Физические свойства жидкостей

Приведенный вывод составляет основу раздела о силовом взаимодействии потока со стенками канала в теории турбомашин.

Уравнение моментов количества движения. Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса (рис. 13). Пусть внутренний радиус колеса равен r1 внешний r2. Абсолютная скорость жидкости на входе в межлопаточный канал равна c1, на выходе с2. Окружные скорости колеса на входе и1 и на выходе u2. Очевидно, что , где щ - угловая скорость колеса. Скорость движения жидкости относительно колеса равна векторной разности абсолютной скорости с и окружной и; обозначим ее на входе в колесо через щ1 и на выходе через щ2. Угол, образованный векторами скорости с1 и и1 на входе в колесо обозначим через б1 («угол входа»); между векторами с2 и u2 на выходе из колеса - через б2.

Применим к частице с массой m, движущейся через колесо вдоль лопатки, теорему механики об изменении моментов количества движения: изменение во времени момента количества движения относительно оси вращения колеса mс·r равно результирующему моменту внешних сил:

(2.26)

На выходе из колеса момент количества движения равен произведению количества движения тс2 на плечо, равное r2 cos б2, т. е. mc2r2 cos б2; на входе в колесо этот момент равен mc1r1 cos б1. Подставляя эти величины в уравнение (2.26), получим уравнение моментов количества движения Эйлера (1757):

(2.27)

Уравнение (2.27) одинаково справедливо как для лопастного насоса, так и для гидравлической турбины. В последнем случае поток входит в рабочее колесо через сечение II и выходит сечением I, изменяя свой момент количества движения и передавая крутящий момент М лопаткам колеса. Для турбины векторы скорости с2 и с1 имеют противоположное направление. Отношение в уравнении (2.27) представляет секундный массовый расход сQ с размерностью кг/сек.

Умножая уравнение (2.27) на угловую скорость колеса щ, получим в правой части полезную мощность насоса (или турбины):

Очевидно, что эта мощность будет наибольшей при cos б1 = 0, т. е. при б1 = 90° (для насоса это - радиальный вход потока в рабочее колесо, для турбины - радиальный выход). В этом случае

Уравнение (2.27) имеет особую ценность потому, что крутящий момент здесь получен независимо от каких-либо особенностей потока внутри межлопаточного канала.

3. ПОТЕРИ НАПОРА И ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

3.1 Режимы движения вязкой жидкости. Потери напора по длине трубы

Число Рейнольдса. Опыт показывает, что при движении вязкой жидкости относительно твердой поверхности возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы Рейнольдсом (1883).

В экспериментах Рейнольдса жидкость вытекала из бака по стеклянной трубе (рис. 14), скорость течения регулировалась краном. Чтобы наблюдать перемещение струек, в поток вводилась струйка красителя Кр.

Опыты показали, что при малых .скоростях течения щ струйка красителя распространяется вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними объемами жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Сила трения между слоями определяется формулой Ньютона (1.3). Такой режим течения был назван ламинарным.*

Если скорость течения делается больше некоторой критической скорости щкр, окрашенная струйка начинает колебаться и размываться. В поперечной эпюре скоростей появляются разрывы, скорости отдельных частиц изменяются при их перемещении; в фиксированной точке потока появляются пульсации скорости и давления. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями, движущимися друг относительно друга, происходит за счет взаимного перемещения уже не отдельных молекул, как при ламинарном течении, а значительно больших по сравнению с моле кулой частиц! Это приводит к возрастанию силы трения между слоями.

Рейнольде показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса Re:

(3.1)

где D - диаметр трубы; v - кинематический коэффициент вязкости жидкости. Согласно опытным данным, при Re < 2300 течение всегда ламинарное; в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса внесенные в поток возмущения приводят к потере его устойчивости, наблюдается турбулизация.

Значение Reкp = 2300 называют поэтому критическим числом Рейнольдса.

Величину Re можно трактовать как соотношение между силой инерции, опрокидывающей частицу, и силой вязкого трения, препятствующей такому опрокидыванию. Возрастание числа Рейнольдса влечет за собой уменьшение относительного влияния на поток стабилизирующей силы трения у стенки. С достижением Reкp это приводит к потере устойчивости потока, разрывам поперечной эпюры скорости и появлению пульсаций.

Опытные данные по потерям напора. Установка Рейнольдса (рис. 14) позволяет исследовать влияние режима течения на потери напора в трубе. В результате измерения потерь hl, связанных с трением о стенки трубы, при разных скоростях течения было обнаружено, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном - в степени от 1,75 до 2. Для развитого турбулентного движения при больших скоростях потока характерен квадратичный закон сопротивления: hl ~ щ2. Соответственно при различных режимах течения гидравлический коэффициент трения лтр в формуле Дарси (2.16) зависит от разных факторов.

Зависимость лтр от числа Рейнольдса и относительной шероховатости стенок трубы была исследована экспериментально немецким ученым Никурадзе (1933). Схема опытной установки принципиально не отличалась от прибора Рейнольдса (рис. 14). По измеренным в опытах hl и щ вычислялась величина лтр. Шероховатость стенок создавалась наклеиванием на внутреннюю поверхность трубы калиброванного песка, причем диаметр песчинки Д отождествлялся с высотой выступа шероховатости.

Полученная в экспериментах Никурадзе зависимость



где r - радиус трубы, представлена графически на рис. 15. Величины Re и лтр отложены по осям в логарифмическом масштабе.

Анализ графика Никурадзе показывает, что при малых числах Рейнольдса (Re < 2300, ламинарный режим) коэффициент трения не зависит от размеров бугорков шероховатости, величины лтр для разных труб лежат на общей прямой АВ. Это происходит потому, что при ламинарном течении скорость у стенки равна нулю, выступы шероховатости находятся в застойной зоне (рис. 16, а).

При турбулентном течений также есть область сопротивления, в которой трубы различной шероховатости имеют одинаковые коэффициенты сопротивления (прямая CD на рис. 15),- область гидравлически гладкого сопротивления. В этом случае между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть сечения трубы, и стенкой лежит тонкий ламинарный подслой. На рис. 16, б его граница показана пунктирной линией. Эпюра скоростей в ламинарном подслое переходит на его границе в эпюру осредненных скоростей турбулентного течения в ядре потока. Ламинарный подслой играет роль своего рода слоя смазки, покрывающего выступы шероховатости; проникновению в него турбулентных пульсаций препятствует близость стенки. Потери напора в трубе определяются вязким трением внутри подслоя, Атр зависит только от числа Рейнольдса.

С возрастанием скорости (увеличением Re) ламинарный подслой утоняется, отдельные выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока (рис. 16, в). При этом меняется сама природа - сопротивления. Если при ламинарном течении и в области гладкого сопротивления потери напора были связаны с внутренним трением в жидкости, то при выдвижении бугорков шероховатости из ламинарного подслоя поток обтекает их с образованием за тыловым склоном вихревых областей. Давление на переднем склоне бугорка оказывается больше, чем на заднем, и поток тормозится этими перепадами давления. При наличии остатков ламинарного подслоя, покрывающих мелкие выступы шероховатости, величина коэффициента трения определяется совместным влиянием числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Эта область сопротивления называется доквадратичной.

Наконец, при дальнейшем увеличении Re ламинарный подслой полностью срывается (рис. 16, г), лтр становится функцией только относительной высоты выступов шероховатости. Это - область квадратичного сопротивления.

Переход от одной области сопротивления к другой определяется величинами Re и . Из рис. 15 следует, например, что сопротивление становится квадратичным (лтр перестает зависеть от Re) примерно при Re = 100 000.



В технических условиях шероховатость труб отличается от зернистой шероховатости опытов Никурадзе более плавными очертаниями бугорков и неодинаковой их высотой. Средняя высота выступов шероховатости равна для цельнотянутых стальных труб 0,02 ? 0,1 мм, для бывших в употреблении, незначительно корродированных, - 0,1 ? 0,4 мм. Сопротивление труб с естественной шероховатостью исследовалось в специальных опытах (например, работы Ф.А. Шевелева). Сводка данных, характеризующих течение в различных областях сопротивления, приведена в табл. 3.



Ламинарное течение в круглой трубе. Плавное изменение скоростей при 'ламинарном режиме и удобство задания граничных условий (нулевая скорость у стенки) позволяют исследовать ламинарные потоки аналитически. Рассмотрим, например, ламинарное течение в круглой трубе радиуса r0 (рис. 17). Определим силы, действующие на объем жидкости в форме цилиндра радиусом r и длиной l. В направлении оси трубы на торцевые поверхности этого цилиндра действуют силы давления и , на боковую поверхность - сила (здесь - касательное напряжение трения). Приравнивая эти силы, имеем.

Поскольку в круглой трубе течение осесимметрично и скорость измеряется только по радиусу, 'выражение для напряжения трения(1.3) приобретает вид:

Двапоследних выражения дают дифференциальное уравнение, описывающее поперечное распределение скоростей в трубе:



Интегрируя его, имеем

Постоянную интегрирования С определим из условия на стенке: w = 0 при r = r0; подставляя в выражение для щ, получим формулу Пуазе и л я (1840):

(3.2)

Согласно формуле Пуазейля эпюра скоростей в поперечном сечении трубы имеет форму параболы (рис. 17). Максимальная скорость наблюдается при r = 0, здесь

Расход в трубе можно определить интегрированием по сечению трубы элементарных расходов, которые равны произведению скорости (3.2) на площадь элементарного кольца 2nrdr:

(3.3)

Средняя скорость в трубе

(3.4)

Из выражения (3.4) легко определить величину гидравлического коэффициента трения лтр в формуле Дарси (2.16). Действительно, принимая, во внимание, что

Получаем (3.5)

Зависимость (3.5) для коэффициента трения при ламинарном течении в круглой трубе приведена в табл. 3. Она хорошо подтверждается опытом.

3.2 Местные сопротивления и расчет трубопроводов

Потери напора в местных сопротивлениях. В участках резкого изменения геометрии потока, там, где он сжимается, расширяется, изменяет направление, появляются обратные течения. На рис. 18 показана картина течения в элементах трубопроводной арматуры: при резком расширении трубы (а), резком сужении (б), задвижке (в), в колене (г). Появление обратных течений приводит к резкому возрастанию градиентов скорости течения внутри вихревых образований, и в соответствии с законом Ньютона для вязкого трения к росту сил трения и более интенсивному превращению механической энергии потока в тепло.

Потери энергии потока на поддержание движения в таких областях называются местными потерями напора hм. Они сконцентрированы на небольших (в сравнении с длиной трубы) участках. Местные потери определяются по формуле Вейсбаха (2.15):

(3.6)

где жм - безразмерный коэффициент местного сопротивления. Величины жм для различных видов местных сопротивлений определяют экспериментально. Сведения по коэффициентам местных сопротивлений содержатся в гидравлических справочниках и таблицах (например, в [Л.4]). В том случае, когда поток, проходя: через местные сопротивления, меняет сечение, жм обычно определяют для скоростного напора в трубе после сопротивления. В частности, для резкого расширения (рис. 18, а)

где Резкое расширение - единственное из местных сопротивлений, для которого hm определяется теоретически по формуле Борда:

(3.6а)

Для резкого сжатия потока (рис. 18, б)



Гидравлический расчет трубопроводов.

При расчете трубопроводов обычно решаются следующие характерные задачи:

1. Определение напора Н, необходимого для обеспечения заданного расхода Q в трубопроводе.

Определение расхода Q в заданном трубопроводе при известном напоре Н.

Определение диаметров труб, обеспечивающих заданный расход при известном напоре.

Трубопроводы делят на гидрав-лически длинные, в которых местные потери напора пренебрежимо малы по сравнению с потерями на длине, игидравлически короткие, в которых эти виды потерь сравнимы по величине.

Потери напора в последовательно размещенных на трубопроводе местных сопротивлениях и сопротивлениях по длине труб суммируются. Поэтому весь располагаемый напор равен сумме потерь (в случае истечения в атмосферу к нему добавляется еще скоростной напор вытекающей струи). При решении задачи 1 (определение напора при заданном расходе) вычисляются скорости в трубах. По формуле Вейсбаха (3.6) определяются местные потери. Вычисляются числа Рейнольдса, по Re и относительной шероховатости труб определяются области сопротивления, для которых находят гидравлические коэффициенты трения лтр. По формуле Дарси (2.16) находят потери по длине и определяют полный напор: (3.7)

* Это эмпирическая формула ЦАГИ. Частный случай резкого сужения - вход в трубу, для которого жвх = 0,5.

Решение задачи 2 (определение расхода при заданном напоре) осложняется неопределенностью выбора лтр. Если при квадратичном сопротивлении лтр не зависит от скорости, то в остальных областях сопротивления лтр = f(Re), т. е. зависит от искомой скорости течения. Поэтому приходится решать задачу способом последовательного приближения. Может использоваться, в частности, такой графо-аналитический метод. Задаваясь различными величинами скорости, определяют соответствующие величины расхода (по сути дела решая задачу 1) и строят график зависимости Н = f (Q). По исходной величине Н определяют из этого графика соответствующий расход Q.

Пример. Рассмотрим истечение из бака через трубопровод, показанный на рис. 19. Пусть задан напор H, требуется определить расход Q и построить пьезометрическую и гидродинамическую линию.

Составляя уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2, имеем

(3.7а)

(3.7б)

Подставляя это значение hщ в уравнение (3.7а) и выражая скорость щ1 через щ2 из уравнении неразрывности (2.5а), т.е.

имеем

(3.7в)

где коэффициент сопротивления системы жс есть сумма " коэффициентов сопротивления местных и по длине, приведенных к скорости в выходном сечении.

Если диаметр труб и напор H достаточно велики, можно полагать, что область сопротивления - квадратичная; определив гидравлические коэффициенты трения лТР1 и лтр2 по относительной шероховатости труб, вычисляем жс и из формулы (3.7) - скорость течения. Правомерность сделанного выбора лтр проверяем, сопоставляя получившиеся числа Рейнольдса с зависимостями табл. 3. Если вычисленные скорости не обеспечивают достаточной величины чисел Рейнольдса для достижения квадратичного сопротивления, применяем графо-аналитический метод решения. Задаваясь несколькими значениями скорости щ'2, щ'2, . . . , щ2(n) определяем по соответствующим им числам Рейнольдса коэффициенты трения и из формулы (3.7в) - напоры Н', h", . . . , Н(n). Построив график зависимости Н = f (щ2), определяем из него искомую скорость. Расход Q = щ2F2.

Полученные скорости в трубах позволяют определить потери напора в различных участках трубопровода, т. е. слагаемые правой части уравнения (3.7б). Откладывая последовательно эти потери на диаграмме уравнения Бернулли (рис. 19), получаем гидродинамическую линию Е-Е. Пьезометрическая линия, показанная на рисунке пунктиром, расположена ниже гидродинамической на величину скоростного напора

.

При расчете гидравлически длинных трубопроводов, когда нет необходимости учитывать местные потери и есть уверенность, что числа Рейнольдса достаточно велики для обеспечения квадратичного сопротивления, решение существенно упрощается. Действительно, в этом случае лтр зависит только от шероховатости трубы и является для данной трубы постоянной величиной. Разрешая уравнение Дарси (2.16) относительно щ, имеем для расхода Q выражение



Отношение есть гидравлический уклон. Произведение,

стоящее перед , постоянно для трубы заданного диаметра и заданной шероховатости. В итоге уравнение для расхода приобретает вид:

, (3.8)

где К - модуль расхода,или расходная характеристика - величина с размерностью расхода. Значения К для труб по ГОСТ содержатся в гидравлических справочниках (например, в [Л.4]).

Уравнение (3.8) позволяет легко находить величину расхода при заданном падении напора в трубопроводе ил и, наоборот, напор, необходимый для обеспечения заданного расхода.

3.3 Гидравлический удар в трубах

Прямой удар. При неустановившемся движении жидкости в трубах изменение во времени Скорости течения приводит к колебаниям „давления, которые называются гидравлическим ударом. Теория этого явления разработана Н. Е. Жуковским (1899). Простейшим случаем гидравлического удара является прямой удар, наблюдаемый при мгновенном перекрытии трубы.

Рассмотрим трубопровод длиной l и сечением F, по которому со скоростью щ0 течет жидкость, находящаяся под давлением р0 (рис. 20, а). При резком (мгновенном) закрытии задвижки ближайшие в ней частицы останавливаются. Их кинетическая энергия переходит в работу сжатия жидкости и деформации стенок трубы. Граница раздела сжатого остановившегося объема жидкости - ударная волна - распространяется навстречу втекающей невозмущенной жидкости.

Пусть за время Дt ударная волна проходит путь Дt. Скорость и давление по длине трубы в момент времени, отделенный интервалом Дt от момента закрытия задвижки, представлены графически на рис. 20, б, в. Из рисунка ясно, что ударная волна является поверхностью разрыва для скорости и давления в трубе.

Определим величину ударного давления Др, т. е. превышение давления в сжатом объеме над невозмущенным давлением р0. Для этого применим к объему остановленной жидкости F Дl теорему об изменении количества движения (2.21):

(3.9)

Вследствие малой сжимаемости капельных жидкостей и большой жесткости стенок трубы можно считать, что масса жидкости за время Дt внутри остановившегося объема не изменилась; она равна т = сF Дt. Изменение скорости составляет. Сила f, вызванная изменением количества движения, есть разность давлений на торцевых поверхностях выбранного объема:

Подставляя эти величины в уравнение количества движения (3.9), имеем

Учитывая, что есть скорость распространения ударной волны, получаем формулу Жуковского:

(3.10)

Отметим, что величина ударного давления при прямом ударе не зависит от длины трубы l.

Скорость ударной волны. В трубе с абсолютно жесткими стенками скорость ударной волны равна скорости распространения упругих колебаний (звука). Выведем ее величину.

Представим себе, что в жидкость, заполняющую трубу (рис. 21) и имеющую модуль объемной упругости Е, вносится возмущение сжатия за счет движения поршня. Пусть за время Дt после начала движения поршень проходит путь Дx. За то же время волна сжатия, которая отделяет невозмущенную, покоящуюся жидкость от начавшей двигаться со скоростью поршня, проходит расстояние Дs.



Мы предполагаем, что возмущение слабое, т. е. Дx << Дs. Сила, с которой поршень сжимает возмущенный объем, пропорциональна его относительному сжатию

(3.11)

С другой стороны, эту силу можно определить по изменению количества движения

в объеме F Дs, применяя уравнение (3.9). Поскольку возмущение слабое, плотность можно считать неизменной и т = сFДs. Изменение скорости

Следовательно,

что совместно с (3.11) дает



Но есть скорость распространения волны возмущения в неподвижной жидкости а. Следовательно,

(3.12)

Исключим из уравнения (3.12) модуль объемной упругости жидкости Е. По закону Гука, изменение объема V = F Дs связано с изменением давления Др соотношением

Или

Поскольку масса жидкости внутри возмущенного объема не меняется при прохождении волны сжатия (уменьшение объема компенсируется увеличением плотности), очевидно, что сV = const. Логарифмируя и дифференцируя последнее равенство, получаем

.

Сравнивая с выражением, полученным ранее из закона Гука, имеем



по формуле (3.12) скорость звука оказывается равной

(3. 12а)

Как видим, скорость звука зависит от отношения возмущений давления и плотности. Она определяется физическими свойствами жидкости [формула (3.12)]. Для воды, например, скорость звука равна примерно 1420 м/сек, для нефти - около 1200 м/сек.

В случае трубы с деформируемыми стенками скорость ударной волны несколько меньше скорости звука. Она определяется формулой

(3.13)

где Ест - модуль объемной упругости (модуль Юнга) для материала стенки трубы, D - диаметр, д - толщина стенки.

Фазы удара. Перемещаясь со скоростью с навстречу втекающей жидкости, волна повышения давления через время - достигает входа в трубу. На этом завершается первая фаза удара - во всей трубе жидкость неподвижна и находится под давлением

В баке, где жидкость имеет свободную поверхность, повышение давления невозможно: у входа в трубу оно остается равным р0. Поэтому вторая фаза удара начинается с отражения ударной волны. Жидкость начинает вытекать из трубы в бак со скоростью щ0. Волна повышения давления, отделяющая неподвижную жидкость от вытекающей, отступает по трубе в сторону задвижки со скоростью с. Через время после закрытия задвижки ударная волна возвращается к ней. Жидкость по всей трубе имеет давление р0 и течет в сторону бака.

Третья фаза удара начинается с резкого падения давления у задвижки. Теоретически давление становится равным . Волна разрежения, которая отделяет неподвижную жидкость, находящуюся под пониженным давлением, от вытекающей из трубы жидкости, давление в которой равно р0, движется в сторону бака со скоростью с. По достижении входа в трубу она снова отражается.

В течение четвертой фазы волна разрежения отступает в сторону задвижки. Жидкость втекает в трубу. К концу четвертой фазы восстанавливается картина течения, которая имела место до закрытия задвижки: вся труба заполнена потоком со скоростью щ0, давление равно р0. С этого момента снова начинается первая фаза удара.

Теоретическое изменение давления у задвижки во времени представлено графически на рис. 22, а. В действительности, вследствие потерь энергии в гидравлических сопротивлениях и пластичности материала стенок трубы, колебательный процесс в трубе оказывается затухающим, давления и скорости со временем убывают.

Обычно ударное давление Др превышает р0, поэтому в третьей фазе падение давления за волной разрежения, казалось бы, должно приводить к появлению отрицательного давления. Однако в действительности при разрежении до величины давления парообразования начинается кавитация, которая рассеивает часть энергии удара. Начиная с третьей фазы амплитуда колебаний давления уменьшается (рис. 22, б).

Непрямой удар. При постепенном изменении скорости течения (плавное закрытие задвижки) возмущения давления, которые она вносит в поток, распространяются в трубе также со скоростью с. Давление и скорость в каждом сечении трубы изменяются плавно.

Если продолжительность закрытия задвижки tзакр меньше времени, потребного для пробега первых возмущений давления до задвижки и обратно, т. е. , то сумма возмущений давления приводит к такому же повышению давления у задвижки, как и при ее мгновенном закрытии [формула Жуковского (3.10) ]. Если tзакр > Т, то давление у задвижки непрерывно растет только до момента возвращения к ней первых волн повышения давления. Их переход в третью фазу приводит к появлению у задвижки возмущений разрежения, и дальнейший рост давления приостанавливается. Это - непрямой гидравлический удар. Если принять, что скорость течения у задвижки при ее закрытии меняется линейно, то ударное давление Др, являющееся результатом сложения возмущений, определяется для непрямого удара приближенной формулой

(3.14)

Увеличение времени закрытия задвижки - это простейший способ уменьшения величины ударного давления до безопасных для трубопроводов пределов. Помимо него применяют и ряд других устройств: воздушные колпаки, предохранительные клапаны и пр.

Пример. В стальной трубе (Eст = 2·106 кгс/см2 = 2·1010 кгс/м2) диаметром 100 мм с толщиной стенки 8,5 мм скорость течения воды до перекрытия задвижки составляла 4 м/сек. Задвижка перекрывается в течение 10 сек. Длина трубы 1000 м. Определить величину ударного давления.

Скорость ударной волны по формуле (3. 13),

.

Время пробега волны от задвижки до входа в трубу и обратно

Получили Т < tзакр, следовательно, удар непрямой. Предполагая, что при закрытии задвижки скорость в трубе меняется во времени линейно, применяем(формулу (3.14):

Отметим, что волновые явления в капельной жидкости при гидравлическом ударе фактически делают неверным термин «несжимаемая жидкость». В абсолютно несжимаемой среде с = ?, возмущения распространяются мгновенно. Сжимаемостью жидкости можно пренебрегать лишь при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука.

4. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА БЕЗ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ

4.1 Исходные уравнения

Соотношения термодинамики. При больших скоростях течения газа, сравнимых со скоростью звука, изменение скорости приводит к изменению плотности. Такое движение изучается газовой динамикой. Как известно из курса технической термодинамики, основные параметры состояния газа - давление p, плотность с и абсолютная температура Т связаны для идеальных газов уравнением состояния

, (4.1)

где R - газовая постоянная. Для воздуха, например, в системе СИ R = 287,1 дж/кгМград. В большинстве задач, рассматриваемых газодинамикой, процессы изменения состояния газа можно считать адиабатными; из-за их быстротечности они осуществляются без теплообмена с окружающими телами. При адиабатном процессе давление и плотность связаны соотношением

, или , (4.2)

где - показатель адиабаты; и - теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме. Для воздуха и других двухатомных газов k = 1,4, для перегретого водяного пара k = 1,33. Используя уравнение состояния, получим для адиабатного процесса формулы связи между давлением, плотностью и температурой:

; ; . (4.3)

В задаче о движении газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок процесс изменения состояния принимается изотермическим: длительный контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не отличается от температуры стенки. Для изотермического процесса

.

Скорость звука. Число Маха(M). В 4.2 были получены общие формулы для скорости распространения малых возмущений в жидкости, а именно:

Процесс изменения параметров газа в звуковой волне, которая представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения давления и плотности, следует считать адиабатным. Из уравнения (4.2) имеем:

; ; .

Подставляя последнее равенство в формулу для скорости звука, получаем

.

Используя уравнение состояния (4.1), введем в формулу для a температуру T:

.

В частности, для воздуха, подставляя величины k и R, имеем

[м/сек].

При температуре 15 последняя формула дает a = 340 м/сек.

Скорость звука - одна из важнейших механических характеристик газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотношения скорости газа w и скорости звука a.

Отношение

М

называется числом Маха. Течения, в которых w<a и M>1, называются дозвуковыми. Если w>a и M>1, течение сверхзвуковое.

Уравнение энергии. Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Если единственной внешней силой, действующей на газ, является сила тяжести, то такое течение описывается дифференциальным уравнением (2.11). Вследствие малой плотности газа допустимо пренебречь в этом уравнении членом, учитывающим изменение высоты струйки над плоскостью сравнения, так как для частицы газа сила веса пренебрежимо мала по сравнению с силами инерции и давления.

Уравнение (2.11) приобретает вид:

. (4.7)

Выражение (4.7) представляет собой уравнение энергии для газа, записанное в дифференциальной форме.

Считая течение адиабатным, выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение плотности с помощью уравнения адиабаты (4.2):

; .

Подставляя уравнение в (4.7) и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в интегральной форме, или уравнение Бернулли - Сен-Венана (1839):

. (4.8)

Уравнение Бернулли - Сен-Венана можно представить также по-иному. Разделив его члены на g, получим

const. (4.8а)

Сравнивая выражение (4.8а) с уравнения Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости (2.12а), видим, что отличие состоит в множителе

при пьезометрической высоте . Появление этого множителя, который для воздуха, например, равен , связано с тем, что в потенциальную энергию газа входит ещё и его внутренняя энергия. Иногда говорят, что в случае газа к пьезометрическому напору добавляется «температурный напор».

Выражая в уравнении энергии (4.8) отношение через уравнение состояния (3.1) , получим

const. (4.8б)

Последнее равенство показывает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой увеличение скорости вдоль струйки приводит к падению температуры газа и наоборот.

Используя формулу для скорости звука (4.5), уравнение энергии (4.8) можно представить в виде:

const, (4.8в)

откуда ясно, что скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны: увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука. Вследствие адиабатного охлаждения она меньше скорости звука, соответствующей начальному состоянию газа, когда скорость равна нулю и температура наибольшая.

Выражение (4.8в) позволяет выяснить смысл постоянной в правой части уравнения энергии. Действительно, в покоящемся газе w = 0 и скорость звука достигает здесь своей наибольшей величины a0. Следовательно, const и уравнение энергии может быть представлено в виде:

. (4.8г)

Наконец, если использовать понятие энтальпии, или теплосодержания, газа i ,рассматриваемое в термодинамике:

,

то уравнение энергии (4.8б) приобретает вид:

const. (4.8д)

Таким образом, потенциальная энергия газа выражается в различных формах уравнения энергии (4.8) - (4.8г) с помощью различных взаимосвязанных параметров - давления, температуры, скорости звука, энтальпии. Ниже показаны примеры применения уравнения энергии в различных формах записи для решения задач одномерного течения.

4.2 Примеры применения теории одноразмерного изоэнтропического течения газа

Связь скорости газа с течением потока. Сопло Лаваля. Выясним зависимость скорости течения от площади поперечного сечения потока. Для газа уравнение неразрывности (2.6), или уравнение постоянства массового расхода при установившемся течении имеет вид:

const. (4.9)

Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим

, (4.9а)

Откуда . (4.9б)

Из уравнения энергии в дифференциальной форме (4.7) имеем

,

что даёт после подстановки в уравнение (4.9б)

.

Поскольку согласно формуле (3.12а) , имеем

. (4.10)

Из уравнения (4.10) следует, что изменение скорости dw при измене нии сечения dF происходит по-разному для дозвукового и сверхзвукового течения.

Рис. 23

В дозвуковом потоке (w<a, M<1, рис. 23, а) знаки dw и dF в (4.10) противоположны: уменьшение сечения в конфузорном канале приводит к возрастанию скорости, и, наоборот, в диффузорном канале скорость по потоку уменьшается. При сверхзвуковом течении (w<a, M<1, рис. 23, б) в конфузорном канале поток замедляется, в диффузорном - ускоряется.

Чтобы пояснить полученные результаты, которые для сверхзвукового течения кажутся неожиданными, сопоставим уравнения (4.10) и (4.9б). Имеем

. (4.11)

Поскольку левая часть равенства (4.11) всегда положительна, ясно, что знаки dс и dw всегда противоположны: рост скорости приводит к уменьшению плотности. Но при дозвуковом течении (M2<1) скорость изменяется более быстро, чем плотность:

.

При сверхзвуковом течении, наоборот более быстро уменьшается плотность:

.

Для получения сверхзвуковых скоростей газа в технике используется сопло Лаваля (1889, рис. 24), принцип действия которого ясен из приведённых рассуждений. В дозвуковом потоке, поступающем в суживающуюся часть сопла Лаваля, скорость увеличивается. Если в наименьшем сечении сопла не достигается скорость, равная скорости звука, то в расширяющейся части происходит её уменьшение; скорость по длине сопла изменяется по кривой I на рис. 24. Если перепад давления достаточно велик, чтобы в наименьшем сечении скорость течения сравнялась со скоростью звука, то при дальнейшем расширении поток переходит в сверхзвуковой, скорость его изменяется по кривой II.

Сопло Лаваля имеет широкое применение, являясь составной частью реактивных двигателей, сопловых аппаратов некоторых турбин (в которых рабочие лопатки обтекаются сверхзвуковым потоком), сверхзвуковых аэродинамических труб и т.д. Более полная теория сопла учитывает влияние трения на стенках и волновых явлений на выходе потока.

Параметры изоэнтропического торможения газа. При торможении газа его кинетическая энергия переходит в потенциальную, при этом давление, плотность и температура возрастают.



Рис. 24

В случае полного торможения (остановки) потока, например в точке раздвоения струйки на передней поверхности обтекаемого тела, p, с, T достигают максимальных для данного потока величин - параметров торможения p0, с0, T0. Определим эти величины для адиабатного изоэнтропического процесса торможения, при котором давление и плотность газа связаны соотношением (4.2).

Применим уравнение (4.8в) к сечениям струйки «на бесконечности», т. е. там, где на поток не сказывается искажающее влияние обтекаемого тела, и в точке торможения:

.

Как и следовало ожидать, мы получили частный случай уравнения (4.8г). Разделив последнее выражение на , получаем

.

 Принимая во внимание, что , где М? - число М для невозмущённого потока, и что согласно формуле (4.5а) , имеем

. (4.12)

Повышение температуры газа у поверхности тела, обтекаемого при больших числах М, называется аэродинамическим нагревом. Отметим, что термометр, помещённый в поток газа, показывает температуру, очень близкую к температуре торможения.

Используя зависимости (4.3), связывающие температуру адиабатного процесса с давлением и плотностью, получим

;

.(4.13)

Рис. 25

 Зависимость температуры, давления и плотности торможения от числа М? представлена графически на рис. 25.

Расчёт по формулам (4.12) и (4.13) показывает, что при М=0,2 (для воздуха при 15?С это соответствует скорости 68 м/сек) сжимаемость газа приводит к поправкам в плотности торможения на 2%, в давлении и температуре - порядка 1%. Ввиду малости этих поправок ими пренебрегают, считая газ при малых скоростях несжимаемой жидкостью. В задачах, не требующих высокой точности решения, можно считать газ несжимаемым и при больших числах М (порядка 0,3).

Выражения (4.12) и (4.13) являются, по сути дела, ещё одной формой записи уравнения (4.8).

Истечение газа из резервуара. Максимальная и критическая скорости. Исследуем истечение газа из резервуара, где он находился под давлением p0 , в среду с давлением p.

Применяя к сечениям струйки газа в резервуаре, где скорость близка к нулю, и в сжатом сечении уравнение энергии в форме (4.8), имеем

,

Откуда .

Выражая отношение через отношение с помощью уравнения адиабаты (4.2) и используя уравнение состояния (4.1), получим формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839) для скорости адиабатного истечения газа:

. (4.14)

Если газ вытекает в пустоту (p=0), то достигается максимальная скорость истечения:

. (4.15)

В частности, если в пустоту вытекает воздух при температуре 15?С, то wmax =760 м/сек.

Рис. 26

При постепенном уменьшении давления в среде, в которую вытекает газ, начиная от p=p0, согласно формуле (4.15) растёт скорость истечения (рис. 26). Возрастание скорости в соответствии с уравнением энергии в форме (4.8в) приводит к уменьшению местной скорости звука a. Наконец, при достаточно малом давлении среды

, (4.16)

называют критическим давлением, скорость истечения достигает максимума, она сравнивается с местной скоростью звука, устанавливается критическая скорость потока aкр. Плотность и температура газа при этом также достигает критических значений, определяемых формулами:

;. (4.16а)

Величину критической скорости легко определить из уравнения энергии в форме (4.8в) или (4.8г), если принять w=a=aкр:

. (4.17)

В частности, для воздуха, имеющего температуру 15?С, aкр=0,91 a0= 310 м/сек. При дальнейшем уменьшении противодавления p скорость истечения остаётся неизменной и равной aкр (рис. 26).

Постоянство скорости (и расхода) при p<pкр можно объяснить следующим образом. Представим себе (рис.27), что газ вытекает из резервуара I в вакуумную камеру II через трубу, давление в которой регулируется краном К. При p>pкр скорость w<aкр и при открытии крана волны разрежения от него, распространяясь навстречу струе, соответственно увеличивают скорость истечения. Если достигнута звуковая скорость истечения, то волны разрежения от крана уже не могут распространяться навстречу струе и понижение давления p не меняет скорость течения w=aкр.

Рис. 27

Величина критической скорости aкр остаётся постоянной вдоль струйки. Поэтому удобно измерять скорость течения в долях этой величины; так вводится безразмерная скорость газа, иногда называемая коэффициентом скорости:

. (4.18)

В знаменателе безразмерной скорости - величина постоянная вдоль струйки, тогда как в выражении для числа М (4.6) - знаменатель переменный. При w=aкр имеем л=М=1. Связь между этими величинами очевидна из отношения

.

Используя уравнение энергии в форме (4.8г), получим

.

Газодинамические функции для воздуха (k = 1,4)

,

,

Таблица 4

л	ф	р	е	q	М
0,00	1,0000	1,0000	1,0000	0,0000	0,0000
0,05	0,9996	0,9986	0,9990	0,0788	0,0457
0,10	0,9983	0,9942	0,9959	0,1571	0,0914
0,15	0,9963	0,9870	0,9907	0,2344	0,1372
0 20	0,9933	0,9768	0,9834	0,3102	0,1830
0,25	0,9896	0,9640	0,9742	0,3842	0,2290
0.30	0,9850	0,9485	0,9630	0,4557	0,2760
0,35	0,9796	0,9303	0,9497	0,5243	0,3228
0,40	0,9733	0,9097	0,9346	0,5897	0,3701
0,45	0,9663	0,8868	0,9178	0,6515	0,4179
0,50	0,9583	0,8616	0,8991	0,7091	0,4663 .
0,55	0,9496	0,8344	0,8787	0,7623	0,5152
0,60	0,9400	0,8053	0,8567	0,8109	0,5649
0,65	0,9296	0,7745	0,8332	0,8543	0,6154
0,70	0,9183	0,7422	0,8082	0,8924	0,6668
0,75	0,9063	0,7086	0,7819	0,9250	0,7192
0,80	0,8933	0,6738	0,7543	0,9518	0,7727
0,85	0,8796	0,6382	0,7256	0,9729	0,8274
0,90	0,8650	0,6019	0,6959	0,9879	0,8833
0,95	0,8496	0,5653	0,6653	0,9970	0,9409
1,00	0,8333	0,5283	0,6340	1,0000	1,0000
1,05	0,8163	0,4913	0,6019	0,9969	1,0609
1,10	0,7983	0,4546	0,5694	0,9880	1,1239
1,15	0,7796	0,4184	0,5366	0,9735	1,1890
1,20	0,7600	0,3827	0,5035	0,9531	1,2566
1,25	0,7396	0,3479	0,4704	0,9275	1,3268
1,30	0,7183	0,3142	0,4374	0,8969	1,4002
1,35	0,6962	0,2816	0,4045	0,8614	1,4769
1,40	0,6733	0,2505	0,3720	0,8216	0,5575
1;45	0,6496	0,2209	003401	0,7778	1 ,6423
1,50	0,2250	0,1930	0,3088	0,3707	1,3721
1,55	0,5996	0,1669	0,2784	0,6807	1 ,8273
1,60	0,5733	0,1427	0,2489	0,6282	1,9290
1,65	0,5463	0,1205	0,2205	0,5740	2,0380
1,70	0,5183	0,1003	0,1934	0,5187	2,1555
1,75	0,4896	0,0821	0,1677	0,4630	2,2831
1,80	0,4600	0,0660	0,1435	0,4075	2,4227
1,85	0,4296	0,0520	0,1210	0,3530	2,5766
1,90	0,3983	0,0399	0, 1002	0,3002	2,7481
1,95	0,3662	0,0297	0,0812	0,2497	2,9414
2,00	0,3333	0,0214	0,0642	0,2024	3,1622
2,05	0,2996	0,0147	0,0491	0,1588	3,4190
2,10	0,2650	0,0096	0,0361	0,1198	3,7240
2,15	0,2296	0,0058	0,0253	0,0857	4,0961
2,20	0,1933	0,0032	0,0164	0,0570	4,5674
2,25	0,1563	0,00151	0,00966	0,0343	5,1958
2,35	0,1183	0,00057	0,00482	0,0175	6,1033
2,40	0,0796	0,00014	0,00170	0,0063	7,6053
2,449	0,0400	0,128·10-4	0,00032	0,0012	10,957
	0	0	0	0	?

Переходя в формулах для параметров торможения газа (4.12) и (4.13) от числа М к л, получим соотношения:

;;

. (4.19)

Формулы (4.19) дают изменение параметров газа вдоль струйки в зависимости от скорости. Они носят название газодинамических функций. Их численные значения для различных k и л (или М) сведены в таблицы и графики газодинамических функций. В частности, величины газодинамических функций для воздуха (k=1,4) даны в табл. 4. В таблицах газодинамических функций даются также значения приведённого расхода q(л), где

, (4.20)

т. е. q - это отношение удельного расхода массы газа в произвольном сечении струйки к расходу в критическом сечении( здесь Fкр - площадь критического сечения сопла). Использование таблиц газодинамических функций существенно облегчает расчёты.

4.3 Одномерное течение газа с трением

Изотермическое течение в трубах. В длинных газопроводах без тепловой изоляции температуру газа можно считать постоянной и равной температуре окружающей среды. Вдоль трубопровода давление и плотность уменьшаются, скорость возрастает.

Будем учитывать потери напора на трение вдоль трубы по формуле Дарси (2.16), тогда потери на участке трубы длиной dx составят

.

где лтр -- гидравлический коэффициент трения. Используя уравнение энергии в дифференциальной форме (4. 7), составим дифференциальное уравнение баланса кинетической и потенциальной энергии с учетом потерь на участке dx:

. (4.21)

Из уравнения состояния (4. 1) выразим плотность

,

из уравнения постоянства массового расхода т = сFw = const -

скорость через давление

. (4.22)

Подставляя эти величины в равенство (4.21), имеем

.

Обозначим давление в начальном сечении трубы через р1. Тогда давление р2 в конечном сечении, расположенном на расстоянии l от начального, определится интегрированием последнего уравнения:

. (4.23)

Разрешив равенство (4.23) относительно m, получим формулу для массового расхода газа при изотермическом течении:

. (4.24)

Введем число Маха, которое с помощью выражений для скорости звука (4.5а) и для скорости потока (4.22) можно представить в виде:

.

Очевидно, что отношение давлений обратно пропорционально отношению чисел Маха:

,

равенство (4.23) может быть представлено в виде:

. (4.25)

Из полученного уравнения следует, если во входном сечении трубы скорость газа дозвуковая (Mi < 1), то в выходном сечении число М2 возрастает и может достигнуть единицы.

Соответствующую критическую длину трубы lкр легко найти, принимая в равенстве (4. 25) М2 == 1. Если длина равна критической то при понижении давления в конце трубы расход не увеличивается. Гидравлический коэффициент трения Хтг, вообще говоря, является функцией чисел Re, M и относительной шероховатости трубы. Но число Рейнольдса при изотермическом течении вдоль трубы не меняется; действительно, если представить его в виде

,

где м - динамический коэффициент вязкости, то видно, что и числитель, и знаменатель - постоянные величины (сw=const по уравнению неразрывности; м газов зависит только от температуры; при постоянной температуре изотермического течения м=const). Как показали опыты Фрёсселя, гидравлический коэффициент трения лтр для газов при небольших числах Маха практически не зависит от М. Поэтому для изотермического течения газов лтр не меняется по длине трубы и может определяться по формулам гидравлики (§ 3.1, табл. 3).

Адиабатное течение в трубах. В случае короткого трубопровода, когда газ не успевает обменяться теплом со стенками, или при наличии тепловой изоляции полная энергия газа по длине трубы остается постоянной; работа, расходуемая на трение, полностью переходит в теплоту, идущую на нагрев газа. Здесь удобно применить уравнение энергии в форме (4. 8д). Принимая во внимание, что энтальпия i = cpT, запишем его в виде:

. (4.26)

Как показывает уравнение (4.26), понижение температуры по сравнению с начальным сечением зависит только от скорости в данном сечении, а от сопротивления не зависит. Температура торможения вдоль трубы не меняется: Т0 = const.

В дозвуковом потоке нагревание газа вследствие трения приводит к уменьшению плотности; из-за постоянства массового расхода скорость при этом возрастает. Это возрастание возможно вплоть до величины скорости звука акр, которая может иметь место в выходном сечении трубы при достаточно большой начальной скорости w1 и достаточно малой длине трубы l. При этом в конце трубы наблюдается резкое падение давления. На рис. 28 показаны кривые изменения давления по длине трубы разной длины, полученные Фрёсселем экспериментально. Длина трубы отложена по оси абсцисс в долях -(в «калибрах»). Числа, проставленные у кривых,

показывают расход в долях максимального расхода, который можно получить при том же перепаде давления в случае истечения через короткий насадок с диаметром, равным диаметру трубы.

4.4 Возмущения в дозвуковом и сверхзвуковом потоках. Характеристики

Распространение возмущений. Выше было показано, что в неподвижной жидкости малые возмущения давления распространяются со скоростью звука. В потоке скорость возмущений давления о т -носительно жидкости также равна скорости звука. Сферические волны давления сносятся потоком от источника возмущений. Относительно неподвижного обтекаемого тела возмущения распространяются вниз по потоку со скоростью a + w, а вверх -- со скоростью а - w.

Рассмотрим распространение в потоке возмущений от точечного источника А (например, от небольшого обтекаемого тела). При дозвуковой скорости потока (w < а, рис. 29, а) возмущения от препятствия распространяются во все стороны, в том числе и вверх по потоку. Волны давления, идущие вверх по течению, несут потоку информацию об источнике возмущений, «подготавливают» его к предстоящей встрече с препятствием. Линии тока в дозвуковом течении отклоняются еще до встречи с обтекаемым телом.

В сверхзвуковом потоке (w > а, рис. 29, б) возмущения давления вверх по течению не распространяются. Последовательные возмущения от источника А сносятся вниз по потоку; сферические волны возмущений заполняют конус с вершиной в точке А, расходящийся вниз по течению. До встречи с этим конусом возмущений поток не получает информации о пре пятствии, линии тока не искривлены.

Угол а при вершине конуса, называемый углом возмущений или углом Маха, легко определить из треугольника ABC. Если сферическая волна возмущения пробегает за время Дt путь СВ, равный а Дt, то ее центр сносится потоком на расстояние АС, равнее w Дt, откуда

, (4.26)

где - число Маха.

Рис. 30



Рис.29

Характеристики сверхзвукового потока. При сверхзвуковом течении газа вдоль стенки бугорки и впадины шероховатости являются источниками волн давления, которые сносятся вниз по течению под углом Маха. При изменении плотности газа в волнах давления меняется его коэффициент преломления для световых лучей. На этом основано применение оптических методов для исследования сверхзвуковых потоков. С их помощью удается сделать видимой картину волн давления у обтекаемого тела.

Слабые волны возмущения называют характеристиками сверхзвукового потока. В равномерном потоке характеристики прямолинейны, угол их наклона тем меньше, чем больше скорость; его величина определяется по формуле (4.27). Если в потоке имеется поперечная неравномерность скоростей, то характеристики искривляются. Форма характеристик АВ для двух случаев поперечной неравномерности эпюры скоростей в плоском сверхзвуковом потоке показана на рис. 30. Возрастание скорости приводит согласно выражению (4.27) к увеличению угла Маха и наклона характеристики. Волны разрежения. Рассмотрим сверхзвуковое обтекание плоской стенки с внешним тупым углом (рис. 31, а). У точки А поток расширяется, поворачиваясь на угол и.

Рис. 31 Рис.32

В соответствии с выводами § 4.2 скорость его увеличивается, давление, плотность и температура падают. Линия возмущения (характеристика) АВ1 для набегающего потока расположена под углом б1; причем в соответствии с формулой (4.27)

.

Для ускоренного и повернутого на угол и потока линия возмущения от вершины угла А есть характеристика АВ2 , причем

.

Внутри угла В1АВ2 лежит волна разрежения, в которой линия тока С1С2 плавно поворачивает на угол и. Параметры потока непрерывно изменяются внутри волны разрежения. Вдоль любой характеристики АВ в пучке, размещенном между линиями АВ1 и АВ2, параметры газа остаются постоянными, независимыми от удаления от вершины угла А. На характеристике одинаковы также величина и направление скорости. Составляющая скорости нормальная к характеристике, равна скорости звука, соответствующей состоянию газа на этом месте.

Подобная волна разрежения образуется и при сверхзвуковом истечении газа в среду с пониженным давлением р2 < р1 (рис. 31,б). В этом случае поток внутри волны B1AB2 отклоняется на угол и. В предельном случае истечения в пустоту поток воздуха нормальных параметров может отклониться на максимально возможный угол, равный 129°; при этом достигается максимальная скорость wmax, определяемая формулой (4. 15).

Процесс расширения газа в волне разрежения является изоэнт-ропическим, механическая энергия потока не теряется, поэтому давление торможения р02 за волной равно исходному р01. Изменение параметров потока после волны разрежения зависит от величин m1 и и; аналитические зависимости для них выглядят достаточно громоздко. Для практических расчетов используются составленные по ним графики и таблицы (содержащиеся, в частности, в [Л.2]).

Диаграмма характеристик. При анализе плоских двухмерных сверхзвуковых потоков широкое распространение получил метод годографа скорости. Этот метод состоит в том, что поток изображается графически не в виде линий тока, построенных в системе координат ху, а в системе координат wx, wy. Точка О -- начало координат в этой системе -- есть начало векторов скорости. Линии, проведенные в плоскости годографа, являются геометрическим местом точек -- концов вектора скорости частицы, перемещающейся по некоторой линии тока. Например, если поток имеет невозмущенную скорость w? , то при дозвуковом обтекании тела, изображенного на рис. 32, годографом скорости частицы, пробегающей по линии тока АВ, является в плоскости wx, wy петлеобразная кривая, показанная в правой половине центрального круга.

Дозвуковые течения в плоскости wx, wy имеют область задания внутри круга радиусом акр. Сверхзвуковая область изображается на этой плоскости в виде кольца с внутренним радиусом акр и внешним, равным wmax. Критическая скорость акр при этом определяется по формуле (4. 16), максимальная скорость wmax -- по формуле (4. 15).

Рис. 33

Анализ показывает, что для изоэнтропического расширения в волне разрежения годографом скорости (т. е. геометрическим местом точек -- концов вектора w2 ) является эпициклоида. Если построить годограф для всех векторов скорости из общего центра О, то получим сетку из двух семейств эпициклоид, называемую диаграммой характеристик (рис. 33).

Пусть задана величина вектора скорости w1 показанная на рис. 33 отрезком ОА . После расширения, связанного с поворотом вправо на угол и, конец вектора скорости переместится по кривой АА'; величина вектора скорости w2 равна (в масштабе) длине отрезка ОА'. При повороте влево пришлось бы искать длину вектора w2 на кривой АА". Характеристики в плоскости потока ху направлены по нормали к соответствующей эпициклоиде в плоскости годографа скорости, поэтому диаграмма характеристик, помимо величины вектора скорости w2, позволяет определить и угол б2.