Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Методика обучения решению задач на проценты в основной школе

Анализ учебной и методической литературы, связанной с проблемой изучения темы "Проценты" в основной школе. Разработка методических рекомендаций и информационной рабочей тетради для учеников 5-6 классов для самостоятельной работы по теме "Проценты".

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 18.04.2011
Размер файла 256,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Из задач, предложенных в разделе «Задачи повышенной трудности» хотелось бы выделить следующие:

1226. [6] Цены повысились на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату? Какой результат получится при снижении цен на 25%?

1228. [6] Взяли 100 кг вещества, в котором содержится 99 % воды. Сколько воды испарится при подсушивании этого вещества, когда его влажность снизится до 98%

Глава Ш. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

§1 Общие рекомендации по изложению данной темы

На основе материала главы 2 сформулируем используемые методы, приемы, формы и средства обучения данной теме.

При изучении темы «Проценты» целесообразно применять следующие средства обучения: учебники и учебные пособия; рабочие тетради; средства наглядности, включающие печатные пособия (плакаты, таблицы, диаграммы, рисунки, схемы и т. п.) и проекционный материал (слайды, презентации и т.п.); технические средства обучения.

К учебникам и учебным пособиям относятся учебники, рекомендованные Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе, задачники и дидактические пособия.

Введение процентов опирается на предметно-практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. Поэтому целесообразно использовать такие средства наглядности, как рисунки, чертежи, таблицы, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения. Например.

Задача 7. В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей - городское население. Из них 23% - дети до 16 лет. Сколько детей до 16 лет среди городского населения?

Решение.

Для решения задачи можно привести рисунок. Нужно обсудить с учащимися решение задачи.

Найти число городского населения из числа всех жителей России.

Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет.

Рис. 3

Рисунок поможет школьникам решить задачу.

Решение:

(150·0,7) ·0,23=24,15

Ответ:24,15 миллионов.

При изучении темы «Пропорция» достаточное внимание должно быть уделено решению с помощью пропорции задач на проценты (как это сделано в учебниках Никольского и др.), Важно обратить внимание учащихся на определение типа пропорциональной зависимости (прямая пропорциональная). Для учащихся при составлении пропорции наглядно показывать прямую пропорциональную зависимость стрелками в одну сторону, а обратную - в разные стороны. Решение с помощью пропорций показывается, но этот способ решения не является основным.

Задача 7. Сколько процентов составляет число 8 от числа 35?

Решение.

Пусть х - искомое число процентов; тогда

Ответ: 22 %.

Приведем пример задачи, решение которой обратным ходом наглядно представить в виде таблицы.

Задача 8. Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений - 19р. Определите его первоначальную цену.

Решение.

Запишем все данные в виде таблицы.

Табл.5

Старая цена

Первое снижение

Второе снижение

Новая цена

?

на 15%

На 15 р.

19р.

Итак, решать эту задачу будем с конца. Сначала найдём сколько стоил альбом до того, как цену снизили на 15 р.:

19+15=34 р. (цена альбома до второго снижения)

После первого снижения цена стала 34 р., что составило 85% от начальной цены (т.к. первоначальная цена составляла 100%:100%-15%=85%).

Чтобы найти первоначальную стоимость товара, нужно:

34:0,85 = 40.

Ответ: До снижений альбом стоил 40р.

С целью экономии времени на уроке и освобождения учащихся от второстепенной работы полезно на уроках, а также в качестве домашнего задания, использовать рабочие тетради - тетради на печатанной основе.

Целесообразно и применение технических средств обучения. Например, при изучении темы «Круговые диаграммы» компьютер незаменим при их построении. Сэкономив время учащихся на построении чертежей, увеличиваем количество выполняемых заданий на формирование навыков построения диаграмм, чтения диаграмм, умения выделять и группировать данные, которые должны быть отражены на диаграмме, и интерпретирование количественной информации, представленной в форме диаграмм.

Применимы следующие формы организации обучения: фронтальные, групповые и индивидуальные. В основу их деления положены характеристики особенностей коммуникативного взаимодействия между учителем и учениками. При введении понятия «Процент», введения способов решения типовых задач целесообразно применять фронтальную организацию обучения. Далее, как и во всех основных разделах курса, при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся, которое позволяет обеспечить успешность в обучении каждого ученика. В приложении 6 представлены задания повышенного уровня сложности, задачи с занимательными сюжетами и олимпиадные задачи для индивидуальной работы с сильными учениками.

С учётом этого подхода к обучению учащимся даются необходимые указания к решению задач. Задачи на одну и туже тему предлагаются в широком диапазоне сложности - от базовых, до достаточно трудных.

При групповых формах организации обучения ученики разбиваются на группы с учетом их возможностей, сформированности учебных навыков и т.д.

Из методов изучения преимущественно используются теоретические: анализ, синтез, аналогии, обобщение, классификации.

Для изучения темы «Проценты» характерны следующие способы обучения:

Репродукция. Учащимся предлагается воспроизвести те факты, которые сказал учитель. Преимущественно используется в слабых классах.

Эвристический, т.е. учитель привлекает учащихся к открытию фактов. Например, в учебнике Никольского и др. не приводятся формулы простого и сложного процентного роста, тем не менее такие задачи в учебнике встречаются. Очевидно, что учащимся необходимо самим вывести данные формулы.

Исследовательский. Учитель определяет проблему и предлагает ее решить ученику.

Существует несколько классификаций методов обучения школьному предмету.

По источнику информации и способу восприятия информации методы обучения подразделяются на:

- словесные - рассказ учителя.

- наглядные - демонстрации, иллюстрации

- практические - различные лабораторные работы, практические занятия с ТСО. Как было сказано ранее, полезно применение компьютера при изучении темы «Диаграммы».

По логике восприятия из методов обучения выделяют индуктивные, дедуктивные и обобщение.

По степени управления деятельностью ученика можно выделить работы, выполняемые под руководством учителя и самостоятельные работы. На начальных этапах изучения тем, связанных с процентами, очевидно, что обучение должно проходить под руководством учителя, далее доля самостоятельно выполняемых упражнений должна увеличиваться.

§2 Этапы изучения процентов в основной школе

Задачи на проценты являются частным случаем задач на дроби. При построении системы задач и организации процесса обучения с учетом этого положения можно добиться существенного улучшения методики обучения этому материалу и, тем самым, повысить эффективность обучения. Кроме того, изучение частного случая с опорой на общий больше способствует развитию учащихся.

Выделим основные этапы повторения ранее изученного и изучения нового материала в 6 классе в таком порядке, который, на наш взгляд, обеспечивает преемственность в обучении решению задач на дроби и проценты, способствует усвоению процентов большинством учащихся и достаточному продвижению вперед более сильных из них.

1. Работа над понятием «Процент».

2. Формирование умения решать простые задачи на проценты

2.1 Нахождение нескольких процентов от числа (величины);

2.2 Нахождение числа (величины), если известны его (ее) несколько процентов;

2.3 Нахождение процентного отношения чисел (величин).

3. Формирование умения решать более сложные задачи на проценты.

4. Обучение решению прикладных задач на проценты.

В следующем параграфе мы раскроем работу на каждом этапе изучения процентов в основной школе.

§3 Последовательность изложения материала, связанного с процентами

Проведенный нами анализ учебников дает возможность выявить наиболее оптимальный, на наш взгляд, путь работы по введению понятия «Процент» и методики работы по обучению решению задач на проценты.

1 этап. Большинство современных учебников, рекомендованных Министерством образования, придерживаются второго подхода при изучении процентов - авторы при введении понятия и решения типовых задач опираются на действия с обыкновенными дробями. Поэтому первые уроки отводятся повторению, систематизации сведений об обыкновенных дробях. Продолжается решение трех основных задач на дроби. При решении учащиеся могут пользоваться двумя приемами - содержательным, на основе смысла дроби, или формальным, на основе соответствующего правила. На этом этапе следует поощрять использование второго способа. Именно это умение прежде всего необходимо для изучения процентов на последующих уроках. Приведем примеры.

Задача 9. Один литр керосина весит кг. Сколько весит л керосина?

Задача 10. В классе 18 девочек, это составляет от числа всех учащихся. Сколько учащихся в классе?

Задача 11. В классе 25 учащихся, из них 10 девочек. Какую часть класса составляют девочки?

Далее мотивируем введение нового понятия. Оперируя жизненным, хоть и не большим, опытом учащихся, указываем факты, в которых школьники уже могли сталкиваться с понятием «процент». Также, в качестве мотивации введения нового понятия можно использовать §4 главы 3 «Фрагмент урока по теме «Проценты» в 5 классе (6 классе)». Далее формируем понимание процента как специального способа выражения доли величины.

Раскрывая содержание понятия, обращаем внимание на существенные признаки. Важно отметить, что один процент от некоторого числа или величины - это сотая доля этого числа или величины.

На этапе усвоения символики вводим обозначение: 1%.

Приводим примеры нахождения 1% от числа и 1% от величины: 1% от числа 150 равен 1,5; 1% от 18 метров равен 18 сантиметрам.

Замечаем очевидный факт: 100% от числа равны этому числу.

Задача 12. Найдите 1 % от: а) 2500; б) 5; в) 0, 4; г); д) 5; е) 1 руб; ж) 1 м; з) 1 центнера; и) 256 км.

Примечание: г) и д) можно давать только тогда, когда была изучена тема «Деление обыкновенных дробей».

Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии (см. рис.4 ):

1% = 0,01 =

Рис. 4

Задача, представленная ниже, нацелены на уяснение школьниками важного факта: целое содержит 100 % самого себя.

Задача 13. Папа потратил премию 200 р. на подарки жене и детям. 40 % этой суммы он потратил на подарок жене, 30 % - сыну и 30 % - дочери. Все ли деньги потратил папа?

Решение:

Безусловно, учащиеся могут решить задачу двумя способами:

1) Указанные в тексте задачи проценты находятся от одной величины - премии, составляющей 200р. Поэтому, сложив их, получаем 100%, что составляет всю премию.

2) Школьники также могут найти соответствующие числа процентов от премии. Далее сложить их и получить 200 р. Т.о. учащиеся убедятся, что была потрачена вся премия на подарки жене и детям.

Школьники заметят, что целесообразнее при решении данной задачи использовать именно 1 способ, и факт, что папа получил именно 200 р. может быть не задействован.

Задачи 14-16 нацелены на обучение переходу от задач на проценты к соответствующим задачам на дроби:

Задача 14. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1 %, 39 %, 17 %, 50%, 25%, 20%, 10%; 100%; 117%; 0,3%; 0,1%; 0,5%; 0,02%.

Задача 15. Какую часть числа составляют его 1 %; 5%; 10%; 20%; 25%; 50%; 75%; 100%?

Задача 16. Выразите в процентах: 0,01; 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что, например, 20% величины вдвое больше, чем ее 10%, что 30% - это 3 раза по 10% и т. д

2 этап.

2.1 Когда учащиеся достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом - несколько процентов этой величины. Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то он, конечно, рассматривается, но его обязательное усвоение отнесено на более поздние сроки. Опыт показывает, что соответствующий навык вырабатывается в процессе многократного применения первого приема, как результат «свернутого» действия (как в учебнике Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина).

Вспомним, как находить долю от числа, выраженную обыкновенной или десятичной дробью. Как вы уже знаете, для этого надо умножить данное число на эту долю:

например, от числа 90 составляют: 90 · = 30; 0,28 от числа 50 равняется 50 · 0,28=14.

Выясним, как найти требуемый процент от числа. Теперь рассмотрим задачу:

Задача 17. Найдите 20% от числа 80.

Решение:

1% от числа 80 - это одна сотая часть данного числа, т.е. 80 · 0,01=0,8. Отсюда 20% равны 0,8 · 20=16.

Можно предложить и другой вариант решения. Само число 80 - это 100%. Тогда 20% от него составят долю в =. Таким образом, нам необходимо найти от числа 80, что равно 80 · =16.

Ответ: 16.

Итак, мы можем сформулировать два основных способа нахождения требуемого процента от числа.

1 способ.

1) Найти, чему равен 1% от числа (величины);

2) умножить найденное число (величину) на заданное число процентов.

2 способ.

Найти, какую долю от числа составляет данный процент, т.е. перевести проценты в обыкновенную или десятичную дробь путем деления на 100%;

умножить исходное число на эту долю.

При решении задач можно применять любой из этих способов.

Мы научились находить процент от числа.

Задача 18. Какие из следующих утверждений означают одно и то же:

а) каждое восьмое издание выходит на английском языке;

б) на английском языке выходит 12,5% всех изданий;

в) на каждые восемь изданий приходится одно на английском языке;

г) на английском языке печатается 8% всех изданий;

д) на каждые 25 изданий 2 печатаются на английском языке;

е) издания на английском языке составляют восьмую часть от всех изданий;

ж) на каждые семь изданий только одно выходит на английском языке;

з) издания на английском языке составляют седьмую часть от всех изданий?

Задача 19. Какие из утверждений означают одно и то же? Соедините их стрелками:

а) одна величина вдвое меньше другой;

б) вторая величина на 300% больше первой;

в) первая величина на 300% меньше второй;

г) величины относятся как 1:2 1) вторая величина на 100% больше первой;

д) величины относятся как 1:4 2) первая величина на 75% меньше второй;

е) одна величина составляет от другой 50%;

ж) одна величина в 4 раза меньше другой;

з) первая величина составляет от второй 25%.

Задача 20. Пусть цена альбома равна а рублей. Какова будет его цена, если:

а) ее повысят на 20%, на 3%, на 5,5%, на 0,7%;

б) ее снизят на 65%, на 80%, на 2%, на 0,8%?

Следует обратить особое внимание на следующие 3 задачи. Заостряем внимание учащихся на том, от какого числа или величины находим требуемый процент.

Задача 21. В делегации иностранных гостей, состоящей из 100 человек, 50% говорили по-французски и 60 %-по-английски. Каково наибольшее и наименьшее количество гостей, говорящих на обоих языках?

Ответ:наибольшее количество - 40 чел; наименьшее - 10 человек.

Учащимся предлагаем составить иллюстрацию к этой задаче на кругах Эйлера.

Задача 22. Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60 % книги он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50 % на этой. Вася ничего не напутал?

Задача 23. Зарплата мамы увеличилась на 70 %, а зарплата папы - только на 60 %. Означает ли это, что мама получила большую прибавку зарплаты, чем папа?

Ошибочное решение следующей задачи нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин. Такие задачи лучше решать, используя графическую иллюстрацию.

К сожалению, учащиеся не всегда хорошо различают «выполнил на 2%» и «перевыполнил на 2 %». Помочь правильно понимать эти ситуации могут упражнения следующего типа:

Задача 24. Бригада перевыполнила задание на 10%. На сколько процентов она выполнила задание?

Задача 25. Магазин выполнил план товарооборота на 105%. На сколько процентов магазин перевыполнил план товарооборота?

2.2. Далее вспоминаем как на найти число по его доле? Надо разделить данное число на эту долю. Например, если некоторого числа равны 28, то само это число равно 28 : =40.

Рассмотрим теперь такую задачу: пусть дано, что a% от неизвестного числа b равны с. Требуется найти b.

Задача 26. 30% от некоторого числа равны 37,5. Найдите это число.

Как и в задаче 17 можно предложить два варианта решения (это смогут сделать сами учащиеся).

1% от искомого числа составляет =1,25. Тогда само число равно 1,25 · 100=125.

30% соответствуют доле в. Таким образом, · b=37,5, где b - искомое число. Отсюда b==125. Ответ: 125.

Таким образом, найти число по проценту можно двумя основными способами:

1 способ.

Найти, чему равен 1% искомого числа;

результат умножить на 100%.

2 способ.

1) Выразить процент дробью (обыкновенной или десятичной);

2) разделить заданную часть числа на эту дробь.

На данном этапе следует организовать первичный контроль и коррекцию знаний. После самостоятельных решений данных задач, учащимся можно предложить поменяться тетрадками с соседом по парте, тем самым организуя взаимную проверку.

2.3 Рассмотрим теперь такую задачу: необходимо найти, сколько процентов составляет одно число от другого, если нам известны два числа.

Задача 27. Сколько процентов число 6 составляет от числа 8?

В этом примере также можно предложить два варианта решения.

1)1% от числа 8 составляет =0,08. Тогда искомое число равно 6: 0,08=75%.

2) Находим отношение чисел 6 и 8: =0,75; затем 0,75 ·100%=75%.

Ответ: 75%

Таким образом, найти, сколько процентов составляет число а от числа b если нам известны два числа, можно двумя основными способами:

1 способ:

1) Найти, чему равен 1% числа b;

2) Разделить a на 1% числа b.

2 способ:

1) Найти, какую долю числа составляет число a от b;

2) Получившееся число умножить на 100%.

На этапе первичного закрепления предлагаем задачи следующего типа.

Задача 28. В начале ХХ века в России из каждых 100 человек, занятых в хозяйстве, 9 человек работали в промышленности, 75 работали в сельском хозяйстве, 9 человек работали в торговле. Выразите в процентах долю работников, занятых в промышленности, сельском хозяйстве и в торговле, от общего числа занятых в хозяйстве.

Если решение задачи вызывает затруднение школьников, то в первое время целесообразно задавать серию вопросов, которые помогут учащимся определить схему рассуждений. Например, как это реализовано в учебниках по математике авторов И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича.

Задача 29. Бригада рабочих в первой декаде месяца выпустила 102 детали, что составило 17% планового задания. Во второй декаде было выпущено 34%, деталей, а остальные детали - в третьей.

Ответьте на следующие вопросы:

- что принято за 100% и известна ли эта величина;

- какая величина приходится на 1 %;

- сколько деталей бригада должна была выпустить за месяц по плану;

- сколько деталей было выпущено во второй декаде;

- сколько деталей было выпущено в третьей декаде?

Приведем пример задачи на процентное изменение величины.

Задача 30. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

В данной задаче учащимся трудно определить, какое число принимать за 100 %. Нужно обратить их внимание на то число, с которым сравнивают другое число, принимается за 100%. В этом помогает переформулировка задачи: «На сколько процентов 30 р. меньше, чем 40р.?» Сравнивают с суммой 40 р., значит, 40 р. - это 100 %.

При решении задач на проценты необходимо не только развивать вычислительные навыки учащихся, но и формировать у учащихся умение выполнять прикидку или оценку результата вычислений. Для этого учащимися предлагаются задачи из повседневной практики.

Задача 31. В выборах приняли участие 321345 человек, и победил кандидат, набравший 53,4% голосов. Сколько человек проголосовало за кандидата, победившего на выборах?

Другими словами, нам требуется найти 53,4% от 321 345 человек:

0,534 · 321345 = 171 598,23 человек.

Обратите внимание на бессмысленность результата в последнем примере. Но такая ситуация является совершенно типичной в статистике. Выход из этого противоречия между результатом вычислений и здравым смыслом очевиден: разумеется, процент проголосовавших за этого кандидата подсчитан лишь приближенно, и за него голосовали примерно 171 600 человек. Округления неизбежны и в большинстве других ситуаций.

3 этап. На уроках обобщающего повторения в 6 классах полезно предложить учащимся следующие задания:

Задача 32. 1) Найдите число, если 20% его равны значению выражения.

Задача 33. 2) Найдите 40% от корня уравнения 6 ·(х - 1)= 4,5

Задача 34. 3) Найдите 125% от а, если 1 : 7 = 1,6 : а.

Каждое из этих задание охватывает несколько тем, изучаемых в 6 классе, в том числе типовые задачи на проценты.

В 7-9 классах естественно рассматривать задачи на проценты, решаемые алгебраическим способом: составляя уравнение или систему уравнений. Это связано с тем, что в 7 классах рассматриваются задачи, алгебраическая модель которых является линейным уравнением или системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, в 8 классах - квадратные уравнения. Например.

Задача 35. Количество студентов в институте ежегодно увеличивалось на один и тот же процент и за три года возросло от 1000 до 1728 человек. На сколько процентов увеличивалось число студентов ежегодно?

Решение:

Пусть ежегодный прирост студентов составляет р процентов, х = 1000 - первоначальное количество студентов, 1728 - число обучающихся через три года, поэтому

1728 = 1000· (1 +)3.

Решим это уравнение: (1 +)3= 1,728; (1 +) = 1,2; Р = 20 %.

Ответ:число студентов ежегодно увеличивалось на 20 %.

Задача 36. Найти два числа, если 10 % первого числа составляют 25 % от второго, а отношение произведения этих чисел к их сумме равно 10.

Решение.Обозначим первое число за х, а второе - за у. Тогда, согласно условию задачи, 0,1х=0,25у и . Запишем уравнения в систему и решим ее:

Из второго уравнения у = 0 или у = 14. Если у = 0, то х = 0, что противоречит второму уравнению системы, поэтому у = 14, х = 35.

Ответ:искомые числа 35 и 14.

4 этап. Также необходимо учащихся ознакомить со стохастическими задачами, в которых встречаются проценты.

Задача 37. Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов:

«Просто Мария»

«Санта Барбара»

Время эфира

9.40

19.05

14.25

20.35

Зрители телесериалов (в процентах к общему числу жителей)

44%

36,5%

45%

67%

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

- хотя бы один житель города N смотрит оба сериала;

- хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Просто Мария»

- хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Санта Барбара»

- телесериал «Санта Барбара» смотрит большее число жителей города ?

В 9 классе можно рассматривать статистические исследования на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников.

Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке. Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. Против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтобы удобнее было анализировать информацию в подобных случаях числовые данные располагают в порядке возрастания. В результате ряд примет такой вид:

0;0;0; 1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3; 4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. == 6%.

Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.

Табл.6

Число верно решенных задач

0

1

2

3

4

5

6

Частота

3

4

12

15

8

3

5

Относительная частота (в %)

6

8

24

30

16

6

10

Построим диаграмму:

Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых - результаты случайного эксперимента, а ординаты - соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:

На основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

В выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки. [12]

Рассматриваем круговые диаграммы при решении задач на проценты. Они дают представление учащимся о наглядном изображении распределения отдельных составных частей какой-нибудь величины.

Цель: Формирование навыков построения диаграмм; чтения диаграмм, умения выделять и группировать данные, которые должны быть отражены на диаграмме; интерпретировать количественную информацию, представленную в форме диаграмм, применение диаграмм при исследовании.

Диаграмма - это рисунок, предназначенный для сравнения нескольких величин. Рассмотрим пример, когда данные можно изобразить в виде круговой диаграммы. В школьные годы для детей наиболее нужен четырёхразовый режим питания: первый завтрак -25%, второй завтрак -15%; обед - 40%; ужин -20% дневного рациона. Чтобы построить круговую диаграмму данные заносим в таблицу.

Табл. 7

первый завтрак

25%

второй завтрак

15%

обед

40%

ужин

20%

По данным таблицы круговую диаграмму легко построить на компьютере.

Построение диаграммы на компьютере

Существует программа MS Excel, которая поможет нам построить диаграммы. Электронная таблица состоит из прямоугольных клеток - ячеек.

Для нашей задачи режим питания введите в 1 столбец (в одну ячейку одно название ), а во второй столбец - количество процентов (например 25%).

Выделим левой кнопкой мыши два заполненных столбца и щёлкнем на кнопке Мастер диаграмм. Появится окно Мастер диаграмм.

1 шаг. Выберите тип диаграммы - круговая и выберите первый вид диаграммы. Нажмите далее.

2 шаг. Нажмите далее.

3шаг. На вкладке Заголовки выберите строку Название диаграмм и подпишите «Режим питания школьников». Выберите вкладку Подписи данных и щёлкните на строке значения. Нажмите далее.

4 шаг. Нажмите готово.

Задачи на смеси и сплавы.

Решение задач на процентное содержание, концентрации, растворы, смеси и сплавы заключает в себе связь математики с химией, предполагает обобщение решения задач на проценты применительно к задачам большой жизненной направленности. Задачи на процентное содержание растворов, сплавов и смесей развивают интуицию, логическое мышление и вызывают интерес не только к математике, но и к химии. В таких задачах установление зависимостей между величинами позволяет составить уравнение или систему уравнений для решения задачи, или систем уравнений. В большинстве случаев задачи этого характера вызывают затруднения только потому, что учащиеся не умеют выразить функциональную зависимость, например, между массой растворяемого вещества, массой смеси и концентрацией (крепостью) раствора. Кроме того задачи такого характера встречаются повсеместно на приёмных экзаменах в ВУЗы.

При решении задач этой темы уже невозможно обойтись без аппарата алгебры, эти задачи позволяют продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

Перечислим основные факты которые необходимо знать, решая задачи на «смеси и сплавы».

Концентрацией называется величина, равная отношению массы (объема) вещества, входящего в смесь, к массе (объему) смеси.

Обозначения:

где - концентрация вещества А, - масса вещества А, m - масса смеси, V - объем смеси.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся сплавы и смеси однородны;

б) при смешении двух растворов, имеющих объемы VА и V2 , получается смесь, объем которой V0 равен сумме V1 + V2 .

Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при смешении двух растворов не объем, а масса равняется сумме масс составляющих ее компонент.

Концентрация - это безмерная величина. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице:

Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина Р = · 100%, т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А , то его концентрация находится по формуле

Рассматриваем с учащимися типовые задачи.

Задача 38. В сплаве 2 кг меди и 3 кг алюминия. Какова концентрация меди и алюминия в этом сплаве?

Решение: Обозначим концентрацию буквой n.

Ответ: 40%, 60%.

Задача 39. Найдите концентрацию раствора серной кислоты объемом 4 л, если кислоты в нем 0,8 л.

Решение:

Ответ:0,2.

На основе определения процентной концентрации вещества в смеси и опорных задач на проценты рассматриваем задачи:

1) По данной общей массе смеси (раствора, сплава) и процентного содержания одного из компонентов найти новое количество компонента с изменённым процентным содержанием компонента;

2) Нахождение первоначальной массы смеси, содержащей изменение массы одного из компонентов и изменения процентного его содержания.

Задача 40. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Решение:

Пусть добавленная масса меди равна х кг. В новом сплаве массы меди и цинка пропорциональна их концентрациям.

Другой вариант решения. По определению концентрация равна отношению массы компонента к массе сплава, так что

Ответ:13,5 кг.

После решения задач каждого типа в отдельности, рассматриваем типичные ситуации в общем виде.

В «Арифметике» А. П. Киселева было дано такое правило для решения задач на смеси: «Количества двух смешиваемых сортов должны быть обратно пропорциональны числам, показывающим прибыль или убыток на единице каждого сорта». Это правило применимо ко всем задачам рассматриваемого вида - на смешивание жидкостей, товаров, на сплавы.

Задачи на процентный рост.

Задача 41. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Решение:

Эта задача на разные процентные базы - величины, которые принимаются за 100%.

1) за первый месяц на 10%, т.е. теперь цена товара составляла 110% первоначальной цены, т.е., если товар стоил 100 р., то его новая цена стала равной 110р.

2) за второй месяц цена товара выросла на 10% от 110 р. что составило 11 р., и стала равной 121 р., т.е. по сравнению с первым месяцем цена выросла на 21%.

3) за третий месяц цена товара выросла ещё на 10%, но уже от 121 р., что составило 121 + 12,1 = 133,1 р., откуда видно, что по сравнению с первым месяцем цена выросла на 33,1%.

Ответ: цены на продукты выросли на 33,1%.

Задача 42. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада в 130%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320 тыс. руб.?

Решение:

Через год банк должен начислить на счет вкладчика 130% от суммы 320 тыс. руб., т. е. 1,3 · 320 = 416 тыс. руб., так что на счете будет находиться 320 +416= 736 тыс. руб.

Эту задачу можно решить и по-другому. Положив в банк некоторую сумму, вкладчик получает 130% от нее, а поскольку сама сумма составляет 100%, то через год на счете оказывается 230% от этой суммы. Поэтому при внесении 320 тыс. в конце года на счете вкладчика окажется 2,3 · 320 = 736 тыс. руб.

Ответ: 736 тыс. руб.

Если имеется необходимость производить аналогичные, одинаковые вычисления для различных исходных сумм и процентных ставок, можно составить формулу и проводить необходимые расчеты с помощью вычислений, а не рассуждений. Но для этого следует решить задачу в общем виде. А именно, если в банк, дающий р% в год, вложена сумма S руб., то рассуждая точно так же, как в рассмотренном примере, мы получим, что проценты составят ·S руб., а всего на счете вкладчика будет S + S , или (1 +)S руб. Поэтому, обозначив сумму, которая должна быть на счете вкладчика по истечении одного года, через S1, мы получим, что S1 = (1 +)S. Подставляя в эту формулу конкретные числовые значения р и S, мы будем получать и соответствующие значения S1.

Отметим, что практические вычисления становятся более простыми, если пользоваться десятичными дробями.

Например, если заработная плата S повысилась на 45%, это значит, что прибавка составляет 0,45·S, а новая зарплата равна, следовательно, (1+ 0,45) · S = 1,45·S. Если цена k снижена на 15%, то новая цена равна 0,85k.

В данном случае мы имеем дело с типичным примером появления математических формул. Если на практике приходится решать много однотипных задач, т. е. фактически одну и ту же задачу, но с различными числовыми данными, то эта задача решается «в общем виде» - с буквенными данными, и в результате получается формула. Теперь для решения конкретной задачи в эту формулу подставляют конкретные числовые данные. Это позволяет заменять рассуждения вычислениями, что значительно экономней с точки зрения затрат времени и сил.

Встречающиеся в практике величины, разумеется, не всегда увеличиваются, и поэтому изменение заданной величины может оказаться отрицательным. В таких случаях часто говорят об отрицательном росте -- и не только в математике, но и в экономических текстах, и в газетах.

Ясно, что в реальной жизни величины изменяются не равномерно, а по сложным законам. Поэтому часто возникает задача определить изменение какой-то величины - роста или падения цен, производства, населения города или страны - за длительный период. Эти задачи решаются с помощью тех же рассуждений, что мы проводили выше, но «поэтапно». В сберегательном банке РФ для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через гол) принята следующая система начисления денег на сумму, внесенную в банк. За первый год внесенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - «проценты». Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т.е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. В математике о таких ситуациях говорят о сложных процентах.

Задача 43.Определить, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положит на счет в банк 150 тыс.руб. и ни разу не будет брать деньги со счета.

Решение:

40% от этой суммы составляют 0,4 · 150 000 = 60 000 руб., и, следовательно, через год на его счете будет 150 000 + 60 000 = 210 000 руб.

40% от новой суммы составляют 0,4 · 210 000 = 84 000 руб., и, следовательно, через два года на его счете будет 210 000+84 000=294 000 руб.

Нетрудно представить себе, сколько при таком подсчете «в лоб» понадобится времени для нахождения суммы вклада не через 5 лет, а через 10 лет. Между тем, этот подсчет можно провести значительно легче.

Через год начальная сумма 150 000 увеличится на 40%, и, поэтому, новая сумма составит 140% от начальной. В следующем году новая, увеличенная сумма тоже увеличится на 40 %, т.е. снова увеличится в 1,4 раза. Следовательно, за два года начальная сумма увеличится в 1,4 ·1,4 = 1,42 раза.

Но еще через год эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в

1,42 ·1,4 = 1,43 раза.

Поскольку 1,43 =2,744, то 2,744· 150000 = 411 500 - сумма на счете через 3 года.

При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счете будет 1,45 · 150 000 = 806 736 руб.

Ответ: 806 736 руб.

Решим эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет P% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна Sn руб.

P% от S составляют · S руб. И через год на счете окажется сумма

S1 = (1 +)S. Т.е. начальная сумма увеличилась в (1 +) раз.

За следующий год сумма S, увеличится во столько же раз, и потому через два года на счете будет сумма S2 = (1 +)2 S.

Другими словами, справедливо равенство Sn = (1 +)n S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста.

Задача 44.

Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если: а) банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 200 тыс. руб.; б) банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 500 тыс. руб.?

Решение:

а) сумма через 5 лет составит: (1 +)5 ·200000= 322 102 руб.

б) на счете через 5 лет будет: (1 +)5 ·500000 = 1 244 160 руб.

Ответ: а) 322 102 руб.; б) 1 244 160 руб.

Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. Можно сказать также, что при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при сложном росте 100% каждый раз новые - это предыдущее значение величины.

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Главное различие между простым и сложным процентным ростом: при простом росте величина в каждый период времени увеличивается на одно и то же количество по сравнению с предыдущим значением, а при сложном росте -- в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением. Например, при росте вклада 100 тысяч рублей на 10% в месяц с начислением простых процентов получим последовательность 100, 110, 120, 130, 140, ... (тыс. руб.), а с начислением сложных процентов получим последовательность 100, 110, 121, 133,146,... (тыс. руб.).

Если, как обычно, обозначить начальное значение величины через S, а ее значение через и промежутков времени -- через Sn , то «следующее» значение величины имеет номер n+1, и поэтому при простом росте Sn+1= Sn + S,

а при сложном росте Sn+1=Sn (1 +).

При простом росте мы к каждому уже написанному числу прибавляем S, а при сложном росте умножаем его на (1 +).

Это означает, что обе последовательности являются прогрессиями, первая -арифметическая с разностью S, вторая - геометрическая со знаменателем 1 +.

Обратим еще раз внимание на особенности терминологии. Вы видели, что прогрессии могут быть и убывающими, но при этом не называются, скажем, регрессиями. Поэтому нет ничего странного в том, что всегда можно говорить о процентном росте, а не отдельно о росте и об убывании. Но для этого приходится рассматривать и отрицательное число процентов.

Конечно, в повседневной жизни в подавляющем большинстве случаев все же, говорят, например, что курс американского доллара упал на 0,13% по отношению к японской иене, а не вырос по отношению к ней на - 0,13%. Но при проведении практических расчетов и при решении задач удобно говорить именно об отрицательном росте и отрицательном числе процентов роста и всегда применять две последние формулы.

Возникает вопрос, как выгоднее положить деньги в банк: под небольшие проценты с начислением процентов на проценты - «под сложные проценты», или без такого начисления, но под несколько большие проценты - «под простые проценты»? Иначе говоря, какие проценты выгоднее: сложные, но маленькие, или простые, но большие?

Естественно, ответ на этот вопрос зависит от того, каковы именно начисляющиеся «простые» и «сложные» проценты. И поскольку, как мы знаем, соответствующий рост происходит по формулам арифметической и геометрической прогрессий, то мы и рассмотрим некоторые вопросы, связанные со скоростью роста этих прогрессий.

Рассмотрим две прогрессии - арифметическую и геометрическую: 1, 3, 5, 7, ...и 1,3, 9, 27,....

Эти прогрессии имеют один и тот же первый член, а знаменатель геометрической прогрессии равен разности арифметической. Нетрудно заметить, что геометрическая прогрессия возрастает гораздо быстрее арифметической.

Рассмотренные прогрессии возникают, например, при решении следующей «экономической» задачи: как выгоднее положить деньги под 200% годовых - «простых» или «сложных»?

В самом деле, по формулам простого и сложного процентного роста при р=200% исходная сумма S через n лет превратится в Sn = (1 + 2n) S,

Tn = (1+2)nS=3nS

Разумеется, совершенно очевидно, что при начислении одних и тех же процентов выгоднее использовать сложные проценты. Но трудность поставленной задачи состоит в том, что главное в ней - именно случай разных процентов. При этом число q «сложных» процентов, естественно, следует считать меньше, чем число р «простых» процентов - иначе сразу ясно, что «сложные» проценты более выгодны.

Снова рассмотрим две прогрессии: 1,3,5,7,...и 1, , , ,....

Они соответствуют «экономической» задаче с рассмотренным выше сюжетом, но для «сложных» процентов предполагается, что начисляется всего 50% годовых.

Мы видим, что по крайней мере, на 4 года первый вариант выгоднее - более чем в 2 раза. Но что будет дальше?

Продолжить арифметическую прогрессию не составляет труда, а для геометрической необходимые вычисления мы проведем с помощью калькулятора, используя десятичные дроби и округляя результаты до сотых:

Табл.8

1

3

5

7

9

11

13

15

...

1

1,5

2,5

3,38

5,07

7,61

11,42

17,13

...

Из таблицы 8 видно, что при вкладе на 7 лет более выгодным оказывается использовать небольшие «сложные» проценты, чем большие «простые» проценты.

Степени и корни.

До сих пор мы использовали формулу сложных процентов только в самых простых случаях - для вычисления значения величины по истечении n заданных промежутков времени. Между тем на практике часто возникают и более сложные задачи.

Задача 45. Человек, располагая суммой в миллион рублей, хочет через 6 месяцев иметь полтора миллиона и для этого вложить деньги в какой-нибудь банк, предлагающий ежемесячные проценты с учетом «процентов на проценты». Какие проценты он при этом должен выбрать?

Решение.

В этих условиях в формуле сложных процентов известны три значения: n=6, S=1000000, S6=1500000, а значение р нужно выбрать. Оно и находится с помощью формулы сложных процентов, т. е. из равенства 1,5 =(1 +)6 .

Другими словами, нужно решить полученное уравнение с неизвестным р.

Задача 46. Вкладчик внес в банк, предлагающий 30% годовых, некоторую сумму S. Через сколько лет эта сумма удвоится?

Решение. По формуле сложных процентов должно выполняться равенство

2S = (1 +)n S, откуда, сократив на S, получаем уравнение (1,3)n=2.

Нетрудно заметить, что мы получим иррациональную степень.

§ 4 Дидактические материалы по работе над понятием «Процент» и по обучению решению задач на проценты

4.1 Фрагмент урока по теме «Проценты» в 5 (6) классе. Этап урока - мотивация введения нового понятия

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие «процент»; формировать умение находить один и несколько процентов от числа и величины.

Развивающие: внимательность, быстрота реакции при переходе с одного вида деятельности на другой, развитие логического мышления.

План урока:

Организационный момент 1-2 минуты

Актуализация знаний 3 минуты

Мотивация введения 10 минут

Введение нового материала 5 минут

Первичное закрепление 20 минут

Итоги урока 2-3 минуты

Задание на дом 2 минуты

Форма работы на этапе мотивации: рассказ учителя, по ходу которого необходимые записи, а именно, сокращение дробей, выполняется на доске. Учащиеся внимательно слушают и по ходу занятия отвечают на вопросы учителя.

Этап мотивации введения понятия «процент».

Много ли соли в морской воде? Этот вопрос можно понимать по-разному. Например, сколько весит вся соль, растворенная в морях и океанах. А можно и так: сколько содержится соли в ведре морской воды? Чтобы ответить на первый вопрос, достаточно знать ответ на второй и еще узнать, сколько ведер воды содержится в морях и океанах.

Жители приморских городов и поселков смогут ответить на второй вопрос. Для этого достаточно набрать ведро морской воды, поставить его на огонь и греть, пока вся вода не выкипит, а затем взвесить оставшуюся на дне соль. Можно ли утверждать, что у соседа получится столько же? Видимо нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, налито оно может быть более или менее полно, в результате сосед будет выпаривать другое количество воды, а потому останется другое количество соли.

Таким образом, наша мера солености морской воды - количество граммов соли на ведро воды - оказалась неудачной. Возьмем другую меру - количество граммов соли на килограмм раствора. Для этого нужно до кипячения раствор взвесить, а потом вес полученной соли разделить на вес раствора. Пусть вес раствора 8,4 кг, а вес соли 21 г. Тогда получаем ответ: = = 2,5 граммов соли на килограмм раствора. Если опыт повторить, то опять получится почти такая же величина.

Но почему число граммов в килограмме, а не центнеров в тонне или английских фунтов в пуде? Давайте-ка будем считать число граммов соли в грамме раствора! Тогда тот же ответ получится, если мы будем считать число тонн соли в тонне раствора или пудов соли в пуде раствора.

Итак, поскольку в килограмме содержится 1000 граммов, то и ответ получится в 1000 раз меньший: = граммов соли на грамм раствора. Подходящая мера получена, но запись…. Скажите, какое число больше: или? Сразу и не скажешь, нужно считать. Куда легче сравнивать десятичные дроби! Дробь 0,01097 меньше, чем 0,01101, потому что число единиц, десятых и сотых у них одинаково, а число тысячных у второй больше. Удобно? Конечно.

Ну, что ж, будем записывать результат не обыкновенной, а десятичной дробью. А дальше… Стойте, скажет нетерпеливый, зачем столько премудростей ради какой-то морской воды. Взять да и попробовать на вкус - соленая или не очень. Хорошо, а нужно ли точно знать содержание металла в руде, жира в молоке, химических веществ в лекарстве? Вот именно. А ведь задача та же самая.

Итак, мы договорились записывать ответ в виде десятичной дроби. А с какой точностью? С помощью карандаша и бумаги мы можем делить даже до миллиардных долей, но откуда взялись сами числа? Если весы в магазине показывают 520 г, то на самом деле предмет может весить и 515, и 524 грамма. А двести - триста лет назад точность весов была еще меньше. Поэтому верными можно было считать лишь первые одну - две цифры, а потому и величину содержания одного вещества в другом имело смысл рассматривать с точностью до первых двух цифр: 0,27; 0,64; 0,37 и т.д. то есть 27 сотых, 64 сотых, 37 сотых. Вот мы и перешли к процентам.

Для удобства одну сотую стали называть «процентом», а величину содержания одного вещества в другом, вместо 0,27 или 27 сотых, принялись говорить 27%.

После чего учащиеся открывают тетради и записывают определение в тетрадь.

4.2 Урок введения способов решения задач на проценты, опирающихся на связь процентов и десятичных дробей

Во многих школьных учебниках по математике к теме «Проценты» обращаются не один раз. В первый раз учащихся знакомят с понятием процента, и типовые задачи решаются, опираясь на содержательный смысл понятия. Во второй раз, после изучения типовых задач на дроби, ученики представляют проценты в виде десятичных (или обыкновенных) дробей, и решают задачи на проценты как соответствующие задачи на дроби. Ниже представлен конспект урока введения способов решения задач на проценты, опирающихся на связь дробей и процентов. Таким образом, урок должен проводиться в классе, уже знакомом с типовыми задачами на дроби и с понятием «Процент».

Конспект урока по теме «3 типа задач на проценты».

Тип урока: введение новых знаний

Цели урока:

Образовательные: повторение представления процентов в виде десятичных дробей и способов решения трех основных типов задач на дроби, формирование у учащихся навыков решения трех типов задач на проценты посредством перевода процентов в десятичную дробь.

Развивающие: внимательность, быстрота реакции при переходе с одного вида деятельности на другой, привлечение метода аналогии при поиске способов решения новых типов задач.

Использованная литература: [21], [13].

План урока:

Организационный момент 1-2 минуты

Актуализация знаний 10 минут

Объяснение материала 12 минут

Первичное закрепление 17 минут

Итоги урока 2-3 минуты

Задание на дом 1 минута

Ход урока Табл.9

Этап урока

Формы работы

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Примечания

1.Организа-ционный момент

2. Актуализация знаний

3. Объяснение материала

4. Первичное закрепление

5. Итоги урока

6.Задание на дом

Устная и письменная работа

Письменная и устная работа

Устная

Письменная

Устная

Приветствие учащихся. Сообщение темы и целей урока

Выполнение упражнения на представление процентов в виде десятичных дробей.

Учитель диктует следующие проценты:

99%; 50%; 3%; 81%; 13,8%;

100%; 127%; 6,2%; 370%;

0,8%, а ученики, в свою очередь, должны записать соответствующие им десятичные дроби.

После этого выполняется проверка: учащиеся обмениваются тетрадками с соседом по парте, на проверку учителю представляется 1-2 тетрадки, в том числе соседа по парте ученика, работающего за доской.

Свои ответы зачитывает ученик, работающий за доской, одноклассники его проверяют. После чего предлагаем ему сформулировать правило перевода процентов в десятичные дроби.

Ученикам можно предложить поставить оценки за работу в тетрадках своим соседям по парте, руководствуясь следующим критерием:

за 10 верно выполненных заданий выставляется отметка «5», за 8-9 заданий -«4», за 6 - 7 - «3», и в остальных случаях - «2».

Далее приступаем к решению трех типовых задач на дроби, которые представлены на доске еще к началу урока.

Вызываем к доске трех учеников для решения данных задач. Каждый из них для своей задачи должен нарисовать схему, оформить краткую запись, написать название для своего типа задачи, решить ее и записать ответ.

Далее осуществляем проверку: просим трех учеников, работающих на месте, по очереди проверить своих одноклассников.

Далее приступаем к рассмотрению типовых задач на проценты.

На крыле доски выписаны три задачи. Читаем вместе с классом первую задачу и спрашиваем «На какую из задач на дроби похожа данная и почему»

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены