Для всех схем расчета исходным требованием является равенство современной стоимости потока лизинговых платежей затратам на приобретение оборудования, т. е. предусматривается финансовая эквивалентность обязательств обеих сторон контракта. В общем виде требование финансовой эквивалентности обязательств можно записать в виде следующего равенства:

K = PV(R_j), (7.1)

где K -- стоимость имущества для лизингодателя (с учетом таможенных сборов, страховых расходов и т. д.) без платы за кредит;

PV -- оператор определения современной стоимости;

r_j -- платежи по лизингу.

Формула (7.1) далее конкретизируется с учетом условий лизинга. В обсуждаемых методиках предполагается, что как при формировании потока платежей, так и при определении стоимости оборудования в них учитываются все налоговые выплаты.

Регулярные платежи (метод А)

Постоянные платежи (сложные проценты). В преобладающем числе случаев поток лизинговых платежей представляет собой постоянную ренту. Соответственно методы расчетов периодических лизинговых платежей базируются на теории постоянных финансовых рент (см. гл. 1).

Для записи формул примем следующие обозначения:

R -- размер постоянного платежа;

п -- срок лизинга в месяцах, кварталах, годах (общее число платежей); как правило, в лизинговом контракте предусматривается число выплат платежей, равное количеству начислений процентов;

i -- процентная ставка за период (норма доходности); если указана годовая номинальная ставка j, то в формулах вместо i используется величина j/m, где т -- количество начислений процентов в году;

s -- доля остаточной стоимости в первоначальной стоимости оборудования;

а_n;i -- коэффициент приведения постоянной ренты постнумерандо (см. формулу (1.7)).

Если платежи погашают всю стоимость имущества, то, развернув формулу (7.1), получим при выплатах постнумерандо

K = Ra_n;i ,

откуда

(7.2)

Для упрощения расчетов размеров платежей во многих случаях можно применять коэффициенты рассрочки платежей, определяющие долю стоимости оборудования, погашаемую при каждой выплате. Обозначим этот коэффициент через а:

R = Ka. (7.3)

Коэффициент рассрочки для постоянных рент постнумерандо В зарубежных публикациях формулу коэффициента рассрочки часто записывают в виде: , где q = 1 + i. После несложных преобразований этого выражения получим (7.4). при условии, что применяются сложные проценты, равен а = 1/a_n;i , т. е.

(7.4)

Коэффициент рассрочки для выплат пренумерандо составит В методических разработках по расчету платежей, подготовленных в некоторых отечественных лизинговых компаниях, не делают различий между выплатами пренумерандо и постнумерандо, в силу чего расчетные формулы, полученные для выплат постнумерандо, используются для платежей пренумерандо. Ясно, что в таких случаях баланс задолженности и погашения не достигается. Остаточная стоимость оказывается меньше, чем это предусматривается в условиях лизинга.:

а = (1/a_n;i)v. (7.5)

Значения коэффициентов рассрочки при равных платежах пренумерандо для некоторых сроков лизинга (измеряемых в месяцах и годах), уровней процентных ставок (от 10 до 60% за период) и долей остаточной стоимости (от 0 до 20% в общей стоимости оборудования) приведены в Приложении (см. Таблицы коэффициентов рассрочки). Кроме того, там же помещены таблицы коэффициентов рассрочки для платежей постнумерандо, но только при полном покрытии задолженности.

Пусть теперь первый платеж будет в k раз больше остальных (удвоен или утроен), причем соответственно сокращается число остальных платежей. Тогда условие финансовой эквивалентности обязательств удовлетворяется следующими равенствами:

для выплат постнумерандо

K = (k - 1)Rv + Ra_n-k+1;i

и для платежей пренумерандо

K = (k - 1)R + Ra_n-k+1;i (1+ i).

На основе этих равенств легко найти необходимые значения лизинговых платежей, а именно

, (7.6)

. (7.7)

Теперь примем во внимание выплату аванса. Для лизинговых платежей постнумерандо и пренумерандо соответственно получим

K = A + Ra_n;i , K = A + Ra_n;i (1+ i),

откуда

R = (K - A)a, (7.8)

где коэффициент рассрочки а определяется по (7.4) и (7.5).

Если лизинговый контракт предусматривает выкуп имущества по остаточной стоимости, доля которой в стоимости имущества равна s, то получим следующее уравнение эквивалентности обязательств:

K(1 - svⁿ) = Ra_n;i .

Аналогично для выплат пренумерандо находим

K(1 - svⁿ) = Ra_n;i(1+ i).

Лизинговые платежи возмещают здесь стоимость оборудования за вычетом дисконтированной остаточной стоимости. Для расчета суммы платежа применяется формула

R = K(1 - svⁿ)a, (7.9)

где vⁿ -- дисконтный множитель по ставке i.

Закончим обсуждение метода расчета суммы платежа вариантом, в котором одновременно учитываются авансовый платеж и выкуп имущества. В этом случае для последовательностей платежей постнумерандо и пренумерандо имеем

K(1 - svⁿ) = А + Ra_n;i ; K(1 - svⁿ) = A + Ra_n;i (1 + i).

Соответственно получим

R = [K(1 - svⁿ) - A] x a. (7.10)

ПРИМЕР 1

В § 7.2 приведены различные варианты условий лизинга. Рассчитаем для них значения лизинговых платежей, используя приведенные выше формулы.

Общие исходные данные: K = 1000, п = 36 месяцам, i = 2% в месяц.

Вариант 1. Находим по (7.4) коэффициент рассрочки (платежи в конце периодов) и затем размер ежемесячного платежа:

а = = 0,039233, R = 1000 x 0,03923 = 39,23,

Если платежи вносятся в начале каждого месяца, то, согласно (7.5):

а = 0,039233 х 1,02^-1 = 0,038464 и R = 38,46.

Вариант 2. Удвоенный взнос в первом месяце (k = 2). Для взносов в конце периодов получим по (7.6):

R = = 38,49 и первый взнос 2R = 76,98.

Вариант 3. А = 100. На основе (7.8) находим R = 900 x 0,03923 = 35,31.

Вариант 4. s = 0,2. Таким образом, Ks = 1000 x 0,2 = 200 и согласно (7.9) получим

R = 1000(1 - 0,2 х 1,02^-36) х 0,03923 = 35,39 .

Вариант 5. А = 100, s = 0,2. По формуле (7.10) находим R = [1000 х (1 - 0,2 х 1,02^-36) - 100] х 0,03923 = 31,46.

Постоянные платежи (простые проценты). Обсуждая методы расчета лизинговых платежей, нельзя хотя бы кратко не остановиться на возможности применения в расчетах простых процентов. Такая практика существует. Согласно этому методу проценты за лизинг начисляются на первоначальную стоимость оборудования сразу за весь срок лизинга. Ограничимся наиболее простым видом лизинга (см. вариант 1 в § 7.2). Погашению здесь подлежит сумма с начисленными вперед процентами, а именно

K(1 + Ng),

где N -- срок лизинга в годах;

g -- годовая процентная ставка, так называемая "единая", или "ровная", ставка Такой вид ставки обычно применяется в потребительском кредите. Более подробно см.: Е. Ч. (с. 23, 190 - 193). (flat rate).

Размер лизингового платежа в этом случае составит:

, (7.11)

где п -- количество периодов погашения.

Дробь в этом выражении представляет собой коэффициент рассрочки. Метод, как видим, весьма прост. Однако при его применении необходимо четко представлять себе особенность применяемой процентной ставки. Проценты здесь начисляются не на действительную сумму долга, которая последовательно сокращается во времени, а на первоначальную. Таким образом, арендатор оплачивает кредитную услугу, которую он и не получил. В результате этого цена кредита или действительная процентная ставка (true rate), измеренная в виде ставки сложных процентов, заметно выше ставки, примененной в расчете. Для быстрой оценки соотношения упомянутых ставок можно воспользоваться приближенной формулой (обе ставки измерены в % годовых):

i 2g - 1. (7.12)

ПРИМЕР 2

Стоимость имущества равна 1000, срок погашения -- 36 месяцев, простая процентная ставка -- 12% годовых.

Размер лизингового платежа

.

Действительная доходность составит i 2 x 12 - 1 = 23%.

Точное соотношение упомянутых ставок, полученное при условии, что предусматриваются платежи постнумерандо, находим на основе равенства

.

Решим его относительно g:

. (7.13)

При ежемесячных выплатах n/N =12. Использовав это соотношение, получим вместо (7.13)

.

ПРИМЕР 3

Используем данные примера 1 (вариант 1). Исходные данные: N = 3, п = 36, i = 2% в месяц (или 24% в год).

По (7.13) находим

.

Таким образом, рассчитанная простая ставка приведет к такому же финансовому результату, что и сложная номинальная ставка g = 24%, примененная согласно формуле (7.2).

Деление суммы платежа по лизингу на сумму погашения долга и выплату процентов. Принцип такого деления сводится к следующему: сумма, идущая на погашение основного долга, находится как остаток после выплаты из суммы лизингового платежа процентов на сумму оставшейся задолженности. Начнем с лизинговых платежей постнумерандо. Последовательно остаток задолженности на конец года определяется как

D_t =D_{t -1} - d_t , (7.14)

где d_t -- сумма погашения основного долга в периоде t, a D₀ = K.

d_t = R - D_{t -1} x i, t = 1,..., n. (7.15)

Альтернативная формула

d_t = Rv^n-(t-1).

В первом периоде

d₁= R - Ki .

Перейдем к платежам пренумерандо. По определению, d₁ = R. Остаток задолженности на конец первого года D₁ = K - R.

Для второго периода получим:

d₂ = R - Ki,

а для остальных

d_t = R - D_{t -1} i ; (7.16)

D_t = D_{t -1}- d_t .

ПРИМЕР 4

K = 100, п = 5 лет, i = 10% годовых, платежи в конце периодов, полное погашение стоимости оборудования, соответственно s = 0. По формуле (7.2) получим

R = 100 х = 100 x 0,2638 = 26,38.

Табличное значение коэффициента рассрочки равно 0,263797 (см. табл. 6 (1Б) Приложения).

Если контракт предусматривает платежи в начале каждого года, то

R = 100 х = 100 x 0,23982 = 23,982.

График погашения задолженности в конце каждого года приведен ниже.

Как видим, суммы, предназначенные для погашения основного долга, увеличиваются, в то время как процентные платежи сокращаются.

Если в условиях данного примера (платежи пренумерандо) предусматривается остаточная стоимость в размере 10% от первоначальной стоимости оборудования (s = 0,1), то размер лизингового платежа (выплаты постнумерандо) составит:

R = 100 х (1 - 0,1 х 1,1^-5) х 0,2638 = 24,742.

В табл. 6 (3Б) Приложения находим коэффициент рассрочки а = 0, 24742.

Проверка: остаточная стоимость 31,584 - 21,584 = 10,000, как и было предусмотрено в условиях.

Изменим еще одно условие. Пусть теперь платежи производятся в конце каждого месяца. Тогда

R = 100 х = 2,1247.

Годовая сумма выплат сокращается до 25,50.

Платежи с постоянным темпом изменения. Условия погашения задолженности по лизингу могут предусматривать изменение платежей с постоянным темпом прироста k в каждом периоде. Иначе говоря, задается ускоренное, а иногда и замедленное погашение долга. Соответствующие платежи представляют собой ренту с постоянным относительным приростом (см. гл. 1). Размеры платежей рассчитываются следующим образом:

R_t = R₁(1 + k)^t; t = 0,..., n - l. (7.17)

Темп прироста может быть положительной или отрицательной величиной. При k > 0 происходит ускорение погашения задолженности, при k < 0 сокращение размеров платежей с каждым шагом во времени.

Размер первого платежа при условии полного погашения долга определяется как

R₁ = Kb,

где b -- коэффициент рассрочки для принятого порядка погашения долга.

Коэффициент приведения такого рода ренты -- см. (1.17). На основе этого коэффициента получим

. (7.18)

Суммы погашения задолженности и величины остатка долга определяются последовательно по формулам (7.14) и (7.15).

ПРИМЕР 5

K = 100, п = 5, i = 10% годовых, ежегодный прирост платежей на 15%, k = 0,15.

Коэффициент рассрочки находится по формуле (7.18):

На момент окончания первого года получим:

R₁ = 100 х 0,20089 = 20,089; D₁ x i = 100 х 0,1 = 10,0; d₁= 20,089 -10,0 = 10,089.

Далее последовательно находим R_t , D_t , d_t . Причем R_t = 20,089 x 1,15^{t -1}.

Если предусматривается систематическое сокращение размеров платежей, например k = -15%, то R₁ = 34,507.

R_t = 34,507 х (1 - 0,15)^{t -1}.

Регулярные постоянные платежи (метод Б)

§ 7.4 Нерегулярные платежи

Рассмотрим методику расчета, когда размеры и сроки лизинговых платежей (схема А) или суммы погашения основного долга (схема Б) задаются в виде графика, согласованного обеими сторонами лизингового контракта.

Схема A. Сбалансированность выплат и задолженности достигается при определении размера последней выплаты. Исходное равенство при полном погашении стоимости объема лизинга будет иметь вид

,

где R_t , п_t -- сумма и срок t - го платежа;

R_k , n_k -- сумма и срок последнего платежа.

Таким образом:

.

Деление суммы платежа на проценты за кредит и суммы, погашающие основной долг, производится последовательно по формуле

d_t = R_t - D_{t - 1} x i.

ПРИМЕР 7

K = 100, п = 5, i = 10%, s = 0. В таблице задан график четырех лизинговых платежей. Необходимо определить размер последнего взноса и составить график погашения задолженности и выплат процентов.

Сумма четырех дисконтированных платежей равна

.

Размер последнего платежа: R₅ = (100 - 96,242)/v⁵ = 6,054.

Схема Б. Задается график погашения основного долга. Сбалансированность здесь элементарна: d_t = K. Проценты за кредит последовательно начисляются на остаток задолженности.

ПРИМЕР 8

K = 100, п = 5, i = 10%, s = 0, платежи в конце года, задан график погашения задолженности.

Как видим, различие в принятых схемах заключается в способе задания графика погашения (в схеме А задается график лизинговых платежей, в схеме Б -- график погашения задолженности) и последовательности выполнения расчетов.

Рис. 7.3

§ 8.1 Основные элементы методики

Для количественного анализа инвестиций в производство необходим достаточно большой объем информации. Часть ее обеспечивается технико-экономическими расчетами и накопленной производственной статистикой. Однако многие данные, особенно при разработке крупных проектов, можно получить лишь экспертным путем. Существование значительных диапазонов для реально возможных будущих состояний объекта прогноза требует разработки не точечных, а интервальных экспертных прогнозов и наделения последних субъективными вероятностями их реализации (осуществления). Чем больше эта вероятность, тем шире интервал прогноза при всех прочих равных условиях. Кратко методика сводится к "извлечению" из эксперта некоторых суждений и их преобразованию в более узкие интервалы прогноза, чем это первоначально было задано экспертом для некоторых крайних ситуаций.

Определение интервала для прогнозируемой величины и его увязывание с вероятностью реализации можно во многих случаях сделать вполне выполнимой задачей, если воспользоваться предлагаемой ниже методикой Методика разработана совместно с Е. З. Демиденко в Институте мировой экономики и международных отношений. Для экспертного прогнозирования создана и более сложная методика, которая получила название "прогнозирование на проблемных сетях" (ИМЭМО. Анализ на проблемных сетях. М., 1982. Т. 1, 2). Данная методика позволяет получить обобщенные экспертные оценки группы экспертов, специалистов в разных областях знания. Каждый эксперт выдает оценку "своего" участка проблемной сети в виде статистического распределения прогнозируемого параметра.. Данная методика отличается прагматичностью: она проста в реализации и не требует от эксперта глубоких знаний в области теории вероятностей и математической статистики. Достаточно быть знакомым с основными параметрами статистических распределений (средней, модой, дисперсией). Однако за простоту, как правило, надо платить. Плата заключается в нестрогом применении положений математической статистики. Последнее, впрочем, оправдывается и тем, что сами исходные данные обычно не являются результатами статистических наблюдений.

Согласно данной методике в задачу эксперта входят:

* определение реально возможного диапазона значений прогнозируемой величины;

* выбор вида распределения вероятностей реализации в пределах этого диапазона;

* выбор уровня надежности прогноза (вероятности его реализации).

Кроме того, при прогнозировании сумм или произведения показателей эксперт должен вынести суждение о наличии (или отсутствии) значительной зависимости слагаемых или сомножителей (да, нет). Это суждение выносится исходя из содержания рассматриваемых показателей, накопленного опыта или, в лучшем случае, основывается на результатах предварительного регрессионного или корреляционного анализа статистических данных.

Кратко охарактеризуем перечисленные этапы.

Реально возможный диапазон (РВД) -- полный интервал реально возможных значений, в котором с практически 100%-й вероятностью (наверняка) окажется, по мнению эксперта, соответствующая характеристика. Эксперт для этого определяет экстремальные значения показателя (нижнюю и верхнюю границу) исходя из крайних сценариев развития исследуемого объекта. Пример: ожидается, что при наихудшей конъюнктуре для продавца цена продукции не может быть меньше А, при наилучшей -- не более Б, или темп роста производства в некотором временном интервале не опустится ниже а% и не превысит b%.

Ожидаемый вид распределения вероятностей для прогнозируемой величины в пределах установленного РВД. Эксперт должен вынести самое общее суждение о виде распределения, выбрав один из четырех вариантов. Предлагаются следующие виды распределений: а) нормальное; б) треугольное; в) трапециевидное; г) равномерное. Для упрощения полагаем, что распределения б) и в) являются симметричными. (Можно было бы рассмотреть и несимметричные варианты этих распределений, однако вряд ли эксперт сможет более или менее удовлетворительно определить необходимые для этого параметры.) Заметим, что распределения б) и в) не встречаются в "классической" статистике.

Рис. 8.1

(а) Нормальное распределение N. Ожидается, что варианты значений прогнозируемого параметра сосредоточены около среднего значения. Значения параметра, существенно отличающиеся от среднего, т. е. находящиеся в "хвостах" распределения, имеют малую вероятность осуществления.

(б) Треугольное распределение Т. Этот вид распределения можно рассматривать как некоторый суррогат нормального в тех случаях, когда известно только, что распределение симметрично и имеет одну моду, причем следует ожидать, что вероятность реализации более или менее равномерно растет по мере приближения к моде.

(в) Трапециевидное распределение Тр. Предполагается, что в пределах РВД существует интервал значений с наибольшей вероятностью реализации (НВР). Например, предполагается, что в диапазоне от 10 до 30% наиболее вероятны процентные ставки в пределах 15-25%.

(г) Равномерное распределение P. По мнению эксперта, все варианты прогнозируемого показателя имеют одинаковую вероятность реализации, что равносильно отсутствию каких-либо дополнительных экспертных суждений о характере явления.

По-видимому, наибольшую информацию эксперт должен иметь для того, чтобы утверждать, что распределение близко к нормальному Для этого при наличии значительного объема статистических данных применяют специальную процедуру проверки гипотезы о принадлежности данного распределения к нормальному. Однако в рамках обсуждаемой задачи, вероятно, достаточно экспертного суждения., и, наоборот, при полном отсутствии такой информации логично остановиться на равномерном распределении. Распределения Т и Тр занимают промежуточные места. Графическая иллюстрация перечисленных распределений приведена на рис. 8.1, на котором буквенные символы обозначают:

a, b -- границы РВД;

М -- модальное значение переменной;

M₁ , M₂ -- границы НВР.

При использовании указанных распределений, кроме нормального, полагаем, что площадь под кривой распределения равна 1, или 100%. С небольшой натяжкой сказанное можно отнести и к нормальному распределению.

Третьим необходимым элементом методики является доверительная вероятность (ДВ), которая характеризует уровень вероятности реализации прогноза. Например, допустим, что интервальная оценка цены продукции в рамках прогноза считается надежной, если ДВ принята на уровне 0,9. Таким образом, в 9 случаях (шансах) из 10 (иными словами, с 90%-й вероятностью) можно утверждать, что прогноз окажется оправданным. Чем больше величина ДВ, тем ближе интервальный прогноз к РВД.