Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебное пособие

ГИДРАВЛИКА

М.Я. Кордон, В.И. Симакин, И.Д. Горешник

Пенза 2005



СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

1.1 Модель сплошной среды

1.2 Плотность жидкости

1.3 Сжимаемость капельной жидкости

1.4 Температурное расширение капельных жидкостей

1.5 Вязкость жидкости

1.6 Испаряемость жидкости

1.7 Растворимость газов в жидкостях

2. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

2.1 Основные сведения

2.2 Гидростатическое давление

2.3 Основная теорема гидростатики

2.4 Условие равновесия жидкости

2.5 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Уравнение Эйлера)

2.6 Основное дифференциальное уравнение гидростатики

2.7 Поверхность уровня

2.8 Равновесие жидкости в поле земного тяготения

2.9 Основное уравнение равновесия жидкости в поле земного тяготения. Закон Паскаля

2.10 Относительное равновесие жидкости в поле сил тяготения

2.11 Приборы для измерения давления

2.12 Равновесие тела в покоящейся жидкости

3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

3.1 Основные понятия и определения кинематики и динамики жидкости

3.2 Гидравлические элементы потока

3.3 Геометрические характеристики потока

3.4 Трубка тока и элементарная струйка

3.5 Расход и средняя скорость потока

3.6 Условие неразрывности или сплошности движения жидкости

3.7 Методы исследования движения жидкости

3.8 Уравнение Эйлера

3.9 Интегрирование уравнения Эйлера для установившегося движения жидкости

3.10 Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

3.11 Практическое применение уравнение Бернулли

3.12 Гидравлические сопротивления. Режимы движения жидкости

3.13 Потери напора при равномерном движении

3.14 Способы определения потерь напора при равномерном движении жидкости

3.15 Местные гидравлические сопротивления

4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ИСТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

4.1 Общая характеристика истечения

4.2 Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке

4.3 Истечение при переменном напоре

4.4 Истечение жидкости через насадки

4.5 Зависимость коэффициентов истечения от числа Рейнольдса

4.6 Вакуум в цилиндрическом насадке

4.7 Практическое применение насадков

5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ

5.1 Физическая сущность гидравлического удара

5.2 Определение ударного давления и скорости распространения ударной волны

5.3 Способы гашения и примеры использования гидравлического удара

6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

6.1 Классификация трубопроводов

6.2 Система уравнений и задачи гидравлического расчета трубопроводов

6.3 Методы расчета простых трубопроводов

6.4 Методы расчета сложных трубопроводов

7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

7.1 Основные положения

7.2 Законы механического подобия

7.2.1 Геометрическое подобие

7.2.2 Кинематическое подобие

7.2.3 Динамическое подобие

7.3 Гидродинамические критерии подобия

7.4 Физическое моделирование

7.5 Анализ размерностей. -теорема

8. ОСНОВЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД И ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ

8.1 Движение грунтовых вод. Основные понятия движения грунтовых вод

8.2 Скорость фильтрации. Формула Дарси

8.3 Коэффициент фильтрации и методы его определения

8.4 Ламинарная и турбулентная фильтрация

8.5 Основное уравнение неравномерного движения грунтовых вод

8.6 Фильтрация через однородную земляную среду

8.7 Особенности гидравлики двухфазных потоков

8.7.1 Виды течений двухфазных потоков жидкости и газа

8.7.2 Основные определения

8.7.3 Истинное объемное паросодержание адиабатных двухфазных потоков

8.7.4 Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков

8.7.5 Критические истечения двухфазных систем

8.8 Движение одиночных капель и пузырьков

8.8.1 Методы подобия и размерностей

8.8.2 Скорость движения капли и пузырька при Re<

8.8.3 Скорость всплытия газового пузырька в жидкости

8.8.4 Особенности движения капель в газовых потоках

8.8.5 Схлопывание (расширение) полости в жидкости. Уравнение Релея

8.8.6 Применимость уравнений

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК



ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие подготовлено на основе опыта многолетнего преподавания курса «Гидравлика».

При изложении материала учтены такие предпосылки, как логическая связь с другими дисциплинами специальности 330200; фундаментальность представления теоретических вопросов; практическая направленность рассматриваемых вопросов; использование математического аппарата в объеме, не превышающем доступности восприятия теоретического материала. гидростатика кинематика динамика

Учебный материал подготовлен в соответствии с рабочей программой и охватывает следующие разделы: основные физические свойства жидкостей; основы гидростатики; основы кинематики и динамики жидкости; гидравлический удар в трубах; основы теории подобия, моделирования и анализа размерностей; основы движения грунтовых вод и двухфазных потоков.

В каждом разделе рассмотрены примеры практического применения расчетных формул и зависимостей в виде примеров задач и различных инженерных решений.

Представлен также перечень контрольных вопросов для самостоятельного изучения материала.

Курс «Гидравлика» является одной из основополагающих дисциплин при подготовке инженеров, работающих в области защиты окружающей природной среды.

Теоретический материал сопровождается иллюстрациями в виде рисунков, графиков, блок-схем и таблиц в объеме, требующем пояснения качественной или количественной связи параметров технологических процессов или физических явлений.

Авторы учебного пособия учли ценные замечания рецензентов и выражают им свою признательность.

1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

1.1 Модель сплошной среды

Жидкостью называется сплошная среда, обладающая способностью легко изменять свою форму под действием внешних сил.

Понятие «жидкость» определяется в зависимости от назначения такого определения.

В физике жидкость трактуется как физическое тело, обладающее свойством текучести.

Легкотекучесть частиц жидкости обусловлена неспособностью ее воспринимать касательные напряжения в состоянии покоя.

По своим механическим свойствам жидкости разделяют на два класса:

1. Малосжимаемые (капельные).

2. Сжимаемые (газообразные).

В механике жидкости и газа законы, справедливые для капельных жидкостей, применимы и к газам, когда сжимаемостью газа можно пренебречь.

Для удобства введены термины «капельная жидкость» (малосжимаемая), «сжимаемая жидкость» (газ) и «жидкость» (охватывающая как капельную жидкость, так и газ).

Таким образом, под жидкостью в механике жидкости и газа подразумевается всякая среда, обладающая текучестью.

При изучении законов равновесия и движения жидкости в прикладной механике жидкостей и газов движение молекул не изучается и жидкость рассматривается в виде сплошной среды, способной деформироваться под действием внешних сил.

Жидкость как всякое физическое тело имеет молекулярное строение.

Расстояние между молекулами во много раз превосходит размеры самих молекул и соответствует от 10^-7 до 10^-8 см, а длина свободного пробега молекул газа при атмосферном давлении равна 10^-5 см.

Поэтому жидкости и газы воспринимаются как сплошные среды, имея прерывистую структуру. Это обстоятельство позволяет ввести гипотезу сплошности, то есть применить модель, обладающую свойством непрерывности. Гипотеза о непрерывности или сплошности среды упрощает исследование, так как позволяет рассматривать механические харак-теристики жидкой среды (скорость, плотность, давление и т.д.) как функции координат точки в пространстве и во времени. Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объеме непрерывно и в общем неравномерно.

1.2 Плотность жидкости

Основной динамической характеристикой среды является плотность распределения массы по объему или просто плотность среды, которая в произвольной точке А определяется соотношением:

, (1.1)

где M -	масса, заключенная в малом объеме W, включая точку А.

Размерность плотности

[]=,



где M -	размерность массы;
L -	размерность длины.

Единицами измерения плотности являются кг/м³ в системе СИ и кгсc²/м⁴ в технической системе.

Наряду с плотностью в технических расчетах применяется удельный вес.

Вес жидкости G, приходящийся на единицу объема W, называется удельным весом:

. (1.2)

Размерность удельного веса .

Единица измерения удельного веса в системе СИ Н/м³.

Удельный вес - векторная величина. Он не является параметром вещества, его значение зависит от ускорения свободного падения в пункте определения.

Удельный вес и плотность жидкости связаны следующим соотно-шением:

, (1.3)

где g-	ускорение свободного падения, принимаемое обычно рав-ным 9,81 м/с2.

Наряду с удельным весом в расчетах используется относительный удельный вес :



, (1.4)

где ж -	удельный вес жидкости;
в -	удельный вес воды при t = 4 С, равный 9810 Н/м3 (1000 кгс/м3).

Так, для пресной воды при температуре 4 С _В = 1. Плотность и удельный вес жидкостей зависят от давления и температуры.

1.3. Сжимаемость капельной жидкости

Под действием давления сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объемного сжатия _V, , представляющим собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления:

, (1.5)

где W -	первоначальный объем жидкости;
dW -	изменение этого объема при изменении давления на величину dp.

Знак “минус” в формуле (1.5) обусловлен тем, что положительному приращению давления p соответствует отрицательное приращение объема W.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкости E_ж, Па:

. (1.6)



Плотность капельной жидкости мало изменяется при изменении давления. Это вытекает из зависимости

. (1.7)

Так, для воды среднее значение _V = 510^-6 см²/Н = 510^-7 , а Е_ж = 210⁶ кПа.

Например, при повышении давления на 9,8110⁴ Па

.

Во многих случаях инженерных расчётов сжимаемостью воды можно пренебречь, считая удельный вес и плотность её не зави-сящей от давления.

1.4 Температурное расширение капельных жидкостей

Температурное расширение капельных жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения , C^-1:

, (1.8)

где dW -	изменение этого объема при повышении температуры на величину dt.

При температуре от 10 до 20 С и давлении 10⁵ Па можно приближённо принимать С^-1.

Если приближённо считать, что плотность не зависит от давления, а определяется только температурой, то, с учётом выражения для плотности и формулы (1.8), получим

, (1.9)

где t0 -	температура жидкости при нормальных условиях.

Зависимость плотности от температуры широко используется для создания естественной циркуляции в отопительных системах, для удаления продуктов сгорания и т.д.

1.5 Вязкость жидкости

Вязкостью называется стремление жидкостей к сдвигу. Если к пластине (рис. 1.1) приложить силу F, то после некоторого интервала времени установится равномерное движение с некоторой скоростью U₀.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1

За время разгона возникла сила вязкости F = -F. Причем, вследствие межмолекулярных связей, слой жидкости, прилегающей к пластине, движется вместе с пластиной со скоростью U₀. Предположим, что распределение скоростей по высоте носит линейный характер: U = f(z), тогда



, (1.9а)

где -	динамический коэффициент вязкости;
S -	площадь соприкасающихся слоев;
-	градиент скорости (показатель интенсивности ее изменения по нормали). Знак (+) или (-) выбирают в зависимости от знака градиента скорости и направления силы F.

Между слоями жидкости, движущимися со скоростями, отличающимися друг от друга на величину dU, возникает касательное напряжение :

. (1.10)

Размерность [] = .

Единица измерения .

Отношение динамической вязкости к плотности называется кинематической вязкостью жидкости:

. (1.11)

Размерность .

Единица измерения .



Связь кинематической и динамической вязкости с плотностью и температурой воды находится из выражений (1.9) и (1.11):

. (1.12)

Так, для чистой пресной воды зависимость динамической вязкости от температуры определяется по формуле Пуазейля:

. (1.13)

Решая совместно уравнения (1.12) и (1.13), получим:

. (1.14)

На практике вязкость жидкостей определяется вискозиметрами, из которых наиболее широкое распространение получил вискозиметр Энглера.

Для перехода от условий вязкости в градусах Энглера к кинематической вязкости в м²/с применяется несколько эмпирических формул, например формула Убеллоде:

, (1.15)

а также теоретическая формула А.Д. Альтшуля:



, (1.16)

где -	кинематическая вязкость жидкости, см2/с.

Кроме обычных (ньютоновских) жидкостей, характеризующихся зависимостью (1.10), существуют аномальные жидкости, к которым относятся коллоидные растворы, смазочные масла, нефтепродукты.

Для таких жидкостей закон внутреннего трения выражается в виде

, (1.17)

где 0 -	касательное напряжение в покоящейся жидкости, после преодоления которой жидкость приходит в движение.

1.6 Испаряемость жидкости

Показателем испаряемости является температура ее кипения при нормальном атмосферном давлении.

Чем выше температура кипения, тем меньше испаряемость.

Более полной характеристикой испаряемости является давление (упругость) насыщенных паров p_н, выраженная в функции температуры.

Чем больше давление насыщенных паров при данной температуре, тем больше испаряемость жидкости.

Для многокомпонентных жидкостей (например, для бензина и др.) давление р_н зависит не только от физико-химических свойств и температуры, но и от соотношения объемов жидкой и паровой фаз.

Давление насыщенных паров возрастает с увеличением части объема жидкой фазы.

Значения упругости паров для таких жидкостей даются для отношения паровой и жидкой фаз, равного 1:4.

1.7 Растворяемость газов в жидкостях

Для различных жидкостей растворимость газов различна и изменяется с увеличением давления.

Относительный объем газа, растворенный в жидкости до ее полного насыщения, можно считать прямо пропорциональным давлению:

, (1.18)

где Wг -	объем растворенного газа при нормальных условиях;
Wж -	объем жидкости;
р1 и р2 -	начальное и конечное давления газа;
k -	коэффициент растворимости.

Коэффициент растворимости воздуха k имеет следующие значения при t = 20 С:

- для воды k = 0,016;

- для керосина k = 0,127;

- для трансформаторного масла k = 0,083;

- для индустриального масла k = 0,076.

При понижении давления в жидкости происходит выделение растворенного в ней газа, причем газ выделяется из жидкости интенсивнее, чем растворяется в ней.

Примеры

Пример 1. При гидравлическом испытании трубопровода диаметром d = 200 мм и длиной 250 м давление в трубе было повышено до 3 МПа. Через час давление снизилось до 2 МПа. Сколько воды вытекло через неплотности?

Решение:

1. Определим объем воды в трубопроводе:

м³.

2. Найдем изменение давления за время испытания:

МПа.

3. Принимая коэффициент объемного сжатия воды _V = 510^-7 , находим количество воды, вытекающей через неплотности, по формуле

л.

Пример 2. Сколько кубометров воды будет выходить из котла, если в течение часа в отопительный котел поступило 50 м³ воды при температуре 70 С, а затем температура воды повысилась до 90 С.

Решение:

1. Принимая коэффициент температурного расширения

_t = 0,00064 , находим увеличение расхода воды:

м³/ч.

2. Расход воды из котла при t = 90 C:

м³/ч.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные физические свойства жидкостей.

2. Что подразумевается под жидкостью в механике жидкости и газа?

3. Что подразумевается под сплошностью среды?

4. Какая связь существует между плотностью и удельным весом жидкостей?

5. Какова размерность плотности и удельного веса?

6. В каких единицах измеряется плотность и удельный вес в системе СИ?

7. Что такое относительный удельный вес?

8. Что такое коэффициент объемного сжатия жидкости? Какова его размерность?

9. Какая связь коэффициента объемного сжатия с модулем объемной упругости? Какова его размерность?

10. Что такое коэффициент температурного расширения? Какова его размерность?

11. Какая связь коэффициента температурного расширения с плотностью жидкости?

12. Что называется вязкостью жидкости?

13. Что такое коэффициент динамической вязкости? Какова его размерность?

14. Какая связь существует между коэффициентами динамической и кинематической вязкости?

15. В каких единицах измеряется динамическая и кинематическая вязкость в системе СИ?

16. Какая связь существует между кинематической и динамической вязкостью с плотностью и температурой воды?

17. Какими приборами измеряется вязкость?

18. Какие жидкости относятся к аномальным?

19. В чем отличие аномальных жидкостей от ньютоновских?

20. Что характеризует испаряемость жидкости?

21. От чего зависит растворимость газов в жидкости?

22. Что такое коэффициент растворимости?

23. При каких условиях происходит выделение газа из жидкости?

24. Какой закон из механики твердого тела аналогичен выражению ?



2. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

2.1 Основные сведения

Гидростатика является разделом прикладной механики жидкости и газа, в котором изучаются законы равновесия жидкости.

Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему (массе) или по поверхности. Поэтому внешние силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости, разделяют на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или (для однородных жидкостей) его объему.

К ним относятся сила тяжести и силы инерции переносного движения, действующие на жидкость при относительном ее покое в ускоренно движущихся сосудах или при относительном движении жидкости в руслах.

К числу массовых сил относятся силы, вводимые при составлении уравнений движения жидкости по принципу Д'Аламбера-Логранжа Сущность принципа виртуальных (возможных) перемещений : для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на нее активных сил при любом виртуальном перемещении системы была равна нулю..

Поверхностные силы проявляются на граничных поверхностях рассматриваемого жидкого тела.

Поверхностную силу, действующую нормально к какой-либо площадке, называют силой давления.

Поверхностная сила, действующая по касательной к площадке, является силой сопротивления.

Сила сопротивления проявляется только при движении жидкости, а сила давления - как при движении, так и при покое жидкости.

2.2 Гидростатическое давление

Рассмотрим произвольный объем жидкости W (рис. 2.1), находящейся в равновесии под действием внешних сил P и ограниченной поверхностью S.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1

Проведем секущую плоскость а-а, делящую объем W на две части 1 и 2. Отбросим часть 1 и заменим распределенными по площади силами р_i, одна из которых р приходится на долю площади .

Напряжение сжатия _с, возникающее при этом, определяется как частное от деления силыр на площадь :

. (2.1)

Напряжение _с принято называть средним гидростатическим давлением; предел отношения при 0 называется гидростатическим давлением в точке:

. (2.2)

Размерность давления [р] = [] = .

Единица измерения давления Па. Это давление, вызываемое силой в 1Н, равномерно распределено по поверхности площадью в 1м² (1 Па = 1 ).

Так как эта единица очень мала, то на практике давление измеряют в килопаскалях (1 кПа = 10³ Па) или мегапаскалях (1 МПа = 10⁶ Па).

2.3 Основная теорема гидростатики

Гидростатическое давление в данной точке не зависит от направления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

Докажем, что р_х = р_у = р_z = р_n, где р_х, р_y, р_z, р_n - представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении координатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном направлении N-N (рис. 2.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, соответст-венно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

гдеее -	плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра - в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

(2.3)

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения моментов такой системы удовлетворяются тождественно, а действующие на него силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

Таким образом, остается только три проекции сил:

(2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВС действует сила

, (2.5)

где рх -	среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сторону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z, действующие на грани ABD и ACD, соответственно параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны нулю.

Четвертая сила dP_n - сила давления на грань ВСD равна:

, (2.6)

где рn -	среднее гидростатическое давление для грани BCD;
d -	площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

. (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.

Произведение dcos(N,ox) представляет собой проекцию площади треугольника BCD на плоскость уoz и равно:

. (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна:

. (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:



(2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к равнодействующей dR, образующей с координатными осями углы , , и равной:

, (2.11)

где dm -	масса тетраэдра, равная:

,

где -	плотность жидкости;
dxdydz -	объем тетраэдра;
j -	ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:



(2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):

. (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно p_x и p_n, получаем p_x - p_n = 0 или p_x = p_n.

Аналогично p_y = p_n и p_z = p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n. (2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому направлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направления действия.

2.4 Условие равновесия жидкости

Жидкость может сохранять свое равновесное состояние в том случае, если внешние силы, действующие в точках граничной поверхности, направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности.

Очевидно, что действие силы давления по внешней нормали приводит к нарушению равновесия, т.к. жидкость не оказывает сопротивления растягивающим силам.

Касательные силы возникают при движении жидкости, поэтому при равновесии жидкости, находящейся в покое, они равны нулю.

Следствие. Так как гидростатическое давление одинаково по всем направлениям в данной точке, а в различных точках данного объема жидкости в общем случае различно, то

(2.15)

В общем случае, когда изменяется атмосферное давление во времени:

. (2.16)

2.5 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Уравнение Эйлера)

Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDABCD (рис. 2.3).

Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекций действующих сил:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.3

= 0; = 0; = 0.

Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции сил на ось ox, т.е. уравнение = 0.

Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (по числу граней).

В уравнение = 0 войдут только две силы: dP и dP.

Сила давления на грань ABCD

где р -	среднее гидростатическое давление на грань ABCD.

Сила давления на грань ABCD

,

где р -	среднее гидростатическое давление на грань ABCD (р р).

Определим р. Так как p = f(x,y,z), то при переходе от одной грани к другой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты, так как в сходственных точках (A и A, B и B и т.д.) давление зависит только от изменения одного аргумента x. Аргументы y и z для сходственных точек (А и А) остаются неизменными. Следовательно

.

Тогда

.

Сила dP войдет в уравнение проекции со знаком «минус».

Проекции объемных сил.

Проекция объемной силы dR равна произведению массы на соответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е.

,

где -	плотность жидкости;
dx, dy, dz -	объем выделенного элемента;
X -	проекция ускорения силы dR на ось Ох.

Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна:

. (2.17)

После некоторого преобразования и деления на dxdydz (объем параллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох, отнесенных к единице объема:

. (2.18)

Аналогично получим два других уравнения: = 0; = 0.

Таким образом, при равновесии жидкости имеем три дифферен-циальных уравнения:

(2.19)

Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.

Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.

2.6 Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Умножая первое уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz, после суммирования получаем:

, (2.20)

где dx, dy, dz -	дифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.

Так как гидростатическое давление р является функцией только координат, т.е. независимых переменных x, y, z, то первый трехчлен уравнения (2.20) как сумма всех трех частных дифференциалов представляет собой полный дифференциал.

Следовательно,

. (2.21)

Это уравнение является основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Так как dp есть полный дифференциал, то для однородной жидкости (при = const) и трехчлен (Xdx + Ydy + Zdz) - тоже полный дифференциал некоторой функции U(x,y,z).

Следовательно,

. (2.22)

Частные производные функции U(x, y, z) взятые по x, y, z равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

(2.23)

Рассматривая X, Y, Z не как проекции ускорения, а как проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, назовем функцию U = f(x, y, z) потенциальной, или силовой функцией, а силы, удовлетворяющие условию (2.23), - имеющие потенциал.

Из теоретической механики известно, что силовая функция равна потенциалу сил, взятому с обратным знаком, т.е.

.

Из вышеизложенного следует, что равновесие жидкости возмож-но только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

Уравнение (2.21) содержит две неизвестные величины p и .

Связь р, с температурой Т может быть выражена характеристическим уравнением.

Так для газов

. (2.24)

Для несжимаемой жидкости характеристическое уравнение имеет вид:

.

В этом случае плотность можно считать известной, тогда уравнение (2.24) не требуется.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение гидростатики как научной части дисциплины «Прикладная МЖГ».

2. Перечислите силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости.

3. Дайте определение гидростатического давления.

4. Какова размерность давления?

5. В каких единицах измеряется давление?

6. Сформулируйте основную теорему гидростатики.

7. Сформулируйте основное условие равновесия жидкости.

8. Раскройте физический смысл проекций X, Y, Z.

9. Раскройте физический смысл потенциала сил.



2.7 Поверхность уровня

Поверхность, точки которой имеют одинаковые значения данной функции, называется поверхностью уровня. К поверхности равного уровня относятся:

- поверхности равного давления;

- изотермические поверхности (поверхности равной температуры);

- поверхности равной плотности и т.д.

В гидравлике рассматриваются поверхности равного давления.

Принимая p = const (dp = 0) в основном уравнении гидростатики (2.21), c учетом того, что для жидкости 0, получим:

. (2.25)

Уравнение (2.25) является дифференциальным уравнением поверхности уровня (здесь X,Y,Z являются функциями координат).

Поверхности уровня обладают следующими свойствами:

Первое свойство поверхности уровня заключается в том, что две различные поверхности уровня не пересекаются между собой.

Докажем это от обратного.

Допустим, что поверхности уровня пересекаются. Тогда во всех точках линии пересечения этих поверхностей давление одновременно должно быть равно р₁ и р₂, что противоречит основной теореме гидростатики, в которой доказывается, что гидростатическое давление р одинаково по всем направлениям.

Следовательно, две различные поверхности уровня не пересекаются.

Второе свойство - внешние массовые (объемные силы) направлены по нормали к поверхности уровня

Известно, что уравнение работы dA силы R на пути ds имеет вид:



,

где Rx, Ry и Rz -	проекции силы по координатным осям Ox, Oy и Oz.

Но

,

где dm -	элементарная масса;
X, Y, Z -	проекции ускорения силы R по тем же координатным осям.

Тогда

.

Но для поверхности уровня

.

Поэтому работа силы R (внешней объемной силы) равна нулю.

Следовательно, для поверхности уровня

,

где = (R,S).

Это возможно лишь при cos = 0, т.е. внешняя сила должна быть нормальна к поверхности уровня, ( = 90).



2.8 Равновесие жидкости в поле земного тяготения

В качестве объемной силы в поле земного тяготения выступает сила тяжести.

Полное ускорения объемных сил равно ускорению свободного падения: g = 9,81 м/c².

В выбранной системе координат проекции единичной объемной силы на оси Ox, Oy и Oz будут следующими:

.

Знак «минус» в ускорении свободного падения соответствует направлению силы тяжести в отрицательную сторону оси Oz.

Подставляя значения X, Y, Z в уравнение поверхности уровня (2.25), получим

(2.26)

и следовательно,

, (2.27)

где с -	произвольная постоянная.

Уравнение (3.3) является уравнением семейства горизонтальных плоскостей.

Таким образом, поверхностью уровня (поверхность равного давления) в однородной покоящейся жидкости будет любая горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей

Так, давление в точке А равно давлению в точке В, так как обе точки лежат на одной и той же поверхности уровня (поверхности равного давления).

2.9 Основное уравнение равновесия жидкости в поле земного тяготения. Закон Паскаля

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (2.21):

.

Учитывая, что при действии силы тяжести на выделенный объем жидкости X = 0; Y = 0; Z = -g, получим

(2.28)

или

.

Принимая = const для несжимаемой жидкости, после интегрирования получим

. (2.29)



Постоянную интегрирования найдем из граничных условий. Для свободной поверхности жидкости (рис. 2.6) имеем:

.

где р0 -	давление на свободной поверхности жидкости, обычно р0 = ратм.

Следовательно

. (2.30)

Решая совместно уравнения (2.29) и (2.30), получаем

. (2.31)

Уравнение (2.31) называется основным уравнением равновесия жидкости в поле тяготения.

Обычно уравнение (2.31) записывается в форме

. (2.32)

В уравнении (2.31) g представляет собой силу, с которой поле земного тяготения действует на массу жидкости в объеме 1 м³, т.е. представляет собой вес, отнесенный к единице объема.

Слагаемые уравнения (2.31) выражены в единицах длины.

Так, z и z₀ представляют собой высоту расположения точек над координатной плоскостью (yOx).

Другие составляющие уравнения (2.31) по своему физическому смыслу отличаются от высот z и z₀, так как они зависят от р (при

= const) и называются высотами гидростатического давления.

Величина Н = z + постоянная для всех частиц жидкости, т.к. является координатой некоторой горизонтальной плоскости (xOy). Она расположена выше плоскости свободной поверхности жидкости на величину h:

. (2.33)

Из уравнения (2.31) получим:

. (2.34)

Величина h представляет собой глубину погружения данной точки под уровень свободной поверхности жидкости (см. рис. 2.6).

Разность давлений р - р₀ представляет собой избыточное давление р_изб:.

, (2.35)

где р -	полное или абсолютное давление;
р0 -	давление на свободной поверхности жидкости:

.

Соотношение между указанными выше давлениями можно представить в виде схемы

Абсолютное давление всегда положительная величина:

. (2.36)

Здесь р₀ = р_атм на свободной поверхности жидкости.

Если р₀ < р_атм, то

. (2.37)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре.

Пусть требуется определить давление в точке А на уровне z.

Применим основное уравнение равновесия (2.31) к точке А и к точке В, расположенным на свободной поверхности жидкости на уровне z₀.

Из уравнения (2.31) имеем

.

Отсюда

, (2.38)

где z0 - z = h -	глубина погружения точки А под свободной поверхностью.

Тогда . (2.39)

Величину рh называют весовым давлением, так как оно обусловлено влиянием весомости самой жидкости, находящейся под силовым воздействием поля тяготения.

Согласно структуре формулы это давление избыточное, т.к.

p₀ - давление на свободной поверхности покоящейся жидкости.

Рассмотрим графическое представление и энергетическую сущность основного уравнения гидростатики.

Графическое изображение абсолютного и избыточного давления представлено на рис. 2.9 в координатах z и .

Треугольником OAB выражает закон изменения абсолютного давления, а два треугольника с общей вершиной в точке G символизируют закон изменения избыточного давления.

Причем нижний треугольник BGE выражает , а верхний .

При условии, что отрицательное избыточное давление называют вакуумом, а - вакууметрической высотой.

Очевидно, что максимальное значение вакуума устанавливается на высоте H, где абсолютное давление равно нулю.

Энергетическую сущность основного уравнения гидростатики легко представить, если выразить его в единицах работы (или энергии).

Для этого следует умножить уравнение на единицу, придавая ей размерность силы (1Н), тогда все члены уравнения будут выражены в единицах энергии (работы), т.е. в Дж.

Так как жидкость находится в равновесии, то она обладает только потенциальной энергией.

В нашем случае имеем:

, Дж -	потенциальная энергия, определяемая гидро-статическим давлением;
z, Дж -	энергия положения (данная масса жидкости расположена на высоте z от плоскости сравнения);
H = (+z), Дж -	полный запас потенциальной энергии.

(Отнесенный к массе, вес которой равен 1Н, т.е. к массе

).

Из основного уравнения равновесия (2.32)

видно, что при изменении внешнего давления р₀ на давление во всех точках данной жидкости, находящейся в равновесии, изменится на то же значение р₀.

Таким образом, жидкость обладает свойством передавать давление.

Это свойство жидкости положено в основу закона Паскаля, который формулируется cледующим образом: давление, которое возникает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям без изменения передаваемого давления.

На законе Паскаля основан принцип действия различных гидравлических устройств, с помощью которых давление передается на расстояние.

К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гидроподъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гидравлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.

В качестве примера рассмотрим работу гидравлического пресса.

Гидравлический пресс применяют для получения больших сжимающих усилий, что необходимо, например, для деформации металлов при обработке давлением (прессование, ковка, штамповка), при испытании различных материалов, уплотнении рыхлых материалов, в технологических процессах по обезвоживанию осадков и т.д.

К поршню площадью F приложена сила Р₁, которая передается жидкости, создавая давление р₁:

.

По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F₂, создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:

.

Следовательно

(2.40)

или

. (2.41)

Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большом поршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.

Например, если диаметр большого поршня в десять раз больше диаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в 100 раз больше, чем на малом.

Примеры

Пример 1. Определить усилие, которое развивает гидравлический пресс, имеющий d₂ = 250 мм, d₁ = 25 мм, a = 1м и b = 0,1м, если усилие, приложенное к рукоятке рычага рабочим, N = 200 H, а КПД равен 0,8.

Решение: Сила P₂ определяется по формуле

кН.

Пример 2. Гидромультипликатор (рис 2.11) служит для повышения давления р₁, передаваемого насосом или аккумулятором давления.

Определить давление р₂ при следующих данных: G = 300 кг,

D = 125 мм, р₁ = 10 кг/см², d = 50 мм. Силами трения в уплотнениях пренебречь.

Решение: Из условия равновесия цилиндра 2 имеем

.

Отсюда

.

Пример 3. Определить h_вак и построить эпюры вакууметрического и абсолютного давлений на стенку водяного вакууметра, если р_абс = 0,8510⁵ Па, а в нижнем резервуаре вода.

Решение:

м.

Эпюры вакууметрического и абсолютного давлений построены на рис. 2.12.

Пример 4. Определить показания жидкостного манометра, присоединенного к резервуару с водой, на глубине h = 1 м, если по пока-заниям пружинного манометра давление р_м = 0,2510⁵ Па (рис. 2.13).

Решение: Так как пружинный манометр показывает 0,2510⁵ Па, то

Па.

В сечении 1-1 р_л = р_п, но при этом

.

Отсюда

или

;

отсюда



м.

Контрольные вопросы

1. Что называется поверхностью уровня (поверхностью равного давления)?

2. Перечислите свойства поверхности уровня.

3. Что представляет собой поверхность уровня в поле сил тяготения?

4. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное дифференциальное уравнение гидростатики.

5. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное интегральное уравнение равновесия.

6. Что называется полным (абсолютным) давлением (показать схематически)?

7. Что называется избыточным давлением и вакуумом?

8. Что называется пьезометрическим и гидростатическим напором?

9. Раскрыть энергетическую сущность основного уравнения гидростатики.

10. Сформулируйте закон Паскаля.

11. Какие гидравлические устройства основаны на законе Паскаля?

2.10 Относительное равновесие жидкости в поле сил тяготения

Относительным равновесием жидкости называется такое состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося сосуда.

При относительном равновесии надо решить две задачи.

1. Определить форму поверхности уровня.

2. Установить характер распределения давления.

Решение этих задач основано на дифференциальных уравнениях равновесия (2.21) и (2.25).

При относительном равновесии следует учитывать силы инерции, дополняющие систему массовых сил, действующих в жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя.

Рассмотрим некоторые частные случаи такого равновесия.

1-й случай. Равноускоренное движение по вертикали. Вначале определим форму поверхности уровня.

Имеем общее дифференциальное уравнение:

.

При равноускоренном движении по вертикали внешними объемными силами будут сила тяжести и сила инерции

Их проекции или проекции ускорений X = 0; Y = 0; Z = (-g j) (при спуске (+j) и при подъеме (-j)).

Уравнение поверхности уровня имеет вид

. (2.42)

Отсюда следует, что если g j, то dz = 0, а потому

. (2.43)

Выражение (2.43) представляет собой уравнение семейства горизонтальных плоскостей как при подъеме, так и при спуске поверхности уровня.

Гидростатическое давление изменяется только по высоте.

Если g = j, то в уравнении (2.42) (-g+j) = 0, а потому dz может равняться нулю. Если dz 0, то поверхность уровня может иметь любую форму, z const.

Закон распределения давления находим из основного дифференциального уравнения (2.21):

.

С учетом того, что X = 0; Y = 0; Z = (-g j), уравнение (2.44) преобразуется к виду:

. (2.44)

При равноускоренном движении (спуске) (-g+j) можно записать

, (2.45)

а при равноускоренном подъеме (-g - j)

. (2.46)

Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что связь между p и z линейная, как и при абсолютном равновесии.

Анализ уравнений (2.45) и (2.46) показывает, что произведение можно рассматривать как условный вес, отнесенный к единице объема жидкости. Обозначим его , тогда при спуске и при j < g, жидкость оказывается как бы более легкой, а при j = g получим и, следовательно, = 0, поэтому жидкость стала невесомой

При равноускоренном подъеме , т.е. жидкость становится как бы тяжелее.

2-й случай. Вращательное движение относительно вертикальной оси.

Определим форму свободной поверхности и закон распределения давления.

Допустим, что жидкость в цилиндрическом сосуде вращается относительно оси z с постоянной угловой скоростью . Определим форму свободной поверхности из общего дифференциального уравнения поверхности уровня:

. (2.47)

С учетом осесимметричности движения относительно оси oz уравнение (2.47) можно записать в цилиндрических координатах:

, (2.48)

где Z = -g -	ускорение свободного падения;
R -	проекция ускорения центробежной силы, равного

,

здесь u -	окружная скорость;
r -	радиус вращения.

Учитывая, что u = r, имеем:

.

Очевидно, что уравнение поверхности в данном случае имеет вид:

.

Интегрируя это уравнение, получим

или

. (2.49)

Уравнение (2.49) представляет собой параболу в плоскости ro_z.

Очевидно, что для всей массы жидкости поверхность уровня будет параболоидом вращения.

Постоянная с находится из граничных условий. Так, при r = 0 из уравнения (2.49) получаем:

. (2.50)

С учетом равенства (2.50) уравнение свободной поверхности имеет вид:

, (2.51)

где h -	глубина на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, глубина h увеличивается с увеличением расстояния от оси.

Закон распределения давления находим из уравнения

.

Трехчлен правой части выразим в виде

.

Тогда

или

.

После интегрирования и изменения порядка слагаемых получим

. (2.52)

Найдем постоянную интегрирования с, принимая r=0, z=h₀ и p=p₀,



. (2.53)

Подставляя формулу (2.53) в уравнение (2.52), получим

или

. (2.54)

Из уравнения (2.54) видно, что для любого заданного r=const, закон распределения давления по высоте является линейным, т.е. таким же, как и без вращения:

.

2.11 Приборы для измерения давления

Приборыдля измерения гидростатического давления можно подразделить на две группы: жидкостные и механические.

К приборам жидкостного типа относятся: пьезометр, ртутные манометры, поршневые манометры, дифференциальные манометры, микроманометры, вакуумметры.

К приборам механического типа относятся пружинные и мембранные манометры.

Простейшим прибором жидкостного типа является пьезометр

Пьезометр представляет собой стеклянную трубку диаметром не менее 5 мм, открытую с одного конца. Второй конец трубки присоединен к сосуду, в котором измеряется давление.

При р₀ > р_атм на свободной поверхности жидкости в сосуде жидкость в пьезометре поднимается выше уровня в сосуде на некоторую высоту h_п.

Гидростатическое давление в точке А на глубине h от свободной поверхности определяется по основному уравнению гидростатики:

.

Отсюда

.

Учитывая, что

,

находим

.

Таким образом, пьезометрическая высота характеризует избыточное давление в сосуде и может быть мерой для определения его значения. Измерение давления пьезометрами весьма удобно и часто применяется в технике измерений, так как пьезометр очень чувствительный и точный прибор.

При измерении давления надо иметь в виду следующие соотношения: давление в 1Па соответствует 0,0075 мм рт. ст. или 0,102 мм вод. ст.

Пьезометры применяются при измерении небольших давлений, так как высота трубки пьезометра ограничена.

При более высоких давлениях используют жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не жидкостью, находящейся в сосуде, а жидкостью большей плотности, например, ртутью, так как ее плотность в 13,6 раза больше плотности воды.

Ртутный манометр представляет U-образную стеклянную трубку, изогнутое колено которой заполняется ртутью.

Давление жидкости p₀ в сосуде уравновешивается столбом ртути h_рт. Для точки А имеем

.

Для точки В . Так как p_А=p_В, приравнивая выражения правой части уравнений, получим

,

где рт, -	плотность ртути и жидкости соответственно в сосуде.

Для измерения высоких давлений применяют поршневой манометр, представляющий собой обращенный гидравлический пресс.

Поршневой манометр состоит из входной трубки 1 для входного давления ₀, поршня 2, металлической пластины 3, резиновой диафрагмы 4, соприкасающейся с водой, короткого колена манометра 5, открытой трубки 6, которые заполнены ртутью.

Обозначая площадь поршня f, площадь металлической пластины F, высоту ртути в манометрической трубке h, найдем выражение для определения давления p₀ согласно уравнению равновесия:

.

Видно, что поршневой манометр при сравнительно малой высоте ртутного столба позволяет измерять весьма высокие давления.

Для измерения разности давления в двух сосудах применяется дифференциальный манометр

Он также используется при измерении разности давления в двух точках жидкости в одном и том же сосуде.

Давление в левом колене в точке А

.

Отсюда

или ,

т.к. .

Микроманометры используются при измерении низких давлений с повышенной точностью.

Манометр состоит из резервуара А, присоединенного к сосуду, в котором измеряется давление, и манометрической трубки В, угол наклона которой к горизонту можно изменять.