Давление у основания трубки определяется выражением:

,



Для измерения вакуума служат приборы, называемые вакуумметрами.

Вакуумметр представляет собой изогнутую трубку.

Конец трубки А присоединен к сосуду В, в котором измеряется вакуум.

Трубка с открытым концом сообщается с атмосферой. Применяя основное уравнение гидростатики p = p_атм - _ртqh_рт, находим высоту h_рт = , соответствующую вакууму в сосуде, которую обычно называют вакуумметрической высотой и обозначают h_вак.

Применение рассмотренных приборов жидкостного типа ограничивается областью сравнительно невысоких давлений. В основном, их используют в лабораторной практике.

Для измерения высоких давлений применяют механические приборы. Существуют два типа приборов: пружинные и мембранные.

2.12 Равновесие тела в покоящейся жидкости

Закон Архимеда

Определим силу давления со стороны жидкости на погруженное в нее тело

Рассмотрим тело, погруженное в жидкость объемом W и плотностью .

Плотность жидкости . Поверхностные силы и взаимно уравновешены.

Вертикальные силы давления, действующие на поверхности АВ и СD, равны весу жидкости в объеме соответствующего тела давления:

и ,

где -	плотность жидкости;
W -	объем соответствующего тела давления.

Равнодействующая этих сил

. (2.89)

Сила Р называется Архимедовой силой и направлена вверх.

Формула (2.89) отражает закон Архимеда: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости.

Силу Р называют взвешивающей силой, подъемной силой или водоизмещением, а точку ее приложения к телу, соответствующую центру давления, называют центром водоизмещения.

При полном погружении тела в однородную жидкость сила Р зависит не от глубины погружения, а только от плотности жидкости (если = const) и от объема тела W.

Линия действия Архимедовой силы Р проходит через центр тяжести объема вытесненной жидкости W_i.

Рассмотрим условия равновесия плавающих тел.

Условия равновесия погруженного в жидкость тела определяются характером погружения тела и соотношением действующих на тело вертикальных сил: веса тела и архимедовой силы:

,

где 1 -	плотность тела.

При полном погружении однородного тела ()под уровень свободной поверхности центр водоизмещения совпадает с центром тяжести тела, а силы G и P направлены по одной вертикали. Можно выделить три случая:

1) или G-P = > 0, т.е. G > P.

Следовательно, тело тонет, т.е. равнодействующая сил направлена вниз.

2) или G-P = , т.е. G = P.

В этом случае тело находится в состоянии безразличного равновесия. Равнодействующая сил равна нулю.

3) или G-P = , т.е. P > G.

Тело всплывает на поверхность жидкости. Равнодействующая сил направлена вверх.

Все вышеизложенное относится и к подводному плаванию неоднородного тела с той лишь разницей, что центр тяжести его будет лежать ниже центра водоизмещения.

Вес жидкости в объеме погруженной части тела называется водоизмещением, а центр тяжести этого объема D - центром водоизмещения

Линия А-А называется ватерлинией, а внутренняя часть - плоскостью плавания. Линия О-О является осью плавания. Расстояние CD называется эксцентриситетом.

Способность плавающего тела восстанавливать начальное положение после воздействия внешней силы называется остойчивостью (рис. 2.25).

где I0 -	момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси;
W -	объем водоизмещения.

М - метацентр; r_м - метацентрический радиус;

h_м = r_м - l - метацентрическая высота

Тогда

;

- плавание остойчивое и - неостойчивое.

Примеры

Пример 1. Определить силу, точку приложения и направление ее действия, если вода действует на затвор диаметром D = 2 м, шириной В = 3 м

Решение:

1. Cила, действующая на вертикальную проекцию, :

кН.

2. Вертикальная составляющая силы

кН.

3. Полная сила гидростатического давления

кН.

4. Угол наклона результирующей силы с горизонтальной осью

.

Сила Р проходит через центр окружности и приложена в точке D.

Пример 2. Определить плотность шара , плавающего в сосуде, при полном погружении, если центр тяжести шара лежит в плоскости раздела жидкостей ₁ = 1000 кг/м³ и ₂ = 1200 кг/м³

Решение: Обозначим объем шара 2W. Так как центр шара находится в плоскости раздела, то ясно, что он вытеснил равные объемы W каждой из жидкостей.

Очевидно, что на шар действуют выталкивающие силы: верхней его половины и нижней половины. В равновесии алгебраическая сумма силы тяжести и архимедовых сил равна нулю, т.е.

.

После сокращения на получим

кг/м³.

Пример 3. Определить минимально необходимый диаметр шарового поплавка, обеспечивающего автоматическое закрытие клапана при наполнении резервуара, если вода под давлением Па заполняет резервуар через трубу диаметром d = 15 мм, при а = 15 мм и b = 500 мм.

Cобственной массой рычага, клапана и поплавка пренебречь

Решение:

1. Сила, действующая на клапан:

.

2. Подъемная сила, приложенная к шару:

.

3. Необходимый объем поплавка:

.

4. Диаметр шара:

.

Контрольные вопросы

1. По каким формулам определяется сила давления и центр давления на цилиндрические поверхности?

2. Что такое тело давления? Как определяется тело давления при отсутствии свободной поверхности?

3. Как определяется давление жидкости в круглой трубе?

4. По какой формуле определяется сила гидростатического давления жидкости на колено трубы?

5. Как формулируется закон Архимеда?

6. Что такое остойчивость плавающего тела?

7. Что называется метацентром и метацентрическим радиусом?



3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

3.1 Основные понятия и определения кинематики и динамики жидкости

Кинематика жидкости изучает связь между геометрическими характеристиками движения и времени (скоростью и ускорением).

Динамика жидкости (или гидродинамика) изучает законы движения жидкости как результат действия сил.

Классификация видов движения жидкости основана на ряде признаков.

По характеру протекания процесса:

1. Неустановившееся движение жидкости - движение, изменяющееся во времени, т.е. скорость и давление в данной точке изменяются с течением времени. Иллюстрацией неустановившегося движения жидкости может быть истечение из резервуара при его опорожнении.

2. Установившееся движение жидкости - это такое, при котором в любой точке пространства скорость и давление не изменяются ни по направлению, ни по величине.

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

Равномерным движением называется такое, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а траектории частиц - прямолинейны и параллельны оси ох, т.е. поле скоростей не изменяется вниз по течению.

Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю. В символической форме это условие можно записать ; здесь (f) означает тот или иной параметр, например скорость, глубину h, путь , ускорение а.

Неравномерное движение - это движение, не удовлетворяющее определению равномерного движения, т.е. .

Равномерное и неравномерное движение может быть напорным и безнапорным. При напорном жидкость соприкасается с твердой стенкой (р > р_атм) по всему периметру своего сечения, а при безнапор-

ном - лишь по части периметра, причем при условии, что .

При поступательном движении частиц жидкости наблюдается их вращательное движение. Такое движение называется вихревым.

Поступательное движение в направлении одной координаты называется одномерным движением жидкости.

; р = р(х) - установившееся одномерное движение жидкости;

; р = р(х,t) - неустановившееся одномерное движение жидкости.

Если параметры жидкости при движении изменяются в направлении двух координат, то движение называется двухмерным:

; р = р(х, у) или ; р = р(х, у, t).

При изменении параметров жидкости по трем координатам движение называется трехмерным:

; р = р(х, у t)

или

; р = р(х, у, z, t)

Прикладная механика жидкости и газа занимается одномерным движением жидкости при решении практических задач.

3.2 Гидравлические элементы потока

Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, нормальное к направлению движения и ограниченное его внешним контуром.

Смоченным периметром называется длина контура живого сечения, на которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру :

.

3.3 Геометрические характеристики потока

Основными геометрическими характеристиками являются траектория, линия тока и линия отмеченных точек.

Траектория - линия, по которой движется некоторая частица М.

Линия тока - кривая, проходящая через такие частицы, скорость которых в данный момент времени направлена по касательной к этой линии

Система линий тока характеризует направление течения потока в данный момент времени

При неустановившемся движении жидкости линии тока изменяют свою форму и расположение, а картина движения изменяется во времени.

При неустановившемся движении линия тока и траектория не совпадают друг с другом

Две различные линии тока во всех случаях не пересекаются между собой. Так, полная скорость в точке А, скорость u (см.

рис. 3.3) направлены по касательной к линии С-С и, следовательно, линия а-а не является линией тока.

Линия отмеченных точек - линия, на которой в данный момент времени лежат частицы жидкости, прошедшие в свое время через одну и ту же начальную точку.

Иллюстрацией такой линии может служить линия расположения поплавков, последовательно выпущенных из одной и той же точки.

3.4 Трубка тока и элементарная струйка

Трубкой тока называется трубчатая поверхность бесконечно малого поперечного сечения, образованная системой линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура

Жидкость, протекающая внутри этой трубки, называется элементарной струйкой. Элементарная струйка изолирована от окружающей массы жидкости. Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхность трубки тока, так как на ней u_n = 0. Совокупность элементарных струек представляет собой поток конечных размеров. Струйная модель потока жидкости упрощает теоретические исследования движения жидкости.

Основные свойства элементарной струйки:

1. Скорость и площади сечений элементарной струйки могут меняться вдоль струйки, скорости же в пределах одного сечения элементарной струйки вследствие малости площадки одинаковы.

2. Жидкость не может протекать через боковую поверхность элементарной струйки, так как на основании определения линии тока в любой точке поверхности элементарной струйки скорость направлена по касательной к поверхности.

Объем жидкости, проходящей в единицу времени через данное поперечное сечение струйки, называется элементарным расходом.

За время dt все частицы из сечения 1-1 переместятся на расстояние в сечении 1-1. Здесь u - скорость движения частиц. Объем жидкости между сечениями

.

За единицу времени проходит количество жидкости в объеме, равном:

. (3.1)

Единица измерения м³/с. Массовый расход , кг/с. Весовой расход , Н/с.

3.5 Расход и средняя скорость потока

Поток представляет собой совокупность элементарных струек видно, что скорость в отдельных струйках различна.

Расход потока Q равен сумме расходов элементарных струек, т.е.

. (3.2)

Скорость движения потока характеризуется средней скоростью в данном поперечном сечении:

(3.3)

или уравнение расхода . (3.4)

3.6 Условие неразрывности, или сплошности движения жидкости

Для двух сечений 1-1 и 2-2 элементарной струйки в установившемся движении (рис. 3.7) можно записать:

.

Видно, что dQ₁ > dQ₂ по условию несжимаемости и dQ₁ < dQ₂ по условию сплошности движения.

Следовательно, условие неразрывности имеет вид dQ₁ = dQ₂ или u₁d₁ = u₂d₂.

Очевидно, что для всего потока имеем

_{1 1} = _{2 2}

или

.

Таким образом, при установившемся движении жидкости расход в любом сечении потока остается неизменным.



3.7 Методы исследования движения жидкости

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

(3.5)

Функция (3.5) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение а жидкой частицы в соответствии с физическим смыслом:

.

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени:

,

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

(3.6)

Учитывая, что для движущейся жидкости

,

преобразуем функции (3.6) к виду:

(3.7)



где ; ; -	индивидуальные или субстанциональные производные;
; ; -	локальные производные, выражающие изменение во времени вектора u в фиксированной точке пространства;
-	конвективная производная вектора u. Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

3.8 Уравнение Эйлера

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

. (3.8)

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 3.9) и запишем основное уравнение (3.8) в проекциях по осям:

(3.9)

Для первого уравнения (3.9) найдем массу

.

Ускорение вдоль оси Ох равно первой производной скорости по времени t, т.е. :

.

Учитывая, что ,

где ,

получим

. (3.9а)

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу dR_x включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань АВСD и АВСD:

,

где р и р -	среднее гидростатическое давление для указанных граней:

.

Тогда . Сила dP₂ войдет в основное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на боковые грани:



. (3.10)

Проекция объемной силы dFx определяется выражением:

, (3.11)

где Х -	проекция ускорения объемной силы;
-	плотность жидкости;
dxdydz = dV -	объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеет вид:

. (3.12)

Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:

.

После сокращения на , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

. (3.13)

Аналогично составив выражения для сил dRy и dRz и для dma_y и dma_z, получим три уравнения Эйлера:



(3.14)

Система (3.14) описывает движение как капельной, так и газообразной жидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных u_х, u_у, u_z, p и , поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениями являются уравнения неразрывности и характеристическое уравнение.

При (для капельной жидкости) достаточно уравнения неразрывности:

.

Контрольные вопросы

Что изучает кинематика и динамика жидкости?

2. Что представляет собой линия потока и траектория движения? В чем различие?

3. Что называется трубкой тока, элементарной струйкой и каковы их свойства?

4. Что называется потоком жидкости?

5. Что называется живым сечением, смоченным периметром и гидравлическим радиусом?

6. Что называется средней скоростью потока и расходом?

Напишите уравнение неразрывности (сплошности) потока.

8. Приведите примеры равномерного и неравномерного, напорного и безнапорного движения.

Что изучает метод Лагранжа?

Что изучает метод Эйлера?

3.9 Интегрирование уравнения Эйлера для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

.

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

(3.15)

Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy и dz являются проекциями элементарного перемещения.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

. (3.16)

Учитывая, что ; и , преобразуем правую часть уравнения (3.16) к виду:



где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось ox т.е.

. (3.17)

С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде

. (3.17а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

(3.17б)

(3.17в)

Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых преобразований получим:

Здесь u² представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции U(x, y, z) и полного дифференциала dp, т.е.

и

;

тогда имеем

или

. (3.18)

После интегрирования уравнения (3.18) получаем:

. (3.19)

Выражение (3.19) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. , то

и . (3.20)

С учетом выражений (3.20) интеграл Бернулли (3.19) принимает вид:

или после деления членов уравнения на g получим известное уравнение Бернулли в его обычной форме:

. (3.21)

Для установившегося вихревого движения значение Н постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потенциальных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоретическое значение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот остается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис 3.10). Высота z называется геометрической высотой, или высотой положения центра тяжести сечения струйки; - высота, определяемая величиной гидродинамического давления, или пьезометрическая высота; - скоростная высота, или скоростной напор.

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

.

Так как , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.

3.10 Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При решении различных практических вопросов приходится иметь дело не с элементарными струйками, а с потоком реальной жидкости конечных размеров.

В этом случае уравнение Бернулли может быть получено путем суммирования элементарных струек.

Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения при следующих допущениях:

1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. , и подчиняется основному закону гидростатики: .

2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости учитываются между сечениями потока величиной

3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:

,

где n -	число струек;
u -	скорость в любой струйке.

4. Жидкость несжимаема .

Умножив все члены уравнения для элементарной струйки, с учетом потерь энергии на , получим:

Суммируя по площади живого сечения, имеем:

(3.22)

Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.

Выражения и представляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протекающей в единицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.

С учетом допущения

и . (3.23)

Однако .

Объясняется это тем, что есть арифметическая сумма произведений расходов отдельных элементарных струек dQ на квадраты их действительных скоростей u².

Произведение - суммарный расход потока:

,

умноженный на среднюю скорость потока:

где n -	число струек.

Подобная замена требует корректировки кинетической энергии потока в выражении . Эта корректировка представляет собой отношение действительной кинетической энергии жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени, к кинетической энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы скорость жидкости во всех струйках была бы одинаковой и равнялась средней скорости, т.е. - коэффициент Кориолиса.

С учетом того, что и , получим

.

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем на основании измерений скорости в различных точках исследуемого потока. Коэффициент всегда больше единицы.

Для так называемого ламинарного режима движения жидкости в цилиндрической трубе коэффициент = 2, а для турбулентного

= 1,045-1,10.

Рассмотрим выражение второго члена уравнения (3.22), представляющего собой потенциальную энергию потока:

. (3.24)

Третий член уравнения (3.22) представляет собой сумму работ сил сопротивления.

Подразумевая под Э1-2 осредненное значение потерь удельной энергии, получим:



. (3.25)

Подставляя выражения (3.23) и (3.25) в уравнение (3.22), получим:

.

Сокращая на Q, после преобразования имеем:

или

, (3.26)

где -	потери напора, м.

В общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости принимает форму

, (3.27)

где-	подразумеваемая средняя скорость потока.



При практических расчетах часто принимают = 1, тем самым пренебрегают неравномерностью распределения скоростей.

Рассмотрим геометрический смысл уравнения Бернулли для потока жидкости, обладающей вязкостью

Сумма в каждом сечении является пьезометрическим напором

.

Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, называется пьезометрической линией.

Величина называется скоростным напором

Сумма пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим, или полным напором, который можно выразить зависимостью

.

Линия, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдоль движения, называется напорной линией, а ее уклон - гидравлическим уклоном I.

Величина в уравнении Бернулли представляет потери напора. Если потери напора отнести к единице длины потока, то получим гидравлический уклон.

В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают при уменьшении давления:



- пьезометрический уклон;

- гидравлический уклон.

3.11 Практическое применение уравнения Бернулли

На основе уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких, как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор, карбюраторы поршневых двигателей и др.

Примеры

Пример 1. Водомер Вентури представляет собой короткий отрезок трубы с сужением посредине (рис. 3.13). В широкой части и горловине устанавливаются либо пьезометры, либо дифференциальный манометр.

Применим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 без учета потерь и при

.

Преобразуем уравнение следующем образом:

.

разность в левой части равна h.

Тогда



или

;

но

;

тогда

.

Используя уравнение расхода , преобразуем формулу к виду

.



Обозначим постоянные величины через - постоянная Водомера, тогда - теоретический расход. Действительный расход водомера определяется по формуле

,

где -	коэффициент расхода водомера.

Пример 2. Карбюратор поршневых двигателей внутреннего сгорания служит для осуществления подачи бензина и смешения его с потоком воздуха (рис. 3.14). Поток воздуха, засасываемый в двигатель, сужается там, где установлен распылитель бензина.

Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по уравнению Бернулли падает.

Найдем соотношение между весовым расходом бензина G_б и воздуха G_в при заданных размерах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2-2) _в и жиклера ж.

Запишем уравнение Бернулли для потока воздуха (сечения 0-0 и 2-2), а затем для потока бензина (сечения 1-1 и 2-2) и получим при и = 1.

;

.

Отсюда



.

С учетом весовых расходов

и

получим

.

Пример 3. Трубка Пито широко применяется для измерения скорости воды и газа. Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Горизонтальная плоскость сравнения 0-0 проходит через носок трубки (рис. 3.15)

.

Так как ; то, обозначив запишем:

.

Отcюда



.

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости и поясните величины, входящие в него.

2. Чем отличается уравнение Бернулли для потока реальной жидкости от уравнения Бернулли для элементарной струйки?

3. Что называется полной удельной энергией потока?

4. Поясните физический смысл коэффициента Кориолиса в уравнении Бернулли.

5. Поясните энергетический смысл уравнения Бернулли.

6. Что называется пьезометрическим и гидравлическим уклонами?

7. Приведите примеры практического применения уравнения Бернулли.

8. На основе какой модели получен вывод уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

9. Что такое пьезометрический и скоростной напор?

Что называется полным напором?

3.12 Гидравлические сопротивления. Режимы движения жидкости

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом определяет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, обладающее достаточной степенью совершенства. Для этого необходимо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Рейнольдс в 1883 году подтвердил теорию о существовании двух режимов движения жидкости. Это прежде всего ламинарный режим движения жидкости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц.

При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни - вихревой). Такое движение называют беспорядочным.

Для оценки режима движения жидкости Рейнольдс ввёл безразмерный критерий Re, который учитывает влияние скорости v, диаметра (характерного размера) , плотности , а также динамической вязкости :

или ,

где = -	кинематическая вязкость.

Граница существования того или иного режима движения жидкости определяется двумя критическими значениями числа Re: нижним и верхним .

Так, при > Re возможен только ламинарный режим, а при < Re - только турбулентный режим, при < Re < наблюдается неустойчивое состояние потока.

При расчётах принято исходить из одного критического значения числа Re = 2320, что приводит к большей надёжности в гидравлических расчётах. Критерий Рейнольдса удобен тем, что может применяться для формы живого сечения через гидравлический радиус. Например, для круглого сечения

.

Тогда

. (3.28)

Для сечения прямоугольной формы со сторонами b и h

.

Тогда .

Критерий Рейнольдса является как бы мерой отношения кинематической энергии жидкости к работе сил вязкого трения. От критерия Рейнольдса в общем случае зависят все безразмерные коэффициенты, входящие в расчётные зависимости, которые применяются в практике гидравлических расчётов.

3.13 Потери напора при равномерном движении

Рассмотрим равномерное движение в трубопроводе при следующих условиях:

1. Ускорение потока равно нулю, следовательно, силы инерции отсутствуют.

2. Средние скорости во всех поперечных сечениях одинаковы.

3. Местные сопротивления отсутствуют. Существуют сопротивления по длине, вызывающие соответствующие потери напора на трение

4. Закон распределения давления между сечениями 1-1 и 2-2 подчиняется гидростатическому, т.е.



.

5. На объём жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 действуют силы внешнего давления Р₁ и Р₂ (Р = р), сила тяжести и сила сопротивления движению .

Пользуясь принципом Д'Аламбера, напишем уравнение динамического равновесия для массы жидкости, заключённой между сечениями 1-1 и 2-2 на оси х:

. (3.29)

В состав активных сил входят:

1. Сила земного притяжения , проекция которой на ось х равна:

.

Так как , то получаем

. (3.30)

2. С учётом допущения п. 4, равнодействующие сил давления Р₁ и Р₂ приложены в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2 и равны:

и .

Тогда сумма проекций на ось х

. (3.31)

3. Нормальные силы к оси х равны и противоположно направ-лены, поэтому проекции сил N...N равны нулю.

Очевидно, что левая часть уравнения (3.30) составляет две силы, а именно:

. (3.32)

Силы сопротивления F_сопр определяются по касательным напряжениям на стенке канала. Эти силы направлены параллельно оси потока в сторону, обратную движению жидкости.

Обозначим силу сопротивления на элементарную площадку d через dF, тогда для участка трубы имеем:

. (3.33)

После интегрирования, принимая ( может изме-няться по периметру) в выражении (3.33), получим

, (3.34)

где 0 -	среднее значение касательного напряжения на стенке.

С учётом уравнений (3.32) и (3.34) запишем уравнение динамического равновесия в виде

. (3.35)



Разделив члены уравнения (3.35) на , получим

. (3.36)

Обозначим отношение , после преобразования выражения (3.36), имеем

. (3.37)

Сравним уравнение Бернулли, записанное для сечений 1-1 и 2-2:

. (3.38)

Так как при равномерном движении , то из сопоставления уравнений (3.37) и (3.38) находим

. (3.39)

Учитывая, что (где i - гидравлический уклон), преобразуем выражение (3.39) к виду

или . (3.40)



Это уравнение академик Н.Н. Павловский назвал основным уравнением равномерного движения.

Опытным путём Шези установлено, что величина пропорциональна квадрату скорости, т.е.

, (3.41)

где -	коэффициент пропорциональности, в общем случае величина переменная.

Подставим равенство (3.41) в выражение (3.39), получим формулу Вейсбаха

.

Учитывая, что , преобразуем формулу Вейсбаха к виду

.

Обозначим , получим

, (3.42)

где -	коэффициент гидравлического трения.



Формула (3.42) именуется формулой Дарси-Вейсбаха. Она используется для расчёта трубопроводов.

Учитывая, что и , получим

.

Отсюда

.

Обозначив , м/с, получим формулу Шези

,

где С -	коэффициент Шези.

Формула Шези получила широкое применение в расчётах открытых потоков.

Анализ формулы (3.42) показывает, что потери пропорциональны квадрату скорости, а закон сопротивления называется законом квадратичного сопротивления.

В то же время установлено, что потери напора, помимо скорости, зависят от характера режима, формы и размеров сечения, вязкости жидкости, материала и состояния стенок.

Это не учитывается формулами Шези и Дарси-Вейсбаха.

На графике (рис. 3.18) показана зависимость потерь на трение в зависимости от скорости движения жидкости . Однако квадратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и обычно применяются как для турбулентного, как и для ламинарного режимов течения жидкости.

Отклонения от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Поэтому основная задача при определении потерь на трение при равномерном движении жидкости сводится к определению коэффициентов и С при известной скорости движения жидкости.

3.14 Способы определения потерь напора при равномерном движении жидкости

Основной формулой при расчёте напорных трубопроводов является формула Дарси-Вейсбаха:

,

а при расчёте течений в открытых руслах - формула Шези:

.

Применение этих формул связано с определением коэффициентов и С.

При ламинарном движении жидкости коэффициент для труб определяется по формуле



. (3.43)

Впервые наиболее исчерпывающие данные о значении были получены Никурадзе.

В пределах прямой 1 коэффициент зависит не от шероховатости стенок трубы, а от числа Re (см. формулу 3.43). Прямая 2 представляет зависимость для гидравлических гладких труб, у которых шероховатость меньше толщины ламинарного пристенного слоя.

Коэффициент для гидравлических гладких труб определяется по формуле Блазиуса (прямая 2):

(3.44)

Между линиями 2 и линией 3 слева располагается зона А, в которой зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости поверхности стенок труб.

Для определения в этой области может применяться формула А. Д. Альтшуля:

, (3.45)

где kэ -	эквивалентная равномерно зернистая шероховатость, определяемая опытным путем.

В области Б коэффициент зависит только от шероховатости.

Для определения в этой области рекомендуется формула Никурадзе



, (3.46)

где r -	радиус трубы;
-	абсолютная шероховатость стенок трубы.

Сущеструют формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Б. Н. Шифринсона, Н. Ф. Фёдорова и других.

3.15 Местные гидравлические сопротивления

Местные сопротивления вызываются фасонными частями, арматурой и другими элементами трубопровода. При движении жидкости на местных сопротивлениях изменяется величина и направление скорости.

Потери, связанные с преодолением местных сопротивлений, пропорциональны кинетической энергии потока:

, (3.47)

где м -	коэффициент местных сопротивлений зависит не только от вязкости и скорости движения основного потока, но главным образом от геометрической формы и размеров сопротивления.

При турбулентном режиме движения жидкости потери h_м зависят только от геометрических характеристик сопротивления.

Рассмотрим вопрос о потере напора при внезапном расширении трубопровода (рис. 3.20). Часть энергии в этом случае расходуется на сложное циркуляционное движение жидкости в кольцевом пространстве между струёй и стенками трубы за сечением 1-1.

Вследствие отрыва потока и связанного с ним вихреобразования на участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 наблюдаются значительные потери напора.

Учитывая, что давление на торцевой стенке АВ практически равно давлению на выходе из узкой части трубы р₁, найдём величину потерь по уравнению Бернулли:

(3.48)

Из теоремы импульсов для сечений 1-1 и 2-2 можно записать:

. (3.49)

Пренебрегая силами трения на участке 1-2 и учитывая, что , после деления на обеих частей уравнения (3.49) получим:

или

. (3.50)

Подставляя выражение (3.50) в уравнение (3.48), найдём:



или

. (3.51)

То есть, потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Выражение (3.51) называется теоремой, или формулой Борда.

Формулу (3.51) можно привести к виду:

.

С учётом того, что ₁₁ =₂₂ и , получим:

- относится к скорости ₁;

- относится к скорости ₂.

Суммарные потери напора в трубопроводе постоянного диаметра

.

Примеры

Пример 1. Определить режим движения жидкости в лотке прямоугольной формы высотой 0,2 м и шириной 0,5 м при уровне воды 0,15 м и скорости = 1,2 м/c

Решение: Принимая м²/c, по формуле (3.28) определяем:

.

Так как Re > Re_кр = 580, то режим движения потока будет турбулентным.

Пример 2. Определить режим движения и потери напора по длине трубопровода (рис. 3.22), если длина трубопровода 100 м, диаметр d = 100 мм, Q = 10 л/c, _ж = 0,726 см²/с.

Решение: Скорость потока в трубопроводе

см/с.

Число Рейнольдса

.

Так как число Рейнольдса меньше 2320, то режим движения ламинарный: .

Потери напора



.

Пример 3. Определить потери давления при внезапном расширении трубопроводов, применяемых в качестве нагревательных приборов системы отопления. Стояк, подводящий нагретую воду, и соединительные трубы выполнены диаметром d = 0,025 м и приварены к торцу труб d₁ =100мм. Скорость воды в подводящих трубах =0,3 м/с, а температура воды t=80⁰С.

Решение: Кинематическая вязкость и плотность воды в подводящей сети (при t = 80 ^оС) равны соответственно:

м²/с; кг/м³.

Находим число Рейнольдса в трубопроводах подводящей сети по формуле

.

Потери давления определим по формуле Борда:

.

Контрольные вопросы

1. Какие два режима движения жидкости вы знаете и каковы их характерные особенности?

2. Какие физические свойства жидкости и характеристики потока влияют на режимы движения жидкости?

3. Каким критерием оцениваются режимы движения жидкости?

4. Запишите и поясните критерий оценки для круглого сечения потока и потока произвольной формы.

5. Приведите примеры ламинарного и турбулентного режимов движения потока для жидкостей с различной вязкостью.

6. Как определяется граница между ламинарным и турбулентным режимами? Для каких целей введено критическое число Рейнольдса?

7. По какой формуле определяются потери напора по длине трубопровода и каков её физический смысл?

8. Что такое коэффициент гидравлического трения и по какой формуле он определяется при ламинарном движении жидкости?

9. По какой формуле определяются местные потери? Физический смысл потерь на местном сопротивлении?

10. Приведите пример местных сопротивлений.

11. В каких случаях применяется формула Борда для расчёта потерь на местных сопротивлениях?

12. Какие трубы называются гидравлически гладкими и гидравлически шероховатыми?

13. Приведите формулы для расчёта гидравлически гладких труб, а также для случаев, когда зависит только от шероховатости.



4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ИСТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

4.1 Общая характеристика истечения

Истечение жидкостей из отверстий и насадков имеет большое практическое значение, поскольку они применяются при решении многих технических задач. Например, в различных двигателях внутреннего сгорания при подаче топлива, при опорожнении цистерн и различных ёмкостей, при конструировании сопел и форсунок, где необходима строгая дозировка и расход жидкости, а также гидромониторных и эжекторных установках, разрабатывающих грунты, гидротехнических сооружениях, содержащих затворы или отверстия для сброса воды.

Истечение жидкости может происходить при постоянном и переменном напорах, через малое или большое отверстие, через насадки различной конструкции. Кроме того, истечение может быть свободным в атмосферу или вакуум и под уровень (затопленное истечение).

При выходе струи из отверстия струя претерпевает сжатие. Сжатое сечение струи находится примерно на 0,5d от стенки резервуара.

Отношение площади струи в сжатом сечении к площади всего отверстия называется коэффициентом сжатия струи:

. (4.1)

Значение коэффициента сжатия струи зависит от характера деформации потока.

В этой связи различают совершенное и несовершенное, полное и неполное сжатие.

Совершенным сжатием называется такое, при котором ни свободная поверхность, ни близлежащие стенки не влияют на сжатие струи. Расстояние до ближайшей стенки должно быть в три (3) раза больше диаметра отверстия ( = 3d).

Сжатие будет несовершенным, если это условие не соблюдается. Коэффициент сжатия при совершенном сжатии меньше, чем при несовершенном.

Если струя имеет равномерное сжатие по периметру, то сжатие называется полным, в противном случае сжатие называется неполным. Неполное сжатие будет иметь отверстие, расположенное на дне резервуара или у боковой поверхности.

Коэффициент сжатия для боковых отверстий больше, чем для отверстий с полным сжатием.

Для получения того или иного гидравлического эффекта к отверстию присоединяются так называемые насадки, длина которых = (3-4)d. Обычно насадки применяются для увеличения пропускной способности отверстия, получения компактной струи и т. д.

4.2 Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке

Рассмотрим истечение жидкости из круглого отверстия диаметром d₀ в вертикальной тонкой стенке сосуда

Стенка считается тонкой, если её толщина < 0,2d₀ и не влияет на условия истечения. Основной задачей истечения является определение скорости истечения и расхода жидкости при следующих условиях:

1. Процесс истечения установившийся, т.е. p₁ = const.

2. Сжатие струи - полное и совершенное.

3. В сжатом сечении давление подчиняется гидростатическому закону распределения.

4. Скорости в верхних и нижних точках отверстия не отличаются между собой и коэффициент Кориолиса = 1.

Для определения скорости истечения напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, учитывая, что плоскость сравнения проходит через центр тяжести отверстия, т.е. z₁ = z₂ = 0:

. (4.2)

Анализ уравнения (4.2) показывает, что р₀ в сжатом сечении можно принять равным атмосферному.

Потери напора между сечениями 1-1 и 2-2 определяются по формуле Вейсбаха

, (4.3)

где вх -	коэффициент сопротивления отверстия.

С учётом формулы (4.3) преобразуем уравнение (4.2) к виду:

. (4.4)

Решая уравнение (4.4) относительно v, находим

. (4.5)



Преобразуем отношение , используя уравнение расхода для сечений 1-1 и с-с (см. рис. 4.1) в виде или . Умножив и разделив правую часть последнего равенства на , получим

.

Обозначив и , преобразуем формулу (4.5) к виду

. (4.6)

Введём обозначение

, (4.7)

где -	коэффициент скорости истечения, учитывающий потери скорости на местном сопротивлении (на острой кромке входного отверстия);
=	- коэффициент сжатия струи для круглых отверстий, равный 0,64;
n =	- коэффициент, учитывающий влияние скорости потока перед входным отверстием на коэффициент скорости (при истечении из малых отверстий n 0).



С учётом обозначения (4.7), формула (4.6) принимает вид (индекс «с» опускается)

(4.8)

При истечении холодной воды через малое отверстие обычно имеем:

» 0,97 - 0,98; _вх» 0,06.

По коэффициенту скорости легко определить коэффициент сопротивления _вх:

.

Эти коэффициенты зависят от напора Н (и, следовательно, от скорости истечения), вязкости жидкости, формы и размеров отверстия, а поэтому и от числа Рейнольдса. Обычно принимают = f(Re).

Траектория полёта струи при истечении жидкости при небольших скоростях и небольших высотах падения, когда можно пренебречь сопротивлением окружающего струю воздуха и принять форму струи параболической

Без большой погрешности можно считать, что частица жидкости за сжатым сечением n-n движется по инерции: по оси x - равномерно, по оси z - равноускоренно, поэтому закон движения частицы жидкости можно записать в следующем виде:



(4.9)

Отсюда .

Подставляя выражение t в формулу (4.9), получим

.

Отсюда

. (4.10)

Решая выражение (4.10) относительно коэффициента скорости, находим

. (4.11)

Чтобы определить , надо измерить дальность полёта струи , высоту падения z и напор Н.

Расход жидкости равен произведению скорости в сжатом сечении на площадь живого сечения:

.

Подставляя вместо _с и v их значения, имеем:

.

Введём обозначение

, (4.12)

где -	коэффициент расхода.

С учётом обозначений в формуле (4.12) получим

. (4.13)

Так как для малых отверстий коэффициент сжатия = 0,64, а коэффициент скорости = 0,97, то, в соответствии с формулой (4.12),

= = 0,640,97 = 0,62.

Учитывая зависимость от , можно найти также зависимость = f(n, _вх).

При истечении из малых отверстий n 0 из формулы (4.12), находим

. (4.14)

В случае истечения из сосудов со свободной поверхностью формулы (4.8) и (4.13) записываются в виде:

(4.15)

, (4.16)

где -	высота уровня жидкости в сосуде над центральным отверстием (при диаметре отверстия d << H (см. рис. 4.2).

Опытами установлено, что коэффициент существенным образом изменяется в зависимости от формы, размеров отверстия и от напора. Причём, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размеров отверстия на коэффициент .

При неполном сжатии коэффициент расхода определяется по формулам:

- для круглых отверстий;

- для прямоугольных отверстий;

здесь 0 -	коэффициент расхода для аналогичного отверстия при полном сжатии;
n -	часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие;
р -	полный периметр отверстия.

Если сжатие несовершенное или неполное, то коэффициенты и определяются с поправками по формуле Н. Е. Жуковского:

,

где -	угол, определяемый из выражения:

;

здесь Н -	глубина погружения нижней кромки отверстия;
a -	высота отверстия.



При совершенном сжатии , что хорошо согласуется с опытными данными.

При истечении жидкости из затопленного отверстия, как показали многочисленные исследования, коэффициенты , , будут мало отличаться от коэффициентов при истечении жидкости в атмосферу, но в качестве напора будет действовать разность напоров

Н₁-Н₂ при р₁ = р₂.

Расчётные формулы имеют вид:

(4.17)

Если давление на свободной поверхности резервуаров не равно атмосферному (рис. 4.3), т.е. р₁ > p₂ > p_атм, то расчётными формулами будут следующие:

(4.18



4.3 Истечение при переменном напоре

Задача об истечении жидкости при переменном напоре сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда, в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия.

Подобные задачи встречаются при расчётах наполнения и опорожнения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых камер и др.

При переменном напоре имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому полное время истечения разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение которых напор считается постоянным, а истечение жидкости - установившимся. Это позволяет использовать для решения полученные выше зависимости и приводит к достаточно точным результатам.

Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения F

Пусть за время dt через отверстие вытекло dQ жидкости, равное

,

где Н -	напор на уровне элементарного элемента dH, который можно считать постоянным;
-	коэффициент расхода (изменяющейся в зависимости от напора, формы и размеров отверстия).

В действительности, за это время уровень жидкости в сосуде опустится на dH и объём жидкости в нём изменится на .

Вследствие неразрывности движения жидкости



или

.

Отсюда

. (4.19)

Полное время опорожнения сосуда определим в результате интегрирования уравнения (4.19):

,

где Нн -	начальный напор жидкости в сосуде.

Меняя пределы интегрирования в правой части уравнения, принимая и вынося постоянные за знак интеграла, получим

. (4.20)

Умножив и разделив правую часть уравнения (4.20) на , получим

. (4.21)



Из выражения (4.21) следует, что при сохранении постоянного напора в сосуде тот же объём жидкости пройдёт через отверстие за время t, вдвое меньшее, чем t, т.е. t = 2t.

Формула (4.20) применима и для случая истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор Н_н отсчитывается от центра тяжести площади отверстия.

При частичном опорожнении сосуда применяется следующая зависимость:

. (4.22)

Примеры

Пример 1. Вода вытекает из малого незатопленного отверстия в вертикальной стенке при постоянном напоре Н. Высота расположения отверстия над полом z = 1,0 м и достигает пола на расстоянии = 1,2 м. Диаметр отверстия d = 50 мм, = 0,97. Определить расход Q.

Решение: По формуле (4.10) определяем Н:

.

Принимая коэффициент расхода = 0,62, находим расход:

м³/с.

210⁵ Па, а во II резервуаре р₂ = 1,710⁵ Па, = 0,62. Скоростью подхода пренебречь. Пример 2. Определить расход жидкости, перетекающей из резервуара I в резервуар II (см. рис. 4.3), если диаметр отверстия в вертикальной стенке d = 0,2 мм, высота Н₁ = 7м, Н₂ = 6 м, давление в I резервуаре р₁ =

Решение: Определяем площадь отверстия:

м².

Находим расход жидкости:

Пример 3. Определить расход воды и скорость ее истечения через круглое незатопленное отверстие диаметром d = 0,2 м, если

Н = 4 м, = 0,62, = 0,97. Скоростным напором пренебречь.

Решение: Определяем скорость истечения:

м/с.

Площадь отверстия

м².

Определяем расход воды через отверстие:

м³/с.



Контрольные вопросы

1. Что понимается под тонкой стенкой, малым отверстием, большим отверстием?

2. Какие виды сжатия струи при истечении из отверстия в тонкой стенке вы знаете?

3. Какими коэффициентами характеризуется истечение жидкости из отверстий и какова между ними аналитическая связь?

4. Чем отличается формула расхода жидкости для незатопленного и затопленного отверстий?

5. Какие технические задачи решаются на основе гидравлического расчёта истечения жидкости?

6. По какой зависимости определяется коэффициент скорости опытным путём?

7. Какие поправочные коэффициенты применяются при расчёте и при несовершенном сжатии?

8. Какая задача решается при опорожнении ёмкостей и от каких факторов зависит её решение?

4.4 Истечение жидкости через насадки

Насадком называется короткая труба длиной = (3-4)d цилиндрической, конической и коноидальной форм. Присоединение насадка к отверстию в тонкой стенке изменяет вытекающий из сосуда расход и оказывает влияние на время опорожнения сосуда, дальность полета струи и т.д. Аналогичное явление наблюдается при истечении из отверстия в толстой стенке, т.е. когда = (3-4)d.