Отрасль в системе межотраслевых связей: возможности анализа и прогнозирования

Баланс ОПФ в отраслях экономики. Динамику ОПФ в отраслях экономики описывает следующее балансовое уравнение:

K_j ^t = K_j ^t-1 + IK_j ^t - OK_j ^t. (2.32)

то есть объем ОПФ в текущем периоде равен объему ОПФ в прошлом периоде плюс их ввод минус выбытие. Попутно заметим, что для отражения ОПФ в современной статистике имеется много различных показателей. При включении этой переменной в модель большую роль играет то, в каких ценах учтены ОПФ - в постоянных или текущих, какая величина ОПФ используется - на начало периода или средняя за период и др. Все конструкции, обсуждавшиеся до сих пор, оперировали с показателями ОПФ как со средними величинами в постоянных ценах. Мы не будем здесь специально останавливаться на специфике других показателей ОПФ - об этом можно прочитать, например, в книге “Методологические положения по статистике” [44, 45].

Параллельно с балансом ОПФ можно составлять баланс незавершенного строительства, который будет по-своему отражать процесс освоения инвестиций в основной капитал. Так, если объем незавершенного строительства в j-той отрасли в период t обозначить как UK_j^t, то уравнение баланса выглядит следующим образом:

UK_j ^t = UK_j ^t-1 + INV_j ^t - IK_j ^t.

Уравнение баланса ОПФ (2.32) вместе с инвестиционной функцией, уравнениями освоения основных фондов и их выбытия образует модель воспроизводства ОПФ, которая позволяет судить о динамике важнейшего фактора производства - основного капитала.

2.4.2 Моделирование динамики трудовых ресурсов

Следующим важным фактором производства являются трудовые ресурсы, и изменение их численности обязательно должно учитываться в динамической модели МОБ.

Основой для моделирования динамики трудоспособного населения страны L^t обычно служат демографические модели, отражающие изменения численности населения в целом. Демографическая модель отражает естественную динамику населения, и важнейшими переменными в ней являются: общая численность населения в году t - D^t, численность населения возраста - D^t , коэффициент рождаемости b^t - отношение численности родившихся к общей численности населения, коэффициент смертности населения возраста m^t - отношение числа умерших к общей численности населения данного возраста. С учетом этих переменных уравнение баланса населения страны возраста выглядит следующим образом:

D^t = (1 - m_-1^t-1 ) * D_-1^t-1,(2.33)

Численность родившихся в году t равна b^t * D^t, а уравнение динамики общей численности населения имеет вид:

D^t = (1 + b^t ) (1 - m_-1^t-1 ) * D_-1^t-1,(2.34)

где _max - максимальная продолжительность жизни в стране. Коэффициенты рождаемости и смертности населения являются достаточно устойчивыми, что позволяет делать надежные средне- и долгосрочное прогнозы численности населения и его возрастной структуры.

Под трудоспособным населением страны обычно понимается население в трудоспособном возрасте. Поэтому, если в стране трудоспособным считается гражданин (гражданка) не младше16 и не старше 60 лет, то общая численность трудоспособного населения будет равна:

L^t = D^t .(2.35)

Уравнения (2.33-2.34) могут детализироваться не только по возрастной, но и по половой структуре населения, а уравнение типа (2.35) может учитывать различие границ трудоспособного возраста для мужчин и женщин. Далее могут строиться модели подготовки трудовых кадров различной квалификации и специальности [12]. Однако заметим, что в основе этих уравнений, как правило, лежит балансовый принцип.

В итоге набор уравнений типа (2.33)-(2.35) формирует динамический блок численности трудовых ресурсов. Его включение в модель МОБ осуществляется так же, как и в случае статической модели: для каждого периода времени строится неравенство, где в левой части стоит сумма занятых по отраслям хозяйства, а справа - общая численность трудоспособного населения страны (см. разд. 2.3.5).

L^t₁ + L^t₂ + ... + L^t_n L^t.

2.4.3 Моделирование динамики межотраслевых потоков

Как было отмечено в разд. 2.3.2, главными предпосылками построения модели МОБ являются предпосылки о линейности, незамещаемости и устойчивости величины отраслевых затрат на производство продукции. Эти гипотезы лежали в основе построения уравнений межотраслевых потоков: х_ij = а_ij x_{i .}

Однако, будучи верными для технологически стабильных отраслей экономики и при анализе ситуаций в краткосрочном периоде, эти предпосылки так или иначе нарушаются при исследовании технологически изменчивых секторов хозяйства, а также в средне- и долгосрочном аспектах. Поэтому для адекватного отражения динамики межотраслевых потоков используются более детальные конструкции, лежащие в основе моделей межотраслевых взаимодействий.

Построение и исследование моделей межотраслевого взаимодействия было начато в 1970-х гг. в ЦЭМИ АН СССР, а затем в Институте Народнохозяйственного Прогнозирования (ИНП) РАН под руководством Ю.В.Яременко [29]. Согласно основной концепции этих моделей, на объем межотраслевого потока из отрасли i в отрасль j x_ij могут оказывать воздействие следующие факторы:

- величина производственного спроса отрасли j - x_j ;

- объем предложения продукции отрасли i - x_i;

- объемы поставок смежной продукции из k-ых отраслей в отрасль j - x_kj;

- объемы параллельных поставок из отрасли i в l-е отрасли. - x_il.

В итоге уравнение потока из отрасли i в отрасль j может иметь следующий общий вид:

x_ij = a⁰_ij + a^j_ij x_j + aⁱ_ij x_i + a^kj_ij x_kj + a^il_ij x_il .(2.36)

где a⁰_ij - постоянная часть потока x_ij, остальные параметры а_ij характеризуют силу воздействия соответствующего фактора на поток. При этом если рост спроса и предложения продукции приводит, как правило, к увеличению межотраслевого потока (то есть a^j_ij 0 и aⁱ_ij 0), то воздействие смежных и параллельных поставок оказывается не столь однозначным. Так, например, продукция отрасли k может выступать как дополняющая продукцию моделируемого потока (то есть a^kj_ij 0), а может выполнять и замещающую функцию (то есть a^kj_ij 0). Точно также рост поставок продукции i-той отрасли в другие отрасли может оказывать неоднозначное воздействие на исследуемый поток x_ij (то есть возможно как a^il_ij 0, так и a^il_ij 0).

Рассмотрим как пример уравнение из 18-отраслевой модели межотраслевых взаимодействий, построенной для экономики СССР на данных за 1951-1975 гг.[31]. Это уравнение отражает поток из отрасли черных металлов (отрасль номер 1) в машиностроение (отрасль номер 7) и выглядит следующим образом:

x₀₁₀₇ = 51.4 + 0,3464 x₀₁ + 0.018 x₀₇ - 0.24 x₀₂₀₇ - 0,19 x₀₆₀₇ .

Анализ уравнения показывает, что поток продукции черных металлов в машиностроение в советской экономике определялся не столько спросом со стороны машиностроения, сколько имеющимися ресурсами черной металлургии: коэффициент при переменной x₀₁ почти в два раза больше, чем при x₀₇. Одновременно происходило замещение черных металлов как материальной базы машиностроения продукцией цветной металлургии (отрасль номер 2) и химической промышленности (отрасль номер 6): коэффициенты при переменных смежных потоков x₀₂₀₇ и x₀₆₀₇ оказываются отрицательными.

Еще одним шагом на пути повышения адекватности модели межотраслевых взаимодействий является динамизация коэффициентов a_ij в уравнениях вида (2.36). Как уже было сказано, в этом случае коэффициенты сами начинают выступать в роли переменных величин и, из-за ограниченности статистической базы оценивания уравнений, для них выбирается трендовая модель поведения. Так, например, уравнение для потока из черной металлургии в строительство (отрасль номер 14) с динамизированными коэффициентами, построенное на тех же данных, что и предыдущее уравнение, выглядит следующим образом:

x₀₁₁₄ = 415.4 + (0,1644 - ) x₀₁ + 0.015 x₁₄ ,

где t - переменная времени. Уравнение показывает, что поток продукции черных металлов в строительство также, как и в машиностроение, зависит не только от спроса со стороны отрасли-потребителя, но и от предложения со стороны черной металлургии. Однако зависимость от предложения имеет тенденцию к увеличению во времени: значение коэффициента при x₀₁ возрастает с ростом t. Одновременно зависимость величины потока от спроса остается относительно стабильной: коэффициент при x₁₄ не изменяется с ростом t.

Уравнения вида (2.36) с постоянными или динамическими коэффициентами зависимости строятся и оцениваются с помощью эконометрических методов для наиболее важных и изменчивых показателей межотраслевых потоков таблицы “Затраты-Выпуск”. Затем эти уравнения включаются в межотраслевой баланс наряду с уравнениями для остальных стабильных потоков, построенными по традиционной схеме. В итоге сконструированная модель межотраслевых взаимодействий позволяет более точно представлять изменение структуры народного хозяйства во времени и с изменением масштабов производства.

Блоки динамических уравнений, аналогичные блоку воспроизводства основного капитала или блоку трудоспособного населения, могут строиться и для остальных видов производственных ресурсов экономики - например, для природных ресурсов. Сделать изменяющимися во времени можно не только инвестиции в ОПФ, но и остальные элементы конечного продукта - потребление домашних хозяйств, государственные расходы, экспорт. Точно также можно динамизировать элементы третьего квадранта МОБ: заработную плату рабочих и служащих, величину налогов и прибыли и т.д. Для согласования элементов второго и третьего квадранта друг с другом могут потребоваться специальные финансовый и ценовой блоки, блок государственного бюджета и др. Все это позволяет сконструировать динамическую многоотраслевую модель народного хозяйства, базирующуюся на схеме межотраслевого баланса. Такая модель, в отличие от рассмотренной в разд. 3.3 статической модели, позволяет исследовать состояние экономики не в какой-то один момент времени, а уже в некоторой перспективе. Примеры построения и применения подобных моделей будут рассмотрены в следующем разделе.

2.5 Опыт разработки и применения межотраслевых моделей

Метод межотраслевого баланса был и остается очень популярным методом построения математических моделей, которые используются в самом широком спектре исследований: от прогнозирования и программирования развития экономик отдельных стран в средне- и долгосрочной перспективе до анализа перспектив мирового хозяйства. Рассмотрим некоторые примеры таких исследований.

2.5.1 Применение МОБ для прогнозирования экономики США

Хорошим примером применения метода МОБ для построения долгосрочного прогноза роста рыночной экономики может служить исследование Эдисоновского Института Электричества, проведенное в середине 70-х гг. и посвященное перспективам развития энергетики США и экономики страны в целом до 2000 года .

Данное исследование было выполнено как реакция на последствия мирового энергетического кризиса 1970-х гг. и было призвано ответить на вопрос: “Не станут ли энергетические ресурсы - нефть, уголь, газ, ядреное топливо - к концу ХХ века главным ограничением на пути экономического роста в США?” Параллельно анализировались перспективы использования запасов других природных ресурсов, а также возможные экологические проблемы, порождаемые ростом экономики в США и в остальном мире.

В основе построенной системы лежат модели для 10 регионов мира, что позволяет, по мнению авторов, “учесть содержание и специфику проблем, ресурсов, типов экономического роста и другие аспекты развития отдельных районов мира”. Региональные модели имеют три уровня агрегирования. На первом, самом детальном, с помощью МОБ исследуется поведение экономики региона в разрезе девяти ключевых отраслей хозяйствования, среди которых выделяются сельское хозяйство, обрабатывающая промышленность, транспорт, торговля и сфера услуг, а также отрасли добычи и обработки энергетических ресурсов: угольная промышленность, добыча нефти и газа, нефтепереработка, электроэнергетика и газоснабжение. На следующем уровне конструируются макроэкономические модели регионов без разбиения на отрасли. Модели первого и второго уровней служат основой построения на третьем уровне модели межрегиональной торговли, которая позволяет анализировать последствия процесса купли-продажи продукции выделенных отраслей на экономику каждого из выделенных регионов.

Объемы производства в топливно-энергетических отраслях, полученные с помощью модели МОБ, позволяют рассчитать объемы конкретных видов полезных ископаемых, необходимых для обеспечения выпуска: угля, нефти, газа, ядерного топлива. Ряды затрат природных ресурсов сравниваются с величиной известных и оценкой перспективных запасов топлива в США, а также с возможностями импорта топливных ресурсов из других регионов мира. Параллельно строится модель роста населения и, в частности, трудоспособного населения страны, модель воспроизводства основного капитала.

В итоге сконструированная модель может служить примером динамической модели МОБ с ограничениями по трудовым ресурсам, основному капиталу и запасам природного сырья, с особым вниманием к энергетическим ресурсам. Результаты расчетов по модели позволили сделать вывод, что рост экономики США темпами до 3.5-4% в год в интервале 1975-2000 гг. будет ограничиваться не столько нехваткой топливных и сырьевых ресурсов, сколько объемом и направлениями использования основного капитала. Как следствие, была сделана рекомендация Правительству страны уделять в перспективе основное внимание с помощью соответствующей государственной политики стимулированию инвестиций, а управлению фирм - повышать технический уровень производства. Сегодня, с позиции наступившего 2000-ого года, можно говорить о справедливости данной рекомендации, поскольку к настоящему времени запасы ни одного из исследовавшихся видов природного сырья в США и в мире в целом не оказались окончательно исчерпанными и их отсутствие не стало препятствием на пути экономического роста в данной стране и в других регионах мира.

2.5.2 Применение моделей МОБ для программирования экономики Франции

Активная государственная политика, проводившаяся руководством Французской Республики после Второй Мировой войны, была направлена на восстановление народного хозяйства страны и повышение его конкурентоспособности среди мировых экономик. Все это стало причиной стремительного развития национальной статистики и методов государственного управления экономикой в данной стране. Важнейшим элементом системы индикативного планирования, использовавшейся со второй половины 40-х до 80-х гг. во Франции, была детальная модель экономики, которая позволяла согласовывать решения государственных органов страны и реакцию на них представителей частного сектора и занятого населения, прогнозировать изменения мировой экономики. Использование модели в процессе разработки плана было призвано облегчить “процесс изыскания возможных путей экономического и социального развития, осознания и формулирования проблем, поставленных этим развитием, выбор подходящих решений для этих проблем и объяснение, почему сделан тот или иной выбор или принято то или иное решение политического характера” [33].

Первая 10-отраслевая статическая модель, базировавшаяся на схеме МОБ, была разработана в Национальном Институте Статистики и Экономических Исследований (INSEE) при Министерстве Экономики и Финансов Франции в середине 60-х гг.. Главной целью построения модели “Physique-Financier” (Материально-Финансовой) было проанализировать воздействие политики в области государственного сектора и возможных изменений в мировой экономике на производство в отраслях, которыми управляют частные предприниматели. Как следствие, основное внимание при конструировании модели было уделено элементам второго и третьего квадрантов: заработной плате, прибыли, инвестициям, экспорту и импорту, а также связывающим их денежно-финансовому и бюджетному блокам.

В 70-е гг. деятельность по построению моделей на основе МОБ во Франции еще более активизировалась. Все конструируемые модели стали динамическими - годовыми или квартальными. Число включаемых отраслей хозяйства увеличилось с десятка в модели DMS (Динамической Многоотраслевой) до девяноста в ANAIS (Годовой Межотраслевой). Число поведенческих эконометрических уравнений, включаемых в модели помимо уравнений баланса, возросло с двух-трех сотен до нескольких тысяч.

К началу 80-х гг., когда экономика Франции прочно заняла свое место среди развитых рыночных стран, роль государственного управления начала понемногу уменьшатся. Одновременно конструируемые модели стали все больше ориентироваться не на цели государственного программирования, сколько на построение прогнозов на различную перспективу для отечественных и зарубежных предпринимателей. Как следствие, все чаще строящиеся модели стали моделями экономики Франции в рамках мировой экономики - аналогичными рассмотренной в предыдущем разделе модели США. Как пример можно привести модель MIMOSA, сконструированную во Французской Обсерватории Экономической Конъюнктуры (OFCE) в середине 80-х гг.. В данной модели мировая экономика представлена в виде 11 регионов; поведение каждого из регионов отражается с помощью 5-отраслевой динамической модели МОБ, включающей около 150 эконометрических уравнений. Главным результатом анализа модели является набор вариантов развития французской экономики в различных внешних условиях и под воздействием различных стратегий государственной политики.

2.5.3 Построение моделей мировой экономики

Глобализация, выход на мировой уровень является одной из главных тенденций развития современных прикладных макроэкономических исследований. Предыдущие разделы показывают, что модель современной открытой рыночной экономики обязательно включает сектор мировой экономики с той или иной степенью его детализации [34]. Рассмотрим поэтому пример исследования, которое прямо посвящено проблемам глобального развития и опирается на метод МОБ - проект “Будущее мировой экономики”. Данный проект был выполнен в середине 1970-х гг. представителями Организации Объединенных Наций под руководством автора метода межотраслевого баланса - В.В. Леонтьева [35].

Целью проекта было выявление взаимосвязи демографического, экономического и экологического аспектов развития мирового хозяйства и построение на этой основе вариантов прогнозов на 1980-й, 1990-й и 2000-й годы. Для решения данной задачи была сконструирована глобальная динамическая модель, базирующаяся на схеме МОБ. Мировая экономика в данной модели была разделена на 15 регионов; каждый регион описан 45 секторами экономической деятельности. Сельское хозяйство представлено четырьмя подотраслями; в добывающей промышленности особое внимание уделено нескольким видам металлов, а также природному газу, нефти и углю. Обрабатывающая промышленность разделена на 22 подотрасли, специально рассматриваются отрасли сферы услуг. В модели учитывается выброс в процессе производства восьми типов загрязняющих веществ и пять видов деятельности по очищению от них окружающей среды. При этом данные виды активности также отражаются по принципу МОБ: вводятся специальные “коэффициенты выброса” загрязняющих веществ, сопровождающие каждый вид производственной деятельности, и “коэффициенты эффективности” очистных процессов для каждого вида загрязнителей.

Кроме того, модели регионов объединяет блок внешней торговли и международных инвестиций, который отражает роль каждого из регионов в международной торговле ключевыми товарами и в развитии мирового производства.

С помощью модели был сконструирован широкий спектр вариантов глобального развития, опирающийся на различные предположения о росте населения в будущем и об уровне производства на душу населения, достигаем в каждом из регионов. В итоге каждый вариант описывает различные сценарии экспортно-импортной и инвестиционной политики регионов, изменения производственных технологий, а также технологий по охране окружающей среды.

Построенные варианты глобальных прогнозов до 2000 г. показали, что главными ограничениями на пути мирового экономического роста в конце ХХ века станут не столько проблемы физического недостатка природных ресурсов или чрезмерного загрязнения окружающей среды, сколько экономические и политические проблемы, порождаемые неуменьшением или ростом разрыва в уровнях развития регионов мира. Этот вывод стал основой следующей рекомендации исследователей: “Чтобы обеспечить ускоренное развитие, необходимы два общих условия: во-первых, далеко идущие внутренние изменения социального, политического и институционального характера в развивающихся странах и, во-вторых, значительные перемены в мировом экономическом порядке. Ускоренное развитие, ведущее к заметному сокращению разрыва в доходах между развивающимися и развитыми странами, может быть достигнуто только путем сочетания обоих этих условий” [35, с 45-46]. Сегодня, с позиции наступившего 2000-го года, можно говорить о справедливости данных рекомендаций, о прогнозах глобального развития - как о сбывшихся, а о методе МОБ - как об эффективном методе исследования и построения подобных прогнозов.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2

Что такое МОБ?

Назовите разделы и состав разделов натурального МОБа (таблицы «Затраты-Выпуск»).

Квадранты и их состав в стоимостном МОБе. Что представляют собой суммы элементов по строкам и по столбцам первого квадранта стоимостного МОБа?

Назовите элементы конечного продукта, представленного во втором квадранте МОБа.

Чем отличается показатель «Оплата труда» в третьем квадранте МОБа от показателя с таким же названием, используемым в бухгалтерской отчетности предприятий?

Включается ли налог на прибыль в состав «Других налогов на производство» или в состав «Налогов на продукты и импорт»?

Назовите основные элементы четвертого квадранта стоимостного МОБа.

Существуют ли в экономике «чистые отрасли»?

В каких «чистых» и «хозяйственных» отраслях, по Вашему мнению, более существенно отличаются показатели выпуска (объемов производства) - в машиностроении или в строительстве?

Что показывают коэффициенты прямых затрат?

В каких отраслях эти коэффициенты относительно быстро изменяются?

Почему равны нулю показатели валового накопления основного капитала для отраслей «Здравоохранение» и «Торговля»?

В чем принципиальное отличие методологии построения балансов народного хозяйства в СССР от методологии Системы национальных счетов?

Что характеризуют коэффициенты прямых затрат и коэффициенты полных затрат?

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2

На приложенном к учебному пособию диске находятся примеры статических межотраслевых моделей, которые выполнены в среде Microsoft Excel. Они предоставляют возможность поближе познакомиться с процессом построения работающей статической межотраслевой модели и попытаться произвести определенные расчеты. Рекомендуется не перезаписывать исходные файлы, внося в них какие-то свои изменения. Это позволит вам всегда иметь в наличии работающую версию модели.

Упражнение 1.Файл STATIC_MODEL.XLS

В этом упражнении предлагается ознакомится с базовыми принципами построения статической макроэкономической модели на основе межотраслевого баланса.

На листе “Подготовка модели” показан пример межотраслевого баланса в сопоставимых ценах - (первая таблица, выделена белым).

Основное уравнение межотраслевого баланса X=AX+Y,где :

X - вектор отраслевых валовых выпусков - столбец “ВЫПУСК” в приведенном выше межотраслевом балансе.

Y - вектор отраслевого ВВП (конечного спроса) - столбец “ВВП” в балансе

А - матрица коэффициентов прямых затрат, приведена на том же листе ниже (выделена желтым)

Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат рассчитываются по формуле

где x_ij -объем продукции i -ой отрасли в материальных затратах j-ой отрасли, x_j - валовый выпуск j-ой отрасли. По своему смыслу коэффициент a_ij - объем продукции i-ой отрасли необходимый для производства единичного объема продукции j ой отрасли.

Из основного уравнения межотраслевого баланса следует

X = (E-A)^-1 Y, где E - единичная матрица.

На листе “Подготовка модели” приведена последовательность действий по расчету матрицы (E-A)^-1

На листе “Элементы конечного спроса” пользователю предоставляется возможность задать величины элементов конечного спроса. Это можно сделать, как непосредственно задав абсолютные значения в таблице “Итоговые значения”, так и задав значения индексов роста в таблице “Индексы роста” по отношению к базовым значениям элементов конечного спроса, приведенным в таблице “ Базовые значения ”

На листе “Модель” показан расчетный межотраслевой баланс, построенный на основе заданных пользователем на листе “Элементы конечного спроса” величин.

На листе “Выпуски” графически показаны изменения валовых выпусков для заданных объемов элементов конечного спроса по отношению к базовым значениям валовых выпусков.

Работа с моделью осуществляется следующим образом. Предположим, нужно рассчитать на сколько изменятся валовые выпуски при росте конечного спроса, к примеру, в машиностроении на 30%. Открываем лист “Элементы конечного спроса” и устанавливаем в таблице “Индексы роста” соответствующие индексы роста 1.3 для машиностроения. В более общем случае, индексы у каждого элемента конечного спроса могут быть разными, но в данном примере они одинаковы.

Если в установках выбран автоматический пересчет, то Excel сразу произведет необходимые вычисления, в противном случае для начала расчета нажмите клавишу “F9”.

Теперь на листе графиков “Выпуски” показан относительное изменение валовых выпусков, а на листе “Модель” представлен расчетный межотраслевой баланс. Из графы “Расчетные выпуски к исходным” видно, что валовые выпуски в черной металлургии вырастут на 8.6%, а цветной - на 12%.

Упражнение 2. Файл PRICEVA2_MODEL.XLS

В этом упражнении предлагается познакомиться с ценовой макроэкономической моделью.

По сравнению с прошлым упражнением добавились листы “Индексы отраслевых цен и затрат”,” ЭКЗОГЕННО_Элементы добавленной стоимости” и “Торгово-транспортная наценка”. Теперь пользователю предлагается не только задавать элементы конечного спроса, но и изменения отраслевых цен и элементов добавленной стоимости.

На листе “Торгово-транспортная наценка”. показана величина торгово-транспортной наценки и ее доля в суммарном потоке из отраслей “Транспорт грузовой и связь производственная” и “Сфера обращения”.

На листе “Индексы отраслевых цен и затрат” пользователь может задать изменение цен в целом на продукцию отрасли (столбец “Индексы отраслевых цен”) или же для отдельных потоков продукции из данной отрасли в прочие (столбцы с соответствующими названиями) и в конечное потребление (столбец “Индекс цен ВВП”).

В столбце “Удорожание затрат” показано во сколько раз вырастет объем материальных затрат отрасли.

На листе” ЭКЗОГЕННО_Элементы добавленной стоимости”(или соответственно Элементы добавленной стоимости”) пользователь может задать изменение величины элементов добавленной стоимости. Как и для элементов конечного спроса их можно задавать как абсолютными значениями, так и индексами роста по отношению к приведенным на том же листе базовым значениям, взятым из межотраслевого баланса, находящегося на листе ”Подготовка модели”.

В находящихся на прилагаемом диске файлах реализованы следующие варианты расчета по ценовой модели.

- PriceVA1_model.xls: расчет цен от заданной добавленной стоимости при условии неизменности прибыли в других отраслях

- PriceVA2_model.xls: расчет цен от заданной добавленной стоимости при условии неизменности рентабельности в других отраслях

- PriceP1_model.xls: расчет цен от заданных индексов отраслевых цен при условии неизменности прибыли в других отраслях

- PriceP2_model.xls: расчет цен от заданных индексов отраслевых цен при условии неизменности рентабельности в других отраслях.

3. ????????????: ????? ?????????? ?????????

В основен данной главы, а также главы 4 лежит оригинальный текст Клоппера Алмона, основанный на том курсе лекций и практических занятий, который читается им в Мерилендском университете США [38]. Необходимо также отметить, что межотраслевая модель RIM, о которой пойдет речь в последних главах монографии разрабатывалась с использованием программных средств, созданных группой INFORUM под руководством профессора Клоппера Алмона.

В данной главе мы разберем то, как одна переменная - скажем, число проданных автомобилей - зависит от других - таких, например, как цена и доходы. Мы рассмотрим, как оценить уравнения, выражающие эту зависимость, на имеющихся исторических данных. Здесь мы сосредоточимся на процессе приближения кривых и не будем специально уделять внимание анализу и интерпретации получаемых результатов. Это станет предметом следующих глав.

3.1 Что такое метод наименьших квадратов и почему он используется?

Давайте сразу начнем с практической задачи. Предположим, что вам необходимо сделать прогноз числа проданных автомобилей на следующие четыре месяца. Вашим первым вопросом, естественно, будет: “Какие факторы влияют на продажу автомобилей и насколько сильно воздействует каждый из них?”

Хорошим претендентом на такой фактор, конечно же, служит объем располагаемых доходов населения. Кроме того, это оказывается удобной переменной, поскольку предыдущий анализ делового журнала показал вам, что прогнозы этого показателя предлагаются многими фирмами. Давайте предположим, что у вас есть квартальные данные за десять лет о численности проданных автомобилей и величине располагаемых доходов. Как найти связь между этими двумя показателями?

Самый простой способ сделать это - нарисовать точки объема продаж напротив доходов, а затем провести линию посреди этих точек.

Вы можете использовать прозрачную линейку или туго натянутую веревку для проведения линии, которая покажется вам подходящей. Затем, имея прогнозное значение величины доходов А, мы можем найти численность проданных автомобилей В с помощью построенной прямой. С математической точки зрения сделанное нами эквивалентно определению величин b₁ и b₂ в следующем уравнении:

y_t = b₁ + b₂ x_t, (3.1)

где

y_t = число автомобилей, купленных в квартале t;

x_t = располагаемый доход в квартале t;

b₁ , b₂ = постоянные величины, часто называемые “параметрами”, которые необходимо определить так, чтобы прямая подходила под имеющиеся наблюдения.

Метод построения прямой “на глаз” обладает важными преимуществами по сравнению с другими методами. Он позволяет видеть нам, что мы делаем. Он прост, быстр и ясен, кроме того, он позволяет замечать сильные отклонения в данных и не придавать им большого значения. Однако такой метод редко используется. Теоретики не любят его, поскольку на его счет вряд ли можно доказать какие-то элегантные теоремы. Практики избегают его, так как легко увидеть, что он субъективен, и более сложные методы позволяют им наряжать свою субъективность в более красивые одежды.

Действительные же проблемы с предложенным методом появляются, когда мы понимаем, что объем продажи автомобилей зависит не только от доходов. Предположим, что мы захотим принять в расчет также изменения в доходах dx_t = x_t - x_t-1 . Тогда нам придется оценить следующее уравнение:

y = b₁ + b₂ x + b₃ dx. (3.2)

(Значения b₁ и b₂ в (3.2), конечно, могут отличаться от их значений в (3.1). Для оценки этих коэффициентов “на глаз” нам потребуется трехмерная конструкция для помещения точек в пространстве. Затем, возможно, мы попробуем использовать их световую проекцию для поиска плоскости, подходящей под эти точки лучше всего. Но то, что было просто для одной переменной, для двух превращается уже в инженерное искусство. А потом, конечно же, мы поймем, что объем продажи автомобилей должен также зависеть от имеющихся запасов автомобилей s, то есть:

y = b₁ + b₂ x + b₃ dx + b₄ s. (3.3)

Теперь нам потребуется какого-то рода четырехмерная конструкция, а после того, как вы соорудите ее, будьте готовы к работе над пятимерным устройством, поскольку объем продажи автомобилей, конечно же, зависит и от цены на автомобили p, то есть нам необходимо оценить:

y = b₁ + b₂ x + b₃ dx + b₄ s + b₅ p. (3.4)

Здесь уже задача представления физической картины того, что ожидает нас во время оценки уравнения по имеющимся данным, кажется совершенно безнадежной. Если же мы действительно хотим оценить уравнение с таким большим числом параметров - а для практических целей более чем с двумя параметрами, - мы должны заменить визуальный метод расчетным. Такой переход может показаться ужасным, и нам срочно необходимо найти способ убедиться в том, что расчеты вслепую еще имеют какой-то смысл.

Для поиска способа расчета параметров давайте вернемся к простейшему случаю: уравнению (3.1) и договоримся выбрать такие значения b₁ и b₂, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений. Вы можете спросить: “Почему выбраны квадраты? Почему не взять сумму абсолютных значений отклонений?” Это покажется странным, но гораздо проще рассчитать коэффициенты b, минимизирующие сумму квадратов отклонений, чем сумму их абсолютных значений. И именно эта простота объясняет наш выбор квадратов.

3.2 Как рассчитать коэффициенты регрессии по методу наименьших квадратов

Для того чтобы найти “минимально-квадратические” значения коэффициентов b, нам нужно просто минимизировать относительно b₁ и b₂ следующее выражение:

S = ², (3.5)

где T - число имеющихся наблюдений, x_t1 = 1 для всех t, а x_t2 - величина дохода в период t. Знак “сигма” S означает, конечно, суммирование; t = 1 внизу этого знака показывает, что суммирование начинается с данного значения t и продолжается до t = T, показанного вверху. Теперь, если значение S должно быть минимальным по отношению к обоим b₁ и b₂, оно должно быть минимальным и по отношению к b₁ при постоянном b₂. Читатели, которые не изучали дифференциальное исчисление, должны будут принять на веру, что решение, приведенное в уравнении (3.8), минимизирует значение S. Но те, кто знает, что производная функции x² равна 2x, могут последовать за выводом. Во-первых, производная S относительно b₁ (при постоянном значении b₂) должна равняться нулю:

= 2(y_t - (b₁x_t1 + b₂x_t2)) (-x_t1) = 0. (3.6)

Точно так же S должна быть минимальной по отношению к b₂, поэтому

= 2(y_t - (b₁x_t1 + b₂x_t2)) (-x_t1) = 0. (3.7)

Мы можем сделать уравнения (3.6) и (3.7) более наглядными, если разделим обе их части на 2, поместим члены, не содержащие b₁ и b₂ в правую часть, и выведем b₁ и b₂ за знаки суммирования. После всего этого уравнения (3.6) и (3.7) принимают следующий вид:

b₁ x_t1 x_t1 + b₂ x_t1 x_t2 = x_t1 y_t

b₁ x_t2 x_t1 + b₂ x_t2x_t2 = x_t2 y_t . (3.8)

(В данных выражениях мы упустили пределы суммирования просто потому, что они везде одинаковые.) Теперь вспомним, что значения x и y нам известны - это их наблюдавшиеся значения. Поэтому и все суммы нам известны. Неизвестны лишь b₁ и b₂ . Мы видим, что у нас имеется два линейных уравнения с двумя неизвестными. Подобные уравнения вы решали в университетах; может быть, вы забыли - как, но мы вам это напомним. Если же мы умеем решать линейные уравнения, то мы можем считать нашу задачу поиска значений b решенной.

Однако, вы можете сказать, что до сих пор мы имели дело со случаем двух переменных, который хорошо можно представить графически. Что будет в случае большего числа переменных? Мы с таким же успехом можем рассмотреть общий случай для n независимых переменных x₁, ..., x_n и уравнение

y_t = b₁ x_t1 + ... + b_n x_tn.

Рассмотрим теперь

S = (y_t - ((b₁x_t1 + ... + b_nx_tn))².

Дифференциация этого выражения относительно b₁, b₂,..., b_n дает

= 2(y_t - (b₁x_t1 + ... + b_nx_tn)) (-x_t1) = 0

... = ...

= 2(y_t - (b₁x_t1 + ... + b_nx_tn)) (-x_tn) = 0. (3.9)

Это может быть переписано в виде:

b₁ x_t1 x_t1 + b₂ x_t1 x_t2 + ... + b_n x_t1 x_tn = x_t1 y_t

...

b₁ x_tn x_t1 + b₂ x_t2x_t2 + ... + b_n x_tn x_tn = x_tn y_t . (3.10)

Замечаете ли вы в этом систему? В первом уравнении первым сомножителем в каждом произведении является х_t1, во втором уравнении - х_t2 и так далее. В i-том столбце второй сомножитель в каждой из сумм - х_ti.

Давайте рассмотрим простой пример для Т = 5. (3.11)

Таблица 3.1 показывает, как последовательно решить эту систему уравнений.

	t	xt1	xt2	xt3	yt
	1	1	10	5	17
	2	1	5	1	10
	3	1	0	6	12
	4	1	10	3	16
	5	1	0	10	20

Теперь вы должны проверить, что уравнения (3.10) в этом случае будут иметь вид:

5b₁ + 25b₂ + 25b₃ = 75

25b₁ + 225b₂ + 85b₃ = 380

25b₁ + 85b₂ + 171b₃ = 415

Таблица 3.1

Расчеты наименьших квадратов

No	b1	b2	b3	=1	Формула
----------	--------	---------	---------	-----------	---------------------------------
L1	5.	25.	25.	75.
L2	25.	225.	85.	380	Исходные уравнения
L3	25.	85.	171.	415.
----------	--------	---------	---------	-----------	---------------------------------
L4#	1.	5.	5.	15.	L1/5
L5	0.	100.	-40.	5.	L2 - 25*L4
L6	0.	-40.	46.	40.	L3 - 25*L4
----------	--------	---------	---------	-----------	---------------------------------
L7	1.	0.	7.	14.75	L4 - 5*L8
L8#	0.	1.	-0.4	.05	L5/100
L9	0.	0.	30.	42.	L6 -(-40)*L8
----------	--------	---------	---------	-----------	---------------------------------
L10	1.	0.	0.	4.95	L7-7*L12
L11	0.	1.	0.	.61	L8-(-.4)*L12
L12#	0.	0.	1.	1.40	L9/30
----------	--------	---------	---------	-----------	---------------------------------

Примечание: знак # после номера показывает строку, по которой ведется расчет.

Первые три строки (L1, L2, L3) показывают исходные уравнения. Следующие три строки - результат исключения b₁ из второго и третьего уравнений. Для этого сначала получают коэффициент при b₁ в первом уравнении равным 1.0, для чего все уравнение делится на коэффициент при b₁ , а именно на 5. Делитель называется ключевым элементом и в таблице подчеркнут. В результате получаем строку L4. Теперь для того чтобы исключить b₁ из второго уравнения, умножим L4 на коэффициент при b₁ в уравнении L2 и вычтем из L2. Получим L5. Точно так же рассчитывается L6. Теперь мы закончили первый цикл операций и исключили b₁ из всех уравнений, кроме первого. В следующих трех строках: L7, L8 и L9 мы похожим образом получили равными 0 коэффициенты при b₂ во всех уравнениях, кроме второго. Наконец, в строках L10-L12 мы получили нулевые коэффициенты при b₃ во всех уравнениях, кроме третьего. Из последних трех строк виден ответ:

b₁ = 4.95, b₂ = 0.61, b₃ = 1.40.

Проделанное нами называется построением линейной регрессии, а найденные нами значения b - коэффициентами регрессии. Практический метод решения уравнений известен как метод приведения Гаусса-Йордана. В целом идея оценки уравнения путем минимизации суммы квадратов остатков принадлежит Карлу Фридриху Гауссу.

3.3 Некоторые показатели качества уравнения регрессии

Теперь, после расчета коэффициентов регрессии, мы можем задать вопрос: “А насколько хорошо уравнение описывает данные?” Для ответа на него нам прежде всего необходимо рассчитать значения зависимой переменной, “предсказываемые” уравнением. Такие предсказанные значения обозначаются как y, поэтому

y = .

Полученные значения показаны в третьей колонке Таблицы 3.2, где реальные значения представлены во второй колонке. Ошибки, или “отклонения” равны

r_t = y_t - y_t,

и показаны в четвертой колонке. Отметим, что сумма отклонений равна нулю: она всегда будет равна нулю, если в уравнении присутствует постоянный член. Поскольку мы старались минимизировать сумму квадратов отклонений, посмотрим сначала на ее величину:

S = r_t².

Однако, показатель стандартной ошибки оценки SEE (Standart Error of Estimate), равный

SEE = ,

проще интерпретировать, поскольку он имеет такую же размерность, что и зависимая переменная. Мы можем рассматривать его как некоторого рода среднюю ошибку.

Таблица 3.2.

Оценка уравнения регрессии

t	Y	y	r	r2	d	d2	f	f2	%
1	17.	18.05	1.05	1.1025	2.0	4.	-1.65	2.7225	6.18
2	10.	9.40	-0.60	0.3600	-5.0	25.	1.95	3.8025	6.00
3	12.	13.35	1.35	1.8225	-3.0	9.	-2.10	4.4100	11.25
4	16.	15.25	-0.75	0.5625	1.0	1.	-0.30	0.0900	4.69
5	20.	18.95	-1.05	1.1025	5.0	25.	0.00	0.0000	5.25
			-------	--------	----	----		---------	------
			0.00	4.9500	0.0	64.		11.0250	33.37

SEE = = .995 MAPE = 33.37/5 = 6.67

R² = 1 - (4.95/64) = .92227 RBARSQ = 1 - (4.95/2)/(64/4) = 0.8453

DW = 11.025/4.95 = 2.2272 RHO = (2 - 2.2272)/2 = - .1136

Другим показателем качества оценки является отношение S - суммы квадратов отклонений, к D - сумме квадратов отклонений от среднего значения зависимой переменной y. Эти отклонения показаны в колонке “d” Таблицы 3.2. Значение D равно:

D = (y_t - y)².

Отношение S/D будет равным нулю для абсолютно точной оценки и 1.0 в наихудшем случае (предполагая, что в уравнении имеется постоянный член). Поскольку представляется несколько странным иметь ноль в качестве лучшей оценки, отношение S/D вычитается из 1.0 для получения того, что называется “коэффициентом множественной детерминации”, или “R-квадаратом”, то есть

R² = 1 - S/D.

“Скорректированный” R², который изображается с чертой над R, часто используется для того, чтобы отразить факт, согласно которому чем больше независимых переменных используется в регрессии, тем ближе к 0 становится значение S. Действительно, если число независимых переменных равно числу наблюдений, полученная оценка будет абсолютно точной. Поэтому в скорректированном R² значение S делится на T-n - число наблюдений за вычетом числа переменных. Его формула имеет вид:

`R² = 1 - ,

где n - число независимых переменных, включая постоянный член. Там, где нам неудобно использовать черту сверху, мы будем называть эту величину RBARSQ (R BAR SQuare). Величина T - n называется числом “степеней свободы” уравнения регрессии.

Другим показателем качества построенной регрессии является среднее отклонение в процентах MAPE (Mean Absolute Persantage Error), определяемое как

MAPE = .

Ее расчет показан в последней колонке Таблицы 3.2.

Несмотря на то, что RSQ, RBARSQ и MAPE являются безразмерными показателями, для них нельзя указать, насколько хорошо подходит нам их полученное значение. Обычно для уравнения, в котором зависимая переменная имеет сильный тренд, значение RSQ будет высоким, для уравнения со скачущей, лишенной тренда зависимой переменной значение RSQ будет низким. Все эти показатели становятся действительно полезными при сравнении качества различных уравнений, построенных для одной объясняемой переменной.

3.4 Показатели автокорреляции и их использование

В дополнение к вопросу о том, насколько хорошо построенное уравнение описывает данные, обычно задают вопрос, а насколько построенное уравнение склонно “делать одинаковые ошибки”? То есть, если ошибка в какой-то период времени оказывается высокой, делает ли это более вероятным появление высокой ошибки в следующем периоде? Если это так, то отклонения называются автокоррелированными. Статистика Дарбина-Уотсона DW и показатель RHO являются измерителями автокорреляции остатков r_t = y_t - y_t.

Статистика Дарбина-Уотсона имеет вид

DW = (r_t+1 - r_t)² / S,

а коэффициент автокорреляции остатков r:

RHO = (2 - DW)/2.

Значение RHO приблизительно равно коэффициенту регрессии в уравнении

r_t+1 = ^T r_t,

поскольку этот коэффициент равен

^T = ,

а значение DW:

DW = r_t+1² + r_t² - 2r_t+1r_t,

где суммирование везде проводится от 1 до T-1. Для больших значений T первые два слагаемых справа и слагаемое в знаменателе из формулы для ^T незначительно отличаются от S, поэтому - с точностью до приближения - выполняются равенства:

DW = 2 - 2^T и ^T = (2 - DW)/2.

Расчет показателей DW и RHO для разбираемого примера показан в Таблице 3.2 в столбцах, обозначенных как f и f², а также внизу таблицы. Здесь f_t = r_t+1 - r_t. Идеальным значением для DW было бы 2.0, и 0.0 - для RHO, но, как и раньше, то, насколько хорошим является значение RHO, зависит от переменных в уравнении. Для каких-то переменных легко получить значение RHO меньше 0.1, для других величина RHO = 0.5 будет большим достижением.

Полученное значение RHO может оказаться полезным при построении прогноза с помощью уравнения. Предположим, например, что у нас имеются данные до последнего квартала 1986 г., и мы хотим получить прогноз на первый квартал 1987 г. Кроме того, нам известно, что значение RHO равно 0.75 и что для четвертого квартала 1999 г. уравнение дает значение зависимой переменной 326 при реальном ее значении 310. Значение отклонения, следовательно, равно 16. Теперь для первого квартала 2000 г. уравнение предсказывает значение 340. Вы можете сразу принять полученный прогноз, но вы можете сказать себе: “Я знаю это уравнение: если оно предсказывает слишком высокое значение зависимой переменной в каком-то периоде, оно с большой вероятностью выдаст слишком высокий прогноз и в следующем. В действительности, наилучшей оценкой этой ошибки будет ошибка в предыдущем периоде, умноженная на RHO. Поэтому я могу предположить, что я завышаю свой прогноз на 0.75*16 = 12, и мой прогноз должен быть равен 340 - 12 = 328. И если мне нужно сделать прогноз на второй квартал 2000 г., мне следует вычесть 0.75 * 12 = 9 от того, что выдает уравнение, и так далее.” Прогнозы, которые включают такую составляющую, называются “прогнозами, скорректированными с учетом коэффициента автокорреляции”. Мы будем обозначать стандартную ошибку оценки для таких прогнозов на один период вперед как “SEE+1”.