2.1 Швидкість точки

Рух точки може бути заданий різними способами:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) натуральний - цим способом зручно користуватись коли відома траєкторія руху точки. Положення рухомої точки в момент часу визначається дугової координати і законом руху

, (1.1)

де початок відліку (точку - рис. 1.1) та відомий додатній напрям відліку.

2) векторний - коли положення точки в просторі визначається радіус-вектором , проведеним з деякого нерухомого центра до даної точки (рис. 1.2). Під час руху точки її радіус-вектор змінює свій модуль і напрям

Размещено на http://www.allbest.ru/

. (1.2)

3) координатний - полягає в тому, що положення точки задається набором координат. При розгляді руху в прямокутній декартовій системі координат (рис.1.3) вказаний спосіб зводиться до задання трьох координат , , точки як відомих функцій часу:

, , . (1.3)

Зв'язок векторного метода з декартовими координатами наступний

. (1.4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

4) в навігації, в основному, користуються цилін-дричною системою координат , , рис.1.3 на площині (полярною, координати ), але дещо зміненою. Замість азимута використовують курс (рис. 1.4), який вимірюють від „норду” (напряму на північ) і відлік кута ведуть за напрямом руху стрілки годинника. Якщо вісь сумістити з „нордом”, а вісь снрямувати горизонтально, то отримаємо зв'язок між координатами декартової та навігаційної систем:

, . (1.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Швидкістю точки в момент часу називається величина, яка характеризує зміну вектора з плином часу (рис. 1.5)

. (1.6)

Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від радіус-вектора по часу і напрямлений по дотичній до траєкторії у відповідній точці у бік руху (рис. 1.5).

Коли рівняння руху точки задано в декартових координатах, то

. (1.7)

Отже, алгебраїчні проекції вектора швидкості на кожну з осей (рис. 1.6) дорівнюють похідним по часу від відповідної координати точки, яка рухається

, , . (1.8)

Модуль вектора швидкості обчислюють за формулою

. (1.9)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Коли рівняння руху точки задано натуральним способом (рис. 1.6), то дугова координата є функцією часу, то радіус-вектор , тоді

, (1.10) де

= (1.11)

- алгебраїчне значення миттєвої швидкості, а - одиничний вектор (орт), який направлений по дотичній до кривої в сторону зростання дугової координати (рис. 1.6, а, б) і не залежить від напряму руху точки.

Якщо , то точка рухається в напрямі зростання дугової координати і напрям швидкості співпадає з напрямом орта (рис. 1.6, а). При точка рухається в напрямі зменшення дугової координати і вектор швидкості протилежний до напряму орта (рис. 1.6, б).

Контрольні запитання

1. Що вивчає кінематика?

2. В яких випадках тіло можна вважати точкою?

3. Що таке траєкторія руху точки? Які типи траєкторій вам відомі?

4. Які величини потрібно знати, щоб задати закон руху точки для векторного способу, координатного та природного способів описання?

5. Як знайти напрям та величину вектора миттєвої швидкості?

6. Як знайти компоненти вектора швидкості та його модуль у декартовій системі координат?

2.2 Прискорення точки

Прискорення характеризує зміну швидкості з плином часу. Миттєве прискорення точки в даний момент часу визначається першою похідною по часу від вектора швидкості, або другою похідною по часу від радіус-вектора точки

. (2.1)

Вектор прискорення напрямлений по зміні вектора швидкості .

Коли рівняння руху точки задано в декартових координатах, то з формули (1.8), взявши похідну, отримуємо

= , (2.2)

де , , - алгебраїчні проекції прискорення на декартові осі координат, які дорівнюють другим похідним по часу від відповідних координат точки або першим похідним по часу від проекцій швидкості на відповідні осі. Модуль вектора прискорення визначається за формулою

. (2.3)

У випадку натурального способу вектор швидкості , тому для вектора прискорення отримуємо

. (2.6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отже, повне прискорення скла-дається з двох взаємно перпендикулярних складових:

1) тангенціального прискорення , яке напрямлене вздовж дотичної до траєкторії і характеризує зміну швидкості за модулем

. (2.7)

Якщо алгебраїчне значення швидкості зростає (, рис. 2.1, а), то напрями і співпадають, а коли алгебраїчне значення швидкості зменшується, (, рис. 2.1, б) - напрями векторів і протилежні;

2) нормального прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямом

, (2.8)

де - орт, який перпендикулярний до вектора швидкості і направлений у той бік, куди повертається вектор швидкості (до центру дуги, по якій рухається точка), - радіус кривизни траєкторії.

Вектор повного прискорення направлений по діагоналі прямокутника, побудованого на векторах та (рис. 2.1), а його модуль

. (2.9)

Тангенціальне прискорення, яке є проекцією повного прискорення на вектор швидкості (рис. 2.1) можна визначити через скалярний добуток

= = .

З останнього рівняння отримуємо формулу для обчислення тангенціального прискорення через компоненти векторів швидкості та прискорення:

= . (2.10)

Якщо відомі величини повного та тангенціального прискорень, то можна визначити нормальне прискорення точки

= = , (2.11)

та знайти радіус кривизни траєкторії

. (2.12)

Розглянемо окремі випадки руху точки:

коли точка рухається прямолінійно (), або у випадку криво-лінійного руху, в той момент часу, коли миттєве значення швидкості ; в цих випадках прискорення має лише тангенціальну складову, а вектор прискорення напрямлений до дотичній до траєкторії;

коли величина швидкості стала, в цьому випадку прискорення має лише нормальну складову, а вектор прискорення напрямлений до центру кривизни траєкторії.

Контрольні запитання

1. Як визначається миттєве прискорення точки? Як знайти напрям вектора миттєвого прискорення?

2. Як знайти компоненти вектора прискорення та його модуль в декартовій системі координат?

3. Поясніть роль тангенціального прискорення у зміні швидкості.

4. Як знайти тангенціальне прискорення через компоненти швидкості та прискорення в декартовій системі координат?

5. Поясніть роль нормального прискорення у зміні швидкості.

6. Як знайти модуль повного прискорення, якщо відомі його тангенціальна та нормальна складові?

7. Для якого руху точки по криволінійній траєкторії кут між векторами швидкості та прискорення: а) гострий? б) тупий? в) прямий?

2.3 Поступальний рух твердого тіла

Нехтувати розмірами тіла і приймати його за точку можна лише в окремих випадках, а не завжди. Під час руху тіла всі його точки, в загальному випадку, описують різні траєкторії та мають різні швидкості і прискорення. Тому, щоб описати рух будь-якого реального тіла, взагалі кажучи, потрібно знайти рух кожної його точки. Основним завданням кінематики твердого тіла є встановлення способів описання його руху і визначення кінематичних характеристик руху, властивих як для тіла в цілому, так і для окремих його точок.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма, проведена в тілі, що рухається, залишається паралельною своєму початковому положенню. При поступальному русі точки тіла можуть мати різні траєкторії. Так, наприклад, корпус паровоза на прямолінійній ділянці рухається поступально, і траєкторіями його точок є прямі лінії. Траєкторії же точок спарника коліс АВ (рис.2.2) по відношенню до корпуса паровоза є колами, а по відношенню до землі - циклоїди. При цьому спарник при обертанні кривошипа рухається поступально (рис.2.2), оскільки будь-яка пряма проведена в спарнику залишається в процесі його руху напрямленою паралельно сама собі. Отже при поступальному русі тіла траєкторії його точок можуть бути як прямолінійні, так і криволінійні, але всі точки тіла описують однакові (співпадаючі при накладанні) траєкторії.

Якщо тіло здійснює поступальний рух, то всі точки тіла одержують за проміжок часу рівні за величиною і напрямком переміщення, внаслідок чого швидкості і прискорення всіх точок у кожний момент часу однакові.

Отже

(3.1)

- вектори швидкості довільних точок і рівні між собою та

(3.2)

- вектори прискорення довільних точок і теж рівні між собою.

Таким чином поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом будь-якої однієї його точки, тому вивчення поступального руху тіла зводиться до задачі кінематики точки.

Контрольні запитання

1. Який рух твердого тіла називається поступальним? Наведіть приклавди такого руху.

2. Які траєкторії мають точки твердого тіла, що здійснює поступальний рух?

3. Які основні властивості твердого тіла, що здійснює поступальний рух?

2.4 Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий, при якому всі його точки рухаються по концентричним колам, центри яких лежать на нерухомій прямій, яка. називається віссю обертання. У цьому випадку всі точки, крім тих, що лежать на осі обертання, здійснюютьрух в площинах, перпендикулярних до осі обертання.

Для визначення положення тіла направимо вісь вздовж осі обертання (вгору). Зв'яжемо з довільною точкою М твердого тіла та віссю обертання площину і зафіксуємо її положення (рис. 4.1) в нерухомій системі координат. Через деякий час тверде тіло повернеться на кут і площина займе положення (рис. 4.1). Тоді положення тіла буде однозначно заданим, коли відомий закон зміни кута

(4.1)

між зафіксованою площиною та рухомою площиною . Цей кут називається кутом повороту тіла.

Головними кінематичними характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість (яке характеризує швидкість зміни кута повороту з плином часу) та кутове прискорення (яка характеризує зміну кутової швидкості з плином часу).

Вектором кутової швидкості твердого тіла, яке здійснює обертання навколо фіксованої осі, називається вектор, модуль якого дорівнює абсолютному значенню похідній по часу від кута повороту

, (4.2)

та напрямлений вздовж осі обертання в ту сторону (рис. 4.1), звідки обертання відбувається проти руху стрілки годинника

, (4.3)

де - орт осі , з якою співпадає вісь обертання (рис. 4.1). З формули (4.3) видно, що напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо , та напрямок вектора протилежний напряму вектора , якщо .

Вектором кутового прискорення називається вектор, який дорівнює похідній по часу від вектора кутової швидкості

. (4.4)

Друга похідна по часу від кута повороту визначає алгебраїчне значення кутового прискорення

. (4.5)

Якщо вісь обертання зафіксована, то напрям співпадає з напрямом коли модуль кутової швидкості зростає (обертання тіла прискорене), то напрям вектора співпадає з напрямом вектора і напрям буде протилежним напряму , коли модуль кутової швидкості зменшується (обертання тіла буде сповільненим). З цих обставин випливає наступне просте правило: якщо алгебраїчний добуток > 0, то обертальний рух твердого тіла прискорений, якщо < 0 - сповільнений.

Зауважимо, що вектори кутової швидкості та кутового прискорення завжди розташовані на осі обертання.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зв'язок кутових та лінійних кінематичних величин

Лінійна швидкість довільної точки твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (рис. 4.2), визначається векторним добутком вектора кутової швидкості на радіус-вектор цієї точки відносно довільної точки , що лежить на осі обертання, і не залежить від вибору цієї точки.

(4.6)

Модуль лінійної швидкості дорівнює

, (4.7)

де = - віддаль від точки до осі обертання (дивись рис. 4.2).

Тангенціальне та нормальне прискорення точки твердого тіла визначаються формулами:

, (4.8)

. (4.9)

Модулі тангенціального, нормального та повного прискорень залежать від віддалі точки до осі обертання і можуть бути обчислені за формулами:

, (4.10)

, (4.11)

. (4.12)

Контрольні запитання

1. Який рух твердого тіла називається обертальним навколо нерухомої осі?

2. Які траєкторії мають точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі?

3. Як визначається вектор кутової швидкості? Куди він спрямований? Чому дорівнює його модуль?

4. Як визначається вектор кутового прискорення? Куди він спрямований? Чому дорівнює його модуль?

5. Опишіть характер обертального руху твердого тіла якщо:

6. а) вектори та мають однаковий напрям?

7. б) вектори та мають протилежний напрям?

8. Як зв'язаний модуль лінійної швидкості точки з кутовою швидкістю тіла і відстанню точки від осі обертання ?

9. Як зв'язаний модуль тангенціального прискорення точки з кутовим прискоренням тіла та відстанню точки від осі обертання ?

10. Як зв'язаний модуль нормального прискорення точки з кутовою швидкістю тіла та відстанню точки від осі обертання ?

11. Як зв'язаний модуль повного прискорення точки з кутовими характеристиками руху тіла та і відстанню точки до осі обертання ?

2.5 Плоский рух твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плоским (чи плоскопаралельним) рухом називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються в незмінних площинах, паралельних до деякої нерухомої площини , яка носить назву основної. Отже, плоский рух твердого тіла можна звести до вивчення руху плоскої фігури , утвореної перетином тіла площиною (рис. 5.1). Щоб описати плоский рух твердого тіла, потрібно задати дві поступальні і одну обертальну координати. Як правило, використовують дві декартові координати (, ) довільної точки плоскої фігури (цю точку називають полюсом) і кут , який утворює відрізок , що лежить в площині фігури та з'єднує полюс і довільну точку , з віссю (рис. 5.1). При русі плоскої фігури в своїй площині величини , і змінюються з часом:

, , . (5.1)

Перші два рівняння визначають поступальний рух полюса, а третє - рівняння обертання плоскої фігури навколо полюса.

Швидкість довільної точки фігури, яка здійснює плоский рух, визначається за формулою

+ = + , (5.2)

де - поступальна швидкість полюса (точки А), - швидкість точки в її обертальному русі разом з плоскою фігурою навколо цього полюса. Отже, швидкість довільної точки зображається діагоналлю паралелограма, побудованого в точці на векторах і (рис. 5.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

При плоскому русі фігури, якщо її кутова швидкість не дорівнює нулю ( ? 0), в кожний момент часу існує єдина точка в цій площині, навколо якої фігура здійснює чисто обертальний рух. Ця точка називається миттєвим центром швидкостей (МЦШ) і, як правило, позначається буквою . Якщо ця точка належіть твердому тілу, то абсолютна швидкість цієї точки тіла в даний момент часу дорівнює нулю.

Якщо вибирати полюс у миттєвому центрі швидкостей , то модуль швидкості довільної точки плоскої фігури визначається формулою

, (5.3)

і лінійна швидкість точки направлена перпендикулярно до прямої () за напрямом обертання фігури (рис. 5.3, 5.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отже, плоскопаралельний рух твердого тіла в кожний момент часу можна розглядати як безперервну послідовність нескінченно малих поворотів навколо миттєвого центру обертання. Зауважимо, що положення миттєвого центру швидкостей може змінюватись з плином часу.

Основні методи знаходження МЦШ

1. Якщо відомі напрями швидкостей двох точок твердого тіла, що здійснює плоский рух, то МЦШ знаходимо шляхом встановлення перпендикулярів до векторів швидкостей у точці перетину цих перпендикулярів (рис. 5.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.

Якщо вектори швидкостей паралельні (рис. 5.4), то МЦШ лежить на відрізку прямої, що з'єднує ці точки та ділить його на частини пропорційні величинам швидкостей

(5.4)

зовнішнім чином (рис. 5.4 а), коли вектори спрямовані в одну сторону, та внутрішнім чином (рис. 5.4 б), коли напрями векторів швидкості проти-лежні.

Для визначення прискорення довільної точки твердого тіла при плоскому русі візьмемо похідну від правої та лівої частин векторного рівняння (5.2), що визначає швидкість довільної точки плоскої фігури і отримуємо

, (5.5)

де - вектор кутового прискорення плоскої фігури.

Введемо позначення:

= , (5.6)

= , (5.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектори і визначають відповідно тангенціальне і нормальне прискорення точки при обертальному русі фігури навколо полюса (рис. 5.5). Вектор нормального (доцентрового) прискорення , завжди направлений від точки до полюсу (точки в нашому прикладі). Вектор тангенціального (обертального) прискорення , перпендикулярний до і напрямлений по вектору швидкості обертального руху точки навколо полюса , коли обертання прискорене та проти цієї швидкості, коли обертання сповільнене. Векторна сума цих двох доданків є прискоренням точки при обертанні фігури навколо полюса

. (5.8)

Вектори і взаємно перпендикулярні, тому модуль прискорення обертального руху

= . (5.9)

Отже, прискорення довільної точки () плоскої фігури дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення () точки в її обертальному русі разом з фігурою навколо полюса

. (5.10)

Контрольні запитання

1. Який рух твердого тіла називається плоским (плоскопаралельним)?

2. Якими рівняннями задається плоский рух?

3. Запишіть формулу для швидкості довільної точки плоскої фігури.

4. Що таке миттєвий центр швидкостей (МЦШ)?

5. Вкажіть методи знаходження МЦШ якщо:

6. а) швидкості точок та твердого тіла непаралельні;

7. б) швидкості точок та твердого тіла паралельні.

8. Якому закону задовольняють швидкості точок плоскої фігури, якщо відоме положення МЦШ?

9. Як знайти прискорення довільної точки плоскої фігури?

10. Як спрямовані тангенціальне () та нормальне прискорення (), які має довільна точка плоскої фігури внаслідок обертання навколо полюсу , відносно напряму на полюс?

2.6 Швидкість та прискорення точки в складному русі

Размещено на http://www.allbest.ru/

При розгляді багатьох задач механіки доцільно проводити дослідження руху точки одночасно по відношенню до двох систем відліку, з яких одна вважається нерухомою (її називають основною), а друга рухається певним чином по відношенню до неї.

Складним (абсолютним) називають рух точки відносно нерухомої системи відліку, який складається з відносного руху по відношенню до рухомої системи відліку і переносного руху разом з рухомою системою відліку. Прикладом може бути рух матроса чи якогось механізму по судну, яке, в свою чергу, здійснює рух відносно материка. В багатьох задачах кінематики переносним буває рух середовища, в якому знаходиться об'єкт, рух якого потрібно вивчити.

Розглянемо рух точки по відношенню до основної () і рухомої () систем відліку (рис. 6.1).

Рух точки по відношенню до рухомої системи відліку називають відносним рухом, а її траєкторію і швидкість - відносними траєкторією і швидкістю (індекс від латинського relativus - відносний).

Рух рухомої системи координат (або незміінно зв'язаного з нею тіла) відносно основної (нерухомої) системи відліку називають переносним рухом. Швидкість тієї точки тіла рухомої системи координат, з якою в даний момент часу співпадає положення рухомої точки , називають переносною швидкістю (індекс від латинського emporter - переносити). Траєкторія точки тіла - переносника, з якою в даний момент часу співпадає положення рухомої точки , позначена на рис. 6.1 як .

Рух точки по відношенню до основної системи відліку називають абсолютним (складним) рухом,

а її траєкторію і швидкість - абсолютними траєкторією і швидкістю.

Якщо в складному русі умовно зупинити одну із складових руху, то з'являється можливість розглянути іншу складову.

Швидкість точок у складному русі

Розглянемо систему відліку , що рухається відносно основної системи (рис. 6.1). Якщо система рухається поступально зі швидкістю по відношенню до основної системи та обертається з кутовою швидкістю , то лінійна швидкість переносного руху точки має дві складові - (швидкість поступального руху) та (швидкість обертального руху, де - радіус вектор точки відносно довільної точки на осі обертання рухомої системи відліку). У цьому випадку для швидкості переносного руху точки отримуємо

. (6.1)

Якщо точка рухається зі швидкістю відносно рухомої системи координат тоді для абсолютної швидкості точки отримуємо

(6.2)

Отже, абсолютна швидкість точки в складному русі дорівнює векторної сумі швидкості відносного руху та швидкості переносного руху в даній точці рухомої системи .

Виходячи з того, що абсолютна швидкість точки визначається діагоналлю паралелограма побудованого на векторах і (рис. 6.1), модуль абсолютної швидкості точки можна знайти скориставшись теоремою косинусів

. (6.3)

У відсутності обертального руху переносника формула (6.2) спрощується до

. (6.4)

Розглянемо корисний приклад застосування законів складного руху на практиці. Так, у відсутності течії, судно під дією двигуна рухається істинним курсом (напрям за компасом) зі швидкістю , яку забезпечує двигун відносно нерухомого водного середовища (лагова швидкість). Якщо воно попадає в область, де діє течія, швидкість якої відома , то вектор абсолютної (шляхової) швидкості судна буде визначатися векторною сумою швидкості течії та лагової швидкості

, (6.5)

а величина абсолютної швидкості та шляховий напрям буде відрізнятися від та .

Прискорення точок у складному русі

Для знаходження абсолютне прискорення точки, тобто її прискорення по відношенню до основної системи координат беремо похідну від правої та лівої частини формули (6.3) і отримуємо

, (6.6)

отже, абсолютне прискорення дорівнює геометричній сумі прискорень відносного , переносного та Коріоліса .

Вектор відносного прискорення точки, тобто прискорення точки по відношенню до рухомої системи координат

. (6.7)

Вектор переносного прискорення, тобто прискорення, зумовленого рухом системи

, (6.8)

де та - кутова швидкість та кутове прискорення переносника відповідно, складається з векторів

(6.9)

- поступального прискорення переносника (початку рухомої системи координат - точки ),

(6.10)

- тангенціального (обертального) прискорення точки М сумісно з переносником,

(6.11)

- нормального прискорення точки М відносно миттєвої осі обертання.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Останній доданок в (7.2) - прискорення Коріоліса, яке обумовлено взаємним впливом переносного та відносних рухів і характеризує зміну напряму відносної швидкості, викликаної переносним рухом, та зміну величини переносної швидкості за рахунок відносного руху

. (6.12)

Напрям вектора прискорення Коріоліса (рис. 7.1) визначається згідно з правилом векторного добутку векторів , а його модуль дорівнює

. (6.13)

Прискорення Коріоліса відсутнє в ті моменти, коли:

1) , тобто коли переносний рух є чисто поступальним;

2) , тобто точка не рухається відносно рухомої системи відліку;

3) , тобто вектори i колінеарні.

Контрольні запитання

1 Який рух точки називається складним?

2 Який рух називають відносним? переносним? абсолютним?

3 Який зв'язок існує між абсолютною, переносною та відносною швидкостями точки?

4 Запишіть формулу для визначення абсолютного прискорення точки при її складному русі та поясніть кожний доданок.

5 Дайте визначення прискорення Коріоліса. Від яких величин воно залежить? В яких випадках прискорення Коріоліса дорівнює нулю?

6 В яких точках Землі та як повинно рухатись судно з незмінною величиною швидкості, щоб прискорення Коріоліса: а) дорівнювало нулю?

7 б) мало найбільше значення?

Розділ III. Динаміка

Динаміка є частиною теоретичної механіки, в якій вивчається рух тіл як результат їх взаємодії. Основи динаміки були закладені Ньютоном, який узагальнив накопичені до нього досліди по руху тіл і сформулював три основні закони механіки.

3.1 Задачі динаміки

Пряма (перша) задача динаміки - визначити рівнодійну сил , що діють на матеріальну точку, якщо відома її маса та кінематичні рівняння руху. 1. Якщо закон руху матеріальної точки задано векторним способом

, (1.1)

який еквівалентний трьом скалярним рівнянням:

, , , (1.2)

то задача розв'язується однозначно шляхом подвійного диференціювання.

Дійсно, швидкість визначиться як перша похідна закону руху за часом , а прискорення - як друга похідна . Тоді для визначення сили за відомим значенням маси точки, отримаємо

. (1.3)

Останній вираз називають диференціальним рівнянням руху точки.

Друга (або обернена) задача динаміки - визначити рівняння руху вільної матеріальної точки, якщо задана її маса , прикладена сила та відомі початкові умови.

Для визначення закону руху необхідно розв'язати диференціальне рівняння другого порядку виду

, (1.4)

бо в загальному випадку сила залежить від часу , положення точки та її швидкості . Диференціальне рівняння (2.1) у векторній формі еквівалентне трьом скалярним рівнянням. В залежності від вибору системи координат можна отримати різні форми скалярних диференціальних рівнянь руху матеріальної точки.

Розв'язок рівняння (2.1) можна отримати користуючись загальними методами розв'язання диференціальних рівнянь, а в ряді випадків шляхом двох послідовних інтегрувань. Загальний розв'язок рівняння (2.1) буде мати вигляд

. (1.5)

Щоб довести розв'язок задачі до кінця, потрібно визначити значення сталих векторів та . Тому рівняння (2.1) необхідно доповнити двома умовами, які фіксують стан точки в певний момент часу. Як правило, вказують значення радіус-вектора та швидкості точки в початковий момент часу = 0:

, (1.6)

, (1.7)

які називають початковими умовами.

Отже, однозначний розв'язок оберненої (другої) задачі динаміки для вільної матеріальної точки масою може бути знайдений, якщо відомий закон сили та задані початкові умови (1.6 - 1.7).

Контрольні запитання

1. Яка фізична величина є мірою інертності тіла?

2. Якою фізичною величиною характеризується зміна стану спокою або руху тіла зі сталою швидкістю.

3. Сформулюйте закони Ньютона.

4. Що таке рівняння руху точки? Запишіть диференціальне рівняння руху матеріальної точки.

5. Сформулюйте першу задачу динаміки. Як вона розв'язується коли рівняння руху матеріальної точки задано векторним (координатним) способом?

6. .Сформулюйте обернену (другу) задачу динаміки. Як вона розв'язується ?

7. Що додатково потрібно знати для однозначного розв'язання другої (оберної) задачі динаміки?

3.2 Відносний рух точки. Сили інерції

Виберемо інерціальну систему координат () і назвемо її абсолютною (рис. 2.1). В цій системі другий закон Ньютона виконується і має вид

, (2.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

де - прискорення точки відносно інерціальної системи (абсолютне прискорення), - результуюча сила, яка діє на точку М.

Нехай система координат () рухається відносно даної інерціальної () (рис. 2.1) за відомим законом. В рухомій системі координат матеріальна точка рухається з відносним прискоренням . Прискорення точки в абсолютній та рухомій системі зв'язані теоремою про складання прискорень для складного руху

, (2.2)

де - прискорення переносного руху точки, - прискорення Коріоліса.

Підставляючи рівняння (2.2) в (2.1) отримуємо

. (2.3)

Перепишемо рівняння (2.3) для спостерігача, що знаходиться в рухомій (неінерціальній) системі, у такому вигляді, щоб воно мало такий самий вигляд, як і в інерціальній

, (2.4) де

. (2.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рівняння (2.4) описує відносний рух точки. Таким чином, для опису руху в рухомій системі до результуючої зовнішніх сил треба додавати „силу інерції” (дивись рис. 2.2), яка може мати дві складові

, (2.6)

так звана переносна сила інерції, та

, (2.7)

сила інерції Коріоліса.

Отже, сили інерції обумовлюють різницю між відносним і абсолютним прискореннями і вибирають їх такими, щоб вони забезпечували в неінерціальній системі відліку ті прискорення, які фактично мають місце для спостерігача, який знаходиться в цій неінерціальній системі.

Нагадаємо що, в загальному випадку прискорення переносного руху може складатися з трьох доданків

, (2.8)

які зумовлені поступальним рухом неінерціальної системи та обертальним рухом цієї системи (доданки та ).

Сили інерції залежать від:

1. Властивостей неінерціальної системи - від прискорення поступального руху системи , її кутового прискорення та кутової швидкості

. (2.9)

Перший доданок

, (2.10)

зумовлений прискореним поступальним рухом системи - така сила виникає при гальмуванні або прискоренні судна, коли нас „відкидає” у напряму, протилежному прискоренню.

Другий доданок

, (2.11)

називають відцентровою силою, бо ця сила напрямлена вздовж радіуса обертання від осі обертання і діє на нерухому точку.

Останній доданок

, (2.12)

називається обертальною силою інерції, яка виникає при зміні кутової швидкості обертання системи - ця сила напрямлена проти тангенціального прискорення. Прояв сили нерівномірного обертання ми відчуваємо коли карусель набирає оберти або гальмує, тоді ми або притискаємося до спинки сидіння, або від неї відриваємося.

2. Від властивостей системи та тіла - якщо рухома система здійснює обертальний рух з кутовою швидкістю , а тіло в ній рухається з відносною швидкістю , то виникає сила інерції Коріоліса

. (2.13)

Контрольні запитання

1. Які системи відліку називаються неінерціальними? Чи виконується в таких системах відліку закони Ньютона?

2. Запишіть другий закон Ньютона для відносного руху. Чим зумовлена поява сил інерції в рухомій системі?

3. Як визначається сила інерції в неінерціальній системі відліку, що рухається поступально?

4. Яка сила інерції виникає в системі відліку, що здійснює обертальний рух, якщо тіло в цій системі нерухоме?

5. Поясніть причину виникнення сили інерції Коріоліса. Чому дорівнює сила інерції Коріоліса?

6. Як повинно рухатися судно з незмінним значенням швидкості, щоб сила інерції Коріоліса дорівнювала нулю? була максимальною?

3.3 Невільний рух точки

Коли на зміну механічного стану тіла не накладено жодних обмежень, то рух тіла вільний. Тіло називають невільним, коли на його переміщення накладені обмеження і воно не може рухатися довільно, а рухається по заданій траєкторії або поверхні. Обмеження, які не дозволяють тілу вільно рухатись, називаються в'язями. Якщо тіло намагається переміщуватися в напрямі в'язі, і тим самим діє на неї, то з боку в'язі виникає протидія, яку називають реакцією в'язі.

Тіло будемо вважати матеріальною точкою. Коли точка за рахунок накладених на неї в'язів рухається по заданій траєкторії або поверхні, необхідно рівняння руху вільної точки доповнити силами, які враховують реакції в'язів. В таких випадках будемо розв'язувати задачу користуючись аксіомою про в'язі: всяку невільну точку розглядаємо як вільну, відкинувши в'язі та замінивши їх дію реакціями. Тоді основний закон динаміки для невільної матеріальної точки буде мати вигляд:

, (3.1)

де - діючі на точку активні сили, - реакції в'язів.

Розглянемо рух точки по гладкій кривій , тобто у відсутності сил тертя. Проведемо в точці натуральну систему координат (натуральний тріедр) (рис.3.1). Спрямуємо дотичну в бік руху тіла, головну нормаль в бік вигнутості кривої та перпендикулярну до них бінормаль (рис.3.1). Спроектуємо обидві частини рівняння (3.1) на ці вісі, враховуючи те, що реакції перпендикулярні до гладкої кривої (), по якій рухається тіло. Тоді отримуємо:

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Оскільки :

, , , (3.5)

то вектор лежить в дотичній площині.

З врахуванням (3.5) отримуємо систему диференціальних рівнянь для руху точки по заданій кривій :

, (3.6)

(3.7)

0 = . (3.8)

Зауважимо, що в рівняння (3.6) не входять невідомі реакції , що дозволяє визначити закон руху точки по кривій, тобто . Рівняння (3.7) та (3.8) використовують для знаходження реакцій в'язів (їх компонент та ) .

Звернемо увагу на те, що рівняння руху вільної частинки отримуються з системи рівнянь (3.6)-(3.8), якщо покласти = 0. Якщо крива не є гладкою, тоді в рівняння (3.6) потрібно включити силу тертя (горизонтальну складову реакції).

3.4 Теорема про рух центру мас механічної системи

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху всіх останніх. Зауважимо, що довільне матеріальне тіло можна розглядати як механічну систему, що складається з неперервної сукупності матеріальних точок. Нехай механічна система складається з матеріальних точок. Ці точки взаємодіють між собою внутрішніми силами (це сили, що діють на точку збоку точки ). Крім того, на кожну з них діють зовнішні сили з силою .з боку тіл, що не входять в систему,

Основними властивостями внутрішніх сил є наступні:

= = 0, , (4.1)

- векторна сума внутрішніх сил системи (головний вектор внутрішніх сил системи) дорівнює нулю, та

= 0, , (4.2)

- векторна сума моментів внутрішніх сил системи (головний вектор моменту внутрішніх сил системи) відносно довільної точки дорівнює нулю.

Коли нам достатньо знати окремі параметри, які характеризують рух системи в цілому, в теоретичній механіці використовують ряд теорем.

Теорема про рух центра мас. Для системи, яка складається з матеріальних точок, положення центра мас механічної системи (радіус-вектор ) визначається виразом

= , (4.3)

де - радіус-вектори матеріальних точок, що входять до системи, - маса системи.

Можна довести теорему: центр мас механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас всіх елементів системи і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору зовнішніх сил

= . (4.4)

тут - прискорення центра мас.

Векторне рівняння (1.2) еквівалентне трьом скалярним:

, , , (4.5)

в яких , та - компоненти вектора швидкості центра мас, а , та - координати центра мас.

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

1) внутрішні сили не змінюють характер руху центру мас системи;

2) якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то центр мас системи рухається рівномірно та прямолінійно, або знаходиться в стані спокою, тобто

, (4.6)

де - початкова швидкість центра мас. Якщо = 0, то

, (4.7)

тобто центр мас системи не змінює свого положення в просторі;

3) якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на деяку нерухому вісь (наприклад, ) дорівнює нулю, то проекція швидкості центра мас системи на цю вісь не змінюється(), і якщо = 0, тоді

, (4.8)

тобто центр мас системи не змінює свого положення в відносно осі .

Контрольні запитання

1. Що таке механічна система? Наведіть приклад.

2. Які сили називають внутрішніми силами? Вкажіть їхні основні властивості.

3. Які сили називають зовнішніми силами?

4. Як визначається положення центра мас механічної системи?

5. Сформулюйте теорему про рух центра мас механічної системи.

6. При яких умовах центр мас системи знаходиться в стані спокою?

7. Чи можуть внутрішні сили змінити положення центра мас механічної системи?

3.5 Теорема про зміну та збереження імпульсу механічної системи

Імпульсом механічної системи називається вектор , який дорівнює сумі імпульсів точок, що входять до системи

. (5.1)

Теореми про зміну імпульсу механічної системи в диференціальній формі стверджує: похідна за часом від вектора імпульсу системи матеріальних точок дорівнює головному вектору зовнішніх сил, які діють на систему

. (5.2)

Отримане векторне рівняння еквівалентне трьом скалярним:

, , . (5.3)

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

а) внутрішні сили не змінюють імпульсу механічної системи;

б) якщо головний вектор зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю , то вектор імпульсу механічної системи залишається сталим за величиною та напрямом

= , (5.4)

де - початкове значення імпульсу системи. Формула (5.4) є математичним записом закону збереження імпульсу механічної системи;

в) якщо проекція головного вектора всіх зовнішніх сил на деяку нерухому вісь, наприклад, вісь , дорівнює нулю, то проекція імпульсу механічної системи на цю вісь залишається сталою

, (5.5)

де - початкове значення проекції імпульсу .

Якщо головний вектор зовнішніх сил не дорівнює нулю (), то зміна імпульсу механічної системи за проміжок часу від до дорівнює імпульсу головного вектора зовнішніх сил, які прикладені до точок системи, за той самий проміжок часу

, (5.6)

де - імпульс механічної системи в момент часу та - в момент часу . Підінтегральній вираз - називається елементарним імпульсом зовнішніх сил. Формула (5.6) є математичним записом теореми про зміну імпульсу механічної системи в інтегральній формі.

Зауважимо, що закон про зміну імпульсу механічної системи отриманий на основі законів Ньютона, які виконуються в інерціальній системі відліку. У випадку складного руху окремих частин системи, потрібно під швидкістю руху цієї частини розуміти абсолютну швидкість, яка визначається сумою переносної та відносної швидкостей

. (5.7)

Контрольні запитання

1. Чому дорівнює імпульс тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр маси?

2. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у диференціальній формі.

3. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у інтегральній формі.

4. У яких випадках імпульс механічної системи залишається сталим?

5. У яких випадках проекція на вісь імпульсу механічної системи не змінюється?

3.6 Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи

Вектор імпульсу (кількості руху) матеріальної системи характеризує її поступальний рух. Обертальний рух матеріальної системи характеризується іншим вектором - моментом імпульсу (кінетичним моментом). Для окремої матеріальної точки масою момент імпульсу відносно довільної точки простору визначається виразом

, (6.1)

де - радіус-вектор проведений з точки до матеріальної точки, - її імпульс. Вектор залежить від імпульсу та положення матеріальної точки відносно точки та характеризує її „обертальний” рух навколо точки в даний момент часу.

Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці

= , (6.2)

де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент імпульсу матеріальної точки може бути знайдений за формулою

= =

= . (6.3)

Проекції , , вектора моменту імпульсу на декартові вісі , та називають моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модуль і напрям вектора моменту імпульсу визначається за правилами векторного добутку. На рис. 6.1, зображена площина, в якій лежать вектори та . Напрям моменту імпульсу рухомої матеріальної точки відносно точки спрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою

. (6.4)

тут - кут між векторами і , а - відстань від точки до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки .

Замість вектора моменту імпульсу матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки (дивись розділ 1, §1.5). Тоді для точки отримуємо

, (6.5)

а для точки (рис. 6.1)

. (6.6)

Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її кінетичний момент відносно заданої точки простору залишається незмінним;

2) момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор імпульсу проходить через цю точку.

Момент імпульсу механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів

. (6.7)

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту імпульсу, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю . Тоді момент імпульсу відносно осі обертання (дивись рис. 6.2) можна обчислити як суму моментів імпульсу елементів тіла відносно неї

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (6.8)

що у випадку неперервного розподілу маси дає

, (6.9)

де - символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання чи відповідний інтеграл по об'єму тіла називається моментом інерції тіла відносно заданої осі

(6.10)

Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м².Моменти інерції більшості однорідних тіл правильної форми відносно їх центру мас відомі.

Моменти інерції однорідних тіл

Диск у площині
Прямокутник у площині
Куля
Тонкий стрижень		= 0

Для сукупності паралельних осей обертання момент інерції твердого тіла має мінімальне значення

для тої осі, яка проходить через центр маси твердого тіла. Тоді для будь-якої іншої, паралельної до неї, момент інерції можна визначити за теоремою Гюйгенса-Штейнера

, (6.11)

де - маса тіла, а - відстань між центром маси тіла та віссю обертання

(рис. 6.2).

Можна довести теорему: похідна за часом від вектора моменту імпульсу механічної системи відносно даного центра дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно того ж центра

. (6.12)

Формула (6.12) є математичним записом теореми про зміну моменту імпульсу механічної системи в диференціальній формі і називається також основним рівнянням обертального руху.

Векторне рівняння в проекціях на нерухомі вісі декартових координат еквівалентне трьом скалярним рівнянням

, , . (6.13)

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

1) внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну моменту імпульсу механічної системи (вони можуть здійснювати опосередкований вплив через зовнішні сили);

2) якщо головний момент зовнішніх сил відносно деякого нерухомого центру дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно того ж центра не змінюється. Дійсно, якщо , то з рівняння (6.12) матимемо

= , (6.14)

де - початкове значення вектора . Формула (6.14) є першим інтегралом рівняння руху системи і математичним записом закону збереження моменту імпульсу механічної системи;

3) якщо головний момент всіх зовнішніх сил не дорівнює нулю, але його момент відносно деякої вісі (наприклад, ) дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно цієї вісі не змінюється з часом. Дійсно з рівнянь (6.13) - (6.14) випливає, що коли, наприклад, , то

, (6.15)

тобто зберігається відповідний компонент моменту імпульсу механічної системи;

4) якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомого центру не дорівнює нулю, то з рівняння (6.12) отримуємо

. (6.16)

Після інтегрування (6.16) в межах від початкового моменту часу до поточного , отримуємо

, (6.17)

де - момент імпульсу механічної системи на поточний час , а - в момент часу . Таким чином, зміна моменту імпульсу механічної системи відносно нерухомого центру за проміжок часу від до дорівнює інтегралу від головного моменту імпульсу зовнішніх сил по часу за той самий проміжок часу.

Формула (6.17) є математичним записом теореми про зміну моменту імпульсу механічної системи в інтегральній формі.

Контрольні запитання

1. Що характеризує момент імпульсу матеріальної точки?Як його знайти?

2. В яких випадках момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю?

3. Як знайти момент імпульсу механічної системи?

4. Як знайти момент імпульсу твердого тіла відносно заданої осі?

5. Що таке момент інерції твердого тіла? Що він характеризує? В яких одиницях вимірюється?

6. Як формулюється теорема Гюйгенса-Штейнера?

7. Сформулюйте теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.

8. Чи можуть внутрішні сили змінити момент імпульсу механічної системи? Чому?

9. В яких випадках моменту імпульсу механічної системи зберігається?.

3.7 Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Величина, яка характеризує рух тіла, називається кінетичною енергією. Ця скалярна величина завжди додатна, залежить тільки від стану механічної системи, і може бути знайдена за наступними правилами.

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то швидкості всіх його точок однакові і його кінетична енергія визначається як половина добутку маси тіла на квадрат швидкості

= . (7.1)

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі (наприклад, ) з кутовою швидкістю , то його кінетична енергія дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості

. (7.2)

3. Якщо тверде тіло здійснює плоский рух, то такий рух можна розглядати як суперпозицію двох простих рухів - поступального руху центра мас зі швидкістю та обертального руху з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху. Тоді його кінетична енергія визначається як

+ . (7.3)

7. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто

. (7.4)

Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.

Робота є фізична величина яка характеризує міру передачі руху від одного тіла до іншого. Ця фізична величина теж має розмірність джоуль, але її величина залежить від процесу передачі руху, і може бути як додатною, так і від'ємною. Елементарна робота сили при елементарному переміщенні матеріальної точки на визначається за правилами скалярного добутку як

= · = , (7.5)

де

- кут між векторами та . Отже, ця величина

- додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;

- дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;

- від'ємна, якщо цей кут тупий.

Робота сили при переміщенні матеріальної точки від точки до точки визначається інтегралом

= . (7.6)

Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.

1. Робота сил однорідного поля тяжіння виконується силами тяжіння при переміщенні тіла (матеріальної точки) масою з початкового в кінцеве положення. Ця робота не залежить від форми траєкторії, і визначається лише різницею кінцевого та початкового положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад, при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (догори) по довільній траєкторії (рис. 7.1), робота сил тяжіння визначається як