Математические методы оптимизации
Примеры оптимизации унимодальной функции. Решение конечномерной экстремальной задачи методом выпуклого программирования. Оптимальное распределение однородных ресурсов. Решение задачи управления запасами при удовлетворенном и неудовлетворенном спросе.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.12.2016 |
| Размер файла | 249,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ АВИАЦИОННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ АЕРОКОСМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Механико-энергетический факультет
Кафедра автоматизации и энергоменеджменту
Курсовая работа
с дисциплины «Математические методы оптимизации»
Выполнил студент 5-го курса
группы 507 МЕФ
Чиримпей Е.И.
Проверил профессор А.Е. Асланян
Киев - 2016
Содержание
- Вступление
- 1. Задача «оптимизировать унимодальную функцию»
- 1.1 Метод случайного поиска
- 1.2 Метод дихотомии
- 1.3 Примеры решения
- 2. Решение конечномерной экстремальной задачи используя метод выпуклого программирования
- 2.1 Задача выпуклого программирования
- 2.2 Пример решения
- 3. Оптимальное распределение однородных ресурсов
- 3.1 Постановки задач
- 3.2 Пример решения
- 4. Оптимальное распределение неоднородных ресурсов
- 4.1 Общие сведения
- 4.2 Пример решения
- 5. Задача управления запасами при удовлетворенном спросе
- 5.1 Общие сведения
- 5.2 Система управления запасами ее структура и элементы
- 5.3 Стратегии управления запасами
- 5.4 Пример решения
- 6. Задача управления запасами при неудовлетворении спроса
- 6.1 Постановка задачи
- 6.2 Пример решения
- Вывод
- Список литературы
Вступление
Математическую оптимизацию можно вкратце описать следующим образом. У вас есть некая целевая функция (обозначим ее G), зависящая от одного или большего количества независимых переменных (которые мы обозначим fv fn). Вы хотите найти значение независимой переменной, доставляющее минимум (или иногда, как в нашем случае, максимум) целевой функции. Максимизация и минимизация, по сути, являются одним и тем же (то, что для одного равно G, для другого будет -- G).
В самом примитивном случае вы можете оптимизировать следующим образом: перебирая все комбинации значений переменных и подставляя их в целевую функцию, искать такую комбинацию, которая дает наилучший результат. Предположим, например, что мы хотим найти оптимальное / для одновременного бросания двух монет с точностью до 0,01. Тогда мы могли бы неизменно проводить расчеты для монеты 1 на значении 0,0, в то время как для монеты 2 переходить от 0,0 к 0,01 к 0,02 и так далее, пока не дойдем до 1,0. После этого мы могли бы вернуться к монете 1 и, просчитывая ее на значении 0,01, опробовать все возможные значения для монеты 2. Действуя таким образом и далее, мы придем к тому, что значения обеих переменных окажутся на их максимумах, то есть станут равны 1,0. Поскольку у каждой переменной в данном случае имеется по 101 возможному значению (от 0 до 1,0 включительно с шагом 0,01), то мы должны опробовать 101 * 101 комбинаций, то есть целевая функция должна быть рассчитана 10201 раз.
При желании, мы могли бы потребовать большей точности, чем 0,01. Тогда у нас стало бы 1001 * 1001 комбинаций, подлежащих опробованию, то есть целевую функцию пришлось бы рассчитать 1002001 раз. Если бы мы собрались взять три переменных вместо двух и потребовали бы точности 0,001, то нам пришлось бы вычислить целевую функцию 1001 * 1001 * 1001 раз, что равно 1003003001, то есть нам пришлось бы вычислить целевую функцию более одного миллиарда раз. А ведь мы используем всего лишь три переменных и требуем лишь 0,001 точности!
Хотя рассмотренный примитивный случай оптимизации наиболее понятен по сравнению с использованием всех других методов оптимизации, он же обладает сомнительным достоинством быть слишком медленным, для применения к большинству задач. Почему не перебрать все значения первой переменной и найти оптимум для нее, потом, зафиксировав первую переменную на оптимуме, перебрать все значения второй переменной и, найдя ее оптимум, получить таким образом оптимумы для первых двух переменных, после чего искать оптимум для третьей переменной при фиксированных первых двух на их оптимумах и так далее, пока задача не будет решена?
Недостатком этого второго подхода является то, что часто таким способом невозможно найти оптимальный набор значений переменных. Отметьте, что, когда мы добираемся до третьей переменной, значения первых двух равны своим максимумам, как будто других переменных нет. Поэтому, при оптимизации по третьей переменной первые две, зафиксированные на своих оптимумах, мешают нахождению ее оптимума. То, на чем это может закончиться, представляет собой не оптимальный набор значений, а, скорее, оптимальное значение для первой переменной, оптимум для второй, когда первая зафиксирована на своем оптимуме, оптимум для третьей, когда первая зафиксирована на своем оптимуме, а вторая установлена на некоем субоптимуме, который оптимален при условии помех со стороны первой переменной, и так далее. Иногда удается провести такой перебор по всем переменным и в итоге получить-таки оптимальный набор значений переменных, но когда переменных больше трех, он становится все более и более длительным, если вообще осуществимым, учитывая влияние других переменных.
Кроме двух описанных грубых методов математической оптимизации существуют и более совершенные. Это -- замечательная ветвь современной математики, и я настоятельно призываю вас познакомиться с ней, просто в надежде, что вы извлечете из этого какую-то долю того удовлетворения, которую получил я от ее изучения.
Экстремум, максимум это или минимум, может быть либо глобальным (действительно наибольшее или наименьшее значение), либо локальным (наибольшее или наименьшее значение в непосредственной окрестности). Наверняка знать глобальный экстремум почти невозможно, так как вы не представляете себе область значений независимых переменных. Но если область значений вам известна, то вы просто нашли локальный экстремум. Поэтому зачастую, когда люди говорят о глобальном экстремуме, они в действительности имеют в виду локальный экстремум на очень широкой области значений независимых переменных.
Для отыскания максимумов или минимумов в таких случаях существует масса методов. Любой из них, как правило, накладывает на переменные некие ограничения, которые должны удовлетворяться применительно к экстремуму. К примеру, в нашем случае эти ограничения заключаются в том, чтобы все независимые переменные (значения J) были бы большими или равными нулю. Нередко требуется выполнение ограничивающих функций (т. е. чтобы значения других функций от используемых переменных были бы больше/меньше или равны некоторым величинам). Линейное программирование с его симплекс-методом -- эта весьма хорошо разработанная область такой оптимизации в условиях ограничений -- применима лишь, когда и оптимизируемая, и ограничивающие функции являются линейными (многочленами первой степени).
1. Задача «оптимизировать унимодальную функцию»
1.1 Метод случайного поиска
Методы случайного поиска отличаются от регулярных (детерминированных) методов оптимизации намеренным введением элемента случайности. Регулярные методы, как правило, более тонко настроены на специфику оптимизируемого процесса, а также имеют более сложные алгоритмы поиска оптимума. Введение элемента случайности часто дает возможность построить весьма простые и эффективные алгоритмы поиска.
Под поиском понимается процесс отыскания такого значения критерия оптимизации (целевой функции), которое близко к искомому экстремуму и в то же время удовлетворяет всем ограничениям. Алгоритмы случайного поиска, решающие задачи оптимизации многопараметрических систем, обладают такими привлекательными свойствами, как повышенное быстродействие, высокая надежность и помехоустойчивость, слабая восприимчивость к различного рода «ловушкам». Их часто используют в комбинации с другими методами оптимизации, в частности с градиентными.
Различают ненаправленный случайный поиск, направленный поиск без самообучения, направленный случайный поиск с самообучением. Ненаправленный случайный поиск (или метод статистических испытаний, метод Монте-Карло) заключается в многократном моделировании независимых случайных вариантов решений из области допустимых, вычислении в каждом из них критерия оптимизации и запоминании наиближайшего к экстремуму. Метод Монте-Карло относится к числу универсальных, поскольку позволяет решать многоэкстремальные задачи общего вида с отысканием глобального экстремума. Основной недостаток метода заключается в необходимости проведения большого числа испытаний для получения решения, достаточно близкого к оптимальному, то есть наличии медленной сходимости к экстремуму. Направленный случайный поиск без самообучения является модернизацией направленного случайного поиска. В основе метода лежит использование результатов поиска предыдущих шагов.
Направленный случайный поиск с самообучением заключается в добавлении алгоритмов самообучения, которые корректируют вектор предыстории
(случайный вектор Е) преимущественно в направлении удачного предыдущего шага или в направлении, обратном предыдущему неудачному шагу, в случае нелинейной целевой функции, например, путем перестройки вероятностей
Р1, ..., Рі, ..., Рn составляющих случайного вектора Е = (е1, ..., еi, ..., en). Так, при
целевой функции, близкой к линейной, вероятность шага в удачном направлении увеличивается, и наоборот.
На базе широкого использования различных методов случайного поиска
развилось новое направление в исследовании самых разнообразных процессов - имитационное моделирование, особенно в связи с появлением ЭВМ третьего
поколения. Вообще под имитацией понимается численный метод исследования
системы, процесса, операции с помощью математических моделей, описывающих функционирование исследуемых систем, на ЭВМ для анализа и синтеза
интересующих исследователя функциональных характеристик. Имитационное
моделирование позволяет проводить широкие исследования случайных факторов, которыми изобилуют реальные системы, процессы, операции. Но в ряде
случаев оно требует больших затрат на программирование, отладку моделей и
проведение доследования, а также усложняется процесс интерпретации полученных результатов.
Использование методов случайного поиска определяется в основном следующими ситуациями:
* неприемлемостью или отсутствием соответствующих аналитических и численных методов исследования модели;
* возможностью создания модели функционирования системы (процесса),
получением необходимого количества информации о моделируемой системе (процессе);
* наличием современной вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения.
1.2 Метод дихотомии
Метод дихотомии имеет свое название от древнегреческого слова , что в переводе означает деление надвое. Именно поэтому данные метод имеет еще второе название: метод половинного деления. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру "Угадай число", где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками "больше" или "меньше". Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым в случае если оно меньше - 25, если больше - 75. Таким образом, на каждом этапе (иттерации) неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.
Метод половинного деления в решении уравнения. Правильное решение уравнения методом половинного деления возможно лишь в том случае, если известно, что на заданном интервале имеется корень, и он является единственным. Это совсем не означает, что метод дихотомии может использоваться только для решения линейных уравнений. Для нахождения корней уравнений более высокого порядка методом половинного деления необходимо сначала отделить корни по отрезкам. Процесс отделения корней осуществляется путем отыскания первой и второй производной от функции и приравнивании их нулю f'(x)=0 и f''(x)=0. Далее определяются знаки f(x) в критических и граничных точках. Интервал, где функция меняет знак |a,b|, где f(a)*f(b)< 0.
1.3 Примеры решения
Метод случайного поиска
Заданные значения
Целевая функция
Решение методом случайного поиска
Метод дихотомии
Заданные значения и целевая функция аналогична методу случайного поиска.
Графики в результате получились абсолютно идентичными.
2. Решение конечномерной экстремальной задачи используя метод выпуклого программирования
2.1 Задача выпуклого программирования
Задача выпуклого программирования при наличии хорошего начального приближения может быть сведена к последовательности задач безусловной оптимизации. При этом сложность задач от шага к шагу не возрастает, чем предложенный метод выгодно отличается от метода штрафных функции. унимодальный оптимальный распределение запас
Решение задач выпуклого программирования упрощается, если ограничения представить в виде линейных равенств или неравенств.
Из задач выпуклого программирования подробно разработаны задачи квадратичного программирования, в которых требуется найти максимум ( или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений.
В задаче выпуклого программирования локальный экстремум одновременно является и глобальным.
В задачах выпуклого программирования для оптимальности допустимого вектора достаточно, чтобы он был наилучшим среди близких к нему допустимых векторов.
В задачах выпуклого программирования поиск оптимальной точки сводится к вычислению целевой функции в ряде точек из области ее задания.
Существенной особенностью задач выпуклого программирования является совпадение точек локального и глобального экстремумов. Это означает, что при решении задач выпуклого программирования можно довольствоваться отысканием локального экстремума.
Пусть решение задачи выпуклого программирования, существует и достигается в точке х, не обязательно единственной. Тогда для того чтобы задача, была эквивалентна задаче отыскания безусловного минимума функции при а, большем некоторого а, необходимо и достаточно, чтобы смешанная система неравенств была несовместна.
Существенной особенностью задач выпуклого программирования является совпадение точек локального и глобального экстремумов. Это означает, что при решении задач выпуклого программирования можно довольствоваться отысканием локального экстремума.
При этом задаче выпуклого программирования соответствует выпуклая бескоалиционная игра нескольких лиц, у которой единственная ( с точностью до эквивалентности в смысле безразличия по выигрышам всех игроков) точка равновесия совпадает с опги - MVMOM исходной задачи.
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе теоремы Куна - Такера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
К регулярным относятся задачи линейного и выпуклого программирования. К нерегулярным, наряду с дискретными, относятся многоэкстремальные задачи, в которых локальный экстремум может не совпадать с глобальным. Дискретные задачи характеризуются тем, что область допустимых решений невыпукла и несвязна, а это делает невозможным решение их с помощью стандартных методов, применяемых для решения регулярных задач математического программирования.
Рассматривается возможность сведения задачи выпуклого программирования к задаче отыскания экстремума негладкой штрафной функции.
2.2 Пример решения
Заданные значения
Пример 1. Задача без ограничений, безусловный экстремум
Целевая функция
Начальные значения:
Пример 2. Задачи с ограничениями типа равенства, условный экстремум
Целевая функция
Ограничения
Функция Лагранжа:
Начальные значение
Пример 3. Задачи с ограничениями типа неравенства, условный экстремум
Целевая функция:
Ограничения:
Функция Лагранжа:
Начальные значение:
3. Оптимальное распределение однородных ресурсов
3.1 Постановки задач
Постановка задачи А. Пусть имеется m источников финансирования А1, А2, ..., Аm и n периодов финансирования В1, B2, ..., Вn. Известны затраты, Связанные с выделением единицы денежных ресурсов Сij из i-го источника в j-ом периоде, а также объемы финансирования из каждого i-го источника в течение всего времени - а.. Известны суммарные объемы финансирования из всех источников в каждый j-й период времени - bj. Требуется определить объемы финансирования Xij из i-го источника в j-ом периоде, чтобы:
1. Ресурсы всех источников были реализованы.2. Обеспечить финансирование в полном объеме в каждом периоде.3. Достигнуть экстремума выбранного критерия оптимизации. |
Постановка задачи В. Пусть имеется m пунктов отправления (или пунктов производства) некоторого ресурса (например, компьютеров, мебельных гарнитуров,...) А1, А2, ..., Аm и n пунктов назначения (или пунктов потребления) ресурса В1, B2, ..., Вn. Обозначим количество ресурсов (компьютеров, мебельных гарнитуров, ...) в i-ом пункте отправления через ai (i = 1, ..., m), а потребность каждого j-го пункта потребления этого вида ресурсов через bj (j = 1, ..., n). Известны затраты на перевозку одной единицы ресурса из каждого i-го пункта отправления в каждый j-ый пункт назначения. Требуется определить, какое количество ресурсов хij і. 0 необходимо поставить (перевезти) из каждого i-го пункта отправления в каждый j-й пункт назначения, чтобы:
1. Вывести все ресурсы (компьютеры, мебельные гарнитуры,...) всех поставщиков.
2. Обеспечить всех потребителей данным видом ресурсов.
3. Все перевозки выполнить с минимальными затратами.
3.2 Пример решения
Целевая функция:
Заданные значения:
4. Оптимальное распределение неоднородных ресурсов
4.1 Общие сведения
На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве. Рассмотрим несколько возможных примеров постановки таких задач.
Постановка задачи А. Для изготовления n видов изделий И., И2,..., И необходимы ресурсы видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно требуемое количество отдельного i-ro ресурса для изготовления каждого j-ro изделия. Назовем эту величину нормой расхода сij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, - аi Известна прибыль П., получаемая предприятием от изготовления каждого j-ro изделия. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве должны производиться предприятием, чтобы прибыль была максимальной.
Постановка задачи В. Пусть в распоряжении завода железобетонных изделий (ЖБИ) имеется m видов сырья (песок, щебень, цемент) в объемах аi Требуется произвести продукцию п видов. Дана технологическая норма с. потребления отдельного i-ro вида сырья для изготовления единицы продукции каждого j-ro вида. Известна прибыль П, получаемая от выпуска единицы продукции j-ro вида. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль.
Постановка задачи С. Пусть на предприятии после модернизации производства появился свободный ресурс времени оборудования. Предлагается организовать производство новых изделий нескольких наименований. Известно время, требуемое на изготовление отдельного изделия на каждом оборудовании, свободные резервы времени на каждой машине, а также прибыль, получаемая от выпуска каждого изделия. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве целесообразно производить, чтобы получить максимальную прибыль.
Используемыересурсы, qj |
Изготавливаемые изделия |
Наличиересурсов, аj |
||||
|
И1 |
И2 |
И3 |
И4 |
|||
|
Трудовые |
3 |
5 |
2 |
7 |
15 |
|
|
Материальные |
4 |
3 |
3 |
5 |
9 |
|
|
Финансовые |
5 |
6 |
4 |
8 |
30 |
|
|
Прибыль, rij |
40 |
50 |
30 |
20 |
4.2 Пример решения
Заданные значения:
Целевая функция:
5. Задача управления запасами при удовлетворенном спросе
5.1 Общие сведения
Запасы представляют собой один из важнейших факторов обеспечения постоянства и непрерывности воспроизводства. Непрерывность производства требует, чтобы постоянно находилось достаточное количество сырья и материалов, для полного удовлетворения потребностей производства в любой момент их использования. Поэтому необходимость бесперебойного снабжения производства в условиях непрерывности спроса и дискретности поставок, обуславливает создание на предприятиях материальных запасов. Несмотря на то, что сейчас идет тенденция ускорения оборачиваемости запасов на предприятие, а следовательно и снижение размеров запасов, вплоть до работы с колес, запасы по-прежнему занимают главную роль в обеспечении предприятия нормальными ритмичными условиями работы. Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени). При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает раже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.
Проблемы управления запасами возникают на предприятии в самых различных ситуациях. Это могут быть запасы готовой продукции, производимой предприятием. Это могут быть запасы исходного сырья и материалов, инструментов и запчастей. На предприятии возникают и внутренние запасы полуфабрикатов, производимых данным предприятием и используемых здесь же. Все эти различные виды запасов, возникающие по разным причинам в различных многообразных ситуациях, объединяет общая проблематика. Как организовать процесс принятия управленческих решений таким образом, чтобы не возникало перебоев в снабжении товарами? Как при этом добиться минимизации издержек, связанных с запасами? Другими словами, как управлять запасами?
На рисунке представлена типичная картина динамики складских запасов, график изменения их объема во времени. Объем запасов постепенно убывает в соответствии со спросом. В некоторые моменты времени (на графике это моменты t1, t2, t3) на склад поступают поставки (объема V1, V2, V3). Размер поставки соответствует длине вертикального отрезка. Запас вырастает на величину поставки.
Поставка в момент t1 поступила, когда на складе еще оставались запасы. Поставка в момент t2 пришла в ситуации дефицита (запасы отрицательны, у склада имеется задолженность перед спросом, удовлетворяемая из пришедшей поставки). Поставка в момент t3 застала ситуацию, когда запасы как раз исчерпались.
Размеры поставок могут быть различными, сами поставки могут поступать на склад не регулярно.
Формируя стратегию управления запасами, мы, в общем случае, стремимся управлять дискретными поставками, стремясь приспособиться к неуправляемому, но прогнозируемому спросу.
Задачи управления запасами составляют один из наиболее распространенных классов задач исследования операций, решение которых имеет важное хозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов. Существует большое количество разных моделей задач управления запасами (СУЗ).
5.2 Система управления запасами ее структура и элементы
СУЗ - это совокупность баз сосредоточения запасов и обслуживающих организации подразделений, связанных между собой линиями связи и транспортными средствами.
Структура СУЗ - это совокупность взаимосвязей и отношений между элементами.
Элементами системы управления запасами являются:
* предметы запасов;
* система снабжения;
* спрос на предметы снабжения;
* возможность пополнения запасов;
* функции затрат;
* ограничения;
* принятая стратегия управления запасами.
Рассмотрим подробнее каждый из этих элементов.
Предметы запасов в зависимости от количества хранимых на складах номенклатур различают на одно номенклатурные и многономенклатурные системы. Важной характеристикой предметов запаса является стабильность их свойств.
Системы снабжения бывают: по числу уровней различают децентрализованные (однокаскадные) и централизованные (многокаскадные)системы. По характеру взаимосвязи между уровнями различают системы с линейной и пирамидальной структурой. По характеру взаимосвязи на одном уровне различают системы с разрешенным и запрещенным обменом запасами. Управление системой снабжения может быть централизованным и децентрализованным.
Спрос на предметы снабжения делится на стационарный или нестационарный, детерминированный или случайный. Спрос характеризуется моментами времени, в которые он возникает и объемом.
Различают такие способы пополнения запасов: мгновенная поставка; поставка с задержкой на фиксированный временной интервал; поставка с задержкой на случайный интервал.
Функция затрат составляет в совокупности критерий эффективности избранной стратегии управления и учитывает (в общем случае) расходы на хранение, стоимость поставок, затраты на заказ каждой новой поставки, штрафы за дефицит.
Приведем возможные варианты этих составных частей.
Расходы на хранение бывают: пропорциональные среднему уровню положительного запаса за период времени его существования; пропорциональные остатку запаса к концу периода; нелинейная функция среднего уровня запасов и интервала существования положительного запаса.
Стоимость поставки бывает: пропорциональной объему поставки, постоянной, пропорциональной числу типов поставляемых запасов.
Штрафы вследствие дефицита бывают такие: пропорциональные средней положительной недостаче (дефициту) за период; пропорциональные положительной недостаче к концу периода; постоянные, нелинейные функции от среднего уровня дефицита и продолжительности его существования.
Ограничение в задачи управления запасами вводятся на: максимальный объем запасов; максимальный вес; максимальную стоимость запасов; число поставок в заданный интервал времени; на стоимость поставки; на объем поставки; на вероятность дефицита.
Стратегия управления запасами - это совокупность правил, в соответствии с которыми определяется момент подачи заказа и его объем. Определение стратегии управления запасами и ее параметров является основной задачей теории управления запасами. Она должна минимизировать выбранную функцию затрат - критерий эффективности.
5.3 Стратегии управления запасами
Стратегия управления запасами - это последовательность решений, определяющих моменты поставок и их объемы. Таким образом, стратегия отвечает на два вопроса: Когда? и Сколько?
Качество стратегии управления запасами характеризуется издержками. Стратегия эффективна, когда издержки минимальны.
Издержки связаны с поставками и хранением запасов, а также с дефицитом.
Суммарные издержки подразделяются на постоянную и переменную составляющие.
Качество стратегии управления запасами характеризуется издержками. Стратегия эффективна, когда издержки минимальны.
По правилу определения момента заказа различают периодические стратегии и стратегии с критическим уровнем. Рассмотрим некоторые стратегии управления запасами.
1. Стратегия (Т,S) периодическая с постоянным объемом заказа. Само название указывает на главный параметр системы -- объем заказа. Он строго зафиксирован и не изменяется ни при каких условиях. Для оптимизации размеров заказов применяются специальные методики и расчетные формулы (например, формула Уилсона).
2. Стратегия (Т,S) периодическая с пополнением до максимального уровня. Объем заказа определяется правилом S=y-y0(t).
3. Стратегия (укр,S) заказ объема подается в момент контроля при снижении объема запаса ниже укр.;
4. Стратегия двух уровней (укр,у) спрос определяет и момент подачи заказа, и его объем
( Т-период пополнения, S- объем заказа, у- максимальный уровень запаса на складе, укр - минимально допустимый уровень запаса на складе).
5.4 Пример решения
Цель работы
1. Построение ММ
2. Диффенционирование
3. Решение уравнения относительно S
4. Из соотношения n1=n2 находим
5. Округляем S до целого
6. Выводы
3. Решение уравнения относительно S
4. Из соотношения n1=n2 находим
5. Округляем S до целого
6.Выводы
Исходные данные
6. Задача управления запасами при неудовлетворении спроса
6.1 Постановка задачи
Как правило, при неудовлетворении спроса на материалы и полуфабрикаты предприятие терпит убытки, характеризующиеся величиной Си на единицу ресурса в единицу времени. На протяжении времени tl каждого периода t уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса, а затем в течение интервала t2 запас отсутствует, причем неудовлетворенный спрос покрывается из следующей с момента поступления ресурса на склад партии. Допустим, что потребность в материале составляет Q единиц за период Т. Требуется определить, каковы должны быть величина поставляемой партии S и размер потребной партии V, чтобы затраты на доставку и хранение с учетом неудовлетворенного спроса были минимальны.
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
Обозначим через Сх затраты на хранение единицы ресурса в единицу времени, а через Cd - расходы на поставку партии материалов. При этом издержки на поставку одной партии не зависят от количества сырья в ней.
График образования и расходования материалов при неудовлетворении спроса
По графику легко составить зависимости: tl/t=S/V, откуда tl=S-t/V; t2/t = (V-S)/V, откуда t2=t-(V-S)/V. Количество необходимых поставок для удовлетворения месячной потребности в материале п можно определить по формулам:
nl=Tlt/nl=Q/V.
Затраты на хранение одной партии материалов составят:
Yx=Cx*S-tl/2.
Затраты на доставку одной партии материалов составят: Yd=Cd.
Убытки от недопоставки одной партии материалов составят:
Yu=Cu*(V-S)-t2/2.
6.2 Пример решения
Исходные данные:
Количество слушателей в группе
Затраты на хранение единицы изделия в единицу времени
Общая потребность
Затраты на доставку изделий
Время операции
время расходования партии
Затраты при неудовлетворении спроса
Вывод: таким образом, оптимальное число изделий в партии Sopt=2.988,а время расходования оптимального числа изделий в партии составляет 8,964
Вывод
В настоящее время весьма актуальна задача информатизации производства, создания информационных систем, которые, помимо данных о функционировании предприятия, могли бы анализировать и рассчитывать различные варианты оптимизации производства. Разработка производственных программ и выполнение различных функций по управлению производством основывается на использовании информации целевого характера о темпах и эффективности производственных процессов с использованием средств вычислительной техники для ускорения ее обработки.
Для эффективной реализации системы тактического планирования и оперативного управления производством весьма актуальным является наличие на предприятии разработанных математических моделей оптимизации основных экономических показателей и соответствующего программного продукта, а учитывая огромное значение машиностроительной отрасли в экономике Удмуртской Республики и России в целом, важно учесть при разработке такого рода моделей отраслевую специфику машиностроительных предприятий.
В зависимости от того, какие требования предъявляются к задаче тактического планирования и оперативного управления и к ее решению, это могут быть модели как однокритериальной, так и многокритериальной оптимизации.
В связи с усложнением структуры хозяйственных взаимосвязей и усилением неопределенности и изменчивости организационно-экономической среды, характерных для этапа формирования развитых рыночных отношений, актуальность изучения многокритериальной оптимизации неизмеримо возрастает. Кроме того, разработка многокритериальных моделей оптимизации производственной программы предприятия позволит задействовать аппарат математического моделирования и компьютерные технологии для нахождения оптимальной производственной программы промышленного предприятия.
Список литературы
1. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М. Наука, 1978.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. - М.: Высшая школа, 1981.
3. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. - М.: Физматлит, 2005.
4. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов. - М.: Дрофа, 2001.
5. Пантелеев А.В., Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. Пособие. - М.: Высш. школа, 2005.
6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.
7. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986.
8. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.
9. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1973.
10. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Сов. радио,1973.
11. Банди Б. Методы оптимизации (вводный курс). - М.: Радио и связь,1988.
12. Компьютерное методическое пособие по методам параметрической оптимизации. МГТУ им. Баумана, 1997.
13. http://sapr.mgsu.ru/biblio/optimiz/opt.htm.
14. http://math.nsc.ru/LBRT/k5/Plyasunov/opt-2.html.
15. http://www.matmetod.ru/metods_optimize.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа [517,9 K], добавлен 30.04.2011Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Выбор оптимального варианта распределения вертолетов по объектам удара и оценка его эффективности по математическому ожиданию поражаемой силы. Процесс математического моделирования прикладной задачи методом оптимизации аддитивной целевой функции.
курсовая работа [59,4 K], добавлен 18.12.2009Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.
контрольная работа [23,5 K], добавлен 12.06.2011Сущность понятия "симплекс-метод". Математические модели пары двойственных задач линейного программирования. Решение задачи симплексным методом: определение минимального значения целевой функции, построение первого опорного плана, матрица коэффициентов.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 17.04.2013Решение систем уравнений по правилу Крамера, матричным способом, с использованием метода Гаусса. Графическое решение задачи линейного программирования. Составление математической модели закрытой транспортной задачи, решение задачи средствами Excel.
контрольная работа [551,9 K], добавлен 27.08.2009Понятие генетического алгоритма и механизм минимизации функции многих переменных. Построение графика функции и ее оптимизация. Исследование зависимости решения от вида функции отбора родителей для кроссинговера и мутации потомков, анализ результатов.
контрольная работа [404,7 K], добавлен 04.05.2015Методы решения задачи коммивояжера. Математическая модель задачи коммивояжера. Алгоритм Литтла для нахождения минимального гамильтонова контура для графа с n вершинами. Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Крускала и "деревянного" алгоритма.
курсовая работа [118,7 K], добавлен 30.04.2011Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010Теория задач на отыскание наибольших и наименьших величин. Достаточные условия экстремума. Решение гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств. Конечномерная теорема об обратной функции. Доказательство теоремы Вейштрасса.
курсовая работа [148,9 K], добавлен 19.06.2012
