Теоретична механіка

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (7.7)

і буде від'ємною оскільки > . В таких випадках говорять про виконання роботи проти сил тяжіння. Навпаки, при переміщенні тіла з положення 2 в положення 1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною

> 0, (7.8)

і говорять про те, що така робота виконана силами тяжіння.

2. Робота сили пружності при розтягуванні (стискуванні) пружини жорсткістю від початкового положення до кінцевого положення визна-чається як

, (7.9)

де - довжина недеформованої пружини, і також не залежить від траєкторії точки, а залежить лише від початкового та кінцевого положень.

3. Робота сил при повороті тіла на кінцевий кут при обертанні навколо нерухомої осі (наприклад, ) визначається рівнянням

, (7.10)

де - момент зовнішньої сили відносно нерухомої осі, а - кут, на який повернулося тіло.

7. Робота сил тертя ковзання. Оскільки сила тертя завжди напрямлена в бік, протилежний відносній швидкості (проти переміщення), то робота сила тертя визначиться взятому зі знаком мінус добутку модуля сили тертя = ( - коефіцієнт тертя ковзання, - реакція опори) на довжину траєкторії

. (7.11)

5. Робота сил тертя кочення. Якщо тіло котиться без ковзання по поверхні іншого нерухомого тіла, сила тертя кочення створює момент = і для роботи сили тертя кочення отримуємо

, (7.12)

де - - коефіцієнт тертя кочення, - кут, на який повернулося тіло.

Зауважимо, що на відміну від кінетичної енергії системи, яка є функцією стану системи, робота є функцією процесу, які мають місце в системі, Одначе, між цими величинами існує певний зв'язок. Якщо в процесі руху механічна система перейшла з одного стану, який вона мала в момент часу = 0, в інший, що відповідає моменту часу , то зміна кінетичної енергії визначається роботою сил, які прикладені до системи

, (7.13)

де та - кінетична енергія механічної системи в кінцевому та початковому станах, а - повна робота, яку здійснюють при цьому переміщенні всі прикладені до системи внутрішні () та зовнішні () сили.

Рівняння (7.13) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.

Відмітимо, що у випадку, коли матеріальна система складається з абсолютно твердих тіл (тобто коли можна нехтувати деформаціями в цій системі), то під дією внутрішніх сил не відбувається зміщень частинок системи, тому сума робіт всіх внутрішніх сил абсолютно твердого тіла при любому його переміщенні дорівнює нулю () і теорема про зміну кінетичної енергії набуває вигляду

. (7.14)

Контрольні запитання

1. Що таке кінетична енергія? У яких одиницях вона вимірюється? Чи може кінетична енергія мати від'ємне значення?

2. Як обчислити кінетичну енергію поступального, обертального та плоского рухів твердого тіла?

3. Що таке робота? У яких одиницях вона вимірюється?

4. Чи може робота сили мати від'ємне значення? В яких випадках?

5. Для яких сил робота не залежить від траєкторії руху тіла?

6. Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії.

7. В яких випадках робота внутрішніх сил дорівнює нулю?

Розділ ІV. Cпеціальні питання

4.1 Рух судна в області дії течії

У відсутності течії, судно під дією двигуна рухається істинним курсом (напрям за компасом відкладеним від напряму на північ (від норду ) за напрямом руху стрілки годинника) зі швидкістю , яку забезпечує двигун відносно нерухомого водного середовища (лагова швидкість). У цьому випадку абсолютна (шляхова) швидкість судна співпадає з лаговою швидкістю, а абсолютний курс (шляховий напрям) - з напрямом, який вказує компас (з істинним курсом ), отже, при відсутності течії .

При наявності течії, вектор абсолютної (шляхової) швидкості судна буде визначатися векторною сумою швидкості течії та лагової швидкості (вектора швидкості судна відносно води)

, (1.1)

і шляховий напрям, взагалі говорячи, буде відрізнятися від істинного.

В навігації існують дві задачі про рух судна при наявності течії: пряма та обернена.

1. Пряма задача - при відомих векторах лагової швидкості та швидкості течії треба визначити вектор абсолютної швидкості судна (куди і з якою швидкістю воно рухається в області дії постійної течії). Ця задача безпосередньо розв'язується за формулою (1.1).

Розв'язання. В даній задачі у рівнянні (1.1) вектори відносного руху та переносного руху середовища нам відомі, тому пряма задача зводиться до складання векторів і розв'язується однозначно.

Продемонструємо розв'язання задачі на конкретному прикладі: відомі вектор швидкості течії ( = 80°, = 3 вузли) та вектор лагової швидкості судна ( = 40°, = 16 вузлів), знайти абсолютну швидкість судна (модуль та шляховий напрям ).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Графічний метод розв'язання прямої задачі зводиться до геометричної побудови суми векторів і та відповідних вимірювань.

Якщо працювати в масштабі 1 см = 1 миля, то зручним масштабом швидкості буде 1 см = 1 вузол. Помітимо початкове положення судна (точка ) і з цієї точки проведемо - норд (рис. 1.1). Від нього за напрямом руху стрілки годинника відкладаємо кут , проводимо промінь на якому відкладаємо модуль вектора течії (умовно не враховуємо роботу двигуна і визначаємо, що під дією тільки течії судно за одну годину опинилося би у точці ).

Після цього умовно не враховуємо течію і визначаємо, куди з точки за одну годину прийде судно рухаючись відносно води зі швидкістю . Для цього з кінця вектора (точки ) від проведеного норду відкладаємо кут , проводимо промінь і на отриманій лінії відкладаємо модуль вектора (у тому самому масштабі). З'єднаємо точки і та отримаємо вектор абсолютної швидкості .

Вимірювання дає величину абсолютної швидкості = = 18,4 вузлів та шляховий напрям = 46° , отже кут зносу = 6°.

Аналітичний метод базується на тому, що в рівнянні (1.1) відомі обидві складові абсолютної швидкості - вектори і . Тому задача однозначно розв'язується методом проекцій. Спрямуємо вісь декартової системи координат горизонтально, а вісь - вертикально (по норду), тоді для векторів та (рис. 1.1) отримуємо:

= ,

= .

З врахуванням формули (1.1) дістаємо

= .

Отож:

= 13,17 (вуз.), = 12,78 (вуз.),

звідки послідовно знаходимо модуль абсолютної швидкості та її напрям:

= 18,4 (вуз.),

= 1,031,

і, відповідно,

(1,031) = 46°.

Відповідь: абсолютна швидкість судна = 18,4 вузлів, а напрям вектора абсолютної швидкості = 46°.

2. Обернена задача - при відомому векторі швидкості течії та заданому модулю лагової швидкості судна треба йти заданим напрямом . Отже, потрібно знайти напрям вектора ( - курс за компасом), який би забезпечив рух в заданому напрямі , та модуль вектора абсолютної швидкості судна .

Розв'язання. Тепер в рівнянні (1.1) нам відомі: вектор швидкості течії , шляховий напрям (напрям вектора абсолютної швидкості ) та модуль відносної швидкості . Отже, в лівій частині відомий напрям результуючого вектора, а у правій частини - модуль другого доданку. Потрібно знайти величину абсолютної швидкості та істинний курс .

Продемонструємо розв'язання задачі на конкретному прикладі: судно рухалось заданим шляховим напрямом = 220° в області дії тієї ж самої течії, що у попередньому прикладі, а модуль відносної швидкості =16 вузлів (має таке значення, як у прямій задачі). Знайдемо величину абсолютної швидкості та істинний курс , при якому течія знесе судно на заданий напрям .

Графічний метод зводиться до побудови трикутника векторів за відомими двома кутами та (тобто за одним відомим кутом між векторами та у трикутнику швидкостей) і двома сторонами та .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для того, щоб знайти напрям вектора (істинний курс ) послідовно виконаємо наступні операції:

норду відкладаємо напрям і проводимо лінію шляху , по якій повинно рухатися судно (рис. 1.2).

1) вважаємо, що судно знаходиться у точці і від неї побудуємо вектор швидкості течії у обраних раніше масштабах (1 см = 1 миля, 1 см = 1 вузол) та отримаємо точку (рис. 1.2), в яку течія за одну годину зносить судно з умовно виключеним двигуном;

2) від норду, встановленому у точці , відкладаємо напрям і проводимо лінію шляху , по якій повинно рухатися судно (рис. 1.2) - вектор абсолютної швидкості судна повинен співпадати з лінією шляху .

3) умовно не враховуємо течію і визначаємо, куди може потрапити судно за одну годину з точки у відсутності течії під дією двигуна. Таким геометричним місцем точок буде коло з центром у точці , радіус якого дорівнює модулю швидкості судна відносно нерухомої води, тобто . Тому з точки циркулем з розтином робимо помітку на лінії шляху і отримаємо точку . Напрям відносно норду, встановленому у точці , визначає істинний курс судна (дивись рис. 1.2), а довжина відрізку , який розташований на лінії шляхового курсу, визначає модуль вектора абсолютної швидкості .

Вимірюємо довжину і отримуємо модуль абсолютної швидкості = 13,6 вузлів. Вимірюємо істинний курс і отримуємо = 227°, який повинно тримати судно, щоб рухатися заданим напрямом = 220°. Отже, поправка на течію = 7°.

Аналітичний метод розв'язання базується на властивостях трикутників. Так, у трикутнику швидкостей (дивись рис. 1.2) відомі дві сторони , та кут між двома сторонами = 140°. Отже, для визначення невідомих та цього трикутника скористаємося теоремою синусів

,

звідки отримуємо рівняння для визначення кута :

= · = 0,1205, = (0,1205) 7°.

Тоді для істинного курсу в конкретній ситуації (рис. 1.2) отримуємо

= 227°.

Для визначення модуля абсолютної (шляхової) швидкості підрахуємо кут = 180° - = 33° та повторно скористаємось теоремою синусів

= 13,6 (вуз.).

Таким чином, щоб судно рухалося в напрямі 220° в області дії даної течії необхідно, щоб його істинний курс був 227°, при цьому абсолютна швидкість буде 13,6 вузлів, а не 16 вузлів, що показує гідродинамічний лаг.

Відповідь: абсолютна швидкість судна = 13,6 вузлів, судно повинно тримати істинний курс = 227°.

4.2 Задача розходження суден

Нехай два судна та рухаються в області, де відсутня течія та вітер. Їх курси та швидкості = 18°, = 16 вузлів та = 306°, = 17 вузлів залишаються незмінними. В заданий момент часу = 0 за допомогою радара, що знаходиться, наприклад, на судні , визначено пеленг = 62° судна (горизонтальний кут між північною частиною меридіана - нордом та напрямом на судно , виміряним за стрілкою годинника) та відстань до нього = 9,4 милі. Потрібно визначити найменшу можливу відстань між суднами та момент часу , коли це відбудеться. А у випадку необхідності для запобігання зіткнення прийняти необхідні запобіжні заходи.

В модельній задачі розглядаючи рух суден, будемо вважати їх точковими, тобто нехтувати розмірами кожного судна.

Розглядаємо абсолютний рух суден

Размещено на http://www.allbest.ru/

Спочатку розв'яжемо задачу, розглядаючи рух кожного судна відносно води. В абсолютній (нерухомій відносно поверхні Землі) ситемі відліку введемо декартову систему координат. ЇЇ початок сумістимо з судном (рис.2.1) та направимо вісь горизонтально, а вісь по норду ().

Перш за все графічно визначимо схему розходження суден. По заданому пеленгу з точки проводимо промінь та у вибраному масштабі (наприклад, 1 см = 1 миля) відкладаємо на ній величину і знаходимо початкове положення судна (рис.1). З точок і по заданим курсам та (відкладених від норду за стрілкою годинника) проводимо промені та отримуємо траєкторії абсолютного руху суден. Оскільки траєкторії перетинаються, то потрібно розв'язувати задачу на розходження.

За відомими значеннями швидкості, визначаємо шлях, яке проходить кожне судно за = 6 хв. = 0.1 год = 12 хв. = 0.2 год. та = 18 хв. = 0.3 год. і на траєкторіях абсолютного руху суден та позначаємо відповідні положення суден через проміжки часу , та (рис.1). Вимірюємо відстані між суднами та пеленги судна у ці моменти часу і отримуємо: = 7,5 милі, = 5,8 милі та = 3,9 милі. = 59⁰ , = 54⁰ та = 44⁰. Оскільки пеленг судна зменшується <, то в даній задачі судно проходить перед судном (по носу судна ). Якби зміна пеленгу була зворотною, то судно проходило би перед судном (по носу судна ).

Для визначення найкоротшої відстані при розходженні та моменту, коли воно відбудеться, розв'яжемо задачу, розглядаючи абсолютний рух кожного судна. Для введеної системи координат початкові умови (при ) дають:

,

(в милях),

а рівняння абсолютного руху кожного судна має вигляд

, (2.1)

(2.2)

де вектори , та задані своїми напрямами та чисельними значеннями.

З рівнянь (2.1) та (2.2) визначаємо координати суден та у заданий момент часу :

, (2.3)

, (2.4)

(2.5)

(2.6)

(всі віддалі в милях, а швидкості у вузлах 1вузол = 1миля/год0,514м/с).

З системи рівнянь (2.3) - (2.6) розраховуємо у довільний момент часу відстань між судном та і пеленг судна за формулами:

= , (2.7)

= , (2.8)

де

= - 18,69 (вуз.), (2.9)

= - 5,22 (вуз.), (2.10)

= 8,30 милі, (2.11)

= 4,41 милі. (2.12)

З отриманих формул у моменти часу , та знаходимо:

= 0,49, = 1,52, = 6,92, = 5,41, = 7,52, = 58,3⁰;

= 0,99, = 3,04, = 5,55, = 6,41, = 5,67, = 53,6⁰.

= 1,48, = 4,57, = 4,17, = 7,41, = 3,92, = 43,4⁰,

Размещено на http://www.allbest.ru/

що співпадає з результатами, які ми отримали з рис.1

Використовуючи комп'ютерну графіку, розраховуємо відстань між суднами і будуємо залежність , яка зображена на рис.2.2. З графіка видно, що величина відстані між суднами змінюється не монотонно. Мінімум кривої дозволяє визначити найменшу відстань між суднами 2 милі та момент часу 0,47 год 28 хв., коли це відбудеться.

Аналітично найменшу віддаль між судами знаходимо з умови рівності нулю похідної: , що згідно рівнянню (7) дає:

. (2.11)

Звідки визначаємо час , коли судна розійдуться на найменшій відстані

. (2.12)

Для визначення необхідно підставити значення у вираз для і тоді отримуємо:

(2.13)

З врахуванням даних задачі, визначаємо: = 0,45 год. 27 хв., = 2,0 милі.

Розглядаємо відносний руху суден

Аналіз розв'язку показує, що задача зводиться до визначення відносної віддалями між суднами, тобто визначальною є відносна швидкість суден. Тому розв'яжемо задачу, розглядаючи відносний рух суден.

Абсолютна швидкість будь-якої точки (відносно нерухомої системи відліку) при складному рухові визначається формулою

, (2.14)

де - відносна швидкість точки в рухомій системі та - переносна швидкість точки за рухонок руху системи. Звідки для швидкості відносного руху точки отримуємо

. (2.15)

Введемо рухому систему відліку , а її центр у початковий момент часу сумістимо з судном . У наступні моменти часу центр цієї системи буде рухатися зі швидкістю по траєкторії (рис.2.1) абсолютного руху судна . При цьому декартові вісі абсолютної та рухомої систем будуть залишатися паралельними ( та ). Тоді швидкість точки буде відігравати роль переносної швидкості

. (2.16)

Отже, в системі судно буде залишатися нерухомим, а судно буде рухатися з відносною швидкістю , яку знаходимо з формули (2.15) з урахуванням (2.16)

. (2.17)

Спочатку розв'яжемо задачу графічно. За допомогою транспортира та лінійки будуємо початкове положення суден та . Оберемо зручний для швидкостей масштаб, наприклад, 1 см = 2 вузла та побудуємо вектори швидкостей суден та (рис.3). Щоб графічно побудувати вектор відносної швидкості треба до вектора додати вектор () (рис. 2.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Траєкторія руху судна В відносно нерухомого судна А лежить на векторі і визначає лінію відносного руху. Положення цієї лінії свідчить про те, що в нашому випадку судно В пройде перед судном судна А (по носу).

Для того, щоб знайти найкоротшу відстань між суднами, треба з точки А опустити перпендикуляр на лінію відносного руху - так ми отримуємо точку С. Вимірюємо мінімальну відстань між суднами d_кр = = 2,1 милі.

Щоб визначити час розходження, потрібно відстань (вимірювання дає ? 9,1 миль) поділити на швидкість відносного руху. Вимірюємо довжину вектора та знаходимо модуль відносної швидкості = 19,5 вузлів. Отже = 9,1/19,5 ? 0,47 годин 28 хв.

Щоб розв'язати задачу аналітично, запишемо вирази для векторів швидкостей суден. Оскільки декартові вісі рухомої та абсолютної систем лишаються паралельними, то:

= , (2.18)

= . (2.19)

Тоді для вектора відносної швидкості отримуємо

+ (2.20)

Зауважимо, що отримані раніше вирази (2.9) та (2.10) для величин та визначають компоненти відносної швидкості. Після цього підрахуємо модуль відносної швидкості

= 19,4 (вуз.). (2.19)

Рівняння лінії відносного руху можна записати як рівняння прямої, що проходить через точку вздовж вектора , тому воно має вигляд

, (2.20)

де = 8,30 (милі) та = 4,41 (милі) та - тангенс кута нахилу лінії відносного руху до осі x, який знаходимо через компоненти вектора відносного руху

. (2.21)

Найкоротша відстань між суднами визначиться віддаллю точки А(0,0) від цієї прямої, тому

. (2.22)

Зауважимо, що формула (22) співпадає з формулою (13). Підставляючи дані, отримуємо

= 2,00 (милі).

Для знаходження моменту часу, коли судно буде в точці , потрібно віддаль поділити на модуль відносної швидкості

. (2.23)

Величину розраховуємо їз прямокутного трикутника

= 9,18 (милі),

тоді

(годин) 28 (хв.)

Таким чином усіма методами отримали близькі результати, які вказують, що швидкість відносного зближення суден = 19,4 вузла, вони розійдуться через 28 хв. на найкоротшій відстані = 2,0 милі.

Зауважимо, що підхід, коли задача зведена до їх відносного руху дозволяє узагальнити задачу на випадок руху суден в області дії постійної течії, бо відносна швидкість в цьому випадку не зміниться, дійсно

. (2.24)

4.4 Динаміка прямолінійного руху судна

При відсутності течії та вітру і прямому положенні руля судно масою здійснює горизонтальний прямолінійний рух, диференціальне рівняння якого, має вигляд

, (3.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

де - сила тяги двигуна, - сила опору водного середовища, - маса води, яка „прихоплюється” зануреною частиною корпусу судна при його русі. В модельних розрахунках величина приймається рівною 10%? маси судна, тому для спрощення формул, введемо - ефективну масу судна.

Оскільки обтікання судна при характерних експлуатаційних значеннях швидкості супроводжується виникненням турбулентного потоку, то сила опору пропорціональна квадрату швидкості

, (3.2)

де - коефіцієнт опору водного середовища, який залежить від завантаження судна, форми зануреної частини корпусу та його стану, а знак „-” вказує, що ця сила напрямлена завжди проти швидкості руху судна (рис. 3.1.).

Тоді рівняння (3.1) в проекції на вісь , яку спрямуємо за напрямом руху судна, приймає вигляд

. (3.3)

Рівняння (3.3) доповнюють початковими умовами: при = 0: = 0, .

Кожному значенню силу тяги > 0 відповідає перехідний процес зміни швидкості (), який закінчується досягненням усталеного значення швидкості

. (3.4)

В залежності від значення та напряму тяги маємо три різні ситуації:

- передній хід (тяга спрямована вздовж швидкості) - у цьому випадку в рівнянні (3.3) перед модулем тяги ставимо знак „+”;

- пасивне гальмування (рух за інерцією) - = 0;

- активне гальмування (реверсний режим роботи двигуна - тяга спрямована проти вектора швидкості) - у цьому випадку в рівнянні (3.3) перед модулем тяги ставимо знак „-”.

Нас цікавить, як змінєься швидкість судна та його координата з часом при зміні режиму роботи двигуна. Зауважимо, що пройдений шлях , оскільки початкова умова = 0.

Для визначення швидкості судна запишемо диференціальне рівняння (3.3) у вигляді

(3.5)

В рівнянні (3.5) можна розділити змінні

, (3.6)

та провести інтегрування з невизначеною верхньою межею

. (3.7)

З останнього ми отримуємо

. (3.8)

що дозволяє знаходити час як функцію швидкості , або (після відповідних алгебраїчних перетворень) визначати швидкість судна як функцію часу. Зауважимо, що результат інтегрування (3.8) залежить від конкретного вигляду підінтегральної функції.

Для визначення шляху, який проходить судно, можна скористатися інтегруванням , але простіше скористуватися перетворенням

. (3.9)

Тоді з рівняння (3.5) отримуємо

, (3.10)

що дозволяє визначити шлях , який проходить судно в процесі зміни швидкості від початкової до поточної як

= , (3.11)

і таким чином визначити шлях як складну функцію часу .

В залежності від тяги маємо три різні ситуації, яким відповідають різні результати інтегрування (первісні) правої частини рівнянь (3.8) та (3.11).

Як приклад, розглянемо дві ситуації > 0 (прямий хід) та < 0.(активне гальмування). При зміні режиму роботи двигуна будемо нехтувати перехідними процесами, тобто будемо працювати в рамках моделі, коли сила тяги (упору) гвинта при зміні числа обертів змінюється миттєво від початкового значення = const₁ до кінцевого значення = const₂.

1. Передній хід судна. Судно масою = 15000 т рухається вперед під дією сили тяги = 11 кН зі сталою швидкістю . Коефіцієнт опору води = 11000 кг/м. В момент часу = 0 оберти двигуна змінено так, щоб він забезпечував постійне значення тяги = 420 кН у напрямі руху і протягом часу судно збільшує швидкість до величини = 11 вузлів.

1) Знайти час , протягом якого відбулася зміна швидкості.

2) Знайти шлях, який при цьому пройде судно. Величину шляху перевести в морські одиниці (милі)

3). За допомогою ПЕОМ побудувати графіки залежності швидкості від часу та шляху від часу.

Розв'язання. В даному випадку сила тяги має той же напрям, що і швидкість судна (рис. 3.1), диференціальне рівняння руху судна (3.5) приймає вигляд

, (3.12)

а інтеграли (3.8) та (3.11) дають:

. (3.13)

. (3.14)

де - значення усталеної швидкості, яке відповідає початковому значенню сили тяги, а - значення усталеної швидкості для нової сили тяги .

Для того, щоб скористуватися формулами (3.13) та (3.14) переведемо дані задачі в одиниці системи SI:

= 11·(1852/3600) = 5,66 м/с,

Задача має розв'язок, коли поточне значання швидкості судна . Тому знайдемо значення початкової швидкості судна

= 1 м/с,

та усталеної швидкість судна для нового значення тяги = 420 кН

= 6,18 м/с.

Оскільки умови існування розв'язків виконані, то обчислюємо час , протягом якого відбувається зміна швидкості, та шлях , який при цьому проходить судно за формули (3.13) та (3.14) з врахуванням ефективної маси судна

= 1,65·10 ⁷ кг.

Підставляючи дані, отримаємо

340 (с) 6,0 (хв.),

1349 (м) = 0,73 (милі).

Щоб побудувати графіки залежності швидкості та шляху , потріб-но у явному виді з рівняння (3.13) визначити залежність швидкості від часу

, (3.15)

та за допомогою програмного забезпечення знайти значення , а потім визначені значення швидкості для підставити у формулу (3.14) та обчислити значення . Отримані графіки та зображені на рис.3.2 та 3.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Відповідь: = 6 хв., = 0,73 милі.

2. Активне гальмування судна. При швидкості = 11 вузлів двигун вмикають на роботу у реверсному режимі ( = 125 кН, вектор спрямований проти вектора швидкості судна , рис. 3.4). Протягом часу судно зменшує швидкість до = 2,5 вузлів= 1,29 м/с.

1) Знайти час, протягом якого швидкість судна зменшиться до значення та визначити шлях, який пройдено за цей час.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) За допомогою ПЕОМ побудувати графіки залежності швидкості від часу та шляху від часу.

Розв'язання. В цьому випадку гальмування судна відбувається як за рахунок сили опору з боку води, так і за рахунок сили тяги двигуна. Тому диференціальне рівняння руху судна приймає вигляд (тяга спрямована проти руху - рис. 3.4)

, (3.16)

а інтеграли (3.8) та (3.11) дають:

, (3.17)

, (3.18)

де - швидкість судна на початку гальмування ( = 11 вузлів = 5,66 м/с).

Підставимо наші дані в формули (3.17) та (3.18) і отримаємо:

298 (с)

= 906 (м) = 0,49 (милі).

Для побудови графіків залежності швидкості та шляху потрібно у явному виді з рівняння (3.17) знайти залежність швидкості від часу

, (3.19)

та за допомогою програмного забезпечення обчислити значення в продовж часу руху судна (0,337 с), а потім визначені значення швидкості для кожного моменту часу підставити у формулу (3.18) і знайти значення .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отримані графіки та зображені на рис. 3.5 та 3.6.

Відповідь: = 5 хв., = 0,49 милі.

4.4 Диференціальні рівняння рухів твердого тіла

Довільний рух твердого тіла можна розглядати як суперпозицію його поступального та обертального рухів. Взагалі говорячи, в механічній системі кожне з тіл може здійснювати вказані вище рухи. Обмежимося розглядом тих випадків, коли всі тіла системи здійснюють рух в одній площині (наприклад, ), який часто зустрічається на практиці. Тоді для поступального руху будемо мати рівняння

, (4.1)

а для обертального руху навколо вісі, яка перпендикулярна до даної площини

. (4.2)

У випадку плоского руху, який можемо розглядати як суперпозицію поступального руху центру маси та обертального навколо центру маси, записуємо одразу два рівняння (4.1) - руху центру маси та (4.2) - обертання навколо центру маси.

У наведених рівняннях: - маса тіла, - радіус-вектор його центра маси, , , ..., - сили, що лежать у площині та діють на дане тіло, - його момент інерції відносно вісі обертання, - кут повороту тіла, - момент, який створює кожна з сил відносно вісі обертання.

Якщо тіло буде здійснювати плоскопаралельний рух, то отримуємо два рівняння (5.1 ) та (5.2), які описують поступальний рух центру маси тіла та його обертальний рух навколо цього центру.

Контрольні запитання

1. Запишіть диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

2. Запишіть диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

3. Запишіть диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Продемонструємо застосування наведених рівнянь при на конкретному прикладі. Механічна система (рис. 4.1) складається з бруска 1 ( = 5 кг), ступеневого блоку 2 ( = 4 кг, великий радіус = 20 см, малий = 10 см, = 0,2 кгм²) та однорідного циліндра 3 ( = 22 кг, = 10 см). Під дією сили тяжіння зі стану спокою тіла системи приходять у рух. Брусок 1 ковзає по похилій площині, яка утворює кут = 30 до горизонту, коефіцієнт тертя ковзання = 0,2. Визначити прискорення тіл та натяги мотузок, якими з'єднані тіла механічної система. Тертя на осі блока 2 відсутнє, масою мотузок нехтувати, вважаючи їх нерозтяжними. Мотузка, що з'єднує тіло 1 та 2 паралельна похилій площині.

Розв'язання. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух догори похилої площини і на момент, коли воно пройде шлях S₁, має прискорення .

В цьому випадку тіло 2 буде обертатися за напрямом руху стрілки годинника з певним кутовим прискоренням , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти напряму руху стрілки годинника з кутовим прискоренням , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз з лінійним прискоренням (рис. 4.2).

З'ясуємо сили, які діють на кожне з тіл нашої системи щоб записати рівняння руху кожного тіла. Так, на перше тіло діють сила тяжіння , реакції опори , сили тертя та натягу мотузки . Векторна сума цих сил зумовлює прямолінійний рух першого тіла вздовж похилої площини

. (1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

На друге тіло діють: сили тяжіння , реакція осі блоку та натяги мотузок та . Сума моментів цих сил відносно нерухомої осі блоку зумовлює обертальний рух другого тіла. Оскільки моменти сил та відносно осі блоку дорівнюють нулю, рівняння обертального руху тіла 2 набуває вигляду

, (2)

а відсутність поступального руху дає

= 0. (3)

На трете тіло діють сили натягу мотузок , та сила тяжіння - ці сили зумовлюють плоскопаралельний рух третього тіла, який запишемо як суперпозицію поступального руху його центра С з лінійним прискоренням та обертального руху навколо цього центру з кутовим прискоренням :

, (4)

. (5)

Послідовно отримаємо скалярні рівняння руху для кожного з тіл, які входять до нашої системи. Для першого тіла спрямуємо вісь декартової системи координат вздовж напряму його руху, вісь перпендикулярно до похилої площини. В проекціях на обрані вісі отримуємо:

,

.

З останнього рівняння знаходимо

,

що дає вираз для сили тертя

.

Тоді для рівняння поступального руху тіла 1 отримуємо

. (6)

Для другого тіла введемо декартову систему координат . Спря-муємо вісі та горизонтально та вертикально і тоді в проекціях на ці вісі отримаємо

, (7)

. (8)

Вісь спрямуємо через центр блоку перпендикулярно площині рисунку від нас і отримаємо рівняння його обертального руху

. (9)

Рух третього тіла можна визначити як суперпозицію поступального руху його центра маси С з лінійним прискоренням та обертальним рухом навколо цього центру з кутовим прискоренням . Для цього тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, вісь спрямуємо вздовж прискорення поступального руху (вниз), а вісь обертання - проведемо через його центр маси перпендикулярно до площини рисунку до нас (в напрямі кутового прискорення тіла). Тоді рівняння поступального руху центра третього тіла та обертального руху навколо його осі набувають вигляду:

, (10)

, (11)

де

- момент інерції циліндру відносно осі .

Таким чином, ми отримали систему шести рівнянь (6) - (11) з одинадцятьма невідомими: , , , , , , , , , , . Щоб система рівнянь стала повною, скористуємось третім законом Ньютона і умовою невагомості та нерозтяжності мотузок:

, . (12)

Умови відсутності деформацій мотузок дає рівняння, які зв'язують між собою швидкості тіл системи. Швидкість точки А (дотику мотузки до зовнішньої поверхні блока 2) співпадає зі швидкістю першого тіла, тому

. (13)

Трете тіло здійснює плоскопаралельний рух з ненульовою кутовою швидкістю , отож, це тіло має миттєвий центр швидкостей (МЦШ) навколо якого воно здійснює обертальний рух. МЦШ розташований в точці Р - дотику циліндра до нерухомої мотузки. Рівність лінійних швидкостей точок () та D () дає зв'язок між кутовими швидкостями блоку 2 та циліндра 3

. (14)

Лінійна швидкість центру циліндра зв'язана з його кутовою швидкістю

. (15)

Шляхом диференціювання обох частин рівнянь (13), (14) та (15) отримуємо:

, (16)

, (17)

. (18)

З (18) знаходимо зв'язок лінійного прискорення точки С з лінійним прискоренням першого тіла

. (19)

Система рівнянь (6)-(11) розпадається на дві незалежні: (6,9 - 11) та (7 -8). Підставимо отримані співвідношення (12) та (16-18) та в систему рівнянь (6,9 - 11):

, (20)

, (21)

, (22)

. (23)

Розв'язок системи чотирьох рівнянь з чотирма невідомими , , , є суто алгебраїчною задачею, яка може буди розв'язана різними методами

. (24)

Для проведення розрахунків, візьмемо до уваги, що момент інерції однорідного циліндра визначається за формулою = 0,025 кг^.•м². Підставляючи дані задачі, отримуємо

= 2,12 (м/с²),

що дозволяє отримати вирази для натягу ниток , , з рівнянь (20) - (22).

4.5 Остійність судна

Умова плавання судна тіл зводиться до рівності його ваги та сили Архімеда. Оскільки вага судна

, (5.1)

де сума береться по всім частинам самого судна та по всім вантажам та запасам на судні. Центр ваги знаходиться в точці , координати якої:

,

, (2.2)

.

Зауважимо, що в більшості посібників по теорії суден положення центру ваги позначають літерою .

Для розрахунку центру ваги судна складають таблиці, куди заносять всі елементи порожнього судна і доповнюють її даними по його запасах та вантажах, які перевозять.

Зауважимо, що завантаження потрібно проводити так, щоб був незначний нахил на корму (диферент ) для збільшення сили тяги (рис. 5.1) та щоб не виникало бортового крену ( рис. 5.2).

Сила Архімеда виникає за рахунок тиску води на усю підводну поверхню судна. На кожний елемент поверхні діє сила (тут - тиск рідини на площадку), яка направлена перпендикулярно поверхні. Рівнодійна всіх цих сил, що діють на підводну частину судна, дає силу Архімеда, яка направлена вертикально вверх і дорівнює:

, (2.3)

де

- об'єм зануреної частини судна, - густина води, відповідно. Тобто сила Архімеда визначається вагою рідини, яку витісняє судно, тому в суднобудуванні її називають водотоннажністю. Точка прикладання цієї сили співпадає з центром витісненої рідини і називається центром величини. Зауважимо, що центр ваги судна лежить вище центра величини (рис.5.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плавучість - це здатність судна тримати вертикальну рівновагу. Тоді умова плавучості судна має вид:

, (2.4)

звідки знаходимо

. (2.5)

Крім того, для рівноваги двох сил та необхідно, щоб вони не створювали моменту, тобто діяли по одній прямій в різні боки. Тобто центр ваги та центр величини зануреного об'єму мають лежати на одній вертикалі. Тоді вертикальна лінія, що проходить через точки та має бути перпендикулярною до площини ватерлінії ВЛ.

Оскільки при нахилах судна його вага не змінюється, то не змінюється як його положення центра ваги, так і загальний об'єм підводної частини судна. Отже, судно здійснює рівнооб'ємні нахили. Тому величина і напрямок сили не змінюється, але центр величини переміщується в той бік, куди нахиляється судно по дузі . Центр кривизни лінії (точка на рис.5.1), по якій переміщується центр величини в результаті нахилу судна, називається метацентром, а радіус її кривизни - метацентричним радіусом. Таким чином метацентр - це точка перетину лінії дії сил плавучості при безмежно малому рівнооб'ємному нахилі судна в заданій площині з лінією , а метацентричний радіус - це висота метацентра над центром величини.

Оскільки судно можна нахиляти як в поперечній, так і в продольній площинах (рис.5.1 та 5.2), тому існує 2 метацентричних радіуса: поперечний (рис.5.1), який використовують при розрахунках поперечної остійності судна, та поздовжній (рис. 5.2), який використовують при розрахунках поздовжньої остійності судна.

Статична остійність судна. В результаті нахилу судна виникає момент сили тяжіння та виштовхувальної сили. Положення рівноваги може бути стійким або нестійким. Статична стійкість судна називається остійністю - це здатність судна повертатися до положення рівноваги за рахунок внутрішніх сил, коли судно вивели з положення рівноваги, але призупинили дію зовнішньої сили. Судно вважається остійним, якщо його рівновага стійка та не остійним, коли його рівновага нестійка. Мірою остійності судна є метацентрична висота (рис.5.1):

(2.6)

- висота метацентра над центром ваги.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Щоб положення судна було стійким, або як кажуть, судно зберігало остійність, необхідно, щоб точка перетину лінії по якій діє виштовхувальна сила при нахилі корабля з площиною його симетрії, тобто точка , лежала вище центра тяжіння тіла (рис.5.3). Дійсно, при малих кутах нахилу, якщо метацентр вище центра ваги , тобто >0, тоді сили ваги та сили плавучості створюють відновлюючий момент:

, (2.7)

де - перпендикуляр, опущений з центру ваги на лінію дії сили Архімеда, який називається плечем статичної остійності. Враховуючи відхилення на малі кути, маємо:

, (2.8)

який намагається повернути судно в положення рівноваги.

Размещено на http://www.allbest.ru/

У випадку =0 та <0 рівновага судна нестійка (рис.5.4). Отже метацентр - це висота, до якої можна піднімати центр ваги судна, залишаючи його рівновагу стійкою. Для більшості суден дотримуються того, щоб при повному навантаженні м.

Щоб визначити остійність судна, до нього прикладають сталий момент сил , що викликає його нахил на кут . Для створення моменту використовують крен-баласти, а визначають нахил судна за допомогою інклінографа. Тоді з умови рівноваги судна (2.8) отримуємо вираз для метацентричної висоти:

. (2.9)

Судну придають таку форму, щоб положення метацентра при відхиленні на малі кути практично не змінювались при нахилі судна, одначе, при великих кутах нахилу судна метацентр може стати нижче центра тяжіння і тоді судно перекинеться.

При нахилі судна на великий кут розглянемо лише крен, бо великого диференту практично не виникає. В цьому випадку сили та створюють пару сил, відновлюючий момент якої:

=, (2.10)

де плече статичної остійності залежить від форми підводного об'єму судна та від кута нахилу , що зображено на рис.5.5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

По цій діаграмі (статичної остійності судна) для кожного кута нахилу знаходимо момент сил, який намагається повернути судно в положення рівноваги. Небезпечно нахиляти судно на кути , бо тоді величина моменту зменшується. Діаграма статичної остійності судна симетрична відносно від'ємних значень кута (тобто нахилу на лівий борт).

Найбільшому значенню ординати відповідає найбільше значення плеча і відновлюючого моменту, а кут нахилу , при якому досягаються ці значення - кутом максимуму діаграми остійності при якому судно буде в положенні стійкої рівноваги. При нахилі на кути більші зменшується значення плеча та відновлюючого моменту і досягається такий кут , коли (тоді ). Абсциса цієї точки дорівнює граничному куту, якому відповідає положення нестійкої рівноваги, бо при нахилі на ще більший кут судно перекинеться.

Динамічною остійністю називається здатність судна витримувати, не перекидаючись динамічну дію пари сил, що його нахиляє. В задачі про статичну рівновагу вважалось, що момент сил, які викликають нахил тіла прикладаються безмежно довго, так що в кожний момент часу рівновага встигає встановитись. Тепер нас буде цікавити динаміка процесу, коли момент, що викликає нахил досягає свого значення за дуже короткий момент часу (значно менший за період коливання судна), тобто практично миттєво. Така ситуація виникає, коли на судно раптово налітає хвиля або порив вітру (шквал). Тоді судно дістає динамічний нахил (крен).

Для спрощення задачі будемо вважати, що момент сили , що викликає нахил судна, не залежить від кута нахилу . В цьому випадку на діаграмі статичної остійності (рис.5.6) будемо мати пряму лінію , паралельну осі . Цьому моменту відповідає статичний нахил судна . Однак при нахилі судна від 0 до момент більший від моменту, який відновлює рівновагу . Тому і тоді в цій області:

, (4.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

отже кутова швидкість судна зростає і в точці = досягає максимального значення. При > , результуючий момент , кутове прискорення стає від'ємним і кутова швидкість зменшується, але нахил корабля продовжує збільшуватись. Так буде відбуватись до тих пір поки кутова швидкість не стане рівною нулю. При цьому судно дістає нахил , який знайдемо з умови рівності робіт моменту сили, який нахиляє судно та моменту сил остійності форми , що відновлюють положення судна:

. (4.2)

Найпростіше знайти розв'язок цього рівняння графічно. Оскільки фізичний зміст інтеграла, це площа під кривою, то треба знайти таке значення _, щоб площі, які відповідають праві та лівій частині рівняння (4.2) були одинакові, тобто

. (4.3)

Графічний метод легко дозволяє визначити критичне значення моменту , що нахиляє судно, при якому ще можливе повернення судна до положення рівноваги. Цьому випадку відповідає найбільше можливе значення рівності площ

, (4.4)

що зображено на рис.5.6. Звідки визначаємо критичний динамічний кут нахилу судна _. Зауважимо, що він менший ніж критичний статичний кут нахилу , тобто:

<. (4.5)

Якщо > _., то при динамічній його дії судно перекинеться. А якщо ? , то судно нахилиться на певний кут, який виведемо з рівняння (4.2), а потім нахил буде зменшуватись, судно пройде положення рівноваги і нахилиться на протилежний бік, здійснюючи коливання. За рахунок сил тертя ці коливання будуть загасаючі. Амплітуда коливань буде зменшуватись поки не досягне статичної рівноваги, якій відповідає кут нахилу при умові, що момент сил, який викликає нахил судна продовжує діяти (наприклад, швидкість вітру протягом певного часу не змінилась).

4.6 Бортові та кільові коливання судна, як коливання фізичного маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Фізичний маятник - це будь-яке тіло, що підвішене у точці, яка не співпадає з центром його маси, та має можливість здійснювати коливання навколо цієї точки. Розглянемо таке тіло, яке підвішене в точці та відхилене від положення рівноваги на кут (рис. 6.1). В цьому випадку сила тяжіння , яка прикладена до центру маси тіла (точка ), створює момент сили відносно точки підвішування

. (6.1)

Цей момент намагається повернути тіло навколо точки підвішування до положення рівноваги (у протилежну сторону від відхилення). Таким чином, основне рівняння обертального руху може бути записано у вигляді

, (6.2)

де - момент інерції тіла відносно точки підвішування.

Отримали нелінійне диференціальне рівняння, розв'язок якого є окремою математичною задачею. Проте для малих кутів відхилення рівняння (6.2) стає лінійним і зводиться до відомого рівняння гармонічних коливань

, (6.3)

в якому

, (6.4)

- частота коливань, з якою зв'язаний період коливань

. (6.5)

В останній формулі

(6.6)

- так звана зведена довжина фізичного маятника. Остання дорівнює довжині математичного маятника з тим самим періодом коливань.

Таким чином, щоб знайти період (чи частоту) малих коливань фізичного маятника, треба знати масу тіла , відстань між точкою підвішування та центром маси тіла і момент інерції тіла відносно точки закріплення.

Розглянемо коливання судна, як коливання фізичного маятника. Як зазначено в попередньому параграфі судно можна нахиляти як в поперечній, так і в продольній площинах (рис.5.1 та 5.2), тому існує 2 головних метацентра: поперечний (який відіграє основну роль в бортових коливаннях судна) та поздовжній метацентр (який відіграє основну роль в кільових коливаннях судна).

Тоді, наприклад, для бортових коливань судна малої амплітуду маємо наступне рівняння

, (4.1)

де - - моменти інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги та - висота поперечного метацентра над центром ваги (рис.5.1). Розв'язок цього рівняння має вид:

, (4.2)

де частота коливань

, (4.3)

або період бортових коливань

, (4.4)

Формула, аналогічна до (4.1), буде і для кільових коливань, лише з заміною моменту інерції на - момент інерції судна відносно поперечної осі, що проходять через його центр ваги, та висоти поперечного метацентру на - висоту поздовжнього метацентру над центром ваги (рис.5.2). Тому для кільових коливань судна отримуємо наступне рівняння:

(4.5)

Звідки для періоду кільових коливань судна маємо

. (4.6)

Звернемо увагу, що на практиці визначають період власних бортових коливань судна на тихій воді шляхом запису загасаючих коливань. Знаючи період цих коливань , розраховують метацентричну висоту за допомогою “капітанської” формули:

, (4.7)

де та - розмірні коефіцієнти, - ширина судна, - розподіл ваги відносно вертикальної площини симетрії. Отже величина залежить від розподілу ваги по судну, чим більше вантажів біля центру, тим менше значення , а якщо вантажі біля бортів, то 1.

Зауважимо, що ця емпірична „капітанська” формула є наслідком отриманого виразу для періоду бортових коливань (4.3). З цієї формули отримуємо:

(4.8)

Оскільки момент інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги, пропорціональний вазі судна та квадрата його поперечного розміру, тобто

, (4.9)

тоді з рівняння (4.6) отримуємо:

(4.10)

що співпадає з „капітанською” формулою (4.5) та дозволяє з'ясувати значення коефіцієнта .

Якщо врахувати силу опору лінійну по кутовій швидкості, то отримаємо наступне диференціальне рівняння бортових коливань:

, (4.11)

розв'язок якого має вид:

, (4.12)

тут , , а визначається формулою (4.3). Отже, сили опору зумовлюють загасання коливань та викликають зменшення частоти коливань.

В реальній ситуації хитавицю судна викликає дія хвиль, які змінюються за гармонічним законом:

, (4.13)

Що викликає діє моменту сили, що змінюється за таким самим законом

. (4.14)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тоді в наближенні, що ширина судна значно менша, ніж довжина хвилі отримуємо:

(4.15)

Розв'язок цього рівняння для бортових вимушених коливань дає відомий результат

(4.16)

- коли кожному значенню відповідає певне значення амплітуди вимушених лінійних коливань, яка залежить від частоти

, (4.17)

а графік залежності амплітуди вимущених коливань від частоти збуджуючої сили зображений на рис.6.2.

Контрольні запитання

1. Що таке фізичний маятник?

2. Запишіть диференціальне рівняння руху фізичного маятника.

3. За яких умов рівняння руху фізичного маятника зводиться до рівняння гармонічних коливань?

4. Запишіть розв'язок диференціального рівняння (6.3).

5. Що таке зведена довжина фізичного маятника?

6. Які величини потрібно знати, щоб визначити період коливань фізичного маятника?

7. Поясніть виникнення бортовихколивань. Від яких величин залежить частота (період) таких коливань.

8. Отримайте „капітанську” формулу дляперіоду ботрових коливань судна, як коливання фізичного маятника.

9. Від чого залежить загасання коливань.

10. Поясніть резонансну криву ботрових коливань.

11. Чому небезпечно допустити виникнення резонансу?

4.7 Гіроскоп та гіроскопічні сили

Гіроскоп - це аксіально-симетричне тіло, приведене у швидке обертання навколо своєї осі симетрії. Такі пристрої досить широко використовуються в техніці, а прикладами можуть бути звичайна дзиґа, вал двигуна, гіростабілізатор тощо.

Знайдемо напрям руху осі гіроскопа, якщо до його осі прикласти силу . Гіроскоп не „слухається” нас, бо замість того, щоб рухатись за напрямком сили (на рис. 7.1 вздовж осі ), він повертається в перпендикулярній до площині. Така поведінка осі гіроскопа отримала назву гіроскопічного ефекту. Зауважимо, що якби гіроскоп не обертався, то під дією сили його вісь здійснювала рух (падіння) в напрямі дії сили .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Щоб пояснити поведінку гіроскопа скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу

. (7.1)

Отже, зміна моменту імпульсу гіроскопа (тобто орієнтації його осі) визначається не прикладеною силою, а моментом, який створює ця сила відносно точки закріплення. В нашому випадку прикладена сила створює момент

, (7.2)

який спрямований перпендикулярно рисунку і спрямований від нас (в напрямі, протилежному осі ).

Прецесія гіроскопа

Розглянемо спрощену теорію руху гіроскопа. Нахилимо вісь гіроскопа, який закріплений в точці та обертається з великою кутовою швидкістю , навколо власної осі. Відпустивши його, ми побачимо, що вісь гіроскопа почне повільно повертатися з кутовою швидкістю навколо нерухомої вертикальної осі (рис. 7.2). Такий рух осі гіроскопа називається прецесією,

Причини такої поведінки осі гіроскопу наступні. Згідно з основним рівнянням обертального руху

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (7.3)

вектор зміни моменту імпульсу спрямований у тому ж напрямі, що і вектор моменту зовнішніх сил відносно точки закріплення . Останній момент створює сила тяжіння

, (7.4)

і напрям моменту зовнішніх сил в кожний момент часу перпендикулярний як вектору силі тяжіння , так і вектору . Отож, в кожний момент часу (дивись рис. 7.2). Цей факт приводить до того, що вектор моменту імпульсу гіроскопу під дією сили тяжіння, не змінює свій модуль, а змінює тільки свою орієнтацію в кожний момент часу перпендикулярно осі симетрії гіроскопа. Отже, незакріплений кінець осі гіроскопа починає рух по колу, центр якого знаходиться на осі .