Характер течения жидкости в различных насадках имеет много общего. Рассмотрим истечения жидкости через внешний цилиндрический насадок (насадок Вентури)

При наличии острой кромки возникает сжатие струи на входе в насадок. Максимальное сжатие образуется на расстоянии от плоскости входа в отверстие, равном 0,5d.

Площадь сжатого сечения потока _с = , причем числовое значение коэффициента сжатия зависит от условий входа. В частности, для рассматриваемого случая (круглое отверстие с острой кромкой) приближенно можно принять = 0,64.

После сжатого сечения струя расширяется, заполняя поперечное сечение полностью, выходя из него полным сечением. Рассмотрим соотношение скоростей и давлений в сжатом сечении и на выходе из насадка. Давление на выходе из насадка равно атмосферному, а скорость - меньше скорости в сжатом сечении. Тогда, согласно уравнению Бернулли, давление в сжатом сечении должно быть меньше атмосферного, т.е. в сжатом сечении образуется вакуум.

Наличие в сжатом сечении вакуума существенно меняет картину истечения. В этом случае жидкость из резервуара изливается в область вакуума, что сопоставимо с увеличением напора и объясняет увеличение действительного расхода. Для доказательства найдем расчетные зависимости для скорости истечения и расхода жидкости через насадок.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Для следующих условий истечения:

1. Движение жидкости в насадке установившееся.

2. Входная кромка круглого отверстия - острая, что приводит к сжатию струи, коэффициент сжатия .

3. На выходе из насадка струя заполняет все сечение (=3...4d), поэтому = 1.

4. Распределение давления в сечении 2-2 подчиняется гидростатическому закону:



.

5. Коэффициент Кориолиса = 1

(4.23)

Из анализа уравнения (4.23), в соответствии с расчетной схемой, имеем:

;

,

где -	потери напора на участке пренебрежительно малы;
-	потери напора на входе до сжатого сечения;
-	потери напора на расширение струи (по теореме Борда).

На основе анализа уравнения Бернулли имеем:

(4.24)



Применяя уравнение расхода для сжатого и выходного сечений и исключая v_с из уравнения (4.24), получим

;

.

Отсюда

, (4.25)

где - коэффициент скорости.

При получим = 0,82.

Общий коэффициент сопротивления для насадка

.

Определим расход из уравнения неразрывности (расхода):

.



Учитывая, что , получим

.

Обозначая и считая, что ₂ = , получим

, (4.26)

где -	коэффициент расхода.

Так как для насадка = 1, то = = 0,82.

Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для насадка и отверстия в тонкой стенке, видим, что насадок увеличивает расход и уменьшает скорость истечения.

Действительно, для больших значений Rе отношения

то есть расход через насадок увеличивается более чем на 35% по сравнению со скоростью истечения из отверстия.

4.5 Зависимость коэффициентов истечения от числа Рейнольдса

Полученные выше значения коэффициентов истечения для отверстий и насадков различной формы справедливы для условий, когда влияние вязкости жидкости на истечение не проявляет себя в заметной степени.

При числе Rе₀ > 100000 влияние вязкости можно не учитывать:

. (4.27)

При Rе₀ > 300000 (область, наиболее характерная для истечения из отверстий воды) практически остается неизменным.

Вместе с тем, коэффициент истечения зависит от числа Rе при истечении воды и других маловязких жидкостей из отверстий малого диаметра.

Кроме того, изменение коэффициента расхода от числа Рейнольдса необходимо учитывать при определении времени опорожнения сосудов.

При малых значениях Rе < 10 время опорожнения определяется по зависимости:

.

Для определения значений при применяется эмпирическая формула

, (4.28)

где Reн -	число Рейнольдса для насадка.



Из графика, построенного по формуле (4.28), видно, что при Re_н и 0,813, что незначительно отличается от = 0,82 для цилиндрического насадка.

На графике (см. рис. 4.6) кривая 1 - для истечения из отверстия в тонкой стенке, а кривая 2 - из цилиндрического насадка при . Из графика следует, что при Re_н < 1000 применение насадка уменьшает коэффициент расхода по сравнению с истечением из отверстия при одинаковых d.

4.6 Вакуум в цилиндрическом насадке

Определим вакуум в сжатом сечении по формуле

, (4.29)

где рабс -	абсолютное давление в данной точке.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и С-С:

;

здесь z1 =	H;
	;
	0;
	0;
	.

Тогда

.

Отсюда

. (4.30)

Выразим а

или

. (4.31)

Подставляя уравнение (4.29) в выражение (4.28), получим

. (4.32)

Принимая получим

.



Из этой формулы можно определить предельное значение напора Н. Так как максимальный вакуум равен при , то

.

Если принять предельное значение вакуума равным 10 м, то

м.

Однако в действительности, вследствие вскипания жидкости и нарушения из-за этого сплошности течения струи жидкости, нормальная работа насадка нарушается раньше, а именно: при h = 7 м. Отсюда реальным предельным напором будет напор м, а не 13,33.

4.7 Практическое применение насадков

Рассмотрим область применения часто встречающихся насадков, а также их достоинства и недостатки

Внешний цилиндрический насадок применяется для получения компактной дальнобойной струи. Как насадки такого типа работают водовыпуски в плотинах, трубы под насыпями и т.д. Значения коэффициентов для воды равны: .

Внутренний цилиндрический насадок в силу конструктивных причин может применяться вместо внешнего цилиндрического насадка. В этом случае некоторые линии тока изменяют свое направление на 180 (рис. 4.8).

Сжатие потока и потери энергии в насадке больше, чем для внешнего цилиндрического насадка, т.е.

.

Конические сходящиеся насадки применяются для получения больших выходных скоростей, увеличения силы и дальности полета струи жидкости в пожарных брандспойтах, в форсунках для подачи топлива; гидромониторах для размыва грунта, фонтанных соплах, соплах активных гидравлических турбин и т.д. (рис. 4.9). При углах конусности = (12-14) коэффициент расхода достигает максимального значения порядка = 0,94…0,95, а коэффициент скорости = 0,96, так как из-за сужающихся направляющих стенок струя выходит из насадка с небольшим сжатием ( = 0,98...0,99).

Конические расходящиеся насадки применяются в коротких водоводах для наполнения шлюзовых камер, в эрлифтах и других установках, где необходим значительный всасывающий эффект для увеличения расхода (рис. 4.10).

Такие насадки применяются в механизмах для замедления подачи смазочных веществ.

В насадке после сжатого сечения расширение потока больше, чем в цилиндрическом насадке, что приводит к большим потерям напора и уменьшению скорости.

При этом расход увеличивается благодаря увеличению расчетного выпускного сечения.

Диаметр выходного сечения:

, (4.33)



где d -	диаметр входного отверстия;
-	угол конусности насадка;
? -	длина насадка.

Причем сечение насадка может доходить до 9d. = 9d и = 8, коэффициенты расхода и скорости = = 0,45.

Площадь сечения на выходе по формуле (4.31) в этом случае в 5,1 раза больше площадки отверстия. Коэффициент расхода такого насадка в раза меньше коэффициента расхода отверстия.

С учетом этого, согласно формуле , при равнозначных условиях расход через конический расходящийся насадок в

= 3,7 раза больше, чем через отверстия в тонкой стенке диаметром d.

В технике для различных целей применяют и другие насадки. Коноидальный насадок (рис. 4.11). имеет форму входной части, близкую к форме вытекающей струи.

Гидравлическое сопротивление в насадке небольшое, поэтому

= = 0,97…0,98, = 1, _н = 0,06.

При особенно тщательном изготовлении и гладких стенках можно получить

= = 0,995.

Применяется также комбинация двух насадков: коноидального (сопло) и конического (диффузора)

Приставка диффузора к соплу влечет за собой снижение давления в узком месте насадка, что приводит к увеличению расхода и скорости через насадок. При том же диаметре узкого сечения 1-1 и том же напоре диффузорный насадок позволяет увеличить расход в 2,5 раза по сравнению с соплом. Они применяются при малых напорах (Н =1-4 м), так как в узком месте (сечение 1-1) возникает кавитация, что увеличивает сопротивление насадка.

Коэффициент расхода определяется по формуле (рис. 4.13)

,

где S1 -	площадь узкого сечения.

Примеры

Пример 1. Определить расход и скорость истечения воды из круглого отверстия диаметром d = 0,01 м в боковой стенке резервуара больших размеров. Напор воды над центром отверстия Н = 1 м, температура воды t = 20 С ( = 110^-6 м²/с).

Решение: Число Рейнольдса, характеризующее истечение:

.

По рис. 4.6 находим и при Re = 44300, = 0,62, = 0,95 и определяем скорость истечения воды через отверстия:

м/с.

Расход вытекающей жидкости через отверстие

м³/с.

Пример 2. Определить диаметры: в начале и в конце водовыпуска, имеющего форму конически расходящегося насадка, работающего в затопленном режиме (см. рис. 4.13), если Q = 0,5 м³/с,:

= 0,5, z = 0,25 м, длина насадка = 4 м.

Решение: Расход через насадок

.

Отсюда

,

находим диаметр:

м.

Приняв угол конусности = 6, найдем диаметр входной части насадка (рис. 4.14)



Контрольные вопросы

1. Что называется насадком и какие насадки вы знаете?

2. При каких условиях образуется сжатое сечение и на каком удалении от входа?

3. Почему в насадках коэффициент сжатия струи принимается равным единице?

4. Чем отличаются коэффициенты и для отверстия?

5. Как учитывается влияние вязкости на коэффициенты и ?

6. Что такое предельное (критическое) значение напора при истечении жидкости через насадки и почему действительное значение меньше критического?

7. Назовите область применения цилиндрических насадков и дайте им краткую характеристику.

8. Назовите область применения конических насадков и дайте им краткую характеристику.



5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ

5.1 Физическая сущность гидравлического удара

Гидравлическим ударом в трубах называется резкое увеличение давления при очень быстром (практически мгновенном) уменьшении скорости движения жидкости (например, при очень быстром закрытии пробкового крана).

Всестороннее изучение гидравлического удара началось в связи с частыми авариями на новых линиях Московского водопровода, построенных в конце XIX века. Причины аварии исследовал выдающийся русский ученый Н.Е. Жуковский, которой впервые разработал теорию гидроудара.

Основная схема физического процесса явления гидравлического удара по теории Н.Е. Жуковского заключается в следующем (рис. 5.1).

Будем считать жидкость не вязкой, а сжимаемой и подчиняющейся закону Гука, а трубопровод абсолютно жестким. Физический процесс, протекающий при гидравлическом ударе, представляет собой четыре фазы преобразования энергии движущейся жидкости.

Первая фаза. При внезапном и полном закрытии задвижки в конце трубопровода вся движущаяся в нем жидкость должна остановиться. Реальная жидкость, обладающая свойством упругости, останавливается постепенно, сжимаясь от слоя к слою, начиная от конца трубопровода. Фронт остановившейся жидкости (сечение n-n) будет перемещаться от задвижки к резервуару. В остановившемся объеме между задвижкой и сечением n-n возникает дополнительное давление р. Скорость перемещения этого фронта называется скоростью распространения ударной волны и обозначается символом С_v:

,

где l и Т -	соответственно длина трубы и длительность первой фазы.

Таким образом, упругая деформация сжатия и повышения давления распространяется вверх по течению и за время T достигает конца трубы. При этом освободившееся пространство на расстоянии l заполняется жидкостью из резервуара.

В конце первой фазы вся жидкость в трубе неподвижна (v₀ = 0) и находится под давлением: р + р.

Плотность жидкости при этом увеличивается до =? + .

Вторая фаза. Начало второй фазы совпадает с концом первой. Жидкость в трубе сжата, но не уравновешена давлением в резервуаре, где давление p. Поэтому жидкость в трубе начинает расширяться в сторону резервуара. Сначала приобретают движение слои жидкости, близкие к резервуару, а затем фронт спада давления n-n станет перемещаться от резервуара к задвижке со скоростью С_v.

К концу второй фазы вся жидкость в трубе окажется в движении со скоростью v в сторону резервуара и давление в трубе восстановится до первоначального.

Третья фаза. (Фаза растяжения и остановки движения). В начальный момент вся жидкость движется в обратную сторону и стремится оторваться от задвижки.

Если отрыва не произойдет, то начнется растяжение жидкости с дальнейшим понижением давления до р = р - р. В конце третьей фазы вся жидкость останавливается и находится под действием пониженного давления.

Это состояние оказывается также неуравновешенным, т.к. давление в резервуаре равно р, а в трубе р - р.

Четвертая фаза. (Фаза восстановления движения до состояния, имевшего место перед закрытием задвижки). В начале четвертой фазы жидкость из резервуара начнет втекать в трубку со скоростью ₀ и давление будет повышаться до р. Фронт первоначального давления n-n будет перемещаться в сторону задвижки со скорость распространения ударной волны С_v. К концу четвертой фазы скоростью движения по всей длине трубы будет равна ₀, а давление р.

Так как задвижка закрыта, то, начиная с конца четвертой фазы, процесс гидравлического удара будет повторяться.

В реальных условиях. когда существуют гидравлические сопротивления и упругие деформации стенок трубопровода, процесс гидравлического удара будет более сложным и затухающим. При этом наиболее опасным является первое повышение давления

Время одного цикла, включающего повышение и понижение давления, называется фазой удара T. Считая скорость ударной волны при повышении и понижении давления одинаковой, определим фазу удара:

.

Если время закрытия задвижки меньше или равно фазе удара (t₃T), то удар называется прямым.

При t₃ T не вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию давления и повышение давления при тех же условиях меньше, чем при прямом ударе.

Такой удар называется непрямым.

Так как характеристики движения жидкости при гидравлическом ударе изменяются с течением времени, то такой процесс называется неустановившимся.

Гидравлический удар может возникнуть при внезапной остановке насоса, подающего воду по нагнетательному трубопроводу в резервуар

После выключения насоса жидкость некоторое время будет двигаться по инерции в сторону резервуара со скоростью ₀ и в трубопроводе образуется пониженное давление. Затем начинается обратное движение жидкости из резервуара в область пониженного давления. В трубопроводе и задвижке давление повысится подобно тому, как это имело место при прямом ударе.

5.2. Определение ударного давления и скорости распространения ударной волны

Рассмотрим гидравлический удар в трубопроводе при внезапном (мгновенном) закрытии задвижки в конце трубопровода с учетом реальных условий движения жидкости, а именно: жидкость сжимаема, а стенки трубопровода обладают упругими свойствами.

За бесконечно малый промежуток времени dt после закрытия задвижки движение жидкости прекращается на расстоянии C_vdt от задвижки. На этом бесконечно малом участке трубопровода произойдет повышение давления на величину р

Определим величину р с помощью закона изменения количества движения.

До закрытия задвижки количество движения в рассматриваемом объеме:

, (5.1)

где -	площадь сечения трубы;
-	плотность жидкости;
0 -	скорость движения жидкости;
Сv -	скорость распространения ударной волны.



После закрытия задвижки скорость и количество движения уменьшились до нуля, т.е. в этом случае изменение количества движения стало равно начальному количеству движения.

Это изменение количества движения должно быть равно импульсу действующих сил.

Учитывая, что давление в сечении 1-1 равно р₀, а в сечении 2-2 повысилось до р₀ + р, находим импульс действующих сил в виде

(5.2)

Запишем закон изменения количества движения с учетом выражений (5.1) и (5.2):

.

Отсюда

. (5.3)

Формула (5.3) получена Н.Е. Жуковским и позволяет определить повышение давления при прямом гидравлическом ударе при известной скорости распространения ударной волны C_v.

При абсолютно жестких стенках трубопровода скорость распространения ударной волны C_v равна скорости распространения звука в воде (C_v = 1425 м/с).

Определим скорость распространения ударной волны с учетом деформации стенок трубопровода и упругих свойств жидкости из условия сохранения массы жидкости при гидравлическом ударе.

До удара между сечениями 1-1 и 2-2 масса жидкости

. (5.4)

За время dt после закрытия задвижки в результате некоторого сжатия жидкости (т.е. увеличения ее плотности) и расширения трубы между сечениями 1-1 и 2-2 накопилась масса

. (5.5)

Накопленная масса образуется в трубопроводе в конце первой фазы в объеме

. (5.6)

Условие сохранения массы при гидравлическом ударе с учетом выражений (5.4)-(5.5) и (5.6) запишется в виде :

. (5.7)

Сокращая выражение (5.7) на dt и пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получим

. (5.8)

Выражение (5.8) является законом сохранения массы при гидравлическом ударе, из которого находим скорость C_v в виде:

. (5.9)

Из выражения (5.9) видно, что скорость ударной волны зависит от деформации трубы и сжатия , которые характеризуются упругими свойствами материала трубы и жидкости.

Представим выражение для относительной деформации площади трубы в виде

. (5.10)

Из механики упругих тел известно, что относительная деформация может быть выражена в зависимости от вызываемого ею растягивающего напряжения в материале трубы и модуля его упругости E_тp по закону Гука:

. (5.11)

Напряжение, вызванное ударной волной в стенках трубы, может быть определено по с формуле

, (5.12)

где р -	давление в гидравлическом ударе;
-	толщина стенки трубы;
D -	диаметр трубы.



С учетом зависимостей (5.11) и (5.12) выражение (5.10) приводится к виду:

. (5.13)

Относительное изменение плотности жидкости зависит от повышения давления р и модуля объемной упругости жидкости Е_ж:

. (5.14)

Подставим выражения (5.13) и (5.14) в формулу (5.9) и получим

. (5.15)

Рассмотрим физический смысл величин, находящихся под корнем в правой части формулы (5.15).

Если гидравлический удар, происходящий в трубе из абсолютно неупругого материала E_тр = , то

, (5.16)

где -	скорость распространения упругих деформаций (ударной волны) в жидкости, м/с.



Из физики известно, что выражение является скоростью звука в жидкой среде.

Для воды С_v = 1425 м/с.

В другом предельном случае при E_ж = можно считать, что гидравлический удар происходит в трубе, по которой движется абсолютно неупругая жидкость. Тогда:

. (5.17)

Можно также считать, что является скоростью распространения упругих деформаций (ударной волны) исключительно по телу трубы.

С учетом формул (5.16) и (5.17) преобразуем формулу (5.15) к виду:

(5.18)

или

. (5.19)

Учитывая, что м/с для воды, получим, м/с:

. (5.20)

Подставим выражение (5.20) в формулу (5.3) и получим, Па:

. (5.21)

Отношение для воды в зависимости от материала стенки трубы принимается по табл. 5.1.

Таблица 5.1

Вид труб
Стальные	0,01
Чугунные	0,02
Асбестоцементные	0,11
Полиэтиленовые	1...1,45
Бетонные	0,10...0,14
Резиновые	333...1000

Для железобетонных труб с учетом их армирования

, (5.22)

где f -	площадь сечения кольцевой арматуры на 1 м длины стенки трубы.



Обычно .

5.3 Способы гашения и примеры использования гидравлического удара

Разработка способов гашения гидравлического удара основана на теоретических закономерностях явления. Впервые Н.Е. Жуковский предложил способы устранения или незначительного уменьшения гидравлического удара.

Так, в водопроводной сети стали использоваться всевозможные вентили вместо «пробковых» кранов. За счет более медленного перекрытия трубопровода значительно снижается эффект гидравлического удара.

В системах, где это сделать невозможно, сооружаются специальные открытые емкости, так называемые уравнительные резервуары.

При возникновении гидравлического удара вода из водовода через отверстие в диафрагме поступает в полость резервуара и тем самым снижает уровень давления в ударной волне.

В водоводах устанавливают специальные клапаны или предо-хранительные диафрагмы. По длине водовода монтируются воздушные колпаки, которые амортизируют повышение давления.

На насосных станциях в начале напорных трубопроводов устанавливаются противоударные аппараты. При остановке насоса часть воды выливается через клапан без повышения давления, после чего клапаны закрываются.

Имеются случаи применения разрушительной силы гидравлического удара в некоторых устройствах, например, для подъема воды с помощью гидравлического тарана

Гидравлический таран работает автоматически при подаче воды Q из резервуара А. Причем большая часть воды Q - q будет сливаться наружу, а меньшая часть q - в резервуар В.

КПД гидравлического тарана определяется как отношение полезной мощности к затраченной:

. (5.23)

КПД зависит от отношения . Так, при изменении от 2 до 10 изменяется от 0,9 до 0,5.

Гидравлические тараны, выпускаемые промышленностью, могут поднимать воду на высоту до 60 м с расходом 20-22 л/мин.

Они просты в эксплуатации и могут беспрерывно работать длительное время, снабжая водой небольшие поселки и предприятия.

Примеры

Пример 1. По стальной трубе диаметром d=500 мм и толщиной стенок =10 мм подается вода со скоростью 2,5 м/с. Пьезометрический напор перед открытой задвижкой равен 4 Ом. Определить повышение давление при быстром закрытии задвижки и полный напор H.

Решение: Скорость ударной волны C_v определяем по формуле (5.20)

м/с.

Повышение давления найдем по формуле (5.3)

Мпа

или



м.

Пример 2. Определить расход в напорном трубопроводе гидротарана, если рабочий расход Q = 30л/с, напор Н = 3м, высота подачи h = 21 м, КПД = 0,6.

Решение: Расход вычисляем по формуле (5.23):

,

отсюда

л/с.

Излив через клапан равен:

л/с.

Контрольные вопросы

1. Что называется гидравлическим ударом?

2. Каковы причины возникновения гидравлического удара?

3. Какие способы применяются при гашении гидравлического удара?

4. Какие устройства используются в технике для этой цели? Приведите примеры.

5. Как влияет модуль упругости стенок трубопровода на давление гидравлического удара?

6. Напишите и поясните формулу повышения давления при прямом гидравлическом ударе?

7. От чего зависит скорость распространения ударной волны при гидравлическом ударе?

8. Как влияет время закрытия задвижки на повышение давления при гидравлическом ударе?

9. Для каких целей применяется гидротаран?



6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

6.1 Классификация трубопроводов

Рассмотрим классификацию трубопроводов по следующим

характерным признакам:

По функциональному назначению трубопроводы подразделяют на

- всасывающие;

- нагнетательные.

С конструктивной точки зрения трубопроводы подразделяют на:

- простые;

- сложные;

- короткие;

- длинные.

Простыми называют трубопроводы, не имеющие ответвлений и обслуживающие только одну точку x.

Причем, диаметр трубы, а также расход жидкости на всей длине трубы остается неизменным.

Сложные трубопроводы делятся на тупиковые, параллельные и кольцевые.

Тупиковые состоят из магистрального (главного) трубопровода, от которого в разные стороны отходят ответвления к потребителям.

Параллельные состоят из нескольких параллельно проложенных трубопроводов, связанных между собой перемычками с регулирующими задвижками.

Кольцевые представляют собой замкнутую сеть труб, что обеспечивает подачу воды в любом направлении.

При аварии на каком-либо участке подача воды потребителю не прекращается.

Короткими называют трубопроводы, которые имеют значительные местные сопротивления по сравнению с линейными (путевыми).

Длинными называют трубопроводы, у которых доминируют потери напора по длине трубопровода; местными потерями и скоростным напором пренебрегают.

6.2 Система уравнений и задачи гидравлического расчета трубопроводов

Гидравлический расчет трубопроводов основан на следующих уравнениях, формулах и зависимостях:

- уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

; (6.1)

- уравнение неразрывности для установившегося потока жидкости

(уравнение расхода):

; (6.2)

- формула Дарси-Вейсбаха для учета потерь на трение (по длине трубопровода):

; (6.3)

- формула для учета местных потерь:



; (6.4)

- формула Шези при расчете длинных трубопроводов:

или , (6.5)

где -	коэффициент Шези;
n -	коэффициент шероховатости;
R -	гидравлический радиус;
y -	показатель степени, у = f(n, R).

Обозначим в формуле (6.5) через , получим

, (6.6)

где K -	расходная характеристика (модуль расхода), представляющая собой расход при гидравлическом уклоне, равном единице;

- формула для определения гидравлического уклона (удельных потерь напора по длине):

(6.7)

или по формуле Дарси-Вейсбаха (6.3):

.

Заменяя скорость на расход Q, из уравнения расхода получим

. (6.8)

Обозначим - удельное сопротивление трубопровода, получим

. (6.9)

Тогда

, (6.9а)

где S -	линейное сопротивление трубопровода.

Найдем связь между K и A из формул (6.6 и 6.8):

или .

Подставляя значение i из формулы (6.8), получим

. (6.10)

Из выражений (6.10 и 6.9), находим

. (6.11)

Тогда потери по длине определяются по формуле

. (6.12)

Учитывая, что , получим

.

Обозначим , получим:

, (6.13)

где Р -	проводимость, выражающая собой расход жидкости при hтр = 1.

Сравнивая выражения (6.9) и (6.13), найдем связь между P и S.

Из выражения (6.9а) имеем ,

тогда:

или . (6.14)

Значения A и K приводятся в таблицах.

Общая задача гидравлического расчета трубопроводов заключается в определении диаметров труб для пропуска заданного расхода воды и напора, необходимого для подачи воды ко всем точкам водоразбора при оптимальных затратах.

Оптимальные затраты учитывают расход средств на строительство и эксплуатацию трубопровода.

Например, если принять при расчете высокие скорости движения воды, то за счет этого уменьшаются диаметры труб, но увеличиваются потери напора по длине, что приводит в процессе эксплуатации к большим затратам электроэнергии.

Рекомендации по выбору оптимальных скоростей движения жидкости в трубопроводах приводятся в СНиПах.

При решении инженерных задач четыре величины - расход Q, скорость v, диаметр трубопровода d и потери напора h - являются переменными и взаимозависимыми.

Их связывают между собой уравнения Бернулли и неразрывности (расхода), потери по длине трубопровода и на местных сопротивлениях, которые учитываются по формулам (6.3 и 6.4) соответственно.

Определенность при решении задач гидравлического расчета трубопроводов достигается при следующих условиях:

1. Задается расход воды.

2. Принимаются оптимальные скорости движения воды.

Наряду с общей задачей гидравлического расчета трубопроводов решаются следующие частные задачи:

1. Проверяется пропускная способность трубопровода при заданных значениях диаметров труб и напора.

2. Определяется напор при заданных значениях диаметров труб и расхода воды.

Применяя уравнение Бернулли, для сечений 1-1 и 2-2 запишем:

, (6.15)

где	0;
	z;
	, так как величина скоростных напоров городского водопровода мала и ею можно пренебречь (v1 v2) (на практике эта разность - около 5 см).

Тогда уравнение (6.15) примет вид

, (6.16)

где -	величина пьезометрического напора в сечении 1-1.Он расходуется на подъем воды на высоту z и на преодоление гидравлических сопротивлений в трубопроводе h1-2;
-	свободный напор, необходимый для преодоления местного сопротивления клапана 1 и создания скорости излива воды в бак.

Свободный напор в местах водоразбора принимается в пределах 1…4 м и обозначается Н_св.

Тогда уравнение Бернулли (6.16) можно записать так:

. (6.17)

Для определения напора в любом сечении трубопровода необходимо знать:

- разность геометрических отметок z между наиболее высоко расположенным водоразбором и данным сечением потока; если точка потребления расположена ниже заданного сечения, то z принимается со знаком минус;

- величину свободного напора Н_св в высшей точке водоразбора;

- величину потерь напора на гидравлических сопротивлениях по пути движения воды от заданного сечения до наиболее удаленной точки водоразбора.

Так как разность отметок z и свободный напор обычно задаются, то для определения требуемого напора производится расчет потерь напора, связанных с гидравлическим сопротивлением трубопровода.

3. Напор задан. Определяются диаметры труб таким образом, чтобы выполнялось условие:

. (6.18)

6.3 Методы расчета простых трубопроводов

Применение тех или иных методов расчета напорных трубопроводов обусловлено конструктивными характеристиками и назначением трубопровода.

При расчете простого трубопровода находится расчетная зависимость из уравнения Бернулли и уравнения расхода, а также из формулы для учета потерь по длине и на местных сопротивлениях.

Рассмотрим две основные расчетные схемы: истечение в атмосферу и истечение под уровень.

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:



, (6.19)

где z1 - z2 =	H;
	;
1	2 = 1;
	0.

Тогда

, (6.20)

где -	сумма потерь по длине и местных сопротивлений;

.

Подставляя последнее выражение в (6.20), получим зависимость:

. (6.21)

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

, (6.22)

где z1 - z2 =	H;
1	2 = = 1;
	0;

тогда

, (6.23)

где (6.24)

В выражении (6.24) два последних члена представляют собой потери на местных сопротивлениях, причем последнее слагаемое определяет потери напора при внезапном расширении и вычисляется по теореме Борда.

Решая совместно уравнения (6.23) и (6.24) и учитывая, что , получим

. (6.25)

Сопоставляя уравнения (6.21 и 6.25), можно видеть, что по форме написания они совершенно тождественны.

Различие между уравнениями по физическому смыслу заключается лишь в том, что единица, стоящая в скобках правой части уравнения (6.21), относится к скоростному напору на выходе потока из трубы в атмосферу.

Следовательно, единица определяет кинетическую энергию, которую поток уносит с собой и которая может быть в дальнейшем использована для совершения работы.

При истечении под уровень единица в скобках в уравнении (6.25) определяет собой потерянный напор на внезапное расширение при входе потока из трубы в резервуар.

Следовательно, при истечении под уровень вся энергия, которой располагает поток, расходуется только на преодоление сопротивлений.

При расчете простого трубопровода решаются три основные задачи:

Первая задача. Требуется определить необходимый действующий напор H для трубопровода длиной l, м, диаметром d, м, для пропуска расхода Q.

Решение сводится к прямому вычислению напора по формуле (6.21).

Коэффициенты и могут быть связаны с числом Рейнольдса

,

где Q и d заданы по условию задачи.

Вторая задача. Требуется определить расход Q при заданных H, l и d.

Расход определяется из уравнения расхода и выражения (6.21). При совместном решении получаем формулу для вычисления расхода:

. (6.26)

Для определения и необходимо знать скорость v или искомый расход , поэтому Q можно найти по формуле (6.26) методом попыток или графоаналитическим способом, путем использования формулы (6.21) и построения графика

Задаваясь значениями , по формуле

вычисляем ряд значений .

Третья задача. Требуется определить диаметр трубопровода d по заданным H, Q, и l.

Диаметр трубопровода d определяется графоаналитическим способом. Строится кривая : задаваясь рядом значений , вычисляем (рис. 6.5). При этом для каждой точки графика вычисление , проводится, без подбора, так как при каждом число Рейнольдса вычисляется непосредственно по формуле

.

Замечание 1. Для длинных трубопроводов, когда потерями на местных сопротивлениях можно пренебречь, все три основные задачи решаются на основе использования формулы

. (6.27)

Следовательно, методика расчета сохраняется, но расчёты значительно упрощаются.

Замечание 2. При квадратичном законе сопротивления, т.е. когда , а также коэффициент Шези С не зависят от Re, расчёт можно выполнить по формуле

. (6.28)

Первые две задачи сводятся к прямому вычислению их по формуле (6.28), причём К определяется по таблицам по заданному диаметру d.

Для решения третьей задачи (определить d по данным H, Q и l) сначала вычисляется по формуле (6.28) необходимое значение К, по которому затем из таблиц находится ближайшее большее и ближайшее меньшее значения , и по технико-экономическим условиям принимается d.

6.4 Методы расчета сложных трубопроводов

Гидравлический расчет трубопроводов производят по методам:

1) удельных гидравлических сопротивлений;

2) удельных потерь напора на трение;

3) приведенного коэффициента местного сопротивления на трение;

4) приведения местных сопротивлений к линейным.

Для упрощения гидравлического расчета используют обобщенные гидравлические параметры трубопровода:

- удельное линейное сопротивление трубопровода ;

- линейное сопротивление трубопровода ;

- расходную характеристику трубопровода, или модуль расхода, т.е.



;

- проводимость трубопровода .

Последние два параметра связаны между собой выражением

.

Для гидравлического расчета трубопроводов используются приведенные формулы и в зависимости от задания определяются по таблицам значения A, S, K или P.

6.4.1 Методы расчета по удельным гидравлическим сопротивлениям

Метод используется при учете местных сопротивлений и при их отсутствии.

Рассмотрим последовательное соединение трубопроводов разных диаметров

Пренебрегая местными потерями, потери по длине можно определить по формулам:

. (6.29)

Потери напора в трубопроводе получают путем суммирования потерь напора, определенных на каждом отдельном участке:

.

С учетом приведенных формул (6.29), получим

или

.

Для области квадратного сопротивления можем написать:

,

т.е.

,

где -	сопротивление системы трубопроводов.

Таким образом, систему с последовательным соединением трубопроводов можно рассматривать как один простой трубопровод, сопротивление которого равно сумме сопротивлений отдельных последовательно соединенных трубопроводов разного диаметра.

Используя формулу (6.29) и учитывая, что весь напор H затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, т.е. , можно решить обратную задачу, а именно, при заданных определить пропускную способность всей системы по формуле



.

Параллельное соединение трубопроводов.

в узловой точке А поток жидкости в магистрали делится на четыре потока в ветвях 1-4, которые объединяются в точке В, образуя далее продолжение магистрального трубопровода.

Основной задачей является определение расхода каждой ветки и потерянного напора h_v на пути от точки А до точки В.

Решение задачи основано на том, что напоры в узловых точках являются общими для каждой из веток, а их разность

(6.30)

представляет одну и ту же потерю напора h_v одновременно для каждой из веток.

Учитывая, что

,

можно записать следующую систему равенств:

(6.31)



В системе (6.31) имеем (для каждого их трех выражений ) четыре уравнения (по числу веток) и пять неизвестных величин, из них четыре неизвестных расхода и один неизвестный потерянный напор .

Для замыкания системы (6.31) требуется ещё одно уравнение, которое может быть уравнением узловых расходов, а именно:

. (6.32)

Рассмотрим определение неизвестных величин с учетом выражений в системе уравнений (6.31).

Выразим расходы через расход и получим:

(6.33)

В соответствии с системой равенств (6.33), получим

(6.34)

Из выражений (6.34) находим расход :



(6.35)

Значения Q₂, Q₃, и Q₄ найдём из выражений (6.34). Потерянный напор H находится по одному из равенств (6.31), например:

.

В водопроводных сетях потери напора на местные сопротивления, кроме некоторых случаев, незначительны по сравнению с линейными потерями. Поэтому при большом напоре их не принимают во внимание. При расчёте внутренних водопроводов на линейные потери напора вводят поправочный коэффициент K_M, учитывающий местные сопротивления:

,

где -	сумма линейных потерь напора на всех последовательно (по ходу воды) расположенных участках водопровода от начального до самого удаленного.

Только при очень ограниченном напоре местные сопротивления определяются расчётом.

Такой случай может быть, например, при питании внутреннего водопровода от бака, установленного в здании.

Расчёт потерь производится по формуле

, (6.36)

где - сумма потерь напора на местных сопротивлениях.

Из уравнения расхода выразим скорость , значение подставим в формулу (6.36) и получим

, (6.37)

где -	характеристический коэффициент, или гидравлическая характеристика трубопровода.

Она выражает суммарные сопротивления в трубопроводе длиной l при единичном расходе.

Принимая с некоторой погрешностью , независимо от диаметра трубопровода, при одних и тех же значениях Q, и l, найдём отношение для диаметров из формулы (6.37):



(6.38)

или

, (6.39)

где -	заданный напор (располагаемый).

Отсюда или в общем виде

. (6.40)

Из формулы (6.40) следует, что диаметры труб изменяются обратно пропорционально корню четвёртой степени из величины напора или потерь напора.

Пусть напор увеличился в 2 раза: , тогда

Новый расчётный диаметр d₁ будет на 16% меньше предыдущего d.



7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

7.1. Основные положения

Решение дифференциальных уравнений гидродинамики охватывает ограниченный круг задач. В ряде случаев аналитическое решение сопряжено со значительными математическими трудностями. В частности, не всегда можно получить удовлетворительный результат и с помощью численных методов. В таких случаях на помощь приходят экспериментальные методы исследования.

Цель этих исследований состоит в том, чтобы получить данные, необходимые для расчета других процессов, родственных изучаемому.

Эксперименты проводятся на специально создаваемых модельных установках, моделирующих определенным образом исследуемые устройства и протекающие в них физические процессы.

Известны физический и математический методы моделирования.

При физическом моделировании исследуемая модель обычно выполняется в меньшем масштабе, чем оригинал (натура), и воспроизводит изучаемое явление с сохранением его физической природы.

Математическое моделирование осуществляется путем изучения явлений, имеющих иное, чем исследуемый процесс, физическое содержание, но описываемых аналогичными математическими уравнениями.

7.2 Законы механического подобия

Полученные на модели результаты опытных исследований обобщаются и затем переносятся на натуру. Выполнение этой процедуры требует знаний законов, связывающих между собой величины, полученные при исследованиях на модели, и соответствующие им величины в натуре.

Эти законы называются законами подобия. Они устанавливают определенные соотношения между геометрическими размерами, кинематическими и динамическими характеристиками потоков в модели и натуре.

Законы подобия подробно изучаются в специальных курсах теории подобия и моделирования.

Следует отметить, что теория подобия имеет большое теоретическое и практическое значение не только для моделирования различных явлений и процессов, но и прежде всего для научного обоснования экспериментальных исследований, обработки их результатов и построения на их основе рациональных эмпирических формул.

Следует иметь в виду, что динамическое или вообще физическое подобие является обобщением геометрического подобия.

Рассмотрим способы получения масштабных коэффициентов для геометрического, кинематического и динамического подобия.

7.2.1 Геометрическое подобие

Пусть имеем натурный объект (поток), подлежащий гидродинамическому исследованию, и его модель.

Обозначим геометрические размеры объекта (натурного потока) индексом 1, а модельного - индексом 2.

Чтобы получить область течения в модели, геометрически подобную натурному потоку, разделим все линейные размеры натурного потока на некоторое число k, которое называется линейным масштабом. Таким образом получаем связь между геометрическими размерами а₁ и а₂, b₁ и b₂, в виде равенств:

. (7.1)



Линейные размеры, связанные соотношением (7.1), называют соответственными, или сходственными.

Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называют сходственными.

Безразмерные координаты сходственных точек одинаковы.

Обычно за единицу измерения всех линейных величин в соответствующих потоках принимают L₁ (натура), L₂ (модель) и находят линейный масштаб k_l:

. (7.2)

Для площадей и объемов соответственно имеем:

(7.3)

Очевидно, что для геометрических подобных потоков необходима пропорциональность соответствующих площадей и объемов.

7.2.2 Кинематическое подобие

Кинематическое подобие обязательно включает в себя геометрическое подобие, т.е. для кинематического подобия необходимо, чтобы траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.

Кроме того, для кинематически подобных потоков отрезки траекторий соответствующих частиц натурного и модельного потоков, а также отрезки времени, в течение которых протекают соответствующие процессы в натуре и в модели, должны быть пропорциональны.

Другими словами, если в первом потоке (натуре) частицы проходят путь L₁ за время t₁, то во втором потоке (модели) - путь L₂ за t₂.

Причем, отрезки L₁ и L₂ должны быть геометрически подобны, а отношение должно быть одинаковым для сходственных точек обоих потоков.

Отношение называется масштабом времени и обозначается k_t. Например, для скоростей частиц жидкости в сходственных точках потока легко получить следующие выражения:

Тогда

.

Очевидно, что

.

Аналогично находим масштаб ускорений:

.

Таким образом, скорости и ускорения в сходственных точках потока связаны соотношениями



. (7.4)

7.2.3 Динамическое подобие

Динамическое подобие обязательно включает в себя геометрическое и кинематическое подобия. В любых потоках, если физическая природа действующих на жидкость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные силовые многоугольники, они являются динамически подобными.

В динамически подобных потоках отношение одноименных сил в сходственных точках в натуре и на модели постоянны, т.е.

, (7.5)

где Р -	любая сила, в том числе и равнодействующая;
kр -	масштабный коэффициент, или масштаб сил.

К силам, действующим в потоке жидкости, можно отнести: силы внутреннего трения жидкости, силы тяжести, силы поверхностного натяжения и др.

Для динамически подобных потоков отношение плотностей жидкости в натуре и на модели должно быть постоянным:

. (7.6)

Обозначим действующие в сходственных точках натурного и модельного потоков силы Р₁ и Р₂ соответственно. По основному уравнению динамики, известному из теоретической механики, сила равна произведению массы на ускорение:



,

где m -	масса жидкости;
а -	ускорение.

Учитывая, что масса равна произведению плотности на ее объем

,

где ,

тогда

.

Ускорение определяется приращением скорости в единицу времени t, т.е. .

Следовательно,

. (7.7)

Таким образом, для динамического подобия необходимо, чтобы силы находились в соотношении

. (7.8)



Выражение (7.8) является математическим выражением общего закона динамического подобия, впервые сформулированным Ньютоном.

Преобразуем выражение (7.8) к виду

. (7.9)

Следовательно, - критерий Ньютона. Критерий Ньютона является обобщенным критерием динамического подобия механических систем.

В гидродинамических исследованиях во многих случаях оказывается невозможным найти количественные оценки действующих внешних сил, а следовательно, и их равнодействующей. Поэтому при исследованиях гидравлических явлений часто выделяют только одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.

7.3 Гидродинамические критерии подобия

Рассмотрим порядок получения критериев, в которых учитывается действие тех или иных сил.

1. Рассмотрим движение вязкой жидкости по горизонтальному трубопроводу. В этом случае решающее значение имеют силы внутреннего трения.

По основному закону внутреннего трения эти силы могут быть выражены следующим образом:

. (7.10)

Для натурного и модельного потоков получим отношение вида

. (7.11)

Приравнивая правую часть отношения (7.11) к полученному выше основному уравнению динамического подобия, получим

. (7.12)

Преобразуем выражение (7.12) к виду

.

Заменив отношение кинематической вязкостью , получим

. (7.13)

Отсюда критерий Рейнольдса

, (7.14)

где l -	характерный размер, в частном случае - диаметр трубы d:



. (7.15)

Следовательно, в рассматриваемом случае критерием динамического подобия является число Рейнольдса и условие подобия (7.13). Это равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

Физический смысл критерия Рейнольдса. Критерий Re характеризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости).

Рассмотрим движение по трубопроводу неньютоновской вязкопластичной жидкости при определении сил внутреннего трения.

Силы внутреннего трения в этом случае обусловлены как вязкими, так и пластичными ее свойствами. Тогда необходимо учитывать напряжение сдвига ₀, а именно:

. (7.16)

Запишем уравнение (7.8) с учетом уравнения (7.16):

.

Преобразуем это выражение к виду

,

тогда



,

где -	критерий Рейнольдса для ньютоновской жидкости;
-	критерий Сен-Венана (Ильюшина), характеризующий пластические свойства жидкости.

Окончательно можно записать:

. (7.17)

2. Если влияние вязкости жидкости незначительно и движение жидкости преимущественно обусловлено действием сил тяжести, то в основное уравнение динамического подобия (7.8) вместо силы Р надо подставить значение силы тяжести:

, (7.18)

где -	масса жидкости;
g -	ускорение силы тяжести.

Запишем уравнение (7.8) с учетом формулы (7.18)



или после сокращений

. (7.19)

Выражение (7.19) называется законом подобия Фруда, а - критерием Фруда. Критерий Фруда характеризует отношение силы инерции к силе тяжести.

Критерий Фруда применяется при моделировании большинства гидротехнических сооружений, истечении жидкости через водосливы, при изучении волнового сопротивления, испытываемого движущимися кораблями.

Если преобладающее влияние имеет сила поверхностного напряжения (например при истечении жидкости из капиллярных отверстий), то в уравнение (7.8) вместо силы Р следует подставить выражение силы поверхностного натяжения:

. (7.20)

Тогда имеем

.

Отсюда получим



. (7.21)

Выражение (7.21) называется законом подобия Вебера, а - это критерий Вебера. Он характеризует отношение сил инерции к силам поверхностного натяжения.

Контрольные вопросы

1. Раскройте сущность физического моделирования.

2. Раскройте сущность математического моделирования.

3. Что называется законами механического подобия?

4. Раскройте сущность геометрического, кинематического и динамического подобия.

5. Что такое коэффициенты подобия?

6. Что такое критерий Ньютона?

7. Раскройте физический смысл критерия Рейнольдса.

8. Раскройте физический смысл критерия Фруда.

9. Раскройте физический смысл критерия Вебера.

10. Что характеризует критерий Сен-Венана (Ильюшина)?

7.4 Физическое моделирование

Физическое моделирование находит широкое применение при опытных исследованиях в области гидравлики. Моделирование основано на создании модели, имеющей ту же физическую природу, что и процессы, протекающие в натуре. Достоинством этого метода является возможность изготовления модели в любом произвольном масштабе и применения на модели любой жидкости.

Обычно модель выполняется меньших размеров, чем в натуре, что значительно удешевляет и упрощает проведение опытов. Полученные результаты опытов обрабатываются и обобщаются с целью переносов их в натуру. Физическое моделирование базируется на законах теории механического подобия и теории размерностей.

На практике обычно применяется частичное, или приближенное, моделирование. В этом случае модель исследуется по основным признакам, соответствующим реальному процессу.

При частичном моделировании используются свойства приближенного подобия по одному из определяющих критериев.

В этом случае основной задачей является определение связи между определяющими и неопределяющими критериями, а также нахождение масштабов для основных физических величин.

Непременным условием при физическом моделировании является строгое геометрическое подобие модели и натуры, а также равенство в них соответствующих критериев подобия.

Рассмотрим примеры частичного физического моделирования.

Примеры

Пример 1. Частичное моделирование по критерию Рейнольдса.

Если при движении жидкости преобладающими силами, определяющими движение жидкости или газа, являются сила трения и инерции, то моделирование проводится по критерию Re.

Согласно условию динамического подобия

. (7.22)

Причем вязкость жидкости на модели и в натуре одна и та же, то есть .

Соотношение (7.22) принимает вид:



. (7.23)

Отсюда просто определяется масштаб скоростей:

.

Масштабы других физических величин находятся следующим образом.

Например, определение масштаба расхода вычисляется из уравнения расхода

.

Для динамически подобных потоков определяется комбинация масштабных коэффициентов, с учетом соотношения (7.23):