Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Основная цель - закрепить и развить навыки действий с обыкновенными дробями, познакомить учащихся с понятием процента, сформировать понимание часто встречающихся оборотов речи со словом «процент».

Первые уроки отводятся повторению, систематизации, развитию сведений об обыкновенных дробях. Продолжается решение трех основных задач на дроби. При решении учащиеся могут пользоваться двумя приемами - содержательным, на основе смысла дроби, или формальным, на основе соответствующего правила. На этом этапе следует поощрять использование второго способа. В обязательные результаты включается лишь задача на нахождение дроби от числа. Именно это умение прежде всего необходимо для изучения процентов на последующих уроках.

Следующий блок в данной теме - проценты. Их изучение будет продолжено в теме «Десятичные дроби», а также в 7 классе.

Методика изложения данного вопроса в учебнике, система упражнений нацелены на формирование ряда важных с практической точки зрения умений, связанных с понятием процента. Формируется понимание процента как специального способа выражения доли величины, умение соотносить процент с соответствующей дробью, умение выполнять прикидку и оценку. Из расчетных задач здесь рассматривается одна - нахождение процента некоторой величины. Последний блок в данной теме - таблицы и диаграммы. Продвижение по сравнению с 5 классом заключается в том, что здесь рассматриваются более сложные виды таблиц и столбчатых диаграмм и более разнообразные жизненные ситуации, в которых они используются. Новым элементом является также работа с круговыми диаграммами.

Десятичные дроби и проценты (12 ч).

Округление десятичных дробей. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Проценты. Основные задачи на проценты.

Основная цель - расширить представления учащихся о возможности записи чисел в различных эквивалентных формах, продолжить изучение процентов, развить навыки прикидки и оценки. Формируемые в данной теме навыки округления десятичных дробей находят непосредственное применение при рассмотрении вопроса об обращении обыкновенной дроби в десятичную и затем при решении задач на проценты, предусматривающих прикидку и оценку. Работа ориентирована на то, чтобы учащиеся научились понимать, когда целесообразно проводить округление десятичных дробей, и выполняли округление при ответе на содержательные вопросы. При изучении процентов учащиеся должны научиться выражать процент десятичной дробью и, наоборот, решать задачи на вычисление процента некоторой величины, а также на определение того, сколько процентов одна величина составляет от другой.

«Математика, 5», «Математика,6», авт. Э.Р.Нурк, А.Э.Тельгмаа

5 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Умножение и деление десятичных дробей (53 ч).

Проценты. Нахождение процентов заданного числа.

Основная цель - познакомить учащихся с понятием процента.

В этой теме начинается изучение процентов. Решаются задачи на нахождение процентов от числа (другие виды задач на проценты рассматриваются в 6 классе).

6 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Преобразование дробей. Умножение обыкновенных дробей (12 ч)

Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Умножение обыкновенных дробей. Нахождение дроби от числа. Нахождение процентов от числа.

Основная цель - выработать прочные навыки умножения обыкновенных дробей, расширить представления учащихся о взаимосвязи обыкновенных и десятичных дробей. Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа и проценты от данного числа.

Деление обыкновенных дробей. Пропорция (49 ч).

Деление обыкновенных дробей. Нахождение числа по его дроби. Нахождение числа по его процентам. Нахождение процентного отношения двух чисел. Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой и обратной пропорциональностях величин. Решение задач. Задачи на пропорции.

Основная цель - выработать прочные навыки арифметических действий с обыкновенными дробями и умение решать основные задачи на проценты.

Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти число по данному значению его дроби или его процентам, а также процентное отношение двух чисел.

«Математика, 5», «Математика,6», авт. Л.Н.Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков

5 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Десятичные дроби в практических вычислениях(15 ч).

Приближенное значение числа. Округление десятичных дробей. Проценты. Основные задачи на проценты.

Основная цель - выработать умение округлять десятичные дроби и натуральные числа до требуемого разряда, ввести понятие процента и сформировать умение решать простейшие задачи на проценты. Введению понятия «процент» предшествует формирование и отработка навыков решения задач на нахождение части от числа, закрепляет навык нахождения, какую часть одно число составляет от другого. Представления об этих задачах используются при введении понятия процента, а навыки их решения - при формировании умений решать три основные задачи на проценты: нахождение заданного числа процентов от числа; нахождение числа по заданному значению его процентов; нахождение, сколько процентов составляет одно число от другого.

6 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Пропорции (20 ч).

Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции. Типичные задачи на пропорции. Столбчатые диаграммы. Прямо пропорциональная зависимость. Обратно пропорциональная зависимость. Масштаб.

Основная связь - познакомить учащихся с понятием и свойствами, а также с применением пропорций.

В этой теме важно продемонстрировать учащимся широту спектра областей, в которых могут возникать пропорции.

«Математика, 5», «Математика,6», авт. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

6 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч)

Отношения, пропорции, проценты (30 ч).

Отношения, масштаб, пропорции, проценты. Круговые диаграммы. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Вероятность события. Решение текстовых задач.

Основная цель - сформировать у учащихся понятия пропорции и процента, научить их решать задачи на делении числа в данном отношении, на прямую и обратную пропорциональность, на проценты. В начале учебного года восстанавливаются навыки вычислений с натуральными числами и обыкновенными дробями. Повторение проводится на фоне включения в учебный процесс важных прикладных задач, связанных с пропорциями и процентами.

Задачи на проценты рассматриваются и решаются как задачи на дроби. Их решение с помощью пропорций показывается, но этот способ решения не является основным. После изучения десятичных дробей появится еще один способ решения задач на проценты, связанный с умножением и делением на десятичную дробь.

В ознакомительном порядке изучаются два вопроса, не входящие в обязательную программу, но имеющие перспективу: «Задачи на перебор всех возможных вариантов» и «Вероятность события».

Десятичные дроби (31 ч).

Положительные десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Десятичные дроби и проценты. Десятичные дроби любого знака. Приближения десятичных дробей, суммы, разности, произведения и честного двух чисел. Вычисления и процентные расчеты с помощью калькулятора.

Основная цель - научить действиям с десятичными дробями и приближенным вычислениям.

Здесь же показываются новые приемы решения основных задач на проценты, сводящиеся к умножению и делению на десятичную дробь, а также способы решения сложных задач на проценты.

«Математика, 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных», «Математика, 8: Алгебра. Функции. Анализ данных», «Математика, 9: Алгебра. Функции. Анализ данных», авт. Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др.

7 класс (1 четверть - 5 ч в неделю, 2,3,4 четверти - 3 ч в неделю, всего 120 ч)

Дроби и проценты (12 ч).

Обыкновенные и десятичные дроби, представление обыкновенных дробей десятичными. Решение задач на проценты Степень с натуральным показателем. Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, размах.

Основная цель - систематизировать и обобщить сведения об обыкновенных и десятичных дробях, научить учащихся пользоваться эквивалентными представлениями чисел в ходе решения задач, обеспечить на этой основе дальнейшее развитие вычислительных навыков и умений решать задачи на проценты, сформировать первоначальные умения статистического анализа массивов числовых данных.

Продолжается решение двух основных задач на проценты - нахождение процента от величины и величины по ее проценту. Здесь, однако, рассматриваются более сложные по сравнению с предыдущим годом задачи.

Отношения и пропорции (13 ч).

Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорций. Прямая и обратная пропорциональность величин.

Основная цель - ввести понятия отношения и пропорции, сформировать представление о прямой и обратной пропорциональностях величин.

Понятие отношения вводится при решении разнообразных практических задач, при этом уделяется внимание выражению в процентах отношения одноименных величин. Важно показать учащимся широту практических и математических ситуаций, в которых применяются понятия отношения и пропорции. Учащиеся должны уметь находить отношение двух величин, решать задачи на нахождение процентного отношения двух чисел, на деление величины в данном отношении, на пропорциональное увеличение (уменьшение) величин (на масштаб).

7 класс (4 ч в неделю, всего 136 ч)

Дополнительные часы могут быть использованы для изучения теории в соответствии со структурой учебников и расширения круга рассматриваемых упражнений.

Дроби и проценты (14 ч).

Отношения и пропорции (14 ч).

Методический комментарий в основном тот же, что и при первом варианте планирования.

§4 Сравнительный анализ изложения темы «Проценты» в различных учебниках математики 5-6 классов

Рассмотрим подробно изучение данной темы в некоторых современных учебниках, рекомендованных Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе.

Подходы к рассмотрению решений типовых задач «на проценты», предлагаемых в современных учебниках.

Первый подход. Первое знакомство с задачами «на проценты» ведется без опоры на дроби. Способы решения типовых задач опираются на содержательный смысл понятия «процент».

Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия: находится, чему равен 1% от числа (величины), а затем умножается это число (величина) на заданное число процентов. Нахождение числа, если известны несколько его процентов, также осуществляется в два действия: находится, чему равен 1% искомого числа (величины), а затем результат умножается на 100%. Если требуется найти, сколько процентов составляет число (величина) а от числа (величины) b, если нам известны два числа(обе величины), мы находим чему равен 1% числа (величины) a, затем делим b на 1% числа (величины) a.

Изучение задач на дроби осуществляется позже задач на проценты. Таким образом, по логике восприятия информации используется индуктивный метод, т.е. обучение идет от частного к общему. При таком построении материала учащиеся усваивают содержательный смысл понятия и отрабатывают данный способ решения задач «на проценты».

После ознакомления с типовыми задачами на дроби (обыкновенные или десятичные), школьники овладевают другим способом решения задач на проценты - как частного случая задач «на части», перенося все приемы решения задач на дроби на задачи, связанные с процентами, тем самым реализуется метод аналогии. Этот факт значительно упрощает поиск решения «новых» задач.

Важно отметить, что методически целесообразно сначала рассматривать нахождение 1% от данного числа, затем - нахождение произвольного числа процентов; также в первую очередь обсуждать, как найти число, 1% которого известен, далее эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов. Именно при таком подходе формируется понимание понятия «процент».

Действия с обыкновенными и десятичными дробями, проценты рассматриваются в 5-6 классах, поэтому к концу 6 класса школьники овладевают двумя способами решения задач на проценты.

Данный подход реализован в учебниках [8], [38] и [39], [32], [27] и[28], [41] и [42]. Но, к сожалению, в учебниках [41] и [42], [8] уделено слишком мало внимания закреплению навыков решения задач «на проценты» данным способом.

После изучения свойств пропорциональной зависимости в учебниках [8], [38] и [39], учащиеся овладевают 3 способом решения типовых задач.

Второй подход. Задачи на проценты изначально осваиваются как частный случай задач на дроби, то есть при изучении материала используется дедуктивный метод - от общего случая, задач на дроби, к частному.

Для нахождения нескольких процентов числа (величины) необходимо найти, какую долю от числа (величины) составляет данный процент (т.е. перевести проценты в обыкновенную или десятичную дробь путем деления на 100%), а затем умножить исходное число (величину) на эту долю. Для нахождения числа, если известны несколько его процентов, выражаем процент дробью (обыкновенной или десятичной), затем делим заданную часть числа (величины) на эту дробь. Если требуется найти, сколько процентов составляет число (величина) а от числа (величины) b, если нам известны два числа (обе величины), мы находим, какую долю числа (величины) b составляет число (величина) a, а затем получившееся число умножить на 100%.

При таком подходе учащимися не осваивается способы решения типовых задач «на проценты», опирающиеся на содержательный смысл понятия «процент», что влечет за собой трудности в освоении понятия «Процент».

Данный подход реализован в учебнике [18], [19], [20]. Учителю необходимо познакомить школьников с первым способом решения задач на проценты, обучающихся по данному учебнику. После изучения свойств пропорциональной зависимости учащиеся также знакомятся с новым способом решения типовых задач.

В связи с наличием различных подходов к изучению данной темы в учебниках [8], [38] и [39]; [32]; [27] и [28]; [41] и [42]; [18], [19], [20] выявлены последовательности «Тем предшествующих» и «Тем последующих» для определения наилучшей последовательности изучения тем, связанных с процентами, в 5-6 классах. (Табл. 2).

В учебном комплекте И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича проценты вводятся после изучения десятичных дробей, что позволяет показать учащимся сразу два способа решения типовых задач на проценты, но в объяснительном тексте учебника этот факт не отражен. Первой и второй тип задач «на проценты» рассматриваются в одном параграфе. При изучении пропорций авторы предлагают учащимся только 2 задачи на проценты, решаемых с помощью пропорциональной зависимости. После изучения данной темы в 5 классе авторы возвращают учеников к «процентам» только в конце 6 класса, что влечет утерю навыка решения этих задач.

В учебном комплекте С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. авторы предлагают учащимся различные способы решения трех типовых задач на проценты. При первом обращении к данной теме учащимся предлагается решать задачи на проценты, опираясь на содержательный смысл понятия «процент», далее приводится всего 2 задачи, показывающие ученикам связь задач «на проценты» и задач «на обыкновенные дроби», после - решение задач с помощью пропорции. Стоит отметить, что при рассмотрении решений задач «на проценты» три типовые задачи рассматриваются одновременно. Далее авторы показывают практическое применение процентов в последующем параграфе «Диаграммы».

После изучения десятичных дробей задачи 1 и 2 типа предлагается решать, используя умножение или деление на соответствующую десятичную дробь.

В учебнике Н.Я. Виленкина и др. определение «процента» вводится в 5 классе, решаются типовые задачи, опираясь на содержательный смысл понятия «процент». Так же, одной из последующих тем является тема «Диаграммы». В 6 классе каждая из трех типовых задач рассматривается вместе с соответствующей задачей на дроби: «нахождение процентов от числа» одновременно рассматривается с «нахождением дроби от числа», «нахождение числа, если известно его p%» - с «нахождением числа по его дроби», и выражение в процентах отношения двух чисел или величин. Таким образом, типовые задачи сводятся к задачам «на части» и рассматриваются на разных уроках.

В учебнике Э.Р. Нурк, А. Э.Тельгмаа последовательность изучения материала, связанного с процентами, практически совпадает с последовательностью, представленной в учебнике Н.Я. Виленкина и др.

В учебнике под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина авторы дважды обращаются к данной теме - в начале года и в конце. При первом подходе учащиеся решают задачи «на проценты» 1 типа, опираясь на содержательный смысл понятия «процент». При втором подходе, после изучения десятичных дробей, авторы сводят решение типовых задач к пониманию процентной записи десятичного числа и к решению задач «на части».

В 6 классе учебника по ред. Г.ВДорофеев, Л.Г.Петерсон изучается материал, связанный с процентами: вводится понятие о проценте, рассматриваются три типовых задачи на проценты, причем изложение данного материала предполагается на одном уроке, а также задачи на простой и сложный процентный рост. Решение задач на проценты также сводится к задачам «на части».

С понятием «Доля» школьники знакомы еще с начальной школы. А, значит, не важно, какая тема должна предшествовать первому знакомству с процентами. Но рассматривать решение задач «на проценты» вторым способом, т.е. опираясь на соответствующие задачи на дроби, целесообразнее после таких тем, как «Действия с обыкновенными дробями» или «Действия с десятичными дробями». Изучение частного случая с опорой на общий в большей степени способствует развитию учащихся.

Важно также отметить, что рассмотрение трех типовых задач на проценты целесообразнее проводить на одном уроке, а не на разных.

После введения понятия «процент» необходимо показать учащимся сферу его практического применения. Наиболее удачной последующей темой являются диаграммы, используемые для наглядного представления соотношения между частями целого.

Важно отметить, что решение трех типовых задач «на проценты» необходимо рассматривать на одном уроке, повторив предварительно соответствующие задачи на дроби, что позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения задач на дроби и на проценты.

Ниже представлен более подробный сравнительный анализ учебников 5-6 классов по теме «Проценты». (Табл. 3).

Знакомство с процентами практически во всех учебниках начинается традиционным образом, а именно рассказом учителя. Авторы, показывая удобство обозначения словом часто используемых дробей (например: «треть», «четверть»), подводит учеников к введению понятия «процент» как одной сотой части числа или величины. При обучении школьников по учебному комплекту Г.В. Дорофеева и Л.Г.Петерсон подразумевается, что учащиеся знакомятся с данным понятием еще в начальной школе.

Во всех учебниках, кроме учебника под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, учащихся знакомят сначала с понятием «процента» как одной сотой, а только потом вводится понятие «процента от числа или величины». Но, к сожалению, авторы не обращают внимания школьников на те факты, что проценты служат для расширения представлений о действительном числе и являются одной из форм его записи. В учебнике под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина определение «Процент - одна сотая» вообще не рассматривается, поэтому теряется связь процентов и действительных чисел.

Удачная таблица, на наш взгляд, приведена в учебнике Э.Р. Нурка, А.Э.Тельгмаа, наглядно показывающая связь различных форм записи действительных чисел: десятичные, обыкновенные дроби, проценты.

Исходя из таблицы 3, можно сделать вывод, что не все авторы в объяснительных текстах учебников различают понятия «процент от числа» и «процент от величины».

Перед изучением темы «Проценты» ученики знакомятся с обыкновенными (а в некоторых учебниках уже и с десятичными) дробями, и операциями над ними, что служит необходимой базой для изучения процентов (как отмечалось выше). Поэтому в ходе объяснений учителя и для решения задач учениками можно использовать различные способы записи дробей.

На начальном этапе изучения темы «проценты» можно выделить четыре пункта: сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины; создать представление у учащихся о целом как о 100% величины; научить находить процент от числа или величины и несколько процентов от числа или величины; расширить представления учащихся о практических ситуациях, связанных с использованием понятия «процент». Учителю необходимо иметь в виду, что материал данного пункта лишь первый этап в изучении этой темы и здесь следует сосредоточить усилия учащихся на каждом из этих подпунктов.

В учебниках Н.Я.Виленкина и др., Г.В. Дорофеева и Л.Г.Петерсон после основного понятия идет историческая справка о происхождении «процентов».

Наибольшее количество разнообразных заданий представлено в учебном комплекте по ред. Г.В. Дорофеева И.Ф. Шарыгина. Ученикам предлагаются задания: на проверку истинности или ложности высказываний (тем самым реализуется теоретический метод изучения - анализ), «заштриховать на рисунке указную часть круга» и «определить, какая часть прямоугольника заштрихована, выразить эту часть в процентах» (предметно-образная наглядность), «выбрать для каждого процента в левом столбце соответствующею ему дробь в правом столбце» (теоретический метод изучения - синтез), «найти группы утверждений, означающих одно и тоже» (синтез), сравнение величин, представленных различными способами (60% всего класса или половина зарплата, анализ и аналогии). Через систему упражнений, как учебника, так и рабочей тетради школьники учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем при изучении как темы проценты, так и математики в целом. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25 % величины - это этой величины; половина некоторой величины - это ее 50 %; 30 % величины втрое больше, чем ее 10 % и т.п.

Школьники учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами: величины больше, чем 25 % этой же величины; некоторой величины больше 50 % этой величины; 23 % величины меньше четверти этой величины; вся величина - это 100 %.

В учебниках Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгин и др.; Г.В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон; Н.Я.Виленкин детям предлагается заполнить таблицу:

Табл.4

Обыкновенные дроби
Десятичные дроби		0,25					0,05
Проценты				20%		100%		1%

Данная таблица является одним из средств наглядности и представлена для отработки правил перевода процента в десятичную и обыкновенную дроби, и обратных действий.

Определенное внимание в учебнике под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина уделяется работе с «большими» процентами. Здесь оно выражается, прежде всего, в формировании умения найти 125%, 200%, 250% величины. Кроме того; начинает формироваться понимание того, что, например, увеличение на 100% это то же самое, что увеличение в два раза. Учащиеся также знакомятся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации, например: «Из каждых 100 новорожденных 51 - мальчики». При изучении процентов учащимся также предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равны 19 % от какой - либо величины, то находят 20 % этой величины, т.е. ее пятую часть.

В учебнике Н.Я. Виленкина уделяется внимание обучению правильному прочтению записей с процентами.

При обучении решению типовых задач в учебниках Н.Я. Виленкина и др.; И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича четкой классификации задач на «проценты» учащимся не приводится. Авторы приучают учащихся к выделению числа, принимаемого за 100% (Н.Я.Виленкин) и 1% (И.И.Зубарева) и требуют проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не предполагают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.

В то же время, в учебниках Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, Г.В. Дорофеева и Л.Г.Петерсон для каждого вида задач соответствующие рассуждения обобщаются в правила. Но они ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто.

В учебниках Г.В. Дорофеева, Л.Г.Петерсон, правила сформулированы на языке «а», «b» и «р»: в простейших задачах на проценты некоторая величина «а» принимается за 100%, а ее часть «b» выражается числом процентов «р».

Формулировки могут показаться школьникам сложными, т.к. им предстоит разобраться, какие величины обозначаются буквами: а, b,.

В учебниках Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон; Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, С.М. Никольского и др. представлены несколько способов решения задач 1 и 2 типа на проценты. Первый способ опирается на содержательный смысл понятия «процент». Второй - сводит решение задачи к пониманию процентной записи десятичного числа и к решению задач «на части». При обучении школьников по другим учебным комплектам, второй способ решения задач 1 и 2 типа учитель должен показать сам. Проценты представляют собой лишь особую форму записи дробей, и, поэтому, необходимость рассмотрения двух способов решения вытекает из того, что любая задача с дробными данными может быть поставлена и решена в процентной записи и обратно.

Также при изучении темы «Проценты» в 6 классах в учебниках Г.В.Дорофеева и Л.Г. Петерсон; И.И.Зубаревой и И.Г. Мордковича рассматриваются решения задач алгебраическим способом (составление линейных уравнений).

В учебнике И.И. Зубаревой и А.Г.Мордковича формулировки некоторых задач предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько последовательных вопросов (т.о. решается не одна, а несколько задач). Например.

№290. [27] Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Какая величина приходится на 1%? Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы: Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Сколько всего километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе? Чему равен 1% этой величины? Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

Авторы предлагают учащимся и в дальнейшем, преступая к решению задач, прежде всего, определить, в каких задачах величина, принятая за 100%, известна, а в каких - нет; в какой задаче надо найти p% от числа, а в какой - число, если известны его p%. Тем самым определяется последовательность решения подобных задач, школьники осваивают умение читать задачу, осваивать информацию и делать из нее различные выводы.

Задачи на сравнение содержат два вопроса: «На сколько процентов величина А больше величины В или на сколько процентов величина В меньше величины А». Основная трудность, которая возникает при их решении - установить, какая величина принята за 100%. При решении задач И.И. Зубарева и А.Г. Мордкович дают соответствующее пояснение: величина, с которой сравнивают, принимается за 100%. В первом вопросе за 100% принята величина В, а во втором - А.

Таким образом, авторы учат школьников решению задач на проценты посредством составления и нахождения ответов на последовательные вопросы, которые, в свою очередь, помогут учащимся определить, освоить и далее применять схему рассуждений. Аналогичные серии вопросов к задачам встречаются и в учебнике Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина.

В комплектах С.М.Никольского и др., Н.Я. Виленкина и др. уделяется внимание и работе с калькулятором при решении задач на проценты.

Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты», представленные в учебниках Г.В.Дорофеева и И.Ф. Шарыгина - хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные арифметические и алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того, чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задачи с процентами, в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. Задачи на смеси и сплавы (этот параграф отмечен, как параграф повышенной трудности) также рассматриваются и в учебнике С.М.Никольского и др. Задачи такого типа важны не только для математики, но и, в первую очередь, для химии. Именно поэтому им следует уделить должное внимание.

За исключением учебников Г.В.Дорофеева, авторы не предоставляют достаточного числа разнообразных задач на «проценты». Это очень неудачно, так как тема объективно трудная, и требует постоянного возвращения к ней.

§5 Анализ изложения различных тем, связанных с процентами в учебниках алгебры 7-9 классов

Рассмотрим изложение тем, связанных с процентами, в учебном комплекте под редакцией Г.В. Дорофеева [35],[36],[37].

В учебнике [37] учащиеся неоднократно обращаются к задачам на проценты. В начале года в первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты». Здесь школьники сталкиваются с более трудными как в логическом, так и в техническом отношении задачами.

№ 102. [37] Автомобиль прошел 40% всего пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?

Уделяется внимание вопросу о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как материалу, наиболее трудному для усвоения.

№ 99. [37] В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор - по 4%, магний - 1,6%, железо - 0,07%, цинк - 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 25 г?

Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматриваются восемь, если можно так сказать, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, так как являются трудными, но будет жаль, если учащиеся уйдут из школы, не увидев эти красивые и изящные задачи. Приведем пример одной из задач.

Задача. Книга дороже альбома на 25 %. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Образец решения данной задачи приведен в объяснительном тексте учебника. Таким образом, авторы показывают учащимся наглядный способ решения такого типа задач с помощью рисунков. Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.

Решение:

Цена альбома - 100%. Изобразим ее каким-либо отрезком

Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.



Рис. 2

Ответ: на 20 %

Рассматривая задачи раздела «Для тех, кому интересно», учитель, тем самым, реализует дифференцированный подход в обучении.

В главе «Отношения и пропорции» при изучении темы «Отношения» авторы предлагают учащимся задачи на выражение отношения двух величин в процентах и задач «на сколько процентов увеличилось/уменьшилось» некоторая величина.

№ 149. [37] Из двенадцатилитровой канистры, наполненной бензином, отлили 6 л. Какую часть канистры составляет оставшийся в ней бензин? Выразите эту часть в процентах.

№ 160. [37] Магазин приобрел на оптовом складе товар по цене 8000 р., а при продаже увеличил его цену на 960 р. На сколько процентов повысилась цена товара?

Рассматриваются так же задачи на деление в данном отношении (например, № 191), прямую и обратную пропорциональные зависимости (например, № 252), решение задач с помощью пропорций (например, № 269):

№ 191. [37] В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл?

№ 252. [37] За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше?

№ 269. [37] Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость?

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают стратегию решения расчетных задач на проценты - с помощью составления уравнения.

№ 516. [37] Одно число составляет 45% другого. Найдите эти числа, если одно из них на 66 больше другого.

Задач на проценты в рассмотренном учебнике - около 80, что составляет 7,6% всех задач учебника.

В учебнике [36] авторы знакомят учащихся с задачами на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты», что является хорошим примером практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задачи с процентами, в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании могут, вернутся вновь, и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи. Приведем примеры из учебника 8 класса по теме «Алгебраические дроби»:

№ 187. [36] Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу.

Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение:

Пусть х руб. - сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы он добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. - доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы. Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800) = 220.

№ 203. [36] Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение до конца.

Сколько граммов 75%-го раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-го раствора этой же кислоты, чтобы получить 50%-й раствор?

х г - количество 75%-го раствора кислоты, которое надо добавить;

(30+х) г - масса получившегося 50%-го раствора кислоты;

0,75х г - количество кислоты в х г 75%-го раствора;

0,15·30 г - количество кислоты в 30 г 15%-го раствора;

0,5(30+х) г - количество кислоты в 50%-м растворе.

Имеем уравнение:

Кол-во кислоты Кол-во кислоты Кол-во кислоты

в 75%-м растворе в 15%-м растворе в 50%-м растворе

0,75 х + 0,15·30 = 0,5(30+х)

При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.

№ 656. [36] В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

Решите задачу, используя следующий план:

Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.

Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

Определите количество соли в получившемся растворе.

Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.

Составьте систему и решите ее.

№ 657. [36] Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-ный раствор некоторого химического вещества и 10%-ный раствор этого же вещества и получил 75 мл 8%-ого раствора. Сколько миллилитров 4%-го раствора и сколько 10%-го раствора взято?

Решение:

Обозначив через x и y количества 4%-го и 10%-го растворов, запишем первое уравнение системы: x + y = 75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%-ом, 10%-ном и в получившемся растворах: 0,04x + 0,1y =0,08(x + y).

Решая систему уравнений

x + y = 75

0,04x + 0,1y =0,08(x + y) получаем х=25, y= 50.

Ответ: 25мл, 50мл.

В данном учебнике школьникам предлагается всего 24 задачи на проценты, что составляет приблизительно 3% всех задач учебника.

В учебнике 9 класса [35] в начале года рассматривается параграф «Что означают слова «с точностью до…», в котором авторы рассказывают о приближенных процентных вычислениях и форм их записи.

Например, в информационной программе по телевизору вы могли услышать, что 28% избирателей собираются на выборах отдать свои голоса за кандидата А. При этом комментатор добавляет, что погрешность этого результата не превосходит 3%. Это означает, что в действительности процент избирателей, собирающихся голосовать за А, может отличаться от 28% в ту или иную сторону не более, чем на 3%, т.е. он содержится в промежутке от 25% до 31%. Результаты опроса можно записать по-разному. Если обозначить неизвестный нам точно процент избирателей, предпочитающих кандидата А, через х, то

х = 28% 3% или 25% х 31%.

Завершается линия процентных вычислений в 9 классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

При изучении темы широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи. Покажем, например, как учащиеся должны рассуждать при решении следующей задачи.

№ 644. [35] В банк внесен вклад в размере 500 руб. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает 8% годовых. (Воспользуйтесь калькулятором.)

Решение:

Через год сумма вклада увеличится на 8% и составит 108% от первоначальной. Поэтому, чтобы найти новую сумму, нужно 500 руб. умножить на 1,08. Через два года новая сумма увеличится в 1,08 раза и т.д. Последовательным умножением 500 на 1,08 найдем с помощью калькулятора, что через 9 лет величина вклада удвоится.

Ответ: через 9 лет.

№ 659. [35] Ирина внесла в январе 100 руб. на счет, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила на этот счет еще по 100 руб., не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей будет на ее счете в конце декабря?

Решение:

Выразим процент десятичной дробью: 2%=0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза, и идет последовательное накопление вклада:

Январь - 100(руб.);

Февраль - 100·1,02 +100(руб.);

Март - 100·1,022 +100·1,02 +100(руб.);

Декабрь - 100·1,0211 +100·1,0210 +…+100= 100· (1,0212 +…+1)=

100·(1,0212 -1):0,02 1341 (руб.)

Ответ: 1341 (руб.).

В ходе решения подобных задач учащиеся видят, что формула суммы геометрической прогрессии - это не просто абстрактная, отвлеченная формула, а конкретное математическое знание, необходимое в жизни.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

№ 420 [35]. Заказ на пошив сумок был распределен между мастером и его учеником. Мастер выполнил 75% заказа, сшив 90 сумок. Количество сумок, которое сшил в день ученик, составило 30% количества сумок, изготовляемых в день мастером, и он работал на один день дольше мастера. Сколько сумок в день сшил мастер и сколько ученик?

Отметим, что в данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами (анализ, обобщение, синтез, классификация). Естественно, что проценты в 6-7 классах используются для представления информации в виде таблиц и диаграмм, в 7-9 классах - при изучении вероятностно-статистического материала.

В данном учебнике школьникам предлагается около 30 задач на проценты, что составляет приблизительно 4,2% всех задач учебника.

Таким образом, в данных учебных комплектах тему «Проценты» изучают в несколько подходов с 5 по 9 класс включительно. При каждом подходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решения. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознано.

В учебнике для 7 классов авторов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В.Шевкина [2] задачи на проценты встречаются в заданиях на повторение и в параграфе «Системы линейных уравнений».

В первом случае учащимся предлагаются как типовые задачи (например, № 925), так и задачи повышенного уровня сложности, отмеченные знаком «*» (например, № 940).

№ 925. [2] Сколько процентов числа а составляет число b, если:

а) а = 40, b = 50; б) а = 50, b = 40.

№ 940. [2] В некотором царстве, в некотором государстве правительство приняло постановление о запрете рекламы спиртных напитков. Это постановление поддержало 69% всего взрослого населения, причем среди женщин 94%, а среди мужчин - 41%. Определите, кого в этом царстве-государстве больше: мужчин или женщин?

Способы решения типовых задач не оговариваются, а образцы решения задач повышенного уровня сложности в учебнике не представлены, что является мотивом для самостоятельного исследования предложенных задач и поиска способа их оформления.

В главе «Линейные уравнения» при изучении темы «Линейные уравнения с одним неизвестным» не рассматривается ни одной задачи, каким-либо образом связанной с процентами. В параграфе «Системы линейных уравнений» представлены только 2 задачи.

№ 1103. [2] 5% одного числа и 4% другого вместе составляют 46. 4% первого числа и 5% второго вместе составляют 44. Найдите эти числа.

№ 1104. [2] 20% одного числа и 50% другого вместе составляют 27, а 50% первого числа и 50% второго составляют 42,3. Найдите эти числа.

В рассматриваемом учебнике 39 задач на проценты, что составляют 3,1% всех задач.

Рассмотрим учебник для 7 классов авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В.Сидорова и др. [3].

В главе «Алгебраические выражения» в параграфе «Числовые выражения» учащимся предлагается следующая задача на процентные вычисления:

№ 8. [3] Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:

- 20% от числа 240 равны 62;

- число 18 составляет 3% от числа 600;

- произведение чисел 15 и 5 составляет 11% от числа 700;

- четвертая часть числа 18 равна 5% от числа 90;

- число 111:3 равно 10% от числа 370;

- 650% от числа 12 равно 77.

Выполняя данное упражнение, учащиеся вспоминают правило перевода процентов в десятичные дроби, решение 1 типа задач на проценты, а так же не теряется связь процентов и действительных чисел. К сожалению, эта задача помещена в дополнительные более сложные задания.

В главе «Уравнения с одним неизвестным» предлагается еще один способ решения задач на проценты - с помощью составления уравнения. Но ни одного образца решения авторы не приводят.

№ 81. [3] Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение х, при котором равенство верно:

- число х составляет 18% числа 75;

- число 15 составляет 25% числа х.

Далее авторы приводят решение задачи на «концентрацию», но в последующих задачах только 1 задача для самостоятельного решения с похожим условием.

Задача. В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15%-ный раствор?

10%-ный раствор сахара получится, если добавить 200 г сахара в а г воды. Найдем а:

200 : (а+200) · 100% = 10%; откуда находим а = 1800 г.

В параграфе «Решение задач с помощью систем уравнений» всего 5 задач на проценты, которые предлагается решить соответствующим способом, 2 из которых, как отметили авторы, относятся к трудным. Например.

№ 685. [3] Антикварный магазин, купив две старинные вазы на общую сумму 360 р., продал их, получив 25% прибыли. За сколько была продана каждая ваза, если наценка на первую вазу была 50%, а на вторую - 12,5%?

Всего в 12 задачах (1,5% от общего числа задач) учащиеся сталкиваются с процентами.

В учебнике для 8 классов авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. [4] задачи на проценты встречаются только в параграфах, связанными с неравенствами и их системами, а так же системами уравнений.

В параграфе «Решение неравенств» учащимся предлагается всего одна задача на проценты, решаемая с помощью составления неравенства.

№ 109. [4] Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7?

В параграфах «Решение систем неравенств» и «Решение задач с помощью квадратных уравнений» представлены, соответственно, 2 и 1 задачи на проценты, отмеченные как трудные задачи.

№ 147. [4] В раствор объемом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?

№ 148. [4] Для получения крахмала берут рис и ячмень, причем ячменя берут в 4 раза больше, чем риса. Сколько килограммов риса и ячменя нужно взять, чтобы получить больше 63 кг, но не больше 126 кг крахмала, если рис содержит 75% крахмала, а ячмень - 60%?

№ 491. [4] Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй - 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на 10% больше, чем во втором.

Не предоставив задачи более легкого уровня сложности по теме, авторы не дают возможность слабым ученикам увидеть новый способ решения интересных задач, в формулировках которых встречаются проценты. Для правильного оформления решаемых задач сильным ученикам необходимы задачи с приведенным решением. Средние по успеваемости ученики, разобравшись в решениях, смогли бы по аналогии решить похожие по содержанию задачи.

Таким образом, в учебнике [4] представлены всего 4 задачи (0,4% всех задач), связанные с процентами.

Рассмотрим учебник для 7 классов Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К..И.Нешкова, С.Б.Суворовой, под ред. С.А.Теляковского. [5]

В начале года при изучении первых параграфов учащимся предлагаются задачи на нахождение 1 и нескольких процентов от числа; задачи, при решении которых требуется найти несколько процентов от величины; на нахождение числа и величины, если известны несколько его (ее) процентов; задач типа «на сколько процентов одна величина больше другой». Например.

18. [5] За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, а другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй?

45. [5] После того как из бидона отлили 30% молока, в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

119. [5] Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?

В дополнительных упражнениях к главе II предлагается задача, решая которую, учащиеся установят зависимость между количеством процентов, на которое перевыполнили план, и числом изготовленных бригадой деталей.

359. [5] Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на х%. Составьте формулу, выражающую зависимость у (число изготовленных бригадой деталей) от х. Найдите по формуле:

а) значение у, если х = 10; 30;

б) значение х, если у = 150; 180.

В середине года рассматривается понятие «относительная погрешность» и способы ее нахождения. Далее представлены задачи для самостоятельного решения. Например.

536. [5] Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

В последней главе «Системы линейных уравнений» представлены 2 задачи, при решении которых необходимо составить систему линейных уравнений с двумя переменными.

1186. [5] Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?

Для решения такого плана задач необходимо хорошо владеть техникой представления процентов в виде десятичных дробей.

В дополнительных упражнениях предлагаются учащимся 3 задачи на составление систем линейных уравнений и 6 задач повышенной трудности (например, № 1245).

1245. [5] В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

В данном учебнике также не приведено ни одного образца решения задач по рассматриваемой теме.

Рассмотрим учебник по алгебре для школ и классов с углубленным изучением математики Ю.Н.Макарычева и др. [6].

Как и в учебнике [5] в начале года при изучении первых параграфов учащимся предлагаются задачи на нахождение 1 и несколько процентов от числа; задачи, при решении которых требуется найти несколько процентов от величины; на нахождение числа и величины, если известны несколько его (ее) процентов; задач типа «на сколько процентов одна величина больше другой».

В конце первой главы «Выражение и множество значений» в теме «Выражения с переменными» встречаем следующие задачи на проценты, в которых требуется по условию задачи составлять выражения с переменными:

59. [6] Площадь картофельного поля составляет а га. В первый день картофель собрали с 15% площади поля. Какую площадь предстоит убрать?

116. [6] Альбом стоил а р., а набор цветных карандашей b р. После повышения цен стоимость альбома возросла на 5%, а цветных карандашей - на 3%. В какую сумму обойдется покупка двух альбомов и одного набора цветных карандашей после повышения цен?

В задачах для самостоятельного решения по теме «Стандартный вид многочлена» представлены задачи, в которых сперва требуется записать буквенное выражение по условию, а далее воспользоваться аппаратом алгебры. Например.

295. [6] Длина прямоугольника равна а м, а ширина b м. На сколько квадратных метров увеличится его площадь, если длину увеличить на 10%, а ширину увеличить на 15%?

В параграфе «Уравнения» в объяснительном тексте пункта «Решение задач с помощью уравнений» дается общий алгоритм:

1) обозначить неизвестное число буквой и составить уравнение, используя условие задачи;

2) решить уравнение;

3) истолковать результат в соответствии со смыслом задачи.

В задачах, предлагаемых для самостоятельного решения, 8 задач на проценты. В том числе, задача на смеси, задача на раствор, банковские расчеты, но не приведено ни одного образца решения.

В последней главе «Системы линейных уравнений» представлены 6 задач, при решении которых необходимо составить систему линейных уравнений с двумя переменными. Например.

1145. [6] В двух табунах было 120 лошадей. Когда число лошадей в первом табуне увеличилось на 40%, а во втором уменьшилось на 10%, в первом табуне стало на 30 лошадей больше, чем во втором. Сколько лошадей было в каждом табуне?