Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Статика абсолютно твердого тіла

1.1 Основні визначення, поняття і аксіоми статики. Предмет статики

1.2 Класифікація систем сил

1.3 Аксіоми статики

1.4 Проекція сили на вісь, площину

1.5 Розклад сили на координатні складові

Розділ 2. В'язі та їх реакції

Розділ 3. Система збіжних сил

3.1 Зведення до рівнодійної. Правило многокутника сил

3.2 Умови рівноваги збіжних сил

3.3 Теорема про три непаралельні сили

Розділ 4. Момент сили відносно точки та осі. Складання паралельних сил. Пара сил, теореми про пари

4.1 Момент сили відносно точки

4.2 Момент сили відносно осі

4.3 Алгебраїчний момент сили відносно точки

4.4 Складання паралельних сил

4.4.1 Складання двох сил, напрямлених в один бік

4.4.2 Складання двох сил, напрямлених в різні боки

4.5 Пара сил. Момент пари. Теореми про пари

4.5.1 Визначення пари сил. Теореми про пари сил

4.5.2 Умови рівноваги системи пар сил

Розділ 5. Довільна система сил у просторі та площині. Зведення до заданого центра (теорема пуансо)

5.1 Лема про паралельний перенос сили

5.2 Зведення довільної системи сил у просторі до заданого

Центра. Теорема пуансо (основна теорема статики)

5.3 Властивості головного вектора, головного момента і

Результуючої приєднаної пари системи сил. Статичні

Інваріанти

5.4 Окремі випадки зведення просторової системи сил

5.4.1 Приведення системи тільки до пари сил

5.4.2 Приведення до рівнодійної у центрі о

5.4.3 Зрівноважена (нульова) система сил

5.4.4 Приведення системи сил до головного вектора і

Головного моменту

5.4.4.1 Приведення до динами

5.4.4.2 Приведення до схрещеної системи двох сил

5.4.4.3 Приведення до однієї сили (рівнодійної)

5.5 Довільна система сил у площині

5.6 Теорема варіньона про момент рівнодійної

5.7 Приклади розв'язання задач зведення

Розділ 6. Умови рівноваги системи сил. Окремі випадки рівноваги

6.1 Рівновага довільної системи сил у просторі

6.2 Окремі випадки рівноваги системи сил

6.2.1 Рівновага довільної системи паралельних сил у просторі

6.2.2 Умови рівноваги довільної плоскої системи сил

6.3 Приклади розв'язання задач рівноваги

6.4 Методика розв'язання задач на рівновагу системи тіл

Розділ 7. Тертя, ковзання, кочення

7.1 Сили тертя кочення. Закон амонтона-кулона

7.2 Кут тертя. Конус тертя

7.3 Тертя кочення. Коефіцієнт тертя кочення

7.4 Приклади розв'язання задач рівноваги з урахуванням сил тертя

Розділ 8. Розрахунок плоскої ферми

8.1 Основні визначення і припущення

8.2 Порядок розрахунку плоскої ферми

Розділ 9. Центр паралельних сил і центр ваги

9.1 Центр паралельних сил

9.2 Центр ваги твердого тіла

9.2.1 Центр ваги однорідного тіла

9.2.2 Центр ваги одонорідної пластини

9.2.3 Центр ваги однорідного стержня

9.3 Способи визначення координат центра ваги

9.4 Центр ваги простійших фігур

9.5 Стійкість твердого тіла при його перекиданні

Запитання для самоперевірки

Список літератури

Вступ

Механікою називається наука про механічний рух або рівновагу матеріальних тіл і виникаючу при цьому взаємодію між ними. Відноситься механіка до природничих наук.

З розвитком механіки як науки в ній з'явився цілий ряд самостійних галузей, пов'язаних з вивченням механіки твердих деформованих тіл, рідин і газів: теорія пружності, теорія пластичності, гідромеханіка, аеромеханіка, газова динаміка, опір матеріалів, будівельна механіка, теорія механізмів і машин, гідравліка, динаміка споруд та інші спеціальні інженерні дисципліни. Однак в усіх цих галузях поряд зі специфічними для кожної з них закономірностями і методами дослідження, використовуються поняття, закони і методи механіки, які є загальними для них.

Теоретична механіка - це частина механіки, в якій вивчаються найзагальніші закони механічного руху або рівноваги матеріальних тіл і механічної взаємодії між ними. Механічний рух - найпростіша форма руху матерії, яка зводиться до простого переміщення за часом фізичних тіл з одного положення в просторі в інше.

В основі теоретичної механіки лежать закони Ньютона, тому вона називається ньютонівською або класичною. Класична механіка, яка є граничним випадком релятивістської механіки А.Ейнштейна, з великою точністю задовольняє багатьом галузям сучасної техніки при швидкостях руху тіл, досить малих у порівнянні зі швидкістю світла.

Роль і значення теоретичної механіки в інженерній освіті визначається, по перше, тим, що вона є фундаментальною загальнонауковою дисципліною, оскільки методи теоретичної механіки дозволяють з єдиних позицій описувати динаміку і процеси не тільки в механічних системах, а і в інших частинах фізичних (наприклад, утворення комірок Бенара при тепловій конвекції; явище резонансу в електричних та оптичних ланцюгах), хімічних (хімічна термодинаміка, коливання атомів і молекул, міжмолекулярна взаємодія, динамічні явища при протіканні хімічної реакції Бєлоусова - Жаботинського), біологічних (динамічна поведінка системи хижак - жертва, життєвий цикл амеби), кліматичних (нерівноважність клімату Земної кулі), космічних (теорія розвитку Всесвіту) та інших системах. По друге, теоретична механіка є основою інженерних розрахунків, оскільки на її законах засновані статичні й динамічні розрахунки інженерних споруд (будівель, фундаментів, башт, мостів, гребель, трубопроводів, сховищ, технологічних споруд), транспортних засобів (вагонів, автомобілів, літаків, кораблів), виробничого устаткування (двигунів, насосів, компресорів), технологічних процесів (будівництва, транспортування, центрифугування, седиментації), параметрів польоту й керування літальними апаратами та ін.

Відвертаючись при вивченні руху матеріальних тіл від усього часткового, теоретична механіка розглядає тільки ті властивості, які в даній задачі є визначальними. Це приводить до розгляду різних моделей матеріальних тіл, які являють собою ту чи іншу ступень абстракції. До основних абстракцій теоретичної механіки відносять поняття матеріальної точки і абсолютно твердого тіла. Матеріальною точкою називається тіло, розмірами якого можна знехтувати при розв'язанні певних задач. Наприклад, при наближеному дослідженні рухів планет їх можна розглядати як матеріальні точки. Абсолютно твердим називається тіло, відстань між будь-якими точками якого не змінюється під час рівноваги або руху.

Теоретична механіка широко користується не тільки методом абстракцій, а й узагальненням, математичними методами і методами формальної логіки. Застосування цих методів і узагальнень результатів безпосередніх спостережень, виробничої практики і досліду дозволили встановити певні загальні закони, що відіграють роль аксіом. Усі подальші висновки теоретичної механіки можуть бути отримані з цих аксіом за допомогою логічних міркувань і математичних викладок. При цьому достовірність положень теоретичної механіки перевіряється дослідом і практикою.

За характером задач, що вивчаються, теоретична механіка складається з трьох розділів:

- статики, в якій вивчаються методи еквівалентних перетворень систем сил, а також умови рівноваги матеріальних тіл;

- кінематики, в якій вивчається механічний рух матеріальних тіл з геометричної точки зору, тобто незалежно від мас та діючих на них сил;

- динаміки, в якій вивчається рух матеріальних тіл у зв'язку з діючими на них силами.

Окрім цих трьох розділів, у теоретичній механіці вивчаються також елементи аналітичної механіки, яка являє собою сукупність найбільш узагальнених аналітичних методів розв'язання задач механіки, котрі дозволяють не тільки однаково розв'язувати задачі динаміки, а й розповсюджувати їх на такі галузі, як класична теорія поля і квантова механіка.

Закони теоретичної механіки сформульовані завдяки плідній праці багатьох поколінь вчених. Перші викладення загальних понять механіки містяться у творах старогрецького філософа Арістотеля (384-322 рр. до н.е.), який розглядав розв'язання практичних задач за допомогою важеля . Вперше наукове обґрунтування механіки з'являється в роботі сіракузького геометра і механіка Архімеда (287-212 рр. до н.е.). Він здійснив спробу аксіоматизації механіки (статики), дав низку наукових узагальнень, що відносяться до вчення про рівновагу, центр ваги і гідростатики (закон Архімеда).

Швидкий розвиток механіки починається з епохи Відродження. Видатні вчені цієї епохи розвинули методи статики і заклали основи динаміки. Найбільш значний внесок в механіку внесли: Леонардо да Вінчі (1452-1519) - вивчав траєкторію тіла, що було кинуто під кутом до горизонту, рух тіла по площині і явище тертя, а також запровадив поняття моменту сили відносно точки; Сімон Стевін (1548-1620) - дав аксіоматичну побудову статики на основі постулатів Архімеда, запровадив поняття силового трикутника і довів теорему про три сили; Микола Копернік (1473-1543) - відкрив геліоцентричну систему світу; Галілео Галілей (1564-1642) - встановив основні закони вільного падіння тіл, увів поняття про нерівномірний рух і прискорення точки, вперше сформулював закон інерції, принцип відносності класичної механіки і дослідив дію сил на тіла, що рухаються; Іоганн Кеплер (1571-1630) - відкрив закони руху планет; Рене Декарт (1596-1650) - ближче до своїх сучасників підійшов до правильного формулювання закону інерції, вперше увів поняття кількості руху матеріальної точки і дослідив питання про складання довільного числа рухів точки; Хрістіан Гюйгенс (1629-1695) - розробив теорію коливань фізичного маятника і визначив центр його коливання, довів теореми про відцентрову силу, експериментально визначив прискорення сили тяжіння, дослідив проблему удару двох тіл; Роберт Гук (1635-1703) - відкрив закон пропорційності між силою, прикладеною до пружного тіла, і його деформацією (закон Гука), що є основним співвідношенням при сучасних розрахунках динаміки та міцності конструкцій і споруд, а також передбачив закон всесвітнього тяжіння Ньютона; П.Варіньон (1654-1722) - встановив в остаточному вигляді поняття моменту сили, умови рівноваги системи збіжних і паралельних сил, довів теорему про момент рівнодійної.

Одне з перших місць у розвитку механіки займає Готфрід Лейбніц (1646-1716), який розробив і застосував до задач механіки диференціальне і інтегральне числення, увів поняття кінетичної енергії і впритул наблизився до утворення варіаційного числення. Завершив встановлення основних законів ди-наміки великий англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727). У своєму знаменитому творі "Математичні основи натуральної філософії" (1687) він сформулював основні поняття класичної механіки, її аксіоматику, а також низку фундаментальних теорем небесної механіки і закон всесвітнього тяжіння.

Період розвитку механіки після Ньютона значною мірою пов'язаний з ім'ям Л.Ейлера (1707-1783), який більшу частину життя працював у Петербурзькій академії наук. Л.Ейлер повністю завершив процес математизації механіки точки, був засновником механіки твердого тіла і сформулював закони динаміки для безперервного середовища.

Подальший розвиток механіки проходив у зв'язку з вивченням руху

системи матеріальних точок. Розвиток цього напрямку був покладений працями Ж.Л.Даламбера (1717-1783), який сформулював принцип, за допомогою якого формально задачі динаміки зводились до задач статики (принцип Даламбера) і Ж.Л.Лагранжа (1736-1813). У своєму видатному творі "Аналітична механіка" він сформулював найбільш загальний принцип статики - принцип можливих переміщень, знайшов загальну закономірність механіки - загальне рівняння динаміки, і вивів в узагальненому вигляді диференціальні рівняння руху механічної системи (рівняння Лагранжа першого і другого роду).

УВ подальшому працями видатних математиків і механіків П.Л.Мопер-тюі (1698-1759), П.С.Лапласа (1749-1827), К.Ф.Гаусса (1777-1855), С.Пуассона (1781-1840), У.Гамільтона (1805-1865), К.Якобі (1804-1851), М.В.Острог-радського (1801-1861) завершилась математизація механіки системи матеріальних точок і абсолютно твердого тіла, були вироблені специфічні для аналітичної механіки поняття (узагальнені координати, узагальнені швидкості, узагальнені сили) і розроблені математичні методи розв'язання багатьох задач.

Одночасно з розвитком аналітичних методів механіки в цей період удосконалюються геометричні методи, зокрема в задачах статики. Так, у книзі французького механіка Л.Пуансо (1777-1859) "Елементи статики" вперше була введена нова абстракція - пара сил і викладена теорія приведення довільної системи сил до заданого центру.

Наступний розвиток механіки характеризується поглибленим вивченням ряду її розділів і появою нових. Слід відзначити роботи С.М.Ковалевської (1850-1891) з теорії обертання важкого твердого тіла навколо нерухомої точки, які стали початковою точкою для прикладної теорії гіроскопів. Значний внесок у розвиток механіки неголономних систем, що має чисельні застосування в кібернетиці, теорії автоматичного керування, динаміці маши, зробили Д.Гіббс (1839-1903), С.А.Чаплигін (1863-1945) та інші вчені. Теорія стійкості рівноваги та руху, яка була тісно пов'язана з проблемою точного приладобудування, створена і розвинута працями Е.Рауса (1831-1907), М.Є.Жуковського (1847-1921), О.М.Ляпунова (1857-1918), А.Пуанкаре (1854-1912). Найбільш суттєві результати в теорії гіроскопів, які є основою навігаційних приладів, були отримані Л.Фуко (1819-1868), О.М.Криловим (1863-1945), В.В.Булгаковим (1901-1952) та іншими механіками.

Проблема боротьби з небезпечними вібраціями машин і споруд призвела до розробки теорії малих коливань, де значні результати отримали Релей (1842-1919), А.Пуанкаре, О.М.Крилов. На початку ХХ сторіччя інтенсивного розвитку набула теорія нелінійних коливань, що описує процеси не тільки в механічних, а і в радіотехнічних, хімічних, біологічних та інших системах, основоположниками якої були Ван-дер-Поль, О.О.Андронов (1901-1952), М.М.Крилов (1879-1955), М.М.Боголюбов та ін.

Основи механіки тіла змінної маси, що є фундаментом вивчення реактивного польоту, були закладені в роботах І.В.Мещерського (1859-1935), К.Е.Ціолковського (1857-1935) і розвинуті С.П.Корольовим (1907-1966). Подальший розвиток цього розділу механіки працями А.Лоренца (1853-1928), А.Пуанкаре і А.Ейнштейна (1879-1955) привів до встановлення положень теорії відносності, яка створила нову, після І.Ньютона, систему просторово-часових відношень.

Наприкінці ХIХ ст. під впливом розвитку кораблебудування і авіації почалась розробка проблем гідро- та аеродинаміки, де найбільш значні результати пов'язані з іменами М.Є.Жуковського, С.А.Чаплигіна, Л.Прандтля (1875-1953), Т.Кбрмана (1881-1963). Теоретична механіка стала основою теорії автоматичного регулювання, значний внесок у розвиток якої зробив І.А.Вишнеградський (1831-1895).

Працями Л.Ейлера, Нав'є (1785-1836), Коші (1789-1857), Сен-Венана (1797-1886) у ХIХ ст. була створена теорія пружності - наука про закони статичного і динамічного деформування пружних тіл. На початку ХХ сторіччя у зв'язку з розвитком будівництва і машинобудування виникла потреба розробки теорії пластин та оболонок, розвиток якої пов'язаний іменами Лява, Рейсснера, Доннелла, С.П.Тимошенко, В.З.Власова, В.В.Новожилова, Х.М.Муштарі, А.С.Вольміра, А.Л.Гольденвейзера та ін.

Розділ 1. Статика абсолютно твердого тіла

1.1 Основні визначення, поняття і аксіоми статики. Предмет статики

Статикою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються загальні положення про сили, їх приведення до найпростішого вигляду та умови рівноваги матеріальних тіл, на які діють ці сили.

Під рівновагою розуміють стан спокою тіла по відношенню до інших тіл. Умови рівноваги істотно залежать від того, чи є тіло твердим, пружним, рідким, газоподібним. У загальному курсі теоретичної механіки розглядаються тільки задачі про рівновагу абсолютно твердих тіл.

У статиці розв'язуються такі основні задачі: 1) приведення системи сил, що діють на абсолютно тверде тіло, до найпростішого вигляду; 2) визначення умов рівноваги сил, які діють на абсолютно тверде тіло. Ці задачі статики можна розв'язувати шляхом відповідних геометричних побудов або за допомогою числових розрахунків.

Матеріальна точка - це матеріальне тіло, розмірами якого при вирішенні конкретної задачі можна знехтувати, або геометрична точка, яка наділена певною масою.

абсолютно тверде тіло - це тіло, відстань між частками якого залишається постійною. Тобто абсолютно тверде тіло зберігає свою геометричну форму незалежно від дії інших сил.

Сила - фізична величина, яка є кількісною мірою механічної взаємодії між матеріальними тілами. Сила - величина векторна, її дія на абсолютно тверде тіло визначається: значенням або модулем сили; напрямом дії сили; точкою, в якій вона прикладена. Пряма аа (рис. 1.1), уздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили. Основною одиницею сили є 1 ньютон (Н). Це сила, яка масі в 1 кг надає прискорення в 1 м/с² (1Н = 1 кг 1 м/с² = 1 кгм/с²).

Рис. 1.1

Графічно сила зображується спрямованим відрізком-вектором (рис. 1.1), довжина якого виражає у вибраному масштабі величину сили, а напрям відрізка відповідає напряму сили. Силу позначатимо буквою , а її величину (модуль) як чи . Сукупність сил, що діють на абсолютно тверде тіло, називатимемо системою сил . Наведемо ще такі визначення:

1. Тіло, яке не взаємодіє з іншими тілами і якому з даного положення можна надати будь-яке переміщення у просторі, називається вільним.

2. Якщо одну систему сил , що діють на вільне тверде тіло, можна замінити іншою системою , не порушуючи при цьому стану спокою чи руху, в якому знаходиться тіло, то такі дві системи сил називаються еквівалентними: ~ .

3. Система сил , під дією якої вільне тверде тіло знаходиться у стані спокою, називається зрівноваженою, або еквівалентною нулю: ~ 0.

4. Якщо задана система сил еквівалентна одній силі, то ця сила називається рівнодійною заданої системи сил: ~ .

5. Сила, яка прикладена до тіла в точці, називається зосередженою. точкою прикладання сили називається та матеріальна частка тіла, до якої ця сила безпосередньо прикладена.

6. Сили, що діють на всі точки довжини, поверхні чи об'єму, називаються розподіленими.

величину сили, яка припадає на одиницю довжини, площі або об'єму, називають інтенсивністю. звичайно розподілену силу позначають буквою q, яка має розмірність Н/м, Н/м², Н/м³ відповідно. прикладами розподілених сил є: тиск циліндричного котка на поверхню дороги; тиск колеса трамваю на рейку; тиск снігового шару на покрівлю; тиск рідини на стінки трубопроводу, посудини, греблі; сили ваги тіла та ін. Позначають характер дії розподілених сил графіком (епюрою). На рис.1.2, а, б, в наведено відповідно епюри рівномірної, трикутникової і довільної інтенсивностей діючих сил.

а	б	в

рис.1.2

7. Зовнішні сили - це сили, що діють на тіло або механічну систему з боку матеріальних точок або інших тіл, якi не входять в цю систему.

8. Внутрішні сили - це сили взаємодії між точками однієї механічної системи.

1.2 Класифікація систем сил

При вивченні статики будемо послідовно переходити від розгляду простих систем сил до більш складних, системи сил можна класифікувати так:

- система збіжних сил, плоска й просторова;

- плоска система паралельних сил;

- довільна плоска система сил;

- просторова система паралельних сил;

- довільна просторова система сил.

1.3 Аксіоми статики

В основі статики лежить ряд аксіом, що являють собою результат узагальнень численних дослідів і спостережень за рівновагою і рухом тіл, неодноразово підтверджених практикою. Аксіоми статики є вихідними положеннями дослідного характеру, що приймаються без доведення. Вони формулюються так.

Аксіома 1. Вільне абсолютно тверде тіло може знаходитися під дією двох сил у рівновазі тоді й тільки тоді, коли ці сили рівні за модулем і діють уздовж однієї прямої аа у протилежних напрямах (рис. 1.3):

.

Рис. 1.3

У механіці така система сил має назву “двійка сил”.

Ця аксіома визначає найпростішу зрівноважену систему двох сил, оскільки досліди свідчать, що вільне тіло, на яке діє тільки одна сила, знаходитися в рівновазі не може.

Аксіома 2. Дія заданої системи сил на абсолютно тверде тіло не порушується, якщо до неї додати або відняти зрівноважену систему сил (наприклад, двійку сил).

Наслідок з аксіоми 2. Не порушуючи стану абсолютно твердого тіла, точку прикладання сили можна переносити вздовж її лінії дії.

Доведення. Нехай на абсолютно тверде тіло діє сила , прикладена в точці А (рис. 1.4). Візьмемо на лінії дії аа цієї сили довільну точку В і прикладемо в ній дві сили (двійку сил), що дорівнюють за величиною силі , тобто .

Рис. 1.4

Таку двійку сил можемо прикласти на підставі аксіоми 2. Сила , яка прикладена в точці А, і сила , прикладена в точці В, складають, за побудовою, зрівноважену систему сил. Тому її можна відкинути, не порушуючи стану рівноваги тіла. Отже, залишаєтьсясила , яка прикладена в точці В і дорівнює за величиною початковій силі . За інженерними розрахунками цим наслідком можна користуватися лише тоді, коли визначаються умови рівноваги конструкції і не розглядаються внутрішні зусилля, що виникають в її окремих частинах. Цей наслідок визначає силу як вектор, що ковзає по власній лінії дії, не залишаючи тіло (сила є ковзним вектором).

Аксіома 3 (аксіома про паралелограм сил). Система двох сил, прикладених в одній точці до абсолютно твердого тіла, має рівнодійну, яка зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах, і прикладена в тій самій точці (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Вектор , який дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах ₁ і ₂, як на сторонах, називається геометричною сумою цих векторів:

. (1.1)

У цій аксіомі сформульовано правило векторного додавання сил. Тому її можнасформулювати ще так: дві сили, які прикладені до абсолютно твердого тіла в одній точці, мають рівнодійну, що дорівнює геометричній (векторній) сумі цих сил і прикладена в тій самій точці.

Модуль рівнодійної

, (1.2)

де - кут між векторами ₁ і ₂.

При однаковому напрямі сил (cos = 1) , а при протилежному (cos = -1) .

Будь-яку силу також можна єдиним способом розкласти на дві складові сили ₁ і ₂ за двома заданими напрямами, які утворюють кути і з напрямком цієї сили:

(1.3)

Аксіома 4. Сили взаємодії двох матеріальних тіл (сила дії тіла 1 на тіло 2) і завжди рівні за величиною і діють по одній прямій аа у протилежних напрямах (рис. 1.6).

Ця аксіома є третім законом Ньютона. Сили взаємодії двох тіл не створюють систему зрівноважених сил (двійку сил), бо вони прикладені до різних тіл.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.6

Аксіома 5. Рівновага здеформованого тіла не порушиться, якщо воно затвердіє.

Аксіома 6. Невільне матеріальне тіло можна розглядати як вільне, якщо в'язі замінити їх реакціями. Ця аксіома має також назву - принцип звільнення від в'язей, який використовують при складанні рівнянь рівноваги будь-якої конструкції.

У статиці також зустрічаються задачі про рівновагу тіла, що складається з декількох твердих тіл, зв'язаних між собою. Таке тіло знаходиться в рівновазі, якщо в рівновазі перебувають всі складові тіла. У деяких випадках таке тіло розглядають як одне абсолютно тверде тіло.

Принцип затвердіння широко використовується в інженерних розрахунках.

1.4. проекція сили на вісь, площину

проекція сили на вісь - алгебраїчна величина, яка дорівнює довжині відрізка між проекціями початку і кінця сили на цю вісь. Проекція має знак “+”, якщо вектор сили нахилений у бік додатнього напрямку осі, і знак “-” - якщо в бік від'ємного напрямку. Тому (рис.1.7,а) буде . Якщо сила перпендикулярна до осі, то її проекція на цю вісь дорівнює нулю.

a)	б)

Рис. 1.7

проекцією сили на площину називається вектор, який міститься між проекціями початку і кінця даної сили на площину (рис. 1.7,б). Таким чином, проекція сили на площину, на різницю від проекції сили на вісь, є величиною векторною. На рис. 1.7, б вектором позначена проекція сили на площину хОу, а її проекції на осі Ох, Оу, Oz визначаться так:

;

; .

Тут величини і визначено методом подвійного проектування: спочатку знаходиться проекція сили на площину хОу, а потім отриманий вектор проектують на осі Ох і Оу.

1.5 Розклад сили на координатні складові

Відповідно до аксіоми 3 про паралелограм сил кожну силу можна розкласти на складові. Якщо їх лінії дії паралельні осям системи координат, то вони називаються координатними складовими сили у площині (сили на рис. 1.8,а) або у просторі (сили на рис. 1.8,б). При побудові координатних складових в першому випадку використовують метод прямокутника, а у другому - метод паралелепіпеда, відповідно до якого вектор сили уявляють діагоналлю паралелепіпеда (рис. 1.8,б), ребра якого приймають за її складові .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Рис. 1.8

У техніці процедуру розкладу сили на координатні складові використовують при розв'язанні задач рівноваги твердого тіла, наприклад, при складанні рівнянь моментів сил. Тут для координатних складових просто визначаються плечі сил, а деякі моменти складових виявляються рівними нулю за побудовою. Величини координатних складових розраховують за допомогою розглянутих в розділі 1.4 формул. Але якщо у просторі задано кути між вектором сили (рис. 1.8,б) і осями системи координат, то краще користуватися наступними виразами: ; ; .

2. В'язі та їх реакції

В'язями називають тіла або сукупність тіл, які обмежують рух даного тіла чи даної матеріальної системи. За аксіомою 6 невільне матеріальне тіло можна розглядати як вільне, якщо в'язі замінити їх реакціями. Звільнення від в'язей дає можливість звести рівновагу невільного твердого тіла до відповідного питання про рівновагу вільного твердого тіла, яке находиться під дією одночасно зовнішніх сил і реакцій в'язей.

Сила, з якою в'язь діє на тіло, щоб перешкодити будь-яким його переміщенням, називається реакцією в'язі. Визначення реакцій в'язей має велике практичне значення: знаючи їх, будемо знати і сили тиску тіла на в'язі, які необхідні для розрахунку міцності відповідних частин конструкції.

Надалі сили, які не є реакціями в'язей (наприклад, сила тяжіння), будемо називати активними силами. Особливість активної сили полягає в тому, що її модуль і напрям безпосередньо не залежать від інших сил, які діють на тіло. Реакції в'язей відрізняються від діючих на тіло активних сил тим, що їх напрямок і величина завжди залежать від цих сил і наперед невідомі. Якщо ніякі активні сили на тіло не діють, то реакції в'язей дорівнюють нулю. Для визначення реакції в'язі потрібно розвязати відповідну задачу статики. Правильне визначення напрямів реакцій в'язей відіграє при розв'язуванні задач статики дуже важливу роль.

Розглянемо докладніше, як спрямовані реакції деяких основних типів в'язей.

Ідеально гладенька поверхня. Реакція такої поверхні спрямована перпендикулярно до дотичної площини, проведеної до поверхні цієї опори у точці стикання з даним тілом (рис. 2.1, а).

У випадках, коли спільна нормаль до поверхонь в'язі й тіла виявляється неозначеною, наприклад, вироджується в точку, то реакція в'язі спрямована по нормалі до тієї поверхні, до якої можна провести нормаль. Прикладом може бути опора ребром або вершиною кута (рис. 2.1,б,в).

а	б в

Рис. 2.1

В'язь, що здійснюється гнучким тілом, ниткою або канатом, тросом, ланцюгом. Такі в'язі (рис. 2.2) працюють тільки на розтяг, їх реакції напрямлені по нитці. В'язь, реалізована в даному вигляді, не дає змоги тілу віддалятися від точки підвісу за напрямом АМ. Тому реакція нитки АМ спрямована завжди вздовж нитки до точки підвісу А. У задачах теоретичної механіки припускають, що нитка є невагомою, гнучкою і нерозтяжною.

Рис. 2.2

Шарнір циліндричний (сферичний), підп'ятник. З'єднання двох тіл, яке дає змогу одному тілу повертатися відносно іншого, не відділяючись, називається шарніром.

Нерухомий циліндричний шарнір. Він звичайно складається з обойми 1, яка закріплена на нерухомій опорі 2, і циліндричного вала 3 (рис. 2.3,а). Тут з'єднане з валом 3 тіло може обертатися тільки навколо осі О шарніра. Реакція циліндричного шарніра перпендикулярна до його осі і має напрям, який залежить від сил, прикладених до тіла. Тому її виражають у вигляді взаємно перпендикулярних координатних складових , , тобто і .

Рухомий циліндричний шарнір (коток). Цей вид в'язі не дає змогу тілу переміщатися в напрямі, перпендикулярному до опорної поверхні котка. Його реакція (рис. 2.3,б) напрямлена завжди по нормалі до опорної площини. Опора на котках застосовується звичайно в мостових конструкціях.

а

б	в

Рис. 2.3

Сферичний шарнір. У випадку сферичного шарніра тіло, яке з'єднане з обоймою С, має змогу обертатися навколо центру шарніра в будь-якому напрямі (рис. 2.3,в). Реакцію сферичного шарніра виражають трьома координатними складовими у трьох взаємно перпендикулярних напрямах:

; . (2.2)

Підп'ятник. Якщо циліндричний шарнір перешкоджає переміщенню вала вздовж осі z вниз, то такий циліндричний шарнір називають підп'ятником. Опорна реакція підп'ятника має три координатні складові (рис. 2.3, г):

. (2.3)

Ідеальний стержень. Так нази-вається невагомий стержень АВ, закріплений двома ідеальними шарнірами на його кінцях (рис. 2.4). Такий стер жень працює тільки на розтяг або стиск.

Рис. 2.4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реакція ідеального стержня напрямлена по осі стержня. Якщо стержень розтягнутий, то реакція спрямована від тіла до стержня; якщо стержень стиснутий - то по стержню (рис. 2.4) від нього до тіла.

Жорстке защемлення. Балка АВ кінцем А жорстко закріплена в стіні, а другий її кінець вільний (рис. 2.5). Якщо на балку діє задана сила , то в защемленні виникають реакції і пара сил з моментом М_А

Рис. 2.5

Опора з тертям. У цьому випадку реакцію опори розкладають на дві складові (рис. 2.6): силу , нормальну до поверхні опори, і силу , дотичну до поверхні опори (силу тертя):

;

. (2.4)

Рис. 2.6

3. Система збіжних сил

3.1 Приведення до рівнодійної. Правило многокутника сил

Найпростішою є система збіжних сил, тобто система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці (точці О збігу сил). Вона може бути просторовою чи плоскою. В останньому випадку всі лінії дії сил системи належать одній площині.

Теорема про рівновагу. Система збіжних сил еквівалентна одній силі (рівнодійній ), яка дорівнює геометричній (векторній) сумі цих сил і прикладена в точці О їх збігу.

Доведення. Розглянемо (рис. 3.1,а) вихідну систему збіжних сил з лініями дії і точками прикладання .

Для кожної сили системи використовуємо аксіому 2 про перенесення сили уздовж лінії дії в точку О збігу (рис. 3.1,б). У результаті отримаємо систему сил , прикладених в одній точці О.

На основі аксіоми 3 про паралелограм сил будь-яку кількість сил із загальною точкою прикладання можна складати геометрично. При цьому можна використовувати або правило паралелограма, або правило трикутника (многокутника).

У першому випадку (рис. 3.1,б), застосовуючи послідовно правило паралелограма, дістанемо спочатку рівнодійну , далі отримаємо рівнодійну і нарешті рівнодійну заданої системи сил (рис. 3.1,б).

За правилом многокутника рівнодійну сил (рис. 3.1,в) визначаємо як суму векторів цих сил: для цього з кінця вектора відкладаємо вектор сили , і т.д. З'єднавши початок першого вектора з кінцем останнього , визначимо рівнодійну силу

а)

в)

б)

Рис. 3.1

.

Одержаний таким чином многокутник має назву многокутника сил, або силового многокутника, замикальна сторона якого виявляється рівнодійною силою системи.

Таким чином, теорему доведено.

Доведена теорема дозволяє розв'язувати задачу приведення систем збіжних сил до рівнодійної сили графічно (нею зручно користуватись у разі плоскої довільної системи сил).

Рівнодійну можна визначити також аналітично за її проекціями на осі прямокутної системи координат методами векторної алгебри. У даному випадку рівнодійну представляють так:

, (3.1)

де ; ; ; - проекції сил системи на відповідні осі координат; - координатні складові рівнодійної.

Величина (модуль) і напрямні косинуси рівнодійної сили визначають, враховуючи (3.1), за наступними формулами:

; (3.2)

; ; .

Визначивши проекції або величину і напрямні косинуси рівнодійної, можна побудувати і сам вектор у заданій системі координат для подальшого розв'язання задачі рівноваги тіла.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 3.2

Розглянемо, наприклад, задану в площині хОу (рис. 3.2,а) систему двох збіжних сил Н, Н. Визначимо рівнодійну системи методом додавання векторів початкових сил за правилом паралелограма, а також методом додавання координатних складових рівнодійної за правилом прямокутника (плоска система сил) або паралелепіпеда (просторова система) чи за правилом “модуль-кут”.

У першому випадку будуємо на силах , як на сторонах, паралелограм (рис. 3.2,а), діагональ якого буде шуканою рівнодійною . Величину (модуль) рівнодійної визначаємо за теоремою косинусів:

(Н).

У другому випадку отримаємо: проекції рівнодійної

(Н),

(Н),

координатні складові рівнодійної:

.

Вектори і будуємо на рис. 3.2,б. Склавши їх за правилом прямокутника, отримаємо шукану рівнодійну .

За правилом “модуль-кут” визначаємо величину рівнодійної

(Н),

її напрямний косинус

і кут .

Будуємо в площині хОу лінію дії а-а рівнодійної (рис. 3.2,б), враховуючи визначений кут між нею і віссю Ох. Далі на лінії дії а-а будуємо вектор рівнодійної, який починається в полюсі О системи координат і має величину (довжину) (Н).

3.2 Умови рівноваги системи збіжних сил

Відповідно до теореми про рівнодійну будь-яка система збіжних сил зводиться до прикладеної у точці О збігу сили , рівної геометричній сумі сил системи. За правилом многокутника сила складає його замикальну сторону.

Під дією лише однієї сили, згідно з аксіомою 1 статики про двійку сил, тіло перебуватиме в рівновазі. Умови його рівноваги формулюються так: для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо Необхідність означає, що з фізичних умов рівноваги випливають математичні, а достатність, навпаки, - з математичних умов випливають фізичні., щоб рівнодійна сила дорівнювала нулю:

. (3.3)

Це геометрична (векторна) умова рівноваги.

Необхідність умови (3.3) очевидна, бо якщо вона не виконується, то тіло знаходиться під дією рівнодійної сили й не перебуватиме у рівновазі. Достатність цієї умови доведемо так. Якщо рівнодійна системи діючих на тіло сил дорівнює нулю, то за визначенням вона є зрівноваженою (еквівалентною нулю), а тіло під дією такої системи знаходиться у стані спокою безумовно.

Слід зазначити, що з умови = 0 випливає замкненість многокутника сил: кінець останньої сили повинен збігатися з початком першої (точкою О на рис. 3.1,в).

Векторна рівність (3.3) перетворюється, з урахуванням формули (3.1), у аналітичну (алгебраїчну) форму рівноваги просторової системи збіжних сил:

(3.4)

Аналітична форма рівноваги формулюється наступним чином: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Якщо система збіжних сил є плоскою, то з трьох умов рівноваги (3.4) залишаються лише дві, наприклад,

; . (3.5)

Отримані умови рівноваги у випадку, коли деякі сили в рівностях (3.4), (3.5) є реакціями в'язей, перетворюються в рівняння відносно цих реакцій. При цьому кількість невідомих реакцій в'язів, якщо задача статично визначена, не повинно перевищувати числа рівнянь.

3.3 Теорема про три непаралельні сили

Теорему про рівновагу трьох непаралельних сил застосовують в тих випадках, коли треба знайти дві невідомі сили (реакції в'язів), які зрівноважують третю відому силу (наприклад, силу ваги тіла), якщо відомо точку прикладання однієї з невідомих сил і лінію дії іншої.

Теорема. Якщо тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, з яких принаймні дві лежать в одній площині, то лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці, а вектори сил утворюють замкнений трикутник.

Рис. 3.3

Доведення. Нехай тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил з яких і лежать в одній площині (рис. 3.3). Продовжимо лінії дії сил , і знайдемо їх точку перетину О. Перенесемо сили і вздовж їх ліній дії в точку О і знайдемо їх рівнодійну . Замінивши сили і їх рівнодійною ,

одержимо, що дане тіло перебуває в рівновазі під дією тільки двох сил і .

Це можливо, враховуючи аксіому 1 про дві сили, тільки якщо сили і мають спільну лінію дії, тобто коли лінія дії сили проходить через точку О. Теорему доведено.

Зауважимо, що доведена теорема визначає необхідну, але не достатню умову рівноваги тіла під дією трьох сил. Дійсно, тіло під дією трьох сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, може і не перебувати в рівновазі, а здійснювати поступальний рівномірний рух, відповідно до першого закону Ньютона.

Застосувавши до заданої системи трьох сил геометричну умову рівноваги, дістаємо також, що трикутник сил буде замкнений: кінець третьої сили буде збігатися з початком першої сили .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Рис. 3.4

Приклад. Розглянемо, наприклад, зображену на рис. 3.4,а механічну схему, що складається з бруса вагою Р, який спирається кінцем на прямокутний виступ Д і закріплений в точці А з підлогою через нерухому шарнірну опору. Визначимо реакції опор, якщо .

Розв'язання. Лінії дії сили ваги і реакції в'язі у точці D відомі. Через точку О їх перетину, відповідно до теореми про три сили, повинна проходити невідома лінія дії реакції . Будуємо її на схемі. З урахуванням визначених ліній дій реакції , і відомої сили будуємо замкнений силовий трикутник (рис. 3.4,б) , який подібний трикутнику на рис. 3.4,а. Силовий трикутник дозволяє визначити не тільки напрями реакцій , , але і їх величини. Для цього треба використати умови пропорційності сторін подібних трикутників , а також теорему косинусів .

4. Момент сили відносно точки та осі. Складання паралельних сил. Пара сил, теореми про пари

4.1 Момент сили відносно точки

Силовий фактор, під дією якого тіло може здійснювати обертальний рух, називається моментом сили відносно точки (полюса). Це фізичне поняття.

З математичної точки зору момент сили відносно точки О (рис. 4.1) визначається вектором ,

який дорівнює векторному добутку радіуса-вектора точки А прикладання сили на її вектор :

. (4.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.1

Отже, враховуючи поняття і визначення векторної алгебри, отримаємо наступні властивості моменту сили відносно точки:

- момент сили відносно точки О є зв'язаним у точці вектором, який напрямлений перпендикулярно до площини S, що проходить через точку О і лінію дії а-а сили , у той бік, звідки обертання тіла під дією сили навколо точки видно проти ходу стрілки годинника;

- в координатній формі момент сили обчислюється так:

(4.2)

де ; ; M_0х; M_0y; M_0z - проекції моменту сили відносно точки О на осі системи координат (рис. 4.1);

- основною одиницею вимірювання моменту сили відносно точки є 1 Нм;

- за величиною момент сили дорівнює модулю вектора :

,

або , (4.3)

де - плече сили відносно точки О, тобто довжина перпендикуляра, який опущено (рис. 4.1) з точки О на лінію дії а-а сили ;

- відповідно до формули (4.3) момент сили відносно полюса дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через даний полюс (при цьому плече сили );

- момент сили відносно точки умовимося вважати додатним (вектор моменту сили на рис. 4.2,а спрямуємо перпендикулярно до горизонтальної площини S вертикально догори) у випадку, якщо сила намагається викликати обертання тіла (або плеча h навколо точки) проти ходу стрілки годинника, і від'ємним - навпаки (рис. 4.2,б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

а)

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

Рис. 4.2

4.2 Момент сили відносно осі

Момент сили відносно осі характеризує обертальну дію сили навколо даної осі. Ним називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно точки О, що лежить на цій осі (рис. 4.1).

Відповідно до схеми на рис. 4.1 і виразу (4.2) моменти сили відносно координатних осей і Oz будуть визначитися так:

;

;

або ; ; .

На практиці момент сили відносно осі звичайно визначають за наступними правилом:

- проводять площину S, перпендикулярну до осі , і знаходять точку О перетину осі з площиною (рис. 4.3);

- проектують задану силу на зазначену площину, отримуючи силу ;

- обчислюють момент сили відносно точки О перетину площини S з віссю , враховуючи наведені в розд. 4.2 його властивості: ;

- момент заданої сили відносно осі Оz визначають за формулою

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.3

На рис. 4.3 момент - координатна складова вектора моменту сили відносно точки О, який згідно з (4.2) дорівнює: .

Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо:

- сила паралельна осі (в цьому випадку проекція сили на площину S дорівнює нулю: );

- лінія дії сили перетинає вісь (при цьому плече ).

4.3 Алгебраїчний момент сили відносно точки

При розв'язанні задач статики у площині при складанні рівнянь моментів використовують поняття алгебраїчного моменту сили відносно точки.

Алгебраїчним моментом сили відносно точки називається взятий з відповідним знаком добуток плеча на модуль сили. Береться знак “+”, якщо сила намагається повернути плече проти ходу стрілки годинника.

Таким чином, для визначення алгебраїчного моменту сили відносно точки треба виконати такі дії (рис. 4.4,а,б):

1) провести лінію дії сили;

2) з вибраної точки опустити перпендикуляр до лінії дії сили (довжина перпендикуляра h - плече сили);

3) скласти добуток плеча на модуль сили;

4) взяти знак “+”, якщо сила намагається повернути плече відносно вибраної точки проти ходу стрілки годинника (рис. 4.4,а) і знак “-“ - за ходом стрілки годинника (рис. 4.4,б).

а	б	в

Рис. 4.4

Окремий випадок (рис. 4.4,в): алгебраїчний момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку (тут плече ).

Зрівнюючи правила визначення алгебраїчного моменту сили відносно точки і моменту сили відносно осі, робимо висновок, що алгебричний момент сили відносно точки є не чим іншим, як моментом сили відносно осі, яка проходить через точку перпендикулярно до площини рисунка і напрямлена до спостерігача.

4.4 Складання паралельних сил

Прикладами паралельних сил є сили ваги вузлів машини, трамваю (рис. 4.5,а), реакції поверхні шляху на коток (рис. 4.5,б) та ін.

а	б

Рис. 4.5

4.4.1 Складання двох сил, напрямлених в один бік

Розглянемо тверде тіло, на яке в точках А і В діють дві паралельні сили і (рис. 4.6). Приведемо вихідну систему паралельних сил до еквівалентної системи збіжних сил і . для цього прикладемо в точках А і В дві зрівноважені, довільні за величиною сили і = -) і складемо їх за правилом паралелограма. Одержані сили і перенесемо до точки О перетину їх ліній дії. Після цього кожну з сил і розкладемо на дві складові, кожна з яких дорівнює аналогічним складовим сил і у точках А і В. За побудовою і визначенням отримані складові сили і складуть двійку сил, тому їх можна відкинути (закреслено на рис. 4.6). Залишені сили і , за побудовою, будуть мати загальну лінію дії. Тому перенесемо їх у точку С перетину зазначеної лінії дії з відрізком АВ. У точці С їх складемо і замінемо рівнодійною:

.

Для визначення положення точки С на відрізку АВ розглянемо трикутники ОАС, Oak, OВС, Obm. Вони подібні за побудовою, тому будуть виконуватись наступні пропорційні співвідношення їх сторін:

(4.4)

P₁ O P₂

Q₁ Q₂

F₁

а k F₂

m b

C B P₂ = - P₁

R F₂ Q₂

Рис. 4.6

Розв'язавши пропорції (4.4) та враховуючи, що , а , , одержимо

; ; . (4.5)

У результаті виконаних перетворень початкову систему паралельних сил , зведено до однієї сили рівнодійної . Отримано також, що рівнодійна двох паралельних сил, які спрямовані в один бік, дорівнює за модулем сумі модулей складових сил, їм паралельна і напрямлена у той же бік; лінія дії рівнодійної проходить між точками прикладання складових сил на відстані від цих точок, обернено пропорційній (4.5) силам.

4.4.2 Складання двох сил, напрямлених в різні боки

Зобразимо прикладені до тіла у точках А, В сили і , причому нехай за величиною (рис. 4.7). Візьмемо на продовженні відрізка ВА точку С і прикладемо в ній двійку сил і , які паралельні силам і . При цьому модулі сил і положення точки С оберемо так, щоб виконувались рівності:

(4.6)

отже, складаючи сили і , знайдемо, що їх рівнодійна , тобто дорівнює за величиною силі , протилежно їй направлена і прикладена в точці А. Сили і , як зрівноважені, можна відкинути (закреслено на рис. 4.7). У результаті задані сили і будуть замінені однією силою , яка і є їх рівнодійною. Модуль цієї рівнодійної та точка її прикладання С визначається формулами (4.6).

Таким чином, рівнодійна двох напрямлених в різні боки паралельних сил дорівнює за величиною різниці модулей заданих сил, їм паралельна і направлена в бік більшої з сил; лінія дії рівнодійної проходить поза відрізком, який з'єднує точки прикладання складових сил, на відстані, обернено пропорційній силам.

Q F2 R B A C R F1

Рис. 4.7

Коли на тіло діють декілька паралельних сил, то їх рівнодійну можна знайти послідовно, використовуючи правила складання двох паралельних сил.

У випадку розподілених сил діють наступним способом. Силу ваги тіла показують у вигляді рівнодійної, яка має початок у центрі С ваги і спрямована завжди вертикально донизу (рис. 4.8,а). Якщо сили розподілені за довжиною, то діють так: у випадку прямокутної епюри (рис. 4.8,б) сили замінюють рівнодійною (l - довжина відрізка АВ прикладання сил), яка прикладена у середині відрізка АВ; при лінійному законі розподілу сили (рис. 4.8,в) рівнодійна прикладена у точці з координатою ; при довільному законі (рис. 4.8,г) - величину рівнодійної сили визначають формулою , а координату її прикладання -

.

Однак завжди лінія дії рівнодійної проходить через центр ваги площи епюри розподілених сил (наприклад, у випадку лінійного закону розподілу сил (рис. 4.8,в) вона проходить через точку перетину медіан трикутника).

а	б
в	г

Рис. 4.8

4.5 Пара сил. Момент пари. Теореми про пари сил

4.5.1 Визначення пари сил

Парою сил називається система двох, розташованих в одній площині паралельних сил , які рівні за величиною і протилежно направлені.

Площина S, яка проходить через лінії дії сил пари (рис. 4.8), називається площиною дії пари.

Рис. 4.8

Дія пари сил на тіло призводить до його обертання навколо осі, яка перпендикулярна до площини дії пари сил.

Момент пари сил () математично визначається вектором () (рис. 4.8), рівним векторному добутку . Отже, враховуючи його властивості, отримаємо,що вектор () моменту пари сил напрямлений перпендикулярно до площини S дії пари сил у той бік, звідки обертання пари відбувається проти ходу стрілки годинника.

Відповідно до механічної схеми на рис. 4.8 отримаємо наступні властивості моменту пари сил:

- за величиною момент пари сил дорівнюватиме модулю вектора ():

().

Звичайно при побудові схеми на рис. 4.8 приймають кут , тоді матимемо . У цьому випадку h визначають плечем пари сил (найкоротший відрізок між лініями дії сил, що складають пару);

- пара сил не має рівнодійної, тому що при виконується рівність ; при цьому властивості сумісної механічної (обертальної) дії сил пари на тіло зберігаються і проявляються у вигляді моменту пари, рівному сумі моментів заданих сил відносно будь-якої точки О тіла. Нехай, наприклад, точка О на рис. 4.8 - довільна точка простору, а радіуси-вектори точок прикладання сил і пари. З визначення моменту сили відносно точки маємо