Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

4) Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60% сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену?

5) Посадили семена гороха, 270 из них взошли. Это составило 90% всех посаженных семян. Сколько семян посадили?

6) Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти еще 5 км. Какова длина маршрута?

Нахождение процентного отношения двух чисел и изменения величины в процентах.

1) Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

2) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

3) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

4) Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?

5) В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют: а) солнечные дни? б) пасмурные дни?

6) В поселке построили 16 одноэтажных и 4 двухэтажных дома. Сколько процентов всех построенных домов составляют одноэтажные дома?

7) В роще 700 берез и 300 сосен. Сколько процентов всех деревьев составляют сосны?

8) Зарплата повысилась с 500 р. до 600 р. На сколько процентов повысилась зарплата?

Проценты и банковские расчеты

1) Несколько лет назад сберегательные кассы выплачивали доход из расчета 2 % вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили:

1)100р.; 2)200р.; 3)1000р.; 4)12000р?

2) При продаже товара за 393 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.

3) Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

4) Папа вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20 % дохода. Какой доход в рублях получил папа?

5) Стоимость акций компании росла 5 месяцев на 15% ежемесячно. Верно ли, что за это время стоимость акций удвоилась?

Процентное содержание. Раствор. Концентрация. Смеси и сплавы.

1) Какое количество 10% раствора может получиться из 25 г соли?

2) В одном килограмме сыра содержится 200 г белка. Сколько процентов белка содержится в сыре?

3) Из сахарной свеклы получают сахар, вес которого составляет 18 % веса свеклы. Сколько сахара получится при переработке: 1) 40 т свеклы; 2) 30 т свеклы; 3) 500 т свеклы?

4) Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько сена получится из 4 т свежей травы? Сколько травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

5) Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 11340 кг свежих?

6) Мясо при варке теряет 40% своей массы. а) Сколько вареного мяса получится из 6 кг свежего? б) Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы получить 6 кг вареного?

7) Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

8) Масса сушеных груш составляет 20% массы свежих. Сколько килограммов сушеных груш получится из 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?

9) Смешали 4 кг сушеных яблок и 6 кг сушеных груш. Сколько процентов полученной смеси составляют яблоки?

10) Для компота смешали 3 кг сушеных яблок и 7 кг сушеных слив. Сколько процентов смеси составляют сливы?

11) Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть от массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

12) Смешали 300 г 50%-ного и 100 г 30%-ного раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.

13) Имеется чай двух сортов - по 80 и 120 р. за 1 кг. Смешали 300 г первого и 200 г второго сорта. Определите цену 1 кг полученной смеси.

14) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 коп., 20 фунтов по 7 коп. и 25 фунтов по 4 коп. за фунт. Что стоит фунт смеси?

15) Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

16) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько килограммов олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

17) Сколько чистой воды нужно добавить к 300 г морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?

18) На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13%». Сколько весит вермишель, если она хранится при влажности 25%?

19) Для получения томатной пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томатной пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95% воды?

20) Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько тонн железа в 13 т железняка?

21) Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. Сколько граммов олова и сколько свинца в 400 г сплава?

22) Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова?

23) Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта - 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чаю стоит 2 р. 85 к.?

24) Сколько фунтов меди должно сплавить с 75 фунтами серебра 72-й пробы, чтобы составить серебро 64-й пробы?

25)Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

26) Рядовой Сидоров почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистил такой же (по весу) бак картошки?

27) Рядовой Смирнов может почистить ведро картошки за 3 ч, а начистит такое же (по весу) ведро картошки за 4 ч. Сколько процентов картошки идет у него в очистки?

28) Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Какая часть массы теряется при сушке?

Приложение 5

К теме 1. Дроби и проценты. Простейшие виды задач.

Задача 1. Даны квадраты, ответить на вопросы.

Какая часть квадрата заштрихована?

Выразите заштрихованную часть десятичной дробью.

Сколько процентов квадрата заштриховано?

Сколько процентов квадрата не заштриховано?

Далее можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно определить, что взять за 100%. Для более эффективного усвоения задачи можно использовать рисунок.

Задача 2. Дан квадрат клеток, построить фигуру площадь, которой составляет: а) 4%; б) 80%; в) 120% от площади квадрата.

Задача 3. Витя записал два числа. Нашел 1% каждого числа. Полученные числа оказались равны. Может ли быть такое?

Решение. Да, если Витя записал равные числа. Учитель продолжает задачу: а если в условии будет сказано, что числа не равны? Тогда 1% от первого числа и 1% от второго числа не равны, так как если числа не равны, то и сотые части их не равны.

Задача 4. Игровой момент.

Задумайте десятичную дробь. Умножьте ее на 100. Найдите 1% полученного числа. В итоге получится задуманное число. Почему?

Пусть а - задуманное число, тогда а·100 :100=а. Предложить учащимся самим обосновать ответ.

Задача 5. В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке?

Для решения задачи можно использовать алгебраический метод.

Пусть x лампочек в коробке. Тогда можно составить уравнение:

х= 4: 0,02;

х= 200

Ответ: 200 лампочек.

Задача 6. В магазин привезли 3 т картофеля и 900 кг помидоров. В первый день продали 30% всего картофеля и 45% всех помидор. Каких овощей продано больше и во сколько раз? (Ответ: картофеля продали больше, чем помидор в 2,2 раза).

Задача 7. Сравнить числа 61% от 83 и 83% от числа 61.

Ответ: результаты равны.

Задача 8. Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколько масла получается из 10 кг молока?

Задача 9. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

Решение. ab - площадь исходного прямоугольника,

1,3a·0,7b=0,91ab - площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится на 9%

Задача 10. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее?

Решение. Пусть второй турист делает a шагов, каждый из которых равен b, тогда ab - это длина пройденного пути. А первый турист прошел:

0,9b ·1,1a=0,99ab, что меньше ab.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 11. Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

Решение

Примем возраст сестры за 100%. Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно:

100:40 · 100% = 250%.

Задача 12. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Решение. 6 га составляют 75% или 0,75 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е. 6 : 75 · 100=8 га

8+2=10 га - это половина луга, значит весь луг 20 га

Ответ. 20 га.

Задача 13. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х - объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в единицу времени, т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А·КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 14. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

Решение. Пусть полотна было a . Первый купил 0,25a, осталось (1-0,25)a= 0,75a полотна, второй покупатель купил 0,3·0,75a=0,225a, осталось 0,75a -0,225a=0,525a, третий купил 0,4·0,525a=0,21a, осталось 0,525a-0,21aр=0,315a, что составляет 31,5% от a.

Ответ. 31,5%

Задача 15. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Ответ. 40%

Задача 16. После того, как Саша съел 20% лежавших в вазочке конфет, мама положила в нее 30% конфет, от оставшихся там. Определите истинность утверждения «Конфет в вазочке стало больше, чем было».

Задача 17. Красная Шапочка несла бабушке пирожки. По дороге она съела 20% пирожков, 10% всех пирожков отдала зайцу, 50% оставшихся пирожков - волку, а последние 7 принесла бабушке. Сколько пирожков было у Красной Шапочки вначале?

Задача 18. 72% учащихся 6 «А» класса играет в волейбол, 56% класса играет в футбол. Среди учеников этого класса есть и те, которые считают, что бегать и прыгать с мячом им ни к чему. Сколько таких детей в классе, если 4 ученика играют и в волейбол и в футбол?

Задача 19. Карлсон съел вначале 50% имеющегося в банке варенья, затем съел 80% от оставшегося варенья, затем последние 5 ложек. Сколько варенья было в банке, если ложка вмещает 25 г.

Задача 20. Царь Горох решил выдать свою дочь, царевну Несмеяну, замуж. Несмеяна поставила условие: «Выйду замуж за того принца, который отгадает все мои загадки». 40% женихов сразу расхотели жениться, 20% решило лишь половину загадок, 16% только одну загадку, 22% - не решило ни одной. Сколько женихов сваталось к Несмеяне, если замуж она все же вышла?

Задача 21. Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Пусть длина прямоугольника а, ширина b. Длина стала равна 0,8а = а, Чтобы площадь аb не изменилась, надо длину а умножить на ширину b= 1,25b, т. е. надо увеличить ширину на 25%.

Задача 22. Ширину прямоугольника увеличили на 3.6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника.

Решение. Площадь измененного прямоугольника составляет 1.05 площади первоначального. Так как длина нового равна 0.84 прежнего, то ширина нового составляет 1.05:0.84=1.25 ширины прежнего, отсюда первоначально ширина была

3.6:0.25=14.4 (см). Значит, ширина нового прямоугольника 14.4+3.6=18 (см).

Задача 23. Рядовой Иванов может почистить котел картошки за 4 ч, а рядовой Петров - за 6 ч. У рядового Иванова 10% картошки идет в очистки, а у рядового Петрова 15%. Однажды они сели вместе чистить котел картошки. Сколько процентов картошки уйдет в очистки при совместной работе?

Задача 24. В мэрии города N подсчитали, что число легковых автомобилей в городе увеличивалось в последние годы на 15% ежегодно. Через сколько лет число легковых автомобилей удвоится, если эта тенденция сохранится?

Задача 25. Когда подвели итоги голосования по половине всех бюллетеней, то оказалось, что объединение «Ананас» получило 10% голосов избирателей. Подсчитайте, какое наибольшее и наименьшее число процентов голосов избирателей может набрать объединение «Ананас» на выборах.

Задача 26. На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток составлял 25 % от частного? Ответ: 11.

Задача 275. Найти возраст брата и возраст сестры, если 62.5% возраста брата больше 75% возраста сестры на 2 года, а 50% возраста брата больше 37.5% возраста сестры на 7 лет.

Решение: 62,5% возраста брата больше 75% возраста сестры на 2 года. 50% возраста брата больше 37.5% возраста сестры на 7 лет, значит, 100% возраста брата больше 75% возраста сестры на 14 лет, отсюда 37.5% возраста брата составляют 12 лет.

12 : 0,375 = 32 (года) брату.

32-14 = 18 (лет) составляют 75% возраста сестры.

18 : 0,75 = 24 (года) сестре.

Задача 28. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Ответ: на 50%.

Задача 29. На утреннем концерте 40 школьники, 36% - женщины и остальные посетители -мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75% больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?

Решение:

1) 40% + 36% = 76% составляют женщины и дети.

2) 100% - 76% = 24% составляют мужчины.

3) 24% + 24%· = 42% составляют мужчины на вечернем концерте.

4) 40% - 40%· = 10% составляют школьники на вечернем концерте.

5) 36% +36% · = 49,5% составляют женщины на вечернем концерте.

6) 42% + 49,5% + 10% = 101.5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т. е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.

После рассмотрения основных задач на проценты можно вместе с учащимися вывести общие формулы решения задач.

Общие формулы:

тогда 100%

А увеличить на Р%

А уменьшить на Р%

где А, В - некоторые числа (величины).

К теме 2. Способы решения задач.

Задача 1. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Рассмотрим три способа решения этой задачи.

I способ. Число мальчиков составляет 80% от числа девочек (100%). Определим, сколько процентов составляет 100% от 80%:

=100·% = 125%.

II способ. Число мальчиков (m) составляет 80% от числа девочек (d), значит, m=0,8d. Отсюда d = 1,25m, т. е. число девочек составляет 125% от числа мальчиков.

III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет, или 125%, от числа мальчиков.

Рассмотрим задачу на сплавы, которую можно решить с помощью уравнения.

Задача 2.Имеется два куска сплава олова и свинца, Первый, массой 300 г, содержит 60% олова, второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?

Здесь m1 =300, p1 =60, p2=40, р=56. Определить m2 можно из уравнения

300·60+m2 ·40= (300+m2) ·56, откуда m2=75.

Задача 3. Задача на составление системы уравнений.

Число а составляет 92 % от числа b. Если b увеличить на 700, то новое число будет на 9 % больше числа а. Найти числа а и b.

Решение. Как обычно за 100 % принимаем то число, с которым производится сравнение, в данном случае - число b. Тогда а = 0,92b. Увеличив число b на 700, получим (b + 700), что составляет 1,09 от числа а, т. е. (b + 700) = 1,09а. Запишем систему и решим ее:

Ответ: а = 230000, b = 250000.

Задача, решаемая обратным ходом.

Задача 4. Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений - 19р. Определите его первоначальную цену.

Решение. Запишем все данные в виде таблицы.

Старая цена	Первое снижение	Второе снижение	Новая цена
?	на 15%	На 15 р.	19р.

Итак, решать эту задачу будем с конца. Сначала найдём сколько стоил альбом до того, как цену снизили на 15 р.:

19+15=34 р. (цена альбома до второго снижения)

После первого снижения цена стала 34 р., что составило 85% от начальной цены (т.к. первоначальная цена составляла 100%:100%-15%=85%).

Чтобы найти первоначальную стоимость товара, нужно: 34:0,85 = 40.

Ответ: До снижений альбом стоил 40р.

Задача 5. У горного барана массой 150 кг масса рогов равна 30 кг. Сколько процентов составляет масса рогов от массы тела: 20% или 25%?

Решение. Задачу можно решить несколькими способами. Можно предложить учащимся описать их устно.

1 способ. Найти 20% от 150 кг.

2 способ. Найти 25% от 150 кг.

3 способ. Найти, сколько процентов составляют 30 кг от 150 кг.

4 способ. 20% составляют от 100%, а 30 кг от 150 кг?

5 способ. 25% составляют от 100%, а 20 кг от 150 кг?

Ответ: 20%.

К теме 3. Процентный раствор. Концентрация. Смеси и сплавы.

Задача 1. Мама приготовила 80%-ный сахарный сироп, для варки варенья. Петя налил себе в чашку 200 г сиропа, отпил 50 г и долил в чашку 50 г воды. Какой концентрации раствор он получил в своей чашке?

Задача 2. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

На первый взгляд кажется, что вес арбуза мало изменился, но это только на первый взгляд! Вес «сухого вещества» в арбузе составлял 100 - 99 = 1 (%), или 20·0,01 = 0,2 (кг). После того как арбуз усох, вес «сухого вещества» составлял 100-98=2 (%) от нового веса арбуза. Найдем этот новый вес: 0,2 : 0,02 = 10 (кг). После того как арбуз усох, его вес уменьшился вдвое!

Задача 3. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

Данная задача похожа на предыдущую, но ответ в ней еще более неожиданный.

Задача 4. Смешали 3 кг молока жирностью 6% и 2 кг молока жирностью 3,5%. Определите жирность молока в полученной смеси. (Жирность молока - это отношение массы жира, содержащегося в молоке, к массе самого молока, выраженное в процентах.)

Задача 5. Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор?

Составление таких схем поможет детям разобраться в условии и быстрее составить уравнение к задаче.

Можно предложить учащимся составить другое уравнение, сравнивая массу воды, и сделать вывод о том, какое уравнение проще.

Оставшиеся задачи школьники решают самостоятельно. На доске можно только составлять рисунок и записывать уравнение.

Задача 6. Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить 20% -ный раствор.

Задача 7. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?

Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.

Задача 8. Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

Воспользуемся графической иллюстрацией. Вода составляла 70% массы яблок, 60% из них испарилось, а 10% осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10 : 40 = 0,25, или 25% массы сушеных яблок.

Задача 9. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35·5+0,2·4=р· (5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

Задача 10. 30 ведер вина в 48 градусов смешано с 24 ведрами вина в 36 градусов. Сколько градусов в смеси? (Число градусов означает процентное содержание чистого спирта в вине.)

Задача 11. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Здесь и далее мы предполагаем, что в процессе сплавления нет потерь массы, т. е. масса сплава равна сумме масс сплавляемых кусков.

До сплавления в двух кусках было 300·+ 200·= 140 (г) олова. После сплавления кусок массой 200+300 = 500 (г) содержит (140·100):500=28% олова.

Задача 12. Имеется три сосуда, в которых содержится, соответственно, 10, 30 и 5 литров растворов соляной кислоты. Процентное содержание кислоты во втором сосуде на 10% больше, чем в первом, а содержание кислоты в третьем сосуде равно 40%. Половину раствора из второго сосуда перелили в первый, а другую половину - в третий. После этого процентное содержание кислоты в первом и третьем сосудах оказалось одинаковым. Сколько процентов кислоты содержал в начале первый раствор?

Задача 13. 25 фунтов серебра 84-й пробы сплавлены с 12 фунтами серебра 72-й пробы. Какой пробы сплав?

В старые времена в России проба металла означала число весовых частей чистого металла в 96 весовых частях сплава. Выбор же числа 96 определялся соотношением весовых величин: 1 фунт содержал 96 золотников, а 1 золотник - 96 долей. Например, выражение «серебро 84-й пробы» означало, что в 1 фунте сплава содержится 84 золотника, а в 1 золотнике - 84 доли чистого металла.

Заметим, что теперь пробу драгоценных металлов выражают трехзначным числом. Например, выражение «серебро 835-й пробы» означает, что масса чистого серебра составляет 835 тысячных (или 83,5%) массы сплава.

К теме 4. Проценты и банковские расчеты.

Задача 1. Куртка стоит 250 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить, если купить куртку на распродаже?

Можно рассмотреть решение этой задачи двумя способами, в которых отражаются различные методы нахождения р% от некоторой величины.

1 способ: сначала найти 1%, а затем 33%.

2 способ: выразить 33% десятичной дробью и найти 0,33 данной величины.

Также можно предложить учащимся задание на перевод обыкновенных и десятичных дробей в проценты, так как это часто вызывает трудности.

Задача 2. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8·А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

Задача 3. Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р. (Ответ: первоначальная цена больше новой.)

Как правило, еще не решая задачи, ученики делают вывод, что результаты равны. Поэтому нужно обязательно включать задачи такого плана в факультативный курс, чтобы показать «коварность» процентов.

Задача 4. Когда цену товара увеличили на 30%, он стал стоить 52 р. Определить первоначальную стоимость товара. (Ответ: 40 р.).

Задача 5. Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова первоначальная стоимость товара? (Ответ:100р.)

Задача 6. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?

Решение. Пусть зрителей до понижения цены на стадион приходило a человек, и выручка составляла 1,8a руб. После понижения цены зрителей стало 1,5a, выручка составляет 1,8a ·1,5a руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25·1,8А. Получаем 1,8a·1,5a=1,25·1,8a, откуда a=, тогда билет стоит =1,5 руб.

Ответ. 1руб. 50 коп

Задача 7. Число увеличили на 10% и еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за 2 раза?

Если дано число а, то после первого увеличения на 10% получится 1,1а.

Чтобы новое число увеличить на 10%, надо умножить его на 1,1:

1,1а·1,1 = 1,21а. Это число составляет 121 % от а, что на 21 % больше числа а.

Задача 8. Через сколько лет сумма, вложенная под 3% годовых, удваивалась при ежегодном начислении процентов?

Задача 9. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома с зимы до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50%. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

Пусть на а руб. зимой можно было купить одну единицу товара. Летом этот товар уже стоил а + 0,5а = 1,5а, т. е. летом на те же а руб. можно купить

а : 1,5а= единицы того же товара. Это на 1-=единицы товара, или на 33%, меньше, чем зимой. Покупательная способность отложенных денег уменьшилась на 33 %.

Задача 10. Предприниматель взял ссуду на 4 недели под 40%. Эти деньги он вложил в свое предприятие, которое приносит еженедельную прибыль 34%. Сможет ли он, увеличивая каждую неделю вложение в свое предприятие за счет набежавших процентов, погасить ссуду в срок? Ответ: Да

Задача 11. Семья накопила деньги на новый автомобиль, но решила повременить с покупкой, ожидая снижения цен на выбранную модель на 20%. На какой срок имеет смысл откладывать покупку, если инфляция составляет 3% в месяц? Ответ: не более 7 месяцев.

Задача 12. Некто купил зимой акции АО NNN по 50 р. за штуку. Летом стоимость акций поднялась до 90 р., а цены на товары за то же время увеличились в среднем на 20%. На сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции?

Задача 13. Пешеход перешел улицу в неположенном месте, и милиционер наложил на него штраф в 30 р. Штраф необходимо уплатить до 5 марта, после чего за каждый просроченный день будет начисляться пеня (от латинского слова poena - наказание) в размере 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пешеходу, если он просрочит уплату штрафа на 10 дней?

Для решения задачи нужно показать связь с понятием арифметической прогрессии, определить ее первый член и разность, оформить решение задачи на доске, предварительно вспомнив формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Пример оформления:

Величина штрафа будет расти в арифметической прогрессии, где

а1=30;; =36 р.

Ответ: 36 р.

Подвести итог по задаче о том, что ее решение сводится к нахождению одного из элементов арифметической прогрессии.

Задача 14. Ежемесячно семья Комаровых платит за электроэнергию 60 р. За каждый просроченный день взимается пеня в размере 0,5% с оплачиваемой суммы.

а) Сколько заплатят Комаровы за электроэнергию, если они просрочат оплату на 1 день; на n дней?

б) Через сколько дней им придется заплатить за электроэнергию ее двойную стоимость?

Решение:

Плата будет расти в арифметической прогрессии, где

а1=60;

а);

б); n=200

Ответ: 200 дней.

Задача 15. Цена нового автомобиля 60 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8% от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через n лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 15000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

Решение:

Цена автомобиля будет уменьшаться в арифметической прогрессии.

a1=60000;

a);

б) ; поэтому при п>9,357 цена будет меньше, значит п=10

Ответ: через 10 лет его стоимость будет 12000 р.

Задача 16. Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 3 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Решение:

Доход по акциям растет в арифметической прогрессии.

а1=0;

a) a2=2000,

б), n=5

Ответ: через 5лет.

Задача 17. При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10% стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 1,5% от ее стоимости. Стоимость купленной им квартиры в долларах США составляет 36000.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через n месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год, через 2 года после заключения договора.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через n месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько остается заплатить через 1 год, через 2 года.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях а) и б), откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчет, а по вертикальной оси - денежные суммы.

Решение:

Сначала покупатель заплатил р.

Затем долг за квартиру можно представить виде арифметической прогрессии

а1=36000-3600=32400;

a)

б)

месяцев, то есть n=5лет.

г) см. рис.

К теме 5. Нестандартные, занимательные задачи, олимпиадные задачи.

Задача 1. Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1 процент, второе -- на 4 процента. Могла ли их сумма увеличиться на 3 процента?

Ответ. Сумма могла увеличиться на 3 процента.

Покажем, как можно найти бесконечно много примеров. Пусть первое число равно x, а второе число - y. Тогда, первое число после увеличения равно x + 0,01x = 1,01x, а второе - y + 0,04y = 1,04y. Сумма увеличенных чисел равна 1,01x + 1,04y.

С другой стороны сумма чисел увеличилась на 3%, то есть равна 1,03(x + y).

Можно составить уравнение 1,01x + 1,04y = 1,03(x + y). После преобразования, получим 2x = y. Значит, если число y в два раза больше числа x, то сумма увеличивается на 3%. Такому соотношению удовлетворяют, например, числа x = 1, y = 2 или х = 2,02, у= 4,04.

Задача 2. На острове всех мужчин женаты и всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Решение

Пусть число супружеских пар на острове равно N, то есть замужем N женщин, женаты N мужчин. Замужние женщины составляют всех женщин острова, значит, на острове N женщин. Женатые мужчины составляют всех мужчин острова, значит, на острове N мужчин. Всего на острове

N +N = N жителей, а в браке состоит 2N жителей. Искомая доля равна=.

Задача 3. В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков - греческий или латынь, а некоторые - оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?

Решение.

Прежде чем приступать к решению задачи, на занятиях учащимся целесообразно предложить нарисовать схему на кругах Эйлера. Наглядно изобразив данные задачи, решение для школьников станет очевидным.

1 способ. Поскольку 85% всех ребят знают греческий язык, то 15% его не знают, т.е. знают латынь. Это значит, что из 75% ребят, знающих латынь, 15% не знают греческого, а оставшиеся 75%-15%=60% говорят на обоих языках. Если бы мы начали решение не со знающих греческий, а со знающих латынь, ответ получился бы тот же, только 60% мы получили бы как разность 85%-25%.

2 способ:

1) 85% +75% = 160%

2) 160% - 100% = 60%

Ответ: Оба языка знают 60% ребят.

Задача 4. Сколько чистого серебра нужно прибавить к 200 г серебра 835-й пробы, чтобы получить серебро 875-й пробы?

Задача 5. В некотором царстве, в некотором государстве стоимость алмаза пропорциональна квадрату его массы. При огранке алмаза откололась некоторая его часть.

1) На сколько процентов уменьшилась суммарная стоимость кусков, если алмаз раскололся пополам?

2) На сколько процентов уменьшилась стоимость алмаза, если откололась алмаза?

3) Какая часть алмаза откололась, если его стоимость уменьшилась на 36%?

Решение.

1. Пусть m - первоначальная масса алмаза, а km2 - его первоначальная стоимость, где k - коэффициент пропорциональности. Стоимость двух кусков составляет k()2+k()2=k*, или 50%, от km2. Стоимость алмаза уменьшилась на 50%.

Задача 6. Среди жителей некоторой африканской деревни 800 женщин.

Три процента из них носят по одной серьге. Половина остальных женщин носит по две серьги. Остальные вообще не носят серег. Сколько серег можно насчитать в ушах у всего женского населения деревни?

Решение.

97% женщин носят в среднем по одной серьге: в этой группе число женщин, обходящихся без серег, в точности равно числу женщин, носящих две серьги.

Если учесть, что оставшиеся 3% живущих в деревне женщин также носят по одной серьге, несложно сообразить, что общее число серег в ушах у женщин деревни равно числу женщин, т.е. 800.

Задача 7. М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?

Решение.

Примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим через х, а стоимость кваса - через у. Составим уравнения: х+у=1 - до повышения цен, 1,2(0,5х+у)=1 - после повышения. Значит, 0,6х+1,2у =1. Откуда находим х и у, затем считаем 1,2 · 1,2 у - стоимость кваса после двух повышений цен.

Задача 8. В кружке, где занимается Миша, более 93% участников - девочки. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка?

Решение. Из n участников Миша составляет 100/п %. Если 100/п <7, то n > 100/7= 14.

Ответ: 15.

Задача 9. Рост человека археологи могут определить даже по отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости составляет 16% роста человека.

а) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 39,3 см. Вычислите, каков был рост человека.

б) Как можно доказать, что кость длиной 20,3 см не могла принадлежать тому же человеку?

Решение.

а) 39,3:22·100178,6 (см)

б) 20,3: 16·100126,9(см).

Так как эти длины отличаются друг от друга приблизительно на 50 см, то очевидно, что кости принадлежали различным людям.

Размещено на Allbest.ru