Методика проведения курса по выбору "Математические рассуждения и их строение" для учащихся 9 класса
Характеристика психолого-педагогических основ постановки математических курсов по выбору. Школьные факультативы как один из важнейших видов технологии дифференцированного образования. Форма обучения - инструмент взаимодействия педагога и учащихся.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.12.2017 |
| Размер файла | 688,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не более 12 этажей. Примечание. Во всех домах установлены либо электрические, либо газовые плиты.
Решение:
Перепишем условие в форме «Если …, то …»: «Если в жилом доме больше 12 этажей, то в нем установлены электрические плиты». Отсюда следует, что «Если в жилом доме установлены газовые плиты, то в нем меньше 13 этажей». Обозначим предложения, участвующие в условии, следующим образом:
предложение «В жилом доме больше 12 этажей» обозначим буквой А, предложение «В жилом доме установлены электрические плиты» обозначим буквой В. Тогда предложение «В жилом доме меньше 13 (не больше 12) этажей» равносильно ¬А, а предложение «В жилом доме установлены газовые плиты» равносильно ¬В, поскольку, если в доме установлены газовые плиты, то в нем точно не установлены электрические плиты, и наоборот. Условие следует записать так: А>В.
Рассмотрим каждый вариант ответа по отдельности.
1) «Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 13 этажей».
Очевидно, истинным является предложение «Если в жилом доме более 13 этажей, то в нем более 12 этажей». Это условное предложение запишем так: А1>А, где через А1 обозначено предложение «В жилом доме более 13 этажей». Получаем схему:
Легко доказать, что данная схема является неправильной. В качестве контрпримера достаточно указать дом с газовыми плитами. Он обязательно имеет менее 13 этажей, а значит, заключение рассуждения будет ложным при истинных посылках. Значит, мы можем сказать, что предложение из пункта 1) не следует из условия.
2) «Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей».
Схема рассуждения:
Легко показать, что схема является правильной. Значит, предложение из пункта 2) следует из условия.
3) «Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты».
Очевидно, истинным является предложение «Если в жилом доме больше 17 этажей, то в нем больше 12 этажей», которое запишем так: А2>А, где через А2 обозначено предложение «В жилом доме больше 17 этажей».
Получаем схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. В качестве контрпримера достаточно указать дом с 18 (или более) этажами. Он имеет более 13 этажей, а значит, в нем обязательно установлены электроплиты. Следовательно, заключение рассуждения будет ложным, хотя его посылки истинны. Значит предложение из пункта 3) не следует из условия.
4) «Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не более 12 этажей». Предложение «В доме не более 12 этажей» означает тоже самое, что и предложение «В доме менее 13 этажей», т. е. равносильно ¬А.
Значит, предложение из пункта 4) следует из условия.
Ответ: 2), 4).
2. № 506535. «Известно, что спектр ртутной лампы - линейчатый».
1) У любой ртутной лампы линейчатый спектр.
2) Любая лампа с линейчатым спектром - ртутная.
3) У любой не ртутной лампы спектр не является линейчатым.
Решение:
Поскольку в вариантах ответа присутствует квантор общности, то восстановим его в условии и перепишем заново: «Какова бы ни была лампа, если она ртутная, то ее спектр линейчатый». Символически условие можно записать так: х(А(х)>В(х)).
Рассмотрим каждый вариант ответа по отдельности.
1) «У любой ртутной лампы линейчатый спектр».
Предложение в пункте 1) можно переформулировать так: «Какова бы ни была лампа, если она ртутная, то ее спектр линейчатый».
Таким образом, предложение в пункте 1 имеет тот же смысл, что и условие, а значит, оно следует из условия.
2) «Любая лампа с линейчатым спектром - ртутная».
Предложение в пункте 2) можно переформулировать так: «Какова бы ни была лампа, если ее спектр линейчатый, то она ртутная». Символически это предложение может быть записано так: х(В(х)>А(х)).
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 2) не следует из условия.
3) «У любой не ртутной лампы спектр не является линейчатым».
Предложение в пункте 3) можно переформулировать так: «Какова бы ни была лампа, если она не является ртутной, то ее спектр не линейчатый». Символически это предложение может быть записано так: х(¬А(х)> ¬В(х)).
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 3) не следует из условия.
Ответ: 1).
3. № 507069. Согласно русской поговорке «Пока гром не грянет, мужик не перекрестится».
1) Если грянул гром, мужик перекрестится.
2) Если мужик не крестился, то грома не было.
3) Если не было ни грома, ни молнии, то мужик не крестился.
4) Если мужик перекрестился, то был гром.
Решение:
Перепишем условие в форме «Если …, то …»: «Если гром не грянет, то мужик не перекрестится».
Обозначим предложения, участвующие в условии, следующим образом: предложение «Гром грянет» - буквой А, предложение «Мужик перекрестится» - буквой В. Тогда условие запишем так: ¬А> ¬В. Рассмотрим каждый вариант ответа по отдельности.
1) «Если грянул гром, мужик перекрестится».
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 1) не следует из условия.
2) «Если мужик не крестился, то грома не было».
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 2) не следует из условия.
3) «Если не было ни грома, ни молнии, то мужик не крестился». Предложение «была молния» обозначим буквой С.
Составим схему:
Легко проверить, что схема является правильной, значит предложение в пункте 3) следует из условия.
4) «Если мужик перекрестился, то был гром».
Составим схему:
Легко проверить, что схема является правильной.
Значит, предложение в пункте 4) следует из условия.
Ответ: 3), 4).
Задание 2. Выберите утверждения, которые следуют из указанных условий, и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:
1. № 507068. «Известно, что все щуки - рыбы, также известно, что все рыбы плавают в воде. Тюлень тоже плавает в воде».
1) Все тюлени - рыбы.
2) Если животное не плавает, то это не тюлень.
3) Все щуки плавают в воде.
4) Если животное плавает в воде, то оно либо рыба, либо тюлень.
Решение:
Перепишем условие в форме «Если …, то …», и обозначим предложения, участвующие в условии, следующим образом: «Если животное является щукой (А), то оно является рыбой (В)» - тогда первое предложение запишем так: А>В; «Если животное является рыбой (В), то оно плавает в воде (С)» - тогда второе предложение запишем так: В>С; «Если животное является тюленем (D), то оно плавает в воде (С)» - тогда третье предложение запишем так: D>С.
Отметим, что при решении в каждом пункте не обязательно использовать все условие целиком.
Рассмотрим каждый вариант на выбор по отдельности.
1) «Все тюлени - рыбы».
Переформулируем предложение в пункте 1) так: «Если животное является тюленем, то оно является рыбой», запишем его так: D>В.
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 1) не следует из условия.
Заметим, что этот ответ легко получить, не прибегая к построению схемы рассуждений: заключение рассуждения «Все тюлени - рыбы» - ложное высказывание, хотя все посылки рассуждения - истинные высказывания.
2) «Если животное не плавает, то это не тюлень».
Составим схему:
Легко показать, что схема является правильной.
Значит, предложение из пункта 2) следует из условия.
3) «Все щуки плавают в воде».
Переформулируем предложение в пункте 3) так: «Если животное является щукой, то оно плавает в воде», запишем его так: А>С.
Составим схему:
Легко показать, что схема является правильной. Значит, предложение в пункте 3) следует из условия.
4) «Если животное плавает в воде, то оно либо рыба, либо тюлень».
Составим схему:
Легко показать, что данная схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 4) не следует из условия. Ответ: 2), 3).
2. № 506538. «Среди восьмиклассников некоторые участвовали в олимпиаде по математике, а некоторые - по обществознанию. Все те школьники (восьмиклассники), которые участвовали в олимпиаде по обществознанию, не участвовали в олимпиаде по математике».
1) Восьмиклассник, который участвовал в олимпиаде по математике, не участвовал в олимпиаде по обществознанию.
2) Все восьмиклассники участвовали в олимпиаде либо по математике, либо по обществознанию.
3) Среди тех восьмиклассников, которые участвовали в олимпиаде по математике, есть хотя бы один, который участвовал в олимпиаде по обществознанию.
4) Нет ни одного восьмиклассника, который участвовал и в олимпиаде по математике и в олимпиаде по обществознанию.
Решение:
Предложение, участвующие в условии, «Некоторые восьмиклассники участвовали в олимпиаде по математике, а некоторые восьмиклассники участвовали в олимпиаде по обществознанию» символически запишем так:
?х А(х) & ?х В(х).
Предложение «Всякий восьмиклассник, участвовавший в олимпиаде по обществознанию, не участвовал в олимпиаде по математике» запишем так: х (В(х)>¬А(х)).
Рассмотрим каждый вариант на выбор по отдельности.
1) «Восьмиклассник, который участвовал в олимпиаде по математике, не участвовал в олимпиаде по обществознанию».
Запишем предложение символически: А(а) > ¬В(а). Предполагая, что |х (В(х)>¬А(х))| = И, получаем, что |В(а) >¬А(а)| = И. Можно легко доказать, что схема^
является правильной (точнее, предложение В(а) > ¬А(а) равносильно предложению А(а) > ¬В(а)). Значит, предложение из пункта 1) следует из условия.
2) «Все восьмиклассники участвовали в олимпиаде либо по математике, либо по обществознанию».
Символически запишем предложение из пункта 2) так: х (А(х)?В(х)).
Составим схему:
Можно показать, что схема является неправильной Значит, предложение из пункта 2) не следует из условия. Контрпример: «Каково бы ни было натуральное число, если делится на 8, то оно делится на 4. Следовательно, каково бы ни было натуральное число, оно делится на 8 или делится на 4».
3) «Среди тех восьмиклассников, которые участвовали в олимпиаде по математике, есть хотя бы один, который участвовал в олимпиаде по обществознанию».
Символически запишем предложение из пункта 3) так: ?х (А(х)&В(х)).
Составим схему:
Можно показать, что схема является неправильной. Значит, предложение из пункта 3) не следует из условия. Контрпример: «Каково бы ни было целое число, если оно отрицательное, то оно не является натуральным. Следовательно, найдется такое натуральное число, являющееся отрицательным».
4) «Нет ни одного восьмиклассника, который участвовал и в олимпиаде по математике, и в олимпиаде по обществознанию».
Символически запишем предложение из пункта 4) так: ¬?х (А(х)&В(х)).
Составим схему:
Предположим, что посылка принимает истинное значение, выясним, какое значение принимает заключение. Предполагая, что |х (В(х)>¬А(х))| = И, получаем, что |В(а) > ¬А(а)| = И, каким бы не взяли a. Из этого следует, что предложения В(а) и А(а) не могут одновременно быть истинными. Значит, значение заключения будет истинным. Таким образом, схема является правильной, и предложение из пункта 4) следует из условия.
Правильные ответы: 1), 4).
V. Обсуждение полученных результатов решения задач ЕГЭ при помощи распознавания правильных и неправильных рассуждений
Вывод: использование построения схем рассуждений при решении заданий ЕГЭ такого типа хоть и не позволяет ускорить процесс решения (сократить решение), но делает решение достоверным и обоснованным, позволяет аргументировать ответ.
Методические рекомендации
I. Приведем некоторые рекомендации по формированию у учащихся умения распознавать правильные и неправильные рассуждения.
1. При формировании у учащихся умения распознавать правильные и неправильные рассуждения рекомендуем предлагать им такие рассуждения, в посылках и заключении которых присутствуют все кванторные слова, а также, если в посылках или в заключении рассуждения опущены кванторы, но они подразумеваются, следует переформулировать их так, чтобы кванторные слова использовались явно.
2. Рекомендуем выбирать для исследования на правильность (особенно на первых занятиях) такие рассуждения, все посылки и заключение которых просто и наглядно записать символически, чтобы учащимся было проще выявить схему рассуждений.
3. При формировании понятия правильного рассуждения рекомендуется рассмотреть на занятиях примеры:
- правильных рассуждений с ложными посылками;
- правильных рассуждений с ложной посылкой и ложным заключением;
- неправильных рассуждений с истинными посылками и истинным заключением правдоподобного содержания.
Приведем также рекомендации, которыми можно воспользоваться для того, чтобы помочь учащимся выяснить, является ли данное рассуждение правильным, а также для того, чтобы выявить схему данного рассуждения. В основу этих рекомендаций положены рекомендации, приведенные в учебном пособии [69].
II. Рекомендации для выявления схемы данного прямого рассуждения:
1) выявить логическое строение посылок и заключения данного рассуждения и записать эти предложения символически;
2) если посылки в рассуждении сформулированы в категорической форме, рекомендуется перейти к условной форме, только после этого перейти к символической записи посылок и заключения;
3) записать символически само рассуждение в виде 1... n : провести горизонтальную черту и над ней записать символически посылки данного рассуждения, а под ней - его заключение. Здесь через 1, … п, обозначены символические записи посылок и заключения рассматриваемого рассуждения соответственно;
4) заменить в полученной записи данного рассуждения обозначения конкретных предложений с переменными обозначениями произвольных элементарных предложений с переменными, а имена конкретных объектов - обозначениями произвольных объектов, и таким образом получить схему этого рассуждения вида указанным способом из символических записей посылок и заключения этого рассуждения.
III. Рекомендации для выяснения, является ли данное рассуждение правильным:
1) записать схему, по которой построено данное рассуждение;
2) выяснить, является ли полученная схема правильной;
3) сделать вывод, что рассуждение является правильным или неправильным, в зависимости от того, является полученная схема правильной или неправильной.
Результаты опытно-экспериментальной проверки
Опытно-экспериментальная проверка проводилась в 2015/16 уч.г. в общеобразовательной школе МАОУ Ильинская СОШ г. Домодедово. Всего в проверке принял участие 21 учащийся.
Основной целью опытно-экспериментальной проверки являлась проверка эффективности и доступности разработанных учебно-методических материалов.
Опытно-экспериментальная проверка проводилась в несколько этапов:
1. Констатирующий.
2. Поисковый.
3. Обучающий и контролирующий.
В ходе констатирующего этапа установлено, что умение рассуждать, различать (распознавать) правильные и неправильные рассуждения, умение аргументировать свой ответ сформированы у учащихся на низком уровне.
На данном этапе применялись следующие методы исследования: анализ методической литературы, наблюдение во время педагогической практики за попытками учащихся рассуждать на уроках, беседы с учителями, анализ статистических данных о результатах выполнения учащимися задачи №18 на ЕГЭ.
На поисковом этапе опытно-экспериментальной проверки началась разработка методики проведения курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»: составлена программа курса, подобраны задачи по теме «Правильные рассуждения», написаны конспекты некоторых занятий.
На данном этапе применялись следующие методы исследования: анализ математической и методической литературы; нормативных документов; изучение опыта работы отечественной школы по проблеме постановки курсов по выбору в 9 классе.
В ходе обучающего и контролирующего этапа опытно-экспериментальной проверки завершена разработка материалов для проведения курса по выбору
«Математические рассуждения и их строение»; частично проверена доступность отобранных материалов и результативность предложенной методики проведения этого курса, сформулированы методические рекомендации по проведению курса.
На данном этапе проведены: стартовая работа и анкетирование (анкета №1), затем - три занятия, а в конце - итоговая проверочная работа и анкетирование (анкета №2).
Анализ результатов стартовой работы, выполненной учащимися без предварительной подготовки, позволил сделать вывод о низком уровне логических знаний и умений учащихся, связанных с рассуждениями. Результаты анкетирования, проведенного в начале опытной проверки, показали, что учащимся интересно выполнять предложенные логические задания.
Рассмотрим один из вариантов стартовой работы, предложенной учащимся в начале опытно-экспериментальной проверки (остальные варианты стартовой работы приведены в приложении 1). Первая из предложенных задач аналогична задаче № 18 из ЕГЭ (на базовом уровне).
Вариант 1/
1. Выберите утверждения, которые следуют из условия «Когда учитель математики Иван Петрович ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон», и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:
1) Если телефон Ивана Петровича включён, то он не ведёт урок.
2) Если Иван Петрович не проводит урок по математике, то его телефон выключен.
3) Если Иван Петрович отключил свой телефон, то он ведет урок.
4) Если Иван Петрович проводит контрольную работу по математике, то его телефон выключен.
5) Если телефон Ивана Петровича включён, то он ведёт урок.
2. Выясните, является ли рассуждение «Если a = b, то a2=b2. Следовательно, если
a ? b, то a2 ? b2» правильным, и обоснуйте ответ.
Результаты стартовой работы
Критерии оценивания: правильный ответ в каждом задании (пункте задания) оценивался следующим образом: за полное объяснение ставился 1 балл, за объяснение с недочетами ставилось 0,75 балла, без объяснения или с неправильным объяснением ставилось 0,5 балла. За неправильный ответ, независимо от объяснения, ставилось 0 баллов.
В таблице 3 представлены результаты учащихся, давших определенное количество правильных ответов (независимо от обоснования).
Таблица 3
|
Кол-во правильных ответов/ кол-во всех ответов |
0/6 |
1/6 |
2/6 |
3/6 |
4/6 |
5/6 |
6/6 |
|
|
Количество учащихся |
0 |
0 |
0 |
2 (? 9,5%) |
5 (? 24%) |
12 (? 57%) |
2 (? 9,5%) |
Результаты показывают, что большинство учащихся дали почти все правильные ответы, однако главной задачей было обосновать свой ответ. В таблице 4 отражено, какая выставлялась оценка за стартовую работу в зависимости от числа баллов, а также указано в процентах, какое количество учащихся получило указанную оценку.
Таблица 4
|
0 - 2,75 балла |
3 - 3,5 балла |
3,75 - 4,75 балла |
5 - 6 баллов |
||
|
Оценка |
«2» |
«3» |
«4» |
«5» |
|
|
Количество учащихся |
7 (? 33%) |
8 (? 38%) |
6 (? 29%) |
0 (0%) |
Рис. 1
Результаты, представленные в таблице, показывают, что больше 2/3 учащихся (? 71%) неправильно обосновали свой ответ (или не обосновали его вовсе).
Сделаем следующие выводы из результатов стартовой работы.
Из 21 учащегося, участвующего в опытно-экспериментальной проверке:
1. Двое учащихся дали все правильные ответы, однако из-за недостатков в обосновании они получили всего 3,75 и 4 балла при максимуме 6 баллов;
2. Двенадцать учащихся дали правильные ответы во всех пунктах, кроме одного, однако из-за недостатков в обосновании или его отсутствии они получили в среднем 3,42 балла (минимум - 3 балла, максимум - 4,25 балла);
3. Трое учащихся не дали ответа в одном из заданий, так как не приступали к нему или не могли сделать правильный вывод из собственных рассуждений;
4. Четверо учащихся хорошо справились с обоснованиями своих ответов, поэтому они получили от 4 до 4,25 баллов.
Анализ ошибок по форме задания
Форма задания (1):
С заданием в данной форме не справилось 10 учащихся из 21 учащегося.
Форма задания (2):
С заданием в данной форме не справилось 9 учащихся из 21 учащегося. Трое из 9 учащихся, давших неправильный ответ, в качестве обоснования привели условие задания.
Примерно половине учащихся (?48%) не удалось сделать вывод, что предложение не следует из условия в задании с формой (1) и (2).
Форма задания (3):
С заданием в данной форме не справилось 4 учащихся из 21 учащегося. Из 4 учащихся, давших неправильный ответ, 2 учащихся пытались его обосновать, просто переписав условие.
Форма задания (4):
С заданием в данной форме не справилось 3 учащихся из 21 учащегося. Отдельно отметим, что трое учащихся не смогли сделать вывод, например, что если студент сдал сессию на отлично, то он точно сдал ее без троек (или, например, если кошка черная, то она - кошка). Это им помешало дать правильный ответ. Примерно 14% учащимся не удалось сделать вывод, что предложение следует из условия в задании с формой (3) и (4).
Форма задания (5):
С заданием в данной форме не справился 1 учащийся из 15 учащихся.
Форма задания (6):
С заданием в данной форме не справился 1 учащийся из 14 учащихся.
Форма задания (7):
С заданием в данной форме справились все 13 учащихся. В задании такого типа ответ практически очевиден, поэтому у учащихся не возникло трудностей с таким заданием.
Почти все учащиеся (?92%) сделали вывод, что предложение не следует из условия в заданиях с формами (5), (6), (7).
Вывод: отметим, что, обосновывая ответ, учащиеся в большинстве случаев просто переписывали условие, что не является обоснованием. Кроме того, результаты выполнения заданий таких форм, позволяют сделать вывод, что учащиеся не знают или не понимают, как связаны исходное предложение, обратное, противоположное и контрапозитивное ему. Судя по количеству ответов с неправильным обоснованием (или его отсутствием), можно сделать вывод, что большинство учащихся выбирали ответ наугад.
Представим в виде диаграммы 2 статистику правильных/неправильных ответов в зависимости от формы задания ответа на выбор. Выбраны четыре основные формы, представленные в виде следующих схем:
Рис. 2
Сделаем выводы из полученных результатов:
1. Чаще всего учащиеся делают вывод, что предложение следует из условия, когда задание имеет форму (1) или (4) (в ?80% случаев для каждой формы).
2. Вывод, что предложение не следует из условия, делается учащимися примерно в половине случаев, когда задание имеет форму (2) или (3).
3. Обоснование того, что предложение следует из условия, дается учащимся проще, чем обоснование того, что предложение не следует из условия.
Вывод по стартовой работе: всего лишь четверо учащихся справились с заданиями на 4-4,25 баллов (при максимальной оценке в 6 баллов). В стартовой работе предоставлены одни из самых простых задач на распознавание правильных рассуждений. При этом почти каждый из испытуемых допускал ошибки при обосновании ответа, либо вовсе его не обосновывал, что необходимо при решении задач на распознавание правильных рассуждений.
После выполнения стартовой работы учащимся была предложена анкета №1.
Анкета № 1
1. Кажутся ли вам предложенные задачи интересными?
2. Хотели бы вы научиться распознавать правильные рассуждения (выводить следствия из заданных условий)?
3. Какой мотив вы считаете наиболее важным, чтобы научиться решать такие задачи? (это интересно; это поможет изучать доказательства в геометрии; это разовьет логическое мышление; это поможет в решении задач из ЕГЭ; свой вариант).
Результаты анкетирования учащихся
В таблице 5 отражены результаты первого анкетирования учащихся в процентном соотношении.
Таблица 5
|
Ответы на вопросы анкеты |
Кажутся ли вам предложенные задачи интересными? |
Хотели бы вы научиться распознавать правильные и неправильные рассуждения? |
|
|
Ответили «Да» |
? 52% |
? 67% |
|
|
Ответили «Нет» |
? 24% |
? 19% |
|
|
Нет четкого ответа |
? 24% |
? 14% |
Выводы из результатов анкетирования № 1:
1. Чуть более половины анкетированных посчитали предложенные задачи интересными.
2. 2/3 анкетированных хотели бы научиться распознавать правильные рассуждения.
3. Один учащийся, из тех, кто написал в анкете, что умеет распознавать правильные рассуждения, получил всего лишь 3 балла (при максимуме 6 баллов). Следовательно, учащиеся, считая, что умеют правильно рассуждать, переоценивают свои возможности.
4. Из 21 анкетированных 13 ответили, что одним из главных мотивов научиться решать такие задачи является в основном развитие логического мышления.
Таким образом, разработанный курс может быть интересным и полезным для учащихся 9 класса. Так, большинство анкетируемых, отвечая на вопрос 3 «Какой мотив вы считаете наиболее важным, чтобы научиться решать такие задачи?» писали, что такие задачи разовьют логическое мышление: помогут научиться рассуждать правильно, распознавать правильные и неправильные рассуждения и обосновывать ответы.
После проведения стартовой работы и анкетирования были проведены три занятия:
Занятие 1: «Прямые рассуждения. Логическое строение рассуждений». Занятие 2: «Правильные и неправильные рассуждения».
Занятие 3: «Распознавание правильных и неправильных рассуждений».
Затем проведена итоговая работа и анкетирование (анкета №2). Итоговую работу и анкетирование №2 проходило 18 человек.
Рассмотрим один из вариантов итоговой работы, предложенной учащимся в конце опытно-экспериментальной проверки (другие варианты стартовой работы приведены в Приложении 2).
Вариант 1
Выясните, является ли данное рассуждение правильным, и обоснуйте ответ:
1. Если функция постоянная, то она четная. Функция f не является четной. Следовательно, функция f не является постоянной.
2. Число является четным или простым. Дано простое число x. Следовательно, оно не является четным числом.
3. Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны. Треугольник АВС равносторонний и два его угла равны. Следовательно, если треугольник АВС равносторонний, то он равнобедренный.
Результаты итоговой работы
Критерии оценивания: правильный ответ в каждом задании оценивался следующим образом: за полное объяснение ставилось 2 балла, из которых: 0,5 балла ставилось за наличие правильного ответа, 1 балл ставился за правильно построенную схему рассуждения, 0,5 балла ставилось за обоснование ответа (исходя из построенной схемы).
В таблице 6 приведены результаты итоговой работы (без учета обоснования).
Таблица 6
|
(Решено 0 задач) |
(Решена 1 задача) |
(Решено 2 задачи) |
(Решено 3 задачи) |
|
|
0% (0 человек) |
? 17% (3 человек) |
? 67% (12 человек) |
? 17% (3 человека) |
По результатам, представленным в таблице, видно, что примерно 2/3 справились с двумя задачами из трех.
Теперь проанализируем, насколько правильно учащиеся обосновывали свой ответ. В таблице 7 отражено, какая выставлялась оценка за итоговую работу в зависимости от числа баллов, а также указано в процентах, какое количество учащихся получило указанную оценку (с учетом обоснования ответов).
Таблица 7
|
0 - 2,75 балла |
3 - 3,5 балла |
3,75 - 4,75 балла |
5 - 6 баллов |
||
|
Оценка |
«2» |
«3» |
«4» |
«5» |
|
|
Количество учащихся |
5 (? 28%) |
6 (? 33%) |
6 (? 33%) |
1 (? 6%) |
Рис. 3
По результатам из таблицы 7 мы можем сделать вывод, что количество учащихся, сумевших обосновать ответ, по сравнению со стартовой работой, увеличилось в среднем на 5%. Однако, по-прежнему, большинство учащихся давали правильный ответ без обоснования.
Анализ ошибок по заданиям итоговой работы представлен в таблице 8.
Таблица 8
|
Задание №1 |
Задание №2 |
Задание №3 |
||
|
Справилось из 100% учащихся |
? 89% (16) |
? 67% (12) |
? 22% (4) |
В задании №1 только 11% учащимся не удалось сделать вывод, что рассуждение является правильным.
В задании №2 примерно треть учащихся (33%) не смогла сделать вывод, что рассуждение является неправильным.
В задании №3 ?78% учащихся не смогли сделать вывод, что рассуждение является неправильным, поскольку условие состояло из двух предложений (Задание такого типа давалось впервые).
Так как сложность задач во всех трех вариантах была одинакова, приведем общие выводы из результатов выполнения каждой задачи:
Задача № 1. Из 18 учащихся 16 верно определили правильность рассуждения, из них: 9 учащихся привели полное обоснование; 2 учащихся дали правильный ответ, построив схему, но не приведя обоснования; 5 учащихся дали правильный ответ без обоснования, не строя схемы рассуждения (возможно, наугад).
Задача № 2. Из 18 учащихся 12 верно определили неправильность рассуждения, из них: 4 учащихся дали полное обоснование, 8 учащихся правильно построили схему и дали верный ответ. Причем, 1 из тех, кто дал неправильный ответ, привел правильную схему и почти правильно провел решение.
Задача № 3. Из 18 учащихся 4 верно определили неправильность рассуждения, из которых только 1 учащийся построил схему и дал ответ без обоснования, а 3 учащихся не привели схемы и обоснования. Причем, 1 из тех, кто дал неправильный ответ, верно привел схему рассуждения.
Выводы из результатов проверочной итоговой работы:
1 .Выполняя проверочную итоговую работу, учащиеся проявили интерес к заданиям на распознавание правильных рассуждений и к теме «Правильные рассуждения», что подтвердили результаты анкетирования №2.
2 .Результаты этой работы показывают, что материал курса доступен учащимися и в значительной степени усвоен. Эти результаты можно считать вполне удовлетворительными.
Комментарий: поскольку итоговая проверочная работа проводилась на восьмом уроке, возможно, усталость учащихся могла повлиять на их результаты (они могли быть лучше).
После проведенных занятий и итоговой проверочной работы учащимся была предложена вторая анкета, включающая вопросы первой анкеты.
Анкета №2
1. Кажутся ли вам такие задачи интересными?
2. Хотели бы вы научиться распознавать правильные рассуждения?
3. Какой мотив вы считаете наиболее важным, чтобы научиться решать такие задачи? (это интересно; это поможет изучать доказательства в геометрии; это разовьет мышление; это поможет в решении задач из ЕГЭ; свой вариант)
4. Хотели ли бы вы продолжить изучение курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»?
5. Укажите причину(-ны), по которой бы вы посещали/не посещали курс по выбору (подготовка к ЕГЭ; получение знаний сверх школьной программы; решение нестандартных задач).
В таблице 9 проанализированы результаты второго анкетирования, которые заметно отличаются от результатов первого анкетирования.
Таблица 9
|
Ответы на вопросы анкеты |
Кажутся ли вам такие задачи ин- |
Хотели бы вы научиться распознавать правильные рассуждения |
Вопрос 4 |
|
|
«Да» |
? 67% (12) |
? 62% (13) |
? 78% (14) |
|
|
«Нет» |
? 22% (4) |
? 38% (5) |
? 22% (4) |
|
|
Нет ответа |
? 11% (2) |
0% (0) |
0% (0) |
Выводы из результатов анкетирования №2:
1. Отвечая на вопросы 1 «Кажутся ли вам такие задачи интересными?» и 2 «Хотели ли бы вы научиться распознавать правильные рассуждения?», учащиеся более четко и уверенно выражали свое отношение к задачам на распознавание правильных и неправильных рассуждений. При этом количество тех, кому задачи понравились, и тех, кто хотел бы научиться распознавать правильные рассуждения - возросло.
2. Ответы на вопрос 3 «Какой мотив вы считаете наиболее важным, чтобы научиться решать такие задачи?» по сути не изменились, основным мотивом учащиеся считают развитие логического мышления и интерес к таким задачам.
3. Большинство из тех, кто ответил положительно на вопрос 2 «Хотели ли бы вы научиться распознавать правильные рассуждения?», хотели бы продолжить изучение курса «Математические рассуждения и их строение».
4. Ответы на вопрос 4 «Хотели ли бы вы продолжить изучать курс по выбору
«Математические рассуждения и их строение»?» в большинстве положительные. Выводы по обучающему и контролирующему этапам опытно-экспериментальной проверки. Результаты итоговой проверочной работы показали доступность разработанных учебно-методических материалов. Результаты анкетирования, проведенного в конце опытной проверки, показали, что учащимся было интересно изучать материал, связанный с правильными рассуждениями.
Вывод по опытно-экспериментальной проверке в целом: Исходя из положительных ответов в анкетах, проявленной учащимися активности во время обучения можно сделать вывод, что курс по выбору «Математические рассуждения и их строение» вызывает у учащихся одобрение и интерес, а его материалы доступны для девятиклассников. Результаты проверочных работ показали, что разработанные методические материалы доступны для учащихся.
Итак, цель опытно-экспериментальной проверки достигнута - разработанные учебно-методические материалы оказались доступными для учащихся и дали положительный результат при формировании умения правильно рассуждать.
Заключение
В ходе теоретических исследований и опытной проверки были получены следующие результаты.
1. Выявлены психолого-педагогические и методические особенности (основы) проведения математических курсов по выбору в условиях предпрофильной подготовки в 9 классе посредством анализа нормативных документов, исторической, психолого-педагогической, методологической, методической, научноисследовательской, математической и учебной литературы по теме исследования, а также существующих курсов по выбору аналогичной тематики.
2. Разработано содержание курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»: программа (пояснительная записка, содержание основных разделов курса, требования к результатам освоения курса), тематическое планирование. Этот курс ориентирован на решение задач на распознавание правильных и неправильных рассуждений, способствующих развитию логического мышления учащихся и имеющих практическое применение в учебной деятельности и в жизни.
3. Разработаны методические материалы для курса по выбору «Математические рассуждения и их строение»: конспекты некоторых занятий, набор задач, контрольная работа, стартовая работа, методические рекомендации.
4. Проведена опытно-экспериментальная проверка доступности разработанных материалов и результативности разработанной методики.
Таким образом, все задачи исследования решены, и цель работы достигнута. Дальнейшим продолжением данной работы, например, может быть работа, посвященная разработке методики проведения курса по выбору «Методы доказательства математических теорем».
Литература
1. Акири, И.К. Логические тесты на уроках математики / И.К. Акири // Математика в школе. - 1994. - № 6. - С. 27-32.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян и др.]. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.
3. Башмаков, М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Базовый уровень: Учеб. для 10кл. сред. шк. / М.И. Башмаков. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 224 с.
4. Болтянский, В.Г. Математика: Лекции, задачи, решения: Уч. пос. / [В.Г. Болтянский и др.]. - Мн.: ООО «Попурри», 1996. - 640 с.
5. Возрастная и педагогическая психология: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. проф. А.В. Петровского. - М.: Просвещение, 1973. - 288 с.
6. Воронина, Г.А. Элективные курсы: алгоритмы создания, примеры программ: практическое руководство для учителя [Текст] / Г.А. Воронина. - М.: Айрис-пресс, 2006. - 128 с.
7. Гетманова, А.Д. Логические основы математики: 10-11 кл.: электив. курсы : учеб. пособие / А.Д. Гетманова. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2007. - 253с.: ил.
8. Гетманова, А.Д. Логические основы математики: методическое пособие к элективному курсу А.Д. Гетмановой «Логические основы математики» / А.Д. Гетманова. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2006. -175 с.
9. Головина, Л.И. Индукция в геометрии / Л.И. Головина, И.М. Яглом. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1966. - 100 с.
10. Голунова, А.А. Обучение математике в профильных классах: учеб.-метод. пособие / А.А. Голунова. - 2-е изд., стер. - М.: ФЛИНТА, 2014. - с. 204.
11. Градштейн, И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики / И.С. Градштейн. - М.: Физматгиз, 1959. - 128 с.
12. Гусев, В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. … докт. пед. наук / В.А. Гусев. - М.: 1990, 364 с.
13. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. - М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003. - 432 с.
14. Давыдов, В.В. Основные вопросы современной психологии детей младшего школьного возраста. - В кн.: Проблемы общей, возрастной и педагогической психологии / В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, А.К. Маркова. - М.: 1978, С.185.
15. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В.А. Далингер. - М.: Просвещение, 2006. - 256 с.
16. Дорофеев, Г.В. Математика. 6 класс. Часть 1. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. - изд. 2-е, перераб. - М.: Издательство "Ювента", 2010. - 112 с.
17. Дубнов, Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах / Я.С. Дубнов. - М.: Наука, 1969. - 165 с.
18. Загвязинский, В.И. Теория обучения: Современная интерпретация: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.И. Загвязинский. - М.: Издательский центр «Академия», 2001. - 192 с.
19. Зенцова, И.М. Видовое разнообразие курсов по выбору в условиях предпрофильного обучения. Система курсов по выбору с применением средств ИКТ / И.М. Зенцова // Вестник Пермского государственного гуманитарнопедагогического университета. Серия: Информационные компьютерные технологии в образовании. - 2010. - Вып. 6. - С. 70-75.
20. Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учеб. для вузов / И.А. Зимняя. - 3-е изд., пересмотр. - М.: МПСИ; Воронеж: МОДЭК, 2010. - 448 с.
21. Зубкова, Т.А. Организация курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки школьников / Т.А. Зубкова // Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Серия: Информационные компьютерные технологии в образовании. - 2005. - Вып. 1. - С. 150-162.
22. Ивин, А.А. Искусство мыслить правильно / А.А. Ивин. - 3-е изд. - М. - Берлин: Директ-Медиа, 2015. - 308 с.
23. Ивин, А.А. Логика: учебник для гуманитарных факультетов / А.А. Ивин. - М.: ФАИР-ПРЕСС, 2002. - 239 с.
24. Ивин, А.А. Элементарная логика: учебное пособие для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, колледжей / А.А. Ивин. - М.: Дидакт, 1994. - 200 с.
25. Концепция общего среднего образования (ВНИК) // Учительская газета. - 1988. - 23 августа.
26. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Профильная школа. - 2003. - № 1.
27. Лакатос, И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / И. Лакатос. - М.: Наука, 1967. - 152 с.
28. Лихтарников, Л.М. Первое знакомство с математической логикой: кн. для начинающих изучать мат. логику и преподавателей / Л.М. Лихтарников. - СПб.: Лань, 1997. - 109 с.
29. Лукьянова, Е.В. Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы.
30. Мадера, А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. - М.: Просвещение, 2003. - 112 с.
31. Никольская, И.Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская; сост. И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.
32. Никольская И.Л. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.
33. Оганесян, В.А. Научные принципы отбора содержания обучения математике в средней школе. Дисс. ... док. пед. наук / В.А. Оганесян. - Ереван, 1984.- 349 с.
34. Об образовании в Российской Федерации: Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-ФЗ (ред. от 02.03.2016).
35. Об организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы в рамках эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях, реализующих программы среднего (полного) общего образования на 2003/04 учебный год: письмо Минобразования России от 20.08.03 № 03-157ин/13-03 // Вестник образования. - 2003. - № 20. - С. 36-46.
36. Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования: приказ Министерства образования РФ от 09.03.2004 г. №1312 (ред. от 01.02.2012 № 74). - Режим доступа: Система Гарант.
37. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования: приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 г. № 1897 (в редакции приказов от 19.12.2014 г. №1644).
38. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования: приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 г. № 413.
39. О методических рекомендациях по реализации элективных курсов: письмо департамента государственной политики в образовании (от 4 марта 2010 г. № 03-413) /Министерство образования и науки Российской Федерации.
40. Петерсон, Л.Г. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 1 / Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрамов, Е.В. Чуткова. - М.: Издательство «Ювента», 2011. - 136 с.
41. Пинский, А.А. Предпрофильная подготовка учащихся выпускных классов основной школы: результаты первого года эксперимента / А.А. Пинский // Профильная школа. - 2004. - №6. - С. 29-33.
42. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. М.: Наука, 1975. - 463 с.
43. Положение об организации предпрофильного обучения в ГБОУ СОШ № 896
44. Постановление ЦК КПСС, Совмина СССР от 10.11.1966 № 874 «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» (с изм. и доп., внесенными Постановлениями ЦК КПСС, Совмина СССР от 12.11.1986 № 1350 СП СССР, 1987, № 6, ст. 25; от 03.08.1988 № 953) // СП СССР. - 1966. - №23. - С. 205.
45. Программы специальных курсов по математике // Математика в школе. - 1967. - №3. - С. 73.
46. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. Сб. №2. Часть 1 (математика, биология, химия). - М.: Просвещение, 1990. - С. 125.
47. Программы факультативных курсов на 1980-1985 гг. // Математика в школе. - 1980. - №4. - С. 35-38.
48. Проект программы средней школы по математике // Математика в школе. - 1967. - №1. - С. 23.
49. Рагулина, М.И. Компьютерные технологии в математической деятельности педагога физико-математического направления: [Электронный ресурс] монография / М.И. Рагулина. - 2-е изд., стереотип. - М.: ФЛИНТА, 2011. - 118 с.
50. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. - 183 с.
51. Семенов, Е.М. Развитие мышления на уроках математики / Е.М. Семенов, Е.Д. Горбунова. - Свердловск, 1966. - 79 с.
52. Сикорский, К.П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов / К.П. Сикорский; сост. К.П. Сикорский. - 2-е изд., доп. - М.: - Просвещение, 1974. - 367 с.
53. Скаткин, М.Н. Принципы обучения / М.Н. Скаткин // Дидактика средней школы; под ред. М.Н. Скаткина. - М.: Просвещение, 1986. - С. 48-89.
54. Смирнова, И.М. Выпускная квалификационная работа (методика обучения математике): учебное пособие / И.М. Смирнова. - М.: МПГУ «Прометей», 2015. - 168 с.
55. Смирнова, И.М. Критерии отбора содержания математических курсов по выбору / И.М. Смирнова // Наука и школа. - 2014. - №3. - С. 7-13.
56. Смирнова, И.М. Методические рекомендации по изучению курса «Методика проведения факультативных занятий по геометрии с учащимися старших классов…» / И.М. Смирнова. - М.: Прометей, 1989. - 94 с.
57. Смирнова, И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Монография / И.М. Смирнова. - М.: Прометей, 1994. - 152 с.
58. Смирнова, И.М. Педагогика геометрии: монография / И.М. Смирнова. - М.: Прометей, 2004. - 336 с.
59. Содержание Факультативных занятий по математике в 1967/68 и 1968/69 учебных годах // Математика в школе. - 1967. - №2. - С. 33.
60. Столяр, А.А. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником / А.А. Столяр. - Мн.: Нар. асвета, 1987. - 143 с.
61. Столяр, А.А. Методы обучения математике / А.А. Столяр. Мн.: «Высшая школа», 1966. - 191 с.
62. Столяр, А.А. Педагогика математики. Курс лекций / А.А. Столяр. 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: «Вышэйшая школа», 1974. - 384 с.
63. Стратилатов, П.В. Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий: Сборник статей. Пособие для учащихся / П.В. Стратилатов; сост. П.В. Стратилатов. - М.: Просвещение, 1989. - 143 с.
64. Тимофеева, И.Л. Вводный курс математики: учеб. пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева, Е.В. Лукьянова; под. ред. В.Л. Матросова. - М.: Издательский центр «Академия», 2011. - 240 с.
65. Федоров, В.А. Педагогические технологии управления качеством профессионального образования / В.А. Федоров, Е.Д. Колегова. - М.: Academia, 2008. - 208 с.
66. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии / Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.
67. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Рос. акад. наук, Рос. акад. образования; под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. - 4-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2011. - 79 с.
68. Эльконин, Д.Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте / Д.Б. Эльконин // Вопросы психологии. - 1971. - №4. - С.6-20.
Приложение 1
ВАРИАНТЫ СТАРТОВОЙ РАБОТЫ.
Задания для задачи №1 взяты с сайта «РЕШУ ЕГЭ».
Вариант 1.
1. Выберите утверждения, которые следуют из указанного условия, и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:
Условие: «Когда учитель математики Иван Петрович ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон».
1) Если телефон Ивана Петровича включён, то он не ведёт урок.
2) Если Иван Петрович не проводит урок по математике, то его телефон выключен.
3) Если Иван Петрович отключил свой телефон, то он ведет урок.
4) Если Иван Петрович проводит контрольную работу по математике, то его телефон выключен.
5) Если телефон Ивана Петровича включён, то он ведёт урок.
2. Выясните, является ли рассуждение «Если a = b, то a2 = b2. Следовательно, если: a ? b, то a2 ? b2» правильным, и обоснуйте ответ.
Вариант 2
1. Выберите утверждения, которые следуют из указанного условия, и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:
Условие: «Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает».
1) Если Шарик не лает, значит, по забору идёт кошка.
2) Если кошка по забору не идет, Шарик не будет лаять.
3) Если по забору идёт чёрная кошка, Шарик не лает.
4) Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт.
5) Если по забору идет белая кошка, Шарик будет лаять.
2. Выясните, является ли рассуждение «Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число делится на 3. Следовательно, это число делится на 6» правильным, и обоснуйте ответ.
Вариант 3.
1. Выберите утверждения, которые следуют из указанного условия, и обоснуйте свой ответ в каждом пункте:
Условие: «Отец обещал сыну-студенту подарить ноутбук, если он сдаст сессию без троек. Отец всегда выполняет свои обещания».
1) Если сессия сдана на отлично, то ноутбук будет подарен.
2) Если ноутбук был подарен, то сессия сдана сыном без троек.
3) Если сын не сдаст сессию без троек, то отец подарит ему ноутбук.
4) Если сессия сдана сыном без троек, то отец не подарит ноутбук.
5) Если ноутбук не был подарен, то сессия не сдана успешно (без троек).
2. Выясните, является ли рассуждение «Если число делится на 4, то оно делится на 2. Следовательно, если число не делится на 4, то оно не делится на 2» правильным, и обоснуйте ответ.
Приложение 2
ВАРИАНТЫ ИТОГОВОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
Выясните, является ли данное рассуждение правильным, и обоснуйте ответ:
1. Если функция постоянная, то она четная. Функция f не является четной. Следовательно, функция f не является постоянной.
2. Число является четным или простым. Дано простое число x. Следовательно, оно не является четным числом.
3. Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны. Треугольник АВС равносторонний и два его угла равны. Следовательно, если треугольник АВС равносторонний, то он равнобедренный.
Вариант 2
Выясните, является ли данное рассуждение правильным, и обоснуйте ответ:
4. Число может быть отрицательным или положительным. Число x не является отрицательным. Следовательно, число x - положительное.
5. Графиком линейной функции на координатной плоскости является прямая. На координатной плоскости изображена прямая. Следовательно, на координатной плоскости изображен график линейной функции.
6. Если у параллелограмма все углы прямые, то он является прямоугольником. Если дан прямоугольник, то его диагонали равны. Следовательно, если диагонали прямоугольника MNKP равны, то он является параллелограммом.
Вариант 3
Выясните, является ли данное рассуждение правильным, и обоснуйте ответ:
7. Число является простым или четным. Дано четное число x. Следовательно, x
не является простым числом.
8. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. При пересечении прямых a и b секущей c накрест лежащие углы не равны. Следовательно, прямые a и b не параллельны.
9. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом. Четырехугольник XYZW является параллелограммом или ромбом. Следовательно, если четырехугольник XYZW является ромбом, то его противоположные углы попарно равны.
Приложение 3
НАБОР ЗАДАЧ ДЛЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ И ИХ СТРОЕНИЕ".
В данном приложении приведены задачи для курса по выбору трех типов: задачи на распознавание правильных рассуждений; задачи на распознавание правильных схем рассуждений; задачи на выявление следствий из данного условия (типа №18 из ЕГЭ).
Каждый тип задач имеет несколько уровней сложности. Уровни сложности задач определяются сложностью соответствующей схемы рассуждений.
Уровень 1.
4. № 507063. «Собака Шарик, живущая в будке возле дома, обязательно лает, если какая-нибудь кошка идёт по забору».
1) Если Шарик лает, значит, по забору идёт кошка.
2) Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт.
3) Если кошка по забору не идёт, Шарик не лает.
4) Если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять. Ответ: 2), 4).
5. № 510176. «В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты вместо газовых».
1) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме более 13 этажей.
2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
3) Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не более 12 этажей. Ответ: 2), 4).
6. № 509663. «В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт».
1) Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 6 этажей.
2) Если в доме больше 7 этажей, то в нём есть лифт.
3) Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 6 этажей.
4) Если в доме больше 8 этажей, то в нём нет лифта. Ответ: 2), 3).
7. № 506853. «В офисе фирмы компьютеры работают только от сетевого электропитания. Если компьютеры работают, то электричество в офисе есть».
1) Если в офисе нет электричества, то компьютеры не работают.
Подобные документы
Обеспечение сознательного овладения учащимися системой математических знаний, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности как задача обучения математике в школе. Ключевые факторы, которые осложняют межличностное общение девятиклассников.
дипломная работа [7,8 M], добавлен 13.12.2017Концепция профильного обучения учащихся старших классов: цели и общественная необходимость, опыт разных стран. Психолого - педагогические требования к разработке элективных курсов. Разработка, апробация и диагностика элективных курсов по литературе.
курсовая работа [54,0 K], добавлен 30.10.2008Психолого-педагогические особенности обучающихся 9 класса. Курсы по выбору и их значение в предпрофильном обучении. Возможности подготовки обучающихся к государственной итоговой аттестации. Учебно-тематическое планирование и содержание курса по выбору.
дипломная работа [221,5 K], добавлен 01.01.2018Дидактические и методические основы обучения алгоритмизации и программированию в рамках углубленного курса информатики для технологического профиля. Методика изучения программирования на языке Java" с применением элементов электронного обучения.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 13.12.2017Дифференциация обучения - один из важнейших путей развития лицея, колледжа. Интересы, склонности, специальные способности. Педагогическая концепция развития математического мышления учащихся на основе дифференцированного обучения. Уровневое тестирование.
методичка [102,9 K], добавлен 14.03.2011Специфика дифференцированного обучения учащихся по математике. Повышение познавательной активности на уроках математики посредством дифференцированного подхода. Психолого-педагогические основы и критерии. Методика организации работы по обучению.
курсовая работа [60,7 K], добавлен 24.05.2012Получение среднего образования и духовного развития в зависимости от склонностей и интересов учащихся. Изучение инновационных форм обучения, их классификация, возможности их положительной реализации в процессе дифференцированного обучения на практике.
реферат [19,6 K], добавлен 24.12.2013Теоретические основы индивидуального подхода в подготовке учащихся к выбору профессии на уроках технологии в 8 классе. Учет возрастных и индивидуальных особенностей школьников. Разработка приемов реализации индивидуального подхода в подготовке учащихся.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.10.2008Суть элективных курсов, целью которых является ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности. Мотивы выбора школьниками элективных курсов.
курсовая работа [56,5 K], добавлен 07.12.2011Использование дифференцированного подхода на уроках математики как основа формирования индивидуализма ребенка. Технологии разноуровневого обучения. Групповая и индивидуальная форма работы. Выявление математических способностей учащихся младших классов.
курсовая работа [33,9 K], добавлен 14.10.2013
