Основы экономико-математического моделирования

Например заключение: “ Люди будут летать на другие планеты “ прогнозом считать нельзя, а вот такое утверждение: “Человек ступит на планету Марс в период между 2000 и 2020 годами” - это уже прогноз, ведь здесь место и время вполне конкретизированные. При разработки прогноза должен быть использовать проверенный, строгий инее противоречивый метод протезирования, ведь только тогда прогноз можно отнести к предвидению научному, а не чисто интуитивному или вомоктаристикому. Должен быть известей также способ проверки в будущем реализации прогнозируемого события.

Итак, прогноз - это обоснованное научной методикой суждение о вероятных направлениях и результатах развития объекта, явления или процесса в определенном периоде времени в будущем. Научная дисциплина, изучающая теорию, закономерности, методологию разработки прогнозов, называется прогностикой.

Сферы прогнозирования весьма широки и многообразные. Выделяются географическое, геологическое, экологическое, биологическое, медицинское прогнозирование, прогнозы науки и техники, экономические, социологические, прогнозирование военное, внешне - политическое, юридическое, культурно - эстетическое и другие. Все эти сферы необходимы и важны, однако следует отменить, что по степени влияния и решение перспективных народнохозяйственных проблем ведущую роль играет социально-экономическое прогнозирование.

Социально - экономическое прогнозирование охватывает развитие народного хозяйства в целом и по отраслям, регионам, научно - технический прогресс, народонаселение и уровень жизни, ресурсы и потребление, внешне экономическую конъюнктуру и экологию и т.д. Остановимся здесь на функциональных особенностях прогнозирования в систем управления производством. Первым этапом в описываемом процессе является прогнозирование. Прогноз выявляем возможные пути развития экономики с ориентацией как на целевые установки удовлетворения потребностей общества, так и на расширение и использование ресурсной базы народного хозяйства.

К числу основных задач, функций прогнозирования относятся: научный анализ сложившихся экономических, социальных, научно-технических процессов и тенденций; вероятностное и много вариационное предвидение проблем, ситуаций, тенденций будущего развития; отбор и оценка возможностей и результатов активного управляющего воздействия на эти процессы.

Прогнозная информация о рациональных, эффективных вариантных социально-экономического развития кладется в основу при разработке комплексных программ, которая базируется на программно - целевом методе. Как прогнозы, так и программы с ученом конкретного сопоставления целей и ресурсов обеспечивают обоснованное составление планов с их последующим доведением до производственных комплексов. Прогнозирование - это органическая составная часть всей системы планового управления развитием народного хозяйства, однако она имеет и свою специфику и свой методы и нередко свое вполне самостоятельное значение. Достаточно рассмотреть довольно существенные различия между прогнозом и планом.

План - документ директивный, обязательный к исполнению и однозначный. Прогноз - суждение вероятностное, необязательное и обычно многовариантные. План отличает четко сформированная цель, детерминированные пути и средства их достижения, строго лимитированные ресурсы. Для прогноза характерны: цели - теоретически достижимые, пути и средства - вероятные, ресурсы - возможные.

Отсюда следуют и некоторые другие различия. План как документ обязательный должен относиться только к управляемым процессам. Прогноз может охватывать как процессы управляемые, так и неуправляемые и не полностью управляемые. Скажем производство - это система управляемая, ее можно и прогнозировать и планировать. Погодные деловые - неуправляемый процесс их можно только прогнозировать. Есть немило процессов не полностью управляемых. К ним относятся демографические, научно - технические, внешнеэкономические процессы, спрос и потребление населения и другие. Частично на них можно воздействовать, а значении и частично планировать, но полностью их можно только прогнозировать.

Другое различие качается времени упреждения. Директивный характер плана ограничивает срок планирования, как правило, пятью годами. Прогнозный горизонт по времени не ограничен, хотя практически научно - обоснованные прогнозы (в отличие от научной фантастики) на сотни лет, конечно не распространяются.

8.2 Системный анализ объекта прогнозирования

В процессе прогнозирования, начиная с разработки задания на прогноз, должен быть проведен всесторонний анализ объекта прогнозирования. Этот анализ включает определение объекта и предмета исследования целей и задач его прогнозирования, его зависимости от внешний среды, его структуры; механизма его функционирования, управления им. Формально - содержательное исследование объекта приводит обычно к построению его моделей с их последующей корректировкой; выявлением альтернативных управляющих воздействий на объект и выбором оптимальной альтернативы.

Мы будем рассматривать социально - экономические системы, а их анализ как объектов прогнозирования достаточно натрудим в связи с тем, что относятся они к системам очень сложным. Для исследования сложных объектов требуется применение глубоко разрабатываемой в последние десятилетия теории систем, системного анализа.

Важной особенностью методологии исследования систем является функциональный подход к их анализу. Функция системы проявляется в ее поведение, в непрерывном взаимодействии всех ее элементов для достижения стоящих перед системой целей. Система связана с внешней средой своими входами и выходами. Допустим, что нам известны три вектора, описывающих состояния в момент времени t : вектор состояний входов.

X_t = (x₁, x₂,..., x_m)_t

Вектор состояний выходов Y_t = (y₁, y₂,..., y_m)_t;

Вектор внутренних состояний системы S_t = (s₁, s₂,..., s_m)_t

Функция системы, ее поведение характеризуются вектором состояний выходов. Если считать что в момент t состояния выходов определяются состояниями входов системы и ее внутренними состояниями, то имеем зависимость y_t=f(X_t, S_t).

Выявление таких функций часто оказывается весьма полезным для прогнозирования сложной системы: ведь протезируют обычно состояния выходов в зависимости от возможных, ожидаемых или достижимых состояний входов и внутренних состояний системы. На таком подходе основаны, в частности, эконометрические модели прогнозирования.

8.3 Классификация прогнозов

Классификация прогнозов осуществляется по ряду признаков в зависимости от целей, задач, объектов протезирования, времени упреждения, научно - методических основ и организации прогнозирования, формы и его конечных результатов. Рассмотрим типология социально - экономических прогнозов по основным критериям.

По масштабам прогнозируемой системы дифференциация очень велика от протезов мирового хозяйства до протезов предприятий и отдельных производств. Здесь можно выделить следующие группы прогнозов:

прогнозы международной экономики, включая конъюнктуру мирового рынка и внешней торговли;

прогнозы экономики страны в целом как укрупненные однопродуктовые, так и межотраслевые;

прогнозы народнохозяйственных комплексов таких, как топливно - энергетический комплекс агропромышленный комплекс и другие;

прогнозы отраслей народного хозяйства, однопродуктовые или многопродуктовые;

прогнозы регионов, охватывающие по возможности всю региональную социально - экономическую систему;

прогнозы первичных звеньев народного хозяйства, имея в виду объединения, предприятия, опальные производства.

Демографические прогнозы охватывают динамику народонаселения исходя из половозрастной его структуры, данных о рождаемости и смертности, продолжительности жизни. Исследуются объемы и направления миграционных потоков населения, воспроизводство трудовых потоков населения, воспроизводство трудовых ресурсов и занятость, численность и величина семей. Особое значение для других экономических и социальных расчетов имеют прогнозы численности, состава и размещения трудоспособного населения.

Прогнозы ресурсов охватывают прежде всего природные ресурсы как беду общественного производства: топливно-энергетические, минерально-сырьевые, водные, лесные и т.д. Ясно, что наличием ресурсов во многом определяется структура всего народного хозяйства, а происходящее уменьшение запасов, снижение качества, ухудшение условий добычи многих видов ресурсов требуют тщательно обоснованной информации об ожидаемом в будущем состоянии этой проблемы. Представляют интерес и прогнозы о количестве и использовании вторичных и попутных ресурсов.

Прогнозы производства: многосторонне включают различные аспекты производительных сил и производственных отношений. Это темпы экономического роста, объем и структура конечного продукта народного хозяйства, межотраслевые связи, территориальное размещение производства, объемы, состав, качество основных производимых продуктов в натуральном исчислении.

В прогнозы капиталовложений и капитального строительства включаются объемы и структура капитальных вложений, стоимость выполняемого строительства, ввод в действие основных фондов, сооружений, сроки их службы, выбытия и замены.

Прогнозами финансов, доходов, цен охватываются важнейшие балансы денежно - финансовой системы - государственный бюджет, баланс денежных доходов и расходов населения, баланс финансовых ресурсов, бюджет социального страхования. Включаются также прогнозы издержек производства, прибылей, все возможных ценообразующих факторов.

Значение прогнозов науки и техники все более возрастает, поскольку завершается превращение науки в непосредственную производительную силу общества.

Научно - технические прогнозы включают в себя прогнозы науки в направлениях фундаментальных и прикладных исследований, прогнозы развития и внедрения достижений научно-технического прогресса в различные производства, отрасли экономики, прогнозы социального воздействия научно-технического прогресса на общественную жизнь.

В прогнозах потребления исследованию подлежат общественные потреблении, которые сводятся к двум формам - потребностям личным и производственным. Необходимость в прогнозировании потребления связана с тем что величина и структура потребностей в будущем носят весьма вероятностный характер, зависят от множества факторов, а без знания потребностей невозможно правильно спланировать производство.

Социальными прогнозами исследуется такая сложная совокупность как образ жизни, т.е. способ жизнедеятельности людей, коллективов, социальных групп, общества в целом в аспектах условий труда, быта и отдыха, степени удовлетворения всевозможных материальных и духовных потребностей, развития социальной инфраструктуры, тенденцией в области культуры, образования, здравоохранения и т.д. Значительную долю занимают здесь прогнозы потребительского спроса и потребления населением всех видов товаров и услуг.

Внешнеэкономические прогнозы охватывают общие тенденции развития мировой экономики, экономические взаимоотношения нашей страны с другими странами, конъюнктуру международного рынка и внешней торговли.

Экологические прогнозы исследуют состояние природопользования, проблемы загрязнения природной среды, перспективы развития растительного и животного мира, продуктивность сельскохозяйственных угодий, возможности совершенствования производства с целью минимизации строительных последствий. По сроку прогнозирования (периоду упреждения ) выделяются прогнозы оперативные, краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные, дальнесрочные.

По характеру научно методического обоснования прогнозы делятся на поисковые (исследовательские, изыскательские) и нормативные.

Существует также разграничение прогнозов на пассивные и активные.

Методы прогнозирования

1. Классификация методов прогнозирования.

Методы прогнозирования можно разделить на две большие группы - логико-эвристические методы базируются на широко известной общенаучной теории логики и на эвристике, которая определяется словарями как “Искусство нахождения истины.

В этой группе выделяются четыре подгруппы методов, это методы формальной логики, аналогии, экспертных оценок и специальные эвристические.

Методы моделирования основаны прежде всего и количественных, математических и статистических исследованиях на выявлении формальных зависимостей и тенденции развития на построении прогностических моделей и экспериментировании с ними на базе компьютерной техники. В качестве подклассов выделяются модели экстраполяции, эконометрические, нормативно - целевые и имитационные.

Отдельно в классификации представлены комплексные методы в которых сочиняются как логико-эвристические подходы, так и моделирование.

Логико - эвристические методы.

В ходе научных исследований вообще, прогнозирования в частности, дедукция и индукция тесно между собой взаимосвязаны. Без индукции строго говоря, возникновение дедукции становится невозможным. Диалектика не позволяет беспрепятственно оделять анализ от синтеза, индукцию от дедукции. Более того - и в своем сочетании они могут оказаться недостаточными для полного обоснования прогноза, а часто служат лишь дополнением и поклонением при использовании более специализированных методов прогнозирования.

8.4 Моделирование

Модель какой - либо сложной системы тоже представляет собой систему ( и нередко весьма сложную), имеющую физическое воплощение либо записанную с помощью слов, шифр, математических обозначений, графических изображений и т.д. Таким образом, можно сказать, что модель - это физическая или знаковая система, имеющая объективное подобие с исследуемой системой в отношении функциональных, а часто и структурных характеристик, являющихся предметом исследования.

Литература

Теория прогнозирования и принятия решений. Учеб.пособ. (Под.ред. С.А. Саркисяна - М. Высшая школа 1977 г.)

Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования - М. Статистика, 1977 г.

Шадиев Т.Ш. Экономические модели развития сельского хозяйства - Ташкент. Фан 1986 г.

Абдуллаев А. НТП в промышленности Узбекистана. Управления и прогнозирование. Ташкент, Мехнат 1990 г.

Тема 9. Методы экспертных оценок

9.1. Подготовка к спросу экспертов

9.2. Формирование экспертных групп

9.3. Метод коллективной генерации идей

9.4. Метод Дельфи

Обработка результатов экспертных опросов

Литература

9.1 Подготовка к опросу экспертов

Эксперт (с. латинского “ опытный”) Процедура экспертизы включают три этапа:

подготовка к экспертизе;

проведение спроса экспертов;

обработка результатов опроса.

Сами эксперты необходимы в основном на втором этапе.

Подготовительная работа включает три наиболее важнейшие части:

выбор и конкретизация формы опроса.

подготовка и формирование перечня вопросов

персональный выбор и привлечение участвующих экспертов.

Формы опроса - это интервьюирование, дискуссия, совещание, генерация идей, деловая игра, анкетирование, метод Дельфи.

Основные развития между ними двух видов: во- первых: индивидуальные или групповые опросы, во- вторых: проведение опросов очно или заочно.

В анкетах, интервью и других формах необходимо тщательно сформулировать вопрос. Вопросы бывают трех видов: открытые, закрытые и с веером ответов. В свою очередь открытые могут предусматривать ответ либо в качественной и произвольной ответной форме, либо количественно, по четко определенному показателю.

На закрытый вопрос - ответ: “ да ”, “ нет ”, “ не знаю ”.

В веере вопросов следует подчеркнуть нужный ответ.

9.2 Формирование экспертных групп

Важен подбор самих экспертов в группы в зависимости от ее состава по специальным профессиональным качествам, характеристикам.

Из желаемых характеристик главными считают: компетентность экспорта; степень его квалификации в изучаемой области. Можно провести опрос многих специалистов с предложением назвать лучших экспертов этой области и затем включить в искомую группу тех, кто набрал наибольшее число голосов по принципу:

Наряду с компетентностью пытаются оценить и другие качества предполагаемых участников: - творческий, характер, оригинальность и широта мышление, прагматический аспект мышления, отношение к экспертизе, подверженность к влиянию различных авторитетов, коллективизм, самокритичность и другие.

Число экспертов в группе зависит от способа опроса. При очном опросе наилучший результат обеспечит группа из 10-15 человек. Иначе теряется управняеть . При заочном опросе количество экспертов неограничено, если не считать затрат времени, труда, средств.

9.3 Метод “ коллективной генерации идей”

Этот метод также называется методом “мозговой атаки”. Это характерный метод очного спроса. Он начал распространяться с 50 - х гг. На подготовительной этапе формируется группа из 10-15 человек. В процессе подготовки составляется памятная записка для экспертов, в которой содержится формировка проблемной ситуации; центральные вопросы, под вопросы обсуждения, просьба заранее приготовить свои идеи.

Для проведения сеанса выделяется ведующий. Он открывает заседание, зачитывает. На выступление экспертам дается 2-3 минуты, но многократно.

Метод допускает только положительное обсуждение критических замечаний, отклонение предложений категорически запрещается.

Обсуждение фиксируется стенографически посредствам магнитофона и другими средствами. Обсуждение продолжается от 20 до 45 минут.

На следующем этапе результаты сеанса опроса подвергаются обработке другой группы специалистов аналитиков. На этом этапе полностью критикуются все внесенные предложения, а результатом становится окончательный список идей, предложений, решений, которые теоретические наиболее эффективны и практические приемлемы.

9.4 Метод Дельфи

Разработан в 60-е гг. а США. Метод этот заочный. Отличные особенности: заочность, анонимность, проведение опроса в нескольких туров, задействование обратной связи, когда перед каждым туром, кроме первого, эксперты получают информацию о результатах предыдущего тура.

Вначале экспертам посылаются анкеты, в которых формулируется проблема, содержится инструктаж о порядке опроса дается перечень вопросов, требующих обычно количественного, реже качественного ответа.

Ответы эксперт отсылает по почте, не подписываясь. Ответы экспертов организаторы обрабатывают, определяют групповые оценки по каждому вопросу, Оцениваются содержательно средние величины, отклонения, дисперсии и так далее. Примерно через месяц после первого проводится второй тур. Экспертам снова рассылают вопросники, чаще те же , что в первом туре к ним предлагается описание результатов первого тура в виде средних и крайних характеристик ответов на вопросы. Экспертов снова просят ответить на вопросы с учетом результатов первого тура. Снова обобщаются, обрабатываются результаты второго тура и проверяется третий когда к вопросам прилагается ответы второго тура . Если расхождения оценок экспертов после третьего тура можно считать несущественными, то опрос заканчивается, если же требуется дальнейшие уточнение мнений экспертов, то проводится четвертый тур. Итоги последнего тура обрабатывается и считается окончательным.

9.5 Обработка результатов экспертных опросов

Если вопрос предусматривает количественный числовой ответ, то для оценки всей группы экспертов используются средние величины такие как: средняя арифметическая, медиана, мода. А для характеристики разброса мнений - вариация, отклонение, показатели дисперсии, среднеквадратического отклонения, квартили.

В некоторых методах экспертных оценок, в частности в методе Дельфи обобщенную оценку рекомендует определять медианой и первой и третий квартилями.

Медиана считается более предпочтительной, чем средний арифметические по двум причинам:

- во первых, медиана совпадает с мнением отдельного эксперта;

- во вторых, на медиану не влияют резкие отклонения некоторых экспертов от усредненного уровня.

Упорядоченная группа экспертов по упорядоченным ответам дает три группы квартилей, которые делят эту группу на четыре равные части.

вторая квартиль совпадает с медианой, первая и третья обозначают расхождение мнений. Поэтому в каждом туре метода Дельфи, кроме первого рекомендуется указать как результат предыдущего тура три величины: медиану и первую и третью квартили.

Литература

Абдуллаев А.М., Терехов Л.Л. “Методы социально-экономического прогнозирования” Ташкент ТГЭУ, 1999 г.

“Прикладная статистика” (под.ред. Айвазяна П.С.) М. 1999 г.

Тема 10. Методы прогностической экстраполяции

10.1. Общее понятие методов экстраполяции

10.2. Методы моделирования одномерных временных рядов

10.3. Методы прогнозной экстраполяции

Литература

10.1 Общее понятие методов экстраполяции

Методы экстраполяции основываются на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключаются в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приёмы экстраполяции могут быть простыми и сложными.

Первую группу составляют методы прогнозирования, основанные на предположении относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста.

Вторая группа методов основана на применении статистических формул, описывающих тренд и их можно разделить на два основных типа: на адаптивные и аналитические.

Адаптивные методы прогнозирования основаны на том, что процесс реализации их заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя. К ним относятся методы скользящий и экспоненциальной средних, метод гармонических весов, метод авторегрессионных преобразований. В основу аналитических методов прогнозирования положен принцип получения с помощью метода наименьших квадратов оценки детерминированной компоненты f_t.

10.2. Методы моделирования одномерных временных рядов

Одним из наиболее распространенных методов краткосрочного прогнозирования является экстраполяция. Типичным и наиболее применимым приемом экстраполяции является прогноз по одномерному временному ряду. Динамика одномерных временных рядов в общем случае складывается из четырех компонентов:

1) тенденции, характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;

2) периодического компонента;

3) циклического компонента;

4) случайного компонента, как результата влияния множества случайных факторов.

Под тенденций понимают некоторое общее направление развития, долговременную эволюцию. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой, которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном от случайных воздействий. Под трендом обычно понимают регрессию на время. Отклонение от тренда есть влияние случайных факторов. Исходя из этого уровни временного ряда описываются следующим уравнением:

где f(t) - статистическая составляющая, характеризующая основную тенденцию явления во времени; _t - случайная составляющая.

Во временных рядах можно наблюдать тенденции трех видов: тенденция среднего уровня; тенденция дисперсии; тенденция автокорреляции.

Тенденция среднего уровня аналитически можно выражать в виде функции f(t). Тенденция дисперсии - это изменения отклонений эмпирических значений временного ряда от значений, вычисленных по уравнению тренда. Тенденция автокорреляции - это тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда.

Наиболее распространенным и простым способом моделирования тенденции социально-экономического явления является сглаживание временного ряда. Существуют различные приемы сглаживания, но суть их одна - замена фактических уровней ряда расчетными.

Наибольшее распространение имеют линейные тренды, общая формула которых имеет вид:

(1)

где - сглаженное значение уровня на момент t;

a - все, приписываемого уровня ряда, находящемуся на расстоянии от момента t;

s - число уровней после момента t;

q - число уровней до момента t.

В зависимости от того, какие значения принимают веса a сглаживание по формуле (1) будет выполнено либо с помощью скользящих средних, либо экспоненциальных средних.

Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов: выбора типа кривой, оценивания параметров кривой. Существуют различные приемы, позволяющие выбрать форму кривой. Наиболее простой путь - это визуальный, на основе графического изображения временного ряда.

Полиномы:

- первой степени (2)

- второй степени (3)

- третьей степени (4)

- k-й степени (5)

различные экспоненты:

(6)

(7)

- модифицированная экспонента (8)

Логистические кривые:

(9)

где е - основание натурального логарифма.

Кривая Гомперца:

Другой путь выявления формы кривой заключается в применении метода последовательных разностей.

(10)

Расчет этих разностей ведется до тех пор, пока разности не будут приблизительно равными.

10.3 Методы прогнозной экстраполяции

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту.

Прогноз определяет ожидаемые варианты экономического развития исходя из гипотезы, что основные факторы и тенденции прошлого периода сохраняется на период прогноза. Подобная гипотеза выдвигается исходя из инерционности экономических явлений и процессов. Прогнозы на основе экстраполяции рядов динамики как и любые статистические прогнозы, могут быть либо точечными, либо интервальными.

Экстраполяцию в общем виде можно представить в виде определенного значения функции

(11)

где - прогнозируемое значение ряда динамики;

l - период упреждения;

y_i - уровень ряда, принятый за базу экстраполяции;

a_j - параметр уравнения тренда.

Наиболее простым методом экстраполяции одномерных рядов динамики является применение средних характеристик данного ряда: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При экстраполяции социально-экономических явлений на основе среднего уровня ряда используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней ряда в прошлом,

(12)

В данном случае экстраполяция дает прогностическую точечную оценку. Точное совпадение этих оценок с фактическими данными - явление маловероятное. Следовательно, прогноз должен быть дан в виде “вилки”, интервала значений.

,

где t - табличное значение t критерия Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности Р; - средняя квадратическая ошибка средней. Значение ее определяется по формуле:

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту.

Она может быть выполнена в том случае, если считать общую тенденцию развития явления линейной.

где - остаточная дисперсия;

- общий прирост показателя от начального уровня до конечного y_i.

Для нахождения интересующего нас прогнозного значения уровня необходимо определить средний абсолютный прирост . Затем, зная уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции y_i, записать интересующую нас экстраполяционную формулу следующим образом:

.

Экстраполяция по среднему темпу роста может осуществится в случае, когда есть основания считать, что общая тенденция ряда динамики характеризуется показательной кривой. Прогнозируемый уровень ряда в этом случае определяется следующей формулой:

,

где, - средний темп роста. Все три способа экстраполяции тренда являются простейшими способами.

Литература

Эконометрика. Под.ред. Шадиева Т.Ш. Учеюное пособие Т. “Шарк” - 1999 г.

Замков О.О., Толстопятенко А.В. и др. “Математические методы для экономистов”. Учебное пособие, части 1 и 2. М. 1995 г.

Э.Кейн. “Экономическая статистика и эконометрия” М. Статистика 1977 г.

Венецкий И.Г. и др. “Основные математико статистические понятия и формулы в экономическом анализе”. М. Статистика. 1979 г.

Тема 11. Эконометрические модели в прогнозировании

Темы эконометрических уравнений. Виды системы эконометрических уравнений

11.2. Построение и расчет эконометрических моделей

Литература

11.1. Системы эконометрических уравнений. Виды системы эконометрических уравнений

Сложность и многогранность производственных взаимосвязей, объектов анализа и прогнозирования, специфика конкретной производственной структуры или особые цели и формы исследования часто обусловливают необходимость представления производственной функции не одним уравнением, а в виде системы уравнений.

Системы эконометрических уравнений можно условно подразделить на три вида.

К первому виду относятся системы независимых уравнений, каждое из которых решается самостоятельно, вне зависимости от других уравнений, но все они рассматриваются совместно в рамках единой экономико-математической модели, предназначенной для анализа, планирования или прогнозирования производства. Иными словами, интересы исследования производства в целом требуют совместного рассмотрения ряда функций, каждая из которых может характеризовать лишь одну из сторон этого производства.

Простейший вариант такой системы уравнений возникает при анализе выпуска продукции с применением определенной технологии, требующей строго фиксированных пропорций затрат различных ресурсов (непосредственная заменяемость ресурсов отсутствует). Тогда уровень затрат ресурса изменяется пропорционально изменению объема производства. Если рассматриваются два ресурса, причем возможен их расход сверх минимальной потребности на данный объем производства у, то производственная функция представляется системой неравенств:

х₁ > а₁у,

х₂ > а₂у.

Технологическая характеристика описываемого этой системой производственного процесса определяется коэффициентами затрат

х₁ х₂

В экономико-математических моделях часто исследуется определенный набор технологических процессов, в которых затрачивается ряд видов ресурсов и производится различная продукция. Если сохраняются предположения о пропорциональности затрат выпуску и отсутствии взаимозаменяемости ресурсов в рамках каждого производственного процесса, то основой модели служит система производственных функций вида:

х_ij = а_ijу_j,

где х_ij - уровень затрат i-ro ресурса в j-м технологическом процессе; у_j, - интенсивность j-ro процесса или выпуск j-ro вида продукции; а_ij - технологический коэффициент, норма затрат i-ro ресурса на единицу интенсивности j-ro процесса (или на единицу j-ro вида продукции).

При m ресурсах и n производственных процессах эта система содержит, очевидно, mn уравнений. Такой вид производственных функций широко применяется в моделях межотраслевого баланса и линейных моделях оптимального планирования и прогнозирования; они будут рассмотрены в последующих главах.

Ко второму виду относятся системы зависимых уравнений статического характера. Можно выделить два случая зависимости уравнений. В одном случае уравнения описывают последовательную цепочку прямых причинно-следственных связей; при этом факторы, влияющие на анализируемый результативный производственный показатель, сами являются функциями иных факторов, последние также находятся в зависимости от своих показателей-факторов и т.д. Например, одно уравнение системы может представлять объем национального дохода у в зависимости от величины трудовых ресурсов x₁ и производственных фондов х₂ т. е. функцию у = f (x₁,x₂). Другое уравнение определяет величину трудовых ресурсов х₁ как функцию общей численности населения L, т. е. x₁ = у (L). В такой системе уравнения решаются последовательно (сначала, например, определяется объем трудовых ресурсов на основе прогнозных данных о численности населения, а затем уже может рассчитываться национальный доход из первого уравнения).

В другом случае в цепи причинно-следственных зависимостей отражаются обратные связи, например, национальный доход у является функцией трудовых ресурсов и производственных фондов, т. е. у = f (x₁, x₂) , а величина производственных фондов х₂ ставится в зависимость от созданного национального дохода у и иных факторов Z, т.е. х₂ = у (у₁ , z). В такой системе уравнения должны решаться совместно, одновременно.

В обоих рассматриваемых случаях системы уравнений второго вида включают два типа переменных: эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенными являются "внутренние" переменные -- их значения рассчитываются в рамках самой системы уравнений. Экзогенные переменные влияют на эндогенные, но сами определяются за пределами данной системы уравнений; они являются как бы "внешними" переменными в том смысле, что воздействующие на них факторы данной системой уравнений не контролируются. Например, в только что приведенных примерах национальный доход, трудовые ресурсы, производственные фонды являются эндогенными переменными, а общая численность населения -- переменная экзогенная, ее величина определяется социально-демографическими факторами, лежащими вне рамок производственных функций. Для разрешимости системы уравнений необходимо, вообще говоря, чтобы число эндогенных переменных в системе было равно числу уравнений.

К третьему виду относятся динамические системы уравнений, охватывающие ряд периодов времени и устанавливающие зависимость переменных не только в пределах каждого периода, но и в связи с их состоянием в предшествующие периоды. Обратимся к примеру. Предположим, что в задачу прогнозирования входит определение четырех взаимосвязанных переменных для некоторого периода t: x_1,t, х_2,t, x _3,t, х _4,t. В анализ включены не только их связи в самом периоде t, но и воздействие с запаздыванием, т. е. зависимости величин переменных в периоде t от состояния влияющих переменных в предыдущем (или еще более раннем) периоде. Такие влияния с запаздыванием вполне реальны; например, величина производственных фондов в народном хозяйстве в данном периоде в значительной степени зависит от объема капиталовложений предыдущего периода.

При построении системы уравнений нужно учитывать, что помимо влияний, показанных на рисунке, каждая анализируемая переменная может испытывать воздействие одной или нескольких экзогенных переменных. Пусть Z _1,t обозначает экзогенные факторы переменной x_1,t; соответственно для х_2,t , х_3,t , x_4,t введем агрегированные экзогенные переменные Z_2,t , Z_3,t , Z_n,t . Тогда с учетом всех взаимосвязей имеем в общем виде следующую систему уравнений:

x_1,t = f₁ (х _3,t, х_{2,t - 1} , Z _1,t)

x_2,t = f₂ (х _1,t, х_{3,t - 1} , Z _2,t)

x_3,t = f₃ (х _2,t, х_{4,t - 1} , Z _3,t)

x_4,t = f₄ (х _2,t, х_{3,t - 1} , Z _4,t).

В этой системе четко различаются три группы переменных:

1) эндогенные переменные х_1,t , х_2,t , х_3,t , x_4,t , определение которых требует решения приведенной' системы уравнений;

2) запаздывающие эндогенные переменные х_{1,t - 1}, х_{2,t - 1}, х_{3,t - 1}, х_{4,t- 1}); для t-ro периода они считаются известными, определенными либо на основе статистической информации, либо в результате решения аналогичной системы уравнений, составленной для (t - 1)-гo периода;

3) экзогенные переменные Z _1,t , Z _2,t , Z _3,t, Z _4,t), определяемые за рамками данной системы уравнений.

Переменные второй и третьей групп имеют то общее, что их значения предопределены внешними по отношению к системе уравнений факторами; влияя на переменные t-ro периода, они сами не подвержены их обратному влиянию. Переменные второй и третьей групп будем называть предопределенными. Количество предопределенных переменных в уравнениях, как будет показано в следующем параграфе, имеет существенное значение для решения систем эконометрических уравнений. Частным случаем, упрощающим расчеты, является система уравнений в виде причинной цепочки зависимостей при отсутствии обратных связей между переменными. Пример такой системы зависимостей показан на рис. 8. Как видим, любая цепочка связей приводит в конечном счете к переменной х_4,t, последовательно и без возвратов.

Данная цепь взаимосвязей с добавлением экзогенных переменных дает систему уравнений:

x_1,t = f₁ (х_{2,t - 1} , х _{3,t - 1}, Z _1,t)

x_2,t = f₂ (х _1,t, х_{3,t - 1} , х_{4,t - 1} , Z _2,t)

x_3,t = f₃ (х _1,t, х_2,t , х_{4,t - 1} , Z _3,t)

x_4,t = f₄ (х _2,t, х_3,t , Z _4,t).

Такие системы уравнений в виде однозначной причинной цепи называются рекурсивными (рекурректными) системами. Уравнения в них решаются не одновременно, а последовательно. Так, в приведенной системе вначале решается первое уравнение -- определение x_1,t, как функция только предопределенных переменных. Затем из второго уравнения получаем х_2,t, как функцию предопределенных переменных и уже вычисленной х_1,t. Далее последовательно получаем х_3,t из третьего уравнения и х_4,t из последнего уравнения системы. Здесь расчеты в первых трех уравнениях являются, в сущности, подготовительными этапами для решения четвертого уравнения, в котором переменная x_4,t может в конечном счете рассматриваться как сложная функция всех остальных переменных системы. В этом смысле рекурсивные системы занимают промежуточное положение между производственными функциями, состоящими из одного уравнения, и системы эконометрических уравнений, требующих одновременного решения.

11.2 Построение и расчет эконометрических моделей

Важным этапом построения эконометрической модели, в частности производственной функции, является отбор включаемых в нее показателей-факторов. Исследователь редко может назвать все факторы, в той или иной мере воздействующие на прогнозируемый “показатель, но если он знает достаточно много факторов, включение их всех в функции либо невозможно, либо просто нецелесообразно: влияние одних факторов может быть заведомо весьма слабым, по другим отсутствуют необходимые данные, наконец, множество включаемых факторов делает производственную функцию слишком громоздкой, неудобной в анализе и применении, к тому же сильно затрудняются вычисления. По отношению к реально разрабатываемым функциям, комплекс показателей-факторов обычно можно представить в виде

у = f (x₁, x₂ …, x_k/x_k+1, x_k+2, … x_m/x_m+1 , x_m+2 …, x_n)

Из n факторов, определяющих величину зависимой переменной у, первые k факторов являются переменными величинами, включаемыми в уравнение производственной функции; факторы от (k + 1)-го до т-го в уравнение не входят, но каждый из них в наблюдаемой статистической совокупности фиксирован на определенном уровне,, не варьирует и потому не влияет на колебания зависимой переменной; факторы от (m + 1)-го до n-го являются переменными величинами, вариация которых влияет на изменения зависимой переменной, но в функцию эти факторы по тем или иным причинам не включены. На получение надежного уравнения производственной функции можно рассчитывать в том случае, когда первую группу составляет пусть небольшая по числу, но максимально мощная по силе воздействия на у совокупность важнейших факторов, а из остальных (n--k) факторов возможно большее число принадлежит ко второй, контролируемой группе.

В уравнение не должны одновременно включаться факторы, находящиеся между собой в строгой функциональной зависимости; включается лишь один из них -- по влиянию наиболее важный. Нежелательно и включение факторов, между которыми существует тесная корреляционная связь.

Специфика производственных функций состоит в том, что в качестве независимых переменных в них фигурируют в основном различные ресурсы производства. Построение производственной функции предполагает решение вопросов о перечне вводимых в функцию первичных ресурсов (труд, производственные фонды, природные ресурсы), о включении в модель промежуточных продуктов (сырье, материалы, топливо, энергия), об отражении качественных характеристик различных ресурсов. Практически в однопродуктовые эконометрические модели для народнохозяйственного уровня включают только первичные ресурсы либо двух видов (труд и производственные фонды), либо трех (добавляются природные ресурсы, чаще всего -- используемые земли). На уровнях отраслей, объединений, предприятий, списки ресурсов отличаются гораздо большим разнообразием, причем в них зачастую фигурируют промежуточные продукты, например, электроэнергия, топливо, корма, удобрения и др. Особо важное значение имеет достижение качественной однородности вводимых в модель ресурсов.

На основе качественного анализа сущности изучаемой зависимости и списка переменных величин делаются предварительные предположения о виде эконометрической модели: будет она представлена одним уравнением или системой уравнений, какую математическую форму намечается применить, каково примерно будет количество параметров функции. Окончательно эти вопросы решаются в процессе расчета модели.

Наличие исходных статистических данных и выбранной формы уравнения позволяет перейти к расчету параметров производственной функции. Существует ряд методов расчета параметров, однако практически в большинстве случаев применяется метод наименьших квадратов, который позволяет получить параметры функции, удовлетворяющие требованию минимальной суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению.

Метод наименьших квадратов может применяться и в случае, когда модель состоит не из одного уравнения производственной функции, а представляет собой систему уравнений. Однако расчет параметров для системы уравнений имеет некоторые особенности. Очень важное значение для расчетов имеет характеристика системы с точки зрения количества и "размещения" переменных в уравнениях.

Уже отмечалось, что переменные в системах эконометрических уравнений бывают двух видов -- эндогенные и предопределенные (к последним относятся экзогенные и запаздывающие эндогенные переменные). Учитывая это, введем понятие идентификации уравнений.

Обозначим через Н число эндогенных переменных, входящих с ненулевыми коэффициентами в исследуемое уравнение системы. Через D обозначим число предопределенных (экзогенных и запаздывающих эндогенных) переменных, которые содержатся а системе, но не входят в данное уравнение. Уравнение называется точно идентифицированным, если число Н на единицу больше числа D, т. е.

D + 1 = Н

При условии D + 1 > Н уравнение называется сверхидентифицированным, а при D + 1 < Н - неидентифицированным. Рассмотрим в качестве примера систему уравнений, приведенную на стр.4. Первое уравнение этой системы содержит две эндогенные переменные x_1,t и x_3,t , т. е. Н = 2. Предопределенных переменных, входящих в систему, но не в первое уравнение, насчитывается пять, это х_{3,t - 1} , х_{4,t - 1} , Z _2,t , Z _3,t, Z _4,t. Итак, для первого уравнения D + 1 = 6 > Н и уравнение является сверхидентифицированным. Аналогично можно показать, что и остальные уравнения этой системы являются сверхидентифицированными.

Для расчета параметров системы эконометрических уравнений наиболее благоприятен случай, когда все уравнения системы точно идентифицированны. Предположим, что система состоит из n точно идентифицированных уравнений с n эндогенными и m предопределенными переменными:

f_i (x₁, x₂, ..., х_n; Z₁, Z₂, ..., Z_m ) = 0; i = 1, 2, ..„ п.

Для расчета параметров система вначале перестраивается в приведенную форму, при которой каждая эндогенная переменная выражается как функция только предопределенных переменных. Такая система имеет вид:

х₁ = Y _i (Z₁, Z₂, ..., Z_m ), i = 1, 2, ..., п.

Для каждого уравнения этой системы на основе статистических данных определяются параметры методом наименьших квадратов (если он применим) или каким-либо другим методом, используемым для вычисления параметров отдельных уравнений регрессии. Затем приведенная система с вычисленными параметрами преобразуется алгебраическими методами в исходную систему уравнений. На этом последнем этапе расчета как раз и проявляется важность проблемы идентификации: для точно идентифицированного уравнения достаточно легко производится исключение не входящих в него предопределенных переменных.

Наличие в системе сверхидентифицированных уравнений усложняет расчеты, требуя применения специальных методов. Что же касается неидентифицированных уравнений, то они вообще не могут быть вычислены с помощью существующих математико-статистических методов.

При построении и расчете эконометрических моделей следует обращать внимание на явление мультиколлинеарности. Мультиколлинеарность проявляется в том, что наряду с изучаемой корреляционной связью - между зависимой переменной и независимыми - в исследуемой совокупности существуют и другие корреляционные связи - между самими независимыми переменными. Специфика эконометрических моделей, включая производственные функции, такова, что для них явление мультиколлинеарности весьма характерно.

Мультиколлинеарность "опасна" тем, что полученные при расчете параметры производственной функции могут оказаться бессодержательными, обусловленными не существенными отношениями исследуемой зависимости, а ошибками наблюдения. Предположим, например, что изучается связь зависимой переменной с двумя факторами x₁ и х₂, которые фактически находятся между собой в строго функциональной зависимости (коэффициент корреляции равен единице). Можно доказать, что в этом случае система нормальных уравнений для расчета параметров функции (методом наименьших квадратов) не имеет определенного решения. Однако из-за ошибок наблюдения статистические данные не покажут строго функциональной зависимости между x₁ и х₂. Это позволит рассчитать параметры функции, которые в данной ситуации лишены всякого смысла. Ясно, что и в случае не полностью функциональной, но сильной корреляционной зависимости факторов расчетные параметры могут определяться не столько реальными, существенными отношениями, сколько ошибками наблюдения.

Простейший способ проверки мультиколлинеарности заключается в вычислении и оценке величины коэффициентов корреляции для каждой пары включаемых в уравнение независимых переменных. Если для какой-либо пары переменных коэффициент корреляции оказывается достаточно большим (порядка 0,8 и более), то во избежание получения бессодержательных коэффициентов регрессии следует рассмотреть вопрос о возможности исключения из уравнения одной из этих переменных. Впрочем, условие исключения переменных не является строго обязательным и не применяется в тех случаях, когда каждый из взаимосвязанных факторов оказывает на зависимую переменную достаточно сильное и специфическое воздействие.

Литература

Замков О.О., Толстопятенко А.В. и др. “Математические методы для экономистов”. Учебное пособие, части 1 и 2. М. 1995 г.

Э.Кейн. “Экономическая статистика и эконометрия” М. Статистика 1977 г.

Венецкий И.Г. и др. “Основные математико статистические понятия и формулы в экономическом анализе”. М. Статистика. 1979 г.

Амбарцумов А. и др. 1000 терминов рыночной экономике. М. Крон-Пресс, 1993 г.

“Экономика переходного периода” под.рел. Радаева В.В. М. 1995 г.

Тема 12. Модели неравновесного рынка

12.1. Рынок как саморегулируемая экономическая система

12.1 Рынок как саморегулируемая экономическая система

Рынок представляет собой сложное социальное образование, включающее в себе систему экономических отношений, обеспечивающих эффективное функционирование народного хозяйства.

Гражданское общество дает возможность реализации всех видов и форм свободы человека в том числе и экономических свобод. Оно гарантирует и защищает право граждан на владение, пользование и распоряжение своей собственностью по своему усмотрению. Хозяйственная систему опирающаяся на экономические свобод и есть рыночная экономика.