Методика проведения курса по выбору "Математические рассуждения и их строение" для учащихся 9 класса

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Актуальность исследования. В наше время идет активный процесс модернизации образования, основными направлениями которого являются гуманизация и демократизация образования. Одной из задач этого процесса является дифференциация обучения, направленная на раскрытие способностей каждого ученика, воспитание личности, готовой к жизни в высокотехнологическом, конкурентном мире. На данный момент существует четыре профиля обучения в старшей школе: гуманитарный, социально-экономический, технологический и естественноматематический. Для успешного освоения этих профилей, обеспечения более раннего профессионального и личностного самоопределения обучающихся должно быть реализовано качественное предпрофильное обучение, в связи с чем возникает необходимость разработки разнообразных курсов по выбору в условиях предпрофильной подготовки.

В федеральных государственных образовательных стандартах основного и среднего общего образования указано, чем должны овладеть школьники в процессе изучения математики и информатики как в основной, так и в старшей школе.

В настоящее время в федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования указано, что в результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях, овладевают математическими рассуждениями [39]. Согласно этому документу, предметные результаты изучения предметной области «Математика и информатика» должны отражать [там же, с. 12]: 1) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию);

2) точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики; 3) проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений [39], [40].

Кроме того, указано, что «требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать [39]:

1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач».

Изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить сформированность основ логического, алгоритмического и математического мышления [39].

Еще одним документом, регламентирующим результаты обучения математике, является Фундаментальное ядро содержания общего образования, в котором указано, что «учебный предмет «Математика» обладает исключительным воспитательным потенциалом: воспитывает интеллектуальную корректность, критичность мышления, способность различать обоснованные и необоснованные суждения, приучает к продолжительной умственной деятельности» [72, с. 36].

Актуальность данной работы определяется следующим:

1. Умение рассуждать правильно нужно учащимся при изучении любых школьных предметов. Однако это умение не сформировано у них на должном уровне. Формированию этого умения не уделяется достаточного внимания даже при обучении математике. Данный курс по выбору будет способствовать формированию этого умения.

2. Кроме того, по окончании школы выпускники старших классов будут сдавать ЕГЭ, содержащее задание (№ 18) на распознавание правильности рассуждений (точнее, на выяснение, какое из нескольких предложений следует из заданного условия). Поэтому данный курс по выбору будет полезен учащимся при подготовке к итоговому экзамену.

3. Для того чтобы повысить уровень логической грамотности и подготовить учащихся к выполнению логических заданий на ЕГЭ по математике (базовый уровень), необходимы учебно-методические материалы для учащихся и учителей. Однако материалов, направленных на формирование умения правильно рассуждать, разработано недостаточно.

Проблемам формирования у обучаемых умения правильно рассуждать уделяли внимание многие математики-педагоги такие, как В.Г. Болтянский, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, Д. Пойа, А.В. Успенский, А.Я. Хинчин и др.; а также специалисты в области методики преподавания математики: В.А. Далингер, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др.

Проблемам обучения школьников правильно рассуждать и доказывать посвящены диссертации А.Н. Капиносова, Т.С. Маликова, Е.В. Лукьяновой и др.

А.А. Столяр занимался проблемами обучения математическим рассуждениям и доказательствам. В книге [67] автор рассматривает индукцию и дедукцию в рассуждениях, правила вывода, по которым строятся доказательные рассуждения, говорит о роли таких рассуждений при обучении математике. Также автор отмечает важность изучения дедуктивной системы геометрии, которая должна более интенсивно влиять на развитие логики мышления учащихся и выработку у них специфического для математики стиля мышления [там же, с. 44].

И.Л. Никольская в своих работах [33; 34] выделяет логические знания и умения, которыми, по ее мнению, должны овладеть выпускники средней школы. Одним из этих умений является умение правильно рассуждать, т. е. рассуждать в соответствии с законами логики.

Г.И. Саранцев отмечает, что «воспитание критического стиля мышления, толерантности, нравственности базируется на обучении рассуждениям, аргументации утверждений, их доказательству или опровержению» [55, с. 33]. Он приводит рекомендации для ознакомления школьников с дедуктивными рассуждениями, приводит примеры задач на выведение следствий, описывает приемы и методы работы с доказательствами.

В книге И.Л. Тимофеевой и др. [69] отмечается, что снижается уровень логической подготовки выпускников школ, поскольку «логическая составляющая математического языка явно недооценена в преподавании математики в школе и вузе» [69]. В пособие [69] среди других тем логического характера включены такие темы, как математические предложения и их строение; математические рассуждения и их строение. Теоретический и практический материал этих разделов способен создать целостную систему знаний о правильных рассуждениях.

Несмотря на то, что проблемы обучения учащихся правильно рассуждать и доказывать в школе и вузе никогда не оставались без внимания, в настоящее время не хватает методических разработок, помогающих в решении этих проблем.

Проблема работы состоит в разработке такого курса по выбору, который направлен на формирование умения обучающихся правильно рассуждать, распознавать правильные и неправильные рассуждения при обучении математике в 9 классе.

Объектом работы является процесс обучения учащихся основной школы правильно рассуждать при изучении математики.

Предметом работы является процесс обучения учащихся 9 класса правильно рассуждать в курсе по выбору «Математические рассуждения и их строение».

Целью работы является разработка курса по выбору «Математические рассуждения и их строение», ориентированного на решение задач на распознавание правильных и неправильных рассуждений, способствующих развитию логического мышления учащихся и имеющих практическое применение в учебной деятельности и в жизни.

Реализация поставленной цели потребовала решения задач исследования:

1. Выявить психолого-педагогические и методические основы проведения математических курсов по выбору в условиях предпрофильной подготовки в 9 классе посредством анализа нормативных документов, исторической, психолого-педагогической, методологической, методической, научно-исследовательской, математической и учебной литературы по теме исследования, а также существующих курсов по выбору аналогичной тематики.

2. Разработать содержание курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»: программу (пояснительную записку, содержание основных разделов, требования к результатам освоения курса), тематическое планирование.

3. Разработать методические материалы для курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»: конспекты некоторых занятий, набор задач, контрольную работу, стартовую работу, методические рекомендации.

4. Провести опытно-экспериментальную проверку доступности разработанных материалов и результативности разработанной методики.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования: анализ нормативных документов, психолого-педагогической, научноисследовательской, методической и учебной литературы по теме исследования; анкетирование, тестирование учащихся.

Гипотеза исследования: разработанная методика проведение курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» будет способствовать формированию навыков рассуждать правильно, развитию логического мышления, пониманию роли доказательных рассуждений в математике.

Практическая значимость данной работы обусловлена тем, что в ней разработаны методические материалы, которые могут быть использованы для проведения курсов по выбору для 9 класса близкой тематики:

1) учебные материалы для проведения курса «Математические рассуждения и их строение»: стартовая работа, конспекты некоторых занятий, контрольная работа;

2) задачи для указанного курса по выбору, в том числе: устные; базовые; стандартные; повышенной трудности.

1. Исторические и психолого-педагогические основы постановки математических курсов по выбору

В данной главе рассмотрены исторические аспекты возникновения и развития курсов по выбору, проведен комплексный анализ постановки курсов по выбору, проанализированы основные нормативно-правовые документы, регламентирующие цели и задачи курсов по выбору в условиях предпрофильного обучения. Рассмотрены типы курсов по выбору. Выявлены основные возрастные особенности девятиклассников, позволяющие подобрать наиболее эффективные методы и формы организации учебного процесса. Выявлены и проанализированы психолого-педагогические основы постановки математических курсов по выбору.

1.1 История возникновения и развития школьных факультативов и курсов по выбору

Исторический обзор возникновения и развития школьных факультативов и курсов по выбору проведен на основании исторической справки работы И.М. Смирновой [59].

Школьные факультативы и курсы по выбору - одна из форм дифференцированного обучения.

На современном этапе образования выделяют уровневую и профильную дифференциацию обучения. «Первая выражается в том, что, обучаясь в одном классе, школьники усваивают материал на различных уровнях. Профильная дифференциация - это фактически дифференциация по содержанию учебного материала» [62, с. 50]. Например, В.А. Гусев дает такое определение дифференцированного обучения: «Дифференцированное обучение есть учебно-воспитательный процесс, протекающий с учетом доминирующих особенностей групп учащихся. При этом индивидуализированное обучение рассматривается как один из видов дифференцированного обучения, его наиболее полное воплощение» [12, с. 4].

Дифференцированное обучение преобладает в современном отечественном образовании. В 1988 году была принята концепция общего среднего образования, в которой особое внимание уделялось дифференциации в обучении [26].

История возникновения и развития школьных факультативов и курсов по выбору началась в 1966 г. с постановления «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» [47].

В этом положении форма обучения, которая должна была помочь решить некоторые проблемы образования того времени, была названа факультативными занятиями. Факультативы, являясь формой дифференцированного обучения, не только не противоречили прежним формам обучения, таким как классы с углубленным изучением некоторых предметов и специализированные школы, но и дополняли их. Отличительной особенностью факультативов явилась возможность их создания и изменения с учетом интересов учащихся.

Первый этап внедрения факультативов по математике в школьное обучение был связан с переходом средней школы на новую программу по математике. Он длился с 1966 г. по 1980 г. На этом этапе были разработаны первые курсы, которые назывались «Дополнительные главы и вопросы математики» для 7-11 классов (ныне 8-11 классы) и «Специальные курсы» для 9-10 классов (ныне 10-11 классы). Программы этих курсов приведены в журнале «Математика в школе» [52; 64; 49].

В это время факультативные курсы способствовали реформе математического образования. После успешного обучения на факультативных курсах, например, по таким темам как «Метод координат», «Производная», «Геометрические преобразования», эти темы были включены в основной курс математики.

К 1980 г. была введена новая программа по математике для средней школы. Начался второй этап в истории развития факультативных курсов, который длился с 1980 г. по 1988 г. К началу второго этапа факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы по математике» был заменен новым курсом. Этот курс включил три раздела [59, с. 70]:

1. Избранные вопросы математики (8-11 классы).

2. Математика в приложениях (10-11 классы).

3. Алгоритмы и программирование (9-11 классы). Третий раздел заменил специальные курсы.

В это время некоторые издательства выпускали и публиковали в помощь учителю всевозможные материалы: программы, тематические планирования, методические пособия.

Третий этап внедрения факультативных занятий начался с принятия Концепции общего среднего образования в 1988г. [26]. В этой концепции акцент ставился на дифференциацию обучения. Главным направлением новой реформы образования стало развитие всех форм дифференцированного обучения, в частности, факультативной формы. Также развитие получили такие формы, как дополнительные занятия (уроки творческого развития), внеурочная работа (олимпиады, турниры, конкурсы, кружки, математические недели и др.).

В 1990 г. была опубликована новая программа факультативных курсов [50]. В этой программе отмечается, что факультативные курсы направлены на углубление знаний учащихся, которые они получают на уроках при изучении основных предметов, а также на обучение решать различные задачи повышенной трудности.

В 1990 г. появились следующие факультативные курсы [59, с.71]:

1. За страницами учебников математики (7-9 классы).

2. Математическая мозаика (7-9 классы).

3. Подготовительный факультатив (10-11 классы).

На этом этапе также было опубликовано и издано множество специальной литературы, связанной с факультативными курсами. Например, для проведения первого факультативного курса была выпущена книга «Факультативный курс по математике …», составленная И.Л. Никольской [33]. Отметим, что в этом учебном пособии широко представлен материал логического характера. В нем рассмотрены вопросы, связанные с высказываниями и высказывательными формами, с логическими операциями над предложениями, с кванторами, с отношением логического следования и правильными рассуждениями, также рассмотрен вопрос об использовании логики при решении практических задач (переключательные схемы).

Четвертый этап начался в 2002 г. с принятия Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования [27]. В соответствии с этой концепцией, на замену факультативным курсам пришли курсы по выбору для 9 классов в условиях предпрофильной подготовки и элективные курсы для 10-11 классов.

В настоящее время идет пятый этап истории развития курсов по выбору. Его началу послужило принятие в 2011 г. Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) основного общего образования [39], а в 2012 г. - ФГОС среднего (полного) общего образования [40].

На этом этапе произошло переименование «элективных курсов» в «курсы по выбору».

Рассмотрев основные этапы истории развития факультативов и курсов по выбору, отразим в таблице различия между факультативными курсами и курсами по выбору на разных этапах их развития.

Таблица 1

Форма обучения	Факультативные курсы (1966-2002)	Курсы по выбору (2002-н/в)
Посещаемость учащимися	Необязательно	Строго/обязательно
Предлагает курс	Учитель	Учащиеся
Типы курсов	Только предметные	Разных типов
С какого класса вводится	С 7 класса	С 9 класса
Специальная экспертиза	Не нужна	Нужна

1.2 Комплексный подход к постановке курсов по выбору в условиях предпрофильного обучения

В рамках описания комплексного подхода к постановке курсов по выбору, опишем условия реализации предпрофильного обучения.

Основными нормативно-правовыми документами данного образовательного процесса являются:

- Федеральный Закон "Об образовании в Российской Федерации" (принят Государственной Думой 21 декабря 2012 г., одобрен Советом Федерации 26 декабря 2012 г.) № 273-ФЗ от 29.12.2012;

- Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 г. № 1897 (в редакции приказов от 19.12.2014 г. №1644));

- Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования (приложение к приказу Минобразования РФ от 18.07.2002 г. № 2783);

- Рекомендации по организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы от 20.08.2003 № 03-51-157 ин/13-03.

Нормативно-правовой основой предпрофильного обучения школьников 9 классов на данный момент является «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования» [27], дополняемая рекомендациями «Об организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы в рамках эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях» [37].

В указанных документах предпрофильная подготовка определяется как система педагогической, психологической, информационной и организационной поддержки учащихся, которая призвана содействовать их профильному самоопределению после получения основного общего образования.

Основная цель предпрофильной подготовки - создание образовательного пространства для осознанного выбора учащимися собственной образовательной траектории. Она достигается с помощью решения следующих задач [43, c. 29-33]:

- выявление интересов, склонностей и способностей учащихся;

- формирование практического опыта в различных сферах познавательной и профессиональной деятельности, ориентированного на выбор профиля обучения в старшей школе;

- развитие широкого спектра познавательных и профессиональных интересов, ключевых компетенций, обеспечивающих успешность в будущей профессиональной деятельности;

- формирование способности принимать адекватное решение о выборе дальнейшего направления образования, способа получения профессии и т.д.

Цель курсов в предпрофильный период - оказание учащимся психолого-педагогической поддержки в проектировании продолжения профильного обучения в школе старшей ступени, учреждениях начального и среднего профессионального образования [46].

Некоторые задачи курсов по выбору в условиях предпрофильного обучения [70, c. 56]:

- дать учащемуся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету;

- уточнить готовность и способность учащегося осваивать выбранный предмет на повышенном уровне.

В положениях отдельных школ отмечается, что курсы по выбору можно назвать прогностическими относительно профильных курсов повышенного уровня. Использование таких курсов в учебном плане увеличивает вероятность того, что выпускник основной школы сможет осуществить осознанный и успешный выбор профиля.

Основной комплексного подхода к постановке курсов по выбору по математике в условиях предпрофильной подготовки является сущность и структура математической деятельности.

На данный момент используются разные методы определения специфики математических знаний и определения схемы (структуры) математической деятельности (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, Д. Пойа, А.А. Столяр и др.). Они отличаются друг от друга не только названиями, но и количеством стадий этой деятельности [53, c. 27]. Например, основные стадии математической деятельности по А.А. Столяру можно представить так [66, c. 21]:

4. Накопление фактов при помощи наблюдения, опыта, индукции.

5. Выделение из накопленного материала предыдущей стадии первоначальных понятий и системы аксиом и дедуктивное построение теории, основанное на этих первоначальных понятиях и аксиомах.

6. Проверка теорем этой теории на конкретных моделях, приложения теории.

«Таким образом, математическую деятельность можно представить, как мыслительную деятельность, протекающую по следующей схеме: 1) математическая организация эмпирического материала; 2) логическая организация математического материала (накопленного в результате первой стадии деятельности); 3) применение математической теории (построенной в результате второй стадии деятельности)» [там же, c. 21].

Описанные стадии-компоненты могут быть дополнительно расширены особенностями математической деятельности - интуицией и догадкой (по А. Пуанкаре) и специфическими характеристиками математической деятельности, такими как правдоподобные рассуждения, сопровождаемые аргументами или доказательствами (Д. Пойа), взаимосвязь логики и интуиции (А.Д. Александров, П.С. Александров, Я.С. Дубнов, Л.Д. Кудрявцев, А.А. Ляпунов и др.) [53, с. 28].

Таким образом, овладение математической деятельностью должно стать методологической основой постановки математических курсов по выбору в рамках предпрофильного обучения.

В документах «Об организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы в рамках эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях на 2003/2004 учебный год» [37] и «О методических рекомендациях по реализации элективных курсов» [41] отмечаются два основных типа курсов по выбору: предметно-ориентированные (пробные) и межпредметные (ориентационные). В своей статье И.М. Зенцова отмечает, что в направлении, предлагаемом представленными документами, «проводятся исследования, которые направлены на увеличение числа оснований для классификации и количества курсов по выбору в рамках той или иной классификации» [20, с. 70]. Существует достаточное большое количество классификаций курсов по выбору. Рассмотрим некоторые из них.

Согласно классификации, приведенной в книге И.М. Смирновой [59, с. 73], курсы по выбору делятся на:

Предметные.

Ориентационные.

Информационные.

Предметные курсы расширяют знания учащихся по тому или иному предмету. Ориентационные курсы способствуют самоопределению школьников. Информационные курсы направлены на организацию знакомства учащихся с местными образовательными учреждениями [59, с. 73].

По сути, та же классификация рассмотрена в книге Г.А. Ворониной [6, с.13]:

1. Предметные курсы, которые направлены на расширение знаний у учащихся по конкретной учебной дисциплине.

2. Ориентировочные курсы, которые способствуют выбору дальнейшего обучения.

3. Курсы, знакомящие учащихся с многообразием возможностей продолжения образования («информационная работа»).

Если рассматривать курсы по выбору для старшеклассников, то выделяют следующие их типы [59, с. 73]:

· Предметные (расширяют и углубляют знания учащихся по тому или иному предмету).

· Межпредметные («должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность изучать смежные с математикой учебные предметы на профильном уровне» [10, с. 48]).

· Подготовительные (направлены на подготовку к ЕГЭ).

· Ориентационные (направлены на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда).

· «Внепредметные» или «надпредметные» (темы которых напрямую не связаны с основными школьными курсами, однако удовлетворяют интересам старшеклассников, выходящим за рамки выбранного ими профиля) [59, с. 73].

Согласно федеральному базисному учебному плану [38] минимальный объем предпрофильной подготовки учащихся составляет порядка 100 учебных часов в год.

Рекомендуется 2/3 объема (примерно 64 учебных часа в год) распределить на предметные и ориентационные курсы, а оставшуюся часть (1/3 объема: 1 час в неделю) предлагается отводить на информационную работу.

В письме департамента государственной политики в образовании [41] говорится, что объем курса по выбору варьируется от 12-20 до 68-70 часов. А оптимальным считается 34-68 часов. В положениях различных школ [45; 46] говорится о краткосрочных курсах по выбору, отмечается, что их объем равен примерно 8-17 часов при максимуме 34 часа (2 часа в неделю).

Если рассматривать содержание курсов, то можно отметить следующее: программы предметно-ориентированных курсов по выбору включают углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ, а также их расширение, т.е. изучение некоторых тем, выходящих за их рамки.

Анализируя сказанное, можем сделать вывод, что разработанный нами курс по выбору «Математические рассуждения и их строение» направлен на формирование надпредметных знаний и умений и относится к предметно-ориентированным курсам, поэтому может проводится в 9 классах. Объем курса равен 17 часам.

Психологические основы проведения математических курсов по выбору с учащимися в условиях предпрофильной подготовки

В основу образовательных стандартов общего образования второго поколения (2010 год) разработчиками положен системно-деятельностный подход, базирующийся на теоретических положениях Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, Д.Б. Эльконина, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, А.Г. Асмолова и др.

«Базовым положением служит тезис о том, что развитие личности в системе образования обеспечивается прежде всего формированием универсальных учебных действий (УУД), выступающих в качестве основы образовательного и воспитательного процесса. Концепция универсальных учебных действий также учитывает опыт компетентностного подхода, в частности его правомерный акцент на достижение учащимися способности эффективно использовать на практике полученные знания и навыки» [72, с. 11].

В современных условиях, по мнению авторов данной концепции, этот подход наиболее полно описывает структуру учебной деятельности учащихся, адекватную современным приоритетам российского образования в условиях модернизации, а также основные психологические условия и механизмы процесса усвоения. Данный подход базируется на обеспечении соответствия учебной деятельности обучающихся их возрасту и индивидуальным особенностям.

В рамках описания психологических основ проведения математических курсов по выбору с учащимися в условиях предпрофильной подготовки изложим основные возрастные особенности обучающихся.

Возрастная периодизация, описанная в работах Л.С. Выготского и А.Н. Леонтьева, основывается на двух факторах [63, с. 144]: социальная ситуация развития и ведущая деятельность.

Рассмотрим социальную ситуацию развития, опираясь на книгу [5], а затем обозначим ведущую деятельность школьников рассматриваемого возрастного этапа.

В возрастной психологии (по мнению ряда психологов, таких как Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, А.В. Петровский, Д.Б. Эльконин и др.) к периоду среднего школьного возраста относят возраст с 11-12 до 14-15 лет.

Сложность и важность происходящих в этот период процессов развития связывают с переходом от детства к взрослости. Во время этого перехода появляются элементы взрослости в результате перестройки организма, самосознания, типа отношений со взрослыми и товарищами, способов социального взаимодействия с ними, интересов, познавательной и учебной деятельности [5, с. 98].

Одним из факторов развития личности подростка является его специфическая социальная активность, направленная на усвоение определенных норм, ценностей, образцов и на построение удовлетворяющих отношений со взрослыми, товарищами и на самого себя (проектирование своей личности и своего будущего с попытками реализовать намерения, цели и задачи). Важно, что в подростковом периоде закладываются основы и намечается общее направление в формировании моральных и социальных установок личности [там же, с. 99].

На развитие подростка влияет также биологический фактор, так как именно в этом возрасте происходят кардинальные изменения в организме ребенка на пути к биологической зрелости, разворачивается процесс полового созревания [там же, с. 100].

Центральным и специфическим новообразованием в личности подростка является «чувство взрослости», которое проявляется в стремлении быть и считаться взрослым. Своеобразие этой особенности заключается в том, что подросток отвергает свою принадлежность к детям, однако он еще не ощущает полноценной взрослости, хотя есть потребность в признании его взрослости окружающими [там же, с. 106].

Если рассматривать период среднего школьного возраста в контексте взаимоотношений подростка и взрослых, то можно сказать, что «важность и особое место подросткового периода определяются тем, что именно в этом периоде происходит переход от характерного для детства типа отношений взрослого и ребенка к качественно новому, специфическому для общения взрослых людей ... Новые нормы, опосредующие поведение подростка, его самооценку и оценку отношения взрослых к нему, являются основой формирующегося этического мировоззрения» [там же, с. 108].

Важно отметить, что конфликты подростков и взрослых (педагогов) могут быть по причине того, что взрослый относится к подростку по-прежнему как к ребенку. И чтобы избежать таких трудностей в общении, отношения между подростком и взрослым можно строить подобно отношениям между взрослыми: или как дружеские, или по типу «сотрудничества с характерными для них нормами взаимного уважения, помощи и доверия» [там же, с. 110].

Важным направлением в развитии взрослости считается развитие у подростка содержательных интересов и становление планов на будущее. Размышления о будущем осуществляются подростком с учетом собственных возможностей и обстоятельств жизни [там же, с. 136]. Кроме того, именно в подростковом возрасте происходит становление доминирующей направленности познавательных интересов и поэтому важно давать учащимся такие задания, которые будут способствовать мыслительной деятельности учащихся, что и разовьет их познавательные мотивы деятельности и интерес.

Если говорить об интеллектуальном развитии, то с 11-12 лет у подростков начинает развиваться теоретическое, формальное, рефлексивное мышление. У подростка появляется способность рассуждать на основе общих посылок (гипотетико-дедуктивно). На этом уровне всякое рассуждение происходит в вербальной форме [там же, с. 133].

А.В. Петровский отмечает, что «именно в подростковом возрасте развивается умение длительное время удерживать внимание на отвлеченном, логически организованном материале, но это умение развивается постепенно и не в одинаковой мере у всех подростков» [там же, с. 134]. Это умение очень важно для нашего разрабатываемого курса, так как от учащихся будет требоваться значительная интеллектуальная активность во время первоначального усвоения материала.

Специальной задачей учителя должно стать развитие у подростка умения логически обрабатывать материал. От этого умения зависит и успеваемость, и глубина, и прочность знаний, а также возможность дальнейшего развития интеллекта и способностей подростка [там же, с. 136].

Что касается ведущей деятельности подростков, то И.А. Зимняя выделяет в качестве такой деятельности общественно полезную деятельность в разнообразных формах, включая также интимно-личностное общение со сверстниками, и очень важное общение с представителями другого пола. «При этом учебная деятельность становится как бы осуществляемой активностью - она «обеспечивает» индивидуализацию подростка» [21, с. 203]. Д.Б. Эльконин ведущей деятельностью в подростковом периоде выделяет интимно-личностное общение [73, с.18]. В работе В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, А.К. Марковой [14, с. 185] в качестве ведущей деятельности указывается «общение на основе различных видов общественнополезной деятельности». Л.М. Фридман и его соавторы в работе [71, с. 77] придерживаются того взгляда, что для всех возрастных этапов обучающихся характерна учебная деятельность, которая в каждом отдельном периоде принимает особую форму. В подростковом возрасте учебная деятельность принимает форму общения по содержанию коллективной деятельности.

Итак, в подростковом возрасте ведущую роль играет общение со сверстниками в контексте собственной учебной деятельности подростка. Основными видами деятельности являются учебная, общественно-организационная, спортивная, художественная, трудовая. Благодаря этой деятельности у подростка возникает осознанное стремление быть значимым для общества и участвовать в общественно необходимой работе. Свое общение в коллективе подросток учится строить с учетом принятых в них норм, рефлексии собственного поведения, умения оценивать возможности своего «Я» [21, с. 201].

«Одним из основополагающих принципов современного обучения является его ориентация на всестороннее формирование личности каждого обучаемого, реализацию всех его задатков, склонностей, способностей, интересов и т.п. В основе такого обучения должны лежать индивидуально психологические особенности учащихся. Обучение ориентируется и учитывает эти особенности» [63, с. 118].

Способности могут быть выявлены только на основе анализа особенностей деятельности, а успешность деятельности зависит от комплекса способностей [там же, с. 123-124]. Таким образом, успешность математической деятельности учащихся среднего возраста зависит от их математических способностей, которые как раз и обнаруживаются в среднем школьном возрасте (приблизительно к 14-15 годам), однако могут проявится немного раньше, но могут и позже [там же, с. 126].

Индивидуальные особенности учения рассмотрены Г. Клаусом, который выделяет две основополагающие особенности [там же, с. 131, 132]:

1) межиндивидуальные, т. е. различия между людьми (один школьник все усваивает быстро, сразу, а другой тратит на тоже самое гораздо больше времени; один ученик запоминает все, что слышит и читает, другой должен приложить больше усилий, повторив материал несколько раз);

2) внутрииндивидуальные особенности, т. е. различия в учебной деятельности одного и того же человека (например, школьник одни предметы изучает с удовольствием, а другие - с неохотой).

Изучение индивидуальных особенностей учения позволит выявить и учитывать интересы школьников. Поэтому учителю важно подбирать такие средства и методы обучения, которые позволят овладеть материалом школьникам с различными индивидуальными особенностями.

В рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 классов осуществляют первоначальный выбор профиля дальнейшего обучения и, в определенной степени, связанный с ним выбор направления их будущей профессиональной деятельности.

Помощь в осуществлении этого выбора и в формировании интересов к конкретному варианту могут оказать всевозможные курсы по выбору. Множественность курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки является необходимым условием эффективности профильного обучения и поэтому должна быть тесно с ним взаимосвязана по содержанию, методам и формам организации образовательного процесса [22, с. 2]. Поэтому в процессе организации условий предпрофильной подготовки важно учитывать следующее [22, с. 2]:

1. Одной из проблем профильного обучения можно считать преемственность образования на разных его этапах в старших классах, а также целостность и универсальность системы знаний, приобретаемых учащимися. Следовательно, необходимо специально отбирать и структурировать содержание курсов по выбору в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами [39; 40]. Это будет способствовать обеспечению целостности и универсальности системы знаний учащихся. Кроме того, следует раскрыть прикладную направленность курса.

2. Методы и формы организации обучения в рамках предпрофильной подготовки должны быть ориентированы на углубление, расширение и систематизацию знаний ученика по тому или иному предмету, а также они должны создавать условия для осознания учащимися своих индивидуальных особенностей и склонностей, самостоятельного выбора ими познавательной траектории и предоставлять возможность для ее реализации.

Рассмотрим критерии отбора содержания учебного материала для предметных курсов по выбору (на примере математических курсов), которые представлены в статье И.М. Смирновой [60, с. 7].

И.М. Смирновой перечисляет и раскрывает следующие критерии [60]:

1. Критерий целостности содержания. В рамках проведения курсов по выбору термин целостность можно использовать «в смысле внутренней взаимосвязи содержания, концентрации его вокруг нескольких основных понятий, законов, методов» [там же, с. 8]. Учет данного критерия при организации курса позволяет учащимся в процессе обучения сосредоточить свои усилия в одном направлении, кроме того, повышается доступность учебного материала, также это способствует повышению эффективности и качества обучения.

2. Критерий преемственности содержания основного курса и курса по выбору. Данный критерий акцентирует внимание на том, что эффективность курса по выбору, связанная с экономией времени, возрастает, если его содержание непосредственно связано с основным курсом, базируется на знакомых учащимся понятиях, т. е. способствует углублению и расширению содержания основного курса. Кроме того, такое углубленное изучение конкретных тем основного курса способствует обобщению и систематизации обязательных знаний учащихся.

3. Критерий научной и практической значимости. При построении курса по выбору для решения вопроса о научной и практической значимости в его содержании желательно включать следующие вопросы: история возникновения и постановки той или иной проблемы; поиски решения, трудности на пути решения исследуемой проблемы; сведения об ученых, занимавшихся решением проблемы; значимость решения проблемы для развития науки; применение полученного результата к решению прикладных народнохозяйственных задач. Одним из путей реализации данного критерия является раскрытие межпредметных связей материала курса, а также демонстрация прикладных аспектов курса математики.

4. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения. Для того чтобы данный критерий при разработке курса по выбору был соблюден, необходимо включать в содержание курса элементы истории, занимательности, красоты математики и современности.

5. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся.

«Этот критерий предполагает не только доступность изучаемого материала, соответствие уровня трудности изучаемого материала уровню развития школьников, но и включение в содержание такого материала, который в силу возрастных особенностей развития школьников вызывает у них интерес, стимулирует их творческую деятельность» [там же, с. 10].

6. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников. Одной из важных индивидуальных особенностей учащихся, которую обязательно надо учитывать при отборе содержания курса, является неоднородность интересов учащихся к математике. Поэтому учителю необходимо выбирать различные компоненты учебного материала, способные обеспечить учет индивидуальных особенностей учащихся.

7. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению. Этот критерий заключается в том, что содержание курса по выбору должно охватываться учебными пособиями, научно-популярной литературой, наглядными пособиями и техническими средствами обучения в таком объеме, которого будет достаточно для успешного решения поставленных задач обучения.

8. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени. «Этот критерий предполагает планирование содержания курса по выбору по занятиям, соответствие объема учебного материала каждого занятия времени, отведенному на него, а также соответствие всего объема содержания курса времени, отведенному на его изучение» [там же, с. 12].

Перейдем теперь к основным дидактическим принципам отбора содержания обучения математике, которые необходимо учитывать при построении математических курсов. Существует ряд таких принципов, которые признаются большинством ученых и считаются классическими. Наиболее полно такие дидактические принципы были рассмотрены В.А. Оганесяном [35, с.128].

При разработке каждого курса по выбору следует учитывать основные дидактические принципы, такие как научность, доступность, систематичность и последовательность. Также Т.А. Зубкова отмечает такие принципы, как структурность, логическая завершенность и вариативность курса.

Коротко рассмотрим эти принципы.

1. Структурность является определяющим принципом построения любого математического курса. Данный принцип предполагает четкое выделение тем курса и обзор всего многообразия их связей, что способствует определению наиболее эффективной структуры разрабатываемого курса и построению логически правильной последовательности его изучения. Изложение содержания обучения в виде структуры может помочь учащемуся в овладении им, так как ему видны причинно-следственные связи материала.

2. Вариативность позволяет вносить изменения в программу курса. Этот принцип можно реализовать за счет уже построенной по первому принципу системы связей между различными темами курса. Предполагается возможность пересматривать порядок изучения тем, их количества, а также глубину изучения каждой темы.

3. Принцип научности и его реализация при построении курса по выбору обуславливаются научной строгостью и логической последовательностью курса, системностью и обобщенностью математических знаний и опыта. М.Н. Скаткин отмечает, что принцип научности целесообразно рассматривать в единстве с принципом доступности, но при этом доступность следует понимать не как легкость для усвоения, а как меру посильной трудности [58].

4. Принцип доступности обучения требует обязательного наличия обратной связи с учащимися, которая позволяет выбрать оптимальную меру трудности и такие средства обучения, которые максимально отвечали бы данному уровню их умственного, социального и физического развития.

5. Принцип систематичности и последовательности в обучении требует, чтобы знания, умения и навыки формировались в определенном порядке, т.е. каждый элемент учебного материала логически связывался с другими, а последующее опирается на предыдущее и готовит к усвоению нового. Таким образом, систематичность требует широкого применения структурирования содержания обучения с сохранением логически стройного подхода к обучению. Последовательное расположение учебного материала является необходимым условием систематичности.

6. Принцип целостности построения курса и его логическая завершенность указывают на то, что любая тема в структуре курса может иметь свое продолжение на более высоком научном уровне, что предоставляет возможность для изучения этого материала в профильных классах старшей школы и далее - в вузе.

Для того, чтобы подобрать оптимальные методы и формы проведения разрабатываемого курса по выбору обратимся к понятиям метода и формы обучения.

«Традиционно метод обучения определяют, как способ взаимосвязанной и взаимообусловленной деятельности педагога и обучаемых, направленной на реализацию целей обучения, или как систему целенаправленных действий педагога, организующих познавательную и практическую деятельность обучаемых и обеспечивающих решение задач обучения» [19, с. 68].

Исходя из приведенного понимания понятия метода обучения, можем сказать, что каждый метод обучения включает в себя обучающую работу учителя (объяснение нового материала) и организацию активной учебно-познавательной деятельности учащихся [48].

При разработке курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» были использованы следующие методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемного изложения и частичнопоисковый.

Форму обучения можно определить, как способ, характер взаимодействия педагога и учащихся, учащихся между собой, учащихся с изучаемым материалом [19, с. 130]. «Способ организации обучения непосредственно влияет на его продуктивность и, наряду с методами и средствами обучения, наиболее доступен для изменения, варьирования, совершенствования со стороны педагога» [там же, с. 130]. В курсе по выбору «Математические рассуждения и их строение» были использованы следующие традиционные формы: беседа, лекция, семинар, практикум.

В настоящее время в школе при обучении математике недостаточно внимания уделяется материалу логического характера. Тем не менее, есть учебники, в которых рассматриваются вопросы логического характера. В учебнике по математике для 6 класса Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [17] рассмотрены вопросы, связанные с использованием переменных в математике, предложений и выражений с переменными, кванторов и операции отрицания. Кроме того, в учебнике по математике для 7 класса Л.Г. Петерсон и др. [42] изложен материал, связанный с логическими выводами (отношением следования, правильными рассуждениями, а также с логическими ошибками в рассуждениях).

В учебнике М.И. Башмакова «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» для 10 класса [3] рассматриваются вопросы, связанные с высказываниями, с использованием кванторов, понятием равносильности предложений, с доказательствами.

Большой вклад в решение проблем развития логического мышления школьников внес советский педагог-методист А.А. Столяр. В своих работах он занимался проблемами обучения математическим рассуждениям и доказательствам.

В работе «Зачем и как мы доказываем в математике» [65] А.А. Столяр обсуждает вопросы: Что такое доказательство? Как устроены математические предложения? Что из чего следует? Как мы доказываем в математике? Как найти доказательство? Отвечая на данные вопросы, автор приводит множество примеров решения задач, связанных с математическими рассуждениями.

В пособии «Методы обучения математике» [66] А.А. Столяр подвергает критическому анализу традиционные методы обучения математике. Автор выделяет несколько недостатков этих методов. Приведем наиболее актуальные для темы данного исследования:

- недостаточное изучение и использование математического языка, что приводит к трудностям при решении математических задач, несформированность у учащихся представлений об именах и переменных - важнейших элементах математического языка [там же, с. 9-11];

- игнорирование логического языка математики, что приводит к недостаточному влиянию этого языка на формирование логического мышления учащихся.

В книге обсуждается проблема: нужно ли специально обучать школьников рассуждать правильно. Приводятся различные точки зрения по этому вопросу. Описан эксперимент, подтверждающий, что традиционные методы не развивают логику мышления учащихся, не формируют умение производить формальные выводы [там же, с. 12-13].

Анализируя этот недостаток, автор приходит к выводу о необходимости специального изучения элементов логики, что будет способствовать логическому воспитанию учащихся и расширению их математических познаний [там же, с. 18].

Кроме того, в книге рассмотрены некоторые методы обучения математике, использование которых способно усовершенствовать и модернизировать образование, помочь в устранении недостатков традиционных методов обучения [там же, с. 189].

В книге А.А. Столяра «Педагогика математики» [67] рассмотрены различные проблемы методики преподавания математики. Одна из них посвящена логической организации математического материала. В ней автор рассматривает индукцию и дедукцию в рассуждениях, правила вывода, по которым строятся рассуждения, доказательственные рассуждения, также говорится о том, что такое доказательство и как ему обучить, приводятся примеры доказательств.

Автор также уделяет внимание вопросам модернизации обучения в средних и старших классах. Отметим следующую мысль автора: «Очевидно, что по крайней мере главная (если не единственная) цель изучения геометрии в этих классах - введение в дедуктивный метод, осознанное изучение дедуктивной системы геометрии, которое должно более интенсивно влиять на развитие логики мышления учащихся и выработку у них специфического для математики стиля мышления, характеризуемого, по выражению А.Я. Хинчина, доведенным до предела доминированием логической схемы рассуждения над его содержанием» [67, с. 44].

Одной из наиболее известных книг, связанных с рассуждениями в математике, является книга Джорджа Пойя «Математика и правдоподобные рассуждения» [44]. Первая часть книги раскрывает возможности использования индукции и аналогии в математике. Кроме того, автор формулирует правила индуктивного «правдоподобного» рассуждения с использованием теории вероятностей. [там же, с. 11].

В книге И.Л. Никольской «Учимся рассуждать и доказывать» [34] для учащихся 6-10 классов автор разъясняет такие понятия, как правильное рассуждение ("правильное рассуждения - это рассуждение, построенное по законам логики" [там же, с. 5]) и отношение следования в доступной для школьников форме. Автор стремится помочь учащимся научиться правильно рассуждать, доказывать, вести аргументированный спор, использовать индукцию, наблюдение, аналогию, проводить анализ, обобщение, конкретизацию. Автор показывает, к чему может привести нарушение логических законов и как этого избежать.

В книге «Факультативный курс по математике» [33] И.Л. Никольской в разделе «Элементы математической логики» обсуждаются правильные рассуждения, приведены примеры таких рассуждений из различных сфер жизни. Автор также рассматривает проблемы использования кванторов в рассуждениях и многое другое [там же, с. 377].

В книге «Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе» [55] Г.И. Саранцев пишет: «Воспитание критического стиля мышления, толерантности, нравственности базируется на обучении рассуждениям, аргументации утверждений, их доказательству или опровержению» [55, с. 33].

Автор отмечает, что возросла потребность в ознакомлении школьников с логическими схемами рассуждений, обосновывая это связью с методикой формирования математических понятий [там же, с. 33]. Кроме того, Г.И. Саранцев пишет, что обучение доказательству должно осуществляться в единстве с формированием умений выполнять дедуктивные выводы [там же, с. 41].

В данной книге автор определяет место и роль доказательств в обучении, приводит рекомендации для ознакомления школьников с дедуктивными рассуждениями, рассматривает примеры задач на выведение следствий, описывает приемы и методы работы с доказательствами.

В книге «Методика обучения учащихся доказательству предложений» В.А. Далингер рассматривает различные вопросы, связанные с рассуждениями, в частности, один из вопросов посвящен формированию у учащихся умения проводить доказательные рассуждения, делать выводы. Автор отмечает, что готовить школьников к проведению доказательных рассуждений следует уже в пропедевтическом курсе математики 5-6 классов, но эту работу необходимо проводить и в 7-9 классах [15].