Физические свойства жидкостей

С помощью диаграммы характеристик можно приближенно решать задачу об обтекании криволинейной стенки двухмерным сверхзвуковым потоком. Этот метод, предложенный Прандтлем, получил название «метода характеристик».

Рис. 34

Рассмотрим сверхзвуковой поток около выпуклой стенки с заданной начальной скоростью w1(рис. 34, а). Каждая точка поверхности стенки является источником возмущения разрежения; линии возмущения (характеристики) наклонены к поверхности. Параметры газа изменяются вдоль линии тока С1С2 непрерывно. Заменим криволинейную поверхность ломаной (рис. 34, б), т. е. будем предполагать, что изменение параметров газа происходит прерывно и каждая из вершин углов A1, A2, ... является источником волны возмущения. Эти волны разрежения показаны на рисунке пучками характеристик, выходящих из точек A1, A2, ... Обычно разбивку ломаной линии на поверхности тела делают так, чтобы у каждой вершины угла поток отклонялся на определенный угол, например 2°. После этого с помощью диаграммы характеристик легко определить скорости потока w2, w3, . . . и положение волн разрежения. Методом характеристик можно исследовать поток и около вогнутой стенки (рис. 34, в); в этом случае характеристиками являются линии (волны) уплотнения. Величины вектора скорости для линии тока, пересекающей волны уплотнения, находят по диаграмме характеристик путем перемещения по эпициклоиде диаграммы характеристик в сторону меньших скоростей (отрезок АВ на рис. 33). Следует иметь в виду, однако, что если несколько линий уплотнения пересекаются, то в этом месте параметры газа и скорость течения меняются прерывно -- образуется скачок уплотнения, в котором процесс сжатия газа становится необратимым -- механическая энергия теряется. При малой интенсивности скачка еще допустимо применение диаграммы характеристик для приближенного расчета скорости после волны уплотнения, но в случае сильных скачков ошибки становятся значительными.

5. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ

5.1 Прямой скачек

гидростатика жидкость бернулли

Возникновение скачка. Конечное по величине изменение давления можно рассматривать как сумму следующих друг за другом малых возмущений. С конечным возмущением сжатия в капельной жидкости мы познакомились в § 3.3, посвященном гидравлическому удару.

Рис.35

Рассмотрим теперь процессы распространения конечных возмущений в газе.

Пусть в трубе с неподвижным газом (рис. 35) начинает ускоренно перемещаться поршень и по достижении скорости w продолжает двигаться равномерно. В отличие от вывода формулы для скорости звука (§ 3.3) считаем скорость w не малой по сравнению с а. Впереди поршня распространяется волна сжатия С, которая отделяет неподвижный невозмущенный газ от сжатого поршнем. На рис. 35 область волны сжатия покрыта точками.

Основание, или «подножие», волны сжатия (О на рис. 35) движется вправо со скоростью, равной скорости звука в покоящемся газе а0. Гребень волны сжатия (Г на рис. 35) движется быстрее: здесь больше скорость распространения возмущений, так как при сжатии газ нагревается. Кроме того, к этой скорости здесь добавляется скорость движения газа вместе с поршнем w. В результате гребень догоняет основание, и в последовательные моменты времени t1, t2, t3 возрастание давления в волне сжатия становится все более резким. Наконец, на некотором расстоянии от поршня возникает ударная волна - прерывное изменение давления, в котором параметры газа меняются очень резко на расстоянии порядка длины свободного пробега молекулы, т. е. при нормальных условиях -- порядка микронов. Ударная волна движется в газе со скоростью w1, превышающей скорость звука.

Сзади поршня по трубе распространяется волна разрежения Р. Скорость распространения гребня волны разрежения равна а0, тогда как скорость основания меньше -- здесь сказывается охлаждение газа и его течение за поршнем. Поэтому волна разрежения делается все более пологой; ударные волны возможны только в волнах уплотнения.

Прерывное изменение параметров газа и скорости течения наблюдается также и при обтекании неподвижного тела сверхзвуковым потоком. Если, например, обтекаемое тело имеет спереди затупленную форму, то торможение газа в лобовой части приводит к появлению здесь области дозвуковых скоростей. Волны повышения давления от тела распространяются в этой области дозвуковых скоростей и навстречу потоку, но на сравнительно небольшое расстояние -- до скачка уплотнения, расположенного перед телом. В скачке уплотнения сверхзвуковая скорость потока прерывно переводится в дозвуковую. До перехода через скачок сверхзвуковой поток остается невозмущенным -- волны давления от обтекаемого тела распространяются со скоростью звука, а скорость потока ее превышает.

Если система координат связывается с областью прерывного сжатия газа (или с обтекаемым телом, относительно которого она неподвижна), то эта область прерывного изменения параметров газа называется скачком уплотнения. Сквозь него протекает газ, имея сверхзвуковую скорость w1 на входе и w2= w1- w на выходе. Температура, давление и плотность в скачке мгновенно возрастают.

Если система координат связана с неподвижным газом, в котором распространяется со сверхзвуковой скоростью область прерывного сжатия, то эта область называется ударной волной. Физические процессы, происходящие в скачке уплотнения и в ударной волне, одинаковы, поэтому иногда оба эти названия применяют для одного и того же явления (например, скачок уплотнения перед затупленной передней частью тела называют «головной ударной волной», [Л. 7]). Изменение параметров газа в прямом скачке. Прерывное уплотнение сжатия, которое расположено по нормали к вектору скорости (рис. 36), называется прямым скачком уплотнения.

Рассмотрим движение газа через прямой скачок уплотнения. Исходные уравнения:

Уравнение неразрывности (4.9), имеющее в данном случае вид:

(5.1)

2. Уравнение количества движения (2.22), приводящееся к виду:

(5.2)

3. Уравнение энергии в форме:

(5.3)

Если заданы три величины, например w1, р1, с1, то из приведенных уравнений могут быть определены три остальные: w2, p2, с2. Приведем основные результаты совместного решения исходных уравнений.



Рис. 36

Представим уравнение энергии (5.3) с использованием (4.8г) и (4.16) в виде:

.

Выразим отсюда отношение (перед скачком) и (после скачка):

; .

Если теперь разделить уравнение (5.2) на (5.1):

и подставить полученное ранее значение , получим

Разделив на w1-w2 (деление возможно, так как на скачке скорость изменяется, ) и выполнив алгебраические преобразования, получим, что скорости w1 и w2 связаны между собой соотношением

, или . (5.4)

Следовательно, в прямом скачке уплотнения сверхзвуковой поток (л > 1) всегда переходит в дозвуковой (л < 1).

Определим разность скоростей (для ударной волны это - скорость, которую газ имеет за ударной волной; на рис. 35 -- скорость движения газа вместе с поршнем). Из соотношения (5.4)

. (5.4)

Возрастание давления в скачке р2 - р1 получим, подставляя разность скоростей w1 - w2 в уравнение (5.2):

. (5.5)

Возрастание плотности с2 - с1 найдем из уравнения неразрывности и соотношения (5.4); так как , то

(5.6)

Рис. 37

Из равенств (5.4) -- (5.6) следует, что изменение параметров на скачке тем резче, чем больше л1, т. е. его интенсивность усиливается с ростом сверхзвуковой скорости на входе в скачок. На рис. 37 представлена зависимость величин

и

от безразмерного отношения скоростей л для воздуха (k = 1,4); по оси абсцисс отложены также соответствующие значения чисел М.

Ударная адиабата. Рост энтропии и потеря давления в прямом скачке.. Безразмерная скорость газа л -

величина ограниченная.

Действительно,

,

или, с использованием соотношений (4. 15) и (4. 16),



(для воздуха лmax = 2,449; это значение л соответствует М = ?). Поэтому возрастание плотности в скачке уплотнения (формула 5.6) оказывается ограниченным:

.

Для воздуха (k = 1,4) возможно максимальное уплотнение в скачке в 6 раз.

В то же время известно, что при обратимом (изоэнтропическом) адиабатном сжатии

.

т. е. при возрастании давления плотность возрастает неограниченно.

Связь между давлением и плотностью в скачке может быть получена из совместного решения уравнений (5.5) и (5.6). Она называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио (приводится без вывода):

. (5.7)

На рис. 38 представлено изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия [зависимость (6.2), кривая 1] и для сжатия в скачке уплотнения [уравнение (5.7), кривая 2]. Асимптота адиабаты Гюгонио показана пунктиром.

Как известно из термодинамики, при теплообмене между телами, входящими в систему, энтропия системы возрастает. При течении газа без скачков теплообмен между частицами пренебрежимо мал, движение изоэнтропическое. В то же время процесс сжатия газа в скачке уплотнения -- не изоэнтропический, энтропия в скачке нарастает. Это происходит вследствие передачи тепла от уплотненного и нагретого объема газа к невозмущенному газу процессами теплопроводности; температура в скачке резко меняется на очень малом расстоянии толщины ударной волны, порядка микронов.

Доля кинетической энергии частицы газа единичной массы, равная

[дж/кг],

переходит в тепловую энергию. Однако при расширении газа от давления р2 снова до давления р1 эта тепловая энергия не полностью преобразуется снова в кинетическую. Потери механической энергии характеризуются коэффициентом восстановления давления у, равным отношению давлений торможения за скачком и до скачка:

 . (5.8)

Коэффициент восстановления давления приходится вводить, например, при измерении скорости сверхзвукового потока трубкой Пито (см. рис. 43, б): в скачке уплотнения, который появляется перед трубкой, происходят потери давления. Отметим, что температура торможения, характеризующая полную энергию газа, одинакова для изоэнтропического и скачкового сжатия. Действительно, при переходе через скачок уменьшается механическая энергия частиц газа и возрастает их внутренняя (тепловая) энергия. Полная же энергия, мерой которой является температура торможения, остается неизменной.

Параметры газа за прямым скачком и величины коэффициента восстановления давления приводятся в таблицах прямых скачков облегчающих решение задач. Такие таблицы даны.

Рис. 39

Важное практическое значение имеют прямые скачки в расширяющейся части сопла Лаваля (рис. 39). Эти скачки появляются в случае нерасчетного истечения при достаточно большом противодавлении на выходе из сопла. В прямом скачке скорость переходит в дозвуковую и резко растет давление; если, например, скачок занимает положение I--I, давление в расширяющейся части сопла изменяется по линии КАВС (кривая 1). При дальнейшем возрастании противодавления скачок приближается к наименьшему сечению сопла, давление изменяется по кривым 2, 3, 4. Наконец, если противодавление достаточно велико, течение в сжатом сечении сопла становится дозвуковым, давление изменяется по кривой 5, скорость -- по кривой I на рис. 24.

5.2 Косые скачки уплотнения

Возникновение косых скачков. Исследуем обтекание сверхзвуковым потоком (w1 > a, m1 > 1) острого клина. При малом растворе клина и (рис. 40, а) возмущение уплотнения, вносимое клином в поток, также невелико. В этом случае линия возмущения АВ совпадает с характеристикой сверхзвукового потока, угол б может быть определен по формуле

.

При обтекании клина с конечной величиной угла раствора и (рис. 40, б) возмущение сжатия, которое он вносит в поток, также имеет конечную величину. Волна уплотнения располагается по линии АВ и носит название косого скачка уплотнения.

При переходе через косой скачок возрастают давление, плотность и температура газа и уменьшается скорость течения (w2<w1).

Угол косого скачка в больше угла слабой волны возмущения, наблюдаемой при той же величине числа Маха набегающего потока М1. При возрастании скорости набегающего потока w1 (или, что то же, числа М1) угол в уменьшается, при увеличении угла поворота и он, наоборот, растет.

Рис. 40

Кроме случая обтекания клина, косой скачок уплотнения наблюдается также при обтекании внутреннего тупого угла (рис. 40, в), когда сверхзвуковой поток, текущий вдоль плоской стенки, поворачивает вместе с ней на угол и.

Наконец, косой скачок появляется при сверхзвуковом истечении газа в среду с более высоким давлением (рис. 40, г). В этом случае угол отклонения потока и определяется отношением давлений .

Изменение параметров потока при переходе через косой скачок. Параметры газа на косом скачке, как и в случае прямого скачка уплотнения, меняются скачкообразно.

Отличие от прямого скачка уплотнения состоит в том, что на косом скачке вектор скорости изменяется не только по величине, но и по направлению.

Обозначим нормальные к плоскости скачка составляющие скорости потока индексом n и касательные -- индексом t (рис. 40). Запишем исходные уравнения для вывода зависимостей, связывающих параметры потока при переходе через прямой скачок:

1) уравнение неразрывности (2.6) в данном случае приводится к виду:

; (5.9)

2) уравнение изменения количества движения (2.22) в проекции на направление нормали

(5.10)

и в проекции на направление касательной

(5.10а)

3) уравнение энергии (4.8)имеет вид:

. (5.11)

Сопоставляя уравнения неразрывности и изменения количества движения, видим, что w1t = w2t,

т. е. касательная составляющая скорости не претерпевает разрыва при переходе через косой скачок. Уравнение энергии принимает форму:

 . (5.12)

Это обстоятельство приводит исходную систему уравнений (5.9) -- (5.12) к такому же виду, как уравнения для прямого скачка (5.I) -- (5.3).

Разница состоит лишь в том, что вместо полной скорости в систему для косого скачка входит ее нормальная составляющая.

Пользуясь решениями, выведенными для прямого скачка -- формулы (5.4a) -- (5.6), -- получим изменение параметров потока на косом скачке:

,

,(5.13)

,

,

Расчет параметров газа за косым скачком по формулам (5.13) оказывается трудоемким. Для его облегчения используются номограммы и таблицы косых скачков, приведенные, в частности, в [Л. 2].

Рис. 41

Ударная поляра. Отсоединенный скачок уплотнения. Анализ показывает, что годографом скорости при переходе через косой скачок (т. е. геометрическим местом точек -- концов вектора скорости w2) является петлеобразная кривая, изображенная на рис. 41 и называемая ударной полярой. Семейства ударных поляр для различных значений скорости сверхзвукового потока приводятся в пособиях по газовой динамике (см. список литературы).

Имея ударную поляру для заданной скорости w1, легко определить графически величину вектора скорости за скачком w2 и угол скачка в после поворота потока на заданный угол 9. Для этого откладывают угол и от вектора w1; величина w2 равна (в масштабе) длине отрезка от точки А до пересечения с ударной полярой. Чтобы определить угол скачка, нужно провести прямую через концы векторов w1 и w2 и опустить на нее перпендикуляр из точки А. Угол, образованный этим перпендикуляром с осью wх и есть угол скачка в.

Пользуясь ударной полярой, можно определить также предельный угол отклонения потока ипред, при котором еще возможно существование косого скачка. Этот предельный угол получается, если провести из точки А касательную к ударной поляре (она показана в нижней части рис. 41). Если и > ипред, то при данной скорости набегающего потока w1 косой скачок невозможен: возмущение сжатия оказывается слишком сильным. В этом случае перед клином появляется отсоединенный скачок уплотнения (рис. 42). В отсоединенном скачке, или головной ударной волне, центральная часть есть прямой скачок, при переходе через него течение становится дозвуковым, линии тока здесь криволинейны. С удалением от оси симметрии клина отсоединенный скачок приближается к косому, скорость за ним может быть сверхзвуковой. Каждому значению скорости w1 соответствует своя определенная величина предельного угла отклонения ипред, но даже для М1 = ? она не превосходит 46°.

Рис. 42 Рис. 43

Возрастание энтропии и потеря давления в косом скачке. Как и в случае прямого скачка, в косом скачке происходит возрастание энтропии, механическая энергия претерпевает необратимые потери. При этом коэффициент восстановления давления, определяемый по уравнению (5.8), зависит только от параметра M1sinв, где в -- угол скачка (см. рис. 40). С возрастанием M1sinв коэффициент у убывает и соответственно возрастают потери механической энергии. Наибольшей величины они достигают при в = 90°, т. е. в прямом скачке. Поэтому для уменьшения потерь всегда стремятся заменить прямые скачки косыми. Например, крылья сверхзвуковых самолетов делают тонкими и заостренными спереди. Входные кромки турбинных лопаток, обтекаемых сверхзвуковым потоком, также заостряют. В этом случае прямые скачки заменяются косыми и потери энергии уменьшаются.

В случае слабого возмущения сжатия, когда коэффициент восстановления давления приближается к единице (р01 ? р02), косой скачок уплотнения вырождается в слабую волну возмущения (характеристику).

Конический скачок. При продольном обтекании конуса сверхзвуковым потоком (рис. 43, а) у его вершины образуется конический скачок уплотнения, который оказывается более слабым, чем косой скачок на клине такого же раствора. В отличие от плоского косого скачка, за коническим скачком линии тока не прямолинейны: они искривлены и с удалением от вершины конуса приближаются к его поверхности. Как и в случае косого скачка, для каждого числа Маха M1 существует свой предельный угол раствора; в случае больших углов раствора конуса скачок становится отсоединенным. Предельные углы конуса больше, чем предельные углы клина для тех же значений М1. Потери энергии для конуса оказываются меньшими, чем для клина того же раствора (при одинаковой скорости сверхзвукового потока).

При сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел с затупленной носовой частью (таких, например, как трубка Пито -- Прандтля, показанная на рис. 43, б) перед ними образуется скачок уплотнения криволинейной формы. В осевой части потока газовые струйки проходят через прямой скачок. Здесь наиболее велики потери механической энергии, которые необходимо учитывать при измерении скорости потока по давлению торможения р02. При удалении от оси скачок уплотнения приближается к коническому и вдали от обтекаемого тела вырождается в слабую волну возмущения.

5.3 Взаимодействие сверхзвукового потока с ограничивающими поверхностями

Силы, действующие на обтекаемое тело со стороны сверхзвукового потока. Рассмотрим сверхзвуковое обтекание простейшего тела - тонкой пластинки, установленной в потоке под углом атаки б (рис. 44). Углом атаки в данном случае называют угол, образованный пластинкой с направлением набегающего невозмущенного потока. У входной кромки на нижней поверхности пластинки образуется косой скачок уплотнения АВ, при переходе через который давление повышается до величины рн > р1. На верхней поверхности появляется волна разрежения В1АВ2, в которой давление понижается до величины рв < р1.

За выходной кромкой пластинки давление выравнивается; на верхней поверхности образуется косой скачок уплотнения ab, на нижней -- волна разрежения b1аb2. Потери механической энергии в скачках уплотнения АВ и ab приводят к тому, что скорость потока за пластинкой не восстанавливается до величины w1 - обтекаемым телом наблюдается спутный поток. Температура газа здесь выше, чем в набегающем потоке.

Из-за разности давлений на нижней и верхней сторонах пластинки на нее действует сила R, которая может быть разложена на подъемную силу Ry и силу лобового сопротивления Rx. Применяя общую формулу для определения аэродинамических сил (см. § 7.2), запишем выражения для Ry и Rx в виде:

; (5.14)

где - динамическое давление потока (см. §2.3), н/м2; F - площадь пластинки, м2, Су и Сx -- безразмерные коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления.



Рис.44

Величины Су и Сх могут быть определены по формулам (приводятся без вывода):

, . (5.15)

Величина лобового сопротивления Rx, появляющаяся из-за потерь механической энергии в скачках уплотнения, носит название волнового сопротивления. Работа силы Rx на некотором пути приводит к приращению энтропии газа на этом пути.

Рис. 45

При сверхзвуковом обтекании других тел, имеющих заостренную переднюю кромку, поле течения также включает косые скачки уплотнения и волны разрежения. На рис. 45 показаны поля течения для продольного обтекания чечевицеобразного (а) и ромбовидного (б) крыльев. В сверхзвуковом потоке появляются системы скачков уплотнения: головных В1АВ2 и хвостовых Ь1аЬ2. Волны разрежения в случае двояковыпуклого профиля распределены непрерывно по его поверхности, а в случае ромбовидного профиля сосредоточены у углов поворота потока. Избыточные давления в носовой части положительны, а в хвостовой -- отрицательны. Поэтому равнодействующая сил давления на поверхность профиля направлена по потоку -- это сила волнового сопротивления Rx. Если обтекание таких профилей несимметрично (они установлены в потоке под некоторым углом атаки), то появляется еще и подъемная сила. При малой толщине профиля величину коэффициента подъемной силы для сверхзвукового обтекания допустимо определять по формуле (5.15) для пластинки. В случае значительной толщины необходимо учитывать форму его поверхности.

Сила лобового сопротивления при сверхзвуковом обтекании тел с затупленной носовой частью (таких, как на рис. 43, б) оказывается больше, чем для заостренных тел, вследствие того, что давление больше возрастает за прямым скачком. Поэтому, как отмечалось в § 5.2, для уменьшения силы лобового сопротивления выгодно придавать обтекаемому телу такую форму, чтобы заменить прямые скачки уплотнения на косые.

Отражение волн давления. При пересечении волн давления они проникают друг через друга без заметного взаимного влияния: характеристики и линии тока при этом лишь слегка искривляются. Иное дело -- отражение волн давления от твердой стенки или от свободной границы струи.

Рассмотрим отражение волны разрежения, образовавшейся при обтекании внешнего тупого угла, от твердой стенки (рис. 46, а). Эта волна после отражения также является волной разрежения. Линия тока вторично искривляется в ней, возвращаясь к первоначальному направлению и еще больше увеличивая скорость. Эффект ускорения потока может использоваться для получения высоких скоростей в многократно отраженных волнах разрежения.

При отражении от свободной газовой границы струн (рис. 46, б) волна разрежения превращается в волну уплотнения. Такое изменение знака воздействия на поток можно пояснить следующим рассуждением. Если сверхзвуковое истечение происходит в газовую среду с таким же давлением p, как и давление в струе, то за первичной волной разрежения В1АВ2 давление понижено. Следовательно, на участке B2D происходит рост давления снова до величины p, и волна, исходящая от участка B2D, является волной уплотнения. При переходе через эту отраженную волну поток еще больше отклоняется, а скорость w2 уменьшается и становится равной исходной скорости w1.

При отражении от твердой стенки косого скачка уплотнения, образовавшегося, например, в вершине внутреннего тупого угла (рис. 47, а), происходит его отражение также в виде скачка. Линия тока возвращается к исходному направлению, а величина вектора скорости вторично уменьшается. При значительных углах отклонения потока и и небольшой сверхзвуковой скорости w1 угол отклонения потока в отраженном скачке может превысить максимальный угол отклонения (см. § 5.2). В этом случае вблизи точки отражения В скачок переходит в прямой, скорость за ним оказывается дозвуковой. Лишь на некотором расстоянии от точки В этот прямой скачок переходит в косой. Система первичного косого скачка и отраженных -- прямого и косого -- носит название л - образного скачка.

Рис. 46

В случае падения косого скачка на свободную границу струи, вытекающей в газовую среду того же давления (рис.47, б), он отражается в виде волны разрежения В1ВВ2. В этой волне линия тока плавно искривляется, еще больше отклоняясь от первоначального направления, а скорость возрастает.

Важный для практики случай отражения волн давления представляют явления, происходящие при нерасчетных режимах истечения из сопла Лаваля. В частности, при истечении в газовую среду с противодавлением р, меньшим, чем давление на срезе сопла АА(рис. 48, а), происходит расширение струи в волнах АВ. После их отражения в виде волн уплотнения ВС образуются снова волны разрежения CD и т. д. В результате струя претерпевает последовательные расширения и сжатия.

При истечении в среду с повышенным противодавлением (рис. 48, б) появляются косые скачки АВ. Их отражение от свободной границы струи также порождает систему волн разрежения и уплотнения. Рост противодавления приводит к тому, что косые скачки АВ принимают форму мостообразного скачка, средняя часть которого представляет собой прямой скачок. При дальнейшем увеличении противодавления прямой скачок размещается внутри расширяющейся части сопла (см. рис. 39, § 5.1).

Рис. 47 Рис. 48

6. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

6.1 Кинематический анализ движения жидкости

Виды движения жидкой частицы. Кинематика жидкой среды существенно отличается от кинематики системы материальных точек или кинематики твердого тела.

Движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного перемещения вместе с полюсом (мгновенным центром вращения) и вращения относительно мгновенной оси, Проходящей через полюс. Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица кроме указанных перемещений может деформироваться.

Изучим возможные формы движения жидкой частицы, рассматривая для начала ради простоты плоское движение в плоскости ху.

Будем обозначать составляющие вектора скорости в данной точке через wx, wy, wz.

Для рассматриваемого плоского течения wz = 0. Пусть частица в форме квадрата с «полюсом» в точке А переместилась за некоторое время А' в соседнее положение, изображенное на рис. 49 параллелограммом. Точка А при этом заняла положение А'.

Очевидно, перемещение части складывается из следующих составляющих: а) перемещение полюса; б) вращение около полюса; в) деформация частицы.

Скорость поступательного движения полюса, как и в случае движения твердого тела, определяется компонентами вектора скорости wx, wy

Вращательное движение жидкой частицы существенно отличается от вращения твердого тела. Действительно, вращение жидкой частицы нельзя охарактеризовать угловой скоростью какого-либо одного отрезка, выбранного в этой частице. Например, угловая скорость w ребра АВ может быть определена из разности скоростей изменения составляющих скорости в направлении оси у:

.

Угловая скорость ребра AD равна

.

По предложению Гельмгольца, за угловую скорость жидкой частицы принимается средняя алгебраическая величина из угловых скоростей сторон прямоугольника

. (6. 1)

Индекс z в выражении (6. 1) показывает, что определяется составляющая вектора угловой скорости относительно оси z, нормальной к плоскости ху. Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит против часовой стрелки.

Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода. Во-первых, это деформация растяжения-сжатия, характеризующаяся удлинением сторон исходной частицы. Очевидно, что такое удлинение определяется изменением соответствующих компонент скорости по координатным осям:

, .

Во-вторых, возможна деформация скоса ребер жидкой частицы, т. е. заострение (или затупление) исходных углов. Такую деформацию можно охарактеризовать поперечной изменчивостью скорости течения, или средней арифметической из угловых скоростей вращения ребер:

.

Приведенные соображения позволяют сформулировать теорему Гельмгольца: скорость жидкой частицы складывается из скорости полюса, скорости вращательного движения около оси, проходящей через полюс, и скорости деформационного движения, состоящего в свою очередь из линейной деформации растяжения-сжатия и угловой деформации скашивания ребер частицы.

Теорема Гельмгольца справедлива и для более общего случая пространственного движения. При этом появляются новые члены, характеризующие движение: деформация растяжения - сжатия в на правлении оси z, т. е. , и угловые скорости и деформации скоса относительно осей у и х. Приведем выражения для этих величин без вывода. Угловые скорости:

, ,

(6.2)

деформации скоса:

, ,

. (6.3)

Индексы х, у, z при е в последних выражениях не следует понимать как символы проекции: они указывают лишь направление перпендикуляра к площадке, в которой происходит перекашивание грани. Вообще в отличие от угловой скорости w, которая, как и в механике твердого тела, имеет векторный характер, деформация скоса е является скаляром.

Вихревое и безвихревое движение. Если при движении жидкости ее частицы вращаются и составляющие угловой скорости щx, щy, щz не равны нулю, движение называется вихревым. Наличие вращательных движений в двухмерном потоке может быть установлено таким простейшим экспериментом: в поток вводят поплавок со стрелкой-индикатором, причем его размер мал по сравнению с радиусом кривизны линий тока. Если при движении поплавка стрелка-индикатор не остается параллельной самой по себе, а изменяет свое направление с некоторой угловой скоростью w, то движение -- вихревое и угловая скорость поплавка совпадает с угловой скоростью жидкой частицы.

Необходимо отметить, что вихревым может быть течение и при прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы движутся параллельно оси x (рис. 50), причем скорости изменяются по закону wx = ay + b, где а и b -- постоянные, то угловая скорость равна

;

мы имеем вихревое течение, и поплавок, помещенный в поток, будет вращаться по часовой стрелке. Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения -- также вихревое, причем угловая скорость вращения частиц нарастает с приближением к стенке трубы. (Изучению закономерностей вихревого движения посвящен § 6.3.)

Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда вращение частиц отсутствует. В этом случае щx = щy = щz = 0. Такое движение называется безвихревым.

Важность этого частного случая движения определяется тем обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными обводами вращение частиц наблюдается только в тонкой пристенной области и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Поэтому безвихревое движение имеет особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные самолеты, ракеты, корабли, проточные части турбомашин). Особенно большое значение имеет теория безвихревого движения для решения задачи о распределении давлений на поверхность обтекаемого тела.

При плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой скорости вращения приводит к выражению



Рис. 50

.

Если обратиться к рис. 49, то угловая скорость ребра АВ при этом будет и положительна (ребро АВ вращается против часовой стрелки). Угловая скорость ребра AD будет и отрицательна (ребро AD вращается по часовой стрелке). Средняя скорость вращения

,

равная угловой скорости биссектрисы исходного прямого угла, в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае поплавок, опущенный в жидкость, будет перемещаться вместе с потоком таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной самой себе. Безвихревое циркуляционное течение. Интересным и практически важным примером безвихревого движения является круговое течение, в котором скорость обратно пропорциональна расстоянию от оси вращения частиц (рис. 51):

 . (6.4)

Хотя линии тока этого течения криволинейны, но поток является безвихревым -- частицы деформируются, но не вращаются.

Течение, в котором скорость подчиняется закону (6.4), называют безвихревым циркуляционным потоком (иногда - менее точно - плоским вихрем).

Рис. 51

Рассмотрим безвихревое циркуляционное течение с непрерывно убывающим радиусом. Скорость течения и ее градиент вблизи оси вращения должны непрерывно нарастать и в пределе стать бесконечно большими (рис. 51). В реальной жидкости это невозможно из-за действия вязкости; опыт показывает, что центральная область вихря приходит во вращение и вращается как твердое тело с угловой скоростью щ. За пределами этого ядра вихря (заштрихованный круг на рис. 51) скорость изменяется по закону (6.4). Примерами подобных потоков являются круговые течения у отверстия стока воды в ванне, атмосферные смерчи и т. д.

Возрастание скорости с приближением к оси потока приводит к понижению давления, поэтому свободная поверхность жидкости принимает воронкообразную форму.

В свою очередь, и местное понижение давления в жидкости приводит через некоторое время к формированию такого поля скоростей, которое приближается к безвихревому циркуляционному течению.

Рис. 52

Важным примером использования в технике безвихревого циркуляционного течения является движение газов в спиральной камере с тангенциальным подводом газа (рис. 52). Газовый поток вращается в камере; выход газов осуществляется через окна прорезанные в торцевых стенках камеры вблизи от ее оси.

Хотя линии тока являются спиралями, но радиусы их кривизны приближенно можно считать равными радиусу соответствующей окружности r, проведенному из оси камеры. Распределение скоростей оказывается близким к заданному формулой (6.4). Скорость сильно возрастает с приближением к оси камеры.

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации твердых частиц из газового потока -- центробежные силы; действующие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.

Другое применение спиральной камеры -- так называемые рециркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок.

Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.

6.2 Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы w направлен по касательной к линии тока S; для плоского течения это показано на рис. 53. Пусть wx, wy -- проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 53 следует, что

, ,

где ds - элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:

, ,

Откуда . (6.5)

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид:

. (6.5а)

Функция тока для двухмерного течения. Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.5) может быть представлено в виде:

. (6.5б)

Введем такую «функцию тока» ш(x, y), полный дифференциал которой равен левой части выражения (6.5б):

. (6.6)

Поскольку на линии тока согласно формуле (6.5б) dш = 0, очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных ш имеет вид:

Рис. 53

.

Сравнивая это выражение с формулой (6.6), получаем, что производные функции тока определяются зависимостями:

, . (6.7)

Сама функция тока может быть определена интегрированием выражения (6.7).

Рис. 54

Контур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жидкости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рассматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действительно, если заменить область, ограниченную линией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем идеальной, трение отсутствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, например, считать отвердевшими линии тока, проходящие на рис. 54 по координатным осям х, у, то получится картина течения внутри прямого угла.

Потенциал скорости. Функцией скоростного потенциала или - сокращенно -- потенциалом скорости ц (х, у, z) называется такая функция, частные производные которой равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:

, , . (6.8)

Полный дифференциал функции ц равен



. (6.9)

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрированием выражения (6. 9).

Рис. 55

Введение потенциала скорости позволяет заменить векторное поле скорости течения, для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям, распределением в пространстве одной скалярной функции ц, что значительно упрощает исследование. В механике твердого тела вводится аналогичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция, производные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потенциала электрического поля: вместо задания в пространстве векторной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V, производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции ц определенные значения, получаем уравнения поверхностей равного потенциала, или эквипотенциальных поверхностей (в случае двухмерного течения -- линий равного потенциала, или эквипотенциалей). Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае плоского (двухмерного) течения wz = 0; дифференциал функции тока выражается формулой (6. 6), дифференциал функции скоростного потенциала, из равенства (6. 9), формулой

.

Пусть линия тока ш = const такого течения представлена на рис. 55 сплошной линией, эквипотенциаль ц = const -- пунктирной линией. Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения А. Угол наклона прямой АВ к оси абсцисс определится согласно уравнению (6. 5б) выражением

;

угол наклона прямой AD выражением

.

Очевидно, что и угол в между касательными равен 90?.

Таким образом, функция тока ш и потенциал скорости ц взаимно ортогональны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий ш (х, у) = const и ц (х, у) = const, нанесенные на один чертеж, называются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки был приведен на рис. 54. Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения wx и wy через функцию тока ш (6.7) и функцию скоростного потенциала ц (6.8), видим, что функции ш и ц связаны условиями:

, . (6.10)

В математике эти условия называются условиями Коши--Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования функций ш и ц математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел. В § 18 указывалось, что угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулой (6.6). Если течение потенциально, т. е. существует некоторая функция скоростного потенциала ц, производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то согласно выражению (6.8) имеем

.

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение -- безвихревое, т. е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория потенциала используется с большим успехом. Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (2.7):

.

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (6.8), получаем

. (6.11)

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции ц, полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (6. 11) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. Как уже говорилось в § 2.2, к таким условиям относятся задание скорости в удалении от обтекаемого тела w? и условие равенства нулю на поверхности тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

Моделирование потенциальных течений. Исследование обтекания реальных тел аналитическими методами представляет в общем случае большую математическую сложность. Отыскание функции скоростного потенциала или функции тока, например, для лопаточных профилей наперед заданной формы оказывается весьма трудным. Эта задача существенно упрощается с использованием метода аналогий. Наибольшее развитие к настоящему времени получило исследование потенциальных потоков методом электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Он базируется на следующих положениях.

Согласно выводам теоретической электротехники распределение электрического потенциала в проводнике, как и распределение потенциала в безвихревом потоке идеальной жидкости, подчиняется уравнению Лапласа. Действительно, закон Ома, связывающий силу тока с распределением потенциала электрического поля, записывается в дифференциальной форме следующим образом:

; ; . (6. 12)

Здесь i -- плотность тока, т. е. количество электричества, протекающее в 1 сек, через единицу площади проводника; V - электрический потенциал; С -- коэффициент электропроводности (величина, обратная удельному сопротивлению).

По закону Кирхгофа, уравнение сплошности электрического тока имеет вид:

,

т. е. оно аналогично уравнению неразрывности (2.7). Подставим в него значение i из системы (6.12). При постоянной электропроводности среды C уравнение сплошности принимает вид:

, (6.11а)

т. е. мы опять получили уравнение Лапласа.

Рис. 56

Таким образом, электрический потенциал V аналогичен потенциалу скорости ц, удельная плотность электрического тока - аналогична скорости течения w. Поэтому, если область распространения электрического тока геометрически подобна области течения жидкости, а граничные условия для V и ц аналогичны, интегралы уравнения Лапласа (6. 11) и (6.11a) будут отличаться лишь произвольными постоянными. Эквипотенциальные поверхности в электрическом поле V (х, у, z) = const в этом случае соответствуют эквипотенциальным поверхностям в потоке жидкости ц (х, у, z) = const, а силовые линии в электрическом поле соответствуют линиям тока в жидкости. Практическое использование этой аналогии состоит в том, что уравнение Лапласа решается на установке ЭГДА, а результаты решения переносятся на поток жидкости.

Для решения задач плоского потенциального обтекания сейчас преимущественно используются модели, в которых в качестве электропроводного материала применяется бумага с графитовым покрытием. Для измерения потенциалов в различных точках модели измерительная цепь собирается по мостовой схеме (рис. 56). Постоянный или переменный ток от источника тока подводится к шинам Ш1 и Ш2. Параллельно шинам подключен потенциометр R, на скользящем контакте К которого можно задавать любые промежуточные значения электрического потенциала между потенциалами шин Ш1 и Ш2. Указателем равновесия моста является гальванометр Г, включенный в цепь щупа Щ. Прикасаясь щупом Щ к какой-либо точке графитированной бумаги, мы подаем на щуп электрический потенциал данной точки.

Граничные условия в моделируемом потоке жидкости таковы:

Вдали от обтекаемого тела на линиях, перпендикулярных
вектору скорости (им соответствуют линии установки шин на модели, рис. 56), потенциал скорости ц сохраняет постоянное значение: ц = const.

На поверхности обтекаемого тела (ей соответствует вырезанный участок на электропроводной бумаге) .

Задавая на потенциометре различные значения электрического потенциала V, с помощью щупа находят на модели точки, принадлежащие линиям равного потенциала. В этих точках ток в цепи щупа равен нулю, стрелка гальванометра не отклоняется. В этом состоит «аналогия А», позволяющая построить эквипотенциали плоского потока.

В силу взаимной ортогональности функций скоростного потенциала ц и тока ш на установке ЭГДА можно также смоделировать течение таким образом, чтобы линии равного потенциала электрического поля соответствовали линиям тока в жидкости, силовые линии -- эквипотенциалям в потоке жидкости. В этом случае на участок модели, соответствующий обтекаемому телу, наклеивается электропроводным клеем модель сечения тела, вырезанная из материала, электропроводность которого во много раз превосходит электропроводность бумаги. Шины размещаются по сторонам модели вдоль потока. Построив с помощью щупа эквипотенциали электрического поля, мы получим картину линий тока в потоке жидкости. Этот способ получил название «аналогии B».

Построение гидродинамической сетки течения методом ЭГДА осуществляется быстро, не требует высокой квалификации исполнителей или сложного оборудования и в то же время обеспечивает высокую точность решения. Этим объясняется его широкое применение.

6.3 Вихревое движение жидкости

Интенсивность вихря. Как показано в § 6.1, угловая скорость вращения жидкого элемента выражается через производные скорости течения формулами (6. 2). Угловой скорости при этом приписывается векторный смысл: по определению, это -- вектор, нормальный к плоскости вращения частицы и ориентированный таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим против часовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме его компонентов щx, щy, щz:

. (6. 13)

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое распределение в пространстве -- «вихревое поле». Отметим, что в некоторых курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения называют «вихрем скорости» или «ротором скорости»; в частности, в случае плоского течения

.

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести понятие вихревой линии -- это такая линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, располагающихся на ней. Дифференциальные уравнения вихревых линий подобны уравнениям линии тока (6. 5а):

. (6. 14)

Рис. 57.

Вихревые линии, проведенные через все точки замкнутого элементарного контура, взятого в потоке (рис. 57), образуют вихревую трубку (аналог элементарной струйки, поверхность которой составлена из линий тока). Обозначим площадь нормального сечения вихревой трубки через dF, и будем считать угловую скорость вращения щ постоянной по ее сечению.

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется удвоенное произведение угловой скорости вращения на площадь сечения:

. (6. 15)

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

,

где щcp -- средняя величина угловой скорости по сечению F вихревой трубки.

Циркуляция скорости. Теорема Стокса. Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой точке которого вектор скорости равен w, а его проекция на касательную к контуру равна wll (рис. 58). Произведение этой проекции на длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ:

.

Циркуляцией Г по всему контуру l называется интеграл

. (6. 16)

Знак циркуляции, вычисленной по замкнутому контуру, зависит от направления его обхода. Положительным направлением обхода контура считают такое, когда ограниченная им область остается слева. Размерность циркуляции -- мг/сек..

Рис. 58

Понятие циркуляции в гидромеханике аналогично понятию работы в физике, только вместо вектора скорости в работу входит вектор силы. Действительно, работа силы f на элементарном пути dl равна произведению касательной составляющей силы на путь: fldl. Работа на некотором конечном пути получается интегрированием, как и для формулы (6. 16).

Циркуляция скорости по контуру непосредственно связана с интенсивностью вихревой трубки, натянутой на этот контур. Пусть, например, контур в плоском потоке представляет собой прямоугольник с элементарными сторонами dx, dy площадью dF = dxdy (см. рис. 49). Значения составляющих скорости вдоль сторон прямоугольника показаны на рисунке. Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается из четырех частей:

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура, охватывающего вихревую трубку конечного сечения, циркуляция скорости определится аналогично:

(6. 17)

Нами получено доказательство теоремы Стокса: циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей вихревых трубок, пронизывающих поверхность F, натянутую на этот контур. Таким образом, в безвихревом (потенциальном) течении циркуляция скорости по любому контуру равна нулю. Только при появлении вращательного движения в жидкости циркуляция становится отличной от нуля.

Теоремы о вихрях. Для вихревого движения идеальной жидкости справедливы следующие теоремы.

Кинематическая теорема Гельмгольца: интенсивность вихря не меняется по длине вихревой трубки.

Рис. 59

Выберем на вихревой трубке конечных размеров произвольные сечения 1 и 2 (рис. 59). Проведем замкнутый контур ABCDEF по поверхности вихревой трубки. Очевидно, что циркуляция по этому контуру равна нулю, так как он вихревыми линиями не пронизывается:

.

Но . (6. 18)

Сближая кривые AF и CD, получим в пределе , так как направления обхода по этим линиям противоположны. Следовательно, из равенства (6.18): . Применяя теорему Стокса и приняв во внимание, что направления обхода контуров ABC и DEF противоположны, получаем:

Рис. 60

и . (6. 19)

Из этой теоремы следует, что вихревая трубка не может закончиться в жидкости. Действительно, если F > 0, то для выполнения условиянеобходимо, чтобы щ>?; однако бесконечное увеличение угловой скорости вращения частиц невозможно вследствие действия вязкости. Поэтому вихревая трубка должна быть либо замкнута сама на себя, образуя вихревое кольцо (рис. 60, а), либо упираться концами в свободную поверхность жидкости или твердую стенку (рис. 60, б, в).

Приведем теперь без вывода основную теорему о вихрях в идеальной жидкости.

Теорема Томсона: циркуляция по замкнутому жидкому контуру в идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в поле действия силы тяжести, не меняется со временем.

Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не могут возникать и не могут уничтожаться; если в некоторый начальный момент времени движение было безвихревым, то оно останется безвихревым и в дальнейшем. В реальной жидкости вихри размываются с течением времени вследствие вязкости. Однако во многих практически важных случаях, например при определении подъемной силы крыла, влиянием вязкости можно пренебречь.