Физические свойства жидкостей

Поле скоростей, вызываемое вихревыми трубками. В ряде применений гидромеханики приходится сталкиваться с задачей определения скоростей движения жидкости, вызванного заданной системой вихрей. До сих пор мы решали обратную задачу: по известному полю скоростей находили вектор угловой скорости частиц потока [формулы (6.2) и (6.4)].

Каждый из элементарных вихрей, составляющих вихревую систему, создает около себя поле скоростей, распространяющееся на весь поток, в том числе и на другие элементарные вихри системы. Выясним, какую скорость вызывает в произвольной точке потока одиночная вихревая трубка.

Пусть dl -- элемент вихревой трубки; Г циркуляция скорости по контуру, охватывающему эту трубку; б -- угол между касательной к элементу и радиусом-вектором r, проведенным в точку М, в которой определяется скорость (рис. 61). Скорость течения, вызываемая в этой точке элементом вихревой трубки, определяется формулой Био - Савара, которую мы приводим без вывода:

. (6.20)

В теоретической электротехнике закон Био--Савара определяет действие элемента проводника, по которому течет ток, на единичный магнитный полюс, помещенный в точку М. При этом сила тока в проводнике является аналогом циркуляции Г, а сила воздействия на магнитный полюс -- аналогом индуцируемой скорости. Индуцируемая скорость dw направлена перпендикулярно плоскости, содержащей отрезки dl и r, в сторону циркуляции.

Применим формулу Био - Савара для вычисления скорости,
индуцируемой в некоторой точке М (рис. 62) бесконечной вихревой
трубкой с прямолинейной осью, отстоящей от точки М на расстоя
нии h. Очевидно, что . Выделим элементарный отрезок АВ длиной dl. Из треугольника ABC

.

Подставляя это значение dl в формулу (6.20), имеем

.

Скорость, вызываемая в точке М. всей вихревой трубкой, определится интегрированием полученного выражения в пределах от б = 0 до б = р:

. (6.21)

В § 18 было показано, что в двухмерном безвихревом циркуляционном течении распределение скоростей определяется формулой (6.4): . Сравнивая это выражение с равенством (6. 21), убеждаемся, что одиночная вихревая трубка порождает в окружающей жидкости поле скоростей, характерное для безвихревого циркуляционного течения. При этом константа в равенстве (6. 4) может быть представлена через циркуляцию:. Это обстоятельство позволяет определять величину циркуляции Г в плоском циркуляционном течении (или около одиночной вихревой трубки). Действительно, если задана скорость wl на одной из концентрических линий тока, расположенной на расстоянии r от оси вихревой трубки, то циркуляция

6.4 Обтекание тел идеальной жидкостью

Распределение давления по поверхности обтекаемого тела. Исследуем обтекание тела произвольной формы равномерным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Пусть вдали от тела, где поток можно считать невозмущенным, скорость течения равна w?, давление р?.. Будем рассматривать плоский горизонтальный поток, что избавит нас от необходимости учитывать распределение скоростей и давлений по координате z.

Применим уравнение Бернулли к струйке, проходящей по поверхности обтекаемого тела (рис. 63). Выберем сечение этой струйки «на бесконечности», где не сказывается искажающее влияние на поток обтекаемого тела, и в некоторой точке на поверхности тела, где скорость равна w, давление р:

.

Из уравнения Бернулли непосредственно следует:

. (6.22)

Величина называется динамическим давлением потока. Мы встречались с ним в § 5, рассматривая принцип действия трубки Пито (формулы 2.13 и 2.13а). Безразмерное отношение

носит название коэффициента давления.

Рис. 63

На поверхности обтекаемого тела величина коэффициента давления определяется скоростью течения в данной точке, т. е. тем возмущающим действием, которое оказывает на поток помещенное в него твердое тело (рис. 63). В передней «критической» точке А, где раздваивается набегающий поток, скорость равна нулю, и вся кинетическая энергия потока идет на повышение давления. Давление здесь превышает p? на величину динамического давления .

В области утолщения обтекаемого тела (у «миделя»), где скорость вследствие поджатия потока превышает w?, коэффициент давления отрицателен, и р < р?. В случае особенно резкого падения давления в точке В могут даже возникнуть разрывы потока. В несжимаемой жидкости при падении р до давления парообразования может начаться процесс кавитации (см. § 2.3).

Рис. 64

Возрастание давления в кормовой области, связанное с уменьшением скорости течения, полностью компенсирует избыток давления в носовой части. Поэтому при обтекании тела идеальной жидкостью равнодействующая сил давления в направлении потока равна нулю (парадокс Даламбера). В вязкой жидкости имеет место сила сопротивления, обусловленная касательными напряжениями по поверхности обтекаемого тела и недостаточным возрастанием давления в кормовой области вследствие образования там вихревой зоны.

Теорема Жуковского. Мы установили, что при обтекании тела идеальной жидкостью сила сопротивления, направленная по потоку, равна нулю. Однако в этом случае возможно существование сил, перпендикулярных направлению течения.

Предположим, что в плоскопараллельный поток со скоростью w? помещено тело произвольных очертаний, например в форме одиночного крылового профиля (рис. 64). Вблизи тела течение окажется заметно возмущенным; появляются добавки к скорости w?, которые мы обозначим через w'x , w'y . Скорость результирующего течения оказывается равной

.

По мере удаления от тела величина добавочных составляющих w'x , w'y уменьшается.

Определим с помощью уравнения количества движения (2.21), чему равна сила Ry (см. § 2.5).

Выберем контрольную поверхность ABCD, расположенную достаточно далеко от тела, чтобы добавки w'x , w'y были на ней малы по сравнению с w?. При таком выборе можно пренебречь количеством движения жидкости, передаваемым через поверхности ВС и AD, вследствие малости w'y . Подсчитав разность между количеством движения в направлении оси у, поступающим через АВ и уходящим через CD, мы сможем определить сумму всех сил, действующих в направлении оси у на поверхность ABCD. Эта сумма складывается из сил давления на AD и ВС, которые мы обозначим через Р, и из силы Ry , действующей на тело.

Поступающий через АВ в слое единичной толщины элемент жид-сти шириной dy несет в направлении оси у количество движения, равное с (w? + w'x) w'y dy. Следовательно, все количество движения, входящее через АВ, равно

(мы считаем с = const), а разность количеств движения на АВ и CD составляет

.

Для подсчета силы давления

воспользуемся зависимостью между давлениями и скоростями (уравнением Бернулли):

.

Квадрат скорости w можно представить в виде:

.

Так как w'x и w'y малы по сравнению с w? , то величинами w'x2 и w'y2можно пренебречь по сравнению с w2? .Следовательно, имеем

.

Будем считать давление вдали от тела равным нулю, так как оно все равно дает на замкнутой поверхности результирующую, равную нулю. Сила Ry , равная разности приращения количества движения и силы давления Р, определяется выражением:



При подсчете членами вида можно снова пренебречь, так как мало по сравнению с .

Тогда имеем

.

Сумма интегралов, стоящих в круглых скобках, представляет собой не что иное, как циркуляцию добавочной скорости по контуру ABCD.

Таким образом, при циркуляционном обтекании тела слоем жидкости единичной толщины сила, действующая на тело, будет

[н/м]. (6.23)

Нами доказана теорема Н. Е. Жуковского (1906): поперечная сила, действующая на тело, пропорциональна плотности, скорости набегающего потока и циркуляции по контуру, охватывающему тело.

Формула (6.23) выведена для слоя единичной толщины и определяет силу, действующую на элемент обтекаемого тела, поперечный размер которого равен единице длины. В случае обтекания тела заданной длины величина этой силы определяется выражением

[н], (6.24)

где l -- размер тела в направлении, перпендикулярном плоскости контура (в случае обтекания крыла это длина крыла).

В § 20 мы убедились, что циркуляция скорости Г может быть отличной от нуля только в случае вихревого движения. Поэтому подъемная сила Ry , перпендикулярная направлению течения, возникает лишь в тех случаях, когда на набегающий поток накладывается вихрь.

Постулат Чаплыгина - Жуковского. Теорема Н. Е. Жуковского имеет основополагающее значение для теории крыла. Отметим, что крылом в гидромеханике называют не только несущую плоскость самолета или судна на подводных крыльях, но и лопасть пропеллера или судового винта, лопатку турбины, компрессора или насоса и вообще тело с плавными обводами и заостренной задней кромкой, обтекаемое продольно или под небольшими «углами атаки». Чтобы нагляднее показать природу возникновения поперечной силы, действующей на крыло, полезно использовать аналогию между обтеканием крыла и цилиндра.

На рис. 65 схематически показана картина линий тока при обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью без циркуляции (а), чисто циркуляционное течение вокруг него (б) и комбинация этих течений (в). Эта картина может быть получена методами гидродинамики идеальной жидкости, в результате наложения потенциальных потоков, отвечающих равномерному поступательному течению, обтеканию цилиндра и безвихревому циркуляционному течению. В третьем случае появляется поперечная, или подъемная, сила. Действительно, над цилиндром линии тока сгущаются, в этой области скорость возрастает, а давление в соответствии с уравнением Бернулли понижается. Под цилиндром имеет место обратная картина. Равнодействующая сил давления и представляет собой подъемную силу.

Рис. 65 Рис. 66

Появление поперечной силы при обтекании вращающегося тела носит название эффекта Магнуса по фамилии ученого, впервые объяснившего это явление (1852). До изобретения нарезных артиллерийских орудий шаровые снаряды после вылета из ствола часто отклонялись в сторону от расчетной траектории. Магнус показал, что это происходило из-за вращения ядра вокруг вертикальной оси, происходящего вследствие случайных причин. Такую же природу имеет поперечная сила, действующая на «резаный» футбольный или теннисный мяч; эта сила всегда направлена к той стороне тела, где направления вращения и обтекающего потока совпадают.

При обтекании крылового профиля с заостренной задней кромкой форма его сечения такова, что необходимый для появления циркуляции вихрь возникает здесь самопроизвольно. Как показывает опыт, в начале процесса обтекания картина линий тока соответствует рис. 66, а. Подъемная сила пока еще отсутствует. Струйки сходят с поверхности профиля на его спинке, у задней острой кромки образуется область больших скоростей (теоретически -- бесконечных) и больших градиентов скорости.

Если около крыла появится циркуляционное течение, показанное на рис. 66, б, то в результате наложения обоих течений при соответствующем выборе величины циркуляции получается течение, показанное на рис. 66, в, или безотрывное обтекание профиля.

Рис. 67

Возникновение циркуляционного вихря около крыла можно пояснить следующими соображениями. У острой задней кромки, в соответствии с рис. 66, а, в начальной стадии обтекания скорость течения резко возрастает. В реальной жидкости такое возрастание скоростей лимитируется вязкостью. У кромки формируется поверхность разрыва скоростей. Эта поверхность свертывается в вихрь, увлекаемый течением (рис. 67) во внешний поток, где силы трения не оказывают существенного влияния. По теореме Томсона, суммарная циркуляция не должна изменяться по сравнению с начальным моментом, т. е. должна оставаться равной нулю. Это равенство, в частности, должно иметь место и для области, ограниченной линией А. Поэтому при отходе вихря определенной интенсивности около профиля должен сохраниться вихрь, равный по интенсивности, но противоположный по направлению вращения. В итоге картина линий тока принимает вид, изображенный на рис. 66, в.

В этом состоит суть постулата, сформулированного С. А. Чаплыгиным и Н. Е. Жуковским: при безотрывном обтекании профиля вокруг него формируется такая циркуляция Г, которая обеспечивает сход струек, с задней кромки вдоль средней линии профиля.

Таким образом, с чисто гидродинамической точки зрения крыло можно рассматривать как несущую вихревую линию. Так как согласно выводам § 20 скорости, обусловленные вихревой линией, убывают обратно пропорционально расстоянию от оси вихря, то и возмущение набегающего потока, вызванное наличием крыла, также убывает пропорционально , т. е. . На достаточном удалении от профиля картина течения оказывается такой же, как если бы крыло заменить единичным вихрем. При этом считают, что ядро вихря, т. е. его внутренняя область, где жидкость должна вращаться как твердое тело, размещается внутри крыла.

Рис. 68

Моделирование циркуляционного обтекания. Как показано выше, картину линий тока, наблюдаемую при обтекании крылового профиля, можно получить в результате наложения на плоскопоступательный поток циркуляции, обеспечивающей сход струек с задней острой кромки крыла. На электрической модели потока эквипотен-циали чисто циркуляционного течения около цилиндра могут быть получены, если разрезать область движения (см. рис. 56) по лучу, укрепить по линии разреза шины и приложить к ним разность потенциалов. В обращенной задаче, т. е. для построения линий тока по аналогии В, следует установить шины по контуру круга, заменяющего ядро вихря, и по окружности достаточно большого радиуса, после чего приложить к ним разность потенциалов.

Для того чтобы можно было на одной модели построить полностью гидродинамическую сетку течения, т. е. семейства кривых ш = const и ц = const, следует начинать решение задачи с построения линий тока. Для этого вырезают исследуемый профиль из электропроводного материала (например, медной фольги) и приклеивают его электропроводным клеем на модель области движения (рис. 68, а). Размеры моделируемой области выбирают так, чтобы на ее границах искажающее явление профиля на поток было пренебрежимо малым. Опыт показывает, что на расстоянии от профиля порядка, трех-четырех его продольных размеров поток можно считать практически невозмущенным.

Если не подавать на профиль никакого напряжения, то полученная модель будет отвечать бесциркуляционному обтеканию профиля. Поскольку профиль выполнен из проводника, на нем соблюдается условие ш = const, и он является линией тока. Картина линий тока окажется такой, как на рис. 66, а. Если с помощью независимого источника тока подать на профиль некоторое напряжение, то тем самым будет смоделирована циркуляция, наложенная на поток. Задача теперь заключается в том, чтобы путем подбора нужного значения электрического потенциала, подаваемого на профиль, получить на нем величину ш = шк, обеспечивающую соблюдение постулата Чаплыгина - Жуковского, т. е. параллельный сход струек с задней острой кромки. Такой подбор осуществляется с помощью потенциометрического делителя напряжения R2 (рис. 68, а). Пусть, например, на одном из этапов подбора на профиль подан некоторый потенциал шк.

С помощью щупа строят небольшой участок линии тока шк = const на электропроводной бумаге в окрестности задней критической точки. Если поданный потенциал шк соответствует безотрывному обтеканию, то построенная линия тока будет сбегать с профиля в задней критической точке в направлении его средней линии. В противном случае продолжается подбор нужного значения шк последовательными приближениями. Подобрав шк, строят на электропроводной бумаге всю линию тока шk = const и остальные линии тока ш = const с некоторым интервалом, задавая делителем напряжения Rl величины электрического потенциала, например, через 10% (за 100% считается исходная разность потенциалов на шинах).

Для построения линий равного значения функции скоростного потенциала ц вырезают обтекаемый профиль вместе с фольгой. Питающие шины переносятся на торцевые обрезы моделируемой области (рис. 68, б). В результате имеем возможность построения эквипотенциалей по аналогии А, при которой обтекаемый контур выполнен из изолятора (воздуха). В этом случае при подаче на шины напряжения на поверхности профиля соблюдается условие .

В искомой сетке эквипотенциалей ц = const нужно знать положение одной из них, начинающейся на контуре. Эту эквипотен-циаль (желательно проводить ее через нижнюю поверхность крыла) строят графически, ортогонально к линиям тока, построенным в результате моделирования по аналогии В. По найденной экви-потенциали модбль разрезается, вдоль границ разреза наклеиваются изолированные друг от друга шины ШЗ и Ш4, и к ним подается напряжение от независимого источника тока. Это напряжение подбирается так, чтобы одна из эквипотенциалей на модели проходила через заднюю критическую точку, не имея в ней разрыва. Подбор осуществляется так же, как и при построении линий тока. После этого строят линии равного потенциала через заданный интервал (например, через 10% от разности потенциалов на шинах Ш1 и Ш2).

Отметим, что если разрез модели выполнен по вогнутой поверхности профиля, то дополнительный источник тока может быть заменен простым реостатом, подключенным к шинам ШЗ и Ш4. В результате на этих шинах под действием исходной разности потенциалов на шинах Щ1 и Ш2 устанавливается некоторая разность потенциалов V3 - V4, как это и требовалось для моделирования чисто циркуляционного течения.

Построенная гидродинамическая сетка течения позволяет определить величину и направление вектора скорости в любой точке потока. Измерив на построенной сетке расстояние между эквипотенциалями вдоль линии тока в данной точке Дs и вдали от профиля, где поток не искажен, Дs?, определим скорость в данной точке (x, y) по формуле

. (6.25)

С использованием вычисленной скорости легко определить давление в любой точке потока по формуле (6.22). В частности, так вычисляется распределение давления по поверхности профиля, которое определяет силовое взаимодействие профиля с обтекающим потоком.

Измерив на модели, выполненной по аналогии А, разности электрических потенциалов V на питающих шинах Ш1 и Ш2 и на дополнительных шинах Ш3 и Ш4, можно вычислить циркуляцию скорости вокруг исследуемого профиля по формуле

, (6.26)

где L - расстояние между шинами Ш1 и Ш2 (длина модели); b и bм - размеры хорды профиля в натуре и на модели (т. е. отношение есть линейный масштаб модельного профиля).

В итоге с помощью метода ЭГДА оказываются определенными все параметры потенциального потока, важные для практических приложений.

Методом ЭГДА могут решаться и задачи пространственного (трехмерного) обтекания. В этом случае модель , выполненная из изолятора (например, парафина), помещается в ванну с электролитом. Разность потенциалов подается к плоским шинам, установленным по стенкам ванны. Положение эквипотенциальных поверхностей определяется с помощью пространственного щупа, смонтированного на координатнике.

7. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ вязкой жидкости

7.1 Уравнения движения вязкой жидкости

Уравнения Навье-Стокса. При обтекании тела реальной (вязкой) жидкостью на его поверхности появляются касательные напряжения, связанные с действием вязкости. Такие же напряжения имеют место и при относительном движении слоев жидкости. По закону Ньютона для вязкого трения, касательная сила f, действующая между слоями жидкости при их относительном движении, определяется формулой (1.4):

Действие вязкости учитывается введением в дифференциальные уравнения движения членов, описывающих внутреннее трение. В итоге уравнения оказываются более сложными, чем уравнения гидродинамики идеальной жидкости Эйлера (2.9). Как и при выводе уравнений Эйлера (§ 2.2), применим второй закон Ньютона

к жидкой частице в форме параллелепипеда с малыми ребрами dx, dy,dz (см. рис. 5). Рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу в направлении оси х. Будем считать жидкость несжимаемой (с = const). Кроме силы давления - dpdydz (см. вывод в § 2.2) и объемной силы Хсdxdydz в вязкой жидкости действует еще разность сил трения на верхней и нижней гранях частицы:

.

Если предположить для простоты вывода, что в данном потоке жидкости скорость меняется только в направлении оси z, то

В этом случае уравнение второго закона Ньютона запишется в виде:

.

Разделив последнее равенство на сdxdydz и принимая во внимание, что - кинематический коэффициент вязкости, а предел отношения

равен второй производной , получим

Учитывая возможность изменения вектора скорости также в направлении осей y и z и применив аналогичные рассуждения для проекций сил на эти оси, запишем уравнения движения в виде:

В отличие от уравнений Эйлера (2.9), полученные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости учитывают влияние на ускорение частицы [левые части уравнений (7.1а)] сил вязкого трения (последние слагаемые правых частей). Они носят название уравнений Навье-Стокса (1822, 1845).

Система (7.1) получена для несжимаемой вязкой жидкости. В случае сжимаемой жидкости (газа) уравнения Навье-Стокса имеют более сложный вид.

Граничные условия. Уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности (2.7) образуют для несжимаемой жидкости замкнутую систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: щx, щy, щz, p. При решении этой системы для какого-либо конкретного случая движения необходимо задать начальные и граничные условия.

Начальные условия формулируются для задач о движении вязкой жидкости так же, как и для идеальной. Они сводятся к тому, что для некоторого момента времени, принимаемого за начальный, задаются скорости и давления как функции координат. При установившемся движении начальные условия не задаются.

Существенные отличия от идеальной жидкости имеют место при формулировке граничных условий. В динамике идеальной жидкости допускается, что жидкость скользит по поверхности обтекаемого тела с конечной скоростью. При обтекании тела вязкой жидкостью, как показывают опытные данные, частицы жидкости прилипают к поверхности тела. Следовательно, здесь оказываются равными нулю не только нормальные щn, но и касательные щt составляющие скорости течения.

Последнее граничное условие (щt = 0) весьма усложняет решение задач, относящихся к движению вязкой жидкости. Вследствие математических трудностей, связанных с интегрированием нелинейных уравнений Навье-Стокса при этих граничных условиях, до сих пор получено очень мало точных решений. Поэтому для решения конкретных задач прибегают к упрощению уравнений Навье-Стокса, чтобы сделать возможным их интегрирование.

Один из способов такого упрощения состоит в пренебрежении инерционными (конвективными) членами в уравнениях движения [левые части уравнений (7.1)]. Это приближение оправдано только в случае доминирующего влияния вязкости или при очень малых числах Рейнольдса (здесь L - характерный линейный размер для рассматриваемой задачи, например - диаметр трубы или поперечный размер обтекаемого тела). Примером такого упрощения является решение для ламинарного течения в круглой трубе - задача Пуазейля, рассмотренная в § 3.1.

Другой способ упрощения уравнений Навье-Стокса, предложенный Прандтлем, основывается на предположении, что при движении маловязкой жидкости вдоль поверхности удобообтекаемого тела частицы затормаживаются только в тонком пристенном слое, где велики поперечные градиенты скорости и пропорциональные им силы вязкого трения. Основные положения теории пограничного слоя изложены в гл. 3.1.

Пределы применимости этих способов упрощения уравнений движения могут быть установлены только экспериментально. Более сложные задачи - например, определение силового взаимодействия потока с телом произвольной формы - приходится решать опытным путем.

7.2 Моделирование в гидромеханике и газодинамике

Принципы динамического подобия. Натурные объекты, с которыми имеют дело гидромеханика и газодинамика, - гидромашины, корабли, гидротехнические сооружения для несжимаемой жидкости, а также паровые и газовые турбины, компрессоры, самолеты, ракеты - слишком велики по размерам, сложны и дороги, чтобы их можно было испытывать только в натуральных условиях. Модели различных вариантов этих объектов испытываются обычно в стадии их проектирования и расчета. Поэтому большое значение приобрела теория моделирования, разрабатывающая правила и условия проведения экспериментов и переноса результатов эксперимента с модели на натуру.

Движением жидкости управляют силы тяжести, инерции, давления и трения. Они различны по своему происхождению и природе, и каждая из них изменяется при изменении скоростей, размеров потока и других условий по своим особым законам. Однако во многих задачах, приходится рассматривать совместное действие этих сил и определять величину отношения одной из них к другой. Исследованием этих вопросов занимается теория механического подобия потоков.

При моделировании в гидромеханике и газодинамике недостаточно добиться геометрического подобия модели и натуры, т. е. пропорциональности их сходственных размеров. Должно быть обеспечено еще динамическое подобие. Основные требования динамического подобия таковы:

1. В натурном и модельном потоках должны действовать силы одинаковой физической природы.

2. В сходственных точках натурного и модельного потока действующие силы должны находиться в постоянном соотношении. Так, если на некоторой поверхности натурного объекта действует сила давления P и сила трения Т, а на модели эти же силы равны соответственно Рм и Тм, то условие динамического подобия для этих сил записывается в виде:

3. Граничные и начальные условия для натурного и модельного потоков совпадают.

Подобие называется полным, если в натурном и модельном потоках одинаковы отношения любых действующих сил, например: силы трения к силе инерции, силы давления к силе инерции, силы тяжести к силе инерции. Вследствие разной природы этих сил они по-разному зависят от скорости и размеров потока, поэтому на уменьшенной модели часто не удается добиться полного динамического подобия. В этом случае довольствуются соблюдением частичного подобия, т. е. тождественности для натуры и модели лишь отношения каких-то двух сил, которые предполагаются определяющими для данного потока. По остальным силам в этом случае подобие не соблюдается, и поэтому данные модельного эксперимента при частичном подобии не могут в точности соответствовать натуре. Но в ряде случаев действие этих сил пренебрежимо мало либо может быть рассчитано теоретически; поэтому моделирование при частичном подобии получило широкое распространение.

Закон полного динамического подобия Ньютона. Рассмотрим два динамически подобных потока, обтекающих геометрически подобные объекты: модель и натуру. Будем обозначать величины, относящиеся к модельному потоку, индексом «м», а относящиеся к натурному потоку - без индекса. Частица жидкости массой m под действием силы f приобретает ускорение ; согласно второму закону Ньютона

.

Если потоки динамически подобны, то согласно второму принципу динамического подобия

(7.2)

Масса частицы m может быть представлена через ее плотность с и объем, который равен кубу некоторой характерной длины частицы l, т. е. m.= сl3. В качестве характерного размера частицы, имеющей, например, форму куба, естественно принять его ребро. Ускорение частицы выражается через приращение ее характерной скорости Дщ и характерное время Дt, т. е.

(мы предполагаем, что приращение скорости Дщ пропорционально ее величине щ). Подставляя эти величины в формулу (7.2), имеем

.

Принимая во внимание, что отношение характерной длины в потоке l к характерному времени t есть скорость щ, т. е., приведем последнее выражение к виду:

. (7.3)

Перепишем это равенство несколько иначе:

. (7.4)

Отношение называется числом Ньютона, а выражение (7.4) является записью закона динамического подобия Ньютона: потоки подобны, если числа Ньютона для модели и натуры тождественны.

Аэродинамические коэффициенты. Представим себе, что в результате аэродинамического эксперимента (например, при продувке модели в, аэродинамической трубе) определена некоторая сила fм (например, сила лобового сопротивления). При известных параметрах модели см, lм, щм легко вычислить число Ньютона

Если эксперимент выполнен при соблюдении полного динамического подобия, то натурная аэродинамическая сила f может быть определена из выражения (7.4):

Обозначая l2 = F, где F - «характерная площадь» потока, и принимая во внимание, что - динамическое давление потока (см. § 2.3, 6.4), приведем последнее равенство к виду:

или, обозначив 2Ne = С, получим

(7.5)

В формуле (7.5) С - аэродинамический коэффициент для данного потока

В частности, при определении подъемной силы крыла Ry аэродинамический коэффициент обозначают через Су, в качестве характерной площади F берут площадь наибольшей проекции крыла.* При определении силы лобового сопротивления некоторого тела Rx аэродинамический коэффициент обозначают через Сх, в качестве характерной площади берут площадь миделевого (наибольшего поперечного) сечения тела.

Экспериментальные установки в гидроаэродинамике. Исследование движения тела относительно покоящейся жидкости возможно двумя способами:

протаскиванием модели в неподвижной жидкости;

обтеканием неподвижной модели равномерным потоком жидкости.

Первый способ применяется, главным образом, при испытании моделей судов в специальных бассейнах. Модель судна, выполненная в некотором масштабе геометрически подобной натурному судну, протаскивается специальным устройством с определенной скоростью вдоль канала, причем динамометры («гидродинамические весы») измеряют силу сопротивления. Присоединяя датчики давления к дренажным отверстиям, выполненным заподлицо с поверхностью модели, можно выявить также распределение давления по обтекаемому днищу и бортам.

В аэродинамических исследованиях применяется преимущественно второй способ: модель обтекается потоком воздуха в аэродинамической трубе. Схема устройства аэродинамической трубы наиболее распространенного типа представлена на рис. 70. Поток воздуха, циркулирующий в трубе, получает энергию от вентилятора. Сужение потока в конфузорном коллекторе l позволяет получить в рабочей части 5 трубы, где устанавливаются модели исследуемых тел, более высокую скорость и большую равномерность потока, чем в остальных участках. Пройдя рабочую часть трубы, воздух возвращается к конфузору по обратному каналу 4. Направляющие лопатки 3 устанавливаются в поворотных коленах 2, чтобы уменьшить завихрения. Скорость потока определяется с помощью трубки Пито (§ 5). Аэродинамические силы при продувке определяются с помощью аэродинамических весов, распределение давления по поверхности тел - с помощью пьезометров или микроманометров, присоединяемых к дренажным отверстиям. Современные большие аэродинамические трубы представляют собой весьма внушительные по размерам и энергоемкости сооружения.

В газодинамических трубах, применяемых для исследования обтекания при числах Маха больше единицы, сверхзвуковой поток получают с помощью со зла Лаваля. В этих опытах широко применяются оптические методы исследования, позволяющие сделать видимой систему скачков и волн разрежения у тела.

В таких задачах, как, например, исследование особенностей потоков в рабочем пространстве металлургических или технологических печей, течения в гидроузлах, искомым является не силовое взаимодействие потока с телом, а его скоростное поле величины и градиенты скорости, расположение вихревых и застойных зон и т. д. Подобные случаи исследуются преимущественно на гидравлических моделях, позволяющих наиболее просто выявить кинематические особенности течения.

7.3 Подобие потоков при действии различных сил

Гравитационное подобие. Пусть в потоке основной действующей силой является сила тяжести G. Ее можно представить для частицы массы m как

где g - ускорение силы тяжести; l - характерный размер частицы. Согласно закону динамического подобия Ньютона отношение сил тяжести, действующих на сходственные частицы натуры и модели, подчиняется равенству (7.3):

Из последнего выражения следует:

(7.6)

Безразмерное число носит название числа Фруда. Таким образом, если в рассматриваемом потоке определяющей является сила тяжести, то на динамически подобной модели и в натуре; числа Фруда должны быть тождественными. Соблюдение постоянства числа Fr отвечает частичному подобию по действию силы тяжести.

Гравитационное моделирование широко применяется для исследования явлений, связанных с движением несжимаемых жидкостей под действием силы тяжести. В частности, при движении судна на поверхности воды образуются волны, давление которых составляет значительную часть лобового сопротивления. Эксперименты по определению силы сопротивления судна проводятся в специальных бассейнах. Поскольку в лабораторных условиях обычно g = gм, то из уравнения (7.6) следует, что

(7.7)

т. е. при гравитационном подобии масштаб скоростей пропорционален квадратному корню из масштаба длин. Например, если модель судна выполнена в масштабе натуральной величины, то скорость ее протаскивания в бассейне должна составлять скорости натурного судна.

Вязкостное подобие. Пусть в потоке основную роль играют силы вязкого трения Т. Это справедливо для тех случаев, когда относительная роль силы веса мала по сравнению с силами вязкого трения. Силы вязкого трения определяются формулой Ньютона (1.4). Выражая площадь соприкосновения слоев F через квадрат характерного размера частицы l2, а градиент скорости через отношение характерной скорости к характерному размеру , запишем выражение (1.4) в виде:

С использованием закона динамического подобия Ньютона (7.3) получаем

.

Последнее равенство может быть представлено в виде:

Принимая во внимание, что , где н - кинематический коэффициент вязкости, имеем

(7.8)

отношение называется числом Рейнольдеа.

Таким образом, если в рассматриваемом потоке определяющая - сила трения, то модель будет динамически подобна натуре, если вычисленные для них числа Рейнольдса одинаковы. Соблюдение постоянства числа Re отвечает частичному подобию по действию силы вязкого трения.

Вязкостное моделирование применяется главным образом при определении силы сопротивления. В частности, из гидравлики известно влияние числа на гидравлическое сопротивление трубы при ламинарном и турбулентном режимах (в данном случае в качестве характерного размера потока использовался диаметр трубы D). В качестве другого примера на рис. 71 представлена полученная в опытах зависимость коэффициента лобового сопротивления шара от числа (здесь d - диаметр шара).

Как показано в § 3.1, число Рейнольдса выражает в безразмерном виде соотношение между силами инерции и вязкости. Если Re мало, то в потоке преобладают силы вязкого трения. Если Re велико, то главную роль играют силы инерции. Для этих двух случаев законы сопротивления очень сильно отличаются друг от друга, в чем мы уже убедились при рассмотрении потерь напора по длине трубы.

Масштаб скоростей при вязкостном подобии может быть определен из уравнения (7.8):

, (7.9)

т. е. он обратно пропорционален масштабу длин и пропорционален масштабу коэффициентов вязкости. Если опыты (например, в аэродинамической трубе) проводятся с той же средой (воздухом), что и для натурного объекта, то согласно формуле (7.9) уменьшение масштаба модели должно вызывать пропорциональное увеличение скорости продувки модели щм. Если натурные скорости достаточно велики, то соответствующие модельные будут, во-первых, трудно достижимы, а, во-вторых, их осуществление привело бы в область сжимаемых потоков, в которых критерий подобия совсем иной (см. следующий пункт настоящего параграфа). Поэтому при продувках в аэродинамической трубе часто приходится мириться с несоблюдением точного подобия сил трения.

Подобие движения сжимаемых сред. При движении сжимаемых жидкостей (газов) в области малых скоростей их можно рассматривать как несжимаемые. По мере возрастания скорости потока влияние сил упругости все возрастает и при скоростях, близких к скорости звука, становится преобладающим по сравнению с влиянием вязкости и весомости.

Если Е - модуль объемной упругости газа (модуль Юнга), имеющий размерность н/м2 (или кгс/м2), то сила давления вследствие сжимаемости среды ДP на площадку площадью l2 равна

Риc.72

ДР = Еl2.

Как показано в § 4.1, скорость звука в сжимаемой среде выражается через мо дуль упругости и плотность формулой (3.12):

,

откуда Е = a2. Таким образом,

Дp = a2l2.

Согласно закону динамического подобия Ньютона (7.3) отношение сил избыточного давления вследствие упругости среды для модели и натуры равно:

Или (7.10)

где -- число Маха.

Итак, чтобы два сравниваемых потока были подобны по действию сил, возникающих вследствие сжимаемости среды, необходимо, чтобы в опыте и в натурных условиях были одинаковыми числа М.

Число Маха сильно влияет на величину аэродинамических коэффициентов. На рис. 72 дана зависимость коэффициентов лобового сопротивления различных тел - цилиндра с продольной осью, направленной по течению, шара и снарядов разной формы - от числа М. Зависимость величины Сх от числа Маха связана с появлением скачков уплотнения (см. § 5.3).

Подобие колебательных движений в жидкости. На практике часто встречаются периодически повторяющиеся движения в потоке жидкости. Таковы, например, колебания турбинной лопатки или крыла самолета, вращение пропеллера. При движении в жидкости плохо обтекаемых тел (например, поперечно поставленной пластинки или цилиндра) с их поверхности срываются вихри, сохраняющие в потоке шахматный порядок (так называемая дорожка Кармана, рис. 73).

Рис. 73

При экспериментальном исследовании периодически повторяющихся процессов необходимо соблюдать на модели кинематическое подобие с натурным процессом, состоящее в том, что частицы в сходственных точках модели и натуры

проходят пути L в пропорциональные отрезки времени Т. Следовательно, для кинематического подобия колебательного процесса необходимо, чтобы в натуре и на модели были постоянными отношения

(7.11)

Число называется числом Струхаля.

Опыт показывает, в частности, что для широкого диапазона условий срыв вихрей с поверхности цилиндра диаметром D происходит при , т. е. период схода вихрей равен

.

Полное и частичное подобие. Изложенные условия динамического подобия являются основой для правильной постановки модельного эксперимента. Однако в натуре обычно основные силы действуют не порознь, а совместно. Поэтому основные характеристики потока оказываются зависящими не от какого-либо одного критерия подобия - Fr, Re, М или Sh, а от их сочетания. В частности, коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела есть функция нескольких переменных:

Сx = f(Fr, Re, М, Sh)

и к тому же зависит от формы и расположения тела в потоке, степени турбулентности потока и, возможно, других факторов.

Осуществить полное подобие всех действующих сил на модели часто не удается. Например, при обтекании корабля, наряду с сопротивлением волн, обусловленным силой тяжести, важную роль играет и сопоставление вязкого трения. Поэтому на модели нуэно было бы обеспечить как гравитационное, так и вязкостное подобие. Приравнивая для этого случая соответствующие выражения для масштабов скоростей [выражения (7.7) и (7.9)], получим:

.

Таким образом, для одновременного осуществления на модели и в натуре тождественности критериев Фруда и Рейнольдса необходимо ставить опыты в жидкости, вязкость которой удовлетворяет последнему равенству. Для примера, рассмотренного в разделе о гравитационном подобии (протаскивание в бассейне модели судна в масштабе натуральной величины), пришлось бы использовать жидкость с вязкостью, в 64 раза меньшей вязкости воды. Таких жидкостей в природе нет. Поэтому приходится удовлетворяться частичным подобием, воспроизводя на модели лишь сопротивление волн, а сопротивление вязкого трения рассчитывать аналитически с использованием теории пограничного слоя.

Еще более неблагоприятно обстоит дело при необходимости удовлетворить в одном опыте требованию о тождественности трех критериев, например Re, М и Sh. Поэтому в ряде случаев целесообразно стремиться к постановке натурного эксперимента, т. е. к проведению опыта в условиях натурного объекта (турбины, самолета и др.).

8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

8.1 Общие понятия и дифференциальные уравнения пограничного слоя

Понятие пограничного слоя. Как уже отмечалось выше, при движении с большой скоростью в маловязких жидкостях или газах удобообтекаемых тел действие вязкости сосредоточено в тонком пристенном слое - пограничном слое. Поэтому при интегрировании уравнений движения вязкой жидкости нет необходимости распространять их на все пространство, занятое потоком, достаточно применить их лишь к области быстрого изменения скорости.

Опыт показывает, что толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с размерами обтекаемого тела. Так, например, при продольном обтекании пластинки потоком воздуха со скоростью 100 м/сек на расстоянии 1 м от входной кромки скорость на поверхности пластинки равна нулю, а на расстоянии 15 мм от поверхности она практически равна 100 м/сек и не изменяется при дальнейшем удалении. Из-за малых градиентов скорости во внешнем потоке силы вязкости там пренебрежимо малы; движение в этой области подчиняется законам динамики идеальной жидкости.

Исходя из этих соображений, при обтекании тел маловязкой жидкостью и при большой скорости потока щ? пространство, занятое потоком, можно условно разбить на три области, которые мы рассмотрим применительно к обтеканию крыла (рис. 74).

Первую область занимает пограничный слой, в котором скорость течения меняется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока на границе слоя. Для наглядности на рис. 74 масштаб для поперечных размеров выбран более крупным, чем для продольных; в действительности пограничный слой имеет меньшую толщину. Вторая область - аэродинамический след, или спутная струя, - содержит частицы пограничного слоя, унесенные потоком. Третья область - это остальное пространство, занятое потоком, в котором жидкость можно считать идеальной, а движение - происходящим без вращения частиц, т. е. потенциальным.

Уравнения Прандтля. При выводе дифференциальных уравнений пограничного слоя выберем систему координат, как показано на рис. 74: ось x направлена вдоль обтекаемой поверхности, ось y всюду к ней перпендикулярна. Начало координат - в передней критической точке, где раздваивается набегающий поток. В силу малой толщины пограничного слоя д, по сравнению с размерами обтекаемого тела, можно пренебречь кривизной поверхности и рассматривать выбранную систему координат как обычную декартову.

Рис. 74

Будем считать жидкость несжимаемой, а движение - установившимся. Для плоского (двухмерного) потока система уравнений Навье-Стокса (7.1) имеет вид:

;

.

В силу сделанных предположений внутри пограничного слоя значительны градиенты только продольной составляющей скорости щx; поэтому второе из записанных уравнений принимает вид:

.

Из него следует, что давление внешнего потока передается через пограничный слой без изменений. Легко показать также, что в первом уравнении член пренебрежимо мал по сравнению с членом . В итоге первое уравнение и записанное совместно с ним уравнение неразрывности (2.7) образуют систему:

; (8.1)

.

Отметим, что полная производная скорости щх (х, у, t) по времени, стоящая в левой части первого уравнения системы (8.1), по правилу дифференцирования функции нескольких переменных равна

(так как ) Поэтому при установившемся движении () система (8.1) может быть представлена в виде системы уравнений Прандтля (1904):

(8.1a)

Уравнения Прандтля значительно проще, чем исходные уравнения Навье-Стокса (7.1). Вместе с тем, они достаточно хорошо соответствуют действительности, и результаты их интегрирования весьма точно совпадают с данными эксперимента.

Продольное изменение давления (член ) в уравнениях

Прандтля может быть выражено через распределение скоростей во внешнем неискаженном потоке. Действительно, если скорость внешнего потока у данной точки обтекаемого тела равна U, то согласно уравнению Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости

.

Дифференцируя последнее равенство по x, получаем

,

и система (8.1а) приобретает вид:

Распределение скоростей во внешнем потоке, входящее в первое уравнение системы (8. 16), может быть получено в результате решения задачи об обтекании тела потоком идеальной жидкости, например методом ЭГДА. Таким образом осуществляется «стыковка» двух основных теоретических разделов гидроаэромеханики - динамики идеальной и вязкой жидкости.

Граничные условия. Одно из граничных условий решения системы (8.1) требует равенства нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела:

. (8.2)

Второе условие предусматривает отсутствие торможения на внешней границе пограничного слоя. Оно может задаваться двояким образом. Строго говоря, влияние пристенного торможения должно сказываться на любом расстоянии от стенки, поэтому при строгой постановке задачи второе условие задается в виде:

. (8.3)

Решение этой задачи позволяет определить параметры «асимптотического» пограничного слоя, в котором распределение скоростей в пограничном слое асимптотически переходит в распределение скоростей во внешнем потоке. Более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя конечной толщины, под которым понимают слой, где полное изменение скорости происходит на расстоянии конечной толщины пограничного слоя д, от нуля на стенке до щx = U на внешней границе, т. е. второе граничное условие имеет вид:

 (8.3a)

В качестве д можно, например, принимать расстояние от стенки, на котором скорость отличается на 1% от скорости невозмущенного потока. Хотя такое задание граничного условия является менее строгим, тем не менее математически решение оказывается более простым, а результаты почти совпадают с решением более строгой задачи.

Турбулизация пограничного слоя. Опыт показывает, что слоистое, ламинарное течение жидкости в пограничном слое наблюдается лишь на начальном участке обтекаемой поверхности. При достаточно больших размерах обтекаемого тела на некотором расстоянии от передней критической точки наблюдается перестроение ламинарного течения в турбулентное, в котором движение носит неустановившийся пульсационный характер. Критическая точка на поверхности тела, где начинается переход ламинарного течения внутри пограничного слоя в турбулентное, называется точкой перехода. Схема обтекания крыла с двумя видами пограничного слоя на нем представлена на рис. 75. Область 1 соответствует ламинарному пограничному слою, область 2 - турбулентному; точки Тв и Тн соответствуют началу перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный на верхней и нижней поверхностях крыла, в точке S происходит отрыв пограничного слоя. Область 3 - аэродинамический след за телом, область 4 - внешний невозмущенный поток.

Обычно предполагают, что в непосредственной близости от обтекаемой поверхности пульсации скорости сдерживаются этой поверхностью и движение здесь ламинарное. Это - так называемый ламинарный подслой, аналогичный подслою при движении жидкости в трубах в области гидравлически гладкого сопротивления (см. § 3.1). Но толщина этого подслоя настолько мала, что на рис. 75 он не показан. В случае достаточно крупных выступов шероховатости на обтекаемой поверхности ламинарный подслой вообще разрушается.

Рис. 75

Перестроение режима течения в пограничном слое зависит от величины местного числа Рейнольдса

,

где х - расстояние от передней критической точки. В частности, согласно экспериментальным данным при продольном обтекании пластинки точка перехода лежит при значениях xкр, соответствующих в среднем критическому числу Рейнольдса

. (8.4)

Уравнения Прандтля (8.1) выведены в предположении, что трение в пограничном слое происходит только за счет вязкости. Это предположение справедливо для ламинарного пограничного слоя. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями происходит за счет взаимного проникновения вихревых частиц, размеры которых намного превышают размеры молекул. Поэтому обмен количеством движения резко возрастает и соответственно увеличивается сила трения. Механизм трения в турбулентном пограничном слое, как и в случае гидравлического сопротивления труб, зависит от величины числа Рейнольдса и шероховатости поверхности (см. рис. 16, § 3.1).

Дифференциальные уравнения Прандтля для решения задач турбулентного пограничного слоя применять невозможно. Для этого используется метод интегральных соотношений, предложенный Карманом; он более прост, чем интегрирование дифференциальных уравнений Прандтля, и поэтому применяется также и в задачах ламинарного пограничного слоя.

Способ Кармана не позволяет определить поле скоростей в пограничном слое, однако он дает возможность вычислить толщину пограничного слоя и распределение сил трения по поверхности обтекаемого тела с достаточной для практики точностью, и гораздо проще, чем пои интегрировании дифференциальных уравнений.

8.2 Интегральные соотношения и расчет пограничного слоя

Соотношение Кармана. Рассмотрим двухмерное установившееся движение жидкости в пограничном слое. Выберем два сечения пограничного слоя, проведенные нормально к обтекаемой поверхности на расстоянии Дх (рис. 76). Применим теорему об изменении количества движения к объему жидкости, ограниченному контуром ABCD и имеющему единичную толщину. Уравнение импульсов (2.21) имеет вид:

(8.5)

или в проекции на ось x:

 (8.5a)

где f - результирующая всех сил, приложенных к объему. Жидкость втекает в выделенный неподвижный объем через левую и верхнюю грани и вытекает через правую, в результате чего устанавливается некоторый баланс в обмене количеством движения.

Вычислим количество движения, поступающее в выделенный объем через грань АВ. Через элементарную полоску этой грани с основанием dy и высотой, равной единице, протекает за время Дt масса жидкости, равная щxdyДt, через всю грань АВ поступает масса . Элементарная массащxdyДt несет количество движения, проекция которого на ось x равна , Интегрируя это выражение по у от у = 0 до у = д, получаем:

.

Приращение количества движения от грани AB до грани CD составит

.

Вычислим далее количество движения, поступающее в выбранный объем через верхнюю грань BC. Пусть скорость потока на верхней границе слоя равна U. Масса Дm жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне,



Рис.76

равна разности масс: поступившей внутрь объема ABCD через грань AB и вытекшей через грань CD, т. е.

.

Количество движения, поступающего через грань BC, равно

,

и левая часть уравнения (8.5a) принимает вид:

Рассмотрим теперь силы, действующие на выделенный объем. Внешние объемные силы (например, силы тяжести) в пограничном слое намного слабее силы трения, поэтому будем ими пренебрегать. Чтобы определить проекцию действующих сил на ось x, нужно учесть: силу давления на грань AB, равную рд; силу давления грань СО, равную (р + Др) (д + Дд), где Др - приращение давления от грани AB до грани CD, а Дд - приращение толщены пограничного слоя от грани AB до грани CD; силу давления на грань BC, равную рДд; и силу трения, равную - фДx, где ф - сила трения на единицу площади обтекаемой поверхности. Суммирую эти силы, получим