Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Записываем краткую запись 1 задачи в соответствующий столбец, отступив строчку, как показано в приложении «Вид доски».

Читаем вторую задачу и отвечаем на тот же вопрос: «На какую из задач на дроби похожа данная и почему?»

Записываем краткую запись 2 задачи в соответствующий столбец, отступив строчку.

Читаем третью задачу и отвечаем на вопрос:

«можно ли ее записать в третий столбец и почему»

Вызываем трех учеников к доске и предлагаем учащимся записать названия для типовых задач на проценты.

Поскольку учащиеся уже знакомы с решением типовых задач на проценты 1 способом (опирающимся на содержательный смысл понятия «процент»), то предлагаем им самостоятельно решить задачи известным способом. Затем осуществляем проверку.

Рассматриваем вторые способы решения задач.

Разбираем первую задачу. Обращаем внимание учащихся на то, как решалась соответствующая задача на дроби.

А как нам поступать, если доля выражена

процентами?

Учитель рисует схемы и записывает на доске вторые способы решения задач под диктовку одного из учеников.

Аналогичные рассуждения для задач 2 и 3 типа

Решение задач из раздаточного материала. (Необходимо, чтобы он был у каждого.)

Просим одного ученика прочитать задание.

Учитель по цепочке спрашивает учеников

Далее приступаем ко второму заданию - решению задач.

По одному ученику вызываем к доске. При решении задач определяют что известно, что требуется найти; к какому типу она относится; оформляют краткую запись, решают 2 двумя способами, записывают ответ.

Учитель обсуждает с учащимися способ решения задач на проценты, с которым они познакомились на этом уроке.

Объявляются оценки и заносятся в журнал

Учитель объявляет домашнее задание: задания 3 и 4 из раздаточного материала.

Комментируя домашнее задание, следует отметить, что задачи решаются и оформляются по аналогии с тем, как мы делали это в классе.

Благодарит за урок.

Приветствие учителя.

Один ученик выходит к доске, и работает на обратной стороне одного из крыльев доски. Остальные учащиеся работают в тетрадях.

Учащиеся проверяют правильность выполняемого задания в тетрадке одноклассника. Вместе с тем, сверяя ответы с доской.

Ученики, не переписывая условий задач, перерисовывают таблицу, рисуют схемы, пишут краткую запись, название для каждого типа задач и решают каждую задачу.

«От 25 конфет мы съели какаю-то часть, поэтому первая задача похожа на задачу «нахождение дроби от числа»

Делают соответствующие записи в тетрадях.

В этой задаче нам известна часть, которую съели, требуется найти целое, поэтому записываем ее во второй столбец

В третьей задачи необходимо найти какую часть одна величина составляет от другой, что показывает нам отношение этих величин, поэтому третью задачу записываем в третий столбец.

Ученики, работающие у доски, записывают в таблицу: «Нахождение нескольких процентов от величины»,

«Нахождение величины по ее процентам», «Отношение величин, выраженное в процентах»

Остальные - в тетрадях.

Три ученика у доски, остальные - в тетрадках.

Учащиеся садятся.

Нам необходимо было найти часть от величины, и мы эту часть, выраженную десятичной дробью, умножили на величину.

Представить проценты

в виде десятичных дробей. А дальше решать как задачи на дроби.

Ученики делают соответствующие записи в тетрадях.

В первом задании

необходимо определить к какому типу относятся предложенные задачи.

Ученики, приводя соответствующие рассуждения, отвечают. Остальные внимательно слушает, по необходимости исправляют отвечающего.

Один у доски, остальные в тетрадях

Ученику необходимо записать решение задачи в соответствующий столбец.

Записывают домашнее задание в тетрадь

Следует оговорить, что целесообразнее расположить страницу тетрадки горизонтально, поскольку данную таблицу мы будем продолжать

Задачи можно также можно спроэктиро-вать на экран или разместить их на листочках с раздаточным материалом.

Вид доски на начало урока Табл.10

	Число, классная работа Задачи на дроби	Задачи на проценты Было 25 конфет. Съели 20% всех конфет. Сколько конфет съели? Антон съел 3 конфеты, что составило 15% всех конфет, купленных мамой. Сколько конфет купила мама? В вазе было 24 конфеты: 18 «Красная шапочка» и 6 «Ласточка». Какой процент всех конфет составляли конфеты «Ласточка»?
	Было 25 конфет. Съели 0,4 всех конфет. Сколько конфет съели?	Антон съел 4 конфеты, что составило 0,2 всех конфет, находящихся в вазе. Сколько конфет лежало в вазе?	В вазе было 24 конфеты: 18 «Красная шапочка» и 6 «Ласточка». Какую часть всех конфет составляли конфеты «Ласточка»?

Вид доски на начало этапа урока «Объяснение нового материала»

Табл.11

	Число, классная работа Задачи на дроби	Задачи на проценты Было 25 конфет. Съели 20% всех конфет. Сколько конфет съели? Антон съел 3 конфеты, что составило 15% всех конфет, купленных мамой. Сколько конфет купила мама? В вазе было 25 конфеты: 17 «Красная шапочка» и 8 «Ласточка». Какой процент всех конфет составляли конфеты «Ласточка»?
	Нахождение дроби от величины Было 25 конфет. Съели 0,4 всех конфет. Сколько конфет съели? 25 конфет 0,4 всех Решение. 25·0,4=10 (к) Ответ: 10 конфет.	Нахождение величины по ее дроби Антон съел 4 конфеты, что составило 0,2 всех конфет, находящихся в вазе. Сколько конфет лежало в вазе? 4 конфеты 0,2 всех Решение. 4:0,2=20 (к) Ответ: 20 конфет.	Нахождение отношения величин В вазе было 25 конфеты: 17 «Красная шапочка» и 8 «Ласточка». Какую часть всех конфет составляли конфеты «Ласточка»? 25 конфет 17 кон. 8 кон. Решение. 8:25 = Ответ:
	Задачи на проценты

Вид доски на этапе урока «Первичное закрепление»

Табл.12

	Число, классная работа Задачи на проценты
	Нахождение нескольких процентов от величины № задачи Краткая запись Решение Ответ	Нахождение величины по ее процентам № задачи Краткая запись Решение Ответ	Нахождение отношения величин, выраженное в процентах № задачи Краткая запись Решение Ответ

Вид доски в конце этапа урока «Объяснение нового материала»

Табл.13

	Число, классная работа Задачи на дроби	Задачи на проценты Было 25 конфет. Съели 20% всех конфет. Сколько конфет съели? Антон съел 3 конфеты, что составило 15% всех конфет, купленных мамой. Сколько конфет купила мама? В вазе было 25 конфеты: 17 «Красная шапочка» и 8 «Ласточка». Какой процент всех конфет составляли конфеты «Ласточка»?
	Нахождение дроби от величины Было 25 конфет. Съели 0,4 всех конфет. Сколько конфет съели? 25 конфет 0,4 всех Решение. 25·0,4=10 (к) Ответ: 10 конфет.	Нахождение величины по ее дроби Антон съел 4 конфеты, что составило 0,2 всех конфет, находящихся в вазе. Сколько конфет лежало в вазе? 4 конфеты 0,2 всех Решение. 4:0,2=20 (к) Ответ: 20 конфет.	Нахождение отношения величин В вазе было 25 конфеты: 17 «Красная шапочка» и 8 «Ласточка». Какую часть всех конфет составляли конфеты «Ласточка»? 25 конфет 17 кон. 8 кон. Решение. 8:25 = Ответ:
	Задачи на проценты
	Нахождение нескольких процентов от величины 25 конфет 20% 1 сп. 1) 25:100=0,25 (к) 2) 20·0,25=5 (к) 2 сп. 1) 20%=0,2 2) 25·0,2=5 (к) Ответ: 5 конфет.	Нахождение величины по ее процентам 3 конфеты 15% 1 сп. 1) 3:15=0,2 (к) 2) 0,2·100=20 (к) 2 сп. 1) 15%=0,15 2) 3:0,15=20 (к) Ответ: 20 конфет.	Нахождение отношения величин, выраженное в процентах 25 конфет 17 кон. 8 кон. 1 сп. 1) 25:100=0,25 (к) 2) 8:0,25=32% 2 сп. ·100%=32% Ответ: 32%.

Раздаточный материал.

Прочитайте задачи и определите, к какому типу задач на проценты они относятся.

1) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров продали?

2) В соревнованиях было 9 победителей, что составило 18% числа всех участников соревнований. Сколько было участников соревнований?

3) В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько девочек в школе?

4) Сколько процентов числа 50 составляет число 40?

5) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

6) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе?

2. Решите задачи двумя способами.

Задача 1. Фирма выпустила 1200 компьютеров. Из них 16% нового образца. Сколько компьютеров нового образца выпущено?

Задача 2. Из всего выпуска школы 12 учеников изучают французский язык, что составляет 16% от количества всех выпускников. Сколько выпускников в школе?

Задача 3. Сколько процентов число 6 составляет от числа 8?

Задача 4. В городе 100000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Определите количество коренных жителей в этом городе.

Задача 5. В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

Задача 6. В магазин привезли партию лампочек. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% от общего числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

Задание на дом:

Придумать и записать задачи, решение которых представлены ниже:

а) 125 : 5 · 100= 2500

б) 1) 30% = 0,3

2) 120 · 0,3 = 36

в) · 100%= 75%

Решить составленные задачи другим способом.

4. Решить задачи двумя способами.

1) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

2) В соревнованиях было 9 победителей, что составило 18% числа всех участников соревнований. Сколько было участников соревнований?

4) Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

Примечания

В анализируемых нами учебниках при решении задач на проценты они переводятся в десятичные дроби, поэтому в предложенном нами конспекте урока рассмотрен именно такой способ решения типовых задач. Возможен и другой вариант: при решении задач на проценты переводим их в обыкновенные дроби, а далее решаем соответствующие задачи «на дроби».

Если позволяют размеры доски, то перед началом решения задач на проценты, не следует стирать соответствующие задачи на дроби.

Задачи на «Нахождение нескольких процентов от числа», «Нахождение числа, если известны несколько его процентов», «Отношение чисел, выраженное в процентах» предполагается рассмотреть на следующем уроке.

4.3 Устные упражнения по теме «Проценты»

Одна из важнейших задач обучения школьников математике - формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии и т. д. нельзя решать, не обладая элементарными способами вычислений.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5-6 лет обучения. У детей с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой. Устные упражнения должны применяться во всех подходящих случаях! Задача учителя состоит в том, чтобы найти максимум педагогических ситуации, в которых ученик стремится производить в уме арифметические действия.

Поэтому учителю необходимо формировать у детей вычислительные навыки, используя различные виды устных упражнений.

Вычислительные навыки достигают высшего уровня своего развития лишь в результате длительного процесса целенаправленного их формирования. Формирование у школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также воспитательное значение: считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, развитию памяти детей, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления. Устный счет имеет широкое применение и в обыденной жизни: он развивает сообразительность учащихся, ставя их перед необходимостью подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет облегчает письменные вычисления.

Анализируя программу по математике в 5-6 классах, видим, что важнейшими вычислительными умениями и навыками, связанными с процентами, являются:

- свободное владение вычислением 1%, 10%, 20%, 25%, 50%, 75%, 200% числа (величины);

- прикидка результата при вычислении, например, 30%, 19%, 24% и т.п.;

- интерпретирование количественной информации, представленной в форме диаграмм и таблиц.

Часть приемов может применяться при работе со всем классом, часть, направленная на развитие внимания, памяти и мышления, может подбираться для группы учеников.

Задачи «целое содержит 100 % самого себя»

1) Одновременно проводились соревнования по прыжкам в высоту и в длину. 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, 75% - в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?

2) Туристы проехали 80 % намеченного маршрута на поезде и 15 % - на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

3) Маша потратила 70 % имевшихся у нее денег на книги и 30 % - на тетради. Все ли деньги потратила Маша?

Упражнения, приведенные в таблицах 14-15, следует выполнять по столбцам (начиная с легкого А, заканчивая столбцом Д), тем самым повышая уровень сложности выполняемых заданий.

Табл. 14 Вырази в процентах числа

А	Б	В	Г	Д
10 100 1000 1 0,1 0,01 1 0,001 10000 0,0001	0,87 0,1 0,18 7 0,03 4,5 0,6 0,09 0,16 0,95	1,6 2 4,3 1,23 3,07 1,2 4,04 0,5 2,78 5,6	0,067 3,531 0,45 0,273 2,82 10,2 0,54 1,71 0,053 0,364	1,52 0,21 0,118 0,053 2,042 3,94 0,045 0,37 0,254 5,081

Представь в виде десятичных дробей:

Табл. 15

А	Б	В	Г	Д
10% 74% 6% 23% 39% 80% 46% 1% 30% 100%	99% 50% 3% 81% 37% 100% 15% 63% 20% 94%	4% 90% 67% 80% 2% 8% 23% 900% 261% 800%	240% 4% 17% 700% 140% 38% 550% 190% 1000% 300%	318% 130% 600% 482% 134% 220% 7,5% 30,8% 0,6% 23,8%

Упражнения, приведенные в таблицах 16-17, можно выполнять и по столбцам, и по строкам.

Найти указанное число процентов от каждого числа в столбце

Табл. 16

А Найдите 1% от:	Б Найдите 2% от:	В Найдите 10% от:	Г Найдите 5% от:	Д Найдите 75% от:	Е Найдите 25% от:	Ж Найдите 50% от:
200 8 0,5 30 1000 1,2 5800 100 0,01 7	10 300 0,8 50 7000 0,2 60 3 400 9000	300 5 0,2 80 32,6 0,8 50 200 1 16	4 200 80 0,4 1,6 100 6 0,2 20 1	200 0,06 4 0,2 1000 0,08 400 2 0,1 60	4000 600 0,4 8 60 0,04 0,8 1,6 40 72	10 8000 0,1 500 3 40 2000 60 1 500

Найдите число, если известно его p%.

Табл. 17

А 1% его равен:	Б 2% его равны:	В 5% его равны:	Г 10%его равны:	Д 20%его равны:	Е 25%его равны:	Ж 50% его равны:
1 5 8 0,5 30 200 1000 1,2 5800 100	10 300 0,8 50 70 0,2 60 3 400 900	30 5 0,25 80 35 0,8 50 200 1 16	4 200 80 0,4 1,6 100 6 0,2 20 1	200 300 2000 1000 400 100 60 20 40 4	4000 10000 600 0,4 8 60 0,04 0,8 1,6 40	10 8000 0,1 500 3 40 2000 60 1 500

Нахождение p% от числа или величины. Текстовые задачи.

1) Найдите 5 %; 17 %; 23 % от: а) 1 рубля; 6)1 метра; в) 1 центнера.

2) Увеличьте число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%;3) 40 на 50%;4) 425 на 4%.

3)Уменьшите число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%; 3) 90 на 50%; 4) 125 на 20%.

4) Что больше:

а) 30% от 40 или 40 % от 30?

б) 80 % от 60 или 60 % от 70?

5) Определите без вычислений, что больше: а) 12% от 34 или 13% от 34; б) 12% от 49 или 12% от 50.

Для заданий 6 - 8 учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до ответа.

6) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

7) В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

8) В городе 100000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Определите количество коренных жителей в этом городе.

Для следующих заданий также учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до конца. Но ниже представленные задачи сложнее предыдущих в силу того, что они решаются не в одно действие, и, поэтому, труднее воспринимаются на слух. Целесообразнее в слабых классах тексты задач представить на доске, презентации, и т.п.

9) У Алеши 80 марок, у Бори - на 20 % больше, чем у Алеши. У Вовы на 25% меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

10) В библиотеке 98000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% - учебники. Сколько учебников на русском языке в библиотеке?

Нахождение величины, если известны ее p%.

1) В соревнованиях было 9 победителей, что составило 18% числа всех участников соревнований. Сколько было участников соревнований?

2) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе?

3) В магазин привезли партию лампочек. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% от общего числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

Нахождение процентного отношения двух чисел и изменения величины в процентах.

1) Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

2) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

3) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

Проценты и банковские расчеты

1) Несколько лет назад сберегательные кассы выплачивали доход из расчета 2 % вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили:

1)100р.; 2)200р.; 3)1000р.; 4)12000р?

2) При продаже товара за 393 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.

Задания на оценку и прикидку результатов при вычислении

Выполните прикидку и выполните примерно:

а) 21% от 160 б) 49% от 540 в) 74% от 605	г) 24% от 2046 д) 19% от 5100 е) 11% от 30000	ж) 19% от 120 кг з) 52% от 697 р. и) 26% от 810 м	к) 21% от 1990 р. л) 76% от 4012 км м) 9% от 200 г

Сколько примерно процентов составляет:

а) всех книг библиотеки; б) денежного вклада;	в) всех жителей Москвы; г) семейного бюджета;

Работа с диаграммами

Диаграммы дают представление учащимся о наглядном изображении распределения отдельных составных частей какой-нибудь величины. При выполнении устных упражнений у учеников должен сформироваться навык чтения диаграмм, умения выделять и группировать данные, другими словами, уметь интерпретировать количественную информацию, представленную в форме диаграмм.

На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды. (Диаграмма должна быть представлена на экране посредством проектора). Ученикам предлагается ответить на следующие вопросы:

а) Какова основная продукция данного ателье?

б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего?

в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета?

г) Какой из следующих ответов может показывать, сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 24%, 17%, 10%, 6%?

4.4 Тематическая рабочая тетрадь по теме «Проценты» для учащихся 5 (6) классов

Пояснительная записка.

Важность данной темы заключается в ее тесной связи с другими понятиями математики, алгебры и геометрии, поэтому упрощение введения и успешного закрепления материала данной темы для наилучшего усвоения является одной из главных задач.

Предлагаемая тетрадь является тематической, и применяется преимущественно на начальных этапах изучения темы. Ранее рабочих тетрадей, посвященных исключительно изучению темы «Проценты», не было. Здесь же материал систематизирован, структурирован, содержит задания с приведенными вариантами решений, а также задачи для самостоятельного решения и контрольные задания.

При формировании понятия «процент» используются следующие типы упражнений:

- задание на определение закрашенной доли, которое направлено на отработку таких навыков, как усвоение понятия процента, умение по рисунку определять какая часть фигуры закрашена, и полученное отношение представлять в виде процентов.

- задание на воспроизведение данной процентной величины в рисунок, направленное на формирование таких навыков, как умение в рисунке отобразить данный процент, на усвоение определения процента как одной сотой части числа или величины.

- задание на формирование умений представлять обыкновенные и десятичные дроби в виде процентов и проценты в виде обыкновенной и десятичной дробей с опорой на рисунок.

Данная рабочая тетрадь может служить дополнением к учебникам, используемыми государственными общеобразовательными учреждениями. Для учеников, обучающихся по учебникам «Математика», 5,6 класс, под редакцией Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон [46,47], применение тетради возможно на уроках в 6 классах без каких-либо дополнительных сведений, сообщающихся учителем. При обучении по другим учебным комплектам, рекомендованным Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе, необходимы либо комментарии учителя к задачам из пунктов «Задачи на смеси и растворы» и «Понятие простого и сложного процентного роста в экономике», либо рассмотрение данных задач на факультативных часах, либо отложено выполнение этих заданий на более поздние сроки.

В рабочую тетрадь включены задания, которые позволяют организовать практическую деятельность учащихся. Это освобождает детей от работы непринципиального характера, позволяет увеличить объем учебной работы и сосредоточить внимание на главном.

Ожидаемые результаты

Учащиеся должны знать:

- содержательный смысл термина ”процент” как специального способа выражения доли величины;

- формулы начисления “сложных процентов” и простого роста;

- что такое концентрация, процентная концентрация.

Учащиеся должны уметь:

- соотносить процент с соответствующей дробью и наоборот;

- решать типовые задачи на проценты;

- применять алгоритм решения типовых задач к решению более сложных задач;

- использовать формулы начисления “сложных процентов” и простого процентного роста при решении задач;

- решать задачи на сплавы, смеси, растворы;

- производить прикидку и оценку результатов вычислений;

- при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, использовать приемы, рационализирующие вычисления.

Возможны различные формы работы с тетрадью. Часть задач можно использовать для дифференцированной работы с сильными и слабыми учащимися. Более сложные задачи отмечены значком «*». Часть задач, предлагаемых в этой тетради, можно использовать в качестве домашней или самостоятельной работы.

Рабочая тетрадь была составлена с учетом программных требований к изучению темы «Проценты» в 5 - 6 классах:

Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова Н.Г. Миндюк. - 4-е издание, стереотип. - М.:Дрофа, 2004. - 320 с.

А также, разрабатывалась на основании литературы:

Математика. 6 кл.: Рабочая тетрадь к учебнику под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 2000.

Математика: Тематическая рабочая тетрадь для восстановления базовых знаний: Части; Отношения; Пропорции и др. Юрченко Е.В., Слуцкий Л.Б.

Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. - Москва: Дрофа, 2003г.

Рабочая тетрадь

Слово процент произошло от латинского выражения «procentum», что означает «со ста». Само понятие процента оказалось универсальным. Оно весьма удобно для описания многих экономических, финансовых, научных и практических объектов, для сравнения скорости изменения тех или иных величин, оценки эффективности работы и многого другого. Но прежде, чем научиться использовать проценты в практических или научных целях, необходимо овладеть математической техникой работы с процентами. В конце раздела содержится тест, который позволит вам определить, насколько хорошо вы овладели темой.

Повторение. Доли и дроби.

У брата и сестры одно яблоко, и они разрезали его на две равные части. Каждая из образованных долей яблока составляет его половину, или одну вторую часть. Если яблоко разрезать на три равные части, на четыре или на пять равных частей, то получатся доли, которые называют так: одна треть, одна четвертая, одна пятая и т.д.

Квадрат разделили на равные части. Какую долю целого квадрата составляет каждая их этих частей?

рис 9.

рис.10 рис.11

Прямоугольник на рис. 12 разделили на три равные части, и две третьих этого прямоугольника закрасили.

рис. 12

Для обозначения такой части используют специальную запись:. Такую запись называют дробью. Число внизу, под чертой, показывает, на сколько равных частей делят целое. Его называют знаменателем дроби. Число вверху, над чертой, показывает, сколько таких частей взяли. Его называют числителем дроби.

Если взять все три его части, то получить прямоугольника. Но это весть

прямоугольник целиком, то есть дробь соответствует целому прямоугольнику. (Рис. )

Два одинаковых прямоугольника разделили на три равные части. Если взять один прямоугольник целиком и еще две части от другого прямоугольника, то получится прямоугольника (Рис. 13 ).



рис. 13

У дроби числитель меньше знаменателя, у дроби числитель равен знаменателю, у дроби числитель больше знаменателя.

Дробь, числитель которой ___________ знаменателя, называется правильной.

Дробь, числитель которой __________ знаменателя, или _________, называется неправильной.

Определите, на сколько равных частей разделен квадрат на рисунке 14. Какая его часть закрашена. Какая часть квадрата осталась не закрашенной?

рис. 14

Разделите квадрат на рис. 15а на две равные части и одну из них закрасьте. Закрашенная часть составляет ________ квадрата.

Теперь разделите квадрат на рис. 15б на 4 равные части и две из них закрасьте. Теперь закрашено ______ квадрата. В обоих случаях закрашена одна и та же часть квадрата, а значит, полученные дроби ______ и ______ выражают одну и ту же величину. Такие дроби называются равными.

Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится ________

Нахождение доли от числа или величины.

Теперь мы вспомним как найти долю от числа или величины, выраженную обыкновенной или десятичной дробью. Как вы уже знаете, для этого надо умножить данное число (или величину) на эту долю.

Пример. от числа 90 составляют 90 · = 30;

Пример. 0,28 от 50 сантиметров равняется 50 · 0,28 =14 см.

?Найдите Найти 0,75 от числа 75 Решение: ______________________________ Ответ: ________________ .	?Найдите от 75 минут Решение:______________________________ Ответ: ________________ .

Если прямоугольник составлен из 24 клеток, то сколько клеток будет содержаться в прямоугольника? Ответ изобразите с помощью рисунка:

рис. 16

Для того, чтобы найти число по его доле, надо разделить данное число на эту долю.

Пример. Если некоторого числа равны 28, то само это число равно 28 : =40.

Пример. некоторого числа равны 64.Найти это число.

Решение:____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Понятие «процент»

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название - процент. Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра.

Определение. Один процент от некоторого числа или величины - это сотая доля этого числа или величины.

Для обозначения процента введен знак % : 1%=0,01

Чтобы найти один процент от величины, нужно разделить эту величину на 100 или умножить на 0,01.

Например, 1% от числа 150 равен 1,5; 1% от 18 метров равен 18 сантиметрам.

Заметим очевидный факт: 100% от числа равны этому числу, т.е.

100%=1

Выясним, как найти требуемый процент от числа.

Пример. Найдите 1% от числа 72.

Решение:

1-й способ. Найти 1% от числа 72 - это значит найти одну сотую долю числа 72, т.е. 72:100=0,72

2-й способ. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Значит, чтобы найти 1% от числа 72 достаточно умножить это число на 0,01:

72·0,01=0,72

Ответ: 0,72.

Пример. Найдите 1% от 2,65.

Решение:

1-й способ: 2,65:100=0,0265.

2-й способ: 2,65·0,01=0,0265.

Ответ: 0,0265.

?Найдите 1% от 12,431 Решение: ______________________________ Ответ: ________________ .	?Найдите 1% от Решение:______________________________ Ответ: ________________ .
?Найдите 1% от 10000 метров Решение: ______________________________ Ответ: ________________ .	?Найдите 1% от 1 Решение:______________________________ Ответ: ________________ .

Решим следующий пример: необходимо число процентов представить в виде десятичной дроби.

Пример. Т.к. 1%=0,01, то 42%=42·0,01==0,42, т.е. 42% от какой-либо величины составляют сорок две сотых этой величины.

20% = = 0,2

Квадрат содержит 10 х 10 клеток (Рис. 19а-г). Для каждого рисунка ответьте на вопросы: Сколько сотых долей квадрата закрашено? Сколько процентов квадрата закрашено?

Сколько процентов квадрата не закрашено?

Рис. 19

Квадрат

Рис 19 в) Рис. 19 г)

Закрасьте указанную часть квадрата:

Рис. 20 а) Рис. 20 б)

а) 18 % квадрата б) 70 % квадрата

?Заштрихуйте на рисунки указную часть круга: Рис. 21

25% 50% 75% 100%

10% 30% 70% 90%

20% 40% 60% 80%

Запишите в виде десятичной дроби

2% = 2,25. 18% =____________________	42,5% =__________________ 104,6% =_________________

Для того, чтобы дробь представить в виде процента, нужно эту дробь умножить на 100%

Пример. Представить десятичную дробь в виде процента.

Решение: 0,4 = 0,4 ·1 = 0,4·100% = 40%

?Обратите дробь в проценты.

а) 0,23=23% б)0,437= ___________________ в)1,697= __________________	г) =·100%=16%. д) = _____________________ е) 1=______________________

Заполните таблицу по образцу.

Табл. 18

Обыкновенная дробь
Десятичная дробь	0,25	0,(6)		0,58
Проценты	25%	66%			42%		110%

Какая часть прямоугольника закрашена? Выразите эту часть в процентах.

Рис.22

1)

2)

3)

4)

Теперь рассмотрим задачу на нахождение процента от числа.

Пример. Найдите 20% от числа 80.

Решение:

1 способ.

1% от числа 80 - это одна сотая часть данного числа, т.е. 80·0,01=0,8. Отсюда 20% равны 0,8·20=16.

2 способ.

Само число 80 - это 100%. Тогда 20% от него составят долю в =. Таким образом, нам необходимо найти от числа 80, что равно 80·=16.

Ответ: 16.

Итак, мы можем сформулировать два основных способа нахождения требуемого процента от числа:

1 способ.

1) Найти, чему равен 1% от числа (величины);

2) умножить найденное число (величину) на заданное число процентов.

2 способ.

Найти, какую долю от числа составляет данный процент, т.е. перевести проценты в обыкновенную или десятичную дробь путем деления на 100%;

умножить исходное число на эту долю.

При решении задач можно применять любой из этих способов.

Примеры. Найдите заданный процент от числа двумя способами.

1 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.	2 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.

Найдите 60% от 20.

Ответ: _______________ .

1 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.	2 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.

Найдите 20% от 60.

Ответ: _______________ .

Замечание. Обратите внимание, что х% от у и у% от х - это одно и то же число (величина).

Найдите заданный процент от числа любым способом.

1.Найдите 18% от 40 .

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

2.Найдите 2,5% от 62.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

3.Найдите 42% от 70.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

4.Найдите 5% от .

Решение:

1. _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

5.Найдите 6% от.

Решение:

6.Найдите 106% от 100 .

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

7.Найдите 107% от 40.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Замечание. В последних двух пунктах результат больше, чем данное число. Как вы это объясните?

Рассмотрим теперь такую задачу: пусть дано, что a% от неизвестного числа b равны с. Требуется найти b.

Пример. 30% от некоторого числа равны 37,5. Найдите это число.

Решение. В этом примере можно предложить два варианта решения.

1 способ.1% от искомого числа составляет =1,25. Тогда само число равно 1,25·100=125.

2 способ. 30% соответствуют доле в. Таким образом, b=37,5, где b - искомое число.

Отсюда b==125.

Ответ: 125.

Таким образом, найти число по процентам можно двумя основными способами:

1 способ.

Найти, чему равен 1% искомого числа;

результат умножить на 100%.

2 способ.

1) Выразить процент дробью (обыкновенной или десятичной);

2) разделить заданную часть числа на эту дробь.

Пример. 46 составляет 23% от некоторого числа. Найдите это число. Решить двумя способами.

Ответ: ________________ .

Пример. Найдите число, 2,5% которого равно 105. Решить двумя способами.

Ответ: ________________ .

Найдите число, 70% которого равны 3,5. Решить любым способом.

Решение:

1) _____________________; 2) ______________________ . Ответ:

Найдите число, если 5 составляет 22% от него. Решить любым способом.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Пример. Число x составляет 4,5% от числа y. Найдите y.

Решение:

y = · 100=5х

Ответ: 5х.

Число a составляет 150% от числа b. Найдите b.

Решение: _____

Ответ: ________________ .

?Число m составляет 4,5% от числа n. Найдите n.

Решение:

Ответ: ________________ .

Рассмотрим такую задачу. Найти, сколько процентов составляет одно число от другого, если нам известны эти числа.

Пример. Сколько процентов число 6 составляет от числа 8?

Решение. В этом примере также можно предложить два варианта решения.

1 способ:

1) 1% от числа 8 составляет = 0,08.

2) Тогда искомое число равно 6 : 0,08=75%.

2 способ:

1) =0,75.

2) 0,75·100%=75%.

Ответ: 75%

Таким образом, найти, сколько процентов составляет число а от числа b если нам известны два числа, можно двумя основными способами:

1 способ:

1) Найти, чему равен 1% числа b;

2) Разделить a на 1% числа b.

2 способ:

1) Найти, какую долю числа составляет число a от b;

2) Получившееся число умножить на 100%.

Сколько процентов число 18 составляет от числа 120? Решить двумя способами.

Сколько процентов число 45 составляет от числа 135? Решить двумя способами.

1 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.	2 способ. 1) ______________________________; 2) ______________________________.

Ответ: _________________ .

Сколько процентов число 135 составляет от числа 45? Решить любым способом.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Сколько процентов число х составляет от числа 100? Решить любым способом.

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Сколько процентов число х составляет от числа 5х?

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Сколько процентов число 5х составляет от числа 4х?

Решение:

1) _____________________; 2) _____________________ . Ответ:

Текстовые задачи на процентные вычисления

Пример. Фирма выпустила 1200 компьютеров. Из них 16% нового образца. Сколько компьютеров нового образца выпущено?

Решение:

1-й способ:

1200:100·16=192 (компьютера)

2-й способ:

1) 16% = 0,16

2) 1200·0,16=192 (компьютера)

3-й способ:

Составим пропорцию: 1200 к. - 100%

х к. - 16%,

т.е. =

х=1200·16:100

х=192 (компьютера).

Ответ: 192компьютера.

?Из молока получается 40% творога. Сколько творога получится из 63,8 кг молока? Решить любым способом.

Решение:

Ответ: ________________ .

Пример. Из всего выпуска школы 12 учеников изучают французский язык, что составляет 16% от количества всех выпускников. Сколько выпускников в школе?

Решение:

1-й способ:

12:16·100=75 (учеников).

2-й способ:

1) 16% = 0,16

2) 12:0,16=75 (учеников).

3-й способ:

Составим пропорцию: 12 уч. - 16%

х уч. - 100%,

т.е. =

х=12·100:16

х=75 (учеников).

Ответ: 75 учеников.

?В отеле отдыхали мужчины и женщины. Мужчин оказалось 820 человек, что составляет 40% всех отдыхающих. Сколько отдыхающих в отеле? Решить любым способом.

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Пример. По социологическому опросу 8000 жителей города смотрели сериал, а 6000 смотрели футбол. Какой процент жителей города смотрели футбол и какой процент - сериал, если в городе проживает 48000 жителей?

Решение:

1-й способ:

Найдем часть и переведем ее в проценты:

=; 100=16% - смотрели сериал.

=; ·100=12,5% - смотрели футбол.

2-й способ:

составим пропорции:

48000 ч. - 100% 48000 ч. - 100%

8000 ч. - х % 6000 ч. - у %

х = = 16% у ==12,5%.

Ответ: 16% и 12,5%.

?От веревки длиной 12м. отрезали 60% длины. Сколько метров осталось?

Решение:

Ответ: ________________ .

На сколько 3% от 5 меньше, чем 4% от 4?

Решение:

Ответ: ________________ .

Многие практические задачи, прежде всего по экономике и социологии, связаны с процентным вычислением. Оперировать понятием «проценты» необходимо любому современному человеку. Приведем ниже несколько стандартных несложных задач, с которыми мы часто встречаемся в быту.

Пример. Фирма покупает товар по 148 руб. за 1 кг. и продает с надбавкой 20% в розницу. Найдите розничную цену товара.

Решение:

1-й способ:

148:100·20=29,6 (руб.) - размер надбавки;

148+29,6=177,6 (руб)- розничная цена.

2-й способ:

Составим пропорцию: 148 руб. - 100%

х руб. - 120%,

Т.к. =, то х=

Ответ: 177,6 руб.

?Сбербанк дает 2,5 % годовых. Вкладчик положил в банк 18000 рублей. Сколько денег снимет вкладчик через год?

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Сбербанк дает 2,5% годовых. Через год вкладчик забрал всю сумму-18000 рублей. Сколько денег положил вкладчик год назад?

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Пример. Шаг десятиклассника на 25% длиннее шага шестиклассника. Найдите шаг десятиклассника, если шаг шестиклассника равен 0,6 м.

Решение:

Эта задача аналогична предыдущему примеру, но эту задачу можно решить более коротким способом. Шаг десятиклассника составляет 125% от шага шестиклассника, т.е. если записать дробью, 1,25. Значит, шаг десятиклассника составит 0,6 ·1, 25=0,75м

Ответ: 0,75м.

?Шаг семиклассника на 25% короче шага десятиклассника. Найдите шаг семиклассника, если шаг десятиклассника равен 0,8м.

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Рассмотрим две стандартные задачи, которые вызывают затруднение у детей и взрослых в силу кажущейся двусмысленности.

Пример. На сколько процентов число 8 меньше числа 10?

Решение:

1 способ.

1) 8:10=0,8; /какую часть 8 составляет от 10/

2) 1- 0,8=0,2; /на какую часть 8 меньше, чем 10/

3) 0,2·100=20%. /на сколько процентов число 8 меньше числа 10/

2 способ.

1) Составим пропорцию: 10 - 100%

8 - х

Откуда находим х = 80%

2) 100% - 80% = 20%

Ответ: на 20%.

Пример. На сколько процентов число 10 больше числа 8?

Решение:

1 способ.

1) 10:8=1,25; /во сколько раз 10 больше, чем 8/

2) 1,25-1=0,25; /на какую часть 10 больше, чем 8/

3) 0,25·100=25%. /на сколько процентов число 10 больше числа 8/

2 способ.

1) Составим пропорцию: 8 - 100%

10 - х

Откуда находим х = 125%

2) 125% - 100% = 25%

Ответ: на 25%.

На сколько процентов число 8 больше числа 6? Решить двумя способами.

Ответ: ________________ .

На сколько процентов число 6 меньше числа 8?

Ответ: ________________ .

Пример. Число х увеличили в 8 раз. На сколько процентов увеличили число х?

Решение:

Примем число х за 100%, тогда 8х будет составлять 800%.

800% - 100% = 700%

Ответ: на 700%

Пример. Число х увеличили на 300%. Во сколько раз увеличили число х?

Решение:

Примем число х за 100%, тогда увеличение составляет 3х.

х+3х=4х.

Ответ: в 4 раза.

Пример. 150 рублей увеличили на 50%, а 100 рублей увеличили на 100%. Сравните результаты.

Решение: В первом случае получим 150·1,5=225 руб. Во втором случае 100·2 =200 руб. Итак, 225 руб. >200 руб.

Ответ: Увеличив 150 рублей на 50%, получаем величину, которая больше, чем 100 рублей, увеличенное на 100%.

?100 рублей уменьшили на 50%, а 150 рублей уменьшили на 75%. Сравните результаты.

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Пример. Квартплата в октябре выросла в 1,2 раза. На сколько процентов увеличилась квартплата?

Решение:

1-й способ:

1) Пусть х - первоначальная стоимость квартплаты. Составим пропорцию:

х руб. - 100%

1,2х руб. - m%,

откуда = или m=120%;

2) 120% - 20%=20%.

2-й способ:

1) 1,2=120%,

2) 120% -100% = 20%

Ответ: на 20%.

?Товар стоил 200 руб. В первом квартале цены увеличились на 5%, а во втором снизились на 5 %. Сколько стал стоить товар? Приведите полное решение.

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Пример. Каждый квартал цена товара увеличилась на 5% . На сколько процентов увеличилась цена товара за 2 квартала?

Решение:

Как правило, не подумав, человек говорит на 10%. Конечно, этот ответ неправильный. Дело в том, что второй раз 5% берется от суммы, полученной после первого повышения.

Пусть х руб. - первоначальная цена товара, тогда 1,05х - цена в конце первого квартала, а 1,05·1,05х=1,1025х - цена товара в конце второго квартала. Цена товара изменилась на 1,1025х - х = 0,1025х. Тогда

· 100% = 10, 25%

Ответ: за два квартала цена увеличилась на 10,25%.

В одном городе стоимость электроэнергии была снижена на 5%, а затем повышена на 5%. Во втором городе была снижена на 10%, а затем увеличилась на 10%. В каком городе стоимость стала больше? Выберите верный ответ.

A. в первом городе B. во втором городе C. одинаково

Обоснование ответа:____________________________________________________________

?20% числа а равны 40% числа b. Найдите число b, если а равно 50.

Решение:_____________________________________________________

Ответ: _____________ .

Понятие простого и сложного процентного роста в экономике

Заполните таблицу.

Табл. 19

Денежный вклад (руб.)	3800	5500	3200	15000	8000	12000
Доход	10%	20%	25%	30%	50%	75%
Величина Дохода (руб.)

Заполните таблицу

Табл. 20

Первоначальная цена (руб.)	250		440			160
Процент уценки	10%	20%		15%		12%
Величина уценки (руб.)		30	330		12400
Новая цена (руб.)				170	12400

Заполните таблицу

Табл. 21

Старая цена (руб.)	Повышение цены	Новая цена (руб.)
	в %	в рублях
800	5%
1100		110
2000	15%
4500.			5000
3200		64

Пример. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад 250 тыс.руб. Какая сумма будет на его счете: а) через 3 года; б) через 8 лет? (При условии, что в течение указанного времени клиент не совершал никаких операций по вкладу.)

Решение:

а) Прирост через 3 года составит: =30(тыс.руб.). Значит, на счету будет 250+30=280(тыс.руб.)

б) Прирост через 8 лет составит: =80(тыс.руб.). Значит, на счету будет 250+80=330(тыс.руб.)

Ответ: а) 280 тыс. руб; б) 330 тыс.руб.

Получим общую формулу:

Пусть s - вложенная сумма, p - количество процентов, выплачиваемого ежегодно от суммы первоначального вклада, n - количество лет. Обозначим через sn сумму вклада через n лет. Тогда

sn= s+·n·s = s ( 1+ ·n ). (1)

Это формула простого процентного роста.

?Какую сумму следует заплатить, если платеж 8000 рублей просрочен, и пеня (штраф, начисляющийся за неуплату в срок) составляет 2% от суммы платежа за каждый день просрочки. При этом оплата задерживается а) на 6 дней; б) на 30 дней; в) на год.

Решение: воспользуемся формулой (1).

а)S6=________________________________________________________

б)S30=_______________________________________________________

в)S365=______________________________________________________

Ответ: ________________ .

На первый счет положено 300тыс.руб. под 2% ежегодного роста от суммы вклада. На второй счет 200 тыс. руб. под 3%. На каком счету будет больше через а)10 лет? Б) 50 лет? И на сколько?

Решение:

а) На первом счету: s10=300(1+) = __________________________тыс.руб.

На втором счету: s10=200(1+) = ___________________________тыс.руб.

Ответ: больше на ___________счету на _________тыс.руб.

б) На первом счету: s50тыс.руб.

На втором счету: s50=____________________________тыс.руб.

Ответ: больше на ___________счету на ____________тыс.руб.

?При какой процентной ставке в месяц вклад на сумму 25 тыс.руб. возрастет за 8 месяцев до 30 тыс.руб.?

Решение: Составим уравнение: 25(1+ 8·) = 30;

Ответ: ________________ .

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при простой ставке 2,5% в месяц он увеличивался за год до 26 тыс.руб.?

Решение: Составим уравнение:____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Рассмотрим теперь такую задачу: при «устаревании» некоторых бытовых предметов происходит уценка. Например, фирма купила в пользование новый автомобиль за s тысяч рублей. Каждый год на его «устаревание» списывается p% от его первоначальной стоимости. Это значит, что ежегодно цена уменьшается на p%, т.е. увеличивается на (-p)%. При этом получается следующая формула для вычисления стоимости автомобиля sn через n лет:

sn = s ( 1 -·n). (2)

Пусть первоначальная цена автомобиля S = 600 тыс.руб. Каждый год его цена уменьшается на p =10%. Ответьте на вопрос:

Какой будет цена автомобиля через 3 года?

Через сколько лет можно будет списать автомобиль, как полностью потерявший стоимость?

Решение:

Используем формулу(2) при n=3:

S3 = 600· (1-) = 420 тыс.руб.

Автомобиль потеряет стоимость, т.е. его стоимость Sn станет равной 0 через n лет: 600·(1-·n)=0;

Откуда находим nОтвет: _____________.

Как вы думаете, какое условие не имеет значения для ответа на второй вопрос?

Чаще всего коммерческие банки берут деньги под сложный процентный рост. Это условие состоит в том, что процент годовых начисляется от той суммы, которая находится на счету к концу финансового года.

Пример. Сколько денег получит вкладчик через 5 лет, если он положил на счет 10 тыс.руб. под 10% годовых при рассмотренном выше условии?

Решение:

Через год - 10000 + 0,1· 10000=1,1· 10000 руб.

Через 2 года - 1,1 ·10000+0,1· 1,1 10000=1,12 ·10000 руб.

И так далее…

Через 5 лет - 1,15 ·10000=16105,1 руб.

Получим общую формулу сложного процентного роста.

Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна s рублей, а n - количество лет, на которые положен вклад. Тогда через 1 год на счету окажется сумма S1:

S1 = S + ·S = S(1+),

Через 2 года получится сумма S2:

S2 = S1(1+)= S(1+)2,

Через n лет получится сумма Sn :

Sn = S(1+)n .

Это и есть формула сложного процентного роста.

Запомнив ее, легко можно посчитать, например, как изменится вклад через интересующее нас время.

Пример. Банк начисляет 20% годовых. Внесенная сумма равна 10 млн. рублей. Какая сумма будет на счету через три года: а) при начислении простых процентов; б)при начислении сложных процентов?

Решение:

а) s3 (пр.) = 10 (1+ )= 16 млн.руб.;

б) s3(сл.) =10 (1+)3 = 17280 тыс.руб.

Ответ: 16 млн.руб.; 17280 тыс.руб.

?Банк начисляет 5% годовых. Внесенная сумма равна 20 млн. рублей. Какая сумма будет на счету через четыре года: а) при начислении простых процентов; б)при начислении сложных процентов?

Решение:

a)____________________________________________________________

б)____________________________________________________________

Ответ: а) ________________ ; б) ________________ .

Так же как и формула простого процентного роста, формула сложного процентного роста может применяться, когда рассматриваемая величина уменьшается. В этом случае

Sn = S(1-)n

Пример. За два года экономического кризиса производительность неуклонно снижалась на 5 % ежегодно. На сколько процентов N снизилась производительность за эти два года?

Решение: Пусть Х - первоначальная производительность. Тогда через два года она стала равной Х2:

Х2=(1-0,05)2Х=0,9025Х;

Теперь требуется найти отношение новой производительности к первоначальной и выразить его в процентах:

N=·100%.

Откуда находим N=9,75%

Ответ: 9,75%

?Цена товара за первый месяц увеличилась на 10%, а за второй - уменьшилась на 5%. На сколько процентов изменилась цена за 2 месяца?

Решение: Пусть S - первоначальная цена товара.

Тогда к концу первого месяца получится сумма S1=_______________________;

а к концу второго S2:

S2=___________________________. Поэтому, за эти два месяца она изменилась на

Ответ: ________________ .

Какая сумма будет на счету через 4 года, если на него положить 50 тыс.руб. под 8% годовых при начислении сложных процентов?

Решение:

Ответ: ________________ .

Какой капитал нужно положить на счет по 10% годовых (при начислении сложного процента), чтобы через 3 года получить 1 млн. рублей?

Решение: Пусть х руб. - необходимый капитал.

Составим и решим уравнение:______________________________________________________

Ответ: ________________ .

Задачи на смеси и растворы

Пример. Сколько соли содержится в 360 граммах ее 10% раствора?

Решение: 10%-й раствор соли означает, что в нем 10% соли и 90% воды. Поэтому ответить на вопрос несложно:

360:100·10=36г.

Ответ: 36г.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

? В 200г. раствора содержится 40 г. соли. Сколько процентов соли содержит раствор?

Решение:

Ответ: ________________ .

?Мороженое «пломбир» содержит 16% сахара, что составляет 40 г. Сколько весит мороженое?

Ответ: ________________ .

?В 10% растворе сиропа содержится 300 г. сахара. Сколько грамм воды в растворе?

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Процентное содержание вещества в растворе иногда называют концентрацией раствора.

Пример. 18% раствор соли наполовину разбавили водой. Какова концентрация полученного раствора

Решение: Пусть х (г) - масса раствора. Тогда 0,18х (г) -масса соли в нем. Если раствор наполовину разбавили водой, то его масса стала х + 0,5х=1,5х. При этом количество соли не изменилось. Найдем концентрацию раствора:

·100%=12%

Ответ: 12%

?В 200 г. воды растворили 50 г. спирта. Какова концентрация раствора?

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

Пример. В растворе содержится 200г. воды и 50г. кислоты. Сколько кислоты нужно добавить, чтобы ее концентрация увеличилась в два раза?

Решение: Найдем первоначальную концентрацию раствора:

·100=20%

Пусть х грамм кислоты необходимо добавить. Тогда процентная концентрация раствора станет равной. По условию задачи, концентрация увеличивается вдвое, поэтому она станет равной 40%. Составим уравнение: ·100=40. Откуда получим=0,4;

50 + x = 100 + 0,4x; x =83

Ответ: 83 г.

?В растворе содержится 160 г. воды и 40г. соли. Сколько нужно добавить воды, чтобы концентрация соли уменьшилась на 3%

Решение:_____________________________________________________

Ответ: ________________ .

4.5 Тест для самопроверки для учащихся 5 (6 классов)

Очевидно, что при подготовке учащихся к контрольной работе, ученикам целесообразно предоставить возможность повторить необходимый теоретический материал и решить типовые задачи по данной теме. Учителю трудно проконтролировать при этом правильность ответов каждого ученика на одном уроке. Данный тест предполагает сознательный подход учащихся к выполнению предлагаемых заданий. Правильность своих ответов ученики могут узнать незамедлительно из таблицы «Правильные ответы». Часть задач (например, 1 вариант) могут быть решены в классе, а другая часть (2 вариант) - дома, в качестве домашнего задания при подготовке к контрольной работе. Решение задач одного из вариантов рассчитано на 45 минут. Также, при подготовке к контрольной работе, могут быть использованы задачи из Приложения 4.

1 вариант

1.Во сколько раз 2% от 4 больше, чем 0,4% от 1?