Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Для всех экономических специальностей

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ

по курсу

“ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ”

РЕЦЕНЗЕНТЫ: Профессор д.э.н. Хужаев Н.Х. , доц. кафедры

“Экономическая кибернетика” Балтаева Л.Р.

СОСТАВИТЕЛИ: проф. Шодиев Т.Ш.

кафедра “Экономическая кибернетика”

Введение

Цель дисциплины “Экономико-математические методы и модели” - вооружить студентов основами моделирования народного хозяйства и его подразделений как сложных экономических систем, привить на примере конкретных экономических объектов навыки практического моделирования от постановки задачи, ее формализации до решения на ЭВМ и экономической интерпретации полученных результатов.

Основными задачами дисциплины являются: овладение методологией построения и применения математических моделей экономических процессов; углубления теоретических знаний о проблемах экономики, исследуемых средствами математического моделирования; изучение типовых моделей, используемых в экономическом анализе на разных уровнях народного хозяйства.

При разработке программы составители исходили из современной структуры народного хозяйства, рассматривая моделирование как инструмент системного отражения народного хозяйства, определения и исследования вариантов развития всех его подсистем в соответствии с конечной целью системы.

В настоящее время экономическая наука и практика все более глубоко овладевает достижениями прикладной математики, превращая их из инструмента научных исследований в важное средство эффективного решения сложных хозяйственных проблем.

Система принятия решений, одним из элементов которой является экономико-математические методы, должна охватывать полный цикл хозяйственных проблем, требующих творческого подхода.

Для студента, ведущего содержательное экономическое исследование с помощью экономико-математических методов необходимо принять ряд последовательных решений:

-дать теоретическое описание рассматриваемых экономических процессов;

-определить цель исследования, достижение которой требует привлечения моделей;

-выбрать форму экономико-математической модели, попытаться изучить ее формальные свойства и дать их интерпретацию в рамках принятых гипотез с учетом сделанных упрощений.

Исходя из вышеперечисленных утверждений, перед студентами ставится требования обязательного знания элементов высшей математики и теории вероятностей, математической статистики, общей теории статистики, углубленных знаний по экономической теории и основ компьютерных технологий.

Теоретическую основу дисциплины составляет экономическая кибернетика. Дисциплина опирается также на экономические науки, которые дают знания о структуре, системе управления народным хозяйством и его подразделениями, на высшую математику, прежде всего на математические методы исследования операций, теорию вероятностей и математическую статистику.

При изучении курса “Экономико-математические методы и модели” студенты должны уметь пользоваться табличными процессорами, такими как, Lotus-1-2-3, Microsoft Excel, SuperCalc 4-5, компьютерными системами DSTAT, TSP MCAD, EURECA, STATGRAPH.

Дисциплина “Экономико-математические методы и модели” изучается студентами III курса всех специальностей.

Общий объем аудиторных занятий по курсу “Экономико-математические методы и модели” составляет 76 часа, из них:

лекционных - 38 часов;

практических - 20 часов;

лабораторных - 18 часов.

Тема 1. Основы экономико-математического моделирования

1.1. Моделирование как метод научного познания

1.2. Особенности применения метода математического моделирования в экономике

1.3. Особенности экономических наблюдений и измерений

Случайность и неопределенность в экономическом развитии

Литература

1.1 Моделирование как метод научного познания

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструированию научных гипотез.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

субъект (исследователь);

объект исследования;

модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.

Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

1.2 Особенности применения метода математического моделирования в экономике

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна, моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющихся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать ещё неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. экономический математический моделирование

1.3 Особенности экономических наблюдений и измерений

Уже длительное время главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. С другой стороны, исследования по моделированию экономики выдвигают новые требования к системе информации.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используя в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: о прошлом развитии и современном состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.

Методы экономических наблюдений и использования результатов этих наблюдений разрабатываются экономической статистикой. Поэтому стоит отметить только специфические проблемы экономических наблюдений, связанные с моделированием экономических процессов.

В экономике многие процессы являются массовыми; они характеризуются закономерностями, которые не обнаруживаются на основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

Другая проблема порождается динамичностью экономических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений. В следствии этого экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом её запаздывания

Познание количественных отношений экономических процессов и явлений опирается на экономические измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффектного использования математического моделирования является совершенствование экономических измерителей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В процессе моделирования возникает взаимодействие "первичных" и "вторичных" экономических измерителей. Любая модель народного хозяйства опирается на определенную систему экономических измерителей (продукции, ресурсов, элементов и т. д.). В то же время одним из важных результатов народнохозяйственного моделирования является получение новых (вторичных) экономических измерителей - экономически обоснованных цен на продукцию различных отраслей, оценок эффективности разнокачественных природных ресурсов, измерителей общественной полезности продукции. Однако эти измерители могут испытывать влияние недос-таточно обоснованных первичных измерителей, что вынуждает раз-рабатывать особую методику корректировки первичных измерителей для хозяйственных моделей.

С точки зрения "интересов" моделирования экономики в настоящее время наиболее актуальными проблемами совершенствования экономических измерителей являются: оценка результатов интеллектуальной деятельности (особенно в сфере научно-технических разработок, индустрии информатики), построение обобщающих показателей социально-экономического развития, измерение эффектов обратных связей (влияние хозяйственных и социальных механизмов на эффективность производства).

1.4 Случайность и неопределенность в экономическом развитии

Для методологии планирования экономики важное значение имеет понятие неопределенности экономического развития. В исследованиях по экономическому прогнозированию и планированию различают два типа неопределенности: "истинную", обусловленную свойствами экономических процессов, и "информационную", связанную с неполнотой и неточностью имеющейся информации об этих процессах. Истинную неопределенность нельзя смешивать с объективным существованием различных вариантов экономического развития и возможностью сознательного выбора среди них эффективных вариантов. Речь идет о принципиальной невозможности точного выбора единственного (оптимального) варианта.

В развитии экономики неопределенность вызывается двумя основными причинами. Во-первых, ход планируемых и управляемых процессов, а также внешние воздействия на эти процессы не могут быть точно предсказуемы из-за действия случайных факторов и ограниченности человеческого познания в каждый момент. Особенно характерно это для прогнозирования научно-технического прогресса, потребностей общества, экономического поведения. Во-вторых, общего государственное планирование и управление не только не всеобъемлющи, но и не всесильны, а наличие множества самостоятельных экономических субъектов с особыми интересами не позволяет точно предвидеть результаты их взаимодействий. Неполнота и неточность информации об объективных процессах и экономическом поведении усиливают истинную неопределенность.

На первых этапах исследований по моделированию экономики применялись в основном модели детерминистского типа. В этих моделях все параметры предполагаются точно известными Однако детерминистские модели неправильно понимать в механическом духе и отождествлять их с моделями, которые лишены всех “степеней выбора” (возможностей выбора) и имеют единственное допустимое решение. Классическим представителем жестко детерминистских моделей является оптимизационная модель народного хозяйства, применяемая для определения наилучшего варианта экономического развития среди множества допустимых вариантов.

В результате накопления опыта использования жестко детерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределенность. Здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, усовершенствуется методика использования моделей жестко детерминистского типа: проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности; включение в модель резервов, применение приемов, повышающих приспособляемость экономических решений к вероятным и непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают распространение модели, непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, стохастическое программирование, теорию случайных процессов.

Литература

Замков О.О. и др. Математические методы для экономистов. М. 1995 г.

Экономика переходного периода. Под ред. Радаева М. 1995 г.

Эконометрика Под ред. Шадиева Т.Ш. “Шарк” 1999 г.

Тема 2. “Метод математического моделирования в экономике”

2.1. Проверка адекватностей моделей.

2.2. Классификация экономико-математического моделирования.

Роль прикладных экономико-математических исследований.

Ключевые слова.

Контрольные вопросы.

Литература.

2.1 Проверка адекватности моделей

Сложность экономических процессов и явлений и другие отмеченные выше особенности экономических систем затрудняют не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.

В естественных науках достаточным условием истинности результатов моделирования и любых других форм познания является совпадение результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Категория "практика" совпадает здесь с категорией "действительность". В экономике и других общественных науках понимаемые таким образом принцип "практика - критерий истины" в большей степени применим к простым дескриптивным моделям, используемым для пассивного описания и объяснения действительности (анализа прошлого развития, краткосрочного прогнозирования неуправляемых экономических процессов и т. п.).

Однако главная задача экономической науки конструктивна: разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых социально-экономических задач.

Специфика верификации нормативных моделей экономики сос-тоит в том, что они, как правило, "конкурируют" с другими, уже нашедшими практическое применение методами планирования и управления. При этом далеко не всегда можно поставить чистый эксперимент по верификации модели, устранив влияние других управляющих воздействий на моделируемый объект.

Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о верификации моделей долгосрочного прогнозирования и планирования (как дескриптивных. Так и нормативных). Ведь нельзя же 10-15 лет и более пассивно ожидать наступления событий, чтоб проверить правильность предпосылок модели.

Несмотря на отмеченные усложняющие обстоятельства, соответствие модели фактам и тенденциям реальной экономической жизни остается важнейшим критерием, определяющим направления совершенствования моделей. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью и моделью, сопоставление результатов по модели с результатами , полученными иными методами, помогают выработать пути коррекции моделей. Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации моделей, как доказательство существования решения в модели, проверка истинности статистических гипотез о связях между параметрами и переменными модели, сопоставления размерности величин и т. д., позволяют сузить класс потенциально правильных" моделей.

Внутренняя непротиворечивость предпосылок модели проверяется также путем сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий, а также со следствиями "конкурирующих" моделей.

Оценивание своевременного состояние проблемы адекватности математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания. По-прежнему является одной из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований.

2.2 Классификация экономико-математических моделей

Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические. Используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа. Прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т. д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т. д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные. А также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязь подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта (“выход”) воздействует путем изменения “входа”. Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивным и нормативными. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т. е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос:

как это должно быть?, т. е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучение вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивная, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность. Описываемую вероятностными законами, и неопределенность. Для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория “линейной экономики” существенно отличается от теории “нелинейной экономики”. От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или невыпуклыми. Существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т. е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т. е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

2.3 Этапы экономико-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильность полагать, что чем больше фактов учитывает модель. Тем она лучше “работает” и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта.

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент-доказательство существования решений в сформулированной модели (Теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость а последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимся знаниями и фактами действительности также позволяют обнаружить недостатки постановки экономической задачи. Сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. На рис. 1 изображены связи между эта-пами одного цикла экономико-математического моделирования.

Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать. Что наибольшая модификация постановки задачи или ее формализация дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т. д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теории математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

2.4 Роль прикладных экономико-математических исследований

Можно выделить по крайней мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве “ручной” технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т. п.

4. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

Литература.

Замков О.О. и др. Математические методы для экономистов. М. 1995 г.

Экономика переходного периода. Под ред. Радаева М. 1995 г.

Эконометрика Под ред. Шадиева Т.Ш. “Шарк” 1999 г.

Тема 3. Модели функционирования фирм и отраслей

Модель оптимальной загрузки производственных мощностей

Экономико-математическая модель задачи

Литература

3.1 Модель оптимальной загрузки производственных мощностей

Актуальной является проблема оптимального внутризаводского планирования. В частности, представляет большой интерес задача оптимального использования производственного оборудования и оптимального выпуска продукции.

Задачу загрузки производственного оборудования можно рассмотреть в зависимости от видов установленного оборудования. Например, если установлено оборудование, на котором могут обрабатываться все виды деталей, такая задача называется “Задачей загрузки оборудования для случая взаимозаменяемости” . Если же установленное оборудование таково, что взаимозаменяемость невозможна, такая задача называется “Задачей загрузки оборудования для случая невзаимозаменяемости”.

Суть рушения задачи загрузки производственного оборудования заключается в нахождении оптимального плана загрузки оборудования, то есть такой программы работы оборудования, чтобы весь объем работ был выполнен с наибольшим эффектом.

Эффект выполненной работы определяется в зависимости от цели решения поставленной задачи. Например, выполнить весь объём работы так, чтобы издержки производства были минимальными, или же, чтобы была максимальная прибыль и т.д.

Для решения задачи необходимо более четко сформулировать её экономическую сущность. В связи с этим задачу загрузки оборудования будем решать для случая взаимозаменяемого оборудования.

Экономическая постановка задачи. Суть поставленной задачи заключается в следующем: имеется несколько видов оборудования, на каждом из которых можно обрабатывать несколько типов деталей. Известны фонд рабочего времени по каждому виду оборудования, план выпуска или обработка деталей каждого типа, а также нормы затрат. В зависимости от цели решения задаются издержки производства на обработку одной детали на каждом из видов оборудования или прибыль.

Индексы:

i - номер вида оборудования ( i = 1,2, - m);

j - номер типа деталей (j = 1,2, - n);

Постоянные величины:

Ai- фонд рабочего времени оборудования вида i ;

Bj- план выпуска (обработки) деталей типа j;

ij- нормы затрат рабочего времени для обработки одной детали j на оборудовании вида i;

Cij- издержки производства на одну деталь номера j при обработке на оборудовании вида i:

Переменные величины:

Xij - кол-во деталей типа j, обработанных на оборудовании вида i.

3.2 Экономико-математическая модель задачи

Для построения экономико-математическая модели более чётко запишем цель решаемой задачи, то есть критерий оптимальности минимизации производственных затрат на выполнение всей программы или плана.

Целевая функция

m n

Y = Cij Xij min

i=1 j=1

Система ограничений

n

= _ij x_ij Ai (i = 1,2, ..., m)

j=1

Ограничения выражают, что затраты времени на обработку всех деталей на оборудовании вида i не должны превышать фонды его рабочего времени.

m

X_ij = Bj (j = 1,2, ..., n)

i=1

Количество деталей типа j, обрабатываемых на всех видах оборудования, должно быть равно производственной программе или плану по этому виду деталей.

X_ij 0 (i = 1,2,..., m; j = 1,2, ..., n) - неотрицательность переменных.

Методом решения поставленной задачи является сипмплекс - метод, так как экономико-математическая модель задачи укладывается в рамки общей задачи линейного программирования.

Задача оптимальной загрузки производственного оборудования в случае взаимозаменяемости может быть решена для случая, когда вместо нормативных затрат на обработку одной детали задается производительность станка. Для этого вводятся к предшествующим ещё дополнительные обозначения.

Дополнительные обозначение Pij - производительность станка (оборудования ) вида j при обработке деталей типа j.

Ввиду того, что производительность станков и нормы затрат связаны между собой соотношением

1

_ij = ------

Pij

экономико-математическая модель задачи запишется в виде:

m n

Y = C_ij X_ij min

j=1 j=1

n 1

------X_ij Ai (i = 1,2, ..., m)

j=1 Pij

m

X_ij = Bj (j = 1,2, ..., n); Xij 0

j=1

Экономико-математическая модель задачи при данном критерии и заданной производительности станков будет:

m n X_ij

Y = ------- min ;

j=1 j=1 Р_ij

n X_ij

------ Ai ;

j=1 Pij

m

X_ij = Bj

j=1

Xij 0

Система ограничений имеет то же смысл, что и первая задача.

Методом решения всех перечисленных задач является симплекс-метод.

В случае большой размерности необходимо использовать ЭВМ. Стандартные программы дают возможность быстро получить результаты решения. Например, программа PER.

Пример. Имеется четыре вида взаимозаменяемого оборудования. Фонд рабочего времени соответственно составляет; первого вида- 317 станко-часов, второго- 282 станко-час., третьего- 334станко- час., четвертого вида-264 стако-час. Нужно обработать детали четырех типов в следующих объемах: первого типа- 11000м² , второго 13000м², третьего-12000м², четвертого - 15000м². Известные нормы затрат рабочего времени на обработку одной детали каждого типа, а также издержки одной детали. Необходимо составить оптимальный план работы оборудования по критерию- минимум издержек на обработку всей производной программы.

В левом верхнем углу табл. 1 заданы нормы затрат рабочего времени на обработку одной детали (т.е. на обработку одной м²мрамора), а в правом нижнем - соответственно издержки на обработку.

Данные получены из планового отдела объединения.

Таблица 1.

Фонд	Программа выпуска плит
Времени станко-час	11000	13000	12000	15000
317	0,03 Х11 3	0,084 Х12 2	0,026 Х13 5	0,021 Х14 8
282	0,026 Х21 2	0,022 Х22 3	0,024 Х23 4	0,019 Х24 7
334	0,03 Х31 5	0,026 Х32 8	0,028 Х33 7	0,022 Х34 12
264	0,024 Х41 4	0,02 Х42 6	0,022 Х43 8	0,018 Х44 14

Экономико-математическая модель задачи:

Y = 3X₁₁ + 2X₁₂ + 5X₁₃ + 8X₁₄ + 2X₂₁ + 3X₂₂ + 4X₂₃ + 7X₂₄ +

+ 5X₃₁ + 8X₃₂ + 7X₃₃ + 12X₃₄ + 4X₄₁ + 6X₄₂ + 8X₄₃ + 14X₄₄ min ;

0,03X₁₁ + 0,084X₁₂ + 0,026X₁₃ + 0,021X₁₄ 317

0,026X₂₁ + 0,022X₂₂ + 0,024X₂₃ + 0,019X₂₄ 282

0,03X₃₁ + 0,026X₃₂ + 0,028X₃₃ + 0,022X₃₄ 334

0,024X₄₁ + 0,02X₄₂ + 0,022X₄₃ + 0,018X₄₄ 264

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ + х₄₁ = 11000

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ + х₄₄ = 13000

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃ = 12000

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ + х₄₄ = 15000

Используя для решения программу PER получили оптимальный план.

Проведём экономико-математический анализ задачи

Экономико-математический анализ - неотъемлемая часть общей работы по моделированию экономических задач. Суть экономико-математического анализа состоит в проверке обоснованности как сформулированной модели, так и оптимального решения, полученного на её основе, исходя из количественных свойств этой модели и математических характеристик, полученных в результате расчётов на оптимум.