Основы экономико-математического моделирования

С позиций математического моделирования и основных понятий кибернетика рынок можно определить как самоорганизующуюся экономическую систему с развитой сетью прямых и обратных связей между спросом и предложением.

Рынок - форма связи производства с потреблением, производителей продукции друг с другом, всех звеньев общественного производства в видов хозяйственной деятельности посредством процессов купли-продажи товаров, капиталов рабочей силы жилья, технологий и т.д.

Рынок можно определить как сферу непосредственного товарного обращения, обмена денег на товары и товаров на деньги.

Совокупность экономических процессов охватывается понятием “рынок” и представляет собой элементы рыночного механизма.

Спрос - обеспеченная денежными средствами покупателей часть их потребностей в товарах и платных услугах. Спрос включает спрос населения на товары народного потребления и услуги, спрос предприятий, товаропроизводителей на все виды производственных ресурсов и спрос учреждений и организаций непроизводственной сферы.

Предложение-категория рыночной экономики связанная со спросом. Под предложением понимают количество и стоимость товаров и платных услуг, которые представлены к реализации товаропроизводителями и торговлей.

Цена - денежное выражение стоимости товара. Основой стоимости является труд, а величина стоимости определяется затратами труда, которые общество при данных условиях признает необходимыми.

В условиях рыночной экономики показатель “цена” поддерживает равновесие спроса и предложения. Особенностью “цены” является ее соответствие величине стоимости товара лишь в среднем, в то время как фактические цены постоянно отклоняются от стоимостной базы.

Рассматривая экономическую систему “спрос -цена-предложение” можно проследить взаимное влияние одних элементов рыночного механизма на другие т.е. прямые и обратные связи.

Рынок будем рассматривать как саморегулируемую открытую экономическую систему.

Его составными частями является рынок товара, рынок труда и рынок капитала.

В условиях рыночных отношений цена должна заинтересовывать изготовится в увеличении объема производства, повышении качества и расширения ассортимента тех товаров на которые рынок предъявляет спрос.

Таким образом, повышение цены приводит к росту предложения. В связи с этим на рынке появляются фирмы с их товарами, которые раньше не участвовали в обмене из за убыточности своих предприятий. В этих условиях уменьшается безработица (социальные последствия) увеличиваются имеющиеся производственные мощности.

Этот процесс не может быть бесконечным, т.к. происходит насыщение рынка данным товаром и он перестает пользоваться спросом, т.е. происходит нарушение равновесия между спросом и предложением.

На спрос влияют многие факторы, наиболее важные из них: суммарный объем денежных доходов населения и часть сбережений , предназначенных для покупок, уровень цен на товары и их динамика. Спрос завесить от среднедушевого дохода: чем он выше, тем больше доля затрат на промышленные товары и меньше на продовольственные.

В условиях развитой рыночной экономики спрос населения удовлетворяется практически полностью, по это еще не означает удовлетворения потребностей поскольку существенное влияние оказывает уровень и динамика различных цен.

Соотношение спроса и предложения существенно влияет на динамику цен: чем больше предложение товаров, тем ниже цена, и наоборот, при прочих равных условиях чем выше цены тем больше предложение товаров.

Спрос влияет на производство товаров а предложение рождает спрос.

Рыночное равновесие - это временное состояние экономической системы. Так как она подвергается влиянию различных факторов, то точке рыночного равновесия постоянно смещается и естественно это влечет за собой не только экономические но и социальные последствия.

Рассмотрим наиболее характерные ситуации нарушения рыночного равновесия.

Предположим, что фирмы и предприятия работают стабильно, выпускают определенное количество товара. Это означает, что предложения товара осталось неизменным. Положение кривой в осталось на прежнем уровне. Но в результате изменения политической либо экономической обстановки была увеличена 3/плата введены дополнительные выплаты льготы проведены другие мероприятия результатом которых явилось увеличение денежного капитала у потребителей. Дополнительный капитал потребители частично могут отнести в счет сбережений но частично обязательно начнут тратить. Это вызовет соответствующую реакцию на рынке - при каждом фиксированном значении цены товара будет покупаться больше чем прежде это значит что кривая переместится вправо, относительно базового положения. Точка рыночного равновесия соответственно сместится вправо и займет положение

Литература

Шадиев Т.Ш. и др. Экономическая кибернетика. Т. 1995 г.

Брю. Макконелл. Экономикс 1995 г.

Тема 13. Моделирования экономических процессов в условиях рынка

При решении задач управления экономическими процессами возникает необходимость выбора оптимального экономического решения в условиях риска и неопределенности. Особенностью таких условий является неясность, обусловленных или влиянием случайных факторов, или неизвестностью поведения, реакции, например, покупателей на новые виды товаров: неясностью погодных условий при перевозке грузов; недостаточной информированностью о торговых операциях, закупках, сделках; наличием очень большого числа (хотя и известных) вариантов поведения противоположной стороны. В таких случаях наблюдаются разнообразные по своей природе как бы столкновения интересов, целей и т.д. участвующих сторон.

Решением подобного рода задач конфликтных ситуаций и занимается теория игр и статистических решений, позволяющая находить оптимальные решения а условиях риска и неопределенности.

Схематизированное описание (математическая модель) конфликтов ситуации называется игрой; стороны - участники конфликта (отдельные лица или коллективы) называются игроками, а исход конфликта - выигрышем.

Задача состоит в выборе такого решения, которое обеспечивает наибольший выигрыш или наименьший проигрыш.

Неопределенность в торговле связана с действием заранее непредсказуемых внешних и внутренних факторов в процессе работы торговых организаций и предприятий. В этом случае между сторонами, участниками отсутсвует “антагонизм”, и такие ситуации называют “играми с природой”, а решаются с помощью методов теории статистических решений.

Первая сторона (например, организация) принимает решение, а вторая сторона (“природа”) не оказывает первой стороне сознательного, активного противодействия, но ее реальное поведения известно.

Пусть Т - предприятие имеет m стратегий: Т1, Т₂, Т₃, ..., Т_i, ..., Т_m и допустим имеется n возможных состояний “природы”: П₁, П₂, П₃, ..., П_j, ..., П_n. Поскольку “природа” не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью выиграшей В_ij, первой стороны для каждой пары стратегий Т_i и П_j.

Все показатели игры записываются в виде матрицы || B_ij ||, которая называется платежной.

Неоднозначность и определенность условий (в системе вероятностного описания) не позволяют получить одну количественную (единую) оценку вариантов решений. Более наглядный показ условий неопределенности дают характерные оценки платежной матрицы, получаемые для конкурирующих вариантов. Каждая из этих оценок односторонняя и не внушает полного доверия, однако вычисление их для анализа необходимо. Рассмотрим наиболее интересные из них.

Минимальный выигрыш

B_i^min = min B_ij

определяется как наименьшая из величин в строке, наиболее пессимистическая оценка.

Максимальный выигрыш

B_i^max = max B_ij

^j

определяется как наибольшая из величины строки платежной матрицы и характеризует то наилучшее, что дает выбор этого варианта Т (оптимистическая оценка).

При анализе “игры с природой” вводится показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние “природы” влияет на исход ситуации. Этот показатель называется “риском”.

Риском r_ij при пользовании стратегией T_i и состоянием “природы” П_j называется разность между максимально возможным выиграшем при данном состоянии “природы” b_i^max = _i^max B_ij и выиграшем B_ij при выбранной стратегии T_i:

r_ij = b_j^max - B_ij

Пользуясь этими положениями, строим матрицу рисков

|| r_ij ||.

Теперь можно записать еще одну характерную оценку:

Максимальное значение риска для каждого решения T_j

r_i^max = max r_ij

Для решения игровых задач существуют специальные критерии принятия решения.

1. Критерий, основанный на известных вероятностях состояния природы, например, покупательского спроса, по данным анализа за прошлые годы:

а) если в этом случае известны вероятности состояний “природы”:

р₁ = Р(П₁), р₂ = Р(П₂), р₃ = Р(П₃) ... р_n =P(П_n),

и при этом полагаем, что р₁+р₂+р₃ +... + р_n =1,0, то в качестве показателя эффективности стратегии Т_i берется среднее значение (математическое ожидание) - выигрыш при применении этой стратегии:

B_i = B_i1 p₁ + B_i2 p₂ + B_i3 p₃ + ... + B_in p_n,

а оптимальной стратегией считается такая, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, т.е.

B = max B_i T_b

ⁱ

б) если каждому решению Т_i соответствует множество возможных результатов В_ij с вероятностями соответственно p_ij, те среднее значение выигрыша определяется по формуле:

B_i = B_i1 p_i1 + B_i2 p_i2 + B_i3 p_i3 +... + B_ij p_ij + ... + B_in p_in,

а оптимальной является такая стратегия, для которой получается максимальная величина

B = max, B_i T_i3.

^I

В этом случае можно пользоваться значениями среднего риска

r_i = r_i1 p_i1 + r_i2 p_i2 + r_i3 p_i3 +... + r_in p_in,

который следует сделать минимальным, т.е. выбрать такую стратегию Т_i, для которой величина r_i обращается в минимум:

r = min r_i T_r.

ⁱ

Максимальный критерий Вальда. Выбирается решение организации Т_w , при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях:

W = max min B_ij = max B_i^min T_n.

^{I ji}

Критерии пессимизма - оптимизма Гурвица. Представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм - пессимизм) придерживаеттся некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается та, для которой эта величина окажется наибольшей.

Н = max [ x min B_ij + (1-x) max B_ij] T_н,

^{I j j}

где н - показатель “пессимизма - оптимизма”.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа. По этому критерию выбирается та стратегия, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

S = min max r _ij T_s.

^Ij

Сущность этого критерия заключается в том, чтобы избежать большого риска при выборе решения.

Каждый из этих критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их комплексный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных решений.

Литература

Каримов И.А. Узбекистан на пути углубления рыночных реформ. Т. Узбекистан, 1995-269.

Замков Ю.И. Математические методы в экономике. Учебник. Москва. Изд-во “Дас”, 1997 г.

Эконометрика. Учебное пособие для студентов экономических ВУЗов. Под.ред. Шадиева Т.Ш. Т. Издательство “Шарк”, 1999 г.

Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие для ВУЗов. ЮНИТЛ - 1999 г.

А. Абдуллаев, Л. Терехов Н. Махмудов Н.М., З. Тошматов. Методы социально- экономического прогнозирование. Учебное пособие Т. “Узбекистан”, 1992 г.

Терехов Л.Л. Кибернетика для Экономистов. М. Финансы и статистика, 1983 г.

Тема 14. Оптимизация деятельности фирм Республики Узбекистан

14.1 Необходимость применения современных методов анализа ан этапе перехода к рыночной экономике Республики Узбекистан

14.2. Модель оптимизации производственной деятельности фирм

Литература

14.1 Необходимость применения современных методов анализа на этапе перехода к рыночной экономике Республики Узбекистан

Формирование рыночной экономики в Узбекистане предполагает замену хозяйственного расчета и анализа коммерческим. Полная и безусловная ответственность за финансовые результаты хозяйственных структур микроуровня в условиях рынка и присущей ему конкуренции обусловливает необходимость анализа всех хозяйственных процессов, явлений, ситуаций, показателей с точки зрения соизмерения затрат и результатов. В связи с этим возникает необходимость освоения и применения современных методов анализа.

Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности фирм, предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, позволяющих получить оптимальные (наилучшие) решения, при различных критериях (целях) развития.

Так, например, модели поведения производителей основаны на максимизации прибыли. Однако такой критерий не является универсальным. Максимизация текущей прибыли должна соотноситься со стратегическим прогнозам предприятия (фирмы). Так, если в сложившихся условиях важнейшая задача - сохранить предприятие как производственную ячейку, то критерий максимизации прибыли не подходит, необходимо выбрать другой критерий, например: минимума издержек.

При рассмотрении дальнейших вопросов лекции будем предполагать, что предприятия (фирмы) работают не в экстремальных, а в стабильных условиях, поэтому их поведение определяется стремлением к максимизации прибыли, а также максимума выпуска.

14.2 Модель оптимизации производственной деятельности фирм

Пусть производственная фирма выпускает один вид продукции или много видов, но в постоянной структуре. Тогда годовой выпуск фирмы в натурально-вещественной форме Х - это число единиц продукции одного вида или число многономенклатурных агрегатов.

а) Для производства продукции фирма использует настоящий труд L (среднее число занятых в год, либо отработанные за год человеко-часы) и прошлый труд в виде средств труда К (основные производственные фонды) и предметов труда М (затраченные за год топливо, энергия, сырье, материалы, комплектующие и т.п.).

Каждый из этих трех агрегированных видов ресурсов (труд, фонды и материалы) имеет определенное число разновидностей (труд разной квалификации, оборудование различного вида и т.п.). Обозначим вектор-столбец возможных объемов затрат различных видов ресурсов через x=(x₁,...,x_n)'. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, выражающей связь между затратами ресурсов и выпуском:

X = F (x)(1)

Предполагается, что F (x) является дважды непрерывно - дифференцируемой и неоклассической, кроме того, ее матрица вторых производных отрицательно определена.

Если цена единицы продукции равна р, а цена единицы ресурса j- го вида -w=1,...n, то каждому вектору затрат х отвечает прибыль

П(x) = p F(x) - wx(2)

где w = (w₁, w₂, ..., w_n) - вектор-строка цен ресурсов.

Цены ресурсов имеют естественный и понятный смысл: если x_j- среднегодовые число занятых определенной профессии, то w_j- годовая заработная плата одного работника данной профессии; если x_j - покупные материалы (топливо, энергия и т.п.), то w_j - покупная цена единицы данного материала; если x_j - производственные фонды определенного вида, то w_j - годовая арендная плата за единицу фондов или стоимость поддержания единицы фондов в исправности, если фирма владеет этими средствами.

б) В (2) R=pX=pF(x)- стоимость годового выпуска фирмы или ее годовой доход, C=wx- издержки производства или стоимость затрат ресурсов за год.

Если нет других ограничений на размеры вовлекаемых в производство ресурсов, кроме естественного требования их неотрицательности, то задача на максимум прибыли приобретает вид

(3)

Это задача нелинейного программирования с n условиями неотрицательности x0, необходимыми условиями ее решения являются условия Куна-Таккера:

(4)

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, т.е. x*>0, то условия (4) принимают вид

(5)

или

т.е. в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене.

в) Точно такое же по форме решение имеет задача на максимум выпуска при заданном объеме издержек

(6)

Это задача нелинейного программирования с одним линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Согласно теории вначале строим функцию Лагранжа

затем максимизируем ее при условии неотрицательности переменных. Для этого необходимо выполнение условий Куна-Таккера

(7)

Как видим, условия (7) полностью совпадают с (4), если = 1/p

3. Пример. Выпуск одно-продуктовой фирмы задается следующей производственной функцией Кобба-Дугласа:

Определить максимальный выпуск, если на аренду фондов и оплату труда выделено 150 д.е., стоимость аренды единицы фондов w_K =5 д.е./е.ф., ставка заработной платы w_L =5 д.е./ чел.

Какова предельная норма замены одного занятого фондами в оптимальной точке?

Решение. Поскольку F(0,L)=F(K,0), то в оптимальном решении K*>0,.L*>0 Поэтому условия (7) принимают вид

(8)

или в нашем случае

Поделив первое уравнение на второе, получаем

Подставив это соотношение в условие w_KK*+ w_LL*=150, находим

Решение можно проиллюстрировать геометрически. На рис.1 изображены изокосты (линии постоянных издержек для С=50,100,150) изоскванты ( линии постоянных выпусков для Х=25,2; 37,8).

Решая задачу фирмы (3) на максимум прибыли, находим единственный оптимальный набор ресурсов x*>0 (рассматриваем случай, когда все ресурсы войдут в набор). Этому набору отвечает единственное значение издержек C*=wx*. Решим теперь задачу (6) на максимум выпуска при заданных издержках С. Если неоклассическая производственная функция, то в оптимальном решении x*>0, причем это решение единственно.

Таким образом, с одной стороны,

а с другой стороны

Поскольку

Так как решение задачи (3) единственно, то .

Итак, если задача на максимум прибыли имеет единственное решение x*>0, то ей отвечает задача на максимум выпуска при заданных издержках C*=wx*, причем последняя имеет такое же решение, как и первая.

Литература

“Экономико-математические методы и прикладные модели” (под.ред. В.В. Федосеева) М. 1999 г.

Колемаев П. “Математическая экономика” М. 1999 г.

Заключение

Привитие навыков самостоятельной работы выпускникам экономических вузов в условиях непрерывного изменения развития народного хозяйства под воздействием социально-экономических факторов является одной из главных проблем подготовки специалистов. При этом молодой экономист должен иметь фундаментаьную подготовку. Весь ход обучения студента в высшей школе должен нацеливать его на новую ступень знаний, приобретение нового мышления по способам составления и методам выполнения экономических и социальных задач развития экономики, доведения их до практического применения, расширять круг задач, решаемых с помощью ПЭВМ и современных компьютерных систем.

Важным элементом в повышении уровня самостоятельной работы, приобретения знаний, навыков и умений является преподавание предмета “Экономико - математические методы и модели” для студентов третьих курсов обучения, который позволяет студентам представить общую схему исследовательской работы, понять основное назначение, цель и характер научной работы. С этой целью при преподавании этого предмета основной упор делается на определение такого понятия как “наука”, приводится системная характеристика составляющих науки, рассматриваются основные этапы проведения научных изысканий. Для студентов направления “Информационные системы в экономике” представлена детальная характеристика принципов моделирования с использованием экономико-математических методов и современных компьютерных систем. При изучении курса наряду с творческими вопросами, отраженными в содержании научной работы, студенты должны уметь выполнять стандартные операции по оформлению и защите рефератов, отчетов и других научных работ. Поэтому значительное место в содержании этого курса отведено описанию порядка выполнения требований к оформлению научных работ.

Система подготовки кадров в вузе должна обеспечить у выпускников развитое экономическое мышление, творческую активность, инициативу и предприимчивость. Именно выполнение этой цели, а именно - научить студентов умению самостоятельно ставить и решать новые задачи, проводить теоретические и экспериментальные исследования и испытания, используя достижения современной науки и техники - является главной задачей преподавания курса “Экономико-математические методы и модели”.

Размещено на Allbest.ru