Программа математического развития дошкольников

Наглядное моделирование в процессе решения арифметических задач.

Обогащение содержания обучения и развития (связи и зависимости, логические операции и т.д.).

Задание 5

Завершить предложение:

«Основные свойства однородных величин - это сложение, вычитание, умножение, деление, измерение».

Соотнести способы сравнения величин с их содержанием:

Непосредственные	Сантиметр, метр, килограмм, литр, километр
Опосредованные	Наложение, приложение
Использование эталонных мер	На глаз, измерение условной меркой

Непосредственные - наложение, приложение.

Опосредованные - на глаз, измерение условной меркой.

Использование эталонных мер - сантиметр, метр, килограмм, литр, километр.

Сконструировать игровую обучающую ситуацию

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ПРЕДМЕТА. (Измерение ленты)

Каждому ребенку выдается по две «числовые» картинки, при-1м такие, что множество элементов, изображенное на одной из них, всегда содержит на один элемент меньше, чем множество, изображенное на другой. Дети играют в «определение» -- устанавливают, чего больше или чего меньше: кошек или мисок, кроликов или морковок, детей или санок, снеговиков или шляп и т. п., выражая все свои выводы с помощью картонных карточек со знаками >, <. После этого можно изменить задания, предложив детям вписать необходимые знаки в заранее подготовленные упражнения на закрепление умения определять отношения «больше» или «меньше». Необходимо внимательно наблюдать за процессом выполнения каждого задания, чтобы иметь возможность сориентироваться, кому из детей и когда нужно помочь Советом, дополнительно разъяснить, что надо делать.

4. Современные методические подходы к обучению дошкольников счету, знакомству с цифрами

1. На основе анализа раздела «Математика» в Учебной программе дошкольного образования заполнить следующую таблицу. Поставить знак «+» в соответствующие пустые строки-столбцы:

Возраст детей Действия по освоению количественных отношений и чисел	1-2 года	2-3 года	3-4 год	4-5 лет	5-6 лет
1. Манипулирование с предметами	+	+	+	+	+
2. Раскладывание предметов по цвету, размеру, форме, в ряды, круги	+	+	+	+	+
3. Увеличение и уменьшение количества: один, еще одни, ...иного; много ..; мало--одни		+	+	+	+
4. Сравнение групп предметов по количеству и выделение отношений: больше-меньше; мало-много; одни, два, три			+	+	+
5. Счет, сравнение групп предметов по числу			+	+	+
6. Отсчитывание предметов по заданному числу				+	+
7. Практическое освоение состава чисел из единиц, двух меньших				+	+
8. Решение арифметических задач					+
9. Деление целого ни равные части					+
10. Измерение непрерывных величин, получение чисел как результата измерения					+

Разработать или подобрать серию игровых обучающих заданий, ситуаций, направленных на овладение детьми действий по освоению количественных отношений и чисел

Цель. Учить соотносить слово -- числительное с количественным составом множества.

Способ выполнения. Используя коробку с большими пуговицами, педагог играет с детьми в «Оладушки». Читая текст потешки, раздает играющим по одной пуговице, называя детей по имени.

Бабушка, бабушка. Испекла оладушки. Один -- Ванечке, Один -- Мишеньке и т. д.

Затем пуговицы возвращаются в коробку (съели оладушки), при этом их можно считать (пока этот счет в устах педагога звучит для детей как еще одна приговорка: одна, две, три...).

Варианты. Детям раздают по 2, затем по 3 пуговицы в соответствии с текстом:

Бабушка, бабушка Бабушка, бабушка

Испекла оладушки. Испекла оладушки.

Ване -- два, Ване -- три,

Мише -- два.., Мише --три...

Каждому ребенку дают столько пуговиц, сколько он попросит:

Бабушка, бабушка Испекла оладушки. Ване? (Ребенок отвечает.)

Три! Мише?

Два! и т. д.

Заполнить таблицу. Поставить знак «+» в соответствующих графах: Приемы сравнения множеств

Приёмы Возрастн. группа	Наложение	Приложение	Соединение линиями	Составление пар	Использование эквивалентов	С помощью счета и сравнении чисел
Малыши	+	+
Почемучки	+	+		+		+
Фантазеры	+	+	+	+	+	+

Разработать игровую обучающую ситуацию, направленную на освоение детьми одного из приемов сравнения множеств.

Игры на развитие логического приема «сравнение»

Дидактический материал к играм на сравнение

Сколько цветов нарисовано? Сколько всего лепестков на цветках? На каком цветке лепестков меньше? На сколько?

Сколько яблок нарисовано? Сколько яблок справа от квадрата? Сколько слева? С какой стороны от квадрата яблок больше? На сколько?

Сколько фруктов? Чего меньше? Чего поровну?

Сколько кусочков сыра висит на елке? Найди два одинаковых кусочка. Сколько в них дыр?



Проверь: мячей сколько же, сколько флажков, или нет?

Рассмотри внимательно картинку. Чего больше - огурцов или помидоров? На сколько?

Сколько ведер? А лопат? Чего больше? На сколько?



На основе изучения исследовательских материалов ответить на вопросы:

Что такое сохранение?

Сохранение - осознание того, что изменение формы или внешнего вида материалов не приводит к изменению их объема, массы, количества.

Какие виды преобразований должен научиться различать ребенок, чтобы постичь принцип сохранения количества?

Дети переходят к пониманию сохранения на небольших количествах и к полному признанию сохранения количества, неизменности количества при различных его видоизменениях. Для понимания независимости количества предметов от их несущественных свойств необходимо осмысление детьми противоречий между внешними признаками предметов, познаваемыми визуально, и числовыми, познаваемыми на основе счета.

С помощью каких способов ребенок может оценить состояние дискретных величин и непрерывных величин?

Расположение предметов в виде числовой фигуры в большей мере, нежели линейное, способствует восприятию множества или целостного единства, но затрудняет восприятие отдельных элементов. Об этом свидетельствует характер выполнения задания. На предложение взять и положить столько же пуговиц, сколько их нарисовано на числовой фигуре, дети 2--3 лет берут одной рукой горсть пуговиц из коробки и высыпают их на карточку. Старшие дети пытаются накладывать пуговицы на их изображения, но далеко не всегда в том же количестве. Они заполняют и промежутки между отдельными изображениями. Следует отметить, что движения рук и глаз детей иные, чем при воспроизведении линейно расположенного множества. Как правило, в данном случае дети, накладывая пуговицы на рисунки, действуют одной рукой. Если ребенок раскладывает пуговицы правой рукой, он обычно начинает от нижнего рисунка справа и направление его движения идет по кругу против часовой стрелки. Если же раскладывание пуговиц проводится левой рукой, оно также начинается обычно с нижней пуговицы слева и направление движения идет по часовой стрелке.

Эти особенности движения позволяют считать, что множество, изображенное в виде числовой фигуры, действительно воспринимается детьми как единое замкнутое целое, но точное количество не воспроизводится. Однако в этот же период численность линейно расположенного множества начинает воспроизводиться адекватно. Из этого следует, что, чем меньше дети, тем большее значение для восприятия количества приобретает линейное расположение предметов. При обучении, пользуясь приемом наложения пуговиц на рисунки, дети уже в возрасте трех лет точно воспроизводят количество предметов, если они расположены в ряд.

Каким образом ребенок может оценить преобразования дискретных величин и непрерывных величин?

Дети 2--3 лет берут одной рукой горсть пуговиц из коробки и высыпают их на карточку. Старшие дети пытаются накладывать пуговицы на их изображения, но далеко не всегда в том же количестве. Они заполняют и промежутки между отдельными изображениями. Следует отметить, что движения рук и глаз детей иные, чем при воспроизведении линейно расположенного множества. Как правило, в данном случае дети, накладывая пуговицы на рисунки, действуют одной рукой. Если ребенок раскладывает пуговицы правой рукой, он обычно начинает от нижнего рисунка справа и направление его движения идет по кругу против часовой стрелки. Если же раскладывание пуговиц проводится левой рукой, оно также начинается обычно с нижней пуговицы слева и направление движения идет по часовой стрелке.

Эти особенности движения позволяют считать, что множество, изображенное в виде числовой фигуры, действительно воспринимается детьми как единое замкнутое целое, но точное количество не воспроизводится. Однако в этот же период численность линейно расположенного множества начинает воспроизводиться адекватно. Из этого следует, что, чем меньше дети, тем большее значение для восприятия количества приобретает линейное расположение предметов. При обучении, пользуясь приемом наложения пуговиц на рисунки, дети уже в возрасте трех лет точно воспроизводят количество предметов, если они расположены в ряд.

- каковы возможности и особенности оценки детьми состояния и преобразования величин?

На определенной ступени развития, в 2--3 года, в действиях со множествами, от безразличия к цвету, форме, размеру предметов дети переходят к подбору их по принципу однородности. Они по собственной инициативе обменивают некоторые пуговицы, чтобы все предметы были одинакового цвета. Эта требовательность к однородности проявляется при любом расположении предметов.

Из этого следует, что детей раннего возраста необходимо научить группировать предметы по разным признакам, что способствует овладению классификацией как одной из умственных операций. Поэтому одна из задач обучения детей трех лет состоит в формировании умения составлять множества из разных по качеству элементов.

Подобрать или разработать ситуацию экспериментирования, которая направлена на освоение детьми принципа сохранения количества. Составить конспект ИОС

Цель: определить сформированность у детей 5--6 лет понятий о сохранении длины предметов.

Детям предлагаются два варианта заданий.

1. Демонстрируются две одинаковые деревянные палочки А и А1, лежащие на одном уровне.

Вопросы:

-- Что ты видишь на столе?

-- Одинаковые палочки по длине или нет?

(Дети дают правильный ответ: палочки одинаковые.)

2. Палочку А1 педагог отодвигает на несколько сантиметров от палочки А (на глазах у ребенка).

Вопрос: Посмотри и скажи, а сейчас какая палочка длиннее?

(Обычно дети утверждают, что палочка А стала длиннее.)

Вывод: у детей 5--6 лет отсутствует понятие о сохранении длины предметов.

Необходима работа по формированию данного понятия.

Разработать игровое упражнение, в процессе которого дети смогут понять различия между количественным и порядковым счетом.

Упражнение 1

Материал: иллюстративный материал к сказке «Теремок».

На верхней полоске наборного полотна помещают 1 зайчика, а на нижней -- 1 белочку. (Белочку точно под зайчиком.)

1. Воспитатель выясняет, сколько белочек и зайчиков, затем добавляет еще 1 белочку и сообщает, что дети будут учиться не только различать, каких предметов больше, каких меньше, но и говорить, сколько их, а считать она будет сама. «Сколько зайчиков? А сколько белочек? 1, 2,-- считает педагог,-- всего 2 белочки».

2. Интонацией выделяет итог счета и обводит белочек рукой. «Посмотрите, кого больше: зайчиков или белочек? А сколько белочек? Кого меньше? Сколько зайчиков?» Дети показывают лишнюю белочку.

3. Воспитатель обобщает ответы детей: «Белочек 2 -- их больше, а зайчик 1, зайчиков меньше, чем белочек». Затем добавляет зайчика. Выясняет, сколько их стало. Педагог считает зайчиков, после чего спрашивает: «Поровну ли стало белочек и зайчиков? Поскольку же белочек и зайчиков?» Проверяет, правильно ли ответили дети, еще раз пересчитывает обе группы. Дети называют число белочек и зайчиков. Затем педагог убирает 1 белочку, выясняет, сколько их осталось. «А сколько зайчиков? Кого больше (меньше)? Какое число больше (меньше): 1 или 2?»

Упражнение 2

«Поднимите карточки все, у кого нарисовано 4 (5, 6, +) предмета, идите к доске»,-- говорит воспитатель. Дети становятся в ряд и показывают свои карточки. Остальные проверяют, правильно ли выполнено задание. Внимание детей обращается на то, что, хотя на карточках нарисованы разные игрушки, всех их по 5 (по 6, +). В ходе работы ребята обмениваются карточками, передавая свою карточку соседу слева или справа.

Подобрать 2-3 задания для детей разного возраста на освоение ими принципа независимости количества предметов в группе от других свойств. Воспитатель раздает играющим по одному конверту с разным количеством фигурок -- от 1 до 8, причем одном из них нет ни одной фигурки. Дети вынимают из конвертов, пересчитывают их, сравнивают, у кого сколько. Оказывается, у всех по-разному.

Воспитательница последовательно называет различные числительные, а тот из играющих, у кого имеется соответствующее число фигурок, должен положить их в центре стола.

-- Один, -- говорит воспитательница.

Одна фигурка у Гали, которая и кладет ее в указанном месте, помещая рядом с ней картонную карточку с цифрой 1.

-- Два. -- Оля укладывает две имеющиеся у нее фигурки в ряд так, чтобы первая из ее фигурка лежала точно под фигуркой Гали. После этого она находит и кладет рядом карточку с цифрой 2,

-- Три, -- Три фигурки у Леши, который располагает их строго под фигурками Оли, не забывая положить и карточку с цифрой 3.

А теперь моя очередь! У меня четыре фигурки! -- говорит Саша.

А почему ты думаешь, что твоя очередь?

А потому, что сначала была одна фигурка, потом положили две и одна торчала, потом положили три фигурки и снова одна торчала. Теперь надо положить четыре фигурки. Я положил, и видите, снова одна фигурка торчит. Я положу еще рядом карточку с цифрой 4.

--А что означают слова «одна фигурка торчит»?

--Это значит, что всегда на одну фигурку больше.

--У Лены пять фигурок, и поэтому она должна уложить их под фигурками Саши, -- говорит Леша. -- Смотрите, получилась как будто лестница.

Теперь уже дети сами называют очередное числительное, укладывая каждый раз соответствующее число фигурок и карточку с соответствующей цифрой, -- и так до 8 включительно.

--А у меня вообще нет фигурок. Почему? -- спрашивает Лена.

Воспитательница поясняет:

--Тот факт, что в конверте нет ни одной фигурки, выражается с помощью цифры «нуль». Посмотрите на эту карточку. Положите карточку с цифрой «нуль» рядом с пустым конвертом. Попробуйте теперь выразить с помощью числительных, сколько фигурок было в каждом конверте.

Лена называет числа, выраженные цифрами, лежащими рядом с каждым из множеств фигурок:

- Пустой конверт -- нуль, одна, две, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь. Далеко не все могли свободно выразить с помощью слов-числительных численности множеств фигурок. Для того чтобы выработать у детей соответствующие навыки, воспитательница прибегала к использованию в своей работе всякого рода дидактических игр и упражнений.

Памятка для воспитателей «Освоение детьми отношений «часть-целое».

Развитию понятия о числе служат упражнения в делении предметов на равные части. Дети учатся видеть части в целом предмете, выявляют отношение целого и части.

Делению предметов на равные части отводят 6--7 (последовательно проводимых) занятий, а затем до конца года к этому периодически возвращаются.

На первом занятии создают ситуации, при которых возникает необходимость разделить предмет на 2 равные части, например разделить угощение между 2 куклами или 2 детьми (гостями), помочь 2 жадным медвежатам разделить сыр и т. п.

Воспитатель показывает, как надо делить предметы на 2 равные части, т. е. пополам, подчеркивает, что он точно складывает и разрезает предмет посередине, потом сравнивает полученные части, накладывая одну на другую или прикладывая одну к другой. Дети считают части, убеждаются, что они равные. Воспитатель говорит, что любую из 2 равных частей обычно называют половиной.

Следующий предмет воспитатель намеренно делит на 2 неравные части и спрашивает: «Можно ли такую часть назвать половиной? Почему нет?»

Дети видят, что предметы могут быть разделены как на равные, так и на неравные части. Половиной 1 из 2 частей можно назвать лишь тогда, когда части равны.

Постепенно дети убеждаются в том, как важно точно складывать, разрезать предметы, чтобы получились равные части. Выполнив действие, они проверяют (наложением и приложением), равные ли получились части, считают их и, соединив вместе, получают целый предмет, обводят его контур и части рукой, сравнивают размер целого и части.

На втором занятии воспитатель расширяет круг предметов, которые дети делят пополам. Можно использовать крупу, воду. Их распределяют поровну в 2 прозрачных стакана одинаковых размеров.

На третьем занятии показывают способы деления предметов на 4 равные части, т. е. пополам и еще раз пополам. Устанавливают отношения между целым частью: часть меньше целого, целые части. Дети получают по 2 предмета одинаковых размеров, в чем они убеждаются, накладывая I предмет на другой. Они делят 1 предмет на 2 равные части, другой -- на 4. Соединив части вместе, они получают целый предмет, пересчитывают части, показывают 1 из 2 частей, 2 из 2 частей, соответственно 1 (2, 3, 4) из 4 равных частей. Сравнивают размер 1 части и целого.

Аналогичным образом на следующем занятии показывают взаимосвязи между разными частями единого целого. Дети получают по 3--4 листа бумаги одинакового размера, первый кладут перед собой, второй делят на 2 равные части, а третий -- на 4 (можно четвертый лист разделить на 8 равных частей).

Соединяя части (как бы оставляя листы целыми), дети раскладывают их один под другим, показывают 1 из 2 частей, 1 из 4 частей, сравнивают размер 1/2 и 1/4 части и их количество. Что меньше: целый лист или половина? Что больше: половина или 1 из 4 частей, 1/2? Какая часть меньше всех? Почему? И т. п.

Полезно установить связь между количеством действий разрезания и количеством получившихся частей. Например, воспитатель спрашивает: «Сколько раз надо сложить квадрат пополам, чтобы получились 2 равные части? А 4 части?»

Для обобщения знаний можно использовать схемы деления того или иного предмета на равные части (яблока, круга, квадрата и пр.). Рассматривая с детьми схему, воспитатель спрашивает: «На сколько равных частей сначала разделили яблоко? Сколько получилось таких частей? На сколько равных частей потом разделили яблоко? Сколько получилось частей? Что больше и что меньше: половина или целое яблоко? 2 половины или целое яблоко? 1 из 4 частей (1/4) или половина (1/2)?» И т. д. Такие упражнения дети обычно воспринимают как игру и с удовольствием отвечают на вопросы.

На последующих занятиях проводят упражнения в делении геометрических фигур на 2, 4, 8 частей и в составлении целых фигур из частей, например: «Как надо сложить и разрезать квадрат, чтобы получились 2 равных прямоугольника? Чтобы получились 2 равных треугольника?» (Надо согнуть квадрат стороной к стороне или сложить уголок с уголком.) Дети рассказывают о том, какие фигуры и как они разделили и что получилось в результате деления, какой формы части, сколько их.

Проводят и специальные упражнения в составлении фигур из частей: «Сколько кругов можно сложить из 4 полукругов?» Можно показать части фигур: «Это 1 из 4 (I из 2, 1 из 8) частей квадрата. Догадайтесь, сколько было квадратов. Составьте их».

Полезно побуждать детей находить наиболее удобные (рациональные) способы деления предметов на части с учетом их размера, формы, пропорций. Например, надо сравнить, как легче разделить на 4 части узкую полоску (ленту) и квадрат (кусок ткани). Дети решают, что узкую полоску удобнее складывать по длине пополам и еще раз пополам, а квадрат -- последовательно сложить противоположными сторонами. На одном из последних занятий по этой теме целесообразно сравнить результаты деления на равные части предметов разных размеров. Детям предъявляют 2 предмета контрастных размеров, например большой и маленький круг или квадрат. Воспитатель делит фигуры на 2 (4) равные части, берет по 1 из частей каждой фигуры и просит детей сказать, как можно назвать эти части «Это половина и это половина. Объясните, почему они разных размеров». Помогая детям, воспитатель показывает запасные фигуры соответствующего размера. Делает вывод: половина большого круга больше половины маленького, а половина маленького круга меньше половины большого круга.

Предметы были разных размеров, и их части тоже разных размеров. Целесообразно здесь же противопоставить результаты деления на части предметов, равных по величине.

При проведении упражнений в делении предметов на равные части воспитатель постоянно следит за тем, чтобы дети точно выполняли действия, проверяли равенство частей, пользуясь приемами наложения и приложения, а также измерения условной меркой, приучает детей употреблять в речи следующие слова и выражения: разделить на равные части, целое, половина, пополам, одна из двух частей, одна из четырех частей, а несколько позднее -- одна вторая, одна четвертая. Последние выражения не следует специально заучивать, дети постепенно их запоминают. Каждый раз ребята пересчитывают части, а соединяя их вместе, получают 1 целый предмет, устанавливают отношение между целым и частью.

В итоге ряда занятий можно задать детям вопросы, позволяющие обобщить знания: «Сколько раз надо сложить круг, чтобы разделить его на 2 (4, 8) равные части? Если квадрат сложить 1 (2, 3) раз пополам, сколько частей получится? Если я вас прошу дать мне половину груши, на сколько частей вы ее разделите? А если попрошу 1/2»? Сколько таких частей в целой груше? На сколько частей я разделила целое, если это 1 часть из 4 (из 2)? Если мы разделим пополам большой предмет и маленький, половина какого предмета будет больше? А меньше? Почему?»

Деление на части позволит показать детям возможность дробления предметов на равные доли, наглядно выявить отношение целого и части, и, таким образом, создается условие для осознания детьми процесса измерения величин. При измерении предмет как бы дробится на части, сумма которых и характеризует его величину.

После того как дети овладевают приемами измерения, им можно предложить разделить палку, рейку, дощечку, нарисованный на доске прямоугольник и пр. на 2, 4, 8 равных частей. Ребята видят, что данные предметы не сгибаются, усвоенные способы деления не подходят. Как быть? Воспитатель не спешит с подсказкой. Он раскладывает перед детьми предметы, которыми можно воспользоваться в качестве мерки. Здесь детям и помогает понимание взаимосвязи между размером предметов и размером их соответствующих частей. 1--2 наводящих вопроса -- и дети догадываются, что надо выбрать подходящую мерку, отмерить кусок, равный длине предмета, разделить мерку (сложить) на соответствующее количество частей и затем отмерить эти части на предмете, сделать отметки карандашом, мелком и др.

Полезно поупражнять детей в делении геометрических фигур, нарисованных на бумаге в клетку. Дети рисуют фигуры заданного размера, а затем по указанию воспитателя делят их на 2, 4 равные части, измеряя по клеткам. По указанию воспитателя они проводят отрезки длиной от 2 до 10 клеток сверху вниз или слева направо и делят их на части, равные длине 1, 2, 3, 4, 5 клеток. Устанавливают связи между величиной мерки и количеством получившихся частей: «На сколько частей разделится отрезок, если каждая часть будет равна 2 клеткам? Если мы разделим отрезок на 3 равные части, чему будет равна 1 часть?». Упражнения в делении предметов на равные части позволяют перейти к обучению измерению, а умение измерять дает возможность делить на части самые разнообразные предметы.

Разработать ИОС по знакомству детей дошкольного возраста с цифрами.

"Найди цифру"

Цель: знакомство с графическим образом цифр. Обучение соотносить цифру и обозначаемое ею количество предметов.

Понадобятся кубики, фишки, геометрические фигуры из картона или пластика, карточки и т. п. На них пишем цифры 1 и 2, а также рисуем разные значки, буквы, символы (10-20 штук). На карточках, фишках и фигурках цифры и другие знаки пишем с двух сторон, на кубиках - со всех сторон. Играть можно вдвоем, втроем. Задача ребенка - найти цифру, которую вы ему показали:

- Вот цифра 1. Ее пишут, когда хотят обозначить только один предмет: один нос, один медведь… Найди такую же цифру на кубиках и карточках. Сколько единиц ты найдешь?

Выиграл тот, кто нашел больше цифр.

Вариант: Показываем ребенку сразу две цифры 1 и 2. Просим отобрать похожие на каждую из них.

Просим показать среди предметов упражнения фигурку, которая только одна. (Только один красный кубик. Только один зеленый треугольник.)

- Найди, чего у нас два. (Два больших синих треугольника. Два желтых кубика.)

Вариант: Если ребенок легко выделяет показанные ему цифры, распознает их в любом положении (в том числе узнает их вверх ногами), можно показать ему на этом же занятии цифру 3 и добавить упражнение на ее распознавание.



Подготовить (письменно) ответы на вопросы:

- Как знакомить детей с числами второго десятка с помощью различных дидактических средств?

Методически можно выделить три этапа в организации знакомства дошкольников с двузначными числами.

1-й этап: знакомство детей с десятком как счетной единицей.

Для того чтобы не вдаваться в терминологические сложности и не перегружать материал введением понятия «разряд», удобно целиком провести знакомство с десятком и его записью с помощью цифр на предметной модели.

Знакомя дошкольников с числом десять (первым двузначным числом и первым целым десятком), очень важно рассмотреть его с различных позиций: и как новое число в ряду (следующее за девятью и потому подчиняющееся общему принципу построения множества натуральных чисел), и как первое число, в записи которого использованы два символа; и как новую счетную единицу (десяток), для чего используют связку десяти палочек в качестве единицы счета: один десяток, два десятка, три десятка...

Не следует торопиться вводить стандартные названия этих десятков (двадцать, тридцать и т. п.), полезнее одно-два занятия использовать связки десятков для счета. Удобным при этом является то, что процесс счета целыми десятками аналогичен процессу счета единицами (два, три, четыре). Символическое обозначение десятков (запись с помощью цифр) при этом можно не вводить.

Далее можно провести аналогию способа записи целых десятков с предметной моделью числа.

Нуль в такой аналогии символизирует «связку», охватывающее колечко. Для усвоения этой аналогии полезно сразу же предлагать детям и задания обратного вида: покажите на палочках число тридцать (три связки), число сорок (четыре связки) и т. п.

Данные виды заданий используются при изучении этой темы в школе, поэтому являются преемственными.

2-й этап: знакомство с числами второго десятка.

Используя модель из палочек, легко выстроить знакомство ребенка с двузначными числами в соответствии с теорией использования обучающих моделей: сначала вещественная модель понятия, затем графическая и затем символическая (т. е. запись числа цифрами).

Знакомство с числами второго десятка (11-20) удобно начинать со способа их образования и названия чисел, сопровождая его сначала моделью на палочках, а затем чтением числа по этой модели

Использование вещественных моделей для знакомства с названиями и способом образования чисел второго десятка позволяет обойтись на первом этапе без символической (цифровой) записи двузначного числа. Запоминание названий двузначных чисел в этом случае не будет затруднено для детей противоречащей названию записью: 11, 13, 17. Дети б лет часто путают названия чисел второго десятка с их записью. Дело в том, что традиция чтения текстов слева направо в европейской, в том числе и русской, письменности противоречит визуальному восприятию записи числа, где первой (для привычного способа чтения) стоит цифра десятков, а цифра единиц (с которой на самом деле надо начинать, называя число) стоит второй.

В связи с такой особенностью чисел второго десятка многие дети даже в первом классе долго путаются при записи их на слух и чтении по записи. Раннее введение символики (а в школе модель на палочках и символическая запись числа вводятся одновременно на первом же уроке знакомства с двузначными числами) играет в данном случае отрицательную роль как для запоминания названий чисел второго десятка, так и для понимания их структуры.

Для формирования правильного представления о структуре двузначного числа следует всегда класть десятки слева, а единицы справа. Таким образом ребенок интериоризирует (зафиксирует во внутреннем плане) правильный образ понятия, без специальных многословных и не всегда понятных ему объяснений педагога.

На следующем этапе предлагаем ребенку соотнесение вещественной модели и символической записи. Затем переходим на графические модели (рисунки) и к чтению чисел по графической модели

Знакомя дошкольников с двузначными числами, нет нужды торопиться, поскольку эти знания фактически далеко выходят за рамки требуемой подготовки по математике к школе. Намного полезнее уделить больше внимания формированию адекватных образов изучаемых понятий, накоплению запаса правильных представлений и способов деятельности с моделями этих понятий.

- Какой дидактический материал дает возможность «измерять» числа?

Среди учебных пособий, игровых материалов, игр наиболее уместны во всех возрастных группах цветные счетные палочки Кюизенера; блоки Дьенеша; настольно-печатные дидактические игры; головоломки; логико-математические задачи (игры); счеты (вертикальные и горизонтальные); кубики с цифрами и знаками. Эти учебные пособия и материалы наиболее эффективны при освоении дифференцировки количественных групп, группировке объектов по свойствам с выделением количественных отношений, порядковом и количественном счете, абстрагировании числа, соотнесении цифры, числа и количества, воспроизведении по числу, сравнению, измерению, увеличению и уменьшению на числах.

Примеры использования палочек с целью освоения сравнения по количеству и числу, счета

Палочки, обозначающие числа 2, 3, 4, 5, раскладываются на столе в ряд, но на некотором расстоянии друг от друга. Над каждой из них располагается соответствующая цифра (илл.).

Под каждой из палочек ребенок раскладывает такое же количество мелких предметов. Уточняется значение слов столько же, тоже два, назначение цифр, обозначающих как числовые значения палочек, так и количество отдельных предметов.

Каждая из палочек сопоставляется с соответствующим количеством белых кубиков (единиц). Уточняется количественное значение каждой из палочек (числа), ее состав из единиц. Дети упражняются в сосчитывании, соотнесении числа и цифры.

С целью познания детьми последовательности чисел натурального ряда (порядка следования -- прямого и обратного), места каждого числа в этом ряду путем выделения отношений (какое из сравниваемых больше на единицу или меньше какого числа); развития умения пользоваться порядковым счетом и отличать его от количественного широко используется прием составления из палочек числовых лесенок. Лесенки составляются по-разному. Самой простой является лесенка, составленная слева направо на плоскости. По ней удобно «шагать», используя маленькую игрушку, сосчитывать ступеньки, оставлять на время игрушки на какой-либо ступеньке и находить ее на второй, пятой и т.д.; обозначать цифрами номер каждой ступеньки, спускаясь по ней, осваивать умения называть числа в обратном порядке. Например, спускаясь с четвертой на третью ступеньку, с третьей -- на вторую, со второй -- на первую, затем на пол, ребенок познает количественное и порядковое значения числа.

Составление двусторонней лесенки (подъем и спуск) способствует большему разнообразию в упражняемости детей. Например, при подъеме на лесенку (или спуске) зайчик остановился на 6-й ступеньке, а лиса -- на 7-й. После сравнения с целью определения места каждого из них -- кто выше, кто ниже -- выясняется порядковый номер каждой из ступенек, на сколько ступенек надо подняться или спуститься и кому, чтобы оказаться вместе. Дети практически познают отношения между числами (больше, меньше на один), способ получения большего или меньшего на единицу числа, значение слов до, после.

Прием составления ковриков предназначен для освоения детьми состава чисел из двух меньших и действий сложения й вычитания. Коврики можно составлять свободно, выравнивая левую и правую стороны, можно по условию. Например, так, чтобы каждая полоса состояла из палочек одного цвета; из ограниченного количества палочек; из разноцветных палочек; чтобы в составе одного ряда обязательно была розовая палочка и т. д.

5. Методика знакомства детей со сложением чисел

Задание 1

Изучить пособия, которые позволяют познакомить детей со способами получения чисел, отношениями между смежными числами, составом чисел

Представления о числах Пособия	Образование чисел	Отношения между смежными числами	Состав числа	Последовательность чисел в числовом ряду
Цветные палочки Кюизенера	+	+	+	+
Числовые «лесенки»	+	+	+	+
Кубики с цифрами и знаками	+	+	+	+
Счеты с шариками ЯЯЯ Яныской	+	+	+	+
Цветные числа	+	+	+	+

Задание 2

Объяснить, почему ребенок, которого попросили сосчитать то, что есть у него дома, ответил: «я ничего не могу сосчитать, всего по одному: стол, телевизор, шкаф…». В связи с чем возникла необходимость в разработке методики познания чисел?

Счетом дети пользуются не как средством определения количества элементов множества: называя числительные по порядку, они ждут, когда появится в этой цепочке слово-числительное, то, которое будет соответствовать по звучанию числительному, названному при счете другой совокупности. Тем самым число для этих детей не является еще показателем количества элементов множества. Констатируя при пересчитывании двух множеств их несоответствие, дети обнаруживают его лишь по разноименному звучанию последних слов-числительных. Дети эти не владеют еще в подлинном смысле деятельностью счета как деятельностью установления взаимно-однозначного соответствия между предметами и числами натурального ряда. Они легко сбиваются при счете, небрежно соотносят слова-числительные с объектами совокупности: то пропускают слова-числительные, то пропускают объекты при счете, то сразу называют два числительных, соотнеся с ними один объект. Дети, казалось бы, проявляют активность в счете, однако они еще не поднялись до уровня понимания значения счета. Приведенный пример свидетельствует, что дети преждевременно перешли к счетной деятельности с помощью слов-числительных. У них не сформировалось еще четкое восприятие всех элементов множества. Они не научились практически сравнивать множества, сопоставляя их элементы один к одному. Отсутствие этих знаний не позволило им четко усвоить операцию счета и подняться к более глубокому пониманию значения числа как показателя равночисленности множеств. Естественно, что для этих детей остается неясным и значение последовательности чисел, которую они легко нарушают, поскольку запоминание порядка слов-числительных у них сформировалось лишь на основе речедвигательных ассоциаций.

Приведенные факты свидетельствуют об огромной важности и значении формирования представлений о множестве и о различных операциях с множествами еще в дочисловой период обучения. Отсюда следует сделать вывод: необходимо уже с раннего возраста не только учить детей различать «много и один», но и формировать представление о множестве как структурно-целостном единстве, а также четкое восприятие отдельных элементов, образующих множество

Задание 3

Разработать учебно-игровое пособие для дошкольников, которое будет способствовать углублению знаний детей о составе чисел из единиц.

Упражнение

Цель. Учить детей считать до 3, называть числительные по порядку, правильно соотносить числительные к предметам, указывая на предметы по порядку, соотносить последнее числительное со всей пересчитанной группой, понимать, что они обозначает общее количество предметов в группе; считать и раскладывать предметы правой рукой слева направо.

Демонстрационный материал: подставка с 2 полочками, набор игрушек 4 видов (по 3 шт.); 3 карточки с треугольниками в количестве от 1 до 3 (номера гаражей); их заранее прикрепляют в разных местах комнаты.

Раздаточный материал: карточки с кружками в количестве 1--3 шт. (по 1 на ребенка).

Ход занятия. 1-я часть. Воспитатель помещает на верхнюю полочку 3 матрешек, а на нижнюю --3 пирамидки, ставит каждую пирамидку точно под матрешкой.

Примечание. Целесообразно сразу предъявить группы, содержащие не менее 3 предметов. Если предъявить 2 предмета, то дети не смогут вычленить приемы счетного действия.

Воспитатель сообщает: «В магазине на полке стоят игрушки», Спрашивает: «Сколько матрешек? Сколько пирамидок? Как это можно проверить? Да, игрушки надо сосчитать. Сегодня мы с вами будем учиться считать. Посмотрите внимательно и запомните, как надо считать. Надо называть числа и показывать на предметы по порядку, дотрагиваться до них рукой, вот так. 1, 2, 3 -- всего 3 матрешки»,-- произносит воспитатель и делает рукой круговое движение. «Надо сосчитать и показать, что всего 3 матрешки»,-- поясняет он, повторяя обобщающий жест.

Пересчитывая вторую группу игрушек (пирамидки), педагог дополнительно обращает внимание детей на то, что считать надо правой рукой слева направо. Поочередно вызывает 2--3 ребят. Все дети вместе с воспитателем (хором) еще раз пересчитывают игрушки. («Сколько пирамидок? Сколько матрешек?») Далее воспитатель говорит: «Пришла в магазин девочка и купила 1 матрешку (матрешку убирают). Больше или меньше стало матрешек? Сережа, сосчитай, сколько их1 Сколько же матрешек и сколько пирамидок? Чего меньше (больше) и почему? Какое число больше (меньше): 3 или 2? Пришел в магазин мальчик и купил 1 пирамидку. Сколько теперь пирамидок и сколько матрешек? Как вы догадались, что матрешек и пирамидок стало поровну? Как проверить?» И т. д. Убирают еще 1 матрешку, затем -- пирамидку, в итоге остается по 1 игрушке.

Каждый раз вызванные дети или все дети вместе с воспитателем пересчитывают игрушки, выясняют количественные отношения между ними («больше», «меньше», «поровну») и сравнивают числа.

Игрушки заменяют. Однако теперь можно вначале поставить по1 игрушке, а затем, поочередно добавляя по 1 игрушке в каждую группу, довести их количество до 3.

2-я часть (подвижная игра «Автомобили и гаражи»). Воспитатель раздает детям по 1 карточке с кружками и объясняет задание: «Мы поиграем в игру «Автомобили и гаражи». Я построила гаражи. На каждый гараж прикрепила номер. Когда я скажу: «Машины идут!» -- вы будете ездить по всей комнате. Я скажу: «Машины в гараж!» -- всем надо ехать в свой гараж, на номере которого столько же треугольников, сколько кружков на номере вашей машины. Сколько кружков на номере твоей машины? К какому гаражу ты поедешь?» -- спрашивает педагог детей. Игра повторяется 2--3 раза. Каждый раз дети обмениваются карточками.

Задание 4

Описать методику знакомства детей с составом числа из двух меньших

В методике первоначального ознакомления детей с числами, счетом, арифметическими действиями, разработанной А.М. Леушиной, использованы положительные стороны метода изучения чисел (воспроизведение групп предметов, применение числовых фигур и счетных карточек, изучение состава чисел) и метода изучения действий (число как результат счета, образование чисел на основе сравнения двух совокупностей и практического установления между ними взаимно однозначного соответствия, увеличение или уменьшение одного из них на, освоение действий сложения и вычитания, сформированных представлений о числах натурального ряда и навыков счетной деятельности). По утверждению А.М. Леушиной, в работе по развитию количественных представлений у детей следует особое внимание уделять накоплению чувственного опыта, созданию сенсорной основы счетной деятельности, последовательному обобщению детских представлений. Этим требованиям отвечает предложенная ею система практических упражнений с демонстрационным и раздаточным материалом.

Разработанная А.М. Леушиной концепция формирования количественных представлений в 60--70-е годы была существенно дополнена за счет научно-теоретической и методической разработки проблемы развития пространственно-временных представлений у дошкольников. Результаты научных исследований А.М. Леушиной Отражены в ее докторской диссертации «Подготовка детей к усвоению арифметического материала в школе» (1956), многочисленных публикациях, учебных пособиях, например: «Обучение счету в детском саду» (М., 1959, 1961), «Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста» (М., 1974) и др.

Воспитатели детских садов широко использовали разработанные А.М. Леушиной конспекты занятий «Занятия по счету в детском саду» (М., 1963, 1965) и наглядные дидактические материалы (1965).

В дальнейшем под руководством А.М. Леушиной разработаны содержание и методы формирования у детей пространственных и временных представлений, обучения измерению объектов, массы тел, вопросы умственного и всестороннего развития детей в процессе освоения ими элементарных математических знаний, усвоения способов практических действий.

Разработанная А.М. Леушиной концепция формирования элементарных математических представлений у детей служит источником для многих современных исследований, а дидактическая система прошла испытания временем, успешно функционирует уже несколько десятков лет, показала свою эффективность в условиях общественного дошкольного воспитания, реализована в «Программе обучения и воспитания в детском саду».

Задание 5

Составить рецензию на дидактический материал «Палочки Кюинзенера»

Палочки Кюизенера могут стать своеобразной "цветной алгеброй". Ребенок учится декодировать игру красок в числовые соотношения: чередование полосок -- в числовую последовательность, сочетание полосок в узоре -- в состав числа.

Комплект счетных палочек Кюизенера состоит из пластмассовых призм 10 различных цветов и форм. Наименьшая призма имеет длину 10 мм и является кубиком, символизируя число 1. Остальные призмы символизируют числа от 2 от 10. Каждая палочка - это число, выраженное цветом и величиной.

Набор содержит 241 палочку; каждая палочка делается из дерева и представляет собой прямоугольный параллелепипед с поперечным сечением, равным 1 кв. см.

В наборе содержатся палочки десяти цветов. Палочки различных цветов имеют разную длину -- от 1 до 10 см. Каждая палочка -- это число, выраженное цветом и величиной, то есть длиной в сантиметрах. Близкие друг другу по цвету палочки объединяются в одно "семейство", или класс (см. таблицу ниже).

Подбор палочек в одно "семейство" (класс) происходит не случайно, а связан с определенным соотношением их по величине. Например, в "семейство красных" входят числа, кратные двум, "семейство зеленых" состоит из чисел, кратных трем; числа, кратные пяти, обозначены оттенками желтого цвета. Кубик белого цвета ("семейство белых") целое число раз укладывается по длине любой палочки, а число 7 обозначено черным цветом, образуя отдельное "семейство".

Палочки дают возможность выполнять упражнения и в горизонтальной и в вертикальной плоскости на одном и том же месте, например, на столе, в то время как полоски размещаются или на столе (горизонтальная плоскость), или на фланелеграфе (вертикальная плоскость). С палочками и полосками можно "играть" и на полу.

Возможны различные варианты их сочетания: применение только полосок или только палочек, введение сначала только полосок с последующей заменой их палочками и, наконец, чередование того и другого набора, предоставление возможности ребенку выбрать по желанию дидактическое средство, учитывая характер задания.

Набором палочек (полосок) обеспечивается каждый ребенок. Если не удалось приобрести готовый набор, то его легко сделать самим, ориентируясь на описания, которые даны выше. Храниться набор может в целлофановом пакете, коробке или ящике с ячейками, в которые ребенок раскладывает палочки сам, ориентируясь на цвет и величину одновременно. Раскладывание палочек по ячейкам само по себе является полезным обучающим упражнением.

С математической точки зрения палочки Кюизенера - это множество, на котором легко обнаруживаются отношения эквивалентости и порядка. В этом множестве скрыты многочисленные математические ситуации. Цвет палочек и величина, моделируя число, подводят детей к пониманию различных абстрактных понятий, возникающих в мышлении ребенка естественно как результат его самостоятельной практической деятельности.

Использование "чисел в цвете" (счетных палочек Кюизенера) позволяет одновременно развивать у детей представление о числе на основе счета и измерения. К выводу, что число появляется в результате счета и измерения, дети приходят на базе практической деятельности, в результате разнообразных упражнений. Как известно, именно такое представление о числе является наиболее полноценным.

С помощью цветных счетных палочек Кюизенера детей также легко подвести к осознанию отношений "больше-меньше на...", познакомить с транзитивностью как свойством отношений, научить делить целое на части и измерять объекты условными мерками, освоить в процессе этой практической деятельности некоторые простейшие виды функциональной зависимости, поупражняться в запоминании состава чисел из единиц и меньших чисел, подойти вплотную к сложению, умножению, вычитанию и делению чисел.

Кроме этого, играя со счетными палочками Кюизенера, дети осваивают такие понятия, как "левое", "длинное", "между", "каждый", "одна из...", "какой-нибудь", "быть одного и того же цвета", "быть не голубого цвета", "иметь одинаковую длину" и др.

Палочки Кюизенера как дидактическое средство вполне соответствуют специфике и особенностям математических представлений дошкольников, уровню развития детского мышления.

Выбор цвета преследует цель облегчить использование комплекта. Палочки 2, 4, 8 образуют "красную семью", 3, 6, 9 - "синюю семью". "Семейство желтых" составляют 5 и 10.

Подбор палочек Кюизенера в одно "семейство" (класс) происходит не случайно, а связан с определенным соотношением их по величине. Например, в "семейство красных" входят числа, кратные двум, "семейство синих" состоит из чисел, кратных трем, числа, кратные пяти, обозначены оттенками желтого цвета. Кубик белого цвета ("семейство белых") - целое число, раз закладывается по длине любой палочки, а число 7 обозначено черным цветом, образуя отдельное "семейство".

В каждом из наборов счетных палочек Кюизенера действует правило: чем больше длина палочки, тем больше значение того числа, которое она выражает. Цвета, в которые окрашены палочки, зависят от числовых соотношений, определяемых простыми числами первого десятка натурального ряда чисел.

Каждая палочка Кюизенера - это число, выраженное цветом и величиной.



6. Формирование у старших дошкольников вычислительных действий

Задание 1

Выбрать из ниже перечисленных способов нахождения значения математического выражения вычислительные приемы:

- пересчет;

- присчитывание и отсчитывание;

Дошкольники решают простые задачи в одно действие, главным образом прямые, т. е. такие, где арифметическое действие (прибавить, вычесть) прямо вытекает из практического действия с предметами (добавили -- стало больше, убавили -- стало меньше). Это задачи на нахождение суммы и остатка. Детей знакомят со случаями сложения, когда к большему числу прибавляют меньшее, учат прибавлять и вычитать сначала число 1, потом число 2, а затем число 3. (Числовой материал используют в объеме первого десятка).

Установив эти связи, ребенок довольно легко приходит к пониманию смысла арифметических действий и значения понятий «прибавить», «вычесть», «получится», «останется». Решая задачи, дети овладевают умением находить зависимость величин.

Вместе с тем задачи являются одним из средств развития у детей логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами совершенствуются умения проводить анализ и синтез, обобщать и конкретизировать, раскрывать основное, выделять главное в тексте задачи и отбрасывать несущественное, второстепенное.

Конечно, полностью соответствовать своей роли текстовые задачи могут лишь при правильной организации методики обучения детей решению задач. Ее основные требования будут более понятными, если рассмотреть особенности понимания старшими дошкольниками арифметической задачи увеличить число 2 на единицу. Выясняется, что для этого надо назвать число, которое больше данного на 1, т. е. следующее число. Показывается запись такого увеличения с помощью знаков. Аналогично рассматривается уменьшение числа на единицу.

Знаковая модель арифметического действия помогает детям осмыслить его сущность.

Итак, в подготовительной к школе группе дети усваивают закономерности образования чисел натурального ряда, могут практически, а иногда и логически установить равенство и неравенство чисел, обосновать последовательность построения чисел; эти умения и навыки обеспечивают преемственную связь в подготовке детей к усвоению школьной математики.

- опора на знание состава числа.

Пояснить свой выбор.

На основе исследований составить тезисы ответа на вопрос «Особенности понимания дошкольниками арифметической задачи».

Незнание детьми простейшей структуры задачи вызывает серьезные затруднения при составлении ее текста. Если первая часть задачи, т. е. числовые данные, осознается быстрее, то постановка вопроса, как правило, вызывает у ребенка серьезные трудности. Вопрос очень часто заменяется ответом, например: «В вазе стояло три цветка. Один цветок завял и осталось два цветка». Даже к концу пребывания в подготовительной группе дети затрудняются составить текст задачи по картинкам. Назовем типичные ошибки детей.

1. Вместо задачи составляется рассказ: «На листе сидят две гусеницы, а на траве еще одна. Они все поедают».

2. В задаче правильно воспринимается вопрос, но отсутствует фиксация числовых данных: «Шла девочка и уронила флажок. Сколько стало флажков?»

3. Вопрос заменяется ответом-решением: «Девочка держала флажки в руках. В этой два и в этой два. Если сложить, получится четыре».

Довольно часто дети отказываются составлять задачу по картинке, так как «мы такие не решали». Их ошибки при составлении задач по картинкам позволяют сделать следующий вывод: самостоятельное составление задачи даже при наличии наглядного материала является более трудной деятельностью, чем нахождение ответа при решении готовых задач; дети усваивают структуру задачи отрывочно, не полностью, поэтому не все ее компоненты присутствуют в составленных ими задачах; воспитатели мало используют разнообразный наглядный материал при обучении составлению задач.

Е.А. Тарханова выясняла, понимают ли дети конкретный смысл арифметического действия сложения (вычитания) и связи между компонентами и результатом этих действий. Умеют ли выделять в задаче известное и неизвестное, а в связи с этим выбирать то или иное арифметическое действие; понимают ли дети связи между действиями сложения и вычитания. Ею установлено, что дошкольники, обучавшиеся по общепринятой методике решению простых арифметических задач, не владеют необходимым объемом знаний об арифметических действиях сложения и вычитания, так как они и соответствующими арифметическими действиями в основном на основе ассоциации арифметического действия с жизненным действием (прибавили -- прибежали, отняли -- улетели и др.). Они не осознают еще математических связей между компонентами и результатом того или иного действия, так как не научились анализировать задачу, выделяя в ней известные и неизвестное.