Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме: «Методика обучения решению задач на проценты в основной школе»

Оглавление

Введение

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

§1 Для чего нужны проценты? Роль и место темы в школьном курсе математики

§2 Из истории возникновения процентов и их проникновения в школьный курс математики

§3 Затруднения учащихся в освоении решения задач на проценты и их возможные причины

3.1 Соответствие принципам дидактики работы над понятием «Процент» и обучения решению задач на проценты

3.2 Основные особенности развития мышления школьников в возрасте 11-15 лет

Глава II. ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ПРОЦЕНТЫ» В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ

§1 Трактовка понятия «процент»

§2 Требования к математической подготовке учащихся. Содержание обучения

§3 Тематическое планирование учебного материала

§4 Сравнительный анализ изложения темы «Проценты» в различных учебниках математики 5-6 классов

§5 Анализ изложения различных тем, связанных с процентами в учебниках алгебры 7-9 классов

Глава III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

§1 Общие рекомендации к изложению данной темы

§2 Этапы изучения процентов в основной школе

§3 Последовательность изложения материала данного раздела

§4 Дидактические материалы по работе над понятием «Процент» и по обучению решению задач на проценты

4.1 Фрагмент урока по теме «Проценты» в 5 (6) классе. Этап урока - мотивация введения нового понятия

4.2 Урок введения способов решения задач на проценты, опирающихся на связь процентов и десятичных дробей

4.3 Устные упражнения по теме «Проценты»

4.4 Тематическая рабочая тетрадь по теме «Проценты» для учащихся 5 (6) классов

4.5 Тест для самопроверки для учащихся для 5 (6) классов

4.6 Контрольная работа для учащихся 5 классов (6 классов) по теме «Проценты»

§5 Методические рекомендации к проведению факультативного курса «Проценты в повседневной жизни» в 7-9 классах

§6 Опытная проверка разработанных материалов. Анализ результатов

Заключение

Библиография

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Введение

В настоящее время появляется все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связанного с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия и многие другие). Другими словами, расширяется круг школьников, для которых математика становиться профессионально значимым предметом. Поэтому одна из важнейших задач школьного образования - обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, поскольку понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Учащиеся встречаются с процентами на уроках экономики, химии, экологии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие из них ориентированы на поступление в высшие учебные заведения. Практика показывает, что очень многие выпускники не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов. Тому есть несколько причин.

Во-первых, проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах. К этому времени учащиеся умеют в задачах практического характера находить дробь числа (величины), число (величину) по его (ее) дроби и определять, какую часть одна величина составляет от другой. Указанные умения если и обобщаются учителем в виде правил, то сами правила никак не помогают перенести уже освоенное умение в новую ситуацию, так как при решении конкретных задач на проценты речь идет не о числителе и знаменателе дроби, а о количестве процентов, содержащихся в целом и его части.

Во-вторых, в решении задач на проценты довольно скоро начинают применять пропорции. Это требует предварительного определения характера пропорциональности величин (прямая или обратная). Тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает учащимся понять смысл своих действий.

В-третьих, учащиеся 5-6 классов еще не имеют опыта практического применения процентов. Следовательно, не имеют потребности в решении предлагаемых им задач на проценты.

Основные понятия, изучаемые в теме «Проценты», являются важными понятиями для всего курса математики: «раствор», «сплав», «смесь», «концентрация», «простой и сложный процентный рост» и т.д., поэтому необходимо уже на начальном этапе обучения добиться высокого уровня знаний, умений и навыков учащихся. В школьном курсе тема «Проценты» изучается в V - VI классе, но в силу возрастных особенностей школьников, их оторванности от практического применения процентов не может быть усвоена осознанно. Именно начальный этап изучения этого материала определяет дальнейшее успешное обучение учащихся, формирует умение переносить полученные знания в новую ситуацию на протяжении изучения всего курса математики.

В курсе алгебры основной школы этому вопросу не уделяется значительного внимания. Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место остается только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, ученик постепенно забывают проблемы универсальности процентов и разнообразие сфер их применения.

Важно отметить, что в материалы Единого Государственного Экзамена входит задача на проценты. В связи с этим вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII - IX классах является актуальным. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, широко применяемых при решении текстовых задач. Использование процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.

Но как построить процесс изучения данной темы, чтобы наиболее эффективно реализовать основную образовательную задачу всего курса математики: научить учащихся оперировать понятиями «процент», «процентное отношение двух чисел», переносить полученные знания, умения и навыки в новую ситуацию, выработать умения выполнять действия и преобразования, используя данные понятия? Этот вопрос определил цели данного исследования:

Выявление методических особенностей изучения процентов в 5-9 классах;

Разработка методических рекомендаций по изучению процентов в 5-9 классах.

Объектом исследования является обучение математике в V - IX классах. Предмет исследования - обучение решению задач на проценты в основной школе.

Задачи данного исследования:

Проанализировать психолого-педагогическую, учебную, методическую литературу, связанную с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе; проценты методический рекомендация

Изучить педагогический опыт по теме дипломной работы;

Разработать методические рекомендации по изучению данной темы;

Разработать информационную рабочую тетрадь для учеников 5-6 классов для самостоятельной работы по теме «Проценты».

Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

§1 Для чего нужны проценты? Роль и место темы в школьном курсе математики

Опыт показывает, что в вопросе о роли и месте понятия «процент», процентных вычислений в курсе арифметики многие факты часто остаются неосознанными самим учителем, а это обстоятельство в свою очередь влияет на весь стиль преподавания, на те общие точки зрения, в свете которых учебный материал преподносится школьникам.

Источником неясностей служат сами понятия «проценты», «десятичные дроби» и, создающие впечатление, будто речь идет о числах какой-то новой природы. На самом деле, разумеется, имеются в виду те же дроби, с которыми учащиеся уже подробно освоились, и вопрос возникает лишь о новом аппарате для изображения все тех же знакомых чисел, о новой записи дробей. Было бы гораздо лучше и значительно способствовало бы правильному пониманию вопроса, если бы соответствующие главы учебников носили названия «Десятичная запись дробей» и «Процентная запись дробей»!!! И чем раньше и чем прочнее это обстоятельство будет усвоено учащимися, тем легче они справятся с трудностями, связанными с процентными расчетами. Ведь значительная часть этих трудностей вызывается стремлением авторов учебников, методистов и учителей искусственно создать какое-то «предметное» различие между выражениями 0,6 и 60% - различие, которого не знает наука (попросту отождествляющая смысл этих выражений).

Пол мнению А.Я. Хинчина, вместо того, чтобы с самого начала с исчерпывающей ясностью указать, что проценты представляют собой лишь особую форму записи действительного числа, и что поэтому не существует и не может существовать никаких «задач на проценты», а что, напротив, любая задача с действительными числовыми данными может быть поставлена и решена в процентной записи и обратно, - вместо всего этого предельно ясного подхода к делу у нас создают какой-то культ процентов, присваивают им особое предметное содержание, создают для них особую теорию и особую категорию задач, словом, делают все возможное для того, чтобы в представлении школьника процент вырос в новое, чуждое и трудное понятие, требующее специального подхода и специальных методов исследования. А за этим, как правило, констатируют, что «проценты плохо усваиваются учащимися».

О процентной записи дробей необходимо сделать еще одно замечание. У учащихся может возникнуть вопрос, зачем понадобилась новая форма записи, если две формы - обыкновенная и десятичная - уже имеются. Старые курсы арифметики на это отвечали указанием, что эта форма записи принята в коммерческих расчетах; не говоря уже о том, что такой ответ и в старое время ничего, конечно, не разъяснял. Ясно, что в советской практике процентные расчеты получили такое широкое применение, перед лицом которого этот ответ является совершенно устарелым. А между тем, наш учитель часто сам затрудняется с достаточной четкостью ответить на этот вопрос. Поэтому мы считаем полезным уделить несколько слов мотивации введения этого понятия.

Если мы хотим быстро, на глаз сравнить две дроби, например и, то этому мешает то, что дроби эти выражены в различных долях. Для элементарных практических надобностей поэтому целесообразно по возможности пользоваться (хотя бы приближенным) выражением дробных чисел в одних и тех же долях, т.е. в виде дробей с одним и тем же знаменателем. Какое же число всего удобнее выбрать в качестве такого универсального знаменателя? Потребности десятичной системы счисления и метрической системы мер ясно указывают, что в качестве такого числа следует выбрать либо 10, либо 100, либо 1000 и т.д. Дальнейший выбор производится уже на основе чисто практических соображений. Если универсальный знаменатель выбрать слишком малым, то может случиться, что при пользовании целыми числителями мы получим слишком сильное округление, так что точность для большинства практических целей окажется недостаточной. Напротив, если универсальный знаменатель выбрать чрезмерно большим, то мы получим хорошую точность приближения, но вместе с тем и числители окажутся числами слишком большими и поэтому неудобными для практических расчетов. Как показывает практика, именно выбор числа 100 в качестве универсального знаменателя наилучшим образом удовлетворяет всем запросам элементарных расчетов: при пользовании целыми числителями мы получаем в этом случае такие приближения для любых величин, которые в большинстве практических расчетов дают вполне достаточную точность; с другой стороны, числители, как правило, оказываются при этом сравнительно небольшими числами, с которыми нетрудно оперировать.

Но выбрать число 100 в качестве универсального знаменателя - это и означает, перейти к процентной записи дробных чисел. Разумеется, пользование целыми числителями все же не во всех случаях дает требуемую степень точности; иногда мы вынуждены бываем добавлять в числителе один и даже более десятичных знаков после запятой (86,3%), что фактически означает переход от процентов к промилям (обозначение: ‰) и т.д. [1, стр 13].

Роль и место задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

Образовательное значение математических задач.

Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык.

Практическое значение математических задач.

В процессе решения математических задач школьник обучается, в частности, применять математические знания для решения прикладных задач, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др. Это означает, что при обучении математике в 5-6 классах учащимся следует предлагать задачи, связанные с такими предметами, как физика, химия, география и др. Например, задачи на «смеси и сплавы» (подобные задачи потом будут широко применяться в курсе химии в старших классах), а также задачи с практическим, жизненным содержанием.

Проценты в повседневной жизни.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также в развитии умения решать экономические задачи. Осознанное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

«Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи?» Современный человек должен свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких знаний (простые и сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессия).

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с внедрением современных информационных технологий, требующих математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.

Задачи на проценты в Едином Государственном Экзамене (ЕГЭ)

В последнее время выпускной экзамен по математике в школе и вступительное испытание в ВУЗ проводится в форме единого государственного экзамена. Назначение ЕГЭ - оценить общеобразовательную подготовку по математике выпускников XI классов общеобразовательных учреждений с целью их итоговой аттестации и конкурсного отбора в учреждения среднего и высшего профессионального образования.

Проверке подлежит материал всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса математики: «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Числа и вычисления», «Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин». Отметим, что по материалу блока «Числа и вычисления» предлагается небольшое число заданий, так как овладение им проверяется опосредовано при выполнении заданий, составленных на материале других блоков. В работе используются три типа заданий:

- с выбором ответа из четырех предложенных вариантов - задания базового уровня (А1-А10, В1-В3), оцениваемые 1 баллом;

- с кратким ответом в виде некоторого целого числа или десятичной дроби - задания повышенного уровня (В4-В11), оцениваются 1 баллом,

- с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи повышенного уровня (С1 и С2), в зависимости от полноты и правильности ответа оценивается от 0 до 2 баллов, и высокого уровня (С3-С5) - от 0 до 4 баллов.

Впервые в вариантах ЕГЭ по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В (см. Приложение 1). В последующие годы данный тип задач также был представлен в вариантах единого экзамена, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой.

Задания группы В - задания повышенного (по сравнению с базовым) уровня, при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий отвечает как минимуму содержания основной и средней (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы.

Начиная с 2005 года задачи на проценты встречаются во второй части единого экзамена в заданиях В9. Его решение не влияет на школьную оценку, но так необходимо для поступления в ВУЗ! Данное задание направлено на проверку умения решать практическую задачу, составляя математическую модель (уравнения, неравенства, их системы) предложенной в ней ситуации. Сюжеты задач близки к реальным ситуациям - экономическим, финансовым, деловым, игровым, и пр., а обучение решению традиционно сосредоточено в основной школе. Следует выделить три группы задач на проценты, встречающихся повсеместно:

- изменение влажности продукта. Например: «Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если о склада было отправлено 400 кг»;

- изменение величины заработной платы (плана выпуска продукции, стоимости товара, акций и др.). Например: «Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?»;

- процентное содержание компонентов в растворе или сплаве. Например: «Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?»

Максимальный первичный балл, который может получить ученик, дав верный ответ - 1 балл. Примерное время выполнения задания, согласно спецификации экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2009 г., подготовленной Федеральным государственным научным учреждением ФИПИ - 9 минут [52].

В целом, процент решаемости задания В9 единого государственного экзамена приведен в таблице 1 в соответствии с решением заданий реальных вариантов ЕГЭ-2008:

Табл.1

Задание	Процент решаемости
	Минимальный	Максимальный
В9	16,1%	35,3%

Таким образом, решение текстовых задач, в частности, задач на проценты школьниками оставляет желать лучшего. Сказывается слабое владение материалом на уровне 5-6 классов. Кроме того, отсутствие преемственности в содержании материала: авторы большей части учебников по алгебре для основной школы либо совсем забывают о процентах, либо применяют их лишь эпизодически. Ситуация может измениться за счет введения элементов стохастики, где школьники систематически обращаются к процентам. Учителям следует активнее вводить тестовые технологии в систему обучения и ликвидировать пробелы в знаниях учащихся для успешной сдачи единого экзамена.

Итоговая аттестация по алгебре за курс основной школы (IX класс) в новой форме (ГИА 9)

Вариант экзаменационной работы состоит из двух частей. В первой части 16 заданий, во второй 5. На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут). На выполнение первой части отводится 90 минут -- после этого работы забираются, и выпускник имеет возможность работать с заданиями второй части. Первая часть является обязательной для всех. Если первая часть выполнена на отметку «два», то вторая -- просто не проверяется, и за экзамен выставляется двойка. При выполнении заданий первой части проверяются только ответы.

В 2008 году на экзамене по алгебре за курс основной школы по теме «Проценты» была предложена следующая задача в 1 части:

Задача 1. Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 2500р. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек - 5%, группе более 10 человек - 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 6 человек?

1) 15000 р; 2) 2375 р; 3) 750 р; 4) 14250 р.

Данная задача направлена на проверку умения решать основные задачи на проценты. В средних общеобразовательных школах с ней справились в среднем 71% учащихся, в образовательных учреждениях повышенного уровня - 77%.

§2 Из истории возникновения процентов и их проникновения в школьный курс математики

В рассматриваемом разделе целесообразно рассказать учащимся об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака процента.

Надо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей).

Итак, слово «процент» от латинского слова «pro centum», что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. В древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Даже римский сенат вынужден был устанавливать максимально допустимый процент, взимаемый с должника, т.к. некоторые заимодавцы чрезмерно усердствовали в получении процентных денег.

От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Например, при расчете 6% от 720 записывали:

1% составляет, а 6% составляют = 43,2.

Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые зачастую составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, одна сотая.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Запись отношений стала удобнее, исчезли ноль и запятая, а символ % сразу указывает, что перед нами не граммы, рубли или метры. Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товаров, денежный доход и т.д.

Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, которые составляют тысячные доли от самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нули и запятую, то есть не писать 0,6%, ввели новую величину - «промилле» тысячную долю, которую обозначили ‰. Однако эта величина привилась только в тех областях науки и техники, где имеют дело с малыми величинами, а необходимость и появившаяся возможность считать точнее привели к тому, что счет стал вестись до десятых и сотых долей процента. Нередко можно видеть и в технической литературе, и на страницах газет записи вида 27,4%; 6,35%.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Задачи на проценты традиционны для программы 56 классов. Обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Так в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов. Например, в учебнике А.П. Киселева разъяснялся смысл слов «должник», «заимодавец» (кредитор), «ссуда», «начальный капитал», «процентная такса», «процентные деньги», «наращенный капитал» (начальный капитал с процентными деньгами), отдать деньги «в рост». Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на 4 группы, в зависимости от того, что неизвестно из следующих величин: a) процентные деньги или наращенный капитал, b) начальный капитал, c) процентная такса (процент за год) и d) время, в течение которого капитал находится в росте. Задачи второй группы рассматривались двух типов: в одних
известны процентные деньги, в других -- наращенный капитал.

Далее показывались образцы решения пяти типов задач, условия которых мы здесь приводим. Во всех задачах проценты применяются для денежных расчетов и рассматриваются так называемые простые проценты, т. е. не учитываются проценты, начисляемые на процентные деньги.

Задача 2. Найти процентные деньги с капитала 7285 р., отданного в рост под 8 % на 31/2 года.

Задача 3. Какой капитал, отданный в рост под 63/4 %, принесет в 6 лет 8 месяцев 3330 р. процентных денег?

Задача 4. Какой капитал, отданный под 5 %, обратится через 6 лет в 455 р.?

Задача 5. Поскольку процентов (по какой таксе) надо отдать капитал 15108 р., чтобы в 2 года 8 месяцев получить 2417 р. 28 к. процентных денег?

Задача 6. На сколько времени надо отдать 2485 р. под 7 %, чтобы получить 139 р. 16 к. процентных денег?

Обратим внимание на замечание в учебнике, указывающее на связь задач на проценты с ранее рассмотренными задачами: «Так как процентные деньги пропорциональны капиталу, времени и проценту, то задачи на простые проценты можно большей частью решать посредством сложного тройного правила».

Например, приведенная выше задача 2 могла быть решена так:

Со 100 р. за 1 год 8 р.

с 7285 р. за 3,5 года х р.

x = 8 3,5/1 7285/100 = 2039,8 (р.)

В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, осмысливала прежний опыт, решительно и бесповоротно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. При всей революционной категоричности авторов программы 1921 г., значительно сокративших задачный «репертуар», в программе все же записано: «... понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».

Однако в соответствии с «правдой жизни» сфера приложения процентных расчетов была значительно сокращена, что объяснялось следующим образом: «Исчисление процентных денег с капитала или срока, в течение которого данный капитал даст определенную прибыль, представляет собою (не говоря даже о том, что современная жизнь аннулировала подобный вопрос) простенькую задачу, которую легко решить на основании здравого смысла, без всяких «правил». Задачи, где вычисляются барыши купцов и барышников, шокируют нравственное чувство и следовательно имеют безусловно отрицательное значение».

Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде -- в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего. Довольно часто даже взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует повышению ее на 300%, а повышение зарплаты на 50% не могут сравнить с увеличением ее в 1,5 раза.

§3 Затруднения учащихся в освоении решения задач на проценты и их возможные причины

3.1 Соответствие принципам дидактики работы над понятием «Процент» и обучения решению задач на проценты

Обучение математике, как и любому учебному предмету, может стать эффективным средством формирования личности, достичь непосредственной цели - прочного и сознательного усвоения ее содержания - лишь в случае, если в основу обучения будут положены определенные положения, вытекающие из основных закономерностей дидактики, подтвержденные опытом преподавания.

Принцип воспитания. Общей целью воспитания в школе является подготовка всесторонне развитых личностей, что предполагает трудовое, нравственное, умственное, эстетическое и физическое воспитание школьников. Чтобы в обучении математике, в частности, обучении решению задач на проценты, реализовывался принцип воспитания, учителю необходимо, руководствуясь принципами научности, сознательности, активности и самостоятельности, стимулирования и мотивации положительного отношения школьников к учению, повышать активность учащихся и возбуждать у них интереса к вопросам, имеющим мировоззренческое значение.

Принцип научности. Требование научности содержания образования было выдвинуто в советской педагогической литературе еще в работах Н. К. Крупской. Ныне можно выделить три аспекта реализации принципа научности в обучении решению задачам на проценты: реализация его в учебнике (соответствие содержания учебника современному уровню науки); обеспечение соответствия изложения учебного материала учителем на уроке современному уровню науки; выработка у учащихся учебно-исследовательских навыков и умений.

Принцип систематичности и последовательности в обучении математике проводится во всей системе учебной работы. Изложение знаний систематически предполагает, что при изучении нового следует опираться на ранее пройденное (от известного к неизвестному), выделять в нем главное, вскрывать общую идею, формировать у учащихся умение анализировать, систематизировать и обобщать изучаемые явления и факты (от простого к сложному, от легкого к трудному, от представлений к понятиям, от знания к умению, а от него - к навыку). Систематичность в обучении решению задач на проценты предполагает соблюдение определенной последовательности в изучении учебного материала, постепенное овладение основными понятиями и приобретение навыков решения задач. Также, успешная реализация принципа во многом зависит от того, какое значение придается учителем межпредметным связям в обучении, как скоординированы требования к учащимся между преподавателями различных учебных предметов (математика, химия, экономика), соблюдается ли преемственность в изучении отдельных тем. При этом важное значение приобретает преемственность обучения в младших, средних и старших классах.

Принцип доступности требует, чтобы обучение строилось на основе учета возрастных возможностей учащихся, т.е. объем и содержание учебного материала должно соответствовать уровню их умственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков. Таким образом регулируется уровень сложности учебного материала, определяется выбор методических подходов изложения его на уроке, правильная дозировка домашних заданий. Слишком упрощенное содержание обучения снижает его развивающие и воспитательные возможности. Поэтому рекомендуется (по Л. В. Занкову), чтобы содержание заданий для учащихся находилось в "зоне их ближайшего развития".

Принцип сознательности, активности и самостоятельности усвоения знаний заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений школьниками, их осмыслении, творческой переработке и применении. Он вытекает из целей и задач средней школы, призванной готовить активных и самостоятельных членов общества, а также из особенностей процесса обучения, требующего осмысленного и творческого подхода к изучаемому материалу. Поэтому одной из причин затруднений в усвоении процентов учащимися 5-6 классов является отсутствие опыта их практического применения. А, следовательно, не имеют потребности в решении предлагаемых им задач на проценты.

Если в процессе познания нового учащиеся будут совершать умственные и практические действия в соответствии с этапами процесса учения, включающими в себя действия по восприятию изучаемого материала, его осмыслению (пониманию), закреплению и применению, то можно утверждать, что в обучении созданы условия для активизации познавательной деятельности учащихся и осознания ими процесса учения.

Познавательная самостоятельность является высшей формой активности и сознательности учащихся в процессе учения. В теории обучения выделены признаки познавательной самостоятельности учащихся: стремление и умение самостоятельно мыслить; способность ориентироваться в новой ситуации, найти свой подход к решению новой задачи; желание понять не только усваиваемые знания, но и способы их добывания; критический подход к суждению других; независимость собственных суждений.

Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Наглядность применяется и как средство познания нового, и для иллюстрации мысли, и для развития наблюдательности, и для лучшего запоминания материала. Средства наглядности используются на всех этапах процесса обучения: при объяснении нового материала учителем, при закреплении знаний, формировании умений и навыков, при выполнении домашних заданий, при контроле усвоения учебного материала.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил: ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств; обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета; показать предмет (по возможности) в его развитии; предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий; использовать средств наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

По мнению Я. А. Коменского, принцип наглядности является "золотым правилом дидактики".

Принцип индивидуального подхода к учащимся. Повышение эффективности обучения непосредственно связано с тем, насколько полно учитываются особенности каждого учащегося. В психологии обучения выявлено несколько характеристик индивидуальных различий учащихся, связанных с процессом обучения: темп усвоения или продвижения в обучении как наиболее устойчивая характеристика; полнота и точность анализа и синтеза и неразрывно связанных с ними обобщения и абстрагирования; устойчивая предрасположенность школьников к тому или иному виду анализа, особенно при первичной работе над материалом; уровень формируемых у школьника обобщений; уровень выделения и обобщения школьниками способов оперирования знаниями; экономичность мышления и др. Сущность принципа индивидуального подхода по существу состоит в адаптации (приспособлении) обучения либо к содержанию и уровню знаний, умений и навыков каждого учащегося, либо также к характерным для него особенностям процесса усвоения, либо даже к некоторым устойчивым особенностям его личности.

Как и во всех основных разделах математики, при изложении темы «Проценты» реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся, которое позволяет обеспечить успешность в обучении каждого ученика. С учётом этого принципа учащимся, в соответствии с их возможностями, целесообразно предлагать задачи на одну и туже тему в широком диапазоне сложности - от базовых, до достаточно трудных.

Принцип прочности знаний. Прочные знания, умения и навыки необходимы как для успешного продолжения образования, так и для формирования у учащихся научного мировоззрения, развития их способностей, подготовки к практической деятельности. Опираться на приобретенные знания, умения и навыки можно лишь в том случае, когда они усвоены твердо и длительное время удерживаются в памяти.

В настоящее время изучение темы «Проценты» сосредоточено в рамках 5-6 классов, но целесообразнее изучать данную тему «по спирали», в несколько подходов на протяжении обучения в основной и в старшей школы. При каждом проходе учащиеся будут возвращаться к процентам на новом уровне, а их знания пополняться, добавляться новые типы задач и приемы решений. Такое многократное обращение к понятию приведет к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознанно.

3.2 Основные особенности развития мышления школьников в возрасте 11-15 лет

Подростковые годы характеризуются попытками увеличения независимости детей от взрослых людей, причем во всех сферах поведения, а также повышенным вниманием ребенка к самому себе, к своей внешности, к самопознанию и к самовоспитанию. С одной стороны, он может видеть и оценивать себя как вполне достойно, заслуживающего уважения человека, а с другой стороны - как личность, обладающую личными реальными недостатками, от которых необходимо избавляться.

Существенное отличие подростков от младших школьников также можно усмотреть в особенностях нормативного сознания и нормативной регуляции поведения. Если младший школьник в своем поведении и внутренних регулятивных установках ориентирован на социальные нормы, задаваемые взрослыми, то подросток в этом плане ориентирован на сверстников или более старших детей, выступающие в роли лидеров. Стремление к личному авторитету среди сверстников, характерное для подростков, порождает у них активный поиск образца для подражания, который они находят среди старших по возрасту детей и взрослых людей одного с ними пола.

На протяжении отрочества продолжается развитие мыслительных способностей и как следствие -- расширение сознания происходящего, границ воображения, диапазона суждений и проницательности. Эти возросшие возможности познания также способствуют быстрому накоплению знаний, открывающих перед подростками ряд вопросов и проблем, которые могут осложнить и обогатить их жизнь. Ж. Пиаже определил мышление подростков как мышление на уровне формальных операций (в когнитивном развитии выделил 4 стадии: сенсомоторная (от 0 до 2 лет), интуитивная, или дооперациональная (от 2 до 7-8 лет), стадия конкретных операций (от 7-8 до 11-12 лет), стадия формальных операций (от 11-12 до 14-15, лет)). Мышление на уровне формальных операций включает в себя размышления о потенциально возможном, а не на обязательно очевидном. Подросток получает возможность вообразить все, что может случиться, -- и очевидные, и недоступные восприятию события. Мышление на уровне формальных операций требует способности формулировать, проверять и оценивать гипотезы.

Другие психологи считают, что переход является гораздо более постепенным, с несколькими возвратами от формально-операционального мышления к более ранним способам познания и обратно. Сторонники такого подхода обращают главное внимание на совершенствование у подростков тех умений, которые принято называть метапознанием. Метапознание включает в себя несколько умений, таких как способность, размышлять о мыслях, формировать стратегии и планировать. В результате появления этих новых когнитивных умении подростки учатся анализировать и сознательно изменять процессы своего мышления.

В подростковом возрасте степень развития мышления младшего школьника позволяет приступить к систематическому изучению основ наук. Содержание и логика изучаемых предметов, характер усвоения знаний в V - VI классах требует опоры на способность самостоятельно мыслить, рассуждать, сравнивать, делать выводы и обобщения.

Очень большие возможности для развития мышления подростка представляет математика: переход от арифметики к алгебре означает переход к более высокому уровню обобщения. Изучение алгебры вследствие этого дает новый толчок к развитию мышления.

Следующей важной особенностью мыслительной деятельности подростка является большая роль конкретно-образных компонентов мышления. С развитием абстрактного мышления конкретно-образные (наглядные) компоненты мышления подростка не исчезают, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления (особенно у учащихся V--VI классов).

Для подростка также характерно очень заметное развитие самостоятельности, критичности мышления. Подросток стремиться иметь своё собственное мнение, свои взгляды и суждения по целому ряду вопросов, не полагается во всём на авторитет родителей, учителей или учебника, критически относится к ним, часто «находит ошибки» в суждениях учителя или в материале учебника. Однако необходимо иметь в виду, что стремление к самостоятельности мышления в сочетании с незначительностью жизненного опыта, ограниченностью круга знаний подростка иногда приводит к схематизму и формализму в его мышлении, неумению учитывать изменившиеся обстоятельства, к тенденции неправомерно применять усвоенные правила и принципы к новым условиям.

Важным моментом стимуляции мышления детей в подростковом возрасте является создание и укрепление мотивации. При этом содержание мотива может быть весьма разнообразным, начиная от жизненной необходимости и кончая желанием получить интеллектуальное удовольствие. Причём практика показала, что если задача определена собственными интересами, она значительно сильней побуждает к преодолению трудностей решения, чем навязанная извне. Важную роль здесь играет повышенная потребность подростков в самостоятельности и принятии решений. Устойчивая мотивация даёт неоценимые преимущества, так как позволяет ребенку, столкнувшегося при решении задачи с трудностями, время от времени переключать свою деятельность на другие задачи, не упуская из виду и первую. Такое переключение выступает как профилактическая мера, предохраняющая подростка от переутомления. Поддержанию оптимальной мотивации способствует постепенное наращивание уровня сложности заданий
для каждого ребёнка. Двигаясь от успеха к успеху, он укрепляет уверенность в себе и способность преодолевать все большие препятствия.

Глава II. ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ ПРОЦЕНТЫ В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ

§1 Трактовка понятия «процент»

В различных словарях приводится различные трактовки понятия «процент». Приведем в качестве примера некоторые из них.

В словаре Ожегова:

Проце'нт, -а, м. 1. Сотая часть числа, принимаемого за целое (обозначается знаком %). 2. Количество, измеряемое в сотых долях чего-н. принятого за единицу. 100 процентов прибыли. 3. мн. Плата за пользование взятыми в ссуду деньгами, уплачиваемая кредитными учреждениями или заемщиком кредитору. Сбербанком выплачиваются проценты. 4. мн. Вознаграждение, начисляемое кому-н. в зависимости от оборота, дохода предприятия. Работа на процентах (разг.). На все сто процентов (разг.) - полностью, совершенно. Удовлетворен на все сто процентов.

В словаре Даля:

ПРОЦЕНТ м. или проценты мн. счет или цифра, означающая доход или плату с сотни; рез, резы, настав (стар.), соста, рост, росты, верхи, вершки, свершки, лихва. Казенные проценты, росты, кои платит казна, по смим долгам или займам; законные проценты, кои дозволено брать по закону. Пять, шесть процентов, пять или шесть копеек с рубля или рублей с сотни; неправильно говор. пятый, десятый процент, что значило бы: один от пяти, от десяти. Книготорговцы берут за продажу до 25%, (знак % - проценты). Лихвенные проценты или лихва, высокие, большие, выше дозволенных, законных. Процентный и процентовый, к процентам относящ. Процентный сбор, установленный для чего-либо, по расчету со ста. Процентщик, -щица, ростовщик, резовщик, лихвенник, лихарь.

Wikipedia:

Процемнт -- одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо так же утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг. Поскольку по отношению к половине тонны, тонна соответствует 2*100 %.

Таким образом, в различных словарях представлены различные формулировки понятия «Процент». На наш взгляд, наиболее удачным для рассмотрения в школьном курсе математики является определение, предложенное в [51]. В тоже время, как и в словаре Ожегова, определение трактуется только в контексте доли числа или величины, тем самым разрывается связь процентов и действительных чисел. В словаре Даля трактовка не отражает современного взгляда на понятие «Процент».

§2 Требования к математической подготовке учащихся. Содержание обучения

Проценты изучаются в рамках содержательно-методической линии «Числа и вычисления».

Согласно Федеральному компоненту государственного стандарта общего образования обязательный минимум содержания основных образовательных программ по данной теме включает:

Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Выражение отношения в процентах.

Пропорция.

Прикидка и оценка результатов вычислений.

Этапы развития представления о числе.

Сложные проценты.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Статистические данные. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Содержание обучения в основной школе по данной теме определено в Программах для общеобразовательных школ:

- при изучении содержательно-методической линии «Числа и вычисления» учащиеся должны ознакомиться с понятием «процент» и основными видами задач на проценты.

Требования к математической подготовке учащихся определяют итоговый уровень умений и навыков, которыми учащиеся должны владеть по окончании основной и старшей школы. В результате изучения содержательно-методической линии «Числа и вычисления» по окончании основной школы учащиеся должны:

- переходить от одной формы записи чисел к другой: представлять десятичную дробь в виде процентов, обыкновенную дробь в виде процентов, проценты - в виде десятичной и обыкновенной дробей;

- округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений;

- решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и пропорциональностью величин, дробями и процентами;

- решать текстовые задачи алгебраическим методом;

- извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- устной прикидки и оценки результата действий;

- моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

- анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, таблиц, графиков;

- решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентами.

§3 Тематическое планирование учебного материала

Представленные ниже планирования соответствуют планированиям, составленным Г.М. Кузнецовой и Н.Г. Миндюк, и одобрены Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в школе [35].

«Математика, 5», «Математика,6», авт. Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд

5 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Инструменты для вычислений и измерений (15 ч).

Проценты. Основные задачи на проценты. Примеры таблиц и диаграмм.

Основная цель - сформировать умения решать простейшие задачи на проценты. У учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент». На этой основе они должны научиться решать три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого. Круговые диаграммы дают представление учащимся о наглядном изображении распределения отдельных составных частей какой-нибудь величины. В упражнениях следует широко использовать статистический материал, публикуемый в газетах и журналах.

6 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Отношения и пропорции (17 ч).

Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Понятие о прямой и обратной пропорциональностях величин. Задачи на пропорции.

Основная цель - сформировать понятия пропорции, прямой и обратной пропорциональностей величин. Достаточное внимание должно быть уделено решению с помощью пропорции задач на проценты.

«Математика, 5», «Математика,6», под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф. Шарыгина

6 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Дроби и проценты (22 ч).

Арифметические действия над дробями. Основные задачи на дроби. Проценты. Нахождение процента величины. Чтение и составление таблиц. Столбчатые и круговые диаграммы.