§ 1.1 Потоки платежей и аннуитеты -- информационная база финансового анализа

§ 1.2 Обобщающие параметры потоков платежей

В подавляющем числе практических случаев финансовый анализ предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик потока платежей: наращенной суммы и современной стоимости. Наращенная сумма (amount of cash flows) -- сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под современной (или текущей) стоимостью потока платежей (present value of cash flows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока потока платежей или иной упреждающий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" в зависимости от контекста также употребляют термины "капитализированная стоимость" или "приведенная величина".

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием членов потока или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п. Из двух указанных обобщающих характеристик наибольшую роль в анализе производственных инвестиций играет современная стоимость потока платежей. Это объясняется прежде всего тем, что современная стоимость представляет собой "свертку" -- обобщение в виде одного числа любой последовательности платежей и позволяет сравнивать потоки с различными сроками. Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток.

Общий метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей R_t, выплачиваемых спустя время n_t после некоторого начального момента времени, общий срок выплат составляет п лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через S, получим

. (1.1)

Современную стоимость такого потока также определим прямым счетом как сумму платежей, дисконтированных на начало срока. Обозначив эту величину А, получим

(1.2)

где v^nt -- дисконтный множитель по ставке i.

. (1.3)

Нетрудно обнаружить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируя сумму S, получим

. (1.4)

Наращивая сумму А по той же ставке, находим

(1.5)

ПРИМЕР 1

Контракт предусматривает следующий порядок использования кредитной линии: 01.07.96 г. -- 5 млн. руб., 01.01.97 г. -- 15 млн. руб., 01.01.99 г. -- 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2000 г. и современную стоимость этого потока на начало срока при условии, что проценты начисляются по ставке 20% годовых.

Находим

S = 5 х 1,2^3,5 +15 х 1,2³ +18 х 1,2 = 56,985 млн. руб.

По этим же данным определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим

A = 5 + 15х1,2^-0,5+18х1,2^-2,5 = 30,104 млн. руб. или по формуле (1.5)

А = 56,985 х 1,2^-3,5 = 56,985 х 0,52828 = 30,104 млн. руб.

Забегая вперед, заметим, что в практике анализа производственных инвестиций занял видное место показатель, названный чистым приведенным доходом (net present value, NPV). Он представляет собой современную стоимость потока платежей, характеризующего инвестиционный процесс в целом. Таким образом, NPV равен величине А, определенной по формуле (1.2). Поскольку, как было сказано выше, члены такого потока могут быть как положительными, так и отрицательными величинами, то NPV также может иметь тот или другой знак. Отрицательная величина означает, что получаемые доходы с учетом временного фактора не окупают инвестиционные затраты при заданном уровне процентной ставки. Ограничимся пока данным замечанием. (Подробно сущность этого важнейшего показателя и методы его расчета для различных видов потоков платежей рассмотрены в гл. 5.)

Формулы для расчета обобщающих параметров постоянных дискретных рент. Для потоков платежей в виде постоянных рент расчеты современных стоимостей и наращенных сумм можно существенно упростить, применяя стандартные формулы. При их записи используем следующие обозначения:

А -- современная стоимость ренты;

S -- наращенная сумма ренты;

R -- член ренты (размер платежа);

п -- срок ренты;

р -- число выплат в году;

i -- процентная ставка;

v -- дисконтный множитель по ставке i (1.3).

Ниже приводятся формулы для наиболее распространенных видов рент Вывод приведенных ниже формул см.: Е. Ч. (гл. 4).. Во всех случаях предполагаются сложные процентные ставки.

Постоянная годовая рента постнумерандо. Современная стоимость ренты:

(1.6)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты, обозначим его a_n;i:

 (1.7)

Значения a_n;i табулированы Наиболее полная таблица коэффициентов приведения рент (в опубликованных на русском языке книгах) имеется в справочном пособии Е. М. Четыркина, Н. Е. Васильевой "Финансово-экономические расчеты" (М.: Финансы и статистика, 1990).. Краткая таблица коэффициентов приведения имеется в Приложении (табл. 2).

Отметим некоторые свойства этого коэффициента. Чем выше значение i, тем меньше его величина (рис 1.1). При i = 0 a_n;i = п. В свою очередь, при увеличении срока ренты величина a_n;i растет и стремится к некоторому пределу (рис 1.2). При п = ? предельное значение коэффициента составит:

(1.8)

Коэффициент приведения (1.8) применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.

Наращенная сумма постоянной ренты определяется по формуле

(1.9)

Множитель, на который умножается R, называется множителем наращения ренты. Обозначим его s_n;i:

(1.10)

Значения этого множителя нетрудно табулировать для необходимых диапазонов ставок и сроков Подробная таблица коэффициентов наращения рент приведена в упомянутом выше справочном пособии Е. М. Четыркина, Н. Е. Васильевой. -- см. Приложение (табл. 1).

ПРИМЕР 2

Годовая рента постнумерандо R = 4 млн. руб., п = 5. При дисконтировании по сложной ставке 18,5% годовых получим:

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет.

При наращении всех платежей по той же ставке имеем

или согласно (1.5) получим: S = 12,368 х 1,185⁵ =28,900.

Решение этой же задачи, но методом прямого счета приведено в следующей таблице.

ПРИМЕР 3

Воспользуемся данными примера 2, но при условии, что процентная ставка установлена на уровне 10%. Находим по табл. 1 и 2 Приложения следующие значения коэффициентов наращения и приведения:

а_5;10= 3,79079; s_5;10 =6,1051, откуда А = 4 х 3,79079 = 15,163 млн. руб. и S = 4 x 6,1051 = 24,420 млн. руб.

Постоянная р-срочная рента постнумерандо. Приведем формулы для двух основных случаев Формулы, необходимые в крайне редком случае, когда для р-срочной ренты проценты начисляются т раз в году (причем т не равно п), здесь не приводятся. Их можно найти в: Е. Ч. (гл. 4)..

а) Члены ренты выплачиваются р раз в году, проценты начисляются один раз в конце года:

где R -- годовая сумма платежей, каждый раз выплачивается сумма R/p.

б) Число выплат и начислений процентов в году равно р; используется номинальная годовая процентная ставка (nominal rate) j:

В этом случае взаимозависимость наращенной суммы и современной ее стоимости имеет вид:

(1.15)

Нетрудно догадаться, что, чем чаще происходят платежи, тем больше наращенная сумма и современная стоимость ренты. Заметим, что формулы (1.6) и (1.9) применимы и для определения современной стоимости p-срочной ренты для варианта б. В этом случае (например, при погашении ипотечного кредита) переменная п означает общее число периодов, i -- ставку за период (но не годовую ставку), R -- сумму разового платежа. Номинальная процентная ставка в этом случае составит: j = i x p, а годовая эффективная ставка (effective rate) находится как (1 + i)^p.

ПРИМЕР 4

В условия ренты примера 2 внесем изменение. Пусть теперь рента выплачивается поквартально, р = 4. Для варианта а (начисление процентов один раз в году) находим:

Для варианта б по формулам (1.13) и (1.14) получим:

Аналогичные результаты находим по формулам (1.6) и (1.9) при условии, что п = 20, i = 18,5/4 = 4,625%, R = 4/4 = 1. Например, современная стоимость такой ренты по этим данным составит:

Постоянные ренты пренумерандо и ренты с платежами в середине периодов. Напомним, что ренты пренумерандо предполагают выплаты в начале периодов. В этом случае каждый платеж "работает" на один период больше, чем у рент постнумерандо, обобщающие показатели больше аналогичных характеристик рент постнумерандо пропорционально величине соответствующего множителя наращения за один период. Так, для годовых рент такой множитель равен (1 + i), откуда вместо (1.6) и (1.9) имеем:

A = Ra_n;i(1 + i); S = Rs_n;i(1 + i).

Для р-срочных рент (вариант а) корректировочный множитель наращения равен (1 + i)^1/p, а для варианта б он имеет вид: (1 + j/p).

ПРИМЕР 5

Пусть рента примера 4 выплачивается не в конце, а в начале кварталов. Тогда обобщающие параметры увеличатся в 1,185^1/4 = = 1,04335 раза (вариант а) и в раза (вариант б).

Для годовых рент с платежами в середине периодов получим:

Формулы для производных расчетов. Выше были приведены формулы для расчета основных стоимостных характеристик постоянных рент -- А и S. В ряде ситуаций эти величины оказываются заданными и необходимо рассчитать какой-либо неизвестный параметр. Что касается параметров R и п, то они определяются достаточно просто Формулы для определения сроков различных видов постоянных рент постнумерандо приведены в: Е. Ч. (§ 4.4)., чего нельзя сказать о расчете процентной ставки i.

ПРИМЕР 6

Долг в сумме 100 млн. руб. погашается постоянной годовой рентой в течение 5 лет. На остаток долга начисляются проценты по ставке 20% годовых. Приравняв сумму долга современной стоимости погасительных платежей, можно записать 100 = Ra_5;20.

Откуда следует, что размер ежегодного погасительного платежа составит R = 100/а_5;20. Коэффициент приведения данной ренты находится как

откуда искомая сумма

Определить значение процентной ставки по остальным параметрам ренты не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Для этого прибегают к каким-либо приближенным методам (линейная интерполяция), различным итерационным процедурам (метод Ньютона - Рафсона, метод секущей и т. д.). На компьютере легко реализуется метод поразрядного приближения.

Формулы для расчета обобщающих параметров переменных рент. Приведем формулы для расчета обобщающих характеристик наиболее распространенного вида переменных рент -- рент с постоянным изменением их членов.

Годовая рента с постоянным темпом изменения. Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относительным приростом. Например, ожидается, что в пределах некоторого интервала времени отдача от инвестиций будет увеличиваться с постоянным темпом. Поток таких платежей здесь следует в геометрической прогрессии и состоит из членов R,Rq,Rq²,...,Rq^n-1 (где q -- знаменатель прогрессии, характеризует темп роста). Если этот ряд представляет собой ренту постнумерандо, то сумма дисконтированных членов такого потока

(1.16)

Пусть теперь q = 1 + k, где k -- темп прироста платежей. Темп прироста может быть как положительным (k > 0), так и отрицательным (k < 0). В итоге

(1.17)

Для сокращения дальнейшей записи обозначим дробь, на которую в данной формуле умножается R, через а. При k = 0 величина а равна коэффициенту приведения постоянной ренты, при k = i имеем а = п. Графическая иллюстрация зависимости а от темпа прироста при условии, что остальные параметры ренты постоянны, приведена на рис. 1.3.

Наращенная сумма такой ренты

(1.18)

ПРИМЕР 7

Условия ренты постнумерандо: R = 15 млн. руб., п = 10, i = 20% годовых, члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (k = 0,12). В этом случае члены ренты имеют размеры: 15; 16,800; 18,816; ...; 41,596. Обобщающие характеристики для указанных условий:

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом прироста минус 10% в год (А = -0,1), тогда

р-срочная рента с постоянным темпом изменения. Пусть платежи производятся не один, а р раз в год постнумерандо, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию R, Rq,..., Rq^np-1, где q -- темп роста за период. Обобщающие параметры такой ренты находятся по следующим формулам:

ПРИМЕР 8

Пусть, как и в примере 7, R = 15, п = 10, i = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Члены ренты представляют ряд: 15; 15,900; ...; 45,384. Тогда современная стоимость и наращенная сумма составят:

§ 1.3 Расчет обобщающих параметров непрерывных рент

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно -- через фиксированные интервалы времени. Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно анализа сложных схем долгосрочных производственных инвестиций.

Постоянная непрерывная рента. Приведем формулы для расчета современной стоимости и наращенной суммы постоянной непрерывной ренты при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка. Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его . Очевидно, что искомый показатель является пределом коэффициента приведения р-срочной ренты при . Получим Формулы (1.21) и (1.22) можно получить и с помощью интегрирования. Например: :

(1.21)

В свою очередь, коэффициент наращения непрерывной ренты имеет вид:

(1.22)

Переход от дискретных взносов постнумерандо к непрерывным увеличивает соответствующие обобщающие показатели и коэффициенты приведения и наращения рент в i/ln(1 + i) раз:

ПРИМЕР 9

Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млрд. руб. в год, продолжительность разработки -- 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% составит:

Важно отметить, что равномерная и непрерывная выплата годовой суммы примерно равнозначна (по влиянию на величины А и S) разовой выплате этой суммы в середине года. Иначе говоря, замена непрерывной постоянной ренты на более привычную дискретную с отнесением платежей к середине периодов мало повлияет на результаты расчетов. Обобщающие параметры ренты в этом случае рассчитываются по формулам, полученным для дискретных рент с учетом множителя (1 + i)^1/2.

ПРИМЕР 10

Заменим в примере 9 непрерывную ренту на дискретную с отнесением членов ренты к серединам годовых интервалов. В этом случае

A = 1000а_10;10 х 1,1^1/2 = 1000 х 6,14457 х1,1^0,5 = 6444,48 млн. руб.

Расхождение с точным ответом обнаруживается только в четвертой цифре.

Заметим, что формулы (1.21), (1.22) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов.

Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса рассматриваются как непрерывные, т. е. поступления платежей и начисления процента происходят в бесконечно малые отрезки времени.

Чтобы методы работы с рентами, предусматривающими непрерывное начисление процентов, были более понятными, напомним, как начисляются непрерывные проценты. Формулы наращения и дисконтирования в этом случае записываются следующим образом:

где -- ставка непрерывных процентов (force of interest). В русской финансовой литературе эта величина получила название сила роста;

е -- основание натуральных логарифмов.

Между дискретными и непрерывными ставками, как известно, существуют зависимости, позволяющие определить эквивалентные размеры ставок, т. е. ставок, дающих одинаковые финансовые результаты:

Из выражения (1.24) следует

Перепишем теперь формулы (1.21) и (1.22), использовав эти соотношения. Получим

Формулы (1.21), (1.22) и (1.25), (1.26) дают тождественные результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными.

ПРИМЕР 11

Пусть в примере 9 дисконтирование осуществляется по силе роста, равной 10%, тогда, используя (1.25), получим

Сила роста, эквивалентная дискретной ставке 10%, составит: , или 9,531%. Откуда

т. е. получен тот же результат, что и в примере 9.

Непрерывно изменяющийся поток платежей. Выше предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какой-либо закономерности, например если ожидается, что в течение первых трех лет работы произойдет плавное и непрерывное увеличение выпуска продукции с постоянным темпом прироста.

Если поток платежей непрерывен и описывается функцией r_t = f(t), то общая сумма поступлений за время п равна

В этом случае современная стоимость и наращенная сумма (при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста) находятся как

Причем зависимость между А и S можно представить как

(1.27)

Чтобы рассчитать величины А и S, необходимо определить конкретный вид функции изменения платежей и значения ее параметров. Рассмотрим методы расчета современных стоимостей только для двух видов функций -- линейной и экспоненциальной.

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функция такого потока

R_t =R₀+at,

где R₀ -- начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты;

а -- прирост в единицу времени.

Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:

где -- коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. (1.25)).

ПРИМЕР 12

Намечается ежегодно в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска -- 10 млрд. руб. Необходимо определить суммарный стоимостной объем выпуска с начислением процентов -- сила роста 8%.

Сначала определим современную стоимость данного непрерывного потока поступлений (см. (1.28)):

Коэффициент приведения составит:

Таким образом, А = 30,512 млн. руб.

Затем на основе (1.27) находим наращенную сумму:

Чтобы методика определения современной стоимости непрерывной ренты была более наглядной, решим поставленную задачу иным способом, предварительно трансформировав непрерывную ренту в дискретную с платежами в середине периодов. Получим такую последовательность: 10,5; 11,5; 12,5. Затем определим процентную ставку, эквивалентную силе роста 0,08. Находим

i = е^0,08-1=0,083287.

Искомая величина составит:

А = 10,5 х 1,08329^-0,5 + 11,5 х l,08329^-1,5 + 12,5 х 1,08329^-2,5 = = 30,522.

Как видим, погрешность незначительна.

Экспоненциальный рост платежей. Поток платежей описывается экспоненциальной функцией

R_t = R х е^gt.

Назовем параметр g непрерывным темпом прироста платежей. Между принятым в статистике дискретным темпом прироста k и непрерывным существует следующая зависимость:

g = ln(l + k).

Современная величина такой ренты находится следующим образом:

(1.29)

В знаменателе формулы (1.29) фигурирует разность параметров, характеризующих непрерывные процессы. Эту разность легко найти с помощью дискретных параметров роста платежей и начисления процентов, которые обычно и задаются в условиях формирования потока платежей, а именно

ПРИМЕР 13

Ожидается, что прирост доходов на протяжении трех лет составит 5% в год (k = 0,05). Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R = 100, i = 7%, п = 3 года?

Из условий задачи следует:

Таким образом, на основе (1.29) получим:

§1.4 Эквивалентные потоки платежей

В финансовом анализе важную роль играет принцип эквивалентности, согласно которому платежи считаются эквивалентными, если их современные стоимости одинаковы. Сказанное справедливо и применительно к потокам платежей. Так, например, нерегулярный поток платежей и постоянная рента оказываются эквивалентными, если имеет место равенство

Коль скоро потоки платежей являются эквивалентными, замена одного потока другим не изменяет финансовое положение участвующих сторон. Пусть в контракте оговорен поток поступлений со значительными колебаниями их размеров. Возникла необходимость сравнения с конкурирующими условиями, предусматривающими выплату ренты с постоянными членами. Сроки и остальные условия у двух потоков платежей одинаковы. Определим неизвестный размер члена постоянной ренты R.

Напомним, что

Таким образом:

Как видим, R представляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными дисконтным множителям. Пусть заменяющая рента в рассмотренном случае имеет срок n₁, отличающийся от п. Тогда

Аналогичным образом можно определить любой другой параметр заменяющего эквивалентного потока платежей. Заметим, что заменяющий поток может отличаться от заменяемого по всем параметрам и по виду. Например, дискретная рента может быть заменена непрерывной и т. д.

§1.5 Определение доходности на основе потока платежей