЗ и т.п., вероятность того, что условия опасного контакта (например, один индивид в транспорте может довольно долго находиться в опасной близости от другого) реализуются, зависит от пространственной плотности населения. Так, при приближении чумы люди (если не считать участников известного пира) старались вообще пространственно рассредоточиться. При моделировании эпидемий таких болезней вероятности p_j(x_j, y_j, z_j) и d_j(y_j, x_j) следует записывать в виде

, (3.3.86)

, (3.3.87)

где - характерная для данной территории численность населения.

Описанная выше модель межрегиональных взаимодействий эпидемических очагов, очевидно, допускает только численное исследование. Для того чтобы получить некоторые аналитические представления о динамике распространения эпидемии, попробуем перейти от дискретного описания к непрерывному.

Будем предполагать, что население в географическом пространстве распределено непрерывным (с точки зрения распространения вирусов) образом. Если эпидемия продолжается относительно долго (несколько дней или даже недель), то перемещениями отдельных индивидов между регионами можно пренебречь. Все они в этом смысле являются достаточно стабильными жителями своих мест. И в этом смысле географическое пространство, наполненное людьми, способными при определенных условиях заражать друг друга, можно рассматривать как сплошную среду, в которой может распространяться инфекционное заболевание (эпидемия).

Вполне разумно также считать, что концентрация вирусов в этой среде пропорциональна числу вирусоносителей. Изменение концентрации в элементарном объеме (элементарной «ячейке» этой среды), расположенном в некоторой точке, может, очевидно, происходить по двум причинам: во-первых, за счет переноса вирусов из соседних точек пространства; во-вторых, за счет их размножения в данной точке.

Будем предполагать, что поток вирусов в направлении x человеческого (географического) пространства пропорционален производной от их концентрации в данной точке

, (3.3.88)

где D - коэффициент диффузии (вирусной диффузии); c - концентрация вирусов, измеренная числом вирусоносителей.

Приращение концентрации вирусов за счет их перемещения вдоль оси на элементарном отрезке () в единицу времени будет равно

.

Разлагая функции в ряд относительно точки x и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем, что приращение концентрации вирусов в точке x в единицу времени за счет переноса будет равно

.

Увеличение концентрации вирусов (вирусоносителей) за счет их размножения в точке x примем равным

,

где - константа размножения.

Общее изменение концентрации C в единицу времени на отрезке dx будет, очевидно, равно сумме переносной составляющей и составляющей, связанной с размножением. Таким образом, получаем

,

или окончательно

.

Если учитывать и вторую ось координат, то можно записать полное уравнение вирусной диффузии в виде

. (3.3.89)

Если коэффициент диффузии есть величина постоянная, то уравнение (3.3.89) можно записать в виде

, (3.3.90)

где - лапласиан.

.

Коэффициент локального размножения целесообразно представить в виде

, (3.3.91)

где k - количество вирусоносителей, порождаемых одним вирусоносителем за время его «активности»; ф - время заражательной «активности» вирусоносителя.

Для простоты анализа рассмотрим одномерный случай

. (3.3.92)

Решение этого уравнения будем искать обычным способом - способом разделения переменных. Для этого функцию C(x, t) представим в виде произведения двух функций

. (3.3.93)

Подставляя (3.3.93) в (3.3.92) и деля правую и левую части полученного выражения на произведение T(t)·X(x), получим

. (3.3.94)

Правая часть этого уравнения зависит только от x, а левая - только от t. Но это возможно лишь в том случае, если каждая из них равна одной и той же постоянной. Таким образом, уравнение (3.3.92) эквивалентно двум уравнениям, связанным между собой лишь указанной общей постоянной:

, (3.3.95)

, (3.3.96)

или

, (3.3.97)

, (3.3.98)

где

. (3.3.99)

Пусть k < 1 (докритическая ситуация). Предположи, что r² > 0. Тогда решение первого уравнения следует искать в виде

T e-^pt, (3.3.100)

а решение второго в виде

X = A sin(wx + ц), (3.3.101)

где

. (3.3.102)

Общее решение уравнения (3.3.92) теперь можно записать:

. (3.3.103)

Зададим начальные граничные условия в обычной форме:

(3.3.104)

Граничные условия системы (3.3.104) говорят об изолированности рассматриваемого участка географического пространства (). Граничные условия можно записать с учетом (3.3.103) таким образом:

,

.

Из первого выражения следует, что все (n = 0, 1, 2...). Из второго же с учетом значений ц_k имеем

,

где m = 0, 1, 2 ...… Т.е.

(k = 0, 1, ...). (3.3.105)

Таким образом,

.

Откуда

(3.3.106)

или с учетом того, что

,

.

Как видим, при k < 1 все p_m,n < 0, и процесс является затухающим, что и следовало ожидать. При k > 1 некоторые p_m,n становятся больше нуля, и процесс развивается катастрофически. Таким образом, решение задачи (3.3.103) приобретает вид

. (3.3.107)

Очевидно, что коэффициенты A_m,n этого выражения должны удовлетворять условию

. (3.3.108)

Заметим, что множитель (1)ⁿ может быть включен в постоянную A_mn, т.е.

, (3.3.109)

или с учетом принятых нами обозначений

,

где

.

Разлагая функцию c₀(x) в ряд Фурье и учитывая условие (3.3.108) можно найти коэффициенты A_q, которые, очевидно, будут равны соответствующим коэффициентам Фурье-разложения c₀(x).

Полученное нами решение вполне аналогично решению, описывающему распространение температурной волны в твердом теле с теплоизолированными стенками. Однако ситуация коренным образом изменяется в закритической области (k > 1). Получаемое решение в этом случае описывает неограниченный рост концентрации вирусоносителей. Причем этот процесс нарастания распространяется с некоторой скоростью вдоль оси x.

Следует заметить, что принятое нами диффузионное приближение с неограниченным размножением вирусоносителей, что описывается выражением

,

является очень грубой идеализацией и требует уточнения.

3.3.5 Антагонистическая конкуренция. Динамика боевых действий

Взаимодействие конкурирующих сторон в том или ином смысле (информационном, социальном, политическом, экономическом, технологическом и т.п.) с взаимоуничтожением есть война. При этом в качестве объекта конкуренции выступают уже не только те или иные ресурсы, но и само право на жизнь. И в этом смысле состояния конкурирующих таким образом систем количественно могут быть охарактеризованы численностями соответствующих структурных элементов.

Как следует из предыдущего, война есть способ не только завоевания господства одной системы над другой, но и выживания достигшей своего предела системы в неблагоприятной обстановке.

Взаимодействие противоборствующих группировок на микроуровне можно представить в виде информационного кольца непосредственных или опосредованных обменов (рис. 3.3.13). На рисунке схема а иллюстрирует непосредственное взаимодействие, б - опосредованное (через наблюдателя).