Физические свойства жидкостей

Размещено на http://www.allbest.ru/

260

1. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

1.1 Физические свойства жидкостей

Жидкостями называются тела, у которых силы взаимной связи между частицами невелики. Будучи помещены в сосуд, жидкости принимают его форму. При этом жидкости могут быть капельными (несжимаемыми) и газообразными (сжимаемыми). Капельные жидкости почти не меняют объема при изменении давления (например, вода при возрастании давления на 1 атмосферу уменьшает объем на 1/20 000), В газах изменение давления приводит к значительным изменениям объема; например, при изотермическом увеличении давления вдвое объем газа уменьшается в 2 раза. В капельных жидкостях имеют место силы сцепления между частицами, что приводит к появлению поверхности уровня; в газах сил сцепления между молекулами нет.

В гидромеханике и газодинамике используется понятие континуума, или сплошности. Предполагается, что любая частица жидкой среды, сколь бы мала она ни была, имеет свойства, одинаковые со свойствами окружающего большого объема жидкости. В действительности континуум в жидкости часто нарушается. Например, в зоне пониженного давления в потоке жидкости может возникнуть явление кавитации, т. е. образование полостей (каверн), заполненных парами и газами, выделившимися из жидкости. Однако для большинства практических задач использование понятия сплошности является справедливым, что позволяет считать скорость течения, давление и другие параметры потока непрерывными функциями от координат. Молекулярные и внутриатомные эффекты при этом не учитываются.

Рассмотрим основные свойства жидкости.

Плотность. Это свойство характеризует инерционные качества, жидкости. Плотностью с называют массу единицы объема жидкости. Если масса жидкости т занимает объем V, то

(1.1)

Размерность плотности в системе СИ - кг/м3., в технической системе единиц - кгс·сек2/м4.

В случае неоднородной жидкости плотность определяется через предельный переход

(1.2)

Наряду с плотностью часто используется (особенно в гидравлике) понятие удельного веса. Удельным весом называют вес единицы объема жидкости. Удельный вес г равен отношению веса жидкости G к ее объему и может быть получен из плотности умножением на ускорение силы тяжести g:

(1.2)

Размерность удельного веса в системе СИ - н/м3, в технической системе единиц - кгс/м3.

В технической термодинамике и в некоторых разделах газодинамики в качестве величины, характеризующей плотностные качества газа, используется удельный объем х - объем, занимаемый единицей массы газа. Очевидно, что

 (1.3)

Удельные веса и плотности некоторых жидкостей при температуре 20° С приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вязкость. Свойство вязкости проявляется в сопротивлении, которое оказывает движущаяся жидкость сдвигающим усилиям. Если в потоке скорости отдельных слоев неодинаковы, то молекулы жидкости в своем хаотическом тепловом движении проникают из слоев, имеющих малую скорость, в слои с большими скоростями и подтормаживают их (на рис. 1 снизу вверх). Наоборот, молекулы, поступающие в зону малых скоростей, увлекают жидкость. Таким образом, вследствие теплового движения молекул и сил сцепления между частицами жидкости возникает тенденция к выравниванию эпюры скоростей. Подтормаживание слоев с большей скоростью при этом аналогично действию трения в механике твердого тела; используя эту аналогию, действие вязкости называют внутренним трением в жидкости. Теряемая механическая энергия потока расходуется на увеличение внутренней энергии молекул, т. е. переходит в теплоту. По гипотезе И. Ньютона (1686), подтвержденной многочисленными экспериментами, касательное усилие между слоями жидкости, имеющими разную скорость («сила трения»), пропорционально площади соприкосновения слоев F и градиенту скорости в поперечном направлении

(1.4)

(закон Ньютона о вязком трении). Касательное напряжение ф, или сила трения на единицу площади соприкосновения слоев, выражается формулой

(1.4а)

Коэффициент пропорциональности м в формуле Ньютона носит название динамического коэффициента вязкости. Его размерность в системе СИ - н·сек/м2, в технической системе единиц - кгс·сек/м2. В некоторых задачах гидромеханики, когда вязкость мало влияет на течение, используется понятие о фиктивной жидкости, лишенной свойства вязкости - «идеальной жидкости».

Наряду с динамическим коэффициентом вязкости в гидромеханике часто используется также кинематический коэффициент вязкости н, представляющий собой отношение (д. к плотности жидкости с, т.е.

.

Размерность кинематического коэффициента вязкости - м2/сек. В практике чаще применяется производная единица - см2/сек, причем 1 см2/сек = 10-4 м2/сек. Единица см2/сек носит название Стокс (cm). Ниже приведены значения кинематического коэффициента вязкости v в стоксах для некоторых жидкостей при температуре 20° С.

Вязкость капельных жидкостей уменьшается с повышением температуры, что связано с уменьшением сил сцепления между частицами. В табл. 2 даны значения коэффициента кинематической вязкости при различной температуре для воды и турбинного масла. Вязкость газов, наоборот, увеличивается с повышением температуры из-за увеличения скоростей хаотического движения молекул.

Таблица 2

Для определения вязкости капельных жидкостей используются приборы - вискозиметры. Чаще других применяется вискозиметр Энглера, в котором вязкость определяется по времени истечения определенного объема жидкости через калиброванное отверстие.

Сжимаемость. Уменьшение объема при увеличении давления называется сжимаемостью жидкостей. По закону Гука, приращение объема жидкости dV, связанное с приращением давления dp, определяется формулой

(1.5)

где Е - модуль объемной сжимаемости (модуль Юнга) жидкости. Для воды, например, E=2,1·104 кгс/см2, для нефти и минерального масла Е?1,4·104 кгс/см2. Модуль объемной сжимаемости газов зависит от термодинамического характера процесса сжатия; обычно он в тысячи раз меньше, чем для капельных жидкостей (поэтому газы и называют сжимаемыми жидкостями). Наряду с модулем Юнга Е, для характеристики сжимаемости жидкости применяют обратную ему величину - коэффициент сжимаемости . Как уже упоминалось, капельные, или несжимаемые, жидкости при небольших изменениях давления практически не меняют объема.

Поверхностное натяжение. Это механическое свойство капельной жидкости есть следствие действия в жидкости сил сцепления и проявляется в местах соприкосновения жидкости со стенками сосуда. В капиллярных трубах поверхностное натяжение играет существенную роль, в крупных же сосудах и трубопроводах, с которыми приходится иметь дело теплоэнергетике, силы поверхностного натяжения исчезающе малы по сравнению с другими силами.

Тепловое расширение. Тепловое расширение жидкости и связанное с ним изменение плотности при изменении температуры незначительны и обычно не принимаются во внимание в большей части гидравлических расчетов. Тепловое расширение и сжатие газов исследуется технической термодинамикой.

1.2 Основные понятия и уравнения гидростатики

Гидростатика - раздел гидродинамики, изучающий случаи равновесия жидкостей под действием различных сил.

Силы, действующие в жидкости. Механика жидкости и газа рассматривает две категории сил, действующих в жидкости: объемные и поверхностные.

Объемные, или массовые, силы действуют на каждую частицу жидкости внутри данного объема. Таковы силы тяжести и инерции (в том числе центробежная сила). Объемные силы, отнесенные к единице массы жидкости, имеют размерность ускорения. Так, при действии силы тяжести объемная сила численно равна ускорению силы тяжести q; при действии центробежной силы инерции объемная сила равна - (здесь щ - окружная скорость) вращения, r - радиус). Результат действия объемной силы на заданный объем жидкости V выражается ее произведением на массу жидкости внутри данного объема, которая в свою очередь равна произведению объема V на плотность с. В итоге действие силы тяжести выражается весом заданного объема gсV, действие центробежной силы равно и т. д.

При выборе в жидкости декартовой системы координат xyz рассматривают проекции объемной силы на координатные оси, которые обозначаются прописными буквами X, Y, Z и также имеют размерность ускорения. Например, если плоскость ху параллельна поверхности жидкости, ось z направлена вертикально вверх, а на жидкость действует только сила тяжести, то проекции Л и К равны нулю, а проекция Z равна - g (она отрицательна, поскольку сила тяжести действует в направлении, противоположном оси z).

Поверхностные силы действуют на поверхностях, ограничивающих данный объем жидкости от атмосферы, стенок сосуда или соседних объемов жидкости. К поверхностным силам относятся нормальные силы (атмосферное давление, давление со стороны стенок сосуда) и касательные силы, например: касательные напряжения у стенок трубы или у поверхности обтекаемого тела, возникающие при движении жидкости.

Гидростатическое давление в покоящейся жидкости. Сила, действующая со стороны жидкости на единицу площади поверхности тела, соприкасающегося с ней, называется гидростатическим давлением. Если на площадь F действует сила Р, то гидростатическое давление

(1.6)

Если площадь F расположена в жидкости не горизонтально, то в разных ее точках гидростатическое давление оказывается не одинаковым - оно зависит от глубины. В этом случае давление в точке определяется через предельный переход:

(1.6а)

Таким образом, гидростатическое давление аналогично напряжению сжатия тела под действием какой-либо силы.

Вектор давления на некоторую площадку, выбранную в жидкости, направлен по внутренней нормали к ней и не зависит от ориентации площадки.

Единица измерения давления в системе СИ - н/м2, в технической системе единиц - кгс/м2. Наиболее распространенная в практике единица давления - кгс/см2 - называется технической атмосферой. Она равна 10 000 кгс/м2 и соответствует давлению столба ртути высотой 735 мм или столба воды высотой 10,00 м. Название «атмосфера» для этой единицы появилось потому, что она по величине близка к среднему атмосферному давлению на уровне моря, равному 1,033 кгс/см2 (давление столбца ртути высотой 760 мм). В системе СИ производной единицей давления является бар, равный 105 н/м; 1 бар - 1,02 кгс/см2.

Следует отметить, что при сохранении сплошности жидкости давление в ней не может быть ниже некоторого минимума, равного давлению паров данной жидкости, насыщающих пространство при данной температуре. При попытке понизить давление ниже упругости насыщенного пара жидкость вскипает. Ниже приведены данные о давлении насыщения для паров воды при различной температуре.

Из приведенных данных следует, например, что при температуре 70° С вода вскипает, если давление на ее поверхности станет менее 0,317 кгс/см2.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Вывод дифференциальных уравнений равновесия начнем с частного случая, когда на жидкость действует только сила тяжести и система координат выбрана таким образом, что плоскость ху расположена на поверхности жидкости, а ось h (ось глубин) направлена вертикально вниз (рис. 2).

Рассмотрим условие равновесия жидкости в параллелепипеде ; с ребрами dx, dy, dh, параллельными координатным осям. Единственной объемной силой, действующей на жидкость внутри параллелепипеда, является сила тяжести g, действие которой выражается весом жидкости - произведением pg dx dy dh. Сила тяжести направлена вертикально вниз, и проекции объемной силы в направлении осей х и у равны нулю. В силу того, что жидкость неподвижна, силы давления на боковые грани взаимно уравновешиваются.

Рассмотрим проекции сил, действующих на параллелепипед в направлении оси h. Пусть давления на верхней и нижней площадках равны р и p+dp. На верхнюю грань действует сила давления pdxdy, на нижнюю грань - противоположно направленная сила давления (р+dp)dxdy. Просуммировав алгебраически силы давления на верхнюю и нижнюю грань и вес жидкости в объеме параллелепипеда, получим условие равновесия



или

(1.7)

Последнее равенство может быть записано также в форме

(1.7а)

При произвольной ориентации координатных осей, а также при действии кроме силы тяжести и других объемных сил, приходится учитывать все их проекции X, Y, Z на координатные оси. В этом случае нужно рассматривать изменение давления в направлении всех координатных осей, которое описывается частными производными Пользуясь выводом, аналогичным вышеизложенному, легко получить для этого случая систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости Л. Эйлера (1755):

(1.8)

Полный дифференциал гидростатического давления может быть определен из этой системы в результате умножения первого уравнения на dx, второго на dy, третьего на dz и их сложения:

 (1.8а)

Интегрирование дифференциальных уравнений гидростатики.

Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости под действием силы тяжести. В дифференциальном уравнении гидростатики (1.7) произведение сg есть удельный вес жидкости г. Интегрируя уравнение dp = гdh, имеем

Постоянная интегрирования С может быть определена с учетом условия на поверхности жидкости: при h = 0 р = р0, следовательно, С = р0. В результате давление р на любой глубине h может быть определено по основному уравнению гидростатики:

(1.9)

В частном случае, когда жидкость имеет свободную поверхность, давление р0 равно атмосферному давлению ра. Таким образом, давление на глубине h (абсолютное давление) складывается из давления на поверхности и давления столба жидкости высотой h - избыточного давления.

Из уравнения гидростатики следует, что давление может измеряться высотой столба жидкости h. На этом основано широкое применение для измерения давления сообщающихся сосудов - пьезометров, жидкостных барометров и манометров, микроманометров. Так, в пьезометре давление внутри сосуда измеряется по высоте подъема h жидкости в открытой трубке; давление на поверхности жидкости в ней равно атмосферному. Очевидно, что где манометрическое давление рман = р - ра - есть превышение давления над атмосферным. Давление в сосуде определяется по формуле р=ра+гh. Микроманометр представляет собой пьезометр, в котором измерительная трубка наклонена под небольшим углом к горизонтальной плоскости. Незначительные изменения давления приводят к заметным изменениям длины столбика жидкости в измерительной трубке микроманометра, чем повышается точность измерений.

Если в пьезометре уровень жидкости расположен ниже уровня в сосуде, слагаемое yh в основном уравнении гидростатики имеет знак минус и называется вакуумом или недостатком давления до атмосферного. Величина, или глубина вакуума в сосуде, измеряется в долях атмосферы или высотах столба жидкости. При вакууме давление не может быть меньше давления паров жидкости, насыщающих пространство при данной температуре. Пьезометр, измеряющий глубину вакуума, называется вакуумметром.

Помимо жидкостных приборов для измерения давления в технике широко используются также механические манометры и вакуумметры-пружинные и мембранные. Давление в них измеряется по величине упругих деформаций чувствительного элемента.

Из уравнения гидростатики непосредственно следует закон Паскаля, согласно которому давление, оказываемое на поверхность покоящейся жидкости, передается всем ее частицам без изменения величины. Действительно, давление на поверхности р0 входит слагаемым в основное уравнение гидростатики, и с его изменением на такую же величину меняется давление внутри жидкости р. На применении закона Паскаля основано устройство гидростатических машин - гидравлических прессов, аккумуляторов и мультипликаторов.

При ускоренном движении сосуда в течение достаточно длительного времени находящаяся в нем жидкость оказывается в покое относительно сосуда, но перемещается вместе с ним (относительный покой жидкости). В этом случае, наряду с силой тяжести, на жидкость действуют также объемные силы инерции. В дифференциальном уравнении гидростатики (1.8а) приходится учитывать горизонтальные компоненты объемных сил X и Y. В частности, при равноускоренном движении сосуда объемная сила в направлении действия ускорения равна этому ускорению. При вращении сосуда около вертикальной оси с угловой скоростью щ на частицу жидкости, расположенную, на расстоянии r от оси вращения, кроме силы тяжести действует центробежная сила инерции щ2/r. Действие этой силы приводит к возрастанию давления с удалением от оси вращения. Эффект увеличения давления у стенок вращающегося сосуда находит применение в технике, например в центробежном литье.

Давление жидкости на стенки. Из определения гидростатического давления [выражение (1.6а)] следует, что сила давления жидкости на стенку может быть найдена суммированием произведений гидростатического давления на величину элементарной площадки или, в пределе, интегрированием сил давления по площади стенки F.

Величина избыточного давления на элементарную площадку dF (рис. 3) равна:

Сила давления на всю площадку определяется интегрированием элементарного давления по площади F:

Но есть статический момент фигуры F относительно свободной поверхности жидкости, равный согласно выводам теоретической механики произведению площади F на глубину hc погружения центра тяжести фигуры С:



Таким образом, имеем

(1.10)

Где ризб.С - гидростатическое давление в центре тяжести фигуры. Например, сила избыточного давления на прямоугольный щит шириной b, длиной l, установленной под углом б к поверхности жидкости, будет

Выясним, где находится точка приложения равнодействующей сил давления, называемая центром давления.

Определим момент сил давления на стенку относительно линии ее пересечения с поверхностью жидкости. Элементарный момент dM равен силе давления на элементарную площадку гhdF, умноженной на плечо l (рис. 3):

Суммарный момент сил давления на фигуру определится в результате интегрирования этого выражения по площади F:

Выражение представляет собой момент инерции фигуры F относительно линии пересечения поверхности жидкости со стенкой. Итак,

Но, с другой стороны, момент инерции М равен произведению равнодействующей сил давления Р на искомое плечо (координату центра давления)lD :

здесь lС - координата центра тяжести. Приравнивая полученные выражения для суммарного момента М, определим (координату центра давления:

Представляется целесообразным заменить в полученной формуле момент инерции фигуры относительно линии пересечения поверхности жидкости со стенкой Jx через ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести С параллельно поверхности жидкости, по известной формуле механики



Тогда

(1.11)

Из полученной формулы видно, что центр давления D (рис. 3)

лежит ниже центра тяжести С на величину называемую

эксцентриситетом давления. Например, для прямоугольного щита координата центра давления lD равна:

(так как для прямоугольника ).Таким образом, точка

приложения равнодействующей сил давления на прямоугольную стенку лежит ниже ее центра тяжести на 1/6 l.

Равнодействующая сил давления на криволинейную стенку может быть определена суммированием сил давления на элементарные площадки, которые можно считать плоскими. Обычно задача определения равнодействующей давления на криволинейную стенку сводится к нахождению ее составляющих по координатным осям.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

2.1 Определения кинематики жидкости

Неразрывность

Основные определения. Задачей гидродинамики является определение скоростей и давлений жидкости в различных точках потока и в различные моменты времени t. В общем случае вектор скорости w и давление р являются функциями четырех переменных:

Если скорость и давление в любой фиксированной точке потока остаются неизменными во времени (т. е. являются функциями только координат х, у, z), то течение называется установившимся. Пример установившегося течения - истечение жидкости из бака под постоянным напором. Если скорость и давление меняются со временем, то течение - неустановившееся. Например, если при истечении из бака убыль жидкости не восполняется, то напор, скорость и давление в любой точке постепенно уменьшаются, это течение неустановившееся.

Мгновенную картину течения наглядно представляют линии тока (рис. 4,а). В каждой точке линии тока вектор скорости направлен по касательной к ней. При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц, при неустановившемся течении они могут не совпадать.

Если провести линии тока через все точки элементарно-малого контура, то образованная ими поверхность ограничит элементарную струйку (рис. 4,б). В элементарной струйке жидкость течет, не смешиваясь с соседними объемами, так как, по определению, векторы скорости направлены по касательной к ее поверхности. Площадь сечения струйки dF выбирают достаточно малой для того, чтобы вектор скорости щ оставался в этом сечении неизменным по величине.

Объем жидкости, протекающей через сечение струйки в единицу времени, называют элементарным расходом dQ. Он равен произведению длины вектора скорости на площадь сечения струйки

(2.1)

Размерность расхода - м3/сек.

Рассматривая поток жидкости, такой, например, как в трубе или канале, допустимо считать, что он состоит из большого числа элементарных струек. В этом случае сечение потока (в гидравлике его называют «живым сечением») равно сумме сечений элементарных струек. Расход потока есть сумма расходов струек, в пределе - интеграл по площади сечения:

(2.2)

При известном расходе Q легко определить среднюю скорость потока щcp в данном сечении:

 (2.З)

Для характеристики торможения потока твердыми стенками кроме сечения F в гидравлике вводятся еще понятия смоченного периметра ч - периметр сечения в пределах соприкосновения с твердыми стенками трубы или канала, и гидравлического радиуса R, причем

(2.4)

Размерность смоченного периметраи гидравлического радиуса - м. Как видно из выражения (2.4), гидравлический радиус характеризует компактность сечения потока. Для круглой трубы радиуса r, например, гидравлический радиус

Уравнение неразрывности для одномерного течения. Если в потоке между какими-нибудь двумя его сечениями количество жидкости не пополняется извне и не убывает (нет источников и стоков), то масса протекающей через эти два сечения жидкости сохраняется неизменной. Математически этот принцип выражается уравнением неразрывности (это название подчеркивает, что в рассматриваемых сечениях поток сплошной, не содержит полостей и разрывов).

Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения, в котором скорость меняется Только в направлении одной продольной координаты. Примерами одномерного течения являются элементарная струйка, движение в трубе и канале. Для элементарной струйки несжимаемой жидкости принцип сохранения массы выражается через постоянство объемного расхода (2.1) в струйке (рис. 4,б):

(2.5)

Очевидно, что для потока в трубе или канале необходимо постоянство расхода, вычисленного по средней скорости щср:

(2.5а)

В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип неразрывности требует постоянства массового расхода, который равен произведению объемного расхода на плотность р:

(2.6)

Одномерное течение несжимаемой жидкости является предметом изучения гидравлики. В отличие от нее гидродинамика рассматривает более сложные двухмерные и трехмерные потоки, в которых скорость может изменяться в направлении двух или трех координатных осей.

Уравнение неразрывности для трехмерного течения несжимаемой жидкости. Выберем в потоке фиксированный в пространстве элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dх, dy, dz (рис. 5). Пусть у левой грани этого объема составляющая скорости в направлении оси x равна щx. По достижении правой грани эта составляющая может измениться и стать равной



Через левую грань за единицу времени втекает внутрь параллелепипеда объем жидкости, равный произведению нормальной составляющей скорости на площадь грани: щxdydz.

Через правую грань вытекает объем

Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно разности:

Аналогично получим, что через грани, перпендикулярные оси у (задняя и передняя грани на рис. 5), суммарное поступление жидкости внутрь параллелепипеда равно . Через грани, перпендикулярные оси z (нижняя и верхняя на рис. 5), поступает объем. Здесь щy и щz - составляющие скорости в направлении осей у и z. Если внутри параллелепипеда нет источников и стоков, т. е. объем жидкости в нем не меняется, то суммарный расход через все грани равен нулю:



Разделив последнее равенство на объем параллелепипеда dx dy dz, получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

(2.7)

При выводе уравнения неразрывности мы не учитывали сжимаемости жидкости. В наиболее общем случае неустановившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид (приводится без вывода):

(2.7а)

2.2 Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера

Идеальной жидкости, лишенной свойства вязкости, в природе не существует. Опыт показывает, однако, что при обтекании некоторых тел маловязкой жидкостью (такой, как вода, воздух) торможение из-за вязкого трения охватывает лишь тонкий пристенный слой. За пределами этого слоя вязкость оказывает пренебрежимо малое влияние на распределение скоростей и давлений. Поэтому для изучения внешнего потока возможно использовать методы динамики идеальной жидкости, что существенно упрощает задачу по сравнению с динамикой вязкой жидкости. Пренебрежение вязкостью помогает также решать в первом приближении задачи одномерного течения.

Вывод уравнений. Уравнения гидродинамики Эйлера выражают в применении к жидкой частице второй закон Ньютона: «Произведение массы частицы на ускорение равно действующей силе», т.е.

(2.8)

Здесь - производная вектора скорости по времени, или ускорение; - сумма сил, действующих на частицу массы т.

Применим второй закон Ньютона к частице жидкости в форме параллелепипеда с малыми ребрами dx, dy, dz (см. рис. 5). Рассмотрим проекции записанного выше векторного равенства на координатные оси, причем начнем с проекции на ось х:

Здесь щx и fx - составляющие скорости и силы по оси х. Масса т равна произведению плотности с на объем частицы, или с dx dy dz. К силам, действующим на частицу, относится разность давлений на грани, перпендикулярные оси х. Если давление у левой грани (см. рис. 5) равно с, а у правой грани (учтено возможное изменение давления вдоль оси х), то разность проекций сил давления на ось х составит

Кроме силы давления частица может испытывать действие в направлении оси х внешних объемных сил (например, силы тяжести или инерции). Если проекцию ускорения, создаваемого внешними силами в направлении оси х, обозначить через X, м/сек2 (см. 1.2), . то сама сила окажется равна произведению ускорения на массу частицы, т.е. Хс dx dy dz, н (или кгс). Подставляя полученные величины в уравнение (2.8) и пользуясь аналогичными рассуждениями для проекций ускорений и сил на координатные оси у и z, получим систему дифференциальных уравнений гидродинамики Эйлера:

(2.9)

Здесь Y, Z - проекции ускорения объемных сил на оси у, z.

Дифференциальные уравнения Эйлера показывают, что ускорение частиц (левые части записанных уравнений) обусловлено перепадом давления (первые члены правых частей) и действием внешних объемных сил. В реальной жидкости, если скорости распределены неравномерно, возникают еще касательные напряжения вследствие вязкости, которые мы не учитывали при выводе уравнений движения идеальной жидкости.

Если из внешних сил на движущуюся жидкость действует только сила тяжести с ускорением g, представляется целесообразным выбрать систему координат так: плоскость ху расположить горизонтально, а ось z направить вертикально вверх. Тогда уравнения Эйлера примут вид:

(2.9а)

Уравнения Эйлера (2.9) совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости (2.7) образуют систему четырех уравнений, содержащую четыре неизвестных: щx, щy, щz, p. В случае сжимаемой жидкости (газа) к уравнениям Эйлера и неразрывности необходимо добавить еще уравнение, дающее связь между давлением и плотностью жидкости:

.

Интегрируя полученную замкнутую систему уравнений при заданных граничных и начальных условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление в любой точке потока и в любой момент времени.

Граничные и начальные условия. Граничные условия при обтекании тела задают распределение скоростей вдали от тела, где не сказывается его искажающее влияние на поток, и на поверхности тела. Согласно принципу относительности движения, известному из механики, задача о движении тела в неподвижной жидкости (например, самолета, корабля) в динамическом отношении тождественна задаче об обтекании неподвижного тела равномерным потоком. Поэтому гидромеханика широко использует принцип «обращения движения». Граничные условия для обращенной задачи о движении тела в неподвижной жидкости обычно задаются следующим образом:

1. Условия «на бесконечности». В удалении от обтекаемого тела задаются давление р?, направление и скорость w? обтекающего потока.

2. Условие «непроницаемости». Пусть п - нормаль к поверхности обтекаемого тела. Если жидкость через поверхность не протекает, то нормальная составляющая скорости равна нулю: щn = 0, и скорость течения на поверхности тела может быть только касательной к ней.

Начальные условия характеризуют состояние потока в некоторый конкретный момент. При установившемся движении скорость и давление в данной точке не меняются во времени и начальные условия не задаются.

В общем случае пространственного (трехмерного) потока, когда скорость изменяется в направлении всех трех координатных осей, интегрирование системы уравнений движения и неразрывности встречает чрезвычайные математические трудности. Поэтому задача решается при внесении различных упрощающих предположений. Наиболее полно разработана теория одномерного движения. Для несжимаемой жидкости эта теория составляет основу гидравлики.

При одномерном течении граничные условия задают величины скорости и давления на сечениях, ограничивающих заданный участок струйки (потока).

2.3 Уравнение Бернули

Вывод уравнения. Пусть при установившемся движении идеальной жидкости из внешних сил на жидкость действует только сила тяжести. Такое движение описывается системой уравнений (2.9а).

Проинтегрируем эту систему для некоторой линии тока. Для этого умножим уравнения (2.9а) соответственно на dx, dy, dz и сложим.Получим

(2.10)

Величины dx, dy, dz мы рассматриваем как проекции элемента .линии тока ds на координатные оси. Поэтому

Поэтому левая часть уравнения (2.10) есть

Сумма в скобках, стоящая в правой части уравнения (2.10), есть полный дифференциал давления р. Выражение (2.10) приобретает вид:

(2.11)

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости (с = const). Проинтегрируем уравнение (2.11) вдоль элементарной струйки

(в направлении вектора скорости щ). Получим уравнение Бернулли (1738):

 (2.12)

Разделив члены уравнения (2.12) на g, получим другую, более употребительную форму записи уравнения Бернулли:

(2.12а)

Из уравнения Бернулли следует, что при возрастании скорости в струйке уменьшается давление и наоборот.

Геометрическая и энергетическая интерпретация. Члены уравнения (2.12а) имеют размерность длины, что позволяет выяснить их геометрический смысл как некоторых высот. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений струйки (рис. 6) в форме:

(2.12б)

Величины z1 и z2 есть геометрические высоты расположения сечений над некоторой фиксированной горизонтальной плоскостью сравнения O-О (рис. 6).

Величины и согласно уравнению гидростатики (1.9) есть высоты столбов жидкости, создающих своим весом давления р1 и р2.Они называются пьезометрическими высотами. Линия Р-Р, проведенная на высоте над плоскостью сравнения, называется пьезометрической линией.

Наконец, величины и называют скоростными напорами. При движении идеальной жидкости сумма геометрической, пьезометрической высот и скоростного напора остается согласно уравнению Бернулли постоянной величиной вдоль элементарной струйки. Поэтому гидродинамическая линия Е-Е, проведенная на высоте над плоскостью сравнения, расположена горизонтально.

Уравнение Бернулли легко вывести, пользуясь энергетическим подходом. Энергия частицы жидкости массы m, перемещающейся вдоль элементарной струйки, складывается из кинетической энергии и потенциальной. В свою очередь потенциальная энергия состоит из энергии положения mgz и энергии давления (Смысл этого последнего члена легко пояснить следующими соображениями. Если к данному сечению струйки, где давление равно р, присоединить пьезометр, то частица с массой т -поднимется в нем на высоту , совершив против силы тяжести работу mg. Эта работа и есть мера потенциальной энергии давления.) Суммарная механическая энергия частицы равна

.



Удельная, т. е. отнесенная к частице единичного веса, механическая энергия может быть получена из последнего выражения делением на mg:

При движении идеальной жидкости механическая энергия не теряется - вязкое трение, которое в реальной жидкости переводит механическую энергию в теплоту, отсутствует. Поэтому удельная механическая энергия остается постоянной вдоль элементарной струйки, что приводит снова к уравнению (2.12а).

Рассмотренный вывод показывает, что уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения и взаимного преобразования механической энергии при движении идеальной жидкости. В этом смысле оно имеет фундаментальное значение для гидромеханики; уравнения (2.11) и (2.12) часто называют уравнениями энергии.

Измерение полного напора. Трубка Пито. Скоростной напор измеряется с помощью трубки Пито (рис. 7, а), представляющей собой трубку Д, изогнутую открытым концом навстречу потоку. У открытого конца трубки обтекающая его струйка раздваивается, скорость здесь равна нулю. Кинетическая энергия струйки в этом сечении полностью переходит в приращение потенциальной энергии

давления. Применяя уравнение Бернулли (2.12б) к двум сечениям струйки, одно из которых относится к невозмущенному потоку с параметрами w и р, а второе - к входу в трубку Пито, имеем

,

отсюда разность высот столбов жидкости, уравновешивающих разность давления р0 и р, равна

(2.13)

Превышение давления р0 над статическим давлением р называется динамическим давлением потока рд. Очевидно, что оно равно

(2.13а)

Таким образом, скоростной напор равен разности высот жидкости в трубке Пито и пьезометре, установленном в том же сечении (разумеется, предполагают, что возмущения, которые вносит в поток трубка Пито, оказывают пренебрежимо малое влияние на давление, измеряемое пьезометром П).

Трубка Пито широко применяется для измерения скоростей в потоке и, наоборот, для определения скорости тела (корабля, самолета) относительно неподвижной жидкости. Разность динамического и статического давления измеряют обычно с помощью дифференциального манометра, присоединенного к трубке Пито и пьезометру и заполненного жидкостью большего удельного веса (рис. 7, б). Для измерения динамического давления, а следовательно, и скорости потока часто используется трубка Пито - Прандтля (рис. 7, в), представляющая собой комбинацию датчиков динамического давления (трубка Д) и статического давления (отверстия П).

Пример. Определить скорость движения керосина в трубе, если показание ртутного дифманометра, присоединенного к трубке Пито и пьезометру (рис. 7, б), равно 150 мм. Удельный вес керосина 800 кгс/м3, ртути 13 600 кгс/м3.

Динамическое давление потока равно разности давлений столбиков ртути и керосина высотой 150 мм:

Подставляя последнее выражение в уравнение (2.13), имеем:

откуда

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Применяя I уравнение Бернулли к струйке реальной жидкости, необходимо учесть, что полная механическая энергия не остается постоянной вдоль струйки: она постепенно переводится в теплоту процессами вязкого трения. Эту потерю механической энергии на участке струйки между двумя сечениями учитывают введением в правую часть уравнения (2.12б) слагаемого hщ - потери напора (потери удельной механической энергии). При наличии потерь гидродинамическая линия Е - E на диаграмме уравнения Бернулли (см. рис. 6) не горизонтальна: она понижается вниз по течению. Отношение потерь напора hщ к длине струйки l называется гид-равлическим уклоном:

(2.14)

Переходя к потоку жидкости (такому, как в трубе или канале), естественно для расчета скоростного напора использовать среднюю скорость щср. Для определения средней скорости по скоростям отдельных струек используется формула (2.3). Однако, если скорости струек в сечении неодинаковы (например, замедляются у стенок трубы вследствие трения), то расчет кинетической энергии по средней скорости щср приведет к заниженным результатам по сравнению с расчетом суммарной кинетической энергии отдельных струек. (Это происходит потому, что скорость входит в член, учитывающий кинетическую энергию, в степени выше первой.) Такое затруднение преодолевают введением в кинетическую энергию, вычисленную по средней скорости, поправочного коэффициента б > 1. Очевидно, что коэффициент неравномерности скоростей а численно равен отношению суммарной кинетической энергии струек к энергии, вычисленной по средней скорости потока. В итоге уравнение Бернулли для вязкой жидкости приобретает вид:

(2.12в)

В дальнейшем среднюю скорость будем обозначать через щ без индексов.

Величина коэффициента а возрастает с ростом поперечной неравномерности скоростей в сечении трубы. Для ламинарного (см. § 8) течения в круглой трубе б = 2, для турбулентного, в котором скорости мало меняются по сечению трубы, по опытным данным, б= 1,05 ? 1,1.

Рассмотрим вопрос о выборе сечений потока, к которым можно применять уравнение Бернулли. Очевидно, что эти сечения нельзя выбирать в местах резкого поворота потока, так как из-за действия центробежной силы инерции в таком сечении давления распределены неравномерно; в пьезометре, присоединенном у вогнутой стенки поворота, высота столба жидкости окажется больше, чем у выпуклой стенки. Уравнение Бернулли можно применять только к тем сечениям потока, в которых давление подчиняется закону гидростатики (1.9).

Нельзя применять уравнение Бернулли и к сечениям, в которых резко возрастает поперечная неравномерность скоростей, например, в зонах расширения потока после диафрагмы (см. рис. 10, г) или в месте соединения труб разных диаметров (см. рис. 18, а, б), где появляются противотоки и вихревые области. В таких сечениях невозможно достаточно точно определить коэффициент неравномерности скоростей б.

Формулы Вейсбаха и Дарси. Величина потерь напора hщ в уравнении Бернулли (2.12в) не зависит от выбора плоскости сравнения (т.е. от абсолютной величины членов z). Давление, под которым находится жидкость, также практически не влияет на потери напора, так как вязкость при изменении давления почти не меняется. Поэтому абсолютная величина членов несущественна для определения потерь hщ. Но скорость потока щ имеет к потерям самое непосредственное отношение: возрастание скорости всегда приводит к росту потерь напора, так как при этом увеличиваются градиенты скорости и силы внутреннего трения у стенок потока.

Поэтому принято замерять потери напора в долях скоростного напора по формуле Вейсбаха:

(2.15)

где ж - безразмерный коэффициент сопротивления. Для круглых труб с длиной l и диаметром D потери по длине hl связанные с трением о стенки трубы, определяют по формуле Дарси:

(2.16)

где тр - безразмерный гидравлический коэффициент трения. Очевидно, что формула Дарси представляет собой детализацию формулы Вейсбаха; потери по длине предполагаются пропорциональными длине трубы и обратно пропорциональными диаметру.

2.4 Примеры применения уравнения Бернулли

Истечение жидкости через отверстия и насадки. Рассмотрим истечение жидкости через небольшое отверстие с острыми кромками (рис. 8).

Опыт показывает, что струя имеет меньший диаметр, чем отверстие. Это сжатие струи происходит главным образом вследствие действия центробежных сил на частицы, движущиеся из бака к отверстию по криволинейным траекториям. На расстоянии от выходной кромки порядка , где D0 - диаметр отверстия, сжатие прекращается и далее диаметр струи Dc можно считать неизменным. Отношение площадей сжатого сечения струи Fc и отверстия F0 называют коэффициентом сжатия струи



.

Определим скорость струи в сжатом сечении с - с. Для этого применим к струйке, начинающейся от поверхности жидкости в баке (сечение О-О), уравнение Бернулли (2.12б):

(2.17)

(Мы пренебрегли скоростным напором ввиду малой скорости падения уровня в сравнении со скоростью истечения; жидкость считаем идеальной.)

Если р = р0, то = H, откуда скорость струи определяется формулой Торричелли (1641):

(2.18)

Как видим, скорость истечения идеальной жидкости равна скорости свободного падения тела в пустоте с высоты H. Если давление над поверхностью в баке и в пространстве, в которое вытекает струя, неодинаково, то из уравнения (2.17) следует:



откуда , (2.18а)

где Др - разность давлений на уровне оси отверстия.

Из-за вязкого трения скорость струи оказывается несколько меньше теоретической. Влияние трения учитывают введением в формулу (2.18) коэффициента скорости истечения ц < 1, так что

(2.18б)

По опытным данным, в автомодельной (см. гл. 7) области истечения ц ? 0,96, т.е. вязкое трение снижает скорость истечения на 4%.

При малых перепадах давления Др (порядка нескольких процентов от исходного давления р0) формулой (2. 18б) допустимо пользоваться также для расчета скорости истечения газов. В этом случае не учет их сжимаемости не приводит к существенным ошибкам. При значительных перепадах давления скорость истечения определяют по формулам газодинамики (4.2).

Пример. Воздух вытекает из баллона в атмосферу. Процесс истечения адиабатный. Разность плотностей в баллоне и атмосфере составляет 2%. Определить соответствующую скорость истечения, пренебрегая сжимаемостью воздуха.

Для адиабатного процесса давление связано с плотностью соотношением =const, где k - показатель адиабаты. Дифференцируя, имеем



Для малых изменений плотности допустимо считать дифференциалы равными их приращениям, т. е.

и, принимая для атмосферы р0 = 1 бар, с0= 1,25 кг/м3, имеем

Приведенный пример показывает, что даже при сравнительно большой скорости истечения изменения плотности газа незначительны и воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость.

Расход Q в струе равен

.

Произведение коэффициентов сжатия струи е и скорости истечения ц называют коэффициентом расхода м (не путать с динамическим коэффициентом вязкости!)



расход струи определяется формулой

(2.19)

В автомодельной области истечения коэффициент расхода круглого отверстия с острыми кромками равен примерно 0,61.

Насадками называются короткие патрубки (длина порядка 3-5 диаметров), присоединенные к отверстию (рис. 9). Жидкость вытекает через все выходное сечение насадка.

Рассмотрим истечение через внешний цилиндрический насадок (рис. 9, а). У входа в насадок (сечение с-с) струя имеет меньший диаметр, чем на выходе, поэтому скорость щc здесь больше, чем выходная скорость щвых.

В соответствии с уравнением Бернулли давление в сжатом сечении оказывается меньше, чем на выходе из насадка. Появление вакуума в сжатом сечении равносильно увеличению напора H, что приводит к увеличению расхода по сравнению с истечением через отверстие того же диаметра. Опыт показывает, что коэффициент расхода м в формуле (2.19) для внешнего цилиндрического насадка равен примерно 0,82.

При истечении через конический расходящийся насадок (рис. 9, б) особенно велика разность скоростей щc и щвых, поэтому вакуум в сжатом сечении оказывается более глубоким, чем в цилиндрическом насадке. Конические расходящиеся насадки используются для уменьшения скорости истечения.

Конический сходящийся (рис. 9, в) и коноидальный (рис. 9, г) насадки обеспечивают возрастание скорости истечения (коэффициент скорости коноидального насадка приближается к единице) и увеличивают компактность струи.

Расходомер. Эффект уменьшения давления при возрастании скорости течения используется для измерения скорости и расхода потока. Рассмотрим расходомер Вентури, представляющий собой трубу с плавным сужением и последующим уширением (рис. 10, а).

Перед сужением (сечение 1-1) и в наименьшем сечении трубы 2-2 установлены пьезометры.

Применим уравнение Бернулли (2.12в) к выбранным сечениям потока несжимаемой жидкости и пренебрежем поначалу потерями напора между ними. Имеем



Уравнение неразрывности щF = const позволяет выразить щ1 через щ2:

Подставляя значение wt в уравнение Бернулли, имеем

где H- разность уровней жидкости в пьезометрах. Отсюда расход, вычисляемый по средней скорости в сжатом сечении, равен

При практическом использовании расходомеров величину расхода определяют по упрощенной формуле

(2.20а)

где К - поправочный коэффициент, мало отличающийся от единицы и учитывающий соотношение диаметров и потери напора от первого до второго сечения. Величину коэффициента К. определяют экспериментально; сведения по величинам К для различных расходомеров содержатся в гидравлических справочниках.

Разность давлений в сечениях расходомера Др определяют обычно с помощью дифманометра (рис. 10, б), при этом расход вычисляется по формуле

(2.20б)

Аналогичен расходомеру Вентури принцип действия расхо-домерного сопл а (рис. 10, б) и диафрагмы (рис. 10, г), где струя после сжатого сечения не имеет твердых границ. Расход определяется с помощью этих устройств также по формуле (2.20б), причем в качестве F2 используют площадь проходного сечения сопла или диафрагмы. Из-за появления вихревых областей потери напора в них больше, чем в расходомере Вентури, соответственно отличаются и значения коэффициента К.

При достаточно большой скорости течения падение давления в сжатом сечении расходомера может оказаться столь значительным, что давление здесь оказывается ниже давления паров, насыщающих пространство при данной температуре (данные для воды см. на стр. 9). При этом начинается холодное кипение жидкости, или кавитация. В жидкости образуются пузырьки, заполненные парами.* Перемещаясь вместе с потоком, пузырьки при его расширении попадают в область повышенного давления. Здесь заполняющий их пар конденсируется, пузырьки захлопываются - окружающая жидкость с большой скоростью их заполняет. В заключительной фазе захлопывания пузырька кинетическая энергия частиц жидкости переходит в потенциальную энергию давления, что приводит к значительному местному повышению давления. Если пузырек захлопывается на твердой стенке трубы, такие повышения давления могут вызывать эрозию материала стенки.

Кавитация наблюдается также в проточных частях гидротурбин, насосов и на судовых гребных винтах. Возрастание скорости вращения, желательное для увеличения мощности машины, приводит к столь большим скоростям обтекания, что давление в отдельных местах потока падает ниже давления парообразования. Кроме эрозии материала кавитация порождает нежелательные вибрации, шум и падение мощности.

2.5 Уравнение количества движения

Вывод уравнения. Если энергетические характеристики I потока исследуются с помощью уравнения Бернулли, то для определения его силовых и временных характеристик используется уравнение количества движения. Оно выводится из теоремы механики об изменении количества движения, которая формулируется так: «При движении массы т изменение во времени ее количества движения mw равно результирующей f внешних сил, действующих на эту массу»:

(2.21)

Количество движения, или импульс, mw является вектором.

При установившемся движении некоторой массы жидкости количество движения может изменяться из-за перемещения ее границ. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя сечениями струйки (рис. 11). Торцевые поверхности этого объема перемещаются вместе с жидкостью и через промежуток времени Дt занимают положение, показанное на рис. 11 пунктиром. За время Дt внутрь выбранного объема втекает масса жидкости, и из него вытекает масса ; соответственно поступающее количество движения равно

и теряемое

Согласно уравнению (2.21) векторное приращение этих количеств движения, отнесенное ко времени, равно результирующей внешних сил, действующих на выделенный объем:

(2.22)

Выражение (2.22) называется уравнением количества движения в гидродинамической форме; оно получено Эйлером (1757). Поскольку внешние силы уравновешиваются реакцией потока, уравнение (2.22) позволяет определить усилие, с которым поток действует на ограничивающие его поверхности, если количество движения меняется только за счет скорости (т = const). В сущности, при постоянной массе исходные уравнения (2.8) и (2.21), использованные для вывода системы дифференциальных уравнений динамики идеальной жидкости и уравнения количества движения одномерного потока, идентичны. Поэтому систему уравнений Эйлера (2.9) также называют «уравнениями импульса».

Давление струи на преграду. Рассмотрим задачу о натекании струи под углом а на плоскую стенку (рис. 12). Выберем сечения потока, показанные на рисунке пунктирными линиями. Разложим члены уравнения количества движения (11.22) на компоненты, касательные к поверхности (значок t) и нормальные к ней (значок п):

,

Если пренебречь вязким трением, то в направлении касательной к поверхности действующая на струю сила равна нулю, т.е. . В направлении нормали сила воздействия стенки на струю (очевидно, равная по величине и противоположная по направлению силе давления струи на стенку) равна

(2.23)

где F1 - площадь исходного сечения струи 1-1.

Реакция вытекающей струи. Рассмотрим истечение струи из бака под действием перепада давления Др. Поскольку в баке жидкость можно считать неподвижной (щ1 = 0), то переносимое струей количество движения равно где Fс и щc - площадь сечения и скорость струи. Выражая скорость струи через перепад давления по формуле (2.18б) и подставляя в уравнение (2.22), получим силу peaкции струи:

 (2.24)

(коэффициент скорости истечения ц

считаем равным единице). Таким образом, реакция струи, направленная противоположно скорости истечения, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь сечения струи.

Сила давления потока на стенки криволинейного канала. При движении по криволинейному каналу (см. рис. 11) на его стенки действуют со стороны жидкости силы давления на торцевые сечения F1 и F2 и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения (2.22).

Изменение количества движения во входном сечении равно ; оно уравновешивается силой давления стенок канала на поток f1.В свою очередь, эта сила равна по величине и противоположна по направлению реакции потока, которая вместе с силой статического давления дает величину

(2.25)

Изменение количества движения в выходном сечении уравновешивается силой сила реакции потока совместно с силой статического давления на сечение 2 составляет величину

(2.25а)

Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R1 и R2:

(2.25б)