Моделювання систем

Таблиця 6.4

Значення
	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
10	1.37	1.81	2.23	3.17	4.6
20	1.33	1.73	2.1	2.85	3.73
30	1.31	1.7	2.04	2.75	3.65
40	1.3	1.68	2.02	2.7	3.55
60	1.3	1.67	2.0	2.67	3.41
120	1.29	1.66	1.98	2.62	3.37

Визначення оцінки дисперсії. Розглянемо задачу визначення оцінки дисперсії випадкової величини також із заданими точністю і достовірністю.

Наведемо остаточний вигляд формул для розрахунку:

, ,

де - емпіричний центральний момент четвертого порядку.

Невідоме значення замінюється оцінкою , як було розглянуто раніше.

Якщо випадкова величина, що визначається, має нормальний розподіл, то і вирази для і приймають вид:

, .

При малих значеннях слід використовувати параметр розподілу Стьюдента .

Очевидно, що однакова кількість реалізацій моделі забезпечить різне значення помилки при оцінці мат. очікування випадкової величини і її дисперсії - при однаковій достовірності . І інакше: однакову точність визначення оцінок мат. очікування і дисперсії випадкового параметра при однаковій достовірності забезпечить різну кількість реалізацій моделі.

Приклад. В результаті попередніх прогонів моделі визначена оцінка дисперсії .

Визначити число реалізацій моделі і для визначення оцінок мат. очікування і дисперсії випадкової величини відповідно з точністю і достовірністю .

Розв'язок.

, .

Точність і кількість реалізацій моделі при визначенні ймовірностей результатів. Розглядаємо випадок, коли в якості показника ефективності виступає ймовірність звершення (або не звершення) якої-небудь події, наприклад, ураження цілі, виходу з ладу техніки, завершення комплексу робіт в заданий час і ін.

В якості оцінки ймовірності події виступає частота його звершення:

,

де - число реалізацій моделі; - число появи відповідної події.

Використання частоти в якості оцінки шуканої ймовірності грунтується на теоремі Я. Бернуллі, яку в даному випадку можна в формалізованому вигляді записати так:

Точність і достовірність цієї оцінки пов'язані вже з відомим визначенням достовірності: .

Завдання зводиться до знаходження такої кількості реалізацій щоб оцінка відрізнялася від шуканого значення менш, ніж на із заданою вірогідністю . Тут, як і раніше, - абсолютне значення, що характеризує точність оцінки.

Для знаходження функціонального зв'язку між точністю, достовірністю і числом реалізацій моделі введемо змінну - результат -ї реалізації моделі:

Тоді частота звершення події (оцінка шуканої ймовірності) буде визначатися таким виразом:

.

Величина - випадкова і дискретна. Вона при такому завданні має біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі) з характеристиками:

- мат. очікування: ;

- дисперсія: .

З цього випливає:

, .

У теорії ймовірностей є теорема Лапласа (окремий випадок центральної граничної теореми), сутність якої полягає в тому, що при великих значеннях числа реалізацій біноміальний розподіл досить добре узгоджується з нормальним розподілом.

Отже, можна записати:

.

Звідси отримаємо:

, , /

Якщо апріорні відомості хоча б про порядок шуканої ймовірності невідомі, то використання значення абсолютної помилки може не мати сенсу. Наприклад, може бути так, що дослідник поставив значення абсолютної помилки , а шукане значення ймовірності виявилося . Очевидно, явна невідповідність. Тому доцільно оперувати відносною похибкою: .

В цьому випадку:

.

З формул випливає, що при визначенні оцінок малих ймовірностей з прийнятно високою точністю необхідно виконати дуже велике число реалізацій моделі. При відсутності високопродуктивного комп'ютера застосування статистичного моделювання стає проблематичним.

Приклад. Імовірність

Визначити число реалізацій моделі і витрати машинного часу для оцінки даної ймовірності з відносною точністю і достовірністю . На виконання однієї реалізації моделі потрібно 5 сек.

Розв'язок.

З табл. 4.3 знаходимо. Відносна точність

.

Якщо на виконання однієї реалізації потрібно 5 сек, то витрати машинного часу складуть

У формулах для обчислення або присутня та ж невизначеність, яку ми обговорювали раніше: обчислення вимагають знання ймовірності, а вона до експерименту невідома. Ця невизначеність знімається так.

Виконується попередньо прогонів моделі. Зазвичай . За даними цих прогонів обчислюють орієнтовне значення оцінки ймовірності , яку і підставляють замість ймовірності .

Якщо виявиться , моделювання слід продовжити до виконання реалізацій.

Якщо виявиться то моделювання закінчується.

Але зручніше розраховувати число реалізацій на так званий найгірший випадок. Повернемося до формули: .

Аналіз формули показує, що число реалізацій моделі в залежності від ймовірності змінюється від 0 (при ) до 0 (при ), проходячи через максимум. Максимальне значення приймає при :

У цьому випадку число реалізацій визначається так:

.

Якщо в результаті моделювання виявиться, що шукана ймовірність значно відрізняється від 0,5 (в будь-яку сторону), то точність моделювання буде вище заданої (помилка менше). Для визначення цієї точності слід скористатися вже відомою формулою при :

.

Приклад. Сервер обробляє запити, що надходять з автоматизованих робочих місць (АРМ) з інтервалами, розподіленими за експоненціальним законом із середнім значенням Обчислювальна складність запитів розподілена по нормальному закону з мат. очікуванням і середньоквадратичним відхиленням Продуктивність сервера по обробці запитів

Побудувати алгоритм імітаційної моделі з метою визначення ймовірності обробки запитів за час Дослідити залежність ймовірності обробки запитів від інтервалів їх надходження, обчислювальної складності і продуктивності сервера.

Розв'язок. Для побудови алгоритму імітаційної моделі введемо позначення:

- поточний час надходження запиту;

- інтервал надходження запитів;

- поточний час закінчення обробки запиту;

- час обробки запиту;

- лічильник кількості прогонів моделі (реалізацій);

- ймовірність обробки запитів;

- лічильник кількості оброблених запитів;

- задану кількість прогонів моделі (реалізацій);

- кількість запитів за прогонів моделі;

- час моделювання.

Алгоритм моделі наведено на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Алгоритм моделі обробки запитів сервером

Виберемо інтервали варіювання рівнів факторів:

- середній інтервал надходження запитів.

Для зміни математичного очікування і середньоквадратичного відхилення доцільно ввести коефіцієнт, який приймає два значення, наприклад, і . Тоді, , - продуктивність сервера.

Відповідно до інтервалів варіювання представимо рівні факторів таблицею (табл. 6.5). У табл. 6.5 індекси н і в - нижній і верхній рівні факторів відповідно.

Таблиця 6.5

Рівні факторів
60	180
-1	+1	-1	+1	-1	+1

Складемо план факторного експерименту (табл. 6.6).

Таблиця 6.6

План повного факторного експерименту
№
1	2	3	4	5	6
1	-1	-1	-1	0.375	0.375
2	-1	-1	+1	0.584	0.583
3	-1	+1	-1	0.166	0.167
4	-1	+1	+1	0.32	0.319
5	+1	-1	-1	0.64	0.642
6	+1	-1	+1	0.809	0.808
7	+1	+1	-1	0.376	0.375

Проведемо експеримент. Виконаємо перше спостереження при прогонів моделі. Отримаємо ймовірність обробки запитів . Занесемо її в табл. 4.5 (рядок 1, стовпчик 5) Задамося точністю і довірчою ймовірністю . По таблиці значень функції Лапласа знайдемо її аргумент .

Розрахуємо необхідну кількість прогонів моделі при і :

При розрахунку числа прогонів для «гіршого випадку» (а такий варіант можливий) отримаємо:

.

Точність і кількість реалізацій моделі при залежному ряді даних. До цього часу ми припускали, що вихідні дані моделі утворюють ряд значень, статистично незалежних які належать одному закону розподілу. Однак це не завжди так.

Нехай, наприклад, метою статистичного моделювання буде визначення мат. очікування часу перебування заявки в черзі одноканальної системи масового обслуговування.

В результаті експерименту з моделлю буде отримано ряд значень , які свідомо статистично залежні: при великому часі очікування -ї заявки значення , не може бути малим, якщо обидві заявки перебували одночасно в черзі. Зв'язок точності оцінки , середнього часу очікування з кількістю реалізацій в цьому випадку виглядає інакше, ніж було розглянуто раніше. Розглянемо метод визначення точності і кількості реалізацій для статистично залежних послідовностей - відгуків моделі, в основі якого лежить так званий регенеративний аналіз.

Припустимо, що в результаті експерименту з імітаційної моделлю отримано ряд значень , наведений в табл. 6.7. Тут - порядковий номер заявок.

Таблиця 6.7

Результати експерименту - час очікування заявки в черзі
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
	0	5	7	0	3	0	3	9	11	2	0	…

Звернемо увагу на те, що заявка 1 застає канал обслуговування вільним: її час очікування в черзі дорівнює нулю. Така ж ситуація виникла для заявок 4, 6 і 11. Період зайнятості і простою каналу обслуговування утворюють цикл його роботи. У табл. 6.7 можна виділити три таких цикли, в які входять наступні набори заявок, що були оброблені:

* цикл 1 - заявки 1, 2, 3;

* цикл 2 - заявки 4, 5;

* цикл 3 - заявки 6, 7, 8, 9, 10.

Заявка 11 є початком нового циклу 4 і т.д.

Початок кожного циклу не відрізняється один від одного - заявка надходить на обслуговування без очікування. Кажуть так: система відновлюється (регенерує) до початку кожного циклу, отже, поведінка системи в черговому циклі не залежить від її поведінки в попередніх циклах.

Введемо позначення:

- сума часу очікування -го циклу, ;

- кількість заявок, що утворює -й цикл.

Для даних, наведених у табл. 4.5:

, , ,…,, , ,…

Таким чином, ми отримали пари чисел - незалежних і однаково розподілених: . Зауважимо, що числа і між собою залежні.

Метою подальших міркувань є визначення оцінки мат. очікування часу перебування заявки в черзі , що відрізняється від на величину не більше при заданій достовірності . Так як:

, ,

де - число циклів, то оцінка мат. очікування часу перебування заявки в черзі визначається так:

.

Розділимо чисельник і знаменник на число циклів і отримаємо:

Відповідно до центральною граничною теоремою оцінка тривалості циклу при числі циклів є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням і дисперсією відповідно:

,

де - дисперсія, що представляє собою суму дисперсій залежних між собою випадкових величин і .

Отже, має місце вже знайоме нам вираз:

Якщо - граничне значення помилки для оцінки , то очевидно граничне значення помилки для оцінки дорівнює .

Тоді , .

Значення і до експерименту невідомі. Їх орієнтовні значення повинні бути визначені за даними попередніх прогонів моделі в кількості реалізацій циклів, зазвичай .

Оцінку дисперсії позначимо Вона обчислюється так:

де - оцінка дисперсії ;

- оцінка дисперсії;

- кореляційний момент випадкових величин і .

, ,

Необхідне число циклів буде становити:

.

Якщо виявиться , то моделювання триває до досягнення циклів. Якщо ж виявиться , то моделювання закінчується і, якщо необхідно, дається оцінка досягнутої точності.

Ознака кінця моделювання: або кількість обслужених СМО заявок:

.

Проблема початкових умов. До тактичного планування експерименту відноситься і рішення так званої проблеми початкових умов.

На відміну від реальної системи модель працює прогонами - для накопичення потрібної статистики. Тому при кожному новому прогоні моделі потрібен якийсь час, щоб встановився стаціонарний режим, характеристики якого цікавлять дослідника.

Тобто початкові умови спотворюють характеристики стаціонарного режиму.

Наприклад, моделюється функціонування напрямки зв'язку. У сталому режимі вхідний буфер напрямку має середнє заповнення повідомленнями, які надійшли, але поки не оброблені. Але перед кожним черговим прогоном в моделі встановлюються нульові початкові умови.

Або ще: ймовірність обслуговування заявки в СМО має якесь стаціонарне значення. Але в початковий момент ця ймовірність дорівнює нулю.

Отже, початкові установки реєстрованого параметра (показника ефективності та ін.) спотворюють результат.

Для усунення помилок, що виникають при невідповідності установки початкових умов, можливе застосування наступних заходів:

1. Ставити початкові умови, близькі значенням стаціонарного режиму, тобто модель розробляється так, що умови функціонування системи типові з самого початку.

2. Збільшити інтервал дослідження так, щоб він став значно більше передбачуваного часу встановлення стаціонарного режиму.

3. Відкинути інформацію, що знімається в проміжку часу від пуску до сталих стаціонарних значень, і продовжити моделювання, збираючи статистику, на яку вже не впливають нетипові ситуації.

Перший підхід вимагає від розробника знання типових умов роботи і вміння внести в модель ці умови. У моделях складних систем це навряд чи реально.

При другому підході потрібно занадто довгий проміжок моделювання до настання такого стану, коли зникає вплив зібраних невірних даних. Вартість такого моделювання для складних систем може виявитися занадто високою, що робить цей підхід небажаним.

Третій підхід виявляється найбільш зручним. Потрібно на певній стадії моделювання відкинути статистику з подальшим продовженням моделювання без будь-яких модифікацій моделі. Такий підхід використовується в ряді систем моделювання. Зауважимо, однак, що час встановлення стаціонарних значень в моделі важко визначити до експерименту.

Всі ці прийоми можуть зменшити вплив перехідних процесів в моделі на результати експерименту, проте звести його до нуля не можуть. їх поділяють на:

* активні (передбачають формування вибірки спеціальним чином);

* пасивні (застосовуються після того, як вибірка вже сформована);

* непрямі (в яких для отримання оцінок спостерігається змінної використовуються значення деяких допоміжних величин).

Активних методів зниження дисперсії відомо досить багато. Вибір конкретного методу визначається, як правило, специфікою моделі і цілями експерименту. Розглянемо ті з них, які спрямовані на зниження впливу перехідного періоду. Вибір пояснюється тим, що наявність і тривалість перехідного режиму істотно впливають на якість результатів моделювання (в сенсі точності). Разом з тим, більшість ІМ використовується для вивчення функціонування системи в сталому режимі.

На практиці зниження впливу перехідного періоду зазвичай домагаються одним із таких способів:

* методом повторення;

* методом підінтервалів;

* методом циклів.

Метод повторення. При використанні цього методу кожне спостереження виходить за допомогою окремого прогону моделі, причому всі прогони починаються при одних і тих же початкових умовах, але використовуються різні послідовності випадкових чисел.

Перевагою методу є статистична незалежність одержуваних спостережень. Недолік полягає в тому, що спостереження можуть виявитися сильно зміщеними під впливом початкових умов.

Метод підінтервалів. Даний метод заснований на розбитті кожного прогону моделі на рівні проміжки часу. Початок кожного інтервалу збігається з початком чергового етапу спостережень (на рис. 6.3 в якості спостерігається змінної використовується довжина черги заявок - Q).

Перевага методу полягає в тому, що вплив перехідних умов з часом зменшується, і спостереження точніше відображають поведінку системи в стаціонарному режимі. Недолік - значення спостережуваних змінних, отримані на початку чергового інтервалу, залежать від кінцевих умов попереднього інтервалу (тобто між інтервалами існує автокореляція).

Рис. 6.3. Приклад застосування методу підінтервалів

Метод циклів. При використанні методу циклів вплив автокореляції зменшується за рахунок вибору інтервалів таким чином, щоб в їх початкових точках умови були однаковими. Наприклад, в якості таких умов можна розглядати довжину черги заявок на обслуговування. У цьому випадку зручно вибрати початок чергового інтервалу збігається з моментом, коли довжина черги стає рівною нулю. Недоліком методу є менша в порівнянні з методом підінтервалів число одержуваних спостережень (рис. 6.6).

Рис. 6.4. Приклад застосування методу циклів

Метод стратифікованою вибірки. Даний метод відноситься до групи пасивних методів зниження дисперсії. Пасивні методи впливають на підготовку і проведення експерименту, але реалізуються на етапі обробки і аналізу результатів моделювання. Суть методу стратифікованої вибірки полягає в наступному. Вибірка розділяється на частини, звані шарами (стратами). При цьому необхідно, щоб значення елементів вибірки якомога менше відрізнялися всередині одного шару і як можна більше - між різними верствами. Усередині кожного шару виконують випадковий відбір елементів і обчислюють середнє значення шару у_i. Отримані оцінки використовують для обчислення мат сподівання та дисперсії по вибірці в цілому:

,

Тут D_yi - дисперсія для i_го шару.

При вдалому виборі шарів величини D_yi будуть малі, а значить, і вибіркова дисперсія D_y буде краще, ніж для оцінки, отриманої методами простої випадкової вибірки.

Непрямі методи зниження дисперсії засновані на тому, що часто деякі з вихідних характеристик моделі отримати (обчислити) легше, ніж інші. Їх використання передбачає не тільки вельми глибоке знання суті процесів, що протікають в системі, а й наявність формального опису взаємної залежності параметрів моделі.

Контрольні питання

1. Дайте визначення наукового експерименту.

2. За якими ознаками класифікують експерименти?

3. Які два основних типи експериментів розрізняють у процесі моделювання?

4. Які типи експериментів розрізняють відносно типу вимірюваних характеристик?

5. Що таке методика експерименту і що вона включає?

6. Що таке вимірювання і яка наука займається теорією вимірювань?

7. Що необхідно враховувати при розробці експерименту?

8. Що розуміється під комп'ютерним експериментом?

9. Які цілі планування експериментів?

10. Які основні аспекти необхідно враховувати при плануванні експерименту?

12. Що таке стратегічне і тактичне планування експерименту?

13. Які основні задачі стратегічного планування експерименту?

14. Що розуміється під кібернетичним поданням експерименту?

15. Що таке реакція або відгук системи?

16. Що таке фактори і рівні факторів?

17. Наведіть варіант класифікації факторів.

18. Що таке симетричний факторний експеримент.?

19. Що таке повний факторний експеримент (ПФЕ)?

20. Як визначається кількість інформаційних точок в ПФЕ? У симетричному ПФЕ?

21.В чому полягає метод напівреплік побудови стратегічного плану експерименту?

22. В чому сутність стратегічного плану «латинський квадрат»?

23. Перерахуйте основні задачі тактичного планування експерименту.

24. Які статистичні оцінки застосовують при тактичному плануванні експерименту?

25. Які існують шляхи скорочення витрат на проведення експерименту?

26. Дайте визначення точності і достовірності оцінки характеристики випадкової величини.

27. Як отримано вираз, що зв'язує точність і достовірність оцінки з числом реалізацій моделі?

28. Способи апріорного визначення оцінки дисперсії.

29. Як отримано вираз ? Що означають аргументи цього виразу?

30. Способи апріорного визначення ймовірності .

31. У результаті прогонів імітаційної моделі очікується отримати три випадкових показника з наступними характеристиками, які розподілені не за нормальним законом розподілу:

- ; ; ;

- ; ; ;

- ; ; .

Визначити необхідну кількість реалізацій моделі для досягнення необхідної точності і достовірності.

32. У чому полягає проблема початкових умов, і які шляхи її вирішення?

33. Які методи зменшення дисперсії Ви знаєте?

Список використаних джерел

1. Алпатов Ю.Н. Моделирование процессов и систем управления. Учебное пособие. - СПб.: Лань, 2018. 140 с.

2. Афонин В.В. Моделирование систем. Учебно-практическое пособие / В.В. Афонин, С.А. Федосин. - М.: Интуит, 2016. 231 с.

3. Волкова В.Н. Моделирование систем и процессов: учебник для академического бакалавриата / В.Н. Волкова [и др.]; под редакцией В.Н. Волковой, В.Н. Козлова. - Москва: Издательство Юрайт, 2019. - 450 с.

4. Веников В.А. Теория подобия и моделирования. Учебное пособие для вузов / В.А. Веников, Г.В. Веников - М.: Высшая школа, 1984. 479 с.

5. Голубева Н.В. Математическое моделирование систем и процессов. Учебное пособие. - СПб.: Лань, 2016. 192 с.

6. Горда О.В. Моделювання систем. Конспект лекцій. - Київ: КУБА, 2007. -80 с.

7. Горда Е.В. Графики в среде Matlab и элементы дифференциальной геометрии. Учебное пособие. / Е.В. Горда, В.М. Михайленко. LAP Lambert Academic Publishing, 2017. 188 c.

8. Даньков В.В. Моделирование процессов и систем. Учебное пособие. / В.В. Даньков, М.М. Скрипниченко, С.Ф. Логинова и др. - СПб.: Лань, 2015. 288 с.

9. Дворецкий С.И. Моделирование систем. Учебник. - М.: Academia, 2017. 320 c.

10. Джонсон Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. - М.: Мир, 1980. D 2_x томах.

11. Жирков А.М. Математическое моделирование систем и процессов. Учебное пособие. / А.М. Жирков, ГМ. Подопригора, М.Р. Цуцунава. - СПб.: Лань КПТ, 2016. 192 с.

12. Зарубин В.С. Моделирование. Учебное пособие. - М.: Academia, 2017. 400 c.

13. Макарова Н.А. Основные этапы моделирования. - СПб.: Питер, 2005.

14. Петров А.В. Моделирование процессов и систем. Учебное пособие. - СПб.: Лань, 2015. 288 с.

15. Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCAD. Учебное пособие. - М.: Горячая линия - Телеком, 2015. 320 с.

16. Реброва И.А. Планирование эксперимента. Учебное пособие. - Омск: СибАДИ, 2010. - 105 с.

17. Советов Б.Я. Моделирование систем. Учебник для академического бакалавриата. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - Люберцы: Юрайт, 2016. 343 с.

18. Сорока К.О. Основи теорії систем і системного аналізу: Навч. посібник. - ХНАМГ:, 2004. - 291 с.

19. Чикуров Н.Г. Моделирование систем и процессов. Учебное пособие. - М.: Риор, 2015. 312 с.

20. Шелухин О.И. Моделироваие информационных систем. Учебное пособие для вузов. - М.: РиС, 2016. 526 с.

21. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

22. [Електронний ресурс]. - Режим доступу http://stratum.ac.ru/education/textbooks/modelir/contents.html. Дата звернення 01.11.2020.

Размещено на Allbest.ru