Методика проведения курса по выбору "Математические рассуждения и их строение" для учащихся 9 класса

А.Д. Гетманова разработала элективный курс «Логические основы математики», а также учебно-методическое пособие «Логические основы математики. 10-11 классы» [7; 8], которое предназначено в помощь учителям при проведении этого курса. В данном пособии показана работа учителя на уроках математики в 1-4, 6-8 и 10-11 и дан сравнительный анализ усвоения материала учащимися из различных возрастных групп. Кроме того, А.Д. Гетманова разработала экспериментальную программу по логике для классов различных профилей.

В своем учебном пособии «Вводный курс математики» И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева и Е.В. Лукьянова отмечают, что «В последнее время неуклонно увеличивается разрыв между уровнем математической (прежде всего, логической) грамотности выпускников средних общеобразовательных школ, пришедших учиться на математические факультеты педагогических вузов, и уровнем, необходимым студентам для успешного изучения математических дисциплин в высшей школе» [69, с. 3]. Кроме того, отмечено, что снижается уровень логической подготовки выпускников школ, что «логическая составляющая математического языка явно недооценена в преподавании математики в школе и вузе» [там же, с. 3].

В данном пособии имеется раздел «Математические рассуждения и их строение», материал которого может быть использован как теоретическая основа для разрабатываемого курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» в условиях предпрофильного обучения.

В диссертации Е.В. Лукьяновой предложена методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству в процессе изучения математики в основной школе, кроме того, разработан комплекс логико-ориентированных (дедуктивных) задач, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся [31]. Одной из главных целей обучения математике является развитие логического мышления учащихся, что неразрывно связано с умением рассуждать логически правильно, без чего невозможно обучать доказательству.

На данный момент история развития школьных факультативов и курсов по выбору охватывает порядка пятидесяти лет. За это время издано множество специальной литературы и разработано большое количество разнообразных курсов по выбору. Каждый курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки относится к определенному типу курсов (предметно-ориентированные (пробные) и межпредметные (ориентационные)). Одним из основных документов, регламентирующих проведение курсов по выбору является «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования». Материал каждого курса разрабатывается с учетом возрастных особенностей учащихся - девятиклассников. Помимо учета особенностей школьников, необходимо, в соответствии с критериями, отбирать содержание курса, методы (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемного изложения) и формы проведения занятий (беседы, лекции, семинары и практикумы).

2. Разработка методических материалов для курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» для учащихся 9 класса

педагогический математический факультатив учащийся

В данной главе представлены разработанные учебно-методические материалы для проведения курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» для учащихся 9 класса. Учащиеся, изучая этот курс, знакомятся с кванторными словами и кванторами, логическим следованием, правильными и неправильными рассуждениями, учатся решать различные задачи логического характера, в частности, задачи на распознавание правильных и неправильных рассуждений. В данной главе приведены фрагменты занятий, в которые входит как теоретический, так и практический материал (задачи). Описаны результаты опытноэкспериментальной проверки.

2.1 Характеристики курса по выбору. Пояснительная записка

Курс по выбору «Математические рассуждения и их строение» предназначен на учащихся 9 класса и направлен на развитие логического мышления, умения правильно рассуждать, умения различать правильные и неправильные рассуждения, умения оперировать логическими конструкциями, используемыми при изучении математики.

В рамках данного курса учащиеся узнают, что такое логическое следование, научатся использовать кванторы при построении рассуждений, правильно символически записывать рассуждения, выявлять логическую форму (схему) рассуждения, различать правильные и неправильные рассуждения, строить правильные рассуждения.

Цели курса: цели, связанные с выполнением требований образовательных программ:

- удовлетворение индивидуальных образовательных запросов учащихся;

- формирование компетенций у учащихся (учебно-познавательных, информационных, коммуникационных, логических); цели, связанные с развитием личности:

- развитие способности к самоорганизации и самостоятельности у учащихся;

- формирование абстрактного, логического и математического мышления; цели, специфические для разработанного курса по выбору:

- знакомство с элементами формальной логики и ее средствами;

- развитие умения различать правильные и неправильные рассуждения (видеть ошибки в рассуждениях) и строить правильные рассуждения.

Задачи курса:

- научить выявлять строение и форму (схему) данного рассуждения (на примере прямых рассуждений);

- сформировать представление о правильных и неправильных схемах рассуждений;

- сформировать представление о правильных и неправильных рассуждениях;

- научить обосновывать правильность/ошибочность данного рассуждения;

- подготовить к решению задач логического характера на ЕГЭ.

В результате изучения курса учащиеся должны знать/понимать:

· что такое высказывания и какие операции над ними проводятся;

· что такое кванторы и как их использовать при записи математических предложений;

· что такое отношение логического следования;

· что такое правильные (дедуктивные) рассуждения;

· рекомендации для решения задач на распознавание правильных и неправильных рассуждений.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

· правильно строить, а также символически записывать математические предложения;

· строить таблицы истинности для логических операций;

· корректно обращаться с кванторами (кванторными словами);

· строить схему, отражающую логическое строение данного рассуждения;

· различать правильные и неправильные рассуждения;

· выбирать из нескольких вариантов следствия данного условия;

· выводить следствия из данного условия;

· строить правильные рассуждения.

Формы проведения занятий по курсу по выбору: лекции, семинары, практикумы по решению задач, беседы. Форма работы учащихся: индивидуальная, групповая, фронтальная, подготовка сообщений для обсуждения на семинарах.

Курс рассчитан на 17 часов. Предполагается проводить занятия 1 час в неделю.

В конце изучения курса запланирована контрольная работа.

Рекомендуемая литература для учащихся:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.

2. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

3. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником. - Мн.: Нар. асвета, 1987. - 143 с.

Рекомендуемая литература для учителей

1. Болтянский В.Г. и др. Математика: Лекции, задачи, решения: Уч. пособие. - Мн.: ООО «Попурри», 1996. - 640 с.

2. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить. - 3-е изд. - М.-Берлин: ДиректМедиа, 2015. - 308 с.

3. Ивин А.А. Элементарная логика: учебное пособие для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, колледжей. - М.: Дидакт, 1994. - 200 с.

4. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 79 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.

5. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975. - 463 с.

6. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. - 183 с.

7. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий: Сборник статей. Пособие для учащихся / сост. П.В. Стратилатов. - М.: Просвещение, 1989. - 143 с.

8. Тимофеева И.Л., Сергеева И.Е., Лукьянова Е.В. Вводный курс математики: учеб. пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2011. - 240 с.

2.2 Содержание курса по выбору. Принципы отбора содержания

Программа курса по выбору.

Основным объектом изучения курса по выбору «Математические рассуждения и их строение» являются математические рассуждения. Основной раздел курса - второй - посвящен непосредственно математическим рассуждениям, распознаванию правильных и неправильных рассуждений. Однако для того чтобы исследовать рассуждения на правильность, необходимо уметь записывать их символически (записывать символически посылки и заключение рассуждения), выявлять их форму, строить их схемы. Формирование этих умений у учащихся начинается при изучении первого, подготовительного, раздела курса «Математические предложения и их строение».

Курс по выбору «Математические рассуждения и их строение» прежде всего ориентирован на учащихся 9 класса, которые в дальнейшем выберут физико-математический профиль. Однако считаем, что данный курс будет интересен всем учащимся 9 класса, так как его изучение направлено на развитие логического мышления, умения правильно рассуждать, которые необходимы в повседневной жизни.

Содержание разделов курса.

Математические предложения и их строение.

1. Математические предложения.

Переменные. Предложения без переменных и с переменными: высказывания и высказывательные формы.

2. Кванторные слова и кванторы.

Кванторы общности и существования. Аналоги кванторных слов «любой» и «существует».

3. Логические операции над предложениями.

Логические операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция; импликация; отрицание. Таблицы истинности. Логические операции над высказывательными формами. Символическая запись предложений.

4. Равносильные предложения. Следование.

Равносильные предложения; следование одного предложения из другого. Логически равносильные предложения; некоторые законы логической равносильности.

Математические рассуждения и их строение.

1. Правильные и неправильные рассуждения.

Элементарное рассуждение. Прямое рассуждение. Логическое строение рассуждения. Схема рассуждений. Построение схемы данного рассуждения. Правила рассуждения. Правильная схема рассуждений. Правильное рассуждение. Рекомендации по распознаванию правильных и неправильных рассуждений.

2. Задачи на выяснение, является ли данная схема рассуждения правильной. Задачи на распознавание правильных рассуждений (с кванторами и без них). Задачи на выведение следствий из данных посылок.

3. Решение задач логического характера из ЕГЭ.

4. Контрольная работа.

При отборе содержания курса мы руководствовались критериями отбора содержания, которые представлены в статье И.М. Смирновой [60, с. 7]:

1. Критерий целостности содержания реализуется посредством концентрации содержания вокруг понятия правильного рассуждения, строения рассуждения, рекомендаций по распознаванию правильных и неправильных рассуждений.

2. Критерий преемственности содержания основного курса и курса по выбору реализуется посредством изучения строения правильных (доказательных) рассуждений, а именно такие рассуждения лежат в основе дедуктивного построения школьного курса геометрии, а также посредством решения задач логического характера с алгебраическим или геометрическим содержанием.

3. Критерий научной и практическое значимости выполняется благодаря решению логических задач из ЕГЭ, при рассмотрении вопросов, связанных с использованием правильных рассуждений в юриспруденции, при обучении распознаванию правильных и неправильных рассуждений, что необходимо при изучении всех школьных курсов.

4. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения выполняется благодаря включению в курс задач с нематематическим содержанием, элементов современности (про юриспруденцию).

5. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся, выполняется поскольку, как показывает опытно-экспериментальная проверка, материал доступен учащимся, вызывает у них интерес и стимулирует познавательную активность.

6. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников реализован посредством подбора задач разного уровня сложности, а также различного содержания - не только математического, но и бытового.

7. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению выполняется за счет разработки: программы, тематического планирования, содержания основных разделов курса, фрагментов занятий, раздаточного материала, набора задач, контрольной работы, а также за счет подбора рекомендуемой литературы школьникам и учителям.

8. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени реализован в тематическом планировании и программе курса.

Таблица 2. Тематическое планирование курса по выбору

№	Тема занятия	Количество уч. часов
1. Математические предложения и их строение (6 часов)
1.	Переменные. Математические предложения (с переменными и без переменных)	1
2.	Кванторные слова и кванторы	1
3.	Логические операции над предложениями	1
4.	Выявление строения предложений. Символическая запись предложений	1
5.	Равносильные предложения. Следование	2
2. Математические рассуждения и их строение (10 часов)
6.	Правильные и неправильные рассуждения: Прямые рассуждения. Логическое строение рассуждений. Правила рассуждения. Правильные и неправильные рассуждения.	4
7.	Решение задач на распознавание правильных рассуждений: Рассуждения без кванторов. Рассуждения с кванторами.	3
8.	Практикум по решению задач логического характера из ЕГЭ	3
Итог курса
9.	Контрольная работа	1
Всего часов	17

Содержание занятий/фрагментов занятий по некоторым темам.

Раздел 2. Математические рассуждения и их строение.

Тема. Правильные и неправильные рассуждения.

Занятия 1-2. Прямые рассуждения. Логическое строение рассуждений.

На этих занятиях происходит ознакомление учащихся с новым материалом в форме краткой лекции (рассказа учителя) в чередовании с элементами беседы.

Цель занятий: сформировать первоначальное представление о рассуждениях и их строении, показать, как выявлять схему произвольного рассуждения, рассмотреть правильные (дедуктивные) рассуждения.

I. Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач занятия Каждый человек должен уметь правильно рассуждать, ведь именно с помощью правильных рассуждений в математике обосновывается истина. Разум человека обладает удивительной способностью получать новые факты и доказывать истинность утверждений, не ссылаясь на опыт, а только рассуждая. В математике для обоснования какого-либо утверждения необходимо использовать правильные рассуждения. Рассуждения помогают устанавливать истинность не только на уроках, но и в обыденной жизни. Умение рассуждать правильно тесно связано с наукой логикой, которая занимается изучением правил рассуждений. Наука логика учит правильно рассуждать, не совершать логических ошибок, отличать правильные рассуждения от неправильных.

Каждый считает, что он всегда рассуждает правильно. На самом деле, рассуждая, человек нередко ошибается. Давайте попробуем определить, являются ли следующие рассуждения правильными:

1. Если a = b, то a2 = b2. Следовательно, если a ? b, то a2 ? b2.

2. Если число четное, то оно делится без остатка на 2. Следовательно, если число делится без остатка на 2, то оно четное.

(Ожидаемые ответы. Ученики высказывают разные предположения. При этом многие ошибаются - им кажется, что рассуждения правильные.)

На самом деле оба рассуждения являются неправильными. Но если ошибаться в таких простых случаях, то как же дальше изучать математику? Поэтому, чтобы не допускать ошибок, всем, кто изучает математику, важно уметь распознавать правильные и неправильные рассуждения.

На этом занятии мы обсудим понятия, связанные с правильными рассуждениями. Мы ограничимся прямыми рассуждениями. Научимся выявлять логическое строение рассуждений.

II. Разрешение проблемной ситуации занятия.

Прямые рассуждения

Мы приступаем к изучению правильных рассуждений. Рассмотрим известный пример рассуждения.

Пример 1. Итак, пусть даны два предложения:

1) Все люди смертны. 2) Сократ - человек.

Оба предложения являются истинными. Можно ли из этих двух истинных предложений вывести новое - третье истинное предложение? - Можно: Сократ смертен. Первые предложения называют посылками, а третье - заключением рассуждения: «Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен».

Перейдем к рассмотрению других примеров математических рассуждений.

Пример 2. Рассмотрим рассуждение: «Всякое число, делящееся на 9, делится на 3. Число 18 делится на 9. Следовательно, 18 делится на 3». Такое рассуждение называется элементарным, поскольку в нем сделан один шаг - непосредственный переход от двух предложений (посылок) к новому предложению (заключению).

Рассуждения такого вида будем называть прямыми, так как в них происходит непосредственный (прямой) переход от посылок к заключению.

Если в рассуждении встречаются слова «допустим» или «пусть», это говорит о том, что в рассуждении используются допущения и дополнительные (вспомогательные) рассуждения, на основании которых делается заключение. Такое рассуждение является непрямым. Далее будем рассматривать только прямые рассуждения.

Логическое строение рассуждений.

Наука логика учит рассуждать, ориентируясь не на содержание самих рассуждений, а на их форму. Что же следует понимать под содержанием и формой рассуждения?

Если мы обратимся к примерам 1 и 2, то можем заметить, что в этих рассуждениях идет речь о разном: в первом о смертности людей, а второе содержит некоторые математические утверждения. В этом случае говорят, что эти рассуждения имеют разное содержание.

Можем заметить, что столь различные по содержанию рассуждения из примеров 1 и 2 имеют, на первый взгляд, одинаковое строение, т. е. одинаковую форму. В действительности, это так и есть. К этому мы вернемся позже.

Отметим, что посылки и заключение данных рассуждений истинны, поэтому мы можем предположить, что данные рассуждения являются правильными.

Появляются новые вопросы: Какое рассуждение следует считать правильным? Каким образом форма рассуждения влияет на его правильность? Как выявить форму рассуждения?

Перейдем к выяснению того, как можно выявить форму рассуждения.

Логическое строение (или форма) рассуждения отражает, каким образом логически связаны друг с другом входящие в него предложения. Записав каждый член рассуждения символически, можно выявить логическое строение самого рассуждения в целом.

Пример 3. Выявим форму рассуждения из примера 2: «Всякое число, делящееся на 9, делится на 3. Число 18 делится на 9. Следовательно, 18 делится на 3». Запишем символически посылки рассуждения: х (хM9>хM3) и 189, и заключение рассуждения - 18M3, где символ «M» символ квантора общности, а «» означает «делимость без остатка». Само рассуждение символически запишем так:



В данной символической записи над горизонтальной чертой записаны посылки рассуждения, а под чертой - заключение. Отметим, что эта запись рассуждения отражает не только его форму, но и содержание.

Но в данном случае (пример 3) говорить о том, что рассуждение из примера 1 имеет такую же форму как и в примере 2 мы сразу не сможем. Как и в примера 2, мы отвлечемся от его содержания. Для этого заменим посылки х?9 и х?3 обозначениями произвольных элементарных предложений P(x) и Q(x) с переменной х по некоторому непустому множеству М. Число 18 заменим буквой a - обозначением произвольного элемента множества М. В результате получим схему, отражающую форму рассматриваемого рассуждения в целом, и логическое строение посылок и заключения этого рассуждения:

Схему (1) будем называть схемой данного рассуждения и говорить, что рассуждение построено в соответствии с этой схемой или является рассуждением по этой схеме.

Рассуждая аналогичным образом, получим, что рассуждение из примера 1 также построено по схеме (1).

Таким образом, мы можем утверждать, что рассуждения из примеров 1 и 2 построены по схеме (1). Кроме того, по этой схеме можно построить разные по содержанию рассуждения, но имеющие одинаковое логическое строение.

Дедуктивные рассуждения. Существует ли связь логического следования с рассуждениями, построенными по схеме (1)? Да, существует (это легко показать):

схема рассуждений:

является правильной тогда и только тогда, когда из ее посылок логически следует ее заключение: х (Р(х)>Q(x)), Р(а) Ю Q(а). Наличие такой связи позволяет нам назвать такие рассуждения правильными (доказательными). Поскольку заключение в них выводится из посылок, их называют дедуктивными. Слово "дедукция" происходит от латинского deductio - выведение. При этом такие рассуждения опираются на логическое правило, например, на правило заключения (правило с кванторами, в некотором смысле, является частным случаем правила заключения: А &--ВА). Такие рассуждения являются правильными рассуждениями. Отличительная особенность дедуктивного (правильного) рассуждения заключается в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

III. Обобщение и систематизация изученного Вопросы к учащимся по пройденному материалу:

1) Как называют предложения, входящие в элементарное рассуждение?

В элементарном рассуждении выделяют посылки рассуждения и его заключение.

2) Что понимается под содержанием и формой рассуждения?

Под содержанием понимают то, о чем идет речь в предложениях рассуждения, а под формой понимают то, как логически связаны между собой эти предложения.

3) Что понимают под дедуктивными рассуждениями?

Говоря о дедуктивных рассуждениях, понимают такие рассуждения, в которых существует связь логического следования между посылками и заключением рассуждения.

IV. Домашнее задание.

Индивидуальное задание: подготовить сообщение на тему «Индуктивные рассуждения. Примеры в математике». Пример выполнения задания:

Помимо дедуктивных рассуждений существуют также индуктивные рассуждения: в таких рассуждениях заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них.

Приведем примеры индуктивных рассуждений:

Пример 1. Число 9 делится на 3, число 27 делится на 3, число 81 делится на 3.

Числа 9, 27, 81 - нечетные. Следовательно, все нечетные числа делятся на 3.

Пример 2. Число 10 делится на 2, число 20 делится на 2, число 30 делится на 2.

Числа 10, 20, 30 - числа, делящиеся на 10. Следовательно, любое число, делящееся на 10, делится на 2.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся. Так, посылки первого и второго индуктивных рассуждений истинны, но заключение первого из них ложно, а второго - истинно.

Дедукция позволяет делать частный вывод из общего условия, индукция позволяет делать общий вывод из частного условия [24].

Занятие 3. Правила рассуждения

На этом занятии происходит закрепление изученного материала. Занятие проходит в форме семинара.

Цель занятия: дополнить теоретический материал о дедуктивных (правильных) рассуждениях, рассмотреть правило обобщенной контрапозиции.

I. Постановка темы, целей и задач занятия

Темой занятия-семинара является дальнейшее рассмотрение правильных рассуждений, на этом занятии мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с дедуктивными (правильными) рассуждениями, обобщим знания, полученные ранее посредством решения задач на выведение следствий из предложенных условий.

II. Повторение ранее усвоенных знаний

1. Выполнение индивидуального задания на тему «Индуктивные рассуждения. Примеры в математике».

2. Ответьте на вопросы:

1) Чем отличаются дедуктивные и индуктивные рассуждения?

В дедуктивных рассуждениях делается частный вывод из общих посылок, а индуктивных рассуждениях, наоборот, делается общий вывод из частных посылок. (Узкое понимание) В дедуктивных рассуждениях существует связь логического следования между посылками и заключением, а в индуктивных рассуждениях такой связи нет.

2) Для чего используют дедуктивные рассуждения в математике?

Дедуктивные рассуждения используют в математике для обоснования утверждений - для доказательства теорем. Дедуктивные рассуждения являются основным методом обоснования математических утверждений.

III. Решение задач на занятии

Задание 1. Рассмотрим дедуктивное рассуждение: «Всякое число, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число 15 не делится на 2. Следовательно, 15 не делится на 4». Данное рассуждение является правильным, так как оно построено по логическому закону. Для того, чтобы понять, какова схема данного рассуждения, обозначим через Р(х) и Q(х) соответственно элементарные предложения

«Число х делится на 4» и «Число х делится на 2», участвующие в посылке данного рассуждения. Получим такую схему:



Данную схему называют правилом обобщенной контрапозиции. Она основана на двух правилах: правиле контрапозиции и правиле конкретизации

Решая следующие задачи, мы будем использовать правила заключения и обобщенной контрапозиции.

Задание 2. При помощи известных вам правил заключения и обобщенной контрапозиции проведите рассуждение, заключение которого содержит ответ на вопрос:

1. Является ли квадрат прямоугольником?

Решение. Вспомним определение прямоугольника и свойство квадрата:

1. Прямоугольником называется четырехугольник (параллелограмм), у которого все углы прямые.

2. Все углы квадрата прямые.

Составим рассуждение по правилу заключения: «Всякий четырехугольник, если все его углы прямые, является прямоугольником. У квадрата все углы прямые. Следовательно, квадрат является прямоугольником».

2. Прямая а пересекает стороны угла А в точках В и С. Могут ли обе прямые AВ и AС быть перпендикулярными прямой а?

Решение. Вспомним: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой. (Отметим, что если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они не пересекаются).

Составим рассуждение по правилу обобщенной контрапозиции: «Любые две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Прямые AВ и AС пересекаются в точке А. Следовательно, прямые AВ и AС не перпендикулярны к прямой а».

Заметим, что рассуждения, приведенные в задании 1 и 2, являются элементарными. Теперь рассмотрим неэлементарное рассуждение.

Задание 3. Определите, по какому правилу построено рассуждение, позволяющее из условия «Один из смежных углов равен 40є» вывести, чему равен второй угол.

Рассмотрим рассуждение: Для любых двух углов, если они являются смежными, их сумма равна 180є. Данные углы смежные. Значит, их сумма равна 180є (1-й шаг). Для всякого слагаемого, если оно является неизвестным, то оно равно разности суммы и известного слагаемого. Разность суммы и известного слагаемого равна соответственно: 180є - 40є = 140є. Следовательно, угол, смежный с углом в 40є, равен 140є (2-й шаг).

Оба шага рассуждения построены по схеме:

суждение построено по правилу частного заключения.

Ответ: данное рассуждение построено по правилу частного заключения.

Задание 4. Завершите рассуждение согласно подходящему правилу (заключения или обобщенной контрапозиции):

«Всякое число, если оно делится на 6, то оно является четным. Число 17 не является четным. Следовательно, ...».

Решение. Запишем неполную схему данного рассуждения:

Если заключение этой схемы будет иметь вид ¬P(а), то рассуждение будет построено по правилу обобщенной контрапозиции. Запишем завершенное рассуждение: «Всякое число, если оно делится на 6, то оно является четным. Число 17 не является четным. Следовательно, число 17 не делится на 6».

Задание 5. Восстановите посылку, опущенную в рассуждении, чтобы получить правильное рассуждение. Укажите правило, согласно которому получено рассуждение: «Противоположные углы четырехугольника ABCD не равны. Следовательно, четырехугольник ABCD не является параллелограммом».

Решение. Запишем неполную схему данного рассуждения:

.

Восполним это рассуждение еще одной посылкой в соответствии с правилом обобщенной контрапозиции. В результате получим рассуждение: «Для всякого четырехугольника, если он является параллелограммом, то его противоположные углы равны. Противоположные углы четырехугольника ABCD не равны. Следовательно, четырехугольник ABCD не является параллелограммом».

IV. Обобщение и систематизация изученного

Какие вам известны правила, по которым строятся дедуктивные (правильные) рассуждения?

Правило заключения и правило обобщенной контрапозиции.

V. Домашнее задание

Задание 1. Завершите рассуждение согласно подходящему правилу (частного заключения или обобщенной контрапозиции):

«Для всякого четырехугольника, если он является квадратом, то его диагонали равны. Четырехугольник KLMN является квадратом. Следовательно, ...»

Решение. Запишем неполную схему данного рассуждения:

Если заключение этой схемы будет иметь вид Q(а), то рассуждение будет построено по правилу частного заключения. Запишем завершенное рассуждение: «Для всякого четырехугольника, если он является квадратом, то его диагонали равны. Четырехугольник KLMN является квадратом. Следовательно, диагонали четырехугольника KLMN равны».

Задание 2. Восстановите посылку, опущенную в рассуждении, чтобы получить правильное рассуждение. Укажите правило, согласно которому получено рассуждение: «Число 100 делится на 10. Следовательно, 100 делится на 5».

Решение. Запишем неполную схему данного рассуждения:

Восполним:

это рассуждение еще одной посылкой в соответствии с правилом заключения. Восстановим посылку: «Для всякого числа, если оно делится на 10, то оно делится на 5. Число 100 делится на 10. Следовательно, 100 делится на 5».

Задание 3. При помощи известных вам правил заключения и обобщенной контрапозиции проведите рассуждение, заключение которого содержит ответ на вопрос: «Лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?»

Решение. Если построить прямую, и отметить на ней соответствующие точки, то мы сразу увидим, что больший из отрезков не может содержать в себе двух оставшихся отрезков.

Проведем рассуждение: «Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший отрезок АС равен 5 см, а сумма отрезков АВ и ВС равна 7 см, т.е. больший из отрезков не равен сумме двух других. Следовательно, точки А, В, С не лежат на одной прямой». Данное рассуждение построено по правилу обобщенной контрапозиции.

Занятие 4. Правильные и неправильные рассуждения.

Занятие 4 является комбинированным, провести его рекомендуется в форме беседы с элементами лекции.

Цель занятия: закрепить изученный на прошлом занятии материал, уточнить понятия правильной схемы рассуждения и правильного рассуждения, показать, как обосновывается решение при распознавании правильных рассуждений.

I. Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач занятия.

Перед тем как изучать новый материал, выявим схему данного рассуждения и попробуем выяснить, является ли оно правильным (мы знаем пока только два правила, по которым строятся правильные рассуждения).

Пример 1. Рассмотрим рассуждение: «Всякое число, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число 8 делится на 2. Следовательно, 8 делится на 4».

Выявим схему этого рассуждения:

Заметим, что это рассуждение имеет истинные посылки и истинное заключение. Однако это рассуждение не следует считать правильным. Ведь если заменить в этом рассуждении число 8 на число 2, то мы получим рассуждение той же формы, однако его посылки будут истинными, а заключение - ложным: «Всякое число, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число 2 делится на 2. Следовательно, 2 делится на 4». Новое рассуждение явно не является правильным.

В примере 1 мы получили схему рассуждения, отличную от рассмотренных ранее. Мы предположили, что рассуждение, построенное по данной схеме, является неправильным. Но как же нам убедиться в том, что рассуждение в примере действительно является неправильным? Что такое правильное рассуждение? Как распознавать правильные рассуждения? На эти вопросы мы ответим на данном занятии.

II. Разрешение проблемной ситуации занятия.

Правильные рассуждения.

На предыдущих занятиях мы рассматривали некоторые рассуждения, которые считали правильными. Было сказано, что дедуктивное (правильное) рассуждение всегда ведет от истинных посылок к истинному заключению. Помимо этого, было отмечено, что правильность рассуждения зависит от его формы, а не от содержания. Таким образом, мы можем предположить, что правильность рассуждения напрямую зависит от схемы, по которой оно построено. Дадим определение правильной схемы.

Схему рассуждений считают правильной, если она гарантирует истинность заключения при истинности посылок для любого рассуждения по этой схеме и неправильной в противном случае [69].

Рассуждение будем называть правильным, если оно построено по правильной схеме рассуждений, и неправильным в противном случае [69].

III. Применение полученных знаний.

Теперь выясним, является ли рассуждение из примера 1 правильным. Напомним это рассуждение: «Всякое число, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число 8 делится на 2. Следовательно, 8 делится на 4».

Для того чтобы определить, правильное ли это рассуждение, необходимо выяснить, правильная ли схема этого рассуждения. По определению правильной схемы, нам нужно, считая, что Р(х) и Q(x) - произвольные предложения, предположить, что посылки рассуждения, построенного по этой схеме, истинны, и выяснить, является ли истинным его заключение.

В начале занятия мы уже приводили пример рассуждения, построенного по этой схеме, посылки которого истинны, а заключение ложно. Значит, эта схема не может гарантировать истинность заключения при истинности всех посылок.

Следовательно, данная схема рассуждений является неправильной, а значит и исходное рассуждение является неправильным.

Вопрос: Можно ли построить правильное рассуждение по данной схеме, если изменить его содержание?

Ответ: Так как эта схема является неправильной, то любое рассуждение, построенное по этой схеме, является неправильным.

Задание 1. Выясните, является ли правильным следующее рассуждение: «Модуль всякого отрицательного числа равен противоположному ему числу. Дано отрицательное число -5. Следовательно, модуль числа -5 равен 5».

Решение: Запишем схему данного рассуждения:

Предположим, что посылки данной схемы истинны, и определим, истинно ли заключение. Поскольку |х (Р(х)>Q(x))| = И, то |Р(а)>Q(а)| = И. По предположению: |Р(а)| = И, а значит, |Q(а)| = И. Таким образом, схема данного рассуждения является правильной, значит рассуждение по этой схеме является правильным.

Важно отметить, что правило заключения, по которому построено данное рассуждение, действительно гарантирует его правильность.

Пример 2. «Докажем», что 3 = 7. Из чисел 3 и 7 вычтем одно и то же число 5.

Получим: 3 - 5 = ?2, 7 - 5 = 2. Возведем числа -2 и 2 в квадрат. В результате получим равные числа: (?2)2 = 4 и 22 = 4. Следовательно, должны быть равны и исходные числа: 3 = 7 [16].

Ясно, что полученное заключение ложно. Проанализируем проведенное рассуждение для обнаружения ошибки. Данное рассуждение состоит из трех шагов (элементарных рассуждений). Выделим эти шаги (в общем виде):

1. Вычитание из целых чисел 3 и 7 целого числа 5. «Для любых двух чисел a и b, если a и b - целые числа, то их разность (а - b) существует и есть число целое. Числа 3 и 5, а также 7 и 5 - целые. Следовательно, разности 3 ? 5 и 7 ? 5 существуют, и 3 - 5 = -2, 7 ? 5 = 2».

Схема данного рассуждения:

.

Данная схема является правильной, следовательно, рассуждение по ней является правильным.

2. Возведение чисел -2 и 2 в квадрат. «Для всякого числа а, если оно целое, то его квадрат a2 существует и является неотрицательным целым числом. Числа - 2 и 2 - целые. Следовательно, квадраты чисел -2 и 2 существуют, причем (?2)2 = 4 и 22 = 4». На этом шаге рассуждение проведено по правилу частного заключения, а значит, ошибки здесь нет.

3. Заключение о равенстве чисел 3 и 7. «Для любых двух целых чисел, если они равны, то равны и их квадраты. Квадраты целых чисел -2 и 2 равны: (?2)2 = 4 = 22. Следовательно, равны сами числа -2 и 2, значит, 3 - 5 = 7 ? 5, а значит, 3 = 7».

На данном этапе рассуждение построено по схеме:

,

которая не является правильной. Следовательно, в этом рассуждении сделана логическая ошибка, которая и привела к ложному выводу, несмотря на то, что исходили мы только из истинных посылок.

Задание 2. Выясните, является ли схема рассуждений правильной:

Решение: Данная схема рассуждений является неправильной, поскольку мы можем привести пример такого рассуждения, построенного по данной схеме, посылка которого истинна, а заключение ложно: «Найдется число, являющееся целым. Следовательно, число 0,5 - целое число». Но 0,5 - не является целым числом, а значит, заключение ложно.

IV. Обобщение и систематизация изученного

Выделим рекомендации, следуя которым можно выяснить, является ли данное рассуждение правильным:

1) записать схему, по которой построено данное рассуждение;

2) выяснить, является ли полученная схема правильной;

3) сделать вывод, что рассуждение по этой схеме является правильным или неправильным, в зависимости от того, является полученная схема правильной или неправильной.

V. Домашнее задание

Индивидуальное задание: подготовить сообщение на тему: «Роль дедуктивных рассуждений в юриспруденции. Примеры рассуждений».

Пример выполнения задания [74]:

Одним из умений каждого юриста является умение находить ошибки в рассуждениях оппонентов, и как раз дедуктивные (правильные) рассуждения играют в этом большую роль. С помощью дедуктивных рассуждений юрист может опровергнуть слова оппонента и предоставить доказательства его неправоты. Приведем примеры рассуждений с содержанием, характерным для юриспруденции:

1. Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в законную силу. Решение суда обжаловано в кассационном порядке. Следовательно, оно еще не вступило в законную силу.

(Правильное рассуждение)

2. Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в законную силу. Решение суда еще не вступило в законную силу. Следовательно, решение суда обжаловано в кассационном порядке.

(Неправильное рассуждение)

3. Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в законную силу. Решение суда вступило в законную силу. Значит, оно не может быть обжаловано в кассационном порядке.

(Правильное рассуждение)

4. Если решение суда обжаловано в кассационном порядке, то оно еще не вступило в законную силу. Решение суда не обжаловано в кассационном порядке. Следовательно, оно уже вступило в законную силу.

(Неправильное рассуждение)

Занятия 5-6-7. Решение задач на распознавание правильных и неправильных рассуждений

Занятия ориентированы на применение полученных знаний и умений, проходят в форме семинара.

Цель занятий: обобщить и систематизировать знания учащихся о правильных рассуждениях посредством решения задач на распознавание правильных рассуждений и правильных схем рассуждений.

I. Постановка темы и цели занятий

Темой данного занятия является: распознавание правильных и неправильных рассуждений. Мы обобщим знания, полученные ранее. С этой целью будем решать задачи на распознавание правильных рассуждений.

II. Повторение ранее усвоенных знаний

Повторим ранее изученное, ответив на следующие вопросы.

1) Какое рассуждение называют правильным?

Рассуждение называют правильным, если оно построено по правильной схеме рассуждений, и неправильным в противном случае.

2) Какую схему рассуждений называют правильной?

Схему рассуждений называют правильной, если она гарантирует истинность заключения при истинности посылок для любого рассуждения по этой схеме, и неправильной в противном случае.

3) Какие рекомендации можно сформулировать для распознавания правильных рассуждений?

1. Записать схему, по которой построено рассуждение.

2. Выяснить, является ли полученная схема правильной.

3. Сделать вывод, что рассуждение по этой схеме является правильным или неправильным, в зависимости от того, какой является полученная схема.

III. Решение задач на распознавание правильных и неправильных рассуждений.

Задание 1. Выясните, является ли схема рассуждений правильной:

Решение. Допустим, что посылка принимает истинное значение, определим значение заключения. Поскольку |хР(х)| = И, то |Р(а)| = И. Значит схема является правильной.

2.

Решение. Покажем, что данная схема является неправильной, приведя пример предложения Р(х) такого, что |х ¬Р(х)| = И, |¬х Р(х)| = Л. В качестве Р(х) рассмотрим предложение «Трапеция АВСD - прямоугольная». Тогда высказывание «Существует трапеция, которая не является прямоугольной» истинно, а высказывание «Не существует прямоугольной трапеции» ложно. Таким образом, схема является неправильной.

3.

Решение. Допустим, что посылка принимает истинное значение, определим значение заключения. Пусть а - произвольный элемент непустого множества М. Поскольку |х Р(х)| = И, то |Р(а)| = И. Исходя из полученного, делаем вывод, что найдется элемент х множества М, обладающий свойством Р (таким элементом является а). Значит, схема является правильной.

Задание 2. Выясните, является ли рассуждение правильным:

1. Если целое число не делится на 6, то оно не делится на 2. Если целое число делится на 6, то оно делится на 3. Следовательно, если целое число не делится на 3 и делится на 2, то оно не делится на 6.

Решение:

Схему данного рассуждения можно записать таким образом:

Несложно доказать, что данная схема является правильной.

Значит, рассуждение также является правильным.

Следует обратить внимание учащихся на то, что в правильном рассуждении могут быть ложные посылки.

2. Всякое число, если оно делится на 15, то оно делится на 3 и на 5. Число 25 не делится на 15. Следовательно, 25 не делится на 3 или на 5.

Решение:

1) Запишем схему данного рассуждения:



2) Допустим, что посылки истинны, определим значение заключения. Так как

|х (А(х)>(В(х)&С(х)))| = И, то |А(а)>(В(а)&С(а))| = И (а - произвольный элемент множества М).

При этом, |¬А(а)| = И. Отсюда делаем вывод, что заключение ¬В(а)?¬С(а) может принимать как истинное, так и ложное значение.

Для обоснования неправильности схемы приведем контрпример: «Всякое число, если оно делится на 12, то оно делится на 2 и на 3. Число 6 не делится на 12. Следовательно, 6 не делится на 2 или 6 не делится на 3». В построенном рассуждении посылки истинны, а заключение - ложно. Значит, данная схема не является правильной.

3) Исходное рассуждение не является правильным.

Следует обратить внимание учащихся на то, что у неправильного рассуждения могут быть истинными посылки и истинное заключение.

3. Всякое число, если оно делится на 28, то оно делится на 14. Всякое число, если оно делится на 14, то оно делится на 7. Следовательно, всякое число, если оно делится на 28, то оно делится на 7.

Решение:

1) Схема данного рассуждения:

2) Допустим, что посылки истинны, и выясним, каким может быть значение заключения. Так как |х (А(х)>В(х))| = И и |х (В(х)>С(х))| = И, то

|А(а)>В(а)| = И и |В(а)>С(а)| = И (а - произвольный элемент множества М). Отсюда делаем вывод, что |А(а)>С(а)| = И, а значит, является истинным и высказывание х (А (х)>С(х)). Таким образом, схема рассуждения является правильной.

3) Рассуждение является правильным, так как схема, по которой оно построено, является правильной.

4. Рассуждение «Всякое число, делящееся на 5, делится на 4. Всякое число, делящееся на 4, делится на 2. Следовательно, всякое число, делящееся на 5, делится на 2» построено по схеме из предыдущего задания, значит оно является правильным.

Комментарий. Следует обратить внимание учащихся на то, что у правильного рассуждения, имеющего ложную посылку, может быть ложным заключение.

IV. Обобщение и систематизация изученного Ответьте на вопросы:

1) Верно ли, что при истинных посылках в правильном рассуждении заключение тоже обязательно является истинным?

Да, верно.

2) Какие значения могут принимать посылки в правильном рассуждении?

В правильном рассуждении посылки могут быть как истинными, так и ложными.

3) Какое значение может принимать заключение в правильном рассуждении?

В правильном рассуждении заключение может быть, как истинным, так и ложным. Однако, если все посылки правильного рассуждения истинны, то и его заключение должно быть истинным.

4) Может ли в неправильном рассуждении быть истинное заключение?

В неправильном рассуждении заключение может быть истинным. Именно поэтому может даже показаться, что оно правильное.

V. Домашнее задание

Задание 1. Выясните, является ли схема рассуждений правильной.

Решение. Покажем, что данная схема рассуждений является неправильной, приведя пример предложения Р(х) такого, что |¬х Р(х)| = И, а |х ¬Р(х)| = Л. В качестве предложения Р(х) возьмем предложение «В равнобедренную трапецию АВСD можно вписать окружность». Тогда высказывание «Неверно, что в любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность» истинно, а высказывание «Ни в одну равнобедренную трапецию нельзя вписать окружность» ложно. Таким образом, схема рассуждений является неправильной.

2.

Решение. Допустим, что посылка принимает истинное значение, выясним, каким может быть значение заключения. Поскольку |Р(а)| = И, то делаем вывод, что высказывание «Найдется элемент х множества М, обладающий свойством Р» истинно (таким элементом является а). Значит, схема рассуждений является правильной.

Задание 2. «Занимательные задачи про чиновников».

Рассмотрите два рассуждения из рассказа русского юмориста начала 20-го века В. Билибина [23, с. 16-17]. Эти рассуждения пародировали обычные когда-то наивные объяснения тому, почему чиновники берут взятки, а страховые компании завышают страховой процент.

Выясните, являются ли рассуждения правильными:

1. «Если бы на свете не существовало солнца, то пришлось бы постоянно жечь свечи и керосин. Если бы пришлось постоянно жечь свечи и керосин, то чиновникам не хватало бы их жалованья, и они брали бы взятки. Следовательно, чиновники не берут взяток потому, что на свете существует солнце».

Решение:

Обозначим предложения, участвующие в условии, следующим образом:

«Существует солнце» - через А, «Пришлось бы постоянно жечь свечи и керосин» - через В (так мы обозначили конъюнкцию двух высказываний), «Чиновникам не хватает жалования» - через D, «Чиновники берут взятки» - через С.

1) Запишем схему рассуждения в следующем виде:

2) Предположим, что посылки истинны, выясним, является ли истинным заключение. Используя таблицы истинности, мы приходим к выводу, что заключение может быть, как истинным, так и ложным. Значит для того, чтобы обосновать, что схема рассуждений неправильная, достаточно привести опровергающий пример.

Контрпример: «Если неверно, что число не делится на 16, то оно делится на 8. Если число делится на 8, то оно делится на 4. Если число делится на 4, то оно делится на 2. Следовательно, если число не делится на 16, то оно не делится на 2».

3) Так как схема рассуждений является неправильной, то и рассуждение по этой схеме является неправильным.

2. «Если бы быки и куры ходили зажаренными, то не нужно было бы разводить печи и, значит, было бы меньше пожаров. Если бы было меньше пожаров, страховые общества не повысили бы так жестоко страховую премию. Следовательно, страховые общества повысили так жестоко страховую премию потому, что быки и куры не ходят зажаренными».

Решение:

Обозначим предложения, участвующие в условии, следующим образом:

«Быки и куры ходят зажаренными» - через А (так мы обозначили конъюнкцию двух высказываний), «Было бы меньше пожаров» - через В, «Страховые общества повысили бы так жестоко страховую премию» - через С; «Нужно разводить печи» - через D.

Запишем схему рассуждения в следующем виде:

1) Предположим, что посылки данной схемы рассуждений истинны. Выясним, является ли истинным заключение. Используя таблицы истинности, мы приходим к выводу, что заключение может быть как истинным, так и ложным. Значит для того, чтобы обосновать, что схема рассуждений неправильная, достаточно привести опровергающий пример.

Контрпример: «Если число делится на 16, то неверно, что оно не делится на 8. Если неверно, что число не делится на 8, то оно делится на 4. Если число делится на 4, то неверно, что оно не делится на 2. Следовательно, если число не делится на 16, то оно не делится на 2».

2) Так как схема рассуждений является неправильной, то и данное рассуждение по этой схеме является неправильным.

Занятия 8-9-10. Решение логических задач из ЕГЭ/

Эти занятия ориентированы на применение знаний и умений при решении логических задач на ЕГЭ. Занятия проходят в форме практикума.

Цель занятий: научить решать задачи типа №18 из ЕГЭ на базовом уровне, используя знания и навыки, полученные во время изучения курса по выбору.

I. Сообщение темы, цели и задач практикума

На данном уроке решаются задачи из ЕГЭ (типа №18). Целью занятия является использование полученных знаний про правильные и неправильные рассуждения при решении таких задач.

II. Мотивация учебной деятельности учащихся

Научиться решить задачи логического характера из ЕГЭ, используя изученные методы распознавания правильных и неправильных рассуждений.

Переформулировка задания № 18 из ЕГЭ.

Задача № 18 из ЕГЭ (на базовом уровне) заключается в следующем: дано(ы) условие(я) - предложение(я), и 4 варианта предложений, относительно которых нужно выяснить, являются ли они следствиями данного(ых) условия(ий). Рассматривая условие как посылку рассуждения, а каждое предложение на выбор как его заключение, получаем 4 рассуждения, из которых нужно выбрать правильное. Таким образом, задачу на выявление следствий из данного условия можно свести к задаче на распознавание правильных и неправильных рассуждений.

Для распознавания правильных рассуждений учащимся предлагается использовать ранее рассмотренные рекомендации (см. занятие №3).

III. Подбор необходимых дидактических материалов, средств обучения

В качестве дидактических материалов используются карточки с формулировками задач; в качестве средства обучения можно использовать презентацию, в которой представлен ход решения этих задач.

IV. Выполнение работы учащимися под руководством учителя

Все задания взяты на образовательном портале для подготовки к экзаменам

«РЕШУ ЕГЭ» [54]. Номера задач указаны по данному источнику.

Задание 1. Выберите утверждения, которые следуют из указанного условия, и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:

1. № 510176. «В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых».

1) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 13 этажей.

2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.

3) Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты.