Основы экономико-математического моделирования

В результате решения получили оптимальный план выполнения производственной программы на обработку всей программы.

Таблица 2.

Переменн. №. Имена	Решение	Действенн.Оцен	Переменн. №. Имена	Решение	Дщвойственн. Оцен
1	х11	0,0000	8,4545	13	х41	10816,5820	0,0000
2	х12	12779,8985	0,0000	14	х42	220,1015	0,0000
3	х13	267,9482	0,0000	15	х43	0,0000	0,1515
4	х14	157,8943	0,0000	16	х44	0,0000	4,7273
5	х21	0,0000	3,9234	17	S1	0,0000	3878,7797
6	х22	0,0000	3,3828	18	S2	0,0000	4339,7040
7	х23	0,0000	2,3046	19	S3	0,0000	3530,2954
8	х24	14842,1057	0,0000	20	S4	0,0000	4454,5358
9	х31	183,4180	0,0000	21	А5	0,0000	-110,9089
10	х32	0,0000	4,6970	22	А6	0,0000	-95,0907
11	х33	11732,0518	0,0000	23	А7	0,0000	-105,8483
12	х34	0,0000	0,2121	24	А8	0,0000	-89,4544
MIN величина цел. фи = 259685,8 Итерац. = 15

Из полученных результатов (Табл. 2) видно следующее.

На оборудовании вида №1 обрабатывается 12779,9 деталей II типа, 267,9 деталей III типа и 157,9 деталей IV типа;

на оборудовании вида №2 обрабатываются только 14842,1 деталей IV типа, а также на оборудовании вида № 3 обрабатывается 183,4 деталей I типа, и 11732 деталей III типа и на оборудовании вида №4 обрабатываются 10816,6 деталей I типа и 220,1 деталей II типа.

Рассмотрим результаты двойственных оценок для деталей, которые обрабатываются на оборудовании 4^х видов.

В оптимальном плане не предусмотрена обработка деталей I типа оборудованием №1, т.е. Х₁₁ = 0, а двойственная оценка = 8,4545. Это значит, что при вынужденной обработке каждого дополнительного м² продукции I типа оборудованием вида №1, к-не не предусмотрены нашим оптимальным планом, ЦФ увеличится на величину 8,4545 рублей, т.е. производственные издержки возрастут.

Аналогично, при обработке каждой дополнительной единицы продукции (т.е. каждого дополнительного м² мрамора) I типа, II типа и III типа оборудованием вида №2 издержки производства, или значение ЦФ, соответственно будут увеличиваться на величины равные 3,9234 р., 3,3828 р. и на 2,3046 рубля, а также при обработке каждой дополнительной единицы продукции II типа III типа оборудованием вида №3 значение ЦФ будет соответственно увеличиваться на 4,697 рубля или на 0,2121 рубля. И при обработке каждого дополнительного м² продукции III или IV типа оборудованием вида №4 значение производственных издержек будет увеличиваться на 0,1515 р., или на 4,7273 рубля.

Если при изменении программы выпуска изделий необходимо будет увеличить выпуск продукции, то учитывая выбранный критерий оптимальности, наиболее выгодно будет обрабатывать дополнительные квадратные метры деталей III и IV типа, т.к. издержки связанные с обработкой этих деталей меньше по сравнению с издержками, вызванными обработкой деталей I и II типа.

Если нашей целью является расширение производства и повышение эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то анализ оценок поможет выбрать правильное решение. Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект.

Рассмотрим результаты двойственных оценок для ресурсов.

Из результатов видно, что фонд времени расходуется полностью и намеченная программа выполняется полностью.

Если с целью расширения производства, понадобится привлечь дополнительные единицы оборудования вида №1 (произойдет увеличение фонда рабочего времени), то общие затраты производства уменьшатся на 3878,8 рублей, т.е. Цф будет уменьшатся на величину 3878,8 р. при привлечение каждой дополнительной единицы оборудования вида №1.

Наибольший эффект будет при закупке дополнительного оборудования вида№4. Так как при закупке каждой дополнительной единицы оборудования этого вида производственные затраты будут уменьшатся на величину 4454,5 рубля, а наименьший эффект будет при увеличении количества оборудования вида№3, т.к. ЦФ будет уменьшаться всего на 3530,3 рубля при привлечение в производство каждой дополнительной единицы этого оборудования. Или увеличение этого оборудования за счет сокращения других видов.

Рассмотрим двойственные оценки ограничений производственной программы.

Оценки не равны нулям, - это означает, что продукция производится в минимально необходимом количестве.

При увеличении производственной программы выпуска деталей I типа произойдёт сокращение производственных затрат, т.е. уменьшение ЦФ на 110,9 рублей при обработке каждого дополнительного м² деталей I типа. Этот случай представляется наиболее выгодным. Менее выгодно увеличивать обработки дополнительных м² деталей IV типа, уменьшение ЦФ будет происходить на величину 89,45.

Теперь рассмотрим анализ устойчивости коэффициентов ЦФ.

Рассмотрим табл.4. Издержки связанные с обработкой деталей 2 типа оборудованием вида №1 могут изменяться в пределах от 1,7436 и до 4,413, и это не повлечёт изменение ЦФ и производственной программы. Если издержки будут больше 4,4 то произойдёт изменение ЦФ и оптимального плана. И может быть в новом оптимальном плане не будет предусмотрена обработка деталей 2 типа оборудованием №1.

Издержки связанные с обработкой деталей 3 типа оборудованием вида №2 могут изменяться от 1,69 до +бесконечности. То-есть насколько б эти издержки не выросли оптимальный план останется без изменений. А если эти издержки станут меньше, чем 1,69, то это приведёт к построению новой производственной программы.

Издержки связанные с обработкой деталей 4 типа оборудованием №8 имеют такую тенденцию. Например, с повышением цен на энергию, издержки могут увеличиться. Но они не должны быть больше величины 8,8 рубля. А их снижение может быть неограниченным. В этом случае оптимальный план останется прежним.

Анализ устойчивости правых частей (табл.5). Дополнительное привлечение ресурсов приведут к изменению производственной программы и построению нового оптимального плана.

Литература

Замков О.О., Толстопятенко А.В. и др. “Математические методы для экономистов”. Учебное пособие, части 1 и 2. М. 1995 г.

Э.Кейн. “Экономическая статистика и эконометрия” М. Статистика 1977 г.

Венецкий И.Г. и др. “Основные математико статистические понятия и формулы в экономическом анализе”. М. Статистика. 1979 г.

Амбарцумов А. и др. 1000 терминов рыночной экономики. М. Крон-Пресс. 1993 г.

“Экономика переходного периода” под. Ред. Радаева В.В. М. 1995 г.

Тема 4. Модели развития и размещения производства

4.1. Задача развития и размещения отраслей народного хозяйства и их виды

Литература

4.1. Задача развития и размещения отраслей народного хозяйства и их виды

Экономика Республики Узбекистан состоит из множества различных предприятий и отраслей, которые размещены и функционируют по всей его территории, Успешное функционирование их является важной основой экономики республики и поэтому эффективное развитие и размещение их по областям важная проблема, Все области республики богаты природными и трудовыми ресурсами,

Из экономической теории известно, что на развитие и размещение предприятий каждой отрасли влияют множество разнообразных факторов, учет которых требуется.

В условиях рыночной экономики основным фактором развития и размещения предприятия, отрасли является формирование спроса на его продукцию. В условиях оптимизации отраслевой системы со спросом на его продукции можно показать следующие основные элементы и процессы развития и размещения производства.

Производственное предприятие является основой производственного процесса и считается важным элементом в отраслевой задаче. От постановки задачи это может быть группа предприятий, предприятие или цех, участок;

Способы функционирования предприятия - это производственные характеристики определяющие значения производственных затрат и результатов, эффективности организации;

Способ транспортной связи объекта характеризует условия доставки либо сырья от поставщиков, либо готовой продукции до потребителей. Способ показывает направление перевозки, вид транспорта и эффективность перевозки. Модели оптимального развития и размещения производства в зависимости выбранного критерия оптимальности могут определить следующие проблемы;

А) развитие, размещение и специализацию производства;

Б) выбор из существующих технологий самую эффективную;

В) выбор оптимального соотношения между новым строительством и реконструкцией;

Г) определение транспортных связей;

Д) определение потребности в капитальных вложениях и других ресурсах и эффективное их распределение;

Е) оценка эффективности производимой продукции.

Модели развития и размещения производства по содержанию, построению и другим признакам делятся на различные типы. В литературе посвященной теории экономико-математического моделирования и практического применения приводятся следующие типы моделей;

по способу представления оптимизируемой системы задачи делятся на одноступенчатые и многоступенчатые. В одноступенчатом случае система рассматривается как единое целое. Во многоступенчатом - она включает иерархически связанные подсистемы;

в зависимости от выбора критерия оптимальности можно выделить задачи на минимум затрат, максимум производства какого-либо продукта или максимум прибыли, максимум экономии и т.д.;

по числу выделенных лет задачи делятся на статические и динамические;

в зависимости от построения производственных способов и вводимых ограничений на переменные задачи делятся на дискретные и непрерывные;

по количеству видов продукции и ресурсов, включаемых в задачу задачи делятся на одно-продуктовые и много продуктовые;

по влиянию транспортного фактора на формирование плана задачи делятся на производственные и производственно-транспортные;

по охвату производственных объектов задачи делятся на одноэтапные и многоэтапные;

по описанию транспортных связей в модели производственно-транспортные задачи делятся на сетевые и матричные;

Использование на практике приведенных выше моделей развития и размещения производства во многом зависит от особенностей моделируемой отрасли, видов производимой продукции и еще многих различных факторов;

Однопродуктовые модели развития и размещения производства.

Любой экономический объект-предприятие в периоде своего функционирования может быть под воздействием различных изменений; расширения, сокращение производства и другие. В этом случае полное использование производственных мощностей предприятия, приведение структуры производимой продукции рыночному спросу и определение их объема является проблемой текущего планирования. Создание новых мощностей, изменение действующих, проблемы расширения решаются методами перспективного планирования.

В самом общем виде экономико-математическая задача текущего планирования является задачей на максимизацию результатов производства при фиксированных заранее заданных ресурсах и решается одним из выше приведенных моделей. Наоборот, в перспективном планировании наиболее типичны задачи на минимум затрат при достижении фиксированных, заранее заданных результатов. В этом случае большое значение приобретает прогнозирование рыночного спроса на перспективу. Таким образом, в пределах экономико-математической задачи перспективного планирования решаются проблемы размещения, концентрации и специализации производства. В результате решения такой задачи устанавливаются пункты размещения предприятий, их мощности, проблемы прикрепления поставщиков к потребителям. В процессе постановки и решения задачи следует учитывать влияние разнообразных факторов, к которым относятся; строго определенные для каждого пункта или района размеры и местоположение сырьевых баз; виды и качества сырья, транспортная сеть; степень близости пунктов потребления и спроса на продукцию отрасли; наличие трудовых и природных ресурсов; наличие и качество площадки для строительства предприятия; общий лимит капиталовложений для отрасли и т.д.

Для составления однопродуктовой модели развития и размещения производства введем следующие обозначения;

i - индекс пункта производства, i=!,m.

j - индекс пункта потребления, j=1.n.

b_j -потребность пункта j в продукции отрасли;

а_j- максимально возможная мощность в i-м пункте;

c_ij - затраты на перевозку единицы продукции из i-го пункта производства в j-й пункт потребления;

s_i--затраты на производство единицы продукции из i-м пункте нового строительства;

xij-объем перевозки продукции из i-го пункта производства в j-й пункт потребления;

xi-размер производства в пункте i;

В данных обозначениях модель запишется так; найти значения искомых величин XIJ и Xj максимизирующий суммарный объем затрат на производство и доставку продукции;

SiXi + CijXijmin

при выполнении следующих условий;

а) суммарный ввоз в каждый из пунктов потребления должен быть равен спросу;

Xij = Bj.

Б) суммарный вывоз из каждого пункта производства должен быть равен мощности предприятия в нем, а мощность предприятия, в свою очередь, не может превосходить максимально возможные пределы;

Xij = Xi ai

в) объем перевозок по всем возможным коммуникациям и мощности предприятий в любых пунктах производства должен быть неотрицательны;

Xij O. Xi O

Литература

М.Г. Завельский. Модели и методы оптимального развития и размещения производства. М. Экономика, 1995 г.

Тема № 5. Основные экономико-статистические понятия

5.1. Основные экономико-статистические понятия

Литература

5.1 Основные математические понятия

Совокупность - масса единиц обладающих некоторыми общими свойствами, существенными для их характеристики.

Различают совокупности:

генеральную;

выборочную;

конечную;

бесконечную.

Единица совокупности - элемент совокупности, подлежащий наблюдению.

Признак - свойство единиц совокупности. Признаки бывают:

количественные, которые выражаются числом;

атрибутивные, те признаки, которые не поддаются количественному выражению.

Средняя арифметическая величина:

Вариация - колеблемость признака, изменчивость величины признака у единиц, входящих в состав совокупности.

Вариант - отдельное конкретное значение варьирующего признака. Варианты обозначаются буквами латинского алфавита: x,y,w и т.д.

Например:

Вариационный ряд - совокупность значений варьирующего признака и соответствующих им численностей единиц совокупности.

Если варианты расположены в возрастающем или убывающем порядке, вариационный ряд называется упорядоченным.

Частота (m) - абсолютное число, показывающее ск. Раз тот или иной вариант встречается в совокупности.

Например: в совокупности рабочих, получающих в месяц 120 руб 3 человека,

m=3- частота варианта 120 руб.

Частность (Wi) - относительная величина структуры, т.е. доля частоты или иного варианта или интервала (mi) в сумме всех частот

Частности иногда выражают в процентах

Вариационный размах (R ) - амплитуда колебания, или широта рассеяния, есть разность между экстремальными значениями вариационного ряда.

Среднее линейное отклонение

(невзвешенное)

( взвешенное)

Дисперсия - средний квадрат отклонений вариантов (х) от средней арифметической - является мерой вариации, т.е. колеблемости признака.

(невзвешенная)

(взвешенная)

Среднее квадритическое отклонение () - представляет собой меру колеблемости и вычисляется

(невзвешенное)

( взвешенное)

Коэффициент вариации (V) - относительная величина, служащая для характеристики колеблемости признака, представляет собой процентное отношение абсолютных величин.

- коэффициент вариации по вариациооному

размаху, его называют коэффициентом осцилляции.

- коэффициент вариации по среднему линейному отклонению.

- коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению.

Автокорреляция - корреляционная зависимости между последовательными (т.е. соседними) значениями уровней динамического ряда y1 и y2; y2 и y3 и т.д.)

Исключение автокорреляции - путем коррелирования разностей.

Авторегрессия - регрессия, учитывающая влияние предыдущих уровней динамического на последующие.

Ошибка авторегрессии вычисляется путем деления остаточной дисперсии на обычную.

Коллинеарность, мультиколлинеарность.

Наличие линейной связи между двумя факторами называют коллинеарностью между несколькими факторами мультиколлинеарностью.

Выбор формы связи.

Выравнивание производят в два этапа.

Выбирают вид функции, дающей наилучшее приближение.

Определяют параметры выбранной функции.

Виды функций. (виды линий):

1). Прямая линия:

2). Параболы второго порядка:

, a₂>0

3). Параболы 3-го порядка

4).Если возрастание одной величины приводит к убыванию другой, используют гиперболы:

5) Использование общих степенных рядов.

6). Если с возрастанием одной величины наблюдается:

а) резкое возрастании другой, то используют уравнение показательной кривой

б) замедленное возрастание другой, то используют логарифмическую кривую

7). В случае периодического изменения одной величины при возрастании другой используют различные тригонометрические функции.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии (Метод наименьших квадратов)

Критерий: сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей.

Например:

Чтобы была наименьшей необходимо, чтобы частные производные были равны “ 0 ”.

Система нормальных уравнений.

Пусть

При выравнивании по прямой

откуда

- система нормальных уравнений.

Выравнивание по параболе второго порядка

Система нормальных уравнений для функции

будет:

Показательная функция

Система нормальных уравнений:

Примеры:

1. Кривая Гомперца

Так расчеты расходов на одежду и обувь показали, что

2. Логистическая кривая

где N- предельная величина явления

t -время при

3. Ряды Фурье. (Динамика явлений обладает периодичностью). Апрокимация может быть выражена синусоидально.

А- полуамплитуда колебания.

- период волны

- начальная фаза колебания.

Простое гармоническое колебание.

Эксцесс - крутость вариационного ряда, т.е. его высоковершинность или низковершинность.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса вычисляется

Симметрия и ассиметрия вариационного ряда.

Ряд называется симметричным, если частоты вариантов, равноотстоящих от некоторого значения равны между собой. Это значение - есть средняя величины.

Если расположение вариантов вокруг средней неодинаково, то вариационный ряд называется асимметричным или скошенным вправо (правосторонняя асимметрия) или влево (левосторонняя асимметрия).

При изучении отклонений вариационного ряда от симметрии применяется коэффициент асимметрии

он колеблется от (-3; +3)

- мода - это наиболее часто встречающийся вариант в данном вариационном ряду (модальная единица товара, модальный размер обуви и т.д.)

В умеренно асимметричных распределениях между модой, медианой и средней арифметической величинами существует соотношение

- медиана - это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Если в совокупности нечетное число единиц, те (2m+1), то значение признака

Y “m+1” единицы будет медианным.

Если в совокупности четное число единиц, 2m, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений вариантов.

Дисперсия при коррелировании.

Вся вариация за счет признака х измеряется

измеряется общей измеряется

остаточная вариация за счет всех признаков, кроме х измеряется

3 вид дисперсией:

1. Дисперсия,измеряющая общего вариацию за счет действия всех факторов

2. Дисперсия измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия факторного признака Х.

3. Остаточная дисперсия, характеризует вариацию признака у за счет всех факторов, кроме Х (т.е. при исключенном х).

1. Линейным коэффициент корреляции (Z y/x) измеряет тесноту связи в том случае, если связь линейная.

х - среднее квадратичное отклонение признака Х.

y - среднее квадратичное отклонение признака Y.

2. Корреляционное отношение применяется в случае

- прямолинейной и криволинейной формах связи, где

- вариация результативного признака у за счет

действия факторного признака Х

- общая вариация за счет действия всех факторов.

3. Индекс корреляции.

,

Где - общая вариация, происходящая за счет всех факторов

- остаточная дисперсия.

Индекс корреляции показывает тесноту корреляционной связи между изучаемыми признаками и показывает степень близости линии регрессии к фактическим данным.

4. Коэффициент детерминации Давен квадрату коэффициента корреляции, т.е. Величина (1-r²) - является коэффициентом остаточной детерминации и характеризует долю вариации за счет неизменных факторов.

Ошибка коэффициента корреляции

Литература

Эконометрика под.ред. Шадиева Т.Ш. Учебное пособие Т. “Шарк” - 1999 г.

Магнус Я.Р. и др. -Эконометрика. Начальный курс. М. Дело. 1997 г.

Кейн Э. - Экономическая статистика М. Эконометрия. М. Статистика 1977 г.

Kmenta J. Elements of Econometrics. New York. Macmillan 1986.

Тема 6. Модели корреляционно-регрессионного анализа

6.1. Корреляционно-регрессионные модели

6.2. Способ наименьших квадратов

6.1 Корреляционно-регрессионные модели

Рассмотрим однофакторную линейную зависимость. Аналитическая зависимость или уравнение регрессии будет

где, а , а - параметры - постоянные величины (const);

Y - значение результативного признака, рассчитанного только от факторного признака.

Теснота связи между факторами X и Y определяется с помощью коэффициента корреляции ( r ) для линейной формы связи:

где - средняя произведения

- средняя фактора Х;

- средняя фактора Y;

- среднее квадратичическое отклонение Х

- среднее квадратическое отклонение Y.

Для вычисления доли дисперсии, образующейся под влиянием фактора Х в доле дисперсии используется коэффициент детерминации (D).

Величина называется коэффициентом остаточной дисперсии и характеризует долю вариации за счет неучтенных факторов.

Оценка надежности показателя тесноты связи производится по формуле

где r - коэффициент корреляции;

n - число наблюдений.

Если при n>50, то считают, что связь действительно существует.

В случае нелинейной связи теснота связи оценивается с помощью индекса корреляции. В случае линейной зависимости индекс корреляции равен коэффициенту корреляции. Индекс корреляции рассчитывается по формуле.

Где - общая вариация, за счет всех факторов;

- остаточная дисперсия.

При построении линейной однофакторной модели следует обратить внимание на некоторые ее недостатки;

Нельзя адекватно отразить процесс в модели только с помощью одного, хотя и самого существенного фактора.

Например: изучая объем валового сбора хлопка-сырца можно за основной самый существенный фактор взять - урожайность, но при более тщательном рассмотрении необходимо учитывать и такие факторы как количество и качество земель, удобрения ( их количество, качество, сроки внесения), полив, температурный режим и т.д. Таким образом, количество “основных” факторов может возрасти до бесконечности.

Выход: переходить от однофакторной к многофакторной модели. Но и это не исключает ошибок в расчетах за счет того, что основных факторов на функцию влияет еще множество случайных второстепенных факторов. Часто их влияние незначительно и носит противоположный характер. Суммарный эффект от всех этих факторов оценивается случайной переменной “U”, которая может принимать то положительные, то отрицательные значения. Линейная зависимость будет:

или

.

Переменная “U” выступает как стохастическое возмущение или ошибка, обладающая свойствами:

обладает вероятностным нормальным распределением;

имеет нулевую среднюю;

имеет конечную дисперсию ;

является ошибкой измерения.

Занимаясь сбором статистического материала, исследователь часто вместо истинных значений параметров закладывает параметры со скрытой ошибкой (они могут носит как объективный так и субъективный характер, неточность расчетов параметров, нечеткий документооборот, субъективные оценки отдельных параметров и т.д.). Все выше перечисленные недостатки приводят к тому, что ошибки измерения перейдут в ошибку уравнения.

,

где

W - совокупная ошибка;

U - стахостическое возмущение;

V - ошибка измерения.

Наиболее простой связью является линейная однофакторная, либо линейная многофакторная модель с принятием некоторых гипотез относительно случайного возмущения:

среднее равно нулю;

дисперсия const и не зависит от основных факторов;

случайные возмущения не зависят друг от друга.

В случае линейной однофакторной зависимости графически это будет выглядеть так:

Коэффициенты

и можно определить, исходя из условий:

При рассмотрении простых экономических моделей эту задачу можно решить с помощью стандартных методов. Классическим является метод наименьших квадратов. Однако, в более сложных ситуациях при рассмотрении сложных эконометрических моделей необходима разработка новых методов с использованием сложных технических приемов.

Полная спецификация простой линейной регрессионной модели состоит из регрессионного уравнения (1) и пяти первоначальных допущений. Приступим к рассмотрению этих допущений. Первые два предположения касаются того, что для каждого значения Х ошибки нормально вокруг значения нуль. Предполагается, что является _i является непрерывной величиной, изменяющей - до +, которая симметрично распределена вокруг средней и ее распределение полностью определяется двумя параметрами: средней и вариацией.

Следовательно:

Первое предположение: _i нормально распределена.

Второе предположение: Е(_i)=0 средняя ошибки равна нулю.

В действительности мы можем рассматривать каждое значение стохастической ошибки как результат множества причин, в котором, каждая причина незначительно отклоняет зависимую переменную от того значения, когда она являлась бы детерминистической.

При таком рассмотрении аналогия ошибки измерения с ошибкой распределения правильна и поэтому предложения о нормальности и нулевой средней ошибки идентичны.

Третье предположение относится к гомоскедичности, означающая, что каждая ошибка имеет одну и ту же вариацию ^{2 ,}значение которой неизвестно. Это предположение согласуется с утверждением, о том, например, что возможность дисперсии ошибки для больших значений Х, такая же как для малых значений. В производственной функции рассмотренной выше, согласно этому предположению вариация в выпуске, такая же не зависимо от значений рабочей силы, например, 20, 100 или другие количества рабочих.

Третье предположение: Гомоскедичность: .

Четвертое предположение связано с автокорреляцией в остатках. Предполагается, что между ошибками нет автокорреляции, т.е. отсутствие автокорреляции

Это предположение означает тот факт, что если сегодня фактический выпуск больше чем ожидаемый и отсюда нельзя сделать вывод, что завтра выпуск будет больше ( или например).

Первое и четвертое утверждение вместе позволяют сказать с позиции вероятности, что ошибки распределения независимы. Поэтому могут быть рассмотрены как идентичные и независимые распределения переменной. Так как и это означает . Отсюда

.

Заключительные, пятое, предположение утверждает, что независимая переменная Х нестохастическая. Другими словами, предполагается, что значения Х контролируемы или полностью прогнозируемы. Важное применение этого предположения состоит в том, что для всех значений i и j.

Пятое предположение: Нестахостичность значений Х, которые в выборке идентичны независимо от размера выборки

и отличен от нуля и ее лимит конечное число.

На практике, конечно, трудно точно соблюсти абсолютное наличие указанных предположений, однако мы удовлетворяемся если эти предположения соблюдаются приблизительно. Вышеуказанные предположения для составления классической линейной регрессионной модели необходимы для вычисления параметров регрессии.

Так как ошибки распределения предполагаются нормальными и равными нулю, неизвестной является дисперсия отклонений . В регрессионной модели (1) неизвестными являются значения параметров и , а также вариация ошибок

После полной спецификации регрессионной модели, представленной регрессионным уравнением и пятью предположениями рассмотрим теперь ее некоторые особенности. Прежде всего, вернемся к вероятности распределения зависимой переменной Y.

Первое, среднее функции Y_i может быть получено как математическое ожидание двух частей уравнения (1)

. (2)

Это следует из спецификации параметров и и нестохастичности X_i (это заданное число) и средняя (предположение второе). Далее, вариация Y_i есть

(3)

6.2 Способ наименьших квадратов

Проблема оценки параметров регрессионной модели может рассматриваться как вычисление параметров вероятности распределения зависимой переменной Y. Как видно из вышеуказанных, в силу принятых предположений в модели Y_i нормально распределен со средней E (Y) = + X и вариацией var (Y)=². Проблема оценки регрессионных параметров и эквивалентно проблема вычисления средней Y_{i .} Она может быть разрешена множеством способов.

Рассмотрим способ наименьших квадратов. В этом способе принцип вычисления состоит в том, чтобы найти минимум суммы квадратов отклонений наблюденных значений Y_i от их среднего значения. Следовательно, нам необходимо найти среднюю, которая делает требуемую сумму отклонений минимальной. Таким образом:

, или

где, S - сумма квадратов отклонений.

Для нахождения значений и , минимизирующих сумму требуется взять первую производную S относительно и :

Приравняв нулью значения каждой производной нулю и обозначая вычисленные значения и соответственно , мы получим:

или эквивалентно:

(*)

Эти уравнения известны как нормальные уравнения наименьших квадратов. Поэтому, мы можем записать:

где ее представляют остатки наименьших квадратов и нормальные уравнения наименьших квадратов могут быть представлены в простой форме:

Уравнения () могут быть решены относительно . Решение относительно есть :

Это уравнение можно записать в несколько иной формуле:

которое является числителем для оценки . А также

которое является знаменателем при оценке . Следовательно, мы можем записать:

После нахождения значения оценку параметра можно получить из первого уравнения (). Таким образом,

который означает, что теоретическая линия, проходит через средние точки и .

Примеры и задачи.

Пример для обычной регрессии.

Y - Личные потребительские расходы;

Х - Личные располагаемые доходы.

Годы	Y	X	X2	XY	Y2
1980	195,0	207,7	43139,3	40501,5	38025,0
1981	209,8	227,5	51756,3	47729,5	44016,0
1982	219,8	238,7	56977,7	52466,3	48312,0
1983	232,6	252,5	63756,3	58731,5	54102,8
1984	238,0	256,9	65997,6	61142,2	56644,0
1985	256,9	274,4	75295,4	70493,4	65997,6
1986	269,9	292,9	85790,4	79053,7	72846,0
1987	285,2	308,8	95357,4	88069,8	81339,0
1988	293,2	317,9	101060,4	93208,3	85966,2
1989	313,5	337,1	113636,4	105681,4	98282,2
1990	328,2	349,9	122430,0	114837,2	107715,0
1991	337,3	364,7	133006,1	123013,4	113771,1
1992	356,8	384,6	147917,2	137225,0	127306,2
1993	375,0	402,5	162006,3	150937,1	140625,3
1994	399,2	431,8	186451,2	172375,2	159361,2
Сумма	4310,4	4647,9	1504576,0	1395464,0	1294309,0

Т=15; = 4310,4/15=287,36

(Х-Х)=Х-ТХ=1504576-15(309,86)=64378

(Y-Y)=Y-TY=1294309-15(287,36)=55672=SST

(X-X)(Y-Y)=XY-TXY==1395464-15(309,86)(287,36)=59843

(X-X)(Y-Y) 59843

___________=__________=0,92956

(X-X) 64378

=Y-X=287,36-(0,92956)(309,86)=0,6735

(X-X)(Y-Y)59843

SSR=______________=________=55627

(X-X)64378

SSE=SST-SSR=55672-55627=45

SSR

R=0,9992

SST

(0,9992)

F=(T-2)R/(1-R)=13 ________=16237

(0,0008)

t=F=127,4

S=SSE/(T-2)=45/13=3,46

Y=-0,6735+0,92956X=(127,4)

R=0,9992

F=16237

T=15

(Y-Y)=Y-TY=1294309-15(287,36)=55672

SST=(X-X)(Y-Y)=XY-TXY=1395464-16(309,86)(287,36)=59843

(X-X)(Y-Y)59843=0,92956

(X-X)^$#&*

=Y-X=287,36-(0,92956)(309,86)=0,6735

(X-X)(Y-Y) 59843

SSR=55627

(X-X) 64378

SSE=SST-SSR=55672=45

SSR

R=0,9992

SST

(0,9992)

F=(T-2)R/(1-R)=13___________=16237

(0,0008)

t=F=127,4

S=SSE/(T-2)=45/13=3,46

Y=-0,6735+0,92956X=(127,4)

R=0,9992

F=1623

Литература

1.Эконометрика под редакцией Шадиева Т.Ш., Ташкент. Шарк, 1999 г.

Тема 7. Применение корреляционных моделей в экономических исследованиях

7.1. Понятие производственной функции

7.2. Основные характеристики производственной функции

Литература

7.1 Понятие производственной функции

Производственная функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от показателей - факторов, обусловивших эти результаты. В условиях экономической действительности результат процесса производства определяется действием большого количества различных факторов - технических, экономических, социальных, природных. Все эти факторы учесть в производственной функции невозможно, т.к. одни из факторов не поддаются количественному выражению, а воздействие других практически мало. Поэтому производственная функция включает в себя те факторы, которые оказывают решающее воздействие на изучаемый показатель.

Аппаратом исследования производственных функций служат методы математической статистики. По своему содержанию производственные функции охватывают всевозможные зависимости в сфере производства на различных уровнях - предприятие, отрасль, народное хозяйство. С учетом изучаемой зависимости, целей и задач исследования применяются многообразные формы производственных функций. В простом случае изменение результативного показателя ставится в связь с изменением одного из показателей - факторов. Тогда производственная функция представляет собой уравнение y = f (x) с двумя переменными - независимой х (показатель фактор) и зависимой у (результативный показатель). Это уравнение может быть линейный или нелинейным. Чаще строятся многофакторные производственные функции, позволяющие измерить характер и силу совместного влияния нескольких показателей-факторов на величину результативного фактора. Уравнение многофакторной производственной функции имеет вид:

у = f (х₁, х₂, … , х_n)

у - результативный показатель (выпуск продукции и т.д.), а х₁, х₂, … , х_n - показатели - факторы (затраты труда и средств производства, природные условия и т.д.). Многофакторное уравнение может быть линейным или нелинейным. Многофакторная производственная функция может быть представлена в виде системы взаимосвязанных уравнения, когда это необходимо. Различают статистические и динамические производственные функции. В статистических функциях не учитывается время как фактор, изменяющий основные характеристики изучаемой зависимости. Динамические производственные функции включают фактор времени: время может в них рассматриваться как самостоятельная переменная, влияющая на результат; параметры и показатели-факторы могут рассматриваться как функции времени. Производственные функции разрабатываются и как самостоятельные экономико-математические модели, предназначенные для прогнозирования, принятия решений.

7. 2. Основные характеристики производственной функции

Экономико-математическое исследование производственных функций позволяет получить ряд показателей, связанных с содержанием и формой функции и дают возможность анализа о характере изучаемой зависимости. Рассмотрим эти показатели на примере одной из производственных функций - функции Кобба-Дугласа. Предположим, что в масштабах народного хозяйства изучается зависимость величины валовой продукции от двух факторов: затрат живого труда и производственных фондов. Эта зависимость имеет вид:

у = а₀ ^. х₁^{а1 .} х₂^а2(1)

у - величина валовой продукции

х₁- затраты труда

х₂ - объем производственных фондов

а₀, а₁, а₂ - параметры производственной функции.

0 < a_i < 1, где i = 1; 2.

Сначала определим на основании производственной функции (1) показатель производительности труда, как отношение величины валового продукта к совокупным затратам труда:

у = а ^. х₁^{а1- 1 .} х₂^а2(2)

Это выражение характеризует среднюю производительность труда, т.к. показывает среднее количество продукции приходящееся на единицу отработанного времени, т.к. коэффициент 0 < a₁ < 1 , то показатель степени (a₁ - 1) при х₁ - отрицательная величина, т.е. с увеличением затрат труда производительность снижается. Производительность труда снижается с ростом трудовых затрат при прочих равных условиях, т.е. при неизменном объеме других ресурсов, в том числе производственных фондов х₂. Увеличение производственных функций помимо средних показателей большую роль играют предельные величины. Предельная производительность труда показывает сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда. Уравнение предельной производительности труда для функции (1) есть частная производная выпуска продукции по затратам труда.

dу = a₀ а₁ ^. х₁^{а1- 1 .} х₂^а2(3)

Из этого выражения видно, что предельная производительность труда зависит от трудовых затрат х₁ и производственных фондов х₂ . С увеличением затрат труда при неизменных производственных фондах предельная производительность труда снижается. С увеличением объема фондов при неизменных затратах труда предельная производительность труда увеличивается. Одновременное изменение переменных х₁ и х₂ приводит к разным результатам - снижению, росту или неизменной величине предельной производительности труда. Сопоставляя выражение (2) и (3) получим

dу у = а₁ ^.dх х₁ (4)

т.к. 0 < a₁ < 1, то в производственной функции (1) предельная производительность труда ниже средней производительности. Наряду с исчислением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат исчисляют относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов труда:

dу х₁ = а₁ dх₁ у (5)

из выражения (4). Полученный показатель называется эластичностью выпуска продукции по затратам труда. Он показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. Относительная величина не зависит от ресурсов, и при любом их сочетании увеличение трудовых затрат на 1% приводит к росту объема производства на а₁ %.

Аналогичные показатели рассчитываются по отношению ко второму фактору х₂ - производственным фондам. Объем продукции на единицу используемых фондов есть фондоотдача, рассчитаем среднюю фондоотдачу из выражения (1):

у = а ^. х₁^{а1 .} х₂^{а2 - 1}(6)

Это выражение показывает, что средняя фондоотдача увеличивается при увеличении ресурсов труда (при неизменных фондах) и уменьшается с увеличением фондов (при неизменных трудовых ресурсах). Показатель предельной фондоотдачи есть частная производная выпуска продукции по объему фондов:

dу = a₀ а₂ ^. х₁^{а1 .} х₂^{а2 - 1}(7)

т.к. 0 < a₂ < 1, то предельная фондоотдача ниже средней. Относительная предельная фондоотдача или эластичность выпуска продукции по объему производственных фондов определяется выражением

dу х₂ = а₂ dх₂ у (8)

Производственная функция позволяет рассчитывать потребность в одном из ресурсов при заданном объеме производства и величине другого ресурса. Из уравнения (1) следует, что потребность в ресурсах труда равна:

у ₁х₁ = (a₀ ^. х₂^а2) ^а2 (9)

потребность в производственных фондах:

у ₁х₂ = (a₀ ^. х₁^а1) ^а2 (10)

Производственная функция позволяет исследовать и вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. При изучении взаимодействия трудовых ресурсов и производственных фондов определяется показатель фондовооруженности труда. Для функции (1) - это есть отношение переменных х₁ и х₂.

Разделив выражение (10) на (9) получим:

x_{2 - 1 1 -1 -} ^a1 = a₀ ^{a2 .} y ^{a2 .} x₁ ^a2 x₁ (11)

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно было бы заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции при этом не изменится. На основе производственной функции можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. Предельная норма замещения затрат труда производственными фондами равна:

dх₂ - а₁ х₁ = dх₁ а₂х₁ (12)

Знак минус в этом выражении означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного ресурса соответствует уменьшение другого, и наоборот. Предельная норма замещения ресурсов зависит не только от параметров а₁ и а₂ , но и от соотношения объемов ресурсов. Чем выше фондовооруженность труда, тем выше норма замещения затрат живого труда производственными фондами. Это обстоятельство находит свое выражение в показателе, который называется эластичностью замещения ресурсов и определяется как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресурсов (w):

dх₂ = h dх₁ (13)

Эластичность замещения ресурсов постоянна и равна единице. Это согласуется с анализом выражения (12): изменению фондовооруженности труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения на 1 %.

Важной характеристикой производственной функции (1) является сумма коэффициентов эластичности выпуска по затратам, т.е. величина А = a₁ + a₂ ; 0 < a₁ ; a₂ < 1, экономически это предположение оправдано. Если бы, например коэффициент а₁ был бы отрицательным, это означало бы, что с увеличением трудовых затрат выпуск продукции снижается абсолютно. Нереально и то, что а₁ > 1: это означало бы, что увеличение только трудовых ресурсов, например, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост продукции в два раза (если а₁ = 1) и более , чем в два раза (если а₁ > 1). Аналогичные выводы относятся и к коэффициенту а₂. Сумма А - показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов. Предположим, что объем каждого ресурса увеличился в m раз, тогда новый объем продукции равен:

y` = a₀ (mх₁ ) ^{а1 .} (mх₂ ) ^а2 = a₀ m^{а1 + а2} х₁^{а1 .} х₂^а2 = m^Ay (14)

Итак, при расширении масштабов производства можно, в зависимости от величины А = а₁ + a₂ получить три варианта результатов:

1) Если А = 1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к увеличению объема производства тоже в m раз (y` = my)

2) Если А > 1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к росту объема продукции, более, чем в m раз. Экономически можно говорить о положительном эффекте расширения масштабов производства.

3) Если А < 1 , то увеличение ресурсов в m раз приводит к возрастанию объема производства менее, чем в m раз. В этом случае имеет место отрицательный эффект расширения масштабов производства.

7.2 Основные характеристики производственной функции

Учитывая характеристики, полученные для функции вида (1), дадим общее описание производственных функций. При n показателях - факторах она имеет вид.

у = f (х₁, х₂, … , х_n)

Для любого ресурса i можно определить его среднюю производительность при фиксированных объемах остальных ресурсов:

у f (х₁, х₂, … , х_n) = х₁ х_i

Предельная производительность i-го ресурса, характеризующая приращение результата производства на единицу приращения i-го ресурса, определяется так:

dy = f `_xi (х₁, х₂, … , х_n)

Изменение предельной производительности с изменением объема i-го ресурса при неизменном объеме других ресурсов рассчитывается как вторая частная производная зависимой переменной у по i-му ресурсу

d²y = f ``_xi (х₁, х₂, … , х_n)

Если эта производная положительна, то предельна отдача i-го ресурса возрастает, если - отрицательна, то предельная производительность убывает, в случае знакопеременной производной кривая предельной отдачи фактора имеет восходящий и нисходящий участки, причем в некоторой точке достигается максимум предельной производительности. Для отыскания точки максимума имеет:

f `` (х₁, х₂, … , х_n) = 0

Эластичность выпуска по затратам i-го ресурса, показывающая относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения затрат i-го ресурса, имеет вид:

dу х₁ х₁ f `_xi (х₁, х₂, … , х_n)

Потребность в i-м ресурсе как функция величины выпуска и объемов других ресурсов определяется выражением:

х_i = f (y, х₁, х₂, … , х_n)

Предельная норма замещения h_ij j-го ресурса i-м ресурсом:

dх₁ - dy/dx_j

Относительным показателем замещения ресурсов является эластичность замещения:

d(х₁/x_j) h_ij

В соответствии с видом производственной функции эластичность замещения может быть переменной или постоянной величиной.

При выборе вида производственных функций необходимо учитывать закономерности изменения средних и предельных продуктов, норм замещения, коэффициентов эластичности.

Рассмотрим некоторые виды производственных функций. Сначала рассмотрим однофакторные функции, где результат производства связан с единственной независимой переменной.

Простейшей формой однофакторной производственной функции является линейное уравнение вида

у = a₀ + а₁ х (15)

Функция выражает зависимость объема производства от величины затрат какого-либо ресурса, при условии, что экономическая сущность зависимости согласуется с уравнением (15). При отсутствии затрат ресурса (х = 0) выпуск продукции имеет некоторую величину: у = a₀ (при а₀ > 0). Для специфических видов ресурсов типа удобрений такое условие отвечает действительности, для других ресурсов - не имеет смысла. В соответствии с уравнением (15) выпуск продукции возрастает с ростом затрат ресурса, причем при любом уровне затрат дополнительная их единица обеспечивает постоянный прирост выпуска на а₁ единиц (а₁ > 0). Для большинства ресурсов такое предположение расходится с реальностью. Более естественную интерпретацию уравнение (15) получает как функция затрат, где х - объем производства, у - производственные затраты, тогда а₀ - постоянные затраты, не зависящие от объема производства, а₁х - переменные затраты, пропорциональные выпуску продукции. Средняя производительность убывает по гиперболическому закону. Предельный продукт (или предельная себестоимость единицы продукции) есть величина постоянная, равная а₁. При положительных параметрах а₀ и а₁ коэффициент эластичности Е < 1. С увеличением х эластичность растет, приближаясь к 1, т.е. для функции линейной увеличение независимой переменной на 1 % приводит к росту зависимой переменной величины менее чем на 1%.

Литература

Замков О.О., Толстопятенко А.В. и др. “Математические методы для экономистов”. Учебное пособие, части 1 и 2. М. 1995 г.

Э.Кейн. “Экономическая статистика и эконометрия” М. Статистика 1977 г.

Венецкий И.Г. и др. “Основные математико статистические понятия и формулы в экономическом анализе”. М. Статистика. 1979 г.

Амбарцумов А. и др. 1000 терминов рыночной экономики. М. Крон-Пресс. 1993 г.

“Экономика переходного периода” под. Ред. Радаева В.В. М. 1995 г.

Тема 8. Методы и модели эконометрического прогнозирования

8.1.Понятия и функции прогнозирования

8.2. Системный анализ объекта прогнозирования классификация прогнозов

8.3. Классификация методов прогнозирования

8.4. Моделирование

Литература

8.1 Понятия и функции прогнозирования

Предвидением будущего всерьез начала заниматься наука примерно с конца прошлого столетия.

Сегодня существуют две разновидности предвидения - как предвидение научное, так и научно не обоснованное, к последнему относятся всевозможные предугадывания, основные на догадках, и предчувствиях, исходящие из подсознания, интуиции, и религиозные предсказания вплоть до астрологии. Принципиальное отличие научного предвидения состоит в том, что оно позволяет получить достаточно надежные знания о будущих событиях, гораздо более достоверные, чем дают псевдопредсказания. А отсюда следует другое существенно важное преимущество - научно - обоснованное предвидение дает необходимую информацию для принятия в настоящем конкретных решений и целенаправленной практической деятельности. Одной из наиболее распространенных разновидностей научного предвидения является прогнозирование

Прогноз фиксирует в терминах какой либо языковой системы ненаблюдаемое вероятностное событие, состояние какого-либо объекта, процесса, явления для более или мене отдаленного будущего. Он должен удовлетворять некоторым условиям. О прогнозируемом событии не должно быть заранее известно, что его вероятность равна единице /скажем “предвидение” о полете человека на другие планеты/ или нулю /предсказание о возможном изобретении вечного двигателя/. Помимо качественной определенности прогноз, как правило, должен содержать количественные оценки, характеристики, прежде всего - сроки ожидаемого его осуществления.