Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

A. в 2 раза; B.в 5 раз; C. В 4 раза ; D.в 20 раз.

2.Запишите в виде десятичной дроби 2 %.

A. 0,22; B.0,022; C. 2,2; D. 2,4.

3.На сколько процентов число 330 больше числа 300?

A. на 10%; B. на 30%; C. На 3%; D. На 11%.

4. К одной части соли добавили 7 частей воды. Какова процентная концентрация соли в растворе?

A. 87,5%; B. 12,5%; C. 12%; D.8,5% .

5.Биржевая цена на бензин за год увеличилась на 60%. Во сколько раз увеличилась цена на бензин?

A. в 6 раз; B. в 0,6 раз; C. в 1,6 раз; D. в 60 раз.

6.Лекарственная трава при сушке теряет 84% веса. Сколько травы нужно собрать, чтобы получилось 8 кг. сушеной?

A. 32кг; B. 16кг; C. 80кг; D. 50кг.

7.Сколько граммов соли надо добавить к 200г. 10%-ого раствора соли, чтобы получить 20%-й раствор?

A. 25г.; B. 200г.; C. 100г.; D. 75г.

8. В банк положено 40тыс. руб. под 20% годовых (сложного процентного роста). Сколько вкладчик получит через 4 года?

A. 82,944тыс.; B. 80тыс.; C. 72тыс.; D. 44тыс.

9. Книжный магазин продал 70 экземпляров 1-ого тома книги и 60 тыс. экземпляров 2-ого тома книги. Общая стоимость книг составила 230 тыс.руб. В действительности за все эти книги уплатили 191 тыс.руб., т.к. была произведена скидка: на 1-й том 15%, на 2-й том - 20%. Найдите первоначальную стоимость 2-ого тома.

A. 1,5тыс.руб.; B. 2тыс.руб.; C. 3,5тыс.руб.; D. 3тыс.руб.

2 вариант

1. Во сколько раз 0,6% от 8 больше, чем 8% от 0,6?

A. в 2 раза; B. В 1,6 раз; C. В 2,4 раза; D.Они равны.

2. Запишите в виде десятичной дроби 6 %.

A. 6,4; B.0,64; C. 0,644; D. 0,064.

3. На сколько процентов число 200 меньше числа 250?

A. на 25%; B. На 20%; C.на 10%; D.на 15.

4. К 6 частям воды прибавили 2 части сахара. Какова процентная концентрация сиропа?

A. 15%; B. 28% ; C. 33% ;D. 30% .

5. Биржевая цена на золото увеличилась на 40%. Во сколько раз увеличилась биржевая цена на золото?

A. в 4 раза; B. В 2 раза; C. В 0,4 раза; D. В 1,4 раза.

6. При добавлении воды к раствору его масса увеличилась на 42% и стала равной 71г. Определите начальную массу раствора.

A. 41кг.; B. 50кг.; C. 31кг.; D. 40 кг.

7. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные - 10% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 1кг. свежих

A.1кг. ; B. 1,5кг.; C.3кг. ; D. кг.

8. В банк положено 50 тыс. руб. под 10% годовых (сложного процентного роста). Сколько вкладчик получит через 4 года?

A. 73,944тыс.; B. 70 тыс.; C. 72тыс. ; D. 73,205.

9. Ювелирный магазин купил колье и кулон за 225 тыс.руб. Продал их и получил 40% прибыли. За какую цену был куплен кулон, если при продаже колье было получено 25% прибыли, а при продаже кулона 50%

A. 120тыс.руб.; B. 125тыс.руб.; C. 130тыс.руб.; D. 140тыс.руб.

Правильные ответы

1 вариант

1	2	3	4	5	6	7	8	9
D	B	A	В	C	D	A	A	A

2 вариант

1	2	3	4	5	6	7	8	9
D	D	B	В	D	B	D	D	D

4.6 Контрольная работа для учащихся 5 классов (6 классов) по теме «Проценты»

При дифференцированном обучении школьников решению задач на проценты необходимо составление контрольных заданий с учетом индивидуальных особенностей учащихся.

Контрольная работа для учеников 5 классов (6 классов), содержащая задачи базового уровня.

Данный работа рассчитана на 25-30 минут, и представляет собой контрольно-измерительный материал по теме «Проценты». Основная цель: проверка уровня знаний и основных умений, связанных с процентами в 5-6 классах. Критерий выставления оценок. Оценка за выполнение заданий выставляется следующим образом: за 4 правильно выполненных заданий ученик получает отметку «3», за 5 заданий - оценку «4», за 6 заданий - «5». Во всех остальных случаях выставляется отметка «2».

Вариант 1.

1. Запишите в виде процентов 0,23.

2. Найдите 30% от 50 рублей.

3. Найдите значение величины, если 3,5% её равны 1,05.

4. В роще 700 берез и 300 сосен. Сколько процентов всех деревьев составляют сосны?

5. Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,7 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

6. Результаты контрольной работы 9 классов школы №10 представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «3», если всего работу писало 350 учеников?

Вариант 2.

1. Запишите в виде процентов 0,48.

2. Найдите 200% от 50 метров.

3. Найдите значение величины, если 2,8% её равны 1,96.

4. При покупке стиральной машины стоимостью 6500р.покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу дающую право на 5% скидки. Сколько он заплатил за машину.

5. В поселке построили 160 одноэтажных и 40 двухэтажных дома. Сколько процентов всех построенных домов составляют одноэтажные дома?

6. Статистику по изучению учащимися школы иностранных языков представили в виде диаграммы. Сколько учащихся изучают немецкий язык, если всего в школе 700 учеников?

Контрольная работа для учеников 5 классов (6 классов) продвинутого уровня.

Предложенная контрольная работа рассчитана на 25-30 минут, и представляет собой контрольно-измерительный материал по теме «Проценты» для учеников с математическими способностями. Основная цель: проверка уровня знаний и основных умений, связанных с процентами в 5-6 классах. Критерий выставления оценок. Оценка за выполнение работы выставляется следующим образом: за 4-5 правильно выполненных заданий ученик получает отметку «3», за 6 заданий - оценку «4», за 7 заданий - «5». Во всех остальных случаях выставляется отметка «2».

1. В саду 400 плодовых деревьев, состав которых представлен на диаграмме. Сколько груш произрастает в саду?

2. Из сахарной свеклы выходит 16% сахара. Сколько тонн сахара получиться из 625 т свеклы?

3. Цену на костюм снизили на 15%, в результате чего он стоит теперь 1700рублей. Сколько стоил костюм до снижения цен?

4. В магазине цену товара снизили с 400р до 360 р. На сколько процентов снижена цена?

5. Прочитайте условие задачи: « В пятых и шестых классах школы учатся 324 ученика. Число учащихся пятых классов составляет 80% числа учащихся шестых классов. Сколько шестиклассников учатся в школе?».

Составьте уравнение, соответствующее условию задачи, если х - число шестиклассников.

6. Цена товара сначала повысилась на 10%, а затем его новая цена снизилась на 10% (от новой цены). Сравните последнюю цену товара с его первоначальной ценой.

7. Цена мобильного телефона была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена мобильного телефона каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000р., а окончательная 6615р.?

§5 Методические рекомендации к проведению факультативного курса «Проценты в повседневной жизни»

В последнее время экзамен по математике проводится в форме ЕГЭ, и в контрольно-измерительных материалах единого экзамена присутствует задача на проценты (см. Главу I. § 1. Задачи на проценты в Едином Государственном Экзамене), что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой.

Факультативный курс «Проценты в повседневной жизни» является предметно-ориентированным курсом по выбору в рамках предпрофильной подготовки. Умения, приобретенные учащимися на начальном этапе обучения в основной школе, т.е. в 5-6 классах, требуют поддержки и своего развития в 7-11 классах. Данный курс рассчитан на 1 час в две недели, всего 48 часов для каждой группы учащихся. Группа формируется на 3 учебных года из учащихся 7-х классов, желающих заниматься математикой. Состав группы постоянный. Реализация программы осуществляется за счет часов, отводимых на выполнение школьного компонента. Основанием является Базисный учебный план, утвержденный Министерством образования России от 23.12.2003года.

Содержание программы курса включает углубление тем базовой общеобразовательной программы, имеет прикладное и общеобразовательное значение, использует ряд межпредметных связей, прежде всего, с химией и экономикой.

Данный курс направлен на то, чтобы показать учащимся практическую направленность математических знаний. Содержание задач приближено к современной жизни и жизненному опыту учащихся.

Цели данного курса:

Обеспечить условия:

для получения полноценного представления о процентах, об их роли в повседневной жизни;

- для развития мыслительной деятельности учащихся, умения сравнивать, обобщать и делать выводы, умения анализировать и устанавливать причинно-следственные связи;

- формирования способности к осознанному выбору профиля обучения в старшей школе и к выбору перспектив дальнейшего обучения.

Задачи курса:

- формировать умение грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления;

- формировать культуру решения задач, связанных с процентами, культуру поиска способа решения задач;

- помочь учащимся в освоении методов и способов решения нестандартных заданий и заданий повышенной сложности на уровне, превышающим уровень государственных образовательных стандартов;

- развивать способности учащихся к исследовательской и проектной деятельности;

- повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся.

Основное содержание курса. Примерное тематическое планирование

Теоретическая часть (22 ч)

1. Дроби и проценты. Простейшие виды задач. (3 ч)

При изучении курса учащиеся систематизируют знания и умения по теме «Проценты», полученные в 5 и 6 классах (переводить проценты в десятичную дробь, десятичную дробь обращать в проценты, преобразовывать десятичные и обыкновенные дроби, решать задачи простейших видов: нахождение p% от числа, числа, если известны a его процентов, нахождение изменения величины в процентах, процентного отношения чисел или величин).

2. Способы решения задач. (2 ч)

Решение задач на проценты различными способами: арифметический способ, с помощью составления уравнений, с помощью пропорций.

3. Процентное содержание. Концентрация. Растворы, смеси и сплавы. (8 ч)

Основные понятия в задачах на смеси, растворы, сплавы. Термины «смесь», «чистое вещество». Понятие доли чистого вещества в смеси, понятие процентного содержания чистого вещества в смеси. Основные этапы решения задач на «смеси»: выбор неизвестных, выбор чистого вещества, переход к долям, отслеживание состояния смеси, составление уравнения, решение уравнения (или системы уравнений) запись ответа. Примеры решения задач на смеси. Примеры усложненных задач на смеси.

При решении задач этой темы уже невозможно обойтись без аппарата алгебры, эти задачи позволяют продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

4. Проценты и банковские расчеты (8 ч)

Фабула задач различная: экономика, торговля, банковское дело и т.д. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

5. Нестандартные, занимательные задачи, олимпиадные задачи, ЕГЭ, ВУЗ (9 ч)

В этом блоке предусмотрены задачи повышенной сложности, предлагаемые в вариантах ЭГЭ, олимпиадные задачи, задачи, требующие нестандартного способа решения. С учётом дифференцированного подхода к учащимся даются необходимые указания к решению задач.

6. Практическая работа: составление плана - конспекта по изученному материалу; оформление работы. (2 ч)

Практическая часть-создание проекта (16 ч)

7. Постановка целей. Формулирование задач для достижения целей. Определение плана дальнейшей работы. Информация о вариантах оформления результатов работы. Первичный сбор материалов (6 ч)

8. Практическая работа над проектом: изучение, собранных материалов, поиск и сбор дополнительной информации по теме проекта, уточнение способа оформления проекта. (5 ч)

9. Представление учащимися самостоятельно выполненных проектов. Мониторинг. (4 ч)

10. Заключительное занятие. Подведение итогов работы. (1 ч)

Задачи, которые рассматриваются на занятиях, взяты из методических пособий или составляются учащимися. Подбор задач должен вызвать желание учащихся самостоятельно мыслить, открывать для них новые сведения, вызывать удивление, полученными результатами и стимулировать поиск самостоятельного их решения. Изучение данного курса предполагается на факультативе, где есть возможность ученику иметь большее время на рассуждение, размышление, выдвижение гипотез и их обоснование.

При изучении тем курса используются метод эвристической беседы, проблемный и исследовательский методы, метод проектов. Формы проведения занятий: семинары и практикумы, частично - лекции учителя с использованием ИКТ. Обучение учащихся осуществляется через практическую, индивидуальную, коллективную или групповую деятельность учащихся, через выявление, актуализацию и обогащение их собственного опыта в сотрудничестве с другими учащимися и учителем. В конце изучения курса учащиеся представляют свой проект по выбранной ими теме. Они самостоятельно определяют для себя, его цели и задачи. Одни из них собирают предложения магазинов и банков, просчитывают реальные суммы, выраженные в рублях, а затем, анализируя результаты, выбирают наиболее для них выгодные. Другие рассматривают конкретные задачи, которые предлагаются на уроках химии, физики или экономики. В проекте должны быть теоретическая часть, в которой отражены основные знания и умения по теме «Проценты»; различные материалы по теме проекта «Кредит, ссуда или сберегательный вклад?», «Проценты на уроках …»: выполненные расчеты по предложениям магазинов и банков, анализ полученных результатов, выбор наиболее выгодных предложений и т.д.

Учащиеся оформляют проекты, представляют их, учатся при этом обоснованно и рационально излагать свои мысли, вырабатывают умение слушать товарищей, дополнять и комментировать их ответы. Решение практических задач позволит учащимся применить в новых ситуациях известные приемы, установить связь между изученным материалом и окружающей реальностью. При этом в будущем, любой ученик свободно сможет воспользоваться, полученными знаниями и навыками, подобных расчетов, что, безусловно, будет полезно в его дальнейшей жизни. Проект может быть использован при самоподготовке к экзаменам (за 9 и 11 класс), а так же учащийся сможет дать консультацию по теме своего проекта одноклассникам, друзьям, родственникам или знакомым.

Таким образом, создаются условия для активизации познавательного интереса, и учащиеся становятся активными участниками происходящих вокруг них жизненных событий, осмысливают материал курса и целенаправленно смогут применить полученные знания, умения и навыки в практической деятельности. Изучение курса поможет учащимся соотнести свои индивидуальные возможности, интересы с особенностями, современными требованиями предмета математики и, далее, определиться в выборе профиля обучения.

Внутрипредметные связи, при изучении содержания курса, находят свое воплощение в построении и исследовании математических моделей (уравнений и их систем, графиков функций и т.п.) и служат обобщению и приведению знаний в систему по ходу обучения.

Требования к уровню усвоения курса.

По окончании изучения курса учащиеся должны

- знать /понимать:

- смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами;

- построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач,

- понятие процента;

- иметь представление: о применении процентов в повседневной жизни;

- уметь:

- представлять проценты - в виде дроби и дробь - в виде процентов;

- находить проценты от величины, величину по ее проценту;

- выражать отношения в процентах;

- применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

- уметь использовать дополнительную математическую литературу.

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

- решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и химических;

- самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

- выполнения расчетов практического характера;

Контроль:

В процессе изучения курса планируется следующие виды проверки усвоения материала, уровня обученности: в ходе занятий учащиеся выполняют индивидуальные контрольные задания, проверка выполнения домашних работ, составление задач на проценты по таким предметам, как химия, биология, география, экономика, геометрия, составление задач из различных сфер деятельности человека: торговля, банковское дело, сельское хозяйство и другие. Решение составленных задач. Составление различных кроссвордов, лото, придумывание дидактических игр на заданные темы. По окончании занятий каждый учащийся представляет проект, тема которого определяется каждым учащимся индивидуально. Список тем может быть сообщен заранее (например, «Задачи на проценты в литературных и исторических сюжетах», «Проценты и экология», «Проценты на службе медицинских работников», «Нужны ли проценты бухгалтеру?», «Приходится ли работать с процентами продавцам?»), чтобы ученики могли воспользоваться правом выбора темы или даже сумели предложить свои собственные «свободные» темы. Работа над выбранной темой может быть сугубо индивидуальной, но не исключается выполнение проекта небольшой группой учеников.

Обсуждение результатов выполнения проекта желательно проводить во время публичной защиты, куда могут быть приглашены и не изучавшие данный курс учащиеся, например, более младшего класса, или старшеклассники. Это может иметь не только познавательный, но и мотивационный эффект.

При обсуждении результатов проекта целесообразно обратить внимание на то, какие задачи (проблемы) ставили перед собой группа или отдельный ученик и решены ли они полностью или частично, каков был вклад каждого участника в работу группы (что он сделал); какого качества материалы, подготовленные группой или учеником. Оценку проекта целесообразно провести качественно.

При качественной оценке может быть выстроена определенная иерархия выполненных проектов. Можно говорить о выделении самого удачного проекта в отдельных номинациях (например, глубина и новизна полученных фактов; структурность и логичность изложения материала; яркость и живость представления; слаженность работы группы) или в целом.

Среди основных показателей при оценивании проектов можно выделить:

- корректность (с точки зрения математики) полученных фактов;

- обоснованность фактов;

- логичность изложения;

- широта использованных источников при проведении исследования;

- яркость изложения и удачное представление проекта.

Критерии и способы отслеживания результатов:

- отслеживаются:

- знания и практические навыки учащихся;

- рефлексивные способности;

- самостоятельность, креативность, инициативность.

- способы отслеживания результатов:

- самоанализ учащимися собственных умений, навыков;

- наблюдение за процессом деятельности;

- анализ самостоятельных работ учащихся;

- оценка проектов.

Обеспечение образовательного процесса:

- материально-техническое: обязательно наличие компьютерного класса с мультимедийным проектором, желательно наличие компьютеров дома у учащихся.

Задачи для обсуждения на занятиях факультативного курса «Проценты в повседневной жизни» предложены в Приложении 5, также в рамках курса можно рассматривать задачи из другой учебной и методической литературы.

§6 Опытная проверка разработанных материалов. Анализ результатов

Условия проведения экспериментальной проверки.

Проверка проводилась в школе 199 в 6 «Г» классе, учитель математики Кукшева Алла Анатольевна работает в школе 25 лет, имеет 14 разряд. Работает с интересом, в работе использует современные методики.

В классе 31 человек. Занятия проводятся по учебнику Н.Я. Виленкина и др. Состав класса неоднороден, в него входят группы разного уровня обученности: 2 ученика продвинутого уровня, 25 освоили курс математики на базовом уровне, 4 - не достигли базового уровня. Большинство учащихся класса относятся к изучению математики без интереса, активность учащихся на уроках невысока.

Цели экспериментальной проверки.

Получение экспертной оценки учителя.

Учитель Кукшева А.А ознакомилась с представленными материалами и отметила следующее:

- целесообразность выполнения предлагаемых задач для обеспечения межпредметных связей;

- доступность предлагаемых задач;

- разнообразие задач по фабуле и по уровню сложности;

- возможность использования задач при проведении как текущего, так и итогового повторения материала.

- удачным в подборе задач является также возможность широкого использования наглядных методов обучения.

Кроме того, Кукшева А.А, отметила возможность расширения набора задач, математической моделью которых является неравенства и их системы.

Проверка доступности и эффективности использования разработанных материалов в процессе обучения в основной школе.

В ходе экспериментальной проверки разработанные нами материалы подверглись доработке.

Учитывая замечания учителя, нами в задания для устной работы с учениками 5 - 6 классов были включены задачи следующего содержания:

1. Для ниже представленных заданий учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до ответа.

В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

В городе 100000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Определите количество коренных жителей в этом городе.

2. Работа с диаграммами, представленными на экране. Это позволит при выполнении устных упражнений у учеников сформировать навык чтения диаграмм, умение выделять и группировать данные, другими словами, уметь интерпретировать количественную информацию, представленную в форме диаграмм.

Кроме того, в рабочей тетради была предусмотрена возможность решения одной и той же задачи школьниками несколькими способами.

46 составляет 23% от некоторого числа. Найдите это число. Решить двумя способами.

Несколько задач подверглись редакторской доработке, так как в одних оказался неудачным вопрос задачи, в других упрощена вычислительная часть.

Диагностическая работа.

Цели:

- выявить уровень сформированности умений учащихся решать задачи на проценты;

- выявить уровень осмысленности своей работы на каждом этапе решения задач.

При подготовке к контрольным работам по темам «Умножение и деление обыкновенных дробей», «Отношения», куда входят решение типовых задачи на проценты по учебнику Н.Я.Виленкина и др., учащимися, в качестве дидактического материала, использовался тест для самопроверки, разработанный нами и представленный в § 4 третьей главы.

Также была проведен срез знаний, определяющий уровень сформированности умений учащихся решать задачи на проценты.

Работа включала вопросы и задания, предложенные нами в качестве контрольной работы для учеников 5 классов (6 классов). (Глава 3, § 4, 5 пункт).

Поскольку два сильных ученика отсутствовали в этот день, был предложен только вариант контрольной работы, содержащей задачи базового уровня.

Работу выполняли 28 человек из 31.

Вариант 1.

1. Запишите в виде процентов 0,23.

2. Найдите 30% от 50 рублей.

3. Найдите значение величины, если 3,5% её равны 1,05.

4. В роще 700 берез и 300 сосен. Сколько процентов всех деревьев составляют сосны?

5. Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,7 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

6. Результаты контрольной работы 9 классов школы №10 представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «3», если всего работу писало 350 учеников?

Вариант 2.

1. Запишите в виде процентов 0,48.

2. Найдите 200% от 50 метров.

3. Найдите значение величины, если 2,8% её равны 1,96.

4. При покупке стиральной машины стоимостью 6500р.покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу дающую право на 5% скидки. Сколько он заплатил за машину.

5. В поселке построили 160 одноэтажных и 40 двухэтажных дома. Сколько процентов всех построенных домов составляют одноэтажные дома?

6. Статистику по изучению учащимися школы иностранных языков представили в виде диаграммы. Сколько учащихся изучают немецкий язык, если всего в школе 700 учеников?

Были получены следующие результаты:

№	Полностью справились	В основном справились (с недочетами)	Справились, допустив ошибку	Не справились	Не приступали к решению
1	15 (54%)	10(35%)	3 (11%)	0	0
2	5 (18%)	7(25%)	6 (21%)	7(25%)	3(11%)
3	7(25%)	5(18%)	4(14%)	8 (28%)	4 (14%)
4	5 (18%)	0	15 (54%)	6 (21%)	2 (7%)
5	4(14%)	2 (7%)	10(35%)	7(25%)	5(18%)
6	7 (25%)	3(11%)	10 (35%)	3(11%)	5(18%)

В результате проведения диагностической работы обнаружено, что в недостаточной мере сформированы такие умения и навыки учащихся, как

- нахождение нескольких процентов величины;

- нахождение величины, если известны несколько ее процентов;

- нахождение процентного отношения двух величин.

Заключение

Целью дипломной работы являлось выявление методических особенностей изучения процентов в 5-9 классах, а также разработка соответствующих методических рекомендаций по изучению темы «Проценты». Для достижения целей работы были решены следующие задачи, заявленные во введении:

- в главе I проанализирована психолого-педагогическая, учебная, методическая литература, связанная с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе; определены роль и место темы в школьном курсе математики, а также выявлены затруднения учащихся в освоении задач на проценты и их возможные причины.

- в главе II проведен сравнительный анализ изложения темы «Проценты» в учебниках математики 5-6 классов, проанализировано изложение различных тем, связанных с процентами, в учебниках алгебры 7-9 классов; а также изучен педагогический опыт по теме дипломной работы. В результате были систематизированы методические приемы, методы, средства, формы работы для создания цельного представления о методах обучения решению задач на проценты.

- в главе III представлены методические рекомендации по изучению темы «Проценты» в основной школе в соответствии с выводами по I и II главам.

Одной из главных причин затруднения учащихся в освоении решений задач на проценты является отсутствие у школьников опыта практического применения процентов, поэтому ученики не имеют потребности в решении предлагаемых им задач. В работе предложен фрагмент урока на этапе мотивации для учащихся 5 (6 классов). Нами разработаны методические рекомендации к проведению факультативного курса «Проценты в повседневной жизни», направленного на то, чтобы показать учащимся практическую направленность математических знаний. Содержание задач приближены к современной жизни и жизненному опыту учащихся, что служит сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Также нами разработана информационная тематическая рабочая тетрадь для учеников 5-6 классов. Данное пособие представляет собой дополнительное средство обучения, которое целесообразно использовать наряду с традиционными методами. Применение данного пособия возможно как при объяснении нового материала, так и для организации самостоятельной работы по данной теме. Материал в пособии систематизирован, структурирован, содержит задания с приведенными вариантами решений, а также задачи для самостоятельного решения. В рабочую тетрадь включены задания, которые позволяют организовать практическую деятельность учащихся. Это освобождает детей от работы второстепенного характера, позволяет увеличить объем учебной работы и сосредоточить внимание на главном.

Задачи на проценты рассматриваются преимущественно в 5-6 классах, в то время как в 7-9 классах навыки решения таких задач утрачиваются. Поскольку в заданиях ЕГЭ встречаются задачи на проценты, именно в 7-9 классах необходимо проводить работу, направленную на поддержание этих навыков и умений. С этой целью нами разработан факультативный курс «Проценты в повседневной жизни», позволяющий не только не потерять приобретенные школьниками навыки решения типовых задач, рассматриваемых в 5-6 классах, но и ознакомиться с новыми, характерными для 7-9 классов, методами решения этих задач. Предложенный в работе курс обеспечит преемственность обучения школьников решению задач на проценты, даст возможность реализовать их предпрофильную подготовку.

Опытная проверка подтвердила доступность разработанных материалов.

Таким образом, ознакомившись с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе, важно отметить, что задачи на проценты, широко используемые как в различных областях науки, так и в реальной жизни, имеют большое практическое значение. Поэтому необходимо построить процесс изучения данной темы таким образом, чтобы добиться высокого уровня знаний, умений и навыков учащихся, столь необходимых для дальнейшего успешного обучения учащихся не только по математике, но и по другим школьным предметам. Навыки решения задач на проценты необходимо поддерживать и развивать в старших классах средней школы.

Библиография

1. А.Я.Хинчин. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М.:Учебно-педагогическое издательство НАРКОМПРОСА РСФСР, 1940 г.

2. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. - 2-е изд.-М.: Просвещение, 2000. - 285 .: ил.

3. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2000.-207 с.: ил.

4. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др. - 11-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники» 2004.-255 с.: ил.

5. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К..И.Нешков и др.; Под ред. С.А.Теляковского. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2003.-223 с.: ил.

6. Алгебра. 7 кл.: учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К..И.Нешков. - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2006.-272 с.: ил.

7. Арифметика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000.

8. Арифметика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001.

9. Артеменко А.Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание //Математика в школе» 1994 г, № 4.

10. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе. - 2003. - № 5.

11. Блонский, П.П. Память и мышление [Текст] / П.П. Блонский.- СПб.: Питер, 2001.- 288 с.

12. Бунимович Е.А. В.А. Булычев. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2004. - 288 с.: ил.

13. Водинчар М.И., Лайкова Т.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений //Математика в школе, 2001, №4.

14. Гальперин, П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий: Исследования мышления советской психологии [Текст]/ П.Я.Гальперин.-- М., 1966

15. Демидова Т.Е. Тонких А.П. // Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 288 с.

16. Для тех, кто работает по учебникам Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 15. - с. 2-8.

17. Дорофеев Г.В. и др. Изучение процентов в основной школе /Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаев С.С. и др. //Математика в школе. - 1994. - №4.

18. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика: Учебник для 6 класса: Ч. 1. М.: БАЛАСС С_ННФО, 1998 г.

19. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика: Учебник для 6 класса: Ч. 2. М.: БАЛАСС С_ННФО, 1999 г.

20. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика: Учебник для 6 класса: Ч. 3. М.: БАЛАСС С_ННФО, 2002 г.

21. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика: Учебник для 5 класса: Ч. 2 , М.: БАЛАСС С_ННФО, 1997 г.

22. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. - Москва: Дрофа, 2003г.

23. ЕГЭ: математика: сб.заданий / Л.О. Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.- 2-е изд. - М. : Просвещение, 2006. - 224 с. : ил.

24. Захарова А.Е. Учимся решать задачи на проценты // Математика для школьников.-- 2002.-- № 37..

25. Захарова А.Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы // Математика для школьников.-- 2006.-- № 3.

26. Захарова А.Е. Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы. Учебно-методические материалы спецкурса. М. : Прометей, 2002.

27. Зубарева И.И. Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений - М.: Мнемозина, 2003.

28. Зубарева И.И. Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений - М.: Мнемозина, 2006.

29. Изучение процентов в основной школе /Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., и др. //Математика в школе. - 2002. - №1-с.19-24.

30. Козлова Г.М. Из опыта преподавания по учебному комплекту «Математика 5»//Математика в школе. - 2002. - № 3. - с. 49 - 52.

31. Лейкина Т. Несколько замечаний по работе с учебником «Математика 7» под ред. Г.В. Дорофеева//Математика. - 1999. - № 38. - с. 23-25, 27.

32. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 2000.

33. Математика. 6 кл.: Рабочая тетрадь к учебнику под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 2000.

34. Математика: Тематическая рабочая тетрадь для восстановления базовых знаний: Части; Отношения; Пропорции и др. Юрченко Е.В., Слуцкий Л.Б

35. Математика. Алгебра. Функции. 9 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000.

36. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000.

37. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1998.

38. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк./Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. и др.. - М.: Мнемозина, 1997.

39. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. - М.: Мнемозина, 2001.

40. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» № 3, 1975 г.

41. Нурк Э.Р., Тельгмаа А. Э. Математика. 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учеб. заведений. - М.: Дрофа, 1999.

42. Нурк Э.Р., Тельгмаа А. Э. Математика.: Учеб. для 6 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2001.

43. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80 000 слов и фразеологических выражений / Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В.Виноградова. - 4-е изд., дополненное. - М.: Азбуковник, 1997. - 944 стр.

44. Первые уроки по учебному комплекту «Математика 5-8» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 27. - с. 9-14.

45. Подласый, И.П. Педагогика [Текст] / И.П. Подласый. - М., 1999.- 254с.

46. Поляков С. Зачем нужна математика тем, кому она не нужна? // Школьное обозрение. - 2002. - №4.

47. Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова Н.Г. Миндюк. - 4-е издание, стереотип. - М.:Дрофа, 2004. - 320 с.

48. Проценты: Методическая разработка для учащихся заочного отделения ММФ / А.В. Деревянкин. - М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007.-12с.

49. Самойлик Г. История математики на уроках. Проценты// Математика. - 2002 - № 36.

50. Саранцев, Г. И./ Методика обучения математике в средней шк: Учеб. пособие для студ. математических спец. пед вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.

51. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы / Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П. и др. //- Москва «Дрофа», 2001г.

52. Сборник задач по математике с решениями. 7-11 кл. Под ред. М.И.Сканави. - М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21век»; 1998.

53. Сборник нормативных документов / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. - М.: Дрофа, 2004. - 443 с.

54. Симонов А.С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике // Математика в школе, 1998, №3

55. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты //Математика в школе, 1998, № 4.

56. Симонов А.С. Сложные проценты //Математика в школе, 1998, № 5.

57. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2004.

58. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2005.

59. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2006.

60. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2007.

61. Шевкин А.В. Еще раз об изучении процентов//Математика в школе. - 1993. - №1. - с.20 - 22.

62. Шевкин А.В.// Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах// Книга для учителя. - М.: ГАЛС ПЛЮС.- 1995 г.- ил.

63. http://www.1september.ru/

64. http://www.edu.ru/

65. Спецификация экзаменационной работы по математике единого государственного экзамена 2009 г. подготовлена Федеральным государственным научным учреждением ФИПИ http://www1.ege.edu.ru/images/stories/specif_2009/ma_spetsif_2009.pdf

66. Статистика решения заданий ЕГЭ http://math.mioo.ru/metod08/stat-EGE.pdf

67. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82

Приложение 1

Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена

2003 год Демонстрационный вариант Задание В7	Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной? (Знак % в ответе не пишите).
2003 Тренировочный вариант Задание В7	Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад? Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.
2003 ЕГЭ	Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня? Ответ: 25%
2003 ЕГЭ	К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? Ответ: 32%
2003 ЕГЭ	За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии? Ответ: на 20%.
2004 Демонстрационный вариант ЕГЭ	Нет заданий на проценты
2005 год Демонстрационный вариант Задание В9*	Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?
2005 ЕГЭ	Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально? Ответ: 280000 чел.
2005 ЕГЭ	Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд? Ответ: 4,5 л
2006 год Демонстрационный вариант Задание В9	По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
2007 год Демонстрационный вариант Задание В9	Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.) Ответ: 1240 руб.
2008 год Демонстрационный вариант Задание В9	В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выставленный на продажу за 4000 рублей, после двух снижений он был продан за 2250 рублей. Ответ: 25
2008 год 9 класс	Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 2500р. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек - 5%, группе более 10 человек - 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 6 человек? 1) 15000 р; 2) 2375 р; 3) 750 р; 4) 14250 р.
2009 год Демонстрационный вариант Задание В9	Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй - тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

Приложение 2

Задачи на проценты в химии

Задачам на проценты, связанные с другой школьной дисциплиной - химией, в курсе алгебры отводится небольшое количество часов. Между тем, задачи на процентное содержание растворов, сплавов и смесей развивают интуицию, логическое мышление и вызывают интерес не только к математике, но и к химии. В процессе анализа текстовых задач на растворы и сплавы учащиеся приобретают некоторые навыки исследования и знакомятся с новыми для них методами решения задач. Кроме того, задачи такого характера встречаются повсеместно в ЭГЭ (см. Приложение 1). На основе определения процентной концентрации вещества в смеси и опорных задач на проценты рассматриваются задачи:

1) По данной общей массе смеси (раствора, сплава) и процентного содержания одного из компонентов найти новое количество компонента с изменённым процентным содержанием компонента;

2) Нахождение первоначальной массы смеси, содержащей изменение массы одного из компонентов и изменения процентного его содержания.

Приложение 3

Задачи на проценты в экономике

Сегодня Россия интегрируется в мировую экономическую систему, и в начале третьего тысячелетия жизнь требует изучения основных законов экономики уже в школе. Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения. Экономическая образованность и экономическое мышление формируются не только при изучении курса экономики, но и на основе всего комплекса предметов, изучаемых в школе. Математике здесь принадлежит особая роль. Это объясняется тем, что многие экономические проблемы поддаются анализу с помощью того математического аппарата, который изложен в курсе математики 5-6 классов и алгебры VII - IX классов.

Согласно Федеральному компоненту государственного стандарта общего образования обязательный минимум содержания основных образовательных программ по экономике по данной теме включает:

Факторы производства и факторные доходы (заработная плата, проценты, прибыль).

Рыночный механизм. Издержки, выручка, прибыль.

Деньги. Банковская система. Инфляция. Причины инфляции. Последствия инфляции.

Требования к экономической подготовке учащихся определяют итоговый уровень умений и навыков, которыми учащиеся должны владеть по окончании основной и старшей школы. По окончании основной школы учащиеся должны:

-знать/понимать банковскую систему;

- уметь описывать инфляцию.

Приложение 4

Задачи «целое содержит 100 % самого себя»

1) Одновременно проводились соревнования по прыжкам в высоту и в длину. 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, 75% - в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?

2) Туристы проехали 80 % намеченного маршрута на поезде и 15 % - на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

3) Маша потратила 70 % имевшихся у нее денег на книги и 30 % - на тетради. Все ли деньги потратила Маша?

4) Учитель сказал: «С этой контрольной работой справились 100 % учащихся нашего класса». Как это понимать?

5) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?

6) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?

7) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

Нахождение p% от числа или величины. Текстовые задачи.

1) Найдите 5 %; 17 %; 23 % от: а) 1 рубля; 6)1 метра; в) 1 центнера.

2) Увеличьте число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%;3) 40 на 50%;4) 425 на 4%.

3)Уменьшите число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%; 3) 90 на 50%; 4) 125 на 20%.

4) Что больше:

а) 30% от 40 или 40 % от 30?

б) 80 % от 60 или 60 % от 70?

5) Определите без вычислений, что больше: а) 12% от 34 или 13% от 34; б) 12% от 49 или 12% от 50.

Для заданий 6 - 13 учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до конца.

6) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

7) В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

8) В городе 100000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Определите количество коренных жителей в этом городе.

9) На субботник вышли 160 человек. В ремонте дороги участвовали 25% всех людей, а остальные сажали деревья. Сколько человек сажали деревья?

10) Надоили 150 л молока. После того как отправили молоко в детский сад, осталось 80% имевшегося молока. Сколько литров молока отправили в детский сад?

11) В ящике 120 кг пшена. После того как из ящика наполнили мешок пшеном, в ящике осталось 65% всего пшена. Сколько килограммов пшена вошло в мешок?

12) Служащий вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода он получил?

13) В городе 64 тыс. избирателей, 85% всех избирателей приняли участие в выборах. Сколько избирателей приняли участие в выборах?

14) В понедельник рабочий перевыполнил дневное задание на 10%, а во вторник - на 8%. На сколько процентов он перевыполнил задание двух дней?

Для заданий 15 - 31 также учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до конца. Но ниже представленные задачи сложнее предыдущих в силу того, что они решаются не в одно действие, и, поэтому, труднее воспринимаются на слух. Целесообразнее в слабых классах тексты задач представить на доске, презентации, и т.п.

15) В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 75% остальных - автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше: городских или междугородного класса?

16) У Алеши 80 марок, у Бори - на 20 % больше, чем у Алеши. У Вовы на 25% меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

17) В библиотеке 98000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% - учебники. Сколько учебников на русском языке в библиотеке?

18) На столе лежала пачка тетрадей. Сначала взяли 30% этих тетрадей, а потом 75% оставшихся тетрадей. После этого на столе осталось 14 тетрадей. Сколько тетрадей было в пачке первоначально?

19) В пакете лежали сливы. Сначала из него взяли 50% слив, а затем 50% остатка. После этого в пакете осталось 9 слив. Сколько слив было в пакете первоначально?

20) Сложили три числа. Первое составило 25 % суммы, а второе - 40 %. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.

21) класса пошли в кино, 15 % класса - на выставку, а остальные 8 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек в классе?

22) В магазин привезли овощи. В первый день продали 35 % и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?

23) Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

24) Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20%, две другие уменьшили на 20%. Как изменилась площадь прямоугольника?

25) Мальчики составляют 45% всех учащихся школы. Известно, что 30% мальчиков и 40% девочек учатся без троек. Сколько процентов всех учащихся школы учится без троек?

26) На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25%. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

27) В некотором царстве, в некотором государстве правительство вынесло на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы спиртных напитков. Этот проект поддержали 69% всего взрослого населения, принявшего участие в голосовании, причем среди женщин 94%, а среди мужчин 41 %. Кого среди голосовавших было больше: мужчин или женщин?

29) Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10% меньше, но по цене на 10% больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе (по сравнению с прошлой) и на сколько процентов?

30) Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50% больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше и на сколько процентов?

31) Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если:

а) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч увеличится на 20%;

б) потребление снизится на 15%, а стоимость одного кВт·ч увеличится на 20%;

в) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч уменьшится на 20%;

г) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч уменьшится на 20%.

7. Нахождение величины, если известны ее p%.

1) В соревнованиях было 9 победителей, что составило 18% числа всех участников соревнований. Сколько было участников соревнований?

2) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе?

3) В магазин привезли партию лампочек. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% от общего числа. Сколько лампочек привезли в магазин?