Выявление нелинейности преобразований Лоренца для времени, изучение следствий этого факта. Тензорное исчисление в теории относительности. Некорректность определения скаляра в тензорном исчислении. Четырехвектор пространства-времени физической реальности.

Скалярное произведение векторов: определение. Характеристика векторного произведения векторов, его свойства (антиперестановочность множителей, распределительности относительно сложения и пр.). Определение смешанного произведения векторов, примеры задач.

Методы анализа нелинейных систем. Влияние нелинейностей на свойства систем. Фазовые портреты нелинейных систем. Устойчивость нелинейных систем "в малом", "в большом" и "в целом". Метод статистической линеаризации. Структурная схема нелинейной системы.

Определение и особенности нелинейных систем. Методы фазовых портретов и гармонической линеаризации. Исследование вибрационной помехоустойчивости систем управления. Устойчивость нелинейных систем, метод Ляпунова. Критерий абсолютной устойчивости Попова.

Розв’язність задачі Діріхле для еліптичного рівняння в області з малим кутом, для квазілінійного еліптичного недівергентного рівняння в області з конічною точкою; нерівності гострого кута для пар лінійних еліптичних операторів в області з кутовою точкою.

Постановка сепарабельних, квадратичних задач нелінійного програмування. Метод множників Лагранжа. Необхідні умови існування сідлової точки. Задача з лінійною цільовою функцією й нелінійною системою обмежень. Вивчення класичної методики оптимізації.

Розробка узагальненої математичної моделі, що описує процес неперервного культивування змішаної культури при різних взаємодіях. Аналіз якісних змін у динаміці систем, обумовлених варіаціями декількох параметрів, за допомогою методів теорії біфуркацій.

Аналіз питання про існування інтегральних множин для неоднорідних систем диференціальних рівнянь. Особливості застосування ітераційного процесу для відшукання інтегральної множини. Дослідження поведінки розв'язків рівнянь в околі інтегральної множини.

Дослідження нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними з оператором узагальненого диференціювання, який діє на функції скалярної комплексної змінної. Доведення теореми єдиності та теореми існування розв'язку задачі у просторі.

Вибір функціональних просторів для кожної із поставлених нелокальних задач. Встановлення умов однозначної розв’язності нелокальних задач для рівнянь і систем зі сталими та змінними коефіцієнтами. Обгрунтування методу мінімізації у гільбертових просторах.

Формулювання нових математичних моделей теплових процесів, що протікають у рухомому середовищі у вигляді нелокальних задач та задач з рухомою межею. Побудова температурних розподілів для даних умов. Визначення параметрів керування температурним полем.

Доказательство теоремы существования и единственности решения аналога задачи Франкля для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка. Представление теоремы об однозначной разрешимости нелокальной внутренне-краевой задачи.

Проблема нахождения необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур, которая является актуальной в работе учителя математики. Методические рекомендации для преподавания темы "Необходимые и достаточные условия" из курса "Геометрия".

Понятие экстремума, анализ теоремы о пределах функции. Знакомство с правилом нахождения минимальных и максимальных точек. Применение локальной формулы Тейлора. Характеристика экстремумов функций многих переменных. Основные признаки экстремума функции.

Описание класса простых и класса составных фреймов Парсеваля. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов, не содержащих нулевых или коллинеарных векторов, в конечномерных пространствах. Величина взаимной когерентности векторов фрейма Парсеваля.

Доказательство лемм, позволяющих получить оценки несобственных интегралов вдоль решений фазовой системы. Задача оптимального управления со свободными правыми концами траекторий и специфическими функционалами, связанными с особенностями краевых задач.

Нахождение частных производных, градиента и эластичности функции, исследование ее на экстремум. Вычисление зависимости величины банковской ставки от срока вклада, интервала сходимости степенных рядов. Решение дифференциальных уравнений и задачи Коши.

Основные приемы и методы вычисления неопределенных интегралов. Свойства интеграла, правила интегрирования. Простейшие приемы вычисления. Интегрирование методом замены переменной, по частям. Интегрирование рациональных выражений и трансцендентных функций.

Неопределённый интеграл как совокупность всех первообразных данной функции. Основные приемы вычисления. Интегрирование дробно-рациональных и тригонометрических функций. Независимость от вида переменной. Интегрирование, содержащий квадратный трехчлен.

Свойства неопределенного интеграла. Применение метода подстановки для различных типов функций. Разложение интегральной функции. Формула понижения степени для интеграла. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Дифференциальные биномы.

Нахождение производной как основная задача дифференциального исчисления. Первообразная функция на интервале оси. Рассмотрение свойств неопределенного интеграла. Методы интегрирования в математическом анализе. Подведение функции под дифференциал.

Основные аспекты вычисления объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями. Особенности поиска неопределенных интегралов. Основы применения формулы Ньютона-Лейбница. Расчет площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями.

Понятие первообразной от функции. Свойства неопределённых интегралов. Интегрирование по частям. Понятие рациональной дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Задачи о нахождении площади плоской фигуры. Несобственный интеграл.

Анализ состояния проблем синтеза моделей динамических объектов управления, параметры и структура которых неизвестны. Пример очень простой модели прогноза состояния динамического объекта в виде "черного ящика", параметры которого недоступны для измерения.

Анализ работ А.Н. Колмогорова и Н.В. Смирнова, посвященных односторонним и двухсторонним критериям согласия и однородности. Рассмотрение типовых ошибок при применении перечисленных критериев для проверки нормальности распределения результатов измерений.

Исследование непараметрического оценивания минимальной длины периода и составляющей сигнала во временных рядах. Особенность вхождения периодической функции в параметрическое семейство. Характеристика определения естественных показателей размаха.

Вивчення змісту проблеми апроксимації неперервних відображень на банахових просторах та межах Фреше в класі аналітичних відображень. Доведення просторової теореми Вінера. Застосування поліномів для побудови і дослідження функцій на гільбертовому кубі.

Доведення неперервності основних елементарних функцій у довільній точці на визначеному інтервалі. Поняття розривних функцій. Види та характер розривів. Деякі властивості неперервного математичного оператора. Теореми без доведення, що їх характеризують.

Историческое развитие и сущность непозиционных систем счисления. Появление первых чисел и цифр на территории Египта. Понятие разрядности чисел, принципы применения древнегреческой и древнеримской нумерации. Правила основных мировых систем счисления.

Происхождение и история развития систем счисления, расширение запаса чисел. Эволюция понятия числа, дроби и нуля. Особенности непозиционных систем счисления (римской, древнеегипетской десятичной и унарной), анализ их достоинств и основных недостатков.