Отрасль в системе межотраслевых связей: возможности анализа и прогнозирования

В современных моделях МОБ нередко вместо коэффициентов k_ij , детализированных по отраслям-инвесторам (с индексом j), используют коэффициенты технологической структуры инвестиций в основной капитал k_i, рассчитанные для народного хозяйства в целом. Эти показатели, хотя и являются более грубыми конструкциями по сравнению с k_ij , требуют для своего получения меньший объем информации и позволяют для общей величины инвестиций в народном хозяйстве INV сразу же определять их отраслевую структуру:

y_4i = k_i * INV, i= 1,... n.

Расчет отраслевой структуры валовых накоплений основного капитала с помощью коэффициентов k_i или k_ij по своему замыслу схож с основными идеями межотраслевого баланса и может пригодиться нам в дальнейшем, особенно при построении динамических моделей в разделе 2.4 этой Главы.

2.2.5 ???????????? ????????????? ? ??????????? ?????? ???

При анализе МОБ можно использовать не только коэффициенты прямых затрат, но и коэффициенты распределения продукции, описывающие долю выпуска продукции отрасли i, использованной на нужды производства в отрасли j:

h_ij = .(2.10)

Используя определения коэффициентов прямых затрат (2.8) и коэффициентов распределения продукции (2.10), можно найти соотношение между этими параметрами:

h_ij = a_ij .(2.11)

Как следует из формулы (2.11), на величину коэффициентов распределения h_ij влияют не только технологические факторы, определяющие динамику коэффициентов прямых затрат a_ij, но и соотношение объемов производимой продукции отраслей j и i в натуральном выражении. Поэтому значения коэффициентов распределения являются менее устойчивым во времени по сравнению с коэффициентами прямых затрат.

Подстановка коэффициентов h_ij в формулу (2.2) для стоимостного состава выпуска i-тых отраслей позволяет получить следующий набор уравнений:

x_j = h_ij x_i + z_j (2.12)

Набор равенств (2.12) для n отраслей также, как и набор уравнений (2.9), образует систему линейных уравнений. Если у нас имеются значения стоимостных компонентов валового внутреннего продукта (или валовой добавленной стоимости) z_j , j= 1,... n, полученные, например, на основе прогнозов, то, как мы дальше покажем, эта система уравнений позволяет получить итоговые величины стоимости валовых выпусков по отраслям x_j, j=1,... n. Имея прогнозы величин x_i в натуральном выражении, полученные на основе уравнений (2.9), можно судить о динамике цен на продукцию отраслей в будущем. (О ценовой модели на основе МОБ будет рассказано в разделе 2.3.4 данной Главы.)

2.2.6 МОБ и современная государственная статистика

Результатом развития инструментария МОБ стало то, что регулярный сбор информации о межотраслевом балансе производства входит в обязанности статистических органов многих развитых и развивающихся стран. Первый межотраслевой баланс был составлен в СССР за 1923/24 г. Регулярное составление таблиц МОБ в СССР было начато в 1959 г. В этом году были собраны статистические данные о 157 продуктах, сгруппированные в 83 отрасли народного хозяйства.

Однако статистическая информация, собираемая в СССР, базировалась на так называемой методологии Баланса Народного Хозяйства (БНХ), в основе которой лежала марксистская теория расширенного воспроизводства.

Как уже было сказано в разд. 2.1, главным положением этой теории является разделение отраслей на “производительные”, выпускающие материальную продукцию, и “непроизводительные”, куда входила вся сфера услуг. В итоге в БНХ отрасли сферы услуг не включались в перечень отраслей-производителей, а рассматривались как одно из направлений потребления материальной продукции; стоимость предоставляемых услуг не входила в состав ВВП. (О составлении МОБ по методологии БНХ подробно рассказано, например, в книге “Экономическая статистика”[23, с. 370-379.])

В основе МОБ, как уже было сказано в разд. 2.2.2, лежит понятие “чистой отрасли”, а формирование информации по “чистым” отраслям не базируется непосредственно на данных о “хозяйственных” отраслях и требует дополнительных затрат. Поэтому информация о МОБ страны поступает не ежегодно, параллельно с другой отраслевой статистикой, а один раз примерно в 5 лет. В СССР информация о МОБ собиралась в 1966 г. по 237 продуктам и 110 отраслям народного хозяйства, в 1972 г. - по 247 продуктам и 112 отраслям и т.д. Первый межотраслевой баланс для Российской экономики был составлен в 1991 г. по методологии БНХ.

В других странах сбор и обработка информации на макроуровне, в том числе и МОБ, базируется на другом подходе, в основе которого лежит методология Системы Национальных Счетов (СНС). В основе СНС также лежит балансовый метод представления экономики на всех ее уровнях и всех ее секторов. Ключевым отличием методологии СНС от БНХ является то, что в ней производительным признается не только труд, результатом которого являются материальные продукты, но и вся сфера услуг. Современные списки МОБ СНС включают около 3000 видов продуктов и услуг, которые могут быть сгруппированы в 230 отраслей народного хозяйства. Кроме того, в СНС большее внимание уделяется отражению не столько материального, сколько финансового аспекта процесса воспроизводства.

В 1993 г. государственные статистические службы России перешли на сбор и обработку информации по международной методологии СНС, а в 1995 г. по этой методологии ими был составлен первый межотраслевой баланс. (О проблемах перехода на сбор данных в СНС в России рассказано, например, в книге “Национальное Счетоводство”[49]). С переключением на сбор информации в СНС облегчились задачи проведения международных сопоставлений, построения моделей Российской экономики как части мирового хозяйства и т.д. Однако одновременно более сложным стал процесс построения и оценки таких моделей, поскольку ряды статистических данных до и после 1993 г. стали несравнимыми, и их восстановление требует дополнительных усилий. Госкомстат России восстановил информацию о МОБ за 1991 г. и ряды макроэкономических данных для страны по методологии СНС с 1989 г. [50].

2.3 Статическая межотраслевая модель

В данном параграфе мы расскажем о построении на основе информации, заключенной в таблице “Затраты-Выпуск”, простой статической модели и об основных результатах анализа структуры экономики, которые могут быть получены с помощью такой модели. Однако для начала нам необходимо вспомнить некоторые ключевые математические понятия, на которых базируется построение и анализ межотраслевых моделей.

2.3.1 Краткий математический экскурс

Здесь мы рассмотрим то, что традиционно является предметом специальной области математики - линейной алгебры. Если обычная алгебра занята исследованием свойств операций с числами, в качестве которых могут выступать любые числа: целые положительные (1, 2, 3 ...) или отрицательные (-1, -2, - 3...) , рациональные (1/3, 2/5...) и иррациональные (типа или е), то линейная алгебра изучает операции с более широкими понятиями, которые нельзя представить с помощью одного числа. Первым шагом на пути введения таких понятий являются определения вектора и матрицы.

Векторы и матрицы. Вектором x называется набор n величин, записываемых обычно в виде строки или столбца:

 x₁

x = (x₁, x₂, ... x_n ) или x = x₂ .

...

x_n

В первом случае вектор x называется вектором-строкой, во втором - вектором-столбцом; число n называется размерностью вектора x.

В виде вектора может быть записан любой набор разнородной информации. Так, в качестве показателей x₁, x₂, ... x_n могут выступать, например, объемы продукции, производимой на n различных предприятиях или в n различных отраслях или в n различных странах. В качестве вектора может быть записана информация о показателях, характеризующих какой-нибудь один объект: так, величина x₁ может представлять объем ВВП страны в определенный период времени, x₂ - объем ее конечного продукта, x₃ - объем продукции, потребленной домашними хозяйствами, и т.д. Вектором может быть представлен ряд величин, относящихся к одному показателю в различные моменты времени - так называемый динамический, или временной ряд, когда x₁ равен, например, объему ВВП страны в 1980 г., x₂ - объему ВВП в 1981 г. и т.д.

Определение набора величин в качестве вектора облегчает ссылку на эти величины и, как мы дальше покажем, математические операции с ними. Этим же целям служит понятие матрицы.

Под матрицей А понимается прямоугольная таблица из m строк и n столбцов с записанными в ней показателями a_ij:

a₁₁ ... a_1n

А = ... ... ... .

a_m1 ... a_mn

Подобная таблица обычно называется “матрицей А размерности m на n”. Если n = m, то матрица А называется “квадратной матрицей размерности n”.

Так же, как и в случае вектора, в виде матрицы может быть записана любая информация - например, уже упоминавшиеся значения коэффициентов прямых затрат a_ij продукции i-той отрасли в отрасли j, объем ВВП i-той отрасли в году j, значение i-того показателя в регионе под номером j и т.д.

Заметим, что в качестве элементов векторов и матриц могут выступать не только показатели, значения которых уже определены или заданы, но и неизвестные переменные, и тогда уравнения с векторами и матрицами и операции с ними позволяют находить значения этих переменных.

Операции с векторами и матрицами. Так же, как и для отдельных чисел, для векторов и матриц могут быть определена операция сложения (вычитания). Операция сложения выполняется для векторов одинаковой размерности n, а сумма векторов x и y равна вектору z, элементы которого z_i равны сумме элементов x_i и y_i векторов x и y :

z = x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,, ... x_n + y_n)

Точно так же для векторов выполняется операция вычитания.

Аналогично определяется операция сложения (вычитания) для матриц. Она выполняется для матриц А и В одинаковой размерности m на n, а сумма (разность) С представляет собой матрицу размерности m на n с элементами c_ij, равными сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В:

a₁₁ + b₁₁ ... a_1n + b_1n

С = А + В = ... ... ... .

a_m1 + b_m1 ... a_mn + b_mn

Достаточно просто определяется операция умножения вектора (или матрицы) на число. Результатом умножения вектора х (матрицы А) на число h является вектор y (матрица B) той же размерности с элементами, равными произведению элементов x_i (а_ij) на число h:

y = h x = (h* x₁, h* x₂, ... h* x_n);

h*a₁₁ ... h*a_1n

B = hА = ... ... ... .

h*a_m1 ... h*a_mn

Первые сложности появляются при определении операции умножения вектора на вектор или матрицы на матрицу. С одной стороны, эту операцию можно было бы определить так же, как и операцию сложения - путем поэлементного перемножения их составляющих. Однако, как показывает опыт, такое определение оказывается не очень продуктивным. Поэтому введем сразу общепринятое определение операции умножения матриц, из которого станет очевидным определение этой операции для векторов.

Произведением матрицы А размерности m на n на матрицу В размерности n на k является матрица D размерности m на k, элементы которой d_ij равны

d_ij = * b_lj .

Как следует из этого определения, произведение матрицы на матрицу получается путем перемножения элементов строк матрицы А на элементы столбцов матрицы В и сложения полученных величин. Из определения также следует, что не всякие матрицы могут быть умножены друг на друга, а лишь матрицы соответствующей размерности.

Определение операции умножения для векторов можно получить из определения операции умножения для матриц, если вектор-строку размерности n рассматривать как матрицу размерности n на 1, а вектор-столбец - как матрицу размерности 1 на n. Из этого сразу же следует, что вектор-строка x размерности n может быть умножен на вектор-столбец y такой же размерности, а результатом этой операции будет число w:

w = * y_i .

Напомним в заключение математического экскурса об операции обращения матриц. Введение понятия обратной матрицы по идее аналогично определению обратной величины для чисел. Для этого сначала вводится понятие единичной матрицы. Единичной матрицей E называется квадратная матрица размерности n, диагональные элементы которой равны 1, а остальные элементы равны 0, то есть матрица вида

1 0 ... 0

0 1 ... 0

Е = 0 0 ... 0 .

... 1 ...

0 0 ... 1

Матрицей, обратной к квадратной матрице А (такие матрицы обычно обозначают А^-1) называется матрица, для которой выполняются равенства:

А^-1 А = АА^-1 = Е

В линейной алгебре показывается, что не для всякой квадратной матрицы А можно найти обратную матрицу. Здесь понятие обратимости матрицы эквивалентно понятию ее невырожденности, то есть только для невырожденной матрицы можно найти обратную матрицу. (Более подробно об операциях с векторами и матрицами, о свойствах матриц и об алгоритмах поиска обратных матриц можно прочитать, например, в [25]) Однако на данный момент у нас имеется достаточно математического инструментария для построения и исследования простой статической модели МОБ.

2.3.2 Матричное представление статической межотраслевой модели

Здесь мы покажем, что набор балансовых уравнений, полученных для таблицы “Затраты-Выпуск” в разд. 2.2.3, легко и удобно может быть представлен и разрешен в векторно-матричном виде.

Введем для начала несколько определений. Пусть x - вектор-столбец размерности n с элементами x_i, которые представляют значения выпусков соответствующих i-тых отраслей экономики в стоимостном выражении. Аналогично вектор y определим как набор стоимостных значений конечного продукта этих отраслей. Пусть квадратная матрица А размерности n является матрицей коэффициентов прямых затрат a_ij продукции i-той отрасли в отрасли j. Тогда, опираясь на введенные определения операций сложения и умножения векторов и матриц, систему из n балансовых уравнений (2.9), полученную для таблицы “Затраты-Выпуск”, можно записать в следующем виде:

Ax + y = x .(2.13)

Если выражение Ах перенести в правую часть и принять во внимание очевидное равенство x = Ex, где Е - единичная матрица размерности n, то мы получим:

y = x - Ax = (E - A) x .

В линейной алгебре доказывается, что матрицы, обладающие свойствами матрицы (E - A), являются невырожденными, то есть для них можно найти обратную матрицу (E - A)^-1, элементы которой, кроме того, будут неотрицательными ([25], с. 19-36). Умножив левую и правую части предыдущего равенства на (E - A)^-1, мы получим:

(E - A)^-1 y = х или

x = (E - A)^-1 y .(2.14)

Опираясь на описанное свойство неотрицательности элементов матрицы (E - A)^-1 и на полученное равенство (2.14), в итоге можно утверждать, что, располагая матрицей коэффициентов прямых затрат А, для любого неотрицательного вектора объемов конечной продукции y можно найти неотрицательный вектор величин валовых выпусков отраслей х, необходимых для производства этого конечного продукта.

Матрица (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат, и ее свойства мы обсудим в следующем разделе.

Равенство (2.13) представляет собой статическую межотраслевую модель, или модель Леонтьева, равенство (2.14) - ее решение. Модель называется статической, поскольку она описывает состояние экономики в один момент (или период) времени. Все остальные характеристики модели представляются очевидными.

Перечислим в заключение раздела еще раз все предпосылки, которые мы явно или неявно приняли в ходе построения этой модели, поскольку они помогут нам в дальнейшем при анализе свойств модели и для ее развития и усложнения:

1) вся экономика может быть разбита на n отраслей (или секторов), производящих однородную продукцию;

2) каждый продукт производится в одной отрасли и каждая отрасль производит единственный продукт (принцип “чистой отрасли”) с помощью единственной технологии;

3) все технологии линейны, то есть для производства объема x_i валового выпуска отрасли необходимо и достаточно затратить продукции отрасли j в объеме а_ij x_i, j= 1,...n.

4) технологические затраты являются незамещаемыми, то есть при неизменном объеме выпуска уменьшение затрат продукции одной отрасли нельзя компенсировать увеличением затрат продукции другой отрасли;

5) коэффициенты прямых затрат a_ij являются неизменными (принцип “технологической устойчивости”), и их значения так или иначе являются известными - по крайней мере для анализируемого периода времени;

6) модель описывает поведение экономики в один момент или период времени (статичность модели);

7) неограниченность области решений - к элементам векторов валового выпуска x и конечного продукта y пока предъявлено единственное требование - их неотрицательность: x 0, y 0, i = 1,... n.

2.3.3 Матрица полных затрат и коэффициенты полных затрат

Как уже было сказано, матрица В = (E - A)^-1 в равенстве (2.14) называется матрицей полных затрат, а ее элементы b_ij - коэффициентами полных затрат. Коэффициент полных затрат b_ij показывает, каков должен быть валовый выпуск отрасли i для производства единицы конечного продукта отрасли j. С экономической точки зрения коэффициенты полных затрат b_ij отличаются от коэффициентов прямых затрат а_ij тем, что первые показывают структурную взаимосвязь валового и конечного продукта (B = ), а вторые - взаимосвязь промежуточного и валового продукта (a_ij = ).

Многие свойства матрицы полных затрат В становятся очевидными из следующего равенства:

B = Е + А + А² + А³ + А⁴ + ...(2.15)

Справедливость равенства (2.15) легко проверить, если его правую и левую части умножить на (Е - А):

(Е - А) В = (Е - А) (Е + А + А² + А³ + А⁴ + ...) или

Е = Е + А + А² + А³ + А⁴ + ... - А - А² - А³ - А⁴ + ... или

Е = Е

Содержательно смысл матрицы полных затрат, выраженный равенством (2.15), можно проинтерпретировать следующим образом: для производства единицы объема конечного продукта E сначала необходимо сделать затраты промежуточного продукта в объеме А, затем для производства продукта в объеме А необходимо сделать затраты в объеме А*A = А², для производства продукта в объеме А² необходимо сделать затраты в объеме А* А² = А³ и т.д.

Из равенства (2.15) можно сделать первые простые выводы о свойствах коэффициентов полных затрат:

1) b_ij а_{ij ,} то есть величина коэффициента полных затрат не меньше величины соответствующего коэффициента прямых затрат. Математически это следует из неотрицательности коэффициентов прямых затрат и из того, что, согласно формуле (2.15), их значения по крайней мере один раз входят как составляющие в коэффициенты полных затрат.

2) b_ii 1+ а_ii, то есть значение коэффициента полных затрат отрасли на производство собственной продукции больше единицы плюс коэффициент “внутриотраслевых” прямых затрат. Это также прямо следует из соотношения (2.15).

2.3.4 Ценовая модель межотраслевого баланса

Модель МОБ, построенная в предыдущих разделах, базировалась на балансовых соотношениях таблицы “Затраты-Выпуск”, выписанных “по строкам”. Эти соотношения, представленные равенствами (2.1) и (2.9), отражали распределение продукции отраслей на производственные затраты и конечное потребление. Однако аналогичная модель может быть построена и для равенств таблицы МОБ, выписанных “по столбцам”, то есть для уравнений (2.2) и (2.12). Такая модель позволит отразить стоимостной аспект межотраслевого баланса и даст возможность исследовать зависимость цен на продукцию отраслей от доли их валовой добавленной стоимости в общей стоимости продукции.

Итак, уравнение баланса стоимостных составляющих продукции отраслей (2.12) имеет вид

x_j = h_ij x_i + z_j .

где x_j - объем производства j-той отрасли в стоимостном выражении, h_ij - коэффициенты распределения продукции отраслей, z_j - объем валовой добавленной стоимости j-той отрасли. Напомним, что соотношение между коэффициентами распределения h_ij и более стабильными коэффициентами прямых затрат a_ij выглядит следующим образом:

h_ij = a_ij (формула 2.11)

Очевидно, что верным является также и следующее выражение:

h_ij = a_ij

где - величина валового выпуска j-той отрасли в сопоставимых ценах Сопоставимые цены - цены какого-либо определенного года (на какую-либо определенную дату), условно принимаемые за базу при сопоставлении в денежном выражении объемов производства, товарооборота и других экономических показателей за разные периоды.

Введем для удобства показатель v_j, определяющий долю “добавленной”, или “чистой” продукции в общем объеме выпуска отрасли . Теперь, учитывая равенство величины продукции в стоимостном выражении произведению объема выпуска в сопоставимых ценах (т.е. в ценах базисного года) на индекс цен на продукцию отрасли: x_j = *p_j, подставим все предыдущие уравнения в (2.12). В итоге мы получим:

*p_j = a_ij p_i + v_j .

После проведения очевидных сокращений это равенство принимает вид:

p_j = a_ij p_i + v_j .(2.16)

В векторно-матричном виде набор уравнений (2.16) для всех отраслей экономики можно записать следующим образом:

p = p A + v ,(2.17)

где p - вектор-строка размерности n, представляющая собой индексы цен на продукцию отраслей, A - матрица коэффициентов прямых затрат, v - вектор-строка долей “чистой” продукции отраслей в общем объеме их выпуска.

На данном этапе можно заметить, что уравнение (2.17), где заданным предполагается вектор долей “чистой” продукции, а неизвестным является набор характеристик цен на продукцию отраслей, очень похоже на уравнение (2.13), представляющее модель зависимости объемов отраслевых выпусков х от величины конечного продукта у. В линейной алгебре и теории оптимизации такие модели называются двойственными, поскольку их структура и получающиеся в итоге решения оказываются тесно связанными между собой. (О построении и о свойствах двойственных задач можно прочитать, например, в книге Д.Б.Юдина и А.Д.Юдина [51]).

В векторно-матричном виде решение задачи (2.17) выглядит следующим образом:

p - pA = v, или

p (E - A) = v, откуда получаем

p = v (E - A)^-1 ,(2.18)

где (E - A)^-1 - уже знакомая нам по предыдущим разделам матрица полных затрат.

Уравнение (2.18) позволяет исследовать сбалансированность цен на продукцию отраслей народного хозяйства на текущий момент времени или прогнозировать структуру цен в будущем. Действительно, для расчета вектора индексов цен р с помощью (2.18) необходимы данные о доле “чистой” продукции по отраслям v. Эти величины, в свою очередь, могут быть получены на основе информации о доле различных составляющих валовой добавленной стоимости - заработной платы, амортизации основных фондов, налогов и субсидий, чистой прибыли - в общем объеме выпуска отраслей. В итоге ценовая модель (2.18) позволяет изучать воздействие различных составляющих валовой добавленной стоимости по отраслям на общую структуру цен в экономике и анализировать, например, как изменение заработной платы или налогов на продукцию черной металлургии скажется не только на цене черных металлов, но и на цене продукции всех остальных отраслей - электроэнергетики, машиностроения, легкой промышленности и т.д.

2.3.5 Статическая межотраслевая модель и ресурсные ограничения

Как уже было сказано, задача МОБ, записанная в виде уравнения (2.13), при выполнении набора вполне естественных требований к матрице прямых затрат А всегда имеет решение. Это означает, что для любого неотрицательного вектора конечного продукта у всегда можно найти неотрицательный вектор валовых выпусков х, удовлетворяющий (2.13). В наборе предпосылок модели МОБ этот вывод фигурировал как предпосылка о неограниченности области решений поставленной задачи (см. разд. 2.3.3).

Однако такая предпосылка вряд ли является верной для реальной экономики. Действительно, для любого момента времени можно назвать такие объемы конечного продукта и валового выпуска, с которыми существующее народное хозяйство просто “не справится” из-за нехватки других производственных ресурсов - основных производственных фондов, трудоспособного населения, эксплуатируемых и разведанных запасов природных ресурсов.

Этот недостаток построенной модели объясняется тем, что в ней главным и единственным фактором производства являются промежуточные затраты, а роль остальных составляющих пока никак не учитывается. Поэтому первым шагом на пути усложнения модели и приближения ее к реальности является включение в нее уравнений для других факторов производства.

Учет ограничений по основным производственным фондам. Нехватка основных производственных фондов (ОПФ) или, в более широкой трактовке СНС основного капитала, является одним из первых очевидных барьеров на пути неограниченного роста объемов производства. Согласно современным исследованиям, ОПФ были и остаются самым влиятельным фактором производства в Российской экономике конца ХХ века.

Для учета воздействия различных факторов производства на объемы выпусков продукции разработан и широко используется специальный аппарат производственных функций (см., например, [26, 25,27]. Производственная функция f в явном виде отражает зависимость объема производства x от количества затрачиваемых ресурсов:

x = f (K, L, N, ... ),

где переменная K обычно обозначает величину используемого основного капитала, L - численность занятых, N- объем природных ресурсов и т.д.

В принципе для учета ограничений по ОПФ и другим факторам производства в построенную статическую модель МОБ достаточно ввести набор неравенств, в которых слева будут стоять возможные объемы валового выпуска по отраслям x_i, а справа - отраслевые производственные функции f_i с объемами производственных ресурсов, которыми располагают отрасли экономики на исследуемый момент времени:

x_i f_i (K_i, L_i, N_i, ...).(2.19)

К конструкциям, подобным (2.19), как правило и сводятся ограничения по производственным ресурсам, включаемые в модели МОБ. Характерным примером могут служить ограничения по имеющимся в отрасли ОПФ. Отраслевое оборудование является весьма специфическим фактором производства, и передача ОПФ из отрасли в отрасль, как правило, не практикуется. Это тем более верно для используемого в МОБ понятия “чистой отрасли” - так, доменные печи вряд ли пригодятся в электроэнергетике или в легкой промышленности. Поэтому для каждой отрасли на определенный момент времени можно указать объем ее ОПФ K_i. В практике хозяйствования широко используется показатель фондоемкости k_i, который показывает величину ОПФ i-той отрасли, необходимых для производства единицы продукции. С учетом этого показателя можно рассчитать, что для осуществления выпуска продукции в объеме x_i необходимо использовать k_i * x_i единиц ОПФ. Это равенство позволяет построить самое простое ограничение объемов производства по имеющимся отраслевым ОПФ:

k_i * x_i K_i или

x_i . (2.20)

Включение в модель набора неравенств (2.20) для n отраслей будет означать, что величина валового выпуска каждой отрасли в исследуемый момент времени не может превышать некоторого потенциального максимума, который определяется величиной ОПФ, имеющихся на данный момент, и показателем эффективности их использования.

Учет ограничений по трудовым ресурсам. В отличие от ОПФ, трудовые ресурсы являются более подвижным фактором производства, и переход занятых из отрасли в отрасль при сокращении выпуска одних продуктов и росте выпуска других является вполне допустимым. Поэтому потенциальная численность занятых может быть ограничена не столько в каждой отдельной отрасли, сколько по народному хозяйству в целом. На уровне экономики в целом показателем, характеризующим максимально возможный объем трудовых ресурсов, является численность трудоспособного населения на исследуемый момент времени. Обозначим эту величину как L, а численность занятых в каждой отдельной отрасли i как L_i . В итоге ограниченность числа занятых по отраслям хозяйства общей численностью трудоспособного населения можно выразить в виде следующего неравенства:

L₁ + L₂ + ... + L_n L.(2.21)

Показателями использования трудовых ресурсов на уровне отдельных отраслей могут служить величины трудоемкости выпускаемой продукции l_i . В итоге, с учетом равенства L_i = l_i * x_i , выражение (2.21) можно переписать в следующем виде:

l₁ * x₁ + l₂ * x₂ + ... + l_n * x_n L.(2.22)

Включение в модель неравенства (2.22) и будет означать ограниченность суммарного числа занятых по отраслям общей численностью трудоспособного населения в стране.

Учет ограничений по природным ресурсам. Одной из серьезных проблем, с которой в последнее время все больше сталкивается экономический рост в различных странах мира, является ограниченность запасов природных ресурсов. Первой эта проблема стала актуальной в сельском хозяйстве, где выпуск продуктов питания начал сильно зависеть от площади земельных угодий каждой отдельной страны. В 70-е годы на глобальном уровне обострились проблемы нехватки топливно-энергетических ресурсов, металлов, минерального сырья. В последние десятилетия 20-го века большое внимание уделяется ухудшению экологической обстановки в промышленно развитых регионах и на земном шаре в целом. В принципе эта проблема также может рассматриваться как нехватка “экологически чистых” природных ресурсов - воздуха, воды, земли и др.

Включение в модель МОБ ограничений по природным ресурсам может происходить по образцу уже рассмотренных ограничений по ОПФ или по трудовым ресурсам. Прежде всего, необходимо решить, насколько “специфичен” данный ресурс для отдельной отрасли или группы отраслей. Так, разведанные нефтяные запасы страны в принципе могут эксплуатироваться одной отраслью - нефтедобывающей промышленностью, газовые месторождения - газовой промышленностью и т.д. Ограничения по таким ресурсам могут строиться с учетом коэффициента “ресурсоемкости” производства по образцу неравенства для ОПФ (2.20). Ограничения по более “универсальным” ресурсам - площади земельных угодий, объему используемой воды и т.п. - могут строиться по образцу неравенства (2.22), которое связывает суммарное отраслевое применение и общий объем данного ресурса на уровне народного хозяйства.

Ограничения по ОПФ, трудоспособному населению и природным ресурсам, включенные в модель МОБ, помогают при решении нескольких видов задач. Прежде всего, они делают более реалистичным анализ различных вариантов, или сценариев развития народного хозяйства. Нарушение тех или иных неравенств сразу покажет, например, каких ресурсов может не хватить при реализации определенного варианта экономической политики. Кроме того, включение ограничений является необходимым при постановке и решении так называемых оптимизационных задач, которые позволяют ответить на вопросы типа “Какого максимального реального уровня жизни населения можно достичь с помощью известных на данный момент технологий при имеющихся объемах производственных ресурсов ?”.

2.4 Динамические межотраслевые модели

Модель межотраслевого баланса, построенная в предыдущем параграфе, базировалась на соотношениях, в которых значения всех переменных относились к одному моменту или периоду времени, то есть модель была статической. Однако соблюдение отраслевых пропорций является актуальной задачей не только для отдельного момента времени, но и для некоторой временной последовательности - например, при исследовании проблем экономического роста. Для решения этой задачи строятся модели, позволяющие анализировать поведение экономической системы во времени, то есть так называемые динамические модели.

Первое, что необходимо сделать при конструировании динамической модели, это в явном виде ввести переменную времени t. Переменная времени может быть непрерывной или дискретной и указывать на определенный момент или период - год, квартал, месяц, неделю и т.д. Теоретические построения в экономической науке нередко опираются на непрерывную переменную, однако в прикладных моделях обычно используется дискретный показатель времени. Современные модели МОБ, построенные для экономики отдельной страны, являются, как правило, годовыми или квартальными.

Вторым шагом на пути построения динамической модели является отнесение значений всех остальных переменных к определенному моменту или периоду времени t. После этого становится возможным говорить, например, не просто об объеме конечного продукта i-той отрасли y_i, а о величине этого показателя в момент времени t - переменной y^t_i . Прямым следствием этого становится необходимость указания момента времени как для зависимых, так и для независимых переменных во всех уравнениях и неравенствах модели.

Главным отличием динамических моделей от статических является то, что значения одних переменных в каждый момент времени могут определяться не только текущими значениями других переменных, но и их прошлыми или даже будущими значениями. В случае, когда текущее значение некоторой переменной y^t зависит от значения переменной х^t, которое она имела периодов назад, то есть в случае функции вида

y^t = f (x^t- ),

независимую переменную х^t называют лаговой переменной, а величину запаздывания - лагом в заданной функции f.

Следующим шагом на пути совершенствования строящейся модели может стать попытка динамизации не только ее переменных, но и параметров. В таком случае параметры, до этого выступавшие в уравнениях и неравенствах в роли констант, сами становятся переменными величинами. Практика показывает, что успех этой процедуры в основном определяется объемом и степенью надежности информации, на которой оцениваются уравнения модели, и адекватностью самих процедур оценивания.

Самым простым видом уравнений в динамических моделях являются уравнения, в которых явно не указываются причины изменения зависимых переменных, а просто рассчитываются их значения на определенный момент времени t, то есть уравнения вида x^t = f(t). Подобные уравнения и модели, построенные на их основе, называются трендовыми. Успех построения трендовой модели зависит от выбора вида функции f и точности процедуры оценивания параметров уравнений. Построение прогноза с помощью трендовой модели называется экстраполяцией во времени.

К описанному методу экстраполяции нередко прибегают при анализе поведения некоторых базовых переменных или параметров модели, для которых описание причин их изменения требует слишком большого объема информации или вообще не представляется возможным. Характерным примером здесь может служить введение фактора научно-технического прогресса в уравнения производственных функций для народного хозяйства или отдельных его отраслей. В такие уравнения, кроме обычных факторов производства - основного капитала, трудовых и природных ресурсов, - вводится переменная, динамика которой описывается функцией от времени - функцией вида *t или e^t . При > этот фактор обеспечивает некоторый прирост продукции во времени. Этот прирост объясняют действием научно-технического прогресса на изучаемом отрезке времени, а выделение и анализ данного фактора развития народного хозяйства являются очень популярными в современных эконометрических исследованиях [28].

В межотраслевой модели метод построения трендов может применяться при отказе от предпосылки о постоянстве некоторых ключевых параметров модели: коэффициентов прямых затрат в балансовых уравнениях или коэффициентов фондо-, трудо- и ресурсоемкости в ограничениях по ОПФ, трудовым и природным ресурсам. Действительно, в случае очевидного роста или падения значений некоторых коэффициентов a_ij в матрице прямых затрат на ряде данных за несколько лет выявление причин этих изменений на первом этапе может оказаться слишком сложным. Построение же трендовых уравнений с самого начала позволит ответить на вопрос о том, как сохранение наблюдаемых тенденций изменения промежуточных затрат скажется на отраслевой структуре производства в будущем.

Точно также построение трендов для коэффициентов фондо-, трудо- и ресурсоемкости позволяет оперативно проанализировать изменение возможных границ производства в будущем. Однако, как показывает опыт, в случае наличия в модели ограничений по имеющимся в отраслях ОПФ и по общей численности трудоспособного населения существенным оказывается не только изменение коэффициентов фондо- и трудоемкости, но и изменение самих объемных показателей ОПФ и трудовых ресурсов. И тогда для исследования динамики производства актуальным становится включение в модель блоков воспроизводства ОПФ и трудоспособного населения страны.

2.4.1 Моделирование воспроизводства основного капитала

Воспроизводство ОПФ является, пожалуй, наиболее значимым фактором, определяющим динамику и отраслевую структуру хозяйства страны с развитой экономикой. Именно поэтому в современных динамических моделях МОБ большое внимание уделяется отражению инвестиционной активности в отраслях народного хозяйства и воспроизводству их ОПФ.

Построение инвестиционных функций. Первым шагом в реальном процессе воспроизводства ОПФ является формирование инвестиций в основной капитал. Для отражения динамики инвестиций в народном хозяйстве или в отдельных его отраслях INV_i^t в современных моделях используется инструментарий так называемых инвестиционных функций (ИФ). В набор независимых переменных, влияющих на объем инвестиций, в современных моделях обычно включаются: объем валового выпуска в текущий или прошлые периоды времени x_i^t, x_i^t-1, x_i^t-2 ...; величины основного капитала, использовавшегося для производства K_i^t, K_i^t-1, K_i^t-2 ...; доходы производителей за их продукцию FI_i^t, FI_i^t-1, FI_i^t-2 ...; общий индекс цен в экономике P^t и индекс цен на отдельные виды капитальных затрат P_i^t , ставка банковского процента R^t и др.

Базовой моделью ИФ, которая может быть построена на основе некоторых из представленных переменных, является обобщенная модель акселератора:

INV_i^t = a_i⁰ + a_i х_i^t- + dK_i^t-1 _, (2.23)

где INV_i^t- объем инвестиций отрасли i в период времени t; a_i⁰ - базовый уровень инвестиций, определяемый факторами, не включенными в модель; a_i - сила воздействия на инвестиции объема выпуска х_i^t- периодa t - ; dK_i^t-1 - объем выбытия капитала в прошлом периоде; m - лаговый горизонт воздействия выпусков на инвестиции.

В другой модели ИФ - модели “денежных потоков” - делается попытка учесть воздействие на инвестиции не только произведенного выпуска, но и финансовых результатов производственной и торговой активности в отраслях экономики:

INV_i^t = a_i⁰ + a_i х_i^t- + b_i FI_i^t- + dK^t-1 _, (2.24)

где b - сила воздействия на инвестиции денежных доходов i-той отрасли FI_i^t- периода t - ; k - лаговый горизонт воздействия финансовых потоков на инвестиции. Из содержательных соображений при этом следует, что в уравнениях (2.23) и (2.24) значения параметров a 0 и b 0, то есть рост валового выпуска и денежных доходов отрасли приводит к росту (или, точнее, к неуменьшению) инвестиций в основной капитал.

В современных монетаристcких моделях рыночной экономики объем инвестиций INV считается напрямую зависящим от ставки банковского процента R^t, и ИФ имеет вид

INV^t = a₀ + h R^t , (2.25)

где h - сила воздействия ставки процента R^t на инвестиции. При этом предполагается, что a₀ 0, а h 0, то есть рост ставки банковского процента приводит к снижению объема инвестиций.

Современная практика построения и использования ИФ в моделях рыночных экономик показывает, что самым надежным уравнением, отражающим динамику инвестиций, является уравнение типа (2.23), где независимой переменной является текущий объем выпуска и его значения в прошлом. При этом лаговый горизонт воздействия этой переменной (m) может быть весьма значительным и доходить на макроуровне до пяти-семи лет. Все это подтверждает содержательную гипотезу о том, что главным стимулом для инвесторов является успех их производственной активности. При этом, конечно, не исключено использование других переменных в уравнениях ИФ, особенно при построении отраслевых уравнений. Однако, как показывает все тот же опыт, большинство этих переменных оказываются тесно связанными со значением валового выпуска, и они позволяют лишь ненамного улучшить качество строящихся ИФ.

Моделирование процесса освоения инвестиций. Следующим шагом в процессе воспроизводства ОПФ является освоение инвестиций, то есть их перетекание непосредственно в основные производственные фонды. Самым простым ходом при моделировании этого этапа может стать принятие предположения об “одномоментном” освоении инвестиций в период сделанных затрат или, что было бы чуть более реалистично, в следующем периоде. Результатом сделанного предположения может стать включение в модель уравнения

IK_i ^t = INV _i ^t-1 ,(2.26)

где IK_i ^t - ввод основного капитала в i-той отрасли в период времени t.

Уравнение типа (2.26) хорошо описывает процесс освоения инвестиций в производственное оборудование и поэтому вполне допустимо для отраслей, в которых оборудование составляет значительную часть ОПФ. Однако другая составляющая инвестиций - инвестиции в здания и сооружения, ведет себя несколько иначе, поскольку процесс строительства продолжается, как правило не один квартал или год, а растягивается на несколько лет. Кроме того, и сроки строительства могут различаться по отраслям - так, возведение электростанции или металлургического завода занимает гораздо больше времени, чем построение пищевого комбината. В таком случае более реалистично заменить в уравнении (2.26) лаг в один год на средний срок освоения инвестиций в данной отрасли :

IK_i ^t = INV _i ^t-.(2.27)

Однако, как показывает опыт, крупные производственные объекты оснащаются производственным оборудованием и начинают выпускать продукцию несколько раньше полного завершения их строительства. Еще более “размыт” срок ввода мощностей в отраслях экономики. В таком случае исходное предположение об “одномоментном” освоении инвестиций становится нереалистичным, и его стоит заменить на более правдоподобную гипотезу о постепенном “перетекании” инвестиций в ОПФ. Для решения данной проблемы подходит универсальный инструментарий распределенных лагов, который позволяет совместить достоинства уравнений (2.26) и (2.27):

IK_i ^t = _i INV _i^t- .(2.28)

Уравнение (2.28) показывает, что инвестиции в ОПФ i-той отрасли осваиваются в течение m_i лет, и в каждый следующий год после начала процесса инвестирования в реальный основной капитал перетекает доля _i этих инвестиций. Из содержательных соображений следует, что _i 0, а принятие предпосылки о том, что в течение m_i лет осваиваются все сделанные вложения в ОПФ, приводит к равенству:

_i = 1.(2.29)

Итогом моделирования процесса освоения инвестиций в ОПФ может стать следующая конструкция. На первом этапе объем инвестиций отрасли j в году t делится по функциональному назначению сделанных вложений - инвестиции в производственное оборудование INV_F_j^t ,инвестиции в здания и сооружения INV_C_j^t и инвестиции в воспроизводство основного стада в сельском хозяйстве INV_A_j^t и др. Это разделение проводится в помощью набора коэффициентов технологической структуры инвестиций в основной капитал b_ij (см. разд. 2.2.4):

INV_F_j^t = b_{i0 j} * INV _j^t ;

INV_C_j^t = b_{i6 j} * INV _j^t ;

INV_A_j^t = b_{i7 j} * INV _j^t ,

где 10, 16 и 17 - номера отраслей машиностроения, строительства и сельского хозяйства в 25-отраслевой классификации МОБ.

Затем для каждого типа инвестиций строится уравнение их перетекания в соответствующие виды ОПФ по модели среднего срока освоения (2.27) или по модели распределенных лагов (2.28). В результате будет получен набор переменных IK_F_j ^t , IK_С_j ^t и IK_А_j ^t , j=1,... n, показывающих объемы ввода производственного оборудования, зданий и сооружений и основного стада в отраслях экономики в году t. Эти переменные уже непосредственно могут включаться в балансы ОПФ, которые мы обсудим чуть позже.

Моделирование выбытия ОПФ. Освоенные ОПФ пополняют общий запас основного капитала в отраслях экономики, а затем течение более или менее продолжительного периода времени используются непосредственно в процессе производства. Как уже рассказывалось в разд. 2.3.5, для описания результатов использования ОПФ применяется инструментарий производственных функций. Однако со временем основной капитал устаревает - физически или морально, и приближаются сроки его выбытия. Моделирование процесса выбытия - последний шаг, который нам необходимо сделать для описания процесса воспроизводства ОПФ в экономике.

Для моделирования процесса выбытия ОПФ применяется множество разнообразных подходов. Остановимся на двух базовых конструкциях. В основе первой из них лежит предположение о том, что различные виды ОПФ имеют некоторый фиксированный срок службы , и по истечении этого срока выбывают. Эта предпосылка позволяет легко придти к следующему заключению: величина выбытия фондов в отрасли j в году t OK_j^t будет равна объему их ввода периодов назад, то есть

OK_j ^t = IK_j ^{t -} .(2.30)

Одновременно мы сможем рассчитать объем ОПФ в отраслях экономики, который равен сумме всех вводов, сделанных позже чем периодов назад:

K_j ^t = IK_j ^{t -}

Согласно другой предпосылке, для ОПФ имеется фиксированная норма выбытия , которая может различаться по видам фондов и отраслям экономики, и каждый период времени выбывает доля от использовавшихся в отрасли фондов K_j ^t:

OK_j ^t = * K_j ^t .(2.31)

Эта конструкция позволяет нам сделать вывод, что от основного капитала, введенного в периоде t - , на момент t осталась доля (1 - )⁺¹ . Для получения объема наличных ОПФ по прошлым вводам теоретически нам необходимо было бы продлить ряд вводов далеко назад - до самого начала процесса освоения фондов t₀:

K_j ^t = (1 - ) ⁺¹ IK_j ^{t -}

Однако практически при современных нормах выбытия, составляющих 2 - 7 процентов в год, для получения оценки величины ОПФ необходимой точности можно ограничиться рядом IK_j ^t в одно или два десятилетия.

Каждая из представленных моделей выбытия ОПФ имеет свои достоинства и недостатки, однако они позволяют достаточно надежно описать динамику выбытия фондов. Этот шаг завершает описание процесса воспроизводства основного капитала и позволяет перейти непосредственно к составлению уравнений баланса ОПФ.