або . (4.7)

З виразу (4.7) виходить, що момент прикладеної до тіла пари сил () дорівнює сумі моментів цих сил відносно точки О і не залежить від її положення у просторі.

Інші властивості пари сил визначаються наступними теоремами.

Теорема про еквівалентність пар. Не змінюючи дії на тіло, пару сил можна замінити іншою парою, яка лежить в цій самій площині і має такий самий момент за величиною і напрямом.

Доведення. Нехай на тіло діє пара сил з плечем d₁ (рис. 4.9). Проведемо у площині дії пари сил через довільні точки D і С дві паралельні прямі до перетину їх з лініями дій сил пари в точках А і В. Відстані між прямими АС і BD позначимо як d₂. Розкладемо сили і за напрямами AB, BD i AC. За побудовою очевидно, що , тоді сили і , як зрівноважені, можна відкинути. Сили і перенесемо уздовж їх ліній дій у точки D і С. У результаті проведених перетворень задану пару сил було замінено новою парою з іншим плечем та іншими силами. Через довільність вибору точок D, С і напрямів прямих BD і AС нова пара сил може бути розташована у площині її дії де завгодно.

Рис. 4.9

Покажемо, що моменти нової і заданої пар сил i рівні. За побудовою сила , а сила проходить через точку А, тому буде виконуватись:

тобто (4.8)

З рівностей (4.8) випливають такі додаткові властивості пар сил:

- задану пару сил, не змінюючи її дії на тіло, можна переносити як завгодно у площині її дії;

- у заданої пари сил можна змінювати сили і довжину плеча, щоб залишався незмінним її момент;

- дві пари, що лежать в одній площині і мають однакові моменти, є еквівалентними;

- момент пари сил є вільним вектором: його можна переносити паралельно самому собі в будь-яку точку тіла.

Теорема про перенесення пари в паралельну площину. Дія пари сил на тіло не порушиться, якщо її перенести із заданої площини у довільну іншу площину, яка паралельна заданій.

Рис. 4.10

Доведення. Розглянемо пару сил з площиною дії S₁ (рис. 4.10). Побудуємо площину S₂, паралельну площині S₁, і визначимо на ній відрізок ED, рівний і паралельний відрізку AВ у площині S₁. У точках D i E прикладемо двійку сил, в яких

За побудовою фігура ABЕД є паралелограмом. Далі додамо пара-лельні сили і . Їх рівнодійна бу-де прикладена в точці С - середині відрізка AE. Аналогічно сили і зводяться до рівнодійної , прикладеної в середині відрізка ВD , тобто в точці С. За побудовою і визначенням рівнодійні сили і будуть рівними і протилежно направленими, тому їх можна відкинути. У результаті задана пара сил перетворюється в пару сил , яка розміщена у площині .

З доведеної теореми випливає, що дві пари, які лежать в одній площині або в паралельних площинах і мають однакові моменти, еквівалентні.

Теорема про додавання пар сил. Довільну систему двох пар сил можна замінити рівнодійною парою. Момент рівнодійної пари дорівнює векторній сумі моментів початкових пар.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведення.

Розглянемо пари сил з моментами і , які лежать у довільних площинах і , що перетинаються (рис. 4.11). Визначимо на лінії перетину цих площин відрізок АВ =d і позначимо його вектором . Визначимо пару сил з моментом силами (), а пару сил з моментом - силами (), прикладеними в точках А і В. При цьому виконуватиметься =F₁d, =F₂d. Додаючи прикладені в точках A і В сили, замінимо системи сил i силами ,

Рис. 4.11

які за визначенням складуть пару сил . Момент рівнодійної пари , оскільки , визначатиметься як

(4.9)

Якщо на тіло діє п пар сил з моментами , то, застосовуючи послідовно формулу (4.9), одержимо (рис. 4.12), що задана система пар сил зводиться до результуючої пари з моментом

(4.10)

Тут результуючу пару визначають (див. силовий многокутник у розділі 3) замикаючою стороною многокутника векторів .

Якщо пари сил лежать в одній площині, то вектори їх моментів будуть паралельні. Тому момент результуючої пари дорівнює алгебраїчній сумі складових моментів:

Момент результуючої пари сил можна визначити аналітично, спроектувавши векторне рівняння (4.10) на осі системи координат:

Величину (модуль вектора ) результуючої пари визначають як

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.12

При побудові вектора у просторі, тобто при визначенні площини дії результуючої пари сил звичайно використовують його напрямні косинуси:

, , .

4.5.2 Умови рівноваги системи пар сил

Враховуючи властивості рівнодійної збіжних сил, результуючої пари сил, властивості вектора моменту пари сил як вільного вектора, а також умови рівноваги збіжної системи сил, отримаємо наступні необхідні й достатні умови рівноваги тіла під дією системи пар сил :

- векторна (геометрична) форма рівноваги:

, (4.11)

тобто многокутник моментів пар сил початкової системи (рис. 4.12) повинен бути замкненим: кінець останнього вектора повинен збігатися з початком (точкою О) першого;

- аналітична (алгебраїчна) форма рівноваги:

(4.12)

тобто суми проекцій моментів пар сил системи на кожну з трьох координатних осей дорівнюватимуть нулю.

5. Довільна система сил у просторі й площині. Приведення до заданого центра (теорема пуансо)

У реальних умовах експлуатації на тіло, нехай-то електродвигун, кузов трамваю, лопатка турбіни, гребля, каркас будинку чи ін., діє система зовнішніх сил.

Існує декілька типових систем сил, що використовуються в розрахунках на практиці. Це довільна система сил у просторі, довільна система сил у площині, система паралельних сил і будь-яка їх комбінація.

Цей розділ присвячено питанням приведення вихідної системи сил у про-сторі й площині до найпростішого вигляду в загальному і окремих випадках.

5.1 Лема про паралельне перенесення сили

Відповідно до аксіоми 2 статики (див. розд. 1) прикладену до тіла силу можна переносити вздовж її лінії дії в будь-яку іншу його точку. При цьому дія сили на тіло, а також стан тіла не змінюються.

У ряді практичних задач рівноваги, пов'язаних зі спрощенням заданої системи сил, часто виникає необхідність перенесення сили до заданого центра паралельно самій до себе.

На відміну від попереднього випадку паралельне перенесення сили призводить в умовах збереження початкового механічного стану тіла до зміни системи діючих на нього силових факторів: до тіла необхідно додатково додати пару сил, параметри якої визначає наступна лема.

Лема. Прикладену до тіла в точці О (рис. 5.1,а) силу можна перенести паралельно самій собі в будь-яку його іншу точку О₁ (центр приведення), додаючи при цьому, для збереження механічного стану тіла, пару сил з моментом , рівним моменту вихідної сили відносно центра приведення О₁.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Размещено на http://www.allbest.ru/

в

Рис. 5.1

Доведення. Нехай у точці О (рис. 5.1,а) до тіла прикладена розташована в площині Е сила . Позначимо систему сил, діючу на тіло, як (). Виберемо в тілі, в пл. Е, довільну точку О₁, положення якої визначимо вектором . Позначимо її як центр приведення “О₁”. Прикладемо далі в пл. Е у цьому центрі (рис. 5.1,б) еквівалентну нулю систему двох сил (двійку сил) з параметрами: . При цьому, відповідно до аксіоми 2 статики, стан тіла не зміниться, а вихідна система сил () перетвориться в еквівалентну систему трьох сил: .

За побудовою на рис. 5.1,б, сила прикладена в точці приведення О₁ і дорівнює , а система двох сил створює пару сил, що називається приєднаною парою сил. Далі в центрі приведення О₁ на рис. 5.1,в побудуємо вектор , рівний моменту отриманої пари сил, і вектор , рівний моменту вихідної сили відносно полюса О₁. За визначенням вони є перпендикулярними до пл. Е, прикладеними в точці О₁ і рівними. Тобто момент приєднаної пари сил дорівнює моменту вихідної сили відносно нового центра приведення О₁:

. (5.1)

Отже лему доведено.

Рівняння (5.1) використовують на практиці при визначенні параметрів приєднаної пари сил і сили , які в більшості випадків являють собою прикладений до ланки механізму крутний момент і силу тиску ланки на вісь.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розглянемо, наприклад, барабан радіуса (рис. 5.2,а), до якого в точці А з боку намотаної нитки прикладено силу . Використуємо для сили доведену лему, прийнявши за центр приведення точку О. У результаті отримаємо, що вихідна система сил () зводиться: до сили (рівній ) і до пари сил з моментом (рис. 5.2,а). При цьому на барабан діють: момент , який обертає барабан, і сила , що здійс-

а б

Рис. 5.2

нює тиск на вісь барабану (рис. 5.2,б). Їх величини використовуються в подальшому при розв'язанні задач динаміки і міцності системи “опора - вісь - барабан - нитка”.

5.2 Приведення довільної системи сил у просторі до заданого центра. Теорема Пуансо (Основна теорема статики)

Розглядаючи системи збіжних і паралельних сил у просторі, ми переконалися, що вони приводяться лише до одного силового фактора: рівнодійної сили або до пари сил.

Розглянемо тепер задачу приведення довільної систем сил у просторі до заданого центра О (теорема належить Пуансо, 1777 - 1859 рр.).

Теорема: Довільна система сил у просторі зводиться до заданого центра О сукупністю двох силових факторів: сили , рівній головному вектору вихідної системи сил і прикладеній у центрі приведення О, і пари сил, момент якої дорівнює головному моменту системи сил відносно того ж центра.

Доведення. Розглянемо вихідну довільну систему сил у просторі (рис. 5.3,а). Нехай сили є прикладеними до тіла в точках , координати яких визначено радіусами-векторами у системі координат Оxyz, полюс якої співпадає з центром приведення О.

Введемо такі позначення і поняття.

Головний вектор системи сил - вектор , який дорівнює геометричній сумі прикладених до тіла сил системи:

, (5.2)

де індекс О визначає точку прикладання вектора до тіла.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Размещено на http://www.allbest.ru/

в г

Рис. 5.3

Головний момент системи сил відносно точки О - вектор , що дорівнює геометричній сумі моментів сил вихідної системи відносно тієї ж точки:

. (5.3)

Таким чином, за визначенням вектори і відносяться, з точки зору векторної алгебри, до зв'язаних у точці О векторів.

Для кожної з сил системи використуємо лему про паралельне перенесення сили у полюс О. У результаті перетворень отримаємо систему збіжних у точці О (рис. 5.3,б) сил , що, як нам відомо, еквівалентна одній силі (рівнодійній), що дорівнює їх геометричній сумі:

. (5.4)

Між векторами збіжної і вихідної систем сил існують співвідношення: ). Якщо розглянути геометричну суму векторів сил вихідної системи у точці О як вектор математичний і позначити його, відповідно до (5.2), як головний вектор вихідної системи сил, то отримаємо наступну рівність

. (5.5)

З рівнянь (5.2), (5.4) і (5.5) виходить, таким чином, що сила за математичним змістом дорівнює головному вектору вихідної системи. У свою чергу, на відміну від сили , головний вектор не має, стосовно розглядуваного тіла фізичного змісту, тому що точки прикладання складаючих сил (рис. 5.3,а) не співпадають з центром приведення О, в якому прикладений головний вектор.

При паралельному перенесенні сили до тіла необхідно приєднати одночасно пару сил з моментом , прикладеним (рис. 5.3,в) у точці О. Система приєднаних пар , відповідно до теореми про додавання пар сил, зводиться до результуючої пари з моментом

(5.6)

у точці О.

Відповідно до (5.3) і (5.6) отримаємо, що момент приєднаної пари дорівнює головному моменту вихідної системи сил відносно центра приведення О, тобто (рис. 5.3,в)

. (5.7)

Отже (рис. 5.3,г) вихідну систему сил зведено в довільно обраній точці О до еквівалентної системи двох силових факторів: сили , яка дорівнює головному вектору цієї системи сил, і пари сил з моментом , який дорівнює головному моменту системи сил відносно центра приведення.

Таким чином, теорему доведено. Ця теорема має назву основної теореми статики (теорема Пуансо).

З доведеної вище теореми випливає, що дві системи сил і будуть статично еквівалентними, якщо їх головні вектори й головні моменти у довільно обраному центрі приведення рівні між собою. Отже, для характеристики системи діючих на тіло сил є абсолютно достатнім визначити у довільному центрі О головний вектор і головний момент вихідної системи сил і задати їх на розрахунковій схемі (рис. 5.3,г). При цьому будемо враховувати, по-перше, те, що точки приведення сили і моменту , а також точки прикладання головних векторів і співпадають за визначенням, а по-другому, що вектор і вектор , на відміну від зв'язаних у точці О векторів і , є відповідно ковзним і вільним векторами.

5.3 Властивості головного вектора, головного момента і результуючої приєднаної пари системи сил. Статичні інваріанти

Величини і напрямки головних векторів і у системі координат Oxyz (рис. 5.4) визначаються за правилами векторної алгебри формулами

; , (5.8)

де ; ; ;

; ;

;

; ; ;

; ; .

Размещено на http://www.allbest.ru/

х

Рис. 5.4

Кут між векторами і визначається за допомогою формули їх скалярного добутку:

.

Якщо на практиці при вирішенні задач рівноваги твердого тіла виникає питання зміни центра приведення системи сил з точки О у наперед задану точку О₁, то головний вектор, головний момент і момент результуючої приєднаної пари системи сил мають наступні властивості.

Враховуючи вирази (5.2), (5.8) є очевидним, що головний вектор системи сил ні за величиною, ні за напрямком не залежить від положення центра приведення, тобто завжди виконуватиметься рівність (точка О₁ - новий центр приведення). Це обумовлено тим, що за формулою визначення () головний вектор є функцією тільки параметрів сил початкової системи і не залежить від положення точки О на тілі.

У механіці головний вектор називається першим статичним інваріантом. Це означає, що для будь-якої вихідної системи сил його величина і напрямок є сталими величинами, тобто незалежними (інваріантними) до вибору центра приведення:

,

де п - номер поточної точки приведення.

Момент результуючої приєднаної пари вихідної системи сил при перенесенні центра приведення буде визначатися (рис. 5.5) за формулою

, (5.9)

де - момент приєднаної пари сил.

На рис. 5.5 вектор є, за правилом векторного добутку, перпендикулярним що площини Е, якій належать вектори і , тобто .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.5

Вираз (5.9) отримано за допомогою наступних еквівалентних системних перетворень:

,

де .

При цьому використано лему про паралельне перенесення сили в точку О₁ з одночасним додаванням у центрі О₁ пари сил з моментом , рівним моменту вихідної сили відносно точки О₁, а також враховано властивості моменту (моменту приєднаної пари сил у точці О) як вільного вектора, який можна переносити паралельно самому собі в будь-яку точку тіла (в даному випадку з точки О у точці О₁). Крім того, використано властивості геометричного додавання векторів моментів пар сил у точці О₁, тобто:

. (5.10)

З рівняння (5.10) виходить, що момент приєднаної пари сил при перенесенні центра приведення змінюється на величину моменту пари сил, рівному моменту сили відносно нового центра приведення О₁.

Головний момент системи сил при перенесенні центра приведення вихідної системи сил матиме, в свою чергу, наступну властивість.

Враховуючи вираз (5.3) і рис. 5.6, отримаємо:

. (5.11)

Размещено на http://www.allbest.ru/

А_k

Рис. 5.6

З рівняння (5.11) випливає, що головний момент вихідної системи сил при перенесенні центра приведення до точки О₁ змінюється на величину моменту головного вектора відносно нового центра приведення О₁.

Враховуючи рівняння (5.5) і (5.7) отримаємо вирази:

,

(5.12)

З виразу (5.12) випливає рівність моментів результуючої пари і головного моменту системи сил відносно нового центра зведення О₁, а також справедливість приведених на рис. 5.7 системних перетворень.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.7

Однак, на практиці виявилось, що більш зручним у використанні є рівняння (5.11), яке стосується головного моменту системи сил.

Розглянемо далі інші властивості головного вектора і головного моменту системи сил, які мають суттєве теоретичне і практичне значення.

Важливою властивістю головних вектора і моменту системи сил є незалежність їх скалярного добутку від положення точки приведення на тілі.

Дійсно, для будь-якої точки приведення О₁ отримаємо:

. (5.13)

За визначенням вектор і вектор (рис. 5.7) є перпендикулярними. Тому формула (5.13) приводиться, враховуючи що , до виду

. (5.14)

Вираз (5.14), в результаті незалежності головного вектора системи сил від зміни полюса приведення, перетворюється у рівність

, (5.15)

яка і доводить зазначену властивість.

У механіці цю властивість скалярного добутку головного вектора і головного моменту системи сил визначають як другий статичний інваріант (перша форма).

Розглянемо другу форму другого статичного інваріанта системи діючих на тіло сил, які зведено в центрі О до головного вектора і головного моменту .

З векторної алгебри відомо, що за величиною скалярний добуток двох векторів може бути визначеним через проекцію одного з векторів добутку на напрямок іншого:

, (5.16)

де - проекція вектора на напрямок головного вектора .

Тоді з формул (5.15), (5.16) випливає вираз

,

який, з урахуванням рівності першого статичного інваріанта, перетворюється до вигляду

. (5.17)

Співвідношення (5.17) виявляє, що проекція головного моменту систем сил на напрямок її головного вектора не залежить від положення точки приведення. У механіці цю властивість визначають як другий статичний інваріант (друга форма).

5.4 Окремі випадки приведення просторової системи сил

Відповідно до теореми Пуансо довільна система сил у просторі в загальному випадку зводиться у центрі О до двох силових факторів: сили, яка дорівнює головному вектору , і пари сил з моментом, який дорівнює головному моменту вихідної системи сил. Однак, на практиці між параметрами (величинами і взаємним напрямком) векторів і виникають різні співвідношення, що призводять до окремих випадків приведення довільної системи сил.

5.4.1. Приведення системи сил до пари сил з моментом (рис. 5.8). У цьому випадку в центрі приведення О головний вектор системи , а головний момент є перпендикулярним до пл. Е дії пари сил .

5.4.2. Приведення до рівнодійної у центрі О. Тут (рис. 5.9) виконується наступне: головний момент системи сил =0; головний вектор і належить пл. Е; система діючих на тіло сил відноситься до збіжної у точці О.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.8 Рис. 5.9

5.4.3. Зрівноважена (нульова) система сил. У цьому випадку в центрі приведення О (рис. 5.10, 5.11) отримаємо: головний вектор і головний момент ; вихідна система сил у будь-якій точці О тіла зводиться до еквівалентної нулю зрівноваженої системи; многокутники сил вихідної системи і многокутники векторів моментів сил відносно довільної точки О тіла є замкненими.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.10 Рис. 5.11

5.4.4. Приведення системи сил до головного вектора і головного моменту , коли . Тут мають місце, залежно від взаємної орієнтації векторів і , три окремі випадки.

5.4.4.1. Приведення до динами, коли вектори і не є перпендикулярними, тобто (рис. 5.4) кут і скалярний добуток векторів .

Розкладемо головний момент на дві ортогональні складові , одна з яких спрямована вздовж головного вектора .

Рис. 5.12 Рис. 5.13

Рис. 5.14 Рис. 5.15

Представимо момент (закреслено на рис. 5.13) у вигляді пари сил , в якій плече , а сила прикладена в точці О₁.

У цьому випадку буде виконуватись умова еквівалентності: , тому що сили і за визначенням складають двійку сил, тобто .

Представимо далі вектор у вигляді моменту пари сил і перенесемо його, як вільний вектор, з точки О в точку О₁ прикладання сили (показано на рис. 5.14 штриховою стрілкою).

У результаті початкова система сил перетворилась в центрі О₁ в систему силових факторів . Тут сила дорівнює головному вектору за визначенням, а момент пари сил за величиною - проекції головного моменту на напрямок головного вектора (рис. 5.12) системи сил: . На рис. 5.15 момент для наочності показано одночасно у вигляді пари сил .

Сукупність діючих на тіло силових факторів у вигляді сили і пари сил , вектори яких колінеарні (лежать на одній прямій), називають динамою чи динамічним гвинтом. Лінія, яка проходить через центр приведення О₁ вздовж даної прямої, називається віссю динами.

У просторі рівняння осі динами отримаємо з урахуванням умови паралельності векторів і (рис. 5.14):

(5.18)

де векторний добуток , - параметр гвинта (скаляр);

.

Враховуючи (5.18), отримаємо такі співвідношення між координатними складовими векторів , і :

, (5.19)

де х, у, z - координати точки О₁ на осі динами.

Співвідношення (5.19) дозволяють отримати рівняння прямої лінії, осі динами, у формі

(5.20)

Отже, існує пряма з канонічним рівнянням (5.20) у проекціях, в будь-якій точці якої система діючих на тіло сил зводиться до динами.

Таким чином встановлено, що прикладена до тіла вихідна довільна система сил, якщо другий статичний інваріант першої форми не дорівнює нулю, тобто при (), зводиться у точці О₁ до динами, яка є сукупністю двох силових факторів: сили і моменту пари сил , вектори яких колінеарні. При цьому здається, що за величиною момент пари динами у точці О₁ буде найменшим (рис. 5.16), порівняно з моментами у будь-яких інших точках приведення О_к на осі Оу, тобто буде виконуватися співвідношення .

Цю важливу властивість динами використовують на практиці при вирішенні задач зрівноваження твердого тіла, а також відтворенні динамою заданого його руху за допомогою зовнішніх сил найменшої потужності.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.16

5.4.4.2. Приведення до схрещеної системи двох сил. Цей випадок має місце, коли вихідна система сил приводиться у центрі О до головного вектора і головного моменту (рис. 5.17), а кут між векторами, як і у випадку приведення до динами, задовольняє співвідношенню .

Представимо момент (закреслено на рис. 5.17) у вигляді пари сил з площиною дії Е і плечем (за величиною сила пари може бути будь-якою). Далі додамо за правилом паралелограма вектори і , отримавши силу .

Виконані перетворення призводять до наступної, еквівалентної до вихідної системи двох сил і : .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.17

При цьому сила є прикладеною у центрі приведення О, а точкою прикладання сили є точка О₁ кінця плеча h пари сил . Важливою властивістю сили є, однак, те, що вона не належить площині Е дії пари сил .

Така сукупність діючих на тіло двох сил складає систему сил, щоі схрещуються (не лежать в одній площині) і не мають рівнодійної.

На відміну від динами отримана система силових факторів включає лише дві сили , , тобто тут відсутня пара сил.

5.4.4.3. Приведення до однієї сили (рівнодійної), коли вектори і є перпендикулярними, тобто (рис. 5.18). У цьому випадку головний вектор , лежить у площині Е, яка перпендикулярна головному моменту системи, тобто в площині дії результуючої приєднаної пари сил.

Представимо момент (закреслено на рис. 5.18) у вигляді пари сил з плечем і силою .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.18

У результаті отримаємо, що сили і складають двійку сил, тобто систему сил , а вихідна система виявляється еквівалентною одній силі , яка належить площині Е, прикладена у точці О₁, що знаходиться на відстані від початкового центра приведення О. Проведені еквівалентні перетворення мають наступний вигляд:

.

Вони зводять вихідну систему сил до однієї сили (рівнодійної), яка дорівнює головному вектору системи і прикладена у новому центрі приведення О₁.

5.5 Довільна система сил у площині

Особливістю розглядуваної системи сил є приналежність ліній дій всіх сил системи площині Е (рис. 5.19,а). У цьому випадку вихідну систему сил, використовуючи теорему Пуансо, в центрі приведення О (рис. 5.19,б) можна звести взагалі до двох силових факторів: сили , яка дорівнює головному вектору , і результуючої приєднаної пари сил з моментом (показано також дуговою стрілкою на рис. 5.19,б), рівним головному моменту вихідної системи сил.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 5.19

На відміну від довільної системи сил у просторі тут: головний вектор довільної плоскої системи сил завжди належить площині Е, яка є площиною дії пари ; головний момент , тобто кут між векторами дорівнюватиме .

Відповідно до зображених на рис. 5.19,б силових факторів матимуть місце, залежно від величин головних векторів , зведеної у центрі О системи сил, такі випадки приведення довільної системи сил у площині.

5.5.1. Приведення до пари сил , коли головний вектор системи =0, а головний момент . Цей випадок за сукупністю діючих на тіло силових факторів повністю співпадає з випадком приведення довільної системи сил у просторі, розглянутомум у п. 5.4.1 і на рис. 5.8. Наприклад, для зображених на рис. 5.20,а системи двох сил отримаємо для центру приведення О (рис. 5.20,б): ; ; пл. Е; система сил .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 5.20

5.5.2. Приведення до рівнодійної у центрі О. Тут головний момент системи =0, головний вектор , а вихідна система сил зводиться тільки до однієї сили , що є рівнодійною , прикладеною у точці О. Випадок ідентичний розглянутому у п. 5.4.2 і на рис. 5.9.

Приклад приведення: (рис. 5.21,а), . У точці О буде: ; (рис. 5.21,б); рівнодійна сила прикладена у центрі приведення О; системи сил .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 5.21

5.5.3. Зрівноважена система сил: у центрі приведення О маємо =0 і =0. При цьому (див. п. 5.4.3 і рис. 5.10, 5.11) многокутники діючих на тіло сил і моментів приєднаних пар сил є замкненими і вихідна система сил еквівалентна нулю , тобто є зрівноваженою. Тут, наприклад, для системи двох сил: і (рис. 5.22,а), буде: ; (рис. 5.22,б); система сил .

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 5.22

5.5.4. У загальному випадку, зведену в центрі О до головного вектора і головного моменту вихідну систему сил можна подальшими спрощеннями звести до однієї сили, рівнодійної , яка прикладена, на відміну від п. 5.5.2 у новому центрі О₁ на відстані від точки О. Цей випадок повністю співпадає за доведенням з випадком приведення, який розглянуто стосовно довільної системи сил у просторі у п. 5.4.4.3 і на рис. 5.18. Наприклад, для зображеної на рис. 5.23,а системи трьох сил: (, , ) отримаємо у центрах приведення О, О₁: (рис. 5.23,б); ; ; (рис. 5.23,в), система сил .

а

б в

Рис. 5.23

5.6 Теорема Варіньона про момент рівнодійної

На практиці важливе використання, наприклад, при визначенні координат ваги тіла, має наступна властивість головного вектора системи сил (теорема Варіньона про момент рівнодійної).

Теорема. Якщо є точка О, в якій система діючих сил зводиться тільки до головного вектора , тобто рівнодійної , то момент цієї рівнодійної відносно будь якої іншої точки О₁ дорівнюватиме геометричній сумі моментів сил вихідної системи відносно тієї самої точки О₁.

При доведенні теореми врахуємо вираз (5.5), а також те, що за умовою в точках О і О₁ на рис. 5.24 вектор =0.

У результаті отримаємо:

в точці О

в точці

О₁ ; або

. (5.21)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.24

Рівняння (5.20) справедливе для будь-якої точки О₁ тіла в просторі чи площині.

Отже теорему доведено.

Особливості використання теореми Варіньона розглянемо на наступних прикладах.

Приклад 1. Для заданої у площині xO₁y (рис. 5.25,а) рівнодійної з точкою прикладання О визначити рівняння лінії її дії.

Розв'язання. Представимо базове рівняння (5.21) теореми Варіньона у вигляді

, (5.22)

де , - проекції головного вектора сил системи; - головний момент системи сил відносно точки О₁ .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.25

З (5.22) отримаємо рівняння прямої аа у відрізках

(5.23)

чи з кутовим коефіцієнтом

(5.24)

у площині хО₁у.

Рівняння (5.23) і (5.24) використовують на практиці в будівельній механіці при визначенні, наприклад, параметрів (величин і напрямків дії) реакцій в'язів.

Приклад 2. Визначити момент сили Н відносно точки О початку системи координат хОу (рис. 5.25, б). Точка прикладання сили має координати А (х_А=8 м, у_А=10 м), а лінія її дії складає з віссю Ох кут .

Розв'язання. Розкладемо силу на координатні складові і . Визначимо їх величини: Н, Н. За побудовою сила є рівнодійною сил і . Тому для знаходження її моменту відносно точки О використаємо теорему Варіньона:

Нм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

б

Рис. 5.25

тут знак „-” означає, що сила прагне повернути своє плече h за ходом стрілки годинника.

Примітка. Визначити момент сили відносно полюса за загальною формулою дуже складно, тому що невідомим є її плече h відносно точки О. Для його визначення спочатку необхідно скласти рівняння (5.23) або (5.24) лінії дії сили. Потім рівняння перпендикуляра з точки О на цю пряму, і далі визначити його довжину, яка і являтиме собою плече h сили відносно полюса О.

5.7 Приклади розв'язання задач приведення

Приклад 1. Для зображеної на рис. 5.26 довільної системи сил у площині визначити в центрі О головний вектор , головний момент , параметри рівнодійної вихідної системи сил та її рівняння. Початкові дані: , , координати точок прикладання сил: ; .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.26

Розв'язання. Визначимо, враховуючи рівняння (5.2) і (5.3), параметри головного вектора і головного моменту заданої системи сил стосовно центра О: , (добуток 0, тому що вектори і паралельні). Побудуємо вектори і . При побудові головного вектора використовуємо методику теореми Пуансо: сили і перенесемо в точку О паралельно самим до себе; отримані і додамо геометрично і результуючу силу визначимо як головний вектор вихідної системи сил у центрі О.

Для заданої системи сил у точці О головний момент , тому його дугову стрілку спрямуємо у бік проти ходу стрілки годинника.

Проаналізуємо отримані результати.

За величинами і , тому вихідна плоска система сил зводиться, відповідно до п. 5.5.4, до однієї рівнодійної сили .

Представимо далі момент (закреслено на рис. 5.26) у вигляді пари сил , в якій сила , а плече . За визначенням сили і складають двійку сил, тому система сил .

Отже вихідну систему сил еквівалентними системними перетвореннями

зведено до однієї сили, рівнодійної з точкою прикладання О₁ на відстані ОО₁ від полюса О в бік додатного відліку координати х. Лінією дії рівнодійної буде пряма з рівнянням , де - число.

Приклад 2. Для зображеної на рис. 5.27,а довільної системи сил у просторі визначити головний вектор , головний момент , параметри і динамічного гвинта і рівняння його осі. Початкові дані: сили 4 Н; Р₂ = 3 Н; відстань ОА = 1 м.

Розв'язання. Визначимо відповідно до теореми Пуансо головний вектор (тут ) і головний момент (рис. 5.27,б), а також їх величини і проекції: (Н); Нм; Н, Н; , , Нм; . Кут між векторами і дорівнює і задовольняє умові . Тому вихідна система сил зводиться, відповідно до п. 5.4.4.1, до динамічного гвинта. Представимо далі головний момент системи сил у полюсі О (рис. 5.27,б) як , де за побудовою. За умовою задачі та за побудовою вектори і , і належатимуть площині хОу, а Нм. Представимо (рис. 5.27,в) момент парою сил з плечем (м) і силою .

Врахуємо далі, що сили і складають двійку сил, тобто система сил , і перенесемо момент , як вільний вектор, в точку О₁ прикладання сили . У результаті вихідна система сил перетвориться у систему (рис. 5.27,г) двох силових факторів і , що складають силу і момент динами.

а б

в г

Рис. 5.27

Проведені на рис. 5.16,а,б,в еквівалентні векторні перетворення систем сил мають вигляд

Рівняння осі С₁С₂ динамічного гвинта у просторі Охуz має вигляд

. (5.25)

Відповідно до (5.25) на рис. 5.27,г вісь динамічного гвинта є перетинанням площин z = 0,64 і .

Під дією динамічного гвинта вільне тверде тіло може здійснювати тільки складний (гвинтовий рух).

Приведення системи сил до динамічного гвинта має важливе значення стосовно задач зрівноваження. Якщо, наприклад, до тіла додати ззовні силу (рівну за величиною і протилежно направлену силі ), а у перпендикулярній осі динами площині прикласти пару сил з моментом , то зрівноваження тіла буде досягнуто за умов найменшої потужності використаних зовнішніх силових факторів. Силу і момент на рис. 5.27,г не показано. Ця властивість має важливе значення особливо в космічній техніці.

6. Умови рівноваги системи сил. Окремі випадки рівноваги

На практиці розв'язання задач про рівновагу невільного твердого тіла дозволяє визначити невідомі зовнішні сили та реакції в'язей.

Згідно з аксіомою статики про звільнення твердого тіла від в'язей тіло перебуває у стані спокою, тобто рівновазі, коли система прикладених до нього сил (в тому числі реакцій в'язів) еквівалентна нулю , тобто зрівноважена.

6.1 Рівновага довільної системи сил у просторі

Відповідно до теореми Пуансо (п. 5.4.3) умови перебування твердого тіла в рівновазі формулюються наступним чином: для рівноваги довільної системи сил у просторі необхідно і достатньо, щоб одночасно головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю:

; , (6.1)

де О - будь-яка точка приведення у просторі, тому що при величина головного моменту від вибору центра О не залежить. Це геометричні (векторні) умови рівноваги.

Умови (6.1) є необхідними, бо якщо одна з них не буде виконуватись, то система діючих на тіло сил зведеться або до пари сил з моментом (п. 5.4.1), або до рівнодійної (п. 5.4.2), тобто не буде зрівноваженою.

Одночасно умови (6.1) є і достатніми, тому що, наприклад, при , система відповідно до п. 5.4.1. зводиться до пари сил з моментом , рівним головному моменту . Але завдяки умовам (6.1) одночасно виконується і рівність = 0, тому рівновага тіла забезпечується безумовно.

Однак, на практиці широко використовується інша форма умов рівноваги (аналітична чи алгебраїчна форма), суть якої полягає в наступному: якщо при рівновазі системи діючих на тіло сил головний вектор і головний момент системи дорівнюють нулю, то і їх проекції на координатні осі також дорівнюватимуть нулю:

(6.2)

де ) - проекції радіуса-вектора точки прикладання k-ої сили на осі системи координат.

При цьому перші три рівняння складають умови відсутності поступального руху тіла в напрямку осей , а останні рівняння - відсутності його обертального руху навколо перелічених осей.

У загальному випадку при розв'язанні задачі на рівновагу конкретного твердого тіла з шести рівнянь (6.2) можна визначити шість невідомих величин реакцій в'язів, наприклад, у задачах прикладної механіки при визначенні геометричних і механічних характеристик опорних стержнів, підшипників, підп'ятників та ін.

6.2 Окремі випадки рівноваги системи сил

6.2.1 Рівновага довільної системи паралельних сил у просторі

У випадку, коли всі сили паралельні між собою (система паралельних сил), осі системи координат доцільно вибрати так, щоб одна з осей (наприклад вісь ) була паралельна силам (рис. 6.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6.1

Тоді перші дві і остання умови (6.2) будуть виконуватись як тотожності, що дає наступні (три) умови рівноваги:

; ; . (6.3)

Отже, відповідно до (6.3), для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій сил на вісь, паралельну силам, і суми моментів цих сил відносно двох інших координатних осей дорівнювали нулю.

6.2.2 Умови рівноваги довільної плоскої системи сил

Як відомо (п. 5.5), довільна система сил у площині в загальному випадку зводиться у центрі О до сили , яка дорівнює головному вектору системи, і пари сил з моментом , який дорівнює головному моменту системи. При цьому головний вектор належить площині дії пари , що співпадає з площиною дії сил системи.

Для даної системи сил існують три окремі випадки рівноваги.

Перша (основна) форма умов рівноваги. Припустимо, що площина дії системи сил співпадає з координатною площиною (рис. 6.2) системи координат .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6.2

Проекції сил системи, а також радіусів-векторів точок їх прикладання на вісь в даному випадку дорівнюють нулю. Тому система умов рівноваги (6.2) перетворюється в наступну:

; ; . (6.4)

Система (6.4) аналітичних (алгебраїчних) умов рівноваги твердого тіла формулюється таким чином: для рівноваги довільної системи сил у площині необхідно і достатньо, щоб суми проекцій усіх сил на кожну з координатних осей Ox i Oy і алгебраїчна сума їх моментів відносно осі (або довільного центра О в площині дії сил системи), дорівнювали нулю.

Друга форма умов рівноваги. У даному випадку умови рівноваги формулюються так: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів сил відносно будь-яких двох точок у площині дії сил

і сума проекцій цих сил на вісь, яка не перпендикулярна до прямої, що проходить через обрані точки, дорівнювали нулю. Для площини Е дії сил системи, точок В, С на ній і осі Ox (рис. 6.3) буде:

; ; , (6.5)

де - проекція головного вектора системи сил у точці В на вісь Ох.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6.3

Необхідність цих умов очевидна, бо якщо будь-яка з умов не буде виконуватися, то або в точці В головний вектор системи 0, або головний момент 0 (чи ) і тоді рівноваги тіла не відбувається.

Достатність умов (6.5) доведемо наступним чином. Якщо виконуються тільки перші з двох умов (6.5), тобто і , то така система сил може мати лише рівнодійну (рис. 6.3), лінія дії якої проходить через точки В і С.

Оскільки вісь Ox проходить під кутом до відрізка ВС, то остання умова (6.5) може бути виконана тільки коли , тобто коли . Це призводить до одночасного виконання всіх умов (6.5), що забезпечують рівновагу тіла безумовно.

Третя форма умов рівноваги. Ця форма умов рівноваги формулюється таким чином: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів усіх сил відносно будь-яких трьох точок, наприклад В,С,D, що не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю (рис. 6.4):

; ; , (6.6)

де В,С,D - точки приведення системи сил.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6.4

Необхідність цих умов, враховуючи (5.11), очевидна, бо при одночасному виконанні, наприклад двох перших умов, головний момент системи при може дорівнювати нулю у третій точці D тільки коли головний вектор системи сил дорівнює нулю. Тому при одночасному виконанні умов (6.6) виконуються умови (6.1) рівноваги тіла і воно буде у рівновазі.

Достатність умов (6.6) випливає з того, що при їх виконанні система сил не знаходилася б у рівновазі тільки у випадку, коли її відмінна від нуля рівнодійна проходила одночасно через всі три точки BCD площини Е, що неможливо за визначенням.

6.3 Приклади розв'язання задач рівноваги

Приклад 1. Рівновага довільної системи сил у площині.

Початкова схема конструкції наведена на рис. 6.5,а. Тут на балку із защемленим кінцем А на відрізку CD діє рівномірно розподілене навантаження 0,8 кН/м, в точці В - сила 2 кН під кутом 45⁰. Крім того, до балки прикладена пара сил з моментом 1,2 кНм. Необхідно визначити реакції защемлення при дії на балку заданої системи зовнішніх силових факторів. Розміри балки в метрах вказані на рисунку.

Розв'язання.

Розрахункова схема наведена на рис. 6.5,б. При її побудові використано принцип звільнення від в'язів, розподілене навантаження замінено зосередженою силою кН, а сила - координатними складовими , з величинами

кН,

кН.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а, б

Рис. 6.5

Відповідно до рис. 6.5,б, балка як вільне тверде тіло, перебуває в рівновазі під дією заданих сил , пари сил з моментом і реакції защемлення у вигляді силових складових та пари сил з моментом .

Складемо рівняння рівноваги балки, використавши першу форму умов рівноваги довільної плоскої системи сил:

; ;

; ;

; .

З отриманих трьох рівнянь можна визначити три невідомі реакції:

з першого рівняння

(кН);

з другого рівняння

(кН);

з третього рівняння

(кНм).

Знак (-) отриманої реакції показує, що в дійсності вона направлена на розрахунковій схемі у протилежний бік.

Для перевірки одержаних величин реакцій в'язів складемо рівняння моментів сил відносно точки Е, що знаходиться на відстані 1 м від точки В і від балки (рис.6.5, б).

Перевірка.

.

Приклад 2. Рівновага довільної системи сил у просторі.

Початкова схема конструкції (рис. 6.6) складається з вертикального вала АВС вагою кН, який розташований у підп'ятнику А і підшипнику В. На валу жорстко закріплено два шківи радіусами см і см, до яких прикладені колові зусилля . Необхідно визначити реакції підп'ятника А, підшипника В і величину колового зусилля , які забезпечують рівновагу вала при наступних геометричних і кутових параметрах вала і навантаженнях: см; см; , вектори осі ; кН; кН.

Розв'язання.

Розрахункову схему будуємо на схемі конструкції, зображеної на рис. 6.6, додавши до неї реакції в'язів: підп'ятника і підшипника , а також розклавши силу на координатні складові .

Рис. 6.6

Складемо рівняння рівноваги конструкції, використавши аналітичну форму рівноваги довільної просторової системи сил:

статика сила вага рівновага

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

З отриманих шести рівнянь рівноваги визначимо, враховуючи, що кН, кН, шість невідомих реакцій:

з шостого рівняння

(кН);

з п'ятого

(кН);

з третього (кН); з другого (кН);

з першого (кН).

Для перевірки одержаних величин реакцій в'язів складемо рівняння моментів сил відносно осей системи координат , осі якої є паралельними осям початкової системи координат :

;

.

На практиці отримані реакції защемлення (приклад 1), підп'ятника і підшипника (приклад 2) використовують при визначенні геометричних і механічних параметрів розглядуваних в'язів на етапі їх конструювання.

6.4 Методика розв'язання задач на рівновагу системи тіл

Якщо конструкція складається з кількох твердих тіл, з'єднаних між собою за допомогою в'язів (складена конструкція), то можна розв'язати задачу одним з двох способів:

1) розглянути рівновагу всієї конструкції і додатково рівновагу одного або кількох окремих твердих тіл, що складають конструкцію;

2) початкову конструкцію відразу розчленити на окремі тверді тіла і розглянути рівновагу кожного з них окремо.

Приклад 1. Два невагомих стержні АDС i BC зєднані між собою шарніром С і закріплені нерухомими шарнірами А і В. На конструкцію діють сили Р₁=10 кН, Р₂=20 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 4 кН/м і пара сил з моментом М=50 кНм. Розміри задані на вихідній схемі (рис. 6.7). Треба визначити реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції.

Розвязання. При розвязанні задачі першим способом будемо розглядати рівновагу всієї складеної конструкції, а також стержня СВ окремо. Побудуємо розрахункову схему: відкинимо опори і замінимо їх реакціями , замінимо розподілене навантаження зосередженою силою Q=3q, прикладеною в середину ділянки AD, побудуємо осі координат.

y Р1 M D C 1м q Р2 2м 3м 30о А В 5м

Рис. 6.7

при цьому шарнір С вважатимемо нерухомим (закреслено на рис. 6.8), використавши аксіому 5 затвердіння.

Визначимо величини сил і :

Q = 3q = 34 = 12 кН,

Р_2х=Рsin 30^o, P_2y=Pcos 30^o.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.6.8

Складемо рівняння рівноваги нерозчленованої конструкції:

Далі розчленимо конструкцію на складові елементи і розглянемо окремо стержень ВС. Дію відкинутої конструкції ADC замінимо реакціями у шарнірі С.

примітка. Напрямки осей координат на обох розрахункових схемах (рис.6.8, рис.6.9) повинні співпадати.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6.9

Складемо рівняння рівноваги стержня ВС:

відповідно до розглянутих на рис. 6.8 і рис. 6.9 розрахункових схем ми маємо шість невідомих реакцій опор та реакції у шарнірі С. Визначимо їх із складених шести рівнянь рівноваги.

Із третього рівняння знаходимо

з другого рівняння отримаємо