,

где -	масштаб расхода;
-	масштаб скорости;
-	масштаб площади.

По аналогии можно получить масштабы других физических величин.

При частичном моделировании, по критерию Рейнольдса, одним из основных признаков динамического подобия потоков с преобладающим действием сил трения является равенство коэффициентов гидравлического сопротивления по длине, то есть .

Это свойство широко используется при моделировании по критерию Рейнольдса.

Пример 2. Частичное моделирование по критерию Фруда.

Моделирование по критерию Фруда применяется при изучении потоков, в которых преобладают силы инерции и тяжести, например при изучении гидравлических струй и др.

Динамическое подобие потоков обеспечивается равенством критерия Фруда на натуре и модели.

или, при условии, что :

. (7.24)

Из соотношения (7.24) определим масштаб скоростей:

.

Отсюда или .

Аналогично можно получить масштабы других физических величин.

Пример 3. Предположим, что исследуется движение вязкой жид-кости в трубопроводе, в котором при моделировании следует учитывать как силы внутреннего трения жидкости, обусловленные ее вязкостью, так и массовые гравитационные - силы тяжести.

Для обеспечения полного динамического подобия требуется равенство критериев Re и Fr на модели и в натуре.

Для одних и тех же гравитационных условий принимаем .

Тогда при моделировании по Рейнольдсу отношение средних скоростей движения жидкости в трубопроводе (натурном и модельном) должно удовлетворять условию:

. (7.25)

При моделировании по Фруду

. (7.26)

Сопоставляем полученные выражения (7.25) и (7.26) и находим

.

Отсюда

. (7.27)

Из выражения (7.27) следует, что для соблюдения полного динамического подобия в модели должна применяться жидкость, кинематическая вязкость которой будет в k^1,5 раз меньше натурной жидкости.

Например, если при моделировании принять линейный масштаб , то



.

Очевидно, что найти жидкость со столь малой вязкостью практически невозможно.

Это указывает на то, что при реальных масштабах физических величин подтверждается несовместимость двух основных критериев подобия: Re и Fr.

Кроме того, очевидна невозможность полного динамического подобия потоков одной и той же жидкости.

В некоторых случаях для приближенного моделирования используют методы напорно-воздушного моделирования, с частичным искажением геометрического подобия. Эти методы изложены в специальной литературе.

7.5 Анализ размерностей. -теорема

При организации экспериментов необходимо с самого начала установить наиболее целесообразную методику их проведения и порядок обработки результатов опытов.

В практике гидравлических исследований метод анализа размерностей нашел широкое применение. Этот метод позволяет заранее определить основные критерии подобия, в которых следует обрабатывать результаты опытов, а также обобщать их и устанавливать закономерности, отражающие исследуемый процесс.

Исходным для метода анализа размерностей является то, что любое математическое уравнение, описывающее физический процесс, обязательно должно быть размерно однородным.

Это означает, что обе его части имеют всегда одинаковую размерность независимо от выбора системы физических величин.

Свойство однородности является основой теории размерностей. В механике в качестве основных физических величин принимают длину L, массу M и время T. Они независимы друг от друга.

В механике жидкости и газа не всегда удается воспользоваться основными физическими величинами, тогда принимаются любые, независимые друг от друга, например плотность, скорость, время.

Достоинством метода является то, что при его применении достаточно знать основные переменные величины, характеризующие данный процесс, само же уравнение, описывающее этот процесс, может быть неизвестно.

Обычно задача анализа размерностей решается путем определения физических величин, которые полностью характеризуют данный процесс. Затем устанавливается характер зависимости между выделенными величинами, исходя из принципа однородности размерности с помощью так называемой -теоремы.

Сущность -теоремы состоит в следующем. В общем случае

-теорема устанавливает связь между теорией подобия и теорией размерностей.

Предположим, что переменная величина А₁ зависит от ряда переменных: А₂, А₃, …, А_n, участвующих в каком-либо физическом процессе, и не зависит от каких-либо других переменных.

Тогда общая функциональная зависимость между этими величинами может быть представлена уравнением

(7.28)

или

.



Пусть число определяющих размерных единиц, через которые могут быть выражены все n - переменные, равно m.

-Теорема формулируется так:

Уравнение, связывающее между собой n размерных физических величин, характеризующих рассматриваемое явление, среди которых m обладают независимой размерностью, может быть преобразовано в n-m безразмерных комплексов, составленных из указанных величин.

-Теорема устанавливает, что если указанные n переменных выразить через эти основные единицы, то их можно сгруппировать в n-m безразмерных -членов:

, (7.29)

где каждое число представляет собой безразмерное произведение нескольких А, то есть число членов в физическом уравнении сокращается до n - m. Причем каждый такой -член будет содержать m + 1 переменную величину. В гидродинамических задачах число таких переменных, входящих в -члены, должно равняться четырем.

Три из них - определяющие: характерный размер (диаметр d), скорость течения жидкости и ее плотность (или вязкость ) входят в каждый из -членов и только четвертая заменяется другой при переходе от члена к члену.

Для удобства исследования показатели последних принимаются равными -1. Показатели степени определяющих переменных неизвестны. Обозначим их x, y, z с индексами, соответствующими индексам -членов.

Таким образом, имеем:

. (7.30)

Выражаем затем входящие в -члены переменные через основные независимые размерности, но, поскольку эти члены являются безразмерными во всех полученных для них выражениях, то показатели степени каждой из основных размерностей должны обязательно равняться нулю.

Примеры

Пример. Рассмотрим применение -теоремы для определения опытным путем потерь напора на трение по длине потока при равномерном напорном движении по трубам вязкопластичной бингамовской жидкости.

Известно, что потери напора, а следовательно, и давления p зависят от следующих факторов:

- геометрических характеристик трубопровода диаметра d, длины ?, шероховатости стенок ;

- физических свойств жидкости: плотности , динамической вяз-кости , начального напряжения сдвига ₀;

- средней скорости течения v.

Общую функциональную зависимость, связывающую эти величины, представим уравнением:

(7.31)

или

. (7.32)

В задачах прикладной механики жидкости и газа имеются три физические величины, имеющие независимые размерности: масса [M], время [T], длина [L], то есть в этих задачах следует принимать m = 3. Это позволяет составить уравнение размерностей для каждого -члена, соблюдая при этом обязательное условие их размерной однородности. Так как число основных размерных величин равно трем (m = 3), а переменных величин в уравнении (7.32) семь (n = 7), то получим уравнение, состоящее из n-m безразмерных -членов:

. (7.33)

Каждый -член должен содержать четыре переменные величины. Принимаем в качестве определяющих переменных величин следующие:

- диаметр трубопровода d;

- среднюю скорость ;

- плотность жидкости .

Комбинируя их поочередно с остальными переменными, входящими в уравнение (7.32), получим:

(7.34)

Запишем размерности переменных величин, входящих в -члены системы (7.34):

[d] = [L]; [v] = ; [] = ;

[] = = [FTL^-2] = ; [₀] = ;

[]=[L]; [p] = ; = .

Составим уравнения размерностей для каждого из -членов, имея в виду обязательное условие их размерной однородности. Для первого члена имеем

. (7.35)

Найдем степени размерностей в левой части уравнения (7.35):

.

Приравнивая к нулю показатели степени при одинаковых основаниях х, получим систему уравнений с неизвестными x₁, y₁, z₁:

(7.36)

Из совместного решения уравнений (7.36) находим:

.

Подставив эти значения показателей степени в первый -член системы уравнений (7.34), получим

, (7.37)



где найденное значение ₁ представляет собой критерий Рейнольдса: .

Для второго -члена имеем

Отсюда запишем систему уравнений:

Находим x₂, y₂, z₂:

Запишем выражение для второго -члена с учетом показателей степени:

или

. (7.38)



Для третьего -члена:

;

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

. (7.39)

Для четвертого -члена:

.

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

. (7.40)

Подставив значения -членов в соотношение (7.33), получаем уравнение:

. (7.41)

Решая уравнение (7.41) относительно ₄, находим



. (7.42)

Выделим p из уравнения (7.42) и получим:

. (7.43)

Разделив левую и правую части уравнения (7.43) на g, находим:

.

Обозначим

и получим выражение для потери напора:

.

Тогда общее выражение для примет вид:

. (7.44)

Знаменатель выражения (7.44) представляет собой критериальное уравнение, включающее критерии:

- критерий Рейнольдса;

- критерий пластичности;

здесь -	критерий Сен-Венана (Ильюшина) - есть характеристика пластичности жидкости.

Отношение является характеристикой геометрического подобия .

Следовательно, можно выразить в следующем виде:

. (7.45)

Для ньютоновской жидкости ₀ = 0, поэтому при турбулентном режиме имеем

.

При ламинарном режиме ( = 0), тогда



.

Таким образом, применение метода анализа размерностей позволило выявить основные критерии подобия, характеризующие потери напора на трение по длине трубопровода.

В этих критериях производится обработка опытных данных на модели таким образом, чтобы соблюдалось их равенство в натуре.

Контрольные вопросы

1. Сущность частичного моделирования.

2. Сущность частичного моделирования по критерию Рейнольдса.

3. Сущность частичного моделирования по критерию Фруда.

4. Сущность анализа размерностей и его достоинства.

5. Сущность -теоремы.

6. Какие основные физические величины приняты в механике жидкости и газа?

7. Запишите размерность физических величин , , ₀, .

8. Как определяется число -членов?



8. ОСНОВЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД И ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ

8.1 Движение грунтовых вод. Основные понятия движения грунтовых вод

Грунтовой называется вода, содержащаяся в порах грунта. Как правило, грунтовая вода находится в движении. Наука, занимающаяся изучением движения грунтовых вод, называется подземной гидравликой.

Грунтовые воды, образуются за счет атмосферных осадков, которые просачиваются в поры грунта и движутся по мельчайшим каналам.

Движение воды в порах того или иного материала, в том числе и грунта, называется фильтрацией. Движение грунтовой воды происходит под действием силы тяжести.

Движение фильтрационных вод может быть установившимся и неустановившемся, равномерным и неравномерным, напорным и безнапорным.

Если гидравлические характеристики (параметры) потока зависят от координат и времени, то грунтовой поток называется неустановившемся:

p=f(x, y, z, t); (8.1)

Если параметры потока зависят только от координат, то поток называется установившемся.

При равномерном движении грунтовых вод, уклон свободной поверхности равен уклону подстилающего водонепроницаемого слоя i.

При неравномерном движении это условие не выполняется, т.е. J?i

При безнапорном движении грунтовых вод, давление на свободной поверхности равно атмосферному.

Примером может быть фильтрация через тело земляной плотины.

При напорной фильтрации свободная поверхность отсутствует, т.к. движение грунтовых вод ограничено двумя непроницаемыми пластами. Например, движение воды под телом бетонной плотины.

Фильтрационные свойства грунта зависят от его пористости, которая характеризуется коэффициентом пористости m:

(8.2)

где V_n - объем пор;

V - объем грунта.

Например, пористость песка m?0,4; глины m?0,5 и т. д. Грунт называется однородным, если фильтрационные свойства его одинаковы в любой точке объема.

Фильтрационным потоком называется поток грунтовых вод в порах грунта.

Как всякий поток, он характеризуется:

1. Фильтрационным расходом Q - это количество воды, проходящее через поперечное сечение грунтового потока в единицу времени. За поперечное сечение щ принимается вся геометрическая площадь потока, независимо от того, какую часть этой площади занимают поры.

2. Скорость потока фильтрации называют отношение расхода к полной площади поперечного сечения потока:

(8.3)

Истинная скорость движения воды в порах грунта будет больше, чем скорость фильтрации .

Водонепроницаемый слой, расположенный снизу, называется водоупором, или подстилающим слоем. Средний его уклон обозначается буквой i и называется уклоном дна.

Депрессионной кривой называют свободную поверхность грунтового потока.

Уклон свободной поверхности одновременно является гидравлическим уклоном, так как скорость фильтрации незначительна.

Водоносным слоем называется пористый слой грунта, заполненный водой.

8.2 Скорость фильтрации. Формула Дарси

При расчете фильтрационных потоков, главной задачей является определение скорости и расход Q.

Расход фильтрационного потока пропорционален площади поперечного сечения и гидравлическому уклону J. Это основной закон фильтрации:

Q=kщJ (8.4)

где k - коэффициент фильтрации, зависящий от строения фильтрующего слоя, пористости фильтра и крупности частиц грунта;

- гидравлический уклон, представляющий отношение потерь напора h по длине фильтрующего потока к его длине .

Ввиду малости скоростного напора () потери напора можно выразить в виде: (8.5)

Средний гидравлический уклон на небольшой длине фильтрующего потока можно определять по выражению:

(8.6)

Выражение (8.6) одновременно является средним пьезометрическим уклоном.

Скорость фильтрующего потока определяется по формуле:

(8.7)

Из формулы (8.7) следует, что скорость фильтрации пропорциональна гидравлическому уклону в первой степени.

Формулы Дарси можно применять при расчете ламинарного потока фильтрации.

8.3 Коэффициент фильтрации и методы его определения

Коэффициент фильтрации численно равен скорости, при уклоне, равном единице: при J=1; k=.

Единица измерения коэффициента фильтрации см/с или м/с. Размерность [L/T].

Для определения коэффициента фильтрации в лабораторных условиях используется установка Дарси (рис. 8.1).

Единица измерения коэффициента фильтрации см/с или м/с. Размерность [L/T].

Для определения коэффициента фильтрации в лабораторных условиях используется установка Дарси

Установка Дарси заполняется испытуемым грунтом. Потери напора определяются двумя пьезометрами П₁ и П₂. Расход, проходящий через испытуемый грунт определяется по формуле:

(8.9)

где , - показания пьезометров. Отсюда

(8.10)

Расход фильтрата определяется с помощью мерной емкости Б.

С помощью установки можно определить только приближенное значение коэффициента фильтрации грунта в его естественном залегании.

В естественных условиях можно получить достоверное значение коэффициента фильтрации путем бурения двух скважин на расстоянии L друг от друга в направлении движения грунтовых вод

В первую I скважину вводят солевой раствор или другой индикатор. Во второй скважине с помощью специального прибора определяют появление индикатора. Зная расстояние L между скважинами и время движения индикатора, определяют истинную скорость потока фильтрации

(8.11)

Скорость фильтрации определяется из выражения:

(8.12)

- часть площади потока, занимаемая площадью пор;

- вся площадь грунтового потока.

Отношение называется коэффициентом пористости m, тогда

Потери напора определяются по разности отметок ₁ и ₂ между скважинами.

Средний гидравлический уклон на этом участке . Из уравнения Дарси находится коэффициент фильтрации

(8.14)

Существуют и другие методы определения коэффициента фильтрации в полевых условиях, например, метод изотопов.

8.4 Ламинарная и турбулентная фильтрация

Движение грунтовых вод происходит, как правило, в условиях ламинарного течения. Для расчета таких фильтрационных потоков применяются формулы (8.4) и (8.7).

Случай, когда фильтрационный поток имеет значительную скорость, движение будет турбулентным, формулы (8.4) и (8.7) неприемлемы.

Случай, когда скорости фильтрации настолько малы, что решающими силами будет не сила тяжести, а молекулярное взаимодействие частиц жидкости с частицами грунта формулы (8.4) и (8.7) также неприемлемы.

Таким образом, для формул Дарси существует верхний и нижний предел их применимости.

Основной закон фильтрации теряет силу, если скорость фильтрации превышает критическое значение, см/с

(8.15)

где - диаметр частиц грунта.

Нижний предел применимости формулы Дарси соответствует условию, когда начинает преобладать действие межмолекулярных сил.

Турбулентная фильтрация возникает при относительно больших поперечных сечениях паровых каналов. Между ламинарной и квадратичной областью фильтрации лежит широкая область переходных режимов.

Граница перехода от ламинарного к турбулентному режиму фильтрации определяется критическим значением числа Рейнольдса:

(8.16)

где - действительная скорость в порах;

-гидравлический радиус порового канала;

- кинематическая вязкость жидкости.

Значение числа Рейнольдса критического равно 2780.

В квадратичной области фильтрации скорость фильтрации определяется по формуле

(8.17)

Для определения скорости фильтрации при турбулентном режиме можно пользоваться формулой С.В. Избаша



(8.18)

где - обобщенный коэффициент Шези, равный 20-14/d

- диаметр шара в пределах от 1 до 2,5 см;

- пористость среды (грунта).

8.5 Основное уравнение неравномерного движения грунтовых вод

В условиях плоской задачи при уклоне дна подстилающего слоя i >0 (грунт однороден) уравнение неравномерного движения имеет вид:

где - глубина потока в рассматриваемом сечении;

- расстояние от рассматриваемого сечения до некоторого начального;

- глубина потока при равномерном режиме;

- уклон свободной поверхности по отношению к дну

Если = , то =0 (нет приращения высот). Это означает, что уклон свободной поверхности равняется уклону дна, т.е. поток находится в условиях равномерного режима с глубиной .

На рисунке 8.4. в потоке с уклоном i > 0 проведем линию n-n, лежащую выше подстилающего слоя на высоте . Линия n-n разобьет поток на зоны I и II.

Если >, то правая часть уравнения (8.19) больше нуля и тоже больше нуля, а уклон свободной поверхности будет меньше уклона дна.

Если >, свободная поверхность будет иметь кривую подпора, расположенную в зоне I.

Если <, то кривая свободной поверхности будет иметь больший наклон к горизонту, чем уклон дна и расположится в зоне II.

При обратном уклоне подстилающего слоя i < 0 <0 и глубина потока вдоль движения будет убывать (кривая спада).

При нулевом уклоне подстилающего слоя i = 0 будет тоже кривая спада, как показано на рис. 8.6. При нулевом уклоне применяется формула Дюпон для построения cвободной поверхности грунтовых вод при неравномерном их движении

(8.20)

где - расстояние между сечениями с глубинами и ;

- коэффициент фильтрации;

- удельный расход.

При прямом уклоне подстилающего слоя i > 0 (рис. 8.4) применима формула

(8.21)

где и - действительный глубины потока в двух сечениях, взятых на расстоянии l друг от друга;

- относительная глубина в первом сечении;

- относительная глубина во втором сечении.

При обратном уклоне дна грунтового потока i < 0

(8.22)

где - фиктивная глубина, равная глубине равномерного движения при том же расходе и при положительном уклоне, численно равном данному (абсолютное значение данного уклона );

;

Расход можно определить по формуле В.С. Козлова с точностью 25%

ь при прямом уклоне дна (i > 0)

(8.23)

ь при нулевом уклоне дна (i = 0) из формулы (8.20)

(8.24)



ь при обратном уклоне дна (i < 0)

(8.25)

8.6 Фильтрация через однородную земляную среду

Рассмотрим фильтрацию воды через однородную прямоугольную перемычку

Обозначим уровень воды слева и справа через и соответственно. В теле перемычки, будем иметь кривую спада. Водоупор в основании перемычки имеет уклон i = 0.

Уровень воды не грани 1-1 равен , а на грани 2-2 - . Удельный расход на 1 м длины l = 1 перемычки определяется по формуле (8.24)

Рассмотрим фильтрационный поток через однородную земляную плотину, находящуюся на водонепроницаемом основании AD.

Картина течения воды через плотину показана линиями токов, начинающихся на верховом откосе АВ и заканчивающихся на низовом откосе СD. Самая верхняя линия тока является депрессионной кривой. Выход этой линии на низовом откосе (точка Z) называется точкой высачивания.

В частном случае точка Z может совпадать с уровнем воды в нижнем бьефе, в этом случае h = 0.

Расчет фильтрации через земляную плотину сводится к определению расхода, проходящего через тело плотины, выходных скоростей фильтрации вблизи точки высачивания и определению положения депрессионной кривой.

Существует несколько методов расчета: метод Павловского, Угинчуса, Нумерова, Михайлова, Шаффернака и др.

Рассмотрим метод Шаффернака, основанный на том, что реальную картину заменяют плотиной, у которой передняя грань вертикальна.

Для этого линия АВ делится пополам вертикально 1-1 (рис.8.9) и нижний клин плотины переносится наверх, как показано стрелкой. Клин на низовом откосе правее вертикали 2-2 временно отбрасывается. В результате имеем преобразованную среднюю часть плотины, которая похожа на прямоугольную перемычку (рис.8.7). Расход через среднюю часть плотины определяется по формуле:

(8.26)

Расход, проходящий через среднюю часть плотины, определяемый по формуле (8.26), затем проходит через низовой клин ZDE (рис. 8.8).

Расход через треугольную призму можно определить по формуле

(8.27)

В уравнениях (8.26) и (8.27) неизвестными являются и . Решая эти уравнения совместно, определяются обе эти величины.

Пример. Определить точку высачивания Z и фильтрационный расход через однородную земляную плотину Н = 27 м; b = 14,5 м; т₁ = 3 м; т₂=2,5 м, если = 25 м, = 4 м. Коэффициент фильтрации плотины =0,0002 м/с. Плотина построена на водонепроницаемом основании.

Решение:

1. Определяем отрезки

2. Определяем L₀

3. Из уравнений (8.26) и (8.27) находим

4.

Подставляя исходные данные , , , находим значение =5,3м.

5. Определяем фильтрационный расход через плотину по уравнению

Примеры

1. Фильтрационный поток движется равномерно на глубине =3,5м. Уклон дна подстилающего слоя i=0,0015, а коэффициент фильтрации k=0,008м/с.

Определить расход воды на одном метре фильтрующего потока.

Решение. Расход фильтрации находим из уравнения Дарси:

2. Определить коэффициент фильтрации грунта при равномерном движении грунтового потока, при уклоне подстилающего водонепроницаемого слоя i=0,05, удельном расходе =0,02510^-3 м³/с и глубине потока h= 3 м.

Решение. Используем уравнение Дарси для определения коэффициента фильтрации в виде:

3. Определить коэффициент фильтрации , если в полевых условиях были получены следующие данные (рис.8.11):

1) время появления воды в шурфе 2 от начала исследования составило 45 часов;

2) разность отметок в рабочем шурфе 1 и наблюдаемом шурфе 2 Н=4 м;

3) расстояние между стенками наблюдаемого и рабочего шурфа L=5м;

4) пористость грунта т=0,45

Решение. Из уравнения Дарси находим



Контрольные вопросы:

1. Что называется фильтрацией?

2. Под действием каких сил происходит процесс фильтрации?

3. При каком условии уклон свободной поверхности равен уклону подстилающего водонепроницаемого слоя?

4. При какой фильтрации свободная поверхность отсутствует?

5. Что называется фильтрационным потоком?

6. Что называется скоростью потока фильтрации?

7. Что называется депрессионной кривой фильтрационного потока?

8. Сформулируйте основной закон фильтрации.

9. Каким соотношением связаны скорость фильтрации и гидравлический уклон при ламинарной и турбулентной фильтрации?

10. На каком приборе и как определяется коэффициент фильтрации?

11. Как определяется коэффициент фильтрации грунта в полевых условиях?

12. Чем отличаются напорный и безнапорный фильтрационные потоки?

8.7 Особенности гидравлики двухфазных потоков

8.7.1 Виды течений двухфазных потоков жидкости и газа

При совместном течении жидкости и газа в горизонтальных трубах тип потока определяется объемным расходом и свойствами самого потока.

Экспериментально установлены следующие виды (режимы) истечения (типы потоков) жидкостей с вязкостями м менее 0,1 Пас и газами примерно равными плотности воздуха.

1. «Пенное» течение («пенный» поток), при котором пузырьки газа распределены по всей жидкости.

Процесс наблюдается при поверхностных скоростях: для жидкости - 1,5ч4,5 м/с; для газов - 0,3ч3,0 м/с

2. «Пузырьковое» течение («пузырьковый» поток) при котором порции жидкости и газа попеременно движутся по верхней части трубы. Имеет место при скоростях жидкости менее 0,6 м/с и газа менее 0,9 м/с (рис. 8.11, b).

3. «Плоское» течение («плоский» или «ровный» поток), при котором жидкость движется по дну трубы, а газ - по гладкой поверхности раздела фаз. Имеет место при поверхностных скоростях жидкости менее 0,15 м/с и газа 0,6ч3,0 м/с

4. «Волновое» течение («волновой» поток) аналогично «плоскому», за исключением того, что на поверхности раздела фаз образуются волны, бегущие в направлении движения потока при скоростях жидкости менее 0,3 м/с и примерно 4,5 м/с

5. «Поршневое» течение («поршневой» поток) наблюдается, когда порция жидкости периодически подхватывается быстродвижущимся газом и образует пенную пробку, которая проходит по трубе со скоростью большей, чем средняя скорость жидкости.

В этом случае могут происходить интенсивные вибрации магистралей вследствие ударов быстродвижущихся пробок, например, о фитинги

6. «Слоистое» течение («слоистый» поток) или («кольцевой» поток), при котором жидкость движется слоем, покрывающим внутреннюю поверхность трубы, а газ - вместе с захваченными каплями жидкости проходит по центральной части трубы. Процесс наблюдается при поверхностных скоростях газа более 6 м/с

7. «Дисперсное» течение («распыленный» или «дисперсный» поток), при котором почти вся жидкость в виде мелких капель захватывается газом. Процесс наблюдается при поверхностных скоростях газа, превышающих 60 м/с

В вертикальных каналах различают пузырьковый, снарядный, эмульсионный и дисперсно-кольцевой режимы.



Пузырьковый режим имеет место при относительно малом паросодержании:

где - осредненная во времени площадь сечения, приходящаяся на паровую фазу;

- площадь поперечного сечения канала.

Снарядный (поршневой) режим наблюдается при относительно небольших скоростях потока, небольших давлениях и ц=0,3ч0,7.

Эмульсионный режим характеризуется в среднем достаточно однородной структурой. В отличие от пузырькового режима состоит в том, что в эмульсионном режиме пузырьки имеют неправильную форму.

Дисперсно-кольцевой режим характеризуется тем, что газовая фаза движется в ядре потока, а жидкая в пленке на стенке, и в виде отдельных капель в ядре. Такой режим имеет место, например, при захолаживании трубопровода криогенными жидкостями. Для режима характерны высокие скорости смеси и паросодержание ц=0,9.

8.7.2 Основные определения

Массовый расход двухфазной смеси:

(8.28)

где - массовый расход жидкости;

- массовый расход газа (пара).

Массовым расходным паросодержанием называется отношение расхода газа к расходу смеси:

(8.29)

Объемные расходы фаз находятся из выражений:

- для газа

- для жидкости

Тогда объемный расход смеси равен сумме объемных расходов фаз:

(8.30)

Отношение объемного расхода пара (газа) к объемному расходу смеси называется объемным расходным паросодержанием:

(8.31)

Связь между x и в устанавливается в виде:

(8.32)

Выделим контрольный объем двухфазной смеси V_СМ, тогда осредненное во времени значение объема паровой (газовой) фазы составит . Отношение осредненного во времени значения объема паровой фазы к контрольному объему смеси называется истинным объемным паросодержанием:



(8.33)

В одномерном приближении можно записать:

(8.34)

где - площадь поперечного сечения канала;

- длина контрольного объема смеси;

- осредненные во времени площади сечений, приходящиеся на жидкую и паровую фазы соответственно.

Тогда находим, что:

(8.35)

Отношение (8.35) является наиболее употребляемым. Истинная скорость паровой (газовой) фазы равна:

(8.36)

Истинная скорость жидкой фазы равна:

(8.37)

Величины и называются приведенными скоростями фаз.



Сумма приведенных скоростей называется скоростью смеси или скоростью циркуляции, называют скорость, которую имела бы в канале жидкость при массовом расходе, равном , т.е.:

(8.38)

Скорость смеси равна сумме:

(8.39)

Скорость смеси и скорость циркуляции связаны соотношением:

(8.40)

или

(8.41)

Величины в большинстве задач являются заданными.

В общем случае не определяют непосредственно действительные скорости фаз или действительное паросодержание в канале. Фактически важные характеристики потока не входят в условия однозначности, а являются функцией процесса и являются искомыми величинами, поэтому достаточно знать одну из этих величин.

Отношение истинных величин скоростей фаз называют фактором скольжения:

(8.42)

Поскольку (в отсутствии скольжения фаз, т.е. при в = ц) скорость смеси равна истинным скоростям каждой из фаз.

Используя величины ц и в можно определить «истинную» и расходную плотность смеси:

(8.43)

8.7.3 Истинное объемное паросодержание адиабатных двухфазных потоков

Нахождение связи - одна из главных задач анализа двухфазных течений.

В отсутствие локального скольжения фаз (), т.е. в гомогенном потоке, различие истинного и расходного объемных паросодержаний связано с реальной неоднократностью потока, с изменением скорости и паросодержания по сечению канала.

Истинное объемное паросодержание и объемное расходное паросодержание связаны зависимостью:

(8.44)

где С₀ - параметр распределения.

Для пузырькового и эмульсионного режимов течения можно принять С₀?1,2.

Формула (8.44) может быть также представлена в виде:

(8.45)

Формулы (8.44) и (8.45) справедливы для эмульсионного и пузырькового режимов течения в горизонтальных трубах.

В вертикальных каналах газовая фаза при пузырьковом снарядном и эмульсионном режимах имеет заметное скольжение относительно жидкости, тогда:

(8.46)

где (8.47)

Здесь - параметр, учитывающий взаимное влияние паровых пузырей; а также движение паровой фазы в виде весьма мелких пузырьков со скоростью , т.е. без скольжения;

- скорость всплытия одиночного пузыря в спокойной жидкости.

Параметр определяется по эмпирической формуле:

(8.48)

Формула (8.48) удовлетворительно согласуется с опытами для парожидкостных потоков в каналах относительно большого диаметра, в широком диапазоне давлений при ц ? 0,7 и числе Бонда ?100:



(8.49)

Скорость всплытия одиночного пузыря в эмульсионном режиме течения рассчитывается по формуле:

(8.50)

при значении =1,5.

С учетом формул (8.48) и (8.50) для пузырькового и эмульсионного режимов течения (включая процесс барботажа) имеем:

(8.51)

Для снарядного режима в вертикальных каналах значение скорости пузырька может быть рассчитано по формуле:

(8.52)

Формула (8.52) справедлива для маловязких жидкостей.

Определение представляет значительные трудности, так снарядное течение никогда не бывает полностью развитым течением, так как всякий последующий пузырь стремится догнать предыдущий и слиться с ним. В первом приближении можно использовать формулу (8.48) для определения. Значение для снарядного режима течения двухфазного потока.

Для водовоздушных потоков при пузырьковом и эмульсионном режимах рекомендуется формула:

(8.53)

а для снарядного режима:

(8.54)

где С₀=1,2, а U₀ определяется по формуле (8.52).

При известном значении истинной скорости газа расчет истинного объемного паросодержания проводят по формуле:

(8.55)

или (8.56)

Формулы (8.55) и (8.56) пригодны для расчета пузырькового и эмульсионного режимов течения в вертикальных каналах при В₀?100, если ц?0,7.

При расчете парогенераторов применяются номограммы ВТИ-ЦКТИ, построенные по опытным данным.

8.7.4 Гидравлическое сопротивление двухфазных потоков

Полный перепад давления. В инженерной практике используются, как правило, одномерные модели двухфазных потоков.

Перепад давления в направлении оси канала z для одномерного двухфазного потока выражается уравнением:

(8.57)

где - касательное напряжение на стенке канала при течении смеси;

D - гидравлический диаметр канала;

g - проекция ускорения свободного падения на направление z.

Первый член уравнения (8.57) отражает потери давления за счет ускорения потока, связанного либо с изменением паросодержания х, либо с изменением площади поперечного сечения канала S. При адиабатном течении в канале постоянного сечения этот член уравнения равен нулю.

Второй и третий члены правой части уравнения (8.57) выражают соответственно потери давления на трение и на работу против массовых сил. При умеренных скоростях основной вклад в гидравлическое сопротивление вносят потери на трение.

Гомогенная модель дает простой, физически ясный и дающий удовлетворительные результаты метод расчета значений . В этом случае двухфазный поток рассматривается как однородная жидкость с плотностью с_в и средней скоростью течения _СМ. Тогда:

(8.58)

где - коэффициент трения в пузырьковом, снарядном и эмульсионном режимах течения рассчитывается как для однофазного потока по формулам Блазиуса, Конакова, Шифринсона, Никурадзе и Альтшуля. При этом число Рейнольдса можно приближенно рассчитывать как . При турбулентном течении удовлетворительные результаты получаются, если принять = 0,02, что соответствует развитому турбулентному течению жидкости в гладких трубах.

Формулу (8.58) можно представить в следующем виде:

(8.59)

где - касательное напряжение на стенке при течении в том же канале однофазной жидкости с расходом G_CM;

, - перепады давления в канале за счет трения в двухфазном и однофазном потоках (, где L - длина канала, D - диаметр канала).

Согласно гомогенной модели потери на трение в двухфазном потоке с увеличением паросодержания растут линейно и при полном испарении жидкости (х = 1):

(8.60)

Применение формул (8.58) и (8.59) оправдано в потоках с гомогенной структурой, т.е. при пузырьковом и эмульсионном режимах течения, при ц<0,7 при больших скоростях смеси. При малых скоростях смеси дают заниженные значения . Лучший результат достигается при расчете по формуле:



(8.61)

Причем плотность смеси рассчитывается по формуле:

(8.62)

а истинное паросодержание по формулам:

.

Гидравлическое сопротивление в дисперсно-кольцевом потоке.

Для восходящего дисперсно-кольцевого режима течения справедливы соотношения:

(8.63)

где и - касательные напряжения на свободной поверхности пленки и на стенке соответственно;

- толщина пленки;

- диаметр канала.

Истинное объемное паросодержание определяется по формуле:

(8.64)



если не учитывать расход жидкости в виде капель в газовом ядре.

Касательное напряжение на стенке определяется по формуле:

(8.65)

где - коэффициент трения на границе жидкая пленка-стенка, определяемый по формулам однофазного потока в зависимости от .

Касательное напряжение по поверхности пленки определяется по формуле:

(8.66)

Коэффициент трения на межфазовой поверхности можно рассчитывать по соотношению:

(8.67)

где - коэффициент трения газового потока в гладком канале, определяемый по значениям Рейнольдса



Значение принимается равным 300.

Так как восходящее кольцевое течение возможно при значительных скоростях газа в большинстве случаев можно принять = 0,02, тогда:

(8.68)

Соотношения (8.63-8.68) позволяют рассчитывать истинное объемное паросодержание и гидравлическое сопротивление восходящего кольцевого газожидкого потока.

Решение уравнений (8.63) весьма громоздко, необходимость применения машинного счета очевидна.

При больших приведенных скоростях газа для дисперсно-кольцевого режима течения справедливо эмпирическое соотношение:

(8.69)

где - перепад давления в двухфазном потоке;

- перепад давления в однофазном потоке жидкости, имеющей скорость .

Формула (8.69) применима при условии, что и ламинарном течении жидкости в пленке. При этом для расчета истинного объемного паросодержания используется формула:

(8.70)

Для пароводяных потоков истинное объемное паросодержание в дисперсном кольцевом режиме может быть найдено по номограмме.

Нормативный метод. Метод основан на использовании гомогенной модели при любых режимах течения, т.е. во всем диапазоне паросодержаний при .

На основе опытных данных для пароводяных потоков вводится относительный коэффициент гидравлического сопротивления ш, а искомый перепад давления определяется по формуле:

(8.71)

Значение ш определяется по номограммам.

Местные сопротивления в двухфазных потоках рассчитываются по формулам для гомогенного потока:

(8.72)

где - коэффициент местного сопротивления, определяется из таблиц или нормативных документов.

8.7.5 Критические истечения двухфазных систем

Для многих практических решений, в первую очередь для систем аварийной защиты АЭС, требуется рассчитывать скорость истечения двухфазного потока через отверстия или насадки.

Наиболее важной является задача об истечении насыщенной или недогретой до температуры насыщения жидкости. Истечение такой жидкости сопровождается падением давления ниже локального давления насыщения, что приводит к парообразованию внутри канала. Наличие в потоке сжимаемой фазы создает условие для появления критического режима.

Критические режимы истечения двухфазных потоков значительно отличаются от аналогичных режимов при истечении однофазной сжимаемой среды, где критический режим наступает при достижении в критическом сечении локальной скорости звука.

В двухфазном потоке достижение максимального критического расхода смеси необязательно сопряжено с установлением в критическом сечении давления, независящего от противодавления, что характерно для однофазного истечения газового потока. В критическом сечении однофазного (газового) потока устанавливается скорость звука при определенном давлении.

В двухфазном потоке само определение скорости звука не является однозначным. Причем, скорость звука зависит как от действительной структуры потока, так и от принятой физической модели процесса распространения волны возмущения.

В настоящее время не сложилась еще общепринятая точка зрения на механизм истечения и возникновения критических режимов в двухфазных потоках.

На основе обработки опытных данных по истечению насыщенной и недогретой до насыщения воды из коротких (L/D?6) каналов небольшого диаметра (D?9) для плотности потока может быть рекомендована следующая формула:



(8.73)

где - гидравлический коэффициент расхода, который для каналов с острой кромкой на входе равен 0,61;

и - плотность и давление заторможенного потока на уровне входного отверстия;

,

здесь - давление на выходном срезе канала.

Отличие формулы (8.73) от формулы для однофазного потока состоит в том, что при определении плотности потока массы однофазной смеси используется перепад давлений , а не полная разность между давлением и противодавлением .

По мере роста недогрева и снижения давления начального давления при усилении относительной длины канала, формула (8.73) дает результат близкий к формуле для гидравлического расчета.

При давлениях > 10 Мпа критическое отношение давлений определяется по формуле:

(8.74)

если К, а при К - по формуле

(8.75)



Для коротких каналов (L/D<6) большого сечения (D>9мм) расчет по приведенным формулам дает завышенный результат.

В длинных каналах (L/D>6) при значительных недогревах (К), расход воды можно рассчитать по формулам, аналогичным формулам для гидравлического истечения:

(8.76)

где - давление насыщения при температуре Т₀.

При критическом истечении углеводородов для длинных каналов (L/D>8) применяется критериальное уравнение:

(8.77)

где безразмерные величины , , , выражены с помощью масштабов, полученных с использованием молекулярной массы m индивидуальной газовой постоянной R, давления и температуры в критической точке р_КР, Т_КР:

(8.78)

где - скорость жидкости на входе в канал, отнесенная к полному сечению канала;

- давление на входе в канал, определяемое по формуле

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(8.79)

- перегрев жидкости на входе в канал.

Безразмерные длина и диаметр канала, входящие в параметр выражаются как:

Уравнение (8.77) применимо в диапазоне р = 0,025ч0,52 (при этом может превышать 0,6); .

Порядок расчета по уравнению (8.77) следующий:

1) задаемся значением и по формуле (8.79) находим . При этом м=0,61 для каналов с острой входной кромкой;

2) рассчитываем входной перегрев жидкости . Если получим <0, то задаемся большим значением ;

3) рассчитываем левую и правую часть уравнения (8.77) с использованием выражений (8.78). Если расхождение между ними окажется значительным, то задаемся новым значением и расчет повторяем до тех пор, пока не добьемся требуемой точности;

4) проверяем, лежат ли значения и в диапазоне применимости уравнения (8.77).

8.8 Движение одиночных капель и пузырьков

8.8.1 Методы подобия и размерностей

В механике двухфазных систем числа подобия могут быть представлены как мера отношения сил, действующих на единицу площади поверхности:

(8.80)

(8.81)

(8.82)

где , , , - соответственно силы поверхностного натяжения, гравитационные (архимедовы), инерции и вязкости;

- характерный размер системы;

- динамическая вязкость жидкости;

- коэффициент поверхностного натяжения;

и - плотность жидкости и газа;

- характерная скорость;

- ускорение силы тяжести.

Число Рейнольдса можно представить как отношение сил - инерции и вязкости . Число Фруда можно представить, как отношение силы инерции к силе тяжести

- для двухфазных систем, если в жидкости движется газовый пузырек.

- если капля движется в газе.

При анализе движения дискретной капли (частицы) в сплошной среде коэффициент сопротивления используется как число подобия в виде:

(8.83)

где - сила вызывающая движение;

- площадь миделевого сечения частицы. Например, при дв

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ижении в жидкости сферического пузырька коэффициент сопротивления аналогичен по физическому смыслу числу Фруда

(8.84)

При анализе двухфазных систем часто используется безразмерное число, содержащее лишь свойства фаз и ускорение свободного падения:

(8.85)

С помощью чисел подобия процесс движения пузырьков можно описать уравнением вида:

(8.86)

или (8.87)

Причем, во многих случаях движение дискретной фазы (внутри пузырька или капли) оказывается несущественным, так что симплексы , в анализе не учитываются.

Конкретный вид уравнения подобия может быть получен на основе опытных результатов, а в отдельных случаях и теоретически.

Силы поверхностного натяжения стремятся придать пузырьку (капле) сферическую форму, а остальные силы стремятся его деформировать.

Поэтому в общем случае неравенства:

можно рассматривать как условие сферичности пузырька (капли).

Первое условие характерно для задач гидростатики, последнее - для движущихся капель и пузырьков (достаточное условие сферичности).

При анализе размерностей всегда следует думать о физической полноте набора независимых параметров и переменных процесса. Иначе можно получить формально верный, но физически ошибочный результат.

В качестве примера приведем эмпирическую формулу для скорости свободного всплытия газового пузыря в жидкости, когда эта скорость снижается с увеличением радиуса пузыря:

(8.88)

где - скорость всплытия пузыря, м/с;

- коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

- плотность жидкости, кг/м³;

- радиус эквивалентной по объему сферы, м.

В формуле (8.88) размерности согласованы:

.

Однако в ней отсутствует подъемная сила - единственный источник движения пузыря. Следовательно, независимо от действия гравитации пузырь по этой формуле всегда будет всплывать с одной и той же скоростью, даже в невесомости.

В рамках анализа размерностей можно предположить, что:

а) определяемым критерием подобия является отношение масштаба динамического сопротивления подъему пузыря в жидкости к масштабу силы Архимеда:



где - ускорение свободного падения, м/с²;

- плотность газа, кг/м³;

б) коэффициент гидравлического сопротивления представляет собой функцию деформации пузыря, характеризуемого отношением силы поверхностного натяжения и той же силы Архимеда. Безразмерное соотношение этих воздействий можно записать в форме:

где - мера давления, создаваемая поверхностным натяжением, Н/м².

8.8.2 Скорость движения капли и пузырька при Re<1

При малых числах Рейнольдса уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости упрощается, ибо в нем можно опустить инерционный член .

В таком приближении было получено решении задачи о движении сферической капли в вязкой жидкости при .

Решение дает поля скоростей во внешней области и внутри капли, а также значения нормальных и касательных напряжений на границе капли. Интеграл от проекций этих напряжений на направление движения можно рассматривать как силу сопротивления:



(8.89)

где - радиус капли;

- скорость движения;

, - динамическая вязкость жидкости вне и внутри капли соответственно.

Если , то (8.86) переходит в формулу Стокса для обтекания твердой сферы при :

(8.90)

Для капли, движущейся в жидкости под действием Архимедовой силы , равенство дает скорость её установившегося падения (всплытия):

(8.91)

Для твердой сферы и скорость падения равна:

(8.92)

где - плотность твердой фазы.

В маловязких жидкостях (вода, керосин, спирты и т.п.) в газах условию подчиняется движение очень малых твердых частиц (диаметром не более 0,1 мм). Для газовых пузырьков в жидкости , так что:

(8.93)

8.8.3 Скорость всплытия газового пузырька в жидкости

Свободный газовый пузырь в жидкости, или капля одной жидкости в другой жидкости при отсутствии эффекта смешения, имеет одну определенную геометрическую характеристику - объем V. Форма пузыря и его линейные характеристики могут изменяться под действием динамических сил и силы поверхностного натяжения на границе раздела фаз (компонент).

Таким образом, в качестве линейного масштаба можно вводить или величину V^1/3, или эффективный радиус:

(8.94)

Свободное движение пузыря обусловлено подъемной силой порядка и силой гидродинамического сопротивления порядка , здесь - коэффициент гидродинамического сопротивления пузыря; - скорость свободного всплытия пузыря.

Определяемый критерий в форме числа Фруда:

(8.95)

где - относительная разность плотностей.

В критериях надо брать модуль величины относительной плотности . Если , то пузырь (капля) всплывает, если - капля тонет.

Обычно связь между подъемной силой и гидродинамическим сопротивлением записывают в форме, соответствующей стационарному обтеканию правильной сферы:



(8.96)

При такой записи , (8.97)

т.е. по существу, это один и тот же критерий подобия.

Практически удобнее пользоваться корнем квадратным из критерия Фруда, который обозначим символом безразмерной скорости всплытия пузыря:

(8.98)

На границе раздела возникает гидродинамическое взаимодействие, вызывающее образование поля давления. Это приводит к деформациям и осцимациям лат.-колебания поверхности пузыря.

В качестве меры этой деформации поверхности раздела принимается критерий, характеризующий взаимодействие подъемной силы и давления, создаваемого поверхностным натяжением:

(8.99)

Молекулярные вязкости жидкости и газа проявляются в условиях преобладания ламинарного характера течения, т.е. при относительно малых числах Рейнольдса:

(8.100)

При этом следует учитывать критерий Архимеда:

(8.101)

и симплекс лат.-простой (8.102)

Если в пузыре существенно выражены динамические эффекты, то в качестве самостоятельной величины учитывается симплекс:

(8.103)

В реальных ситуациях действие симплексов (8.102) и (8.9103) практически не проявляется.

Для сферы с неподвижными границами вязкого обтекания (Re<1) имеем

(8.104)

В области вязкого обтекания с отрывом (1<Re<510²):

(8.105)

В области первой автомодельности (510² <Re<10⁵) соответствуют законы всплытия:

(8.106)



Для малых пузырей (капель), сохраняющих строго сферическую форму, для области Re<1 имеется теоретическое решение Адамара-Рыбчинского, учитывающее подвижность границы раздела:

(8.107)

При , т.е. при неподвижной (отвердевшей) границе раздела:

(8.108)

или (8.109)

Это известная формула Стокса для движения твердой сферы в жидкости. Общий характер зависимости показан

В реальных средах реализуется закон (8.108). Это обусловлено упрочнением границы раздела диффундирующими к ней примесями, имеющимися в жидкости и газе.

При движении пузыря (капли) в канале, например круглой трубе, необходимо учитывать взаимодействие со стенками.

С этой целью, при прочих равных условиях вводится отношение эффективного радиуса пузыря к внутреннему радиусу трубы.

Общий характер зависимости при свободном всплытии пузыря показан на рис.8.13. Левая ветвь отвечает малодеформированным сферам, т.е. автомодельна относительно .

Правая ветвь, имеющая отчетливый минимум, соответствует движению деформирующихся больших пузырей и практически автомодельна относительно вязкости, т.е. критерия , т.е.: