Приклад. Модель травного тракту людини, модель електричної системи автомобіля, модель клітини біологічної тканини.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.12. Класифікація моделей за методологією застосування

Ігрова модель в ігровій формі або ситуації відтворює процеси, що протікають в складній системі. Ігрові моделі найчастіше розробляються для тренінгу навичок і умінь. Ігрова модель може будуватися спонтанно або організовано.

Приклад. Дитяча гра, яка відтворює в ігровій формі сімейні відносини, ділова гра, спрямована на виявлення конфліктних ситуацій на підприємстві і знаходження шляхів їх вирішення.

Науково-дослідницька модель будується для вивчення явищ, які неможливо довільно повторити в живій природі.

Приклад. Комп'ютерна модель фрагмента земної кори, побудована для вивчення способів прогнозування землетрусів.

Експлуатаційна модель будується з метою відтворення властивостей штучного об'єкта і вивчення його поведінки в різних умовах. Модель в деяких випадках може бути складнішою і дорожчою, ніж об'єкт моделювання.

Приклад. Модель мікропроцесорного пристрою, побудована шляхом комп'ютерного моделювання. Така модель може в цілому обійтися дорожче і складніше, ніж створення одного кристала мікропроцесора, але виправдовує себе, оскільки дозволяє запобігти помилкам в пристрої, який буде виготовлено в кількості кілька мільйонів штук.

Імітаційна модель служить для імітації поведінки або процесів в сложних системах. Визначення і приклад імітаційної моделі вже були наведені раніше в цьому розділі.

Класифікація моделей за способом представлення

Матеріальна модель за своєю фізичною структурою, формою, енергетичними характеристиками відтворює модельований об'єкт. Для матеріальної моделі характерно безпосереднє, в матеріальній, а не інформаційної формі, відтворення тих чи інших особливостей прототипу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.13. Класифікація моделей за способом представлення

Інформаційна модель являє собою модель, в якій в якості механізму створення моделі виступає інформація. Інформаційні моделі можуть бути неформалізованими (наприклад, уявна модель або абстрактний живопис) і формалізованими (тобто втіленими у формі символів, висловлювань, малюнків або креслень, значення яких обумовлено).

У свою чергу, формалізована модель може бути комп'ютерної та некомп'ютерною.

Приклад. Уявне представлення моделі електричної машини є неформалізованій інформаційною моделлю. Уявні експерименти з такими моделями - відомий факт з біографії знаменитого фізика Нікола Тесла. Однак уявне представлення моделі електричної машини не може бути використано при її серійному виробництві, тому уявна модель формалізується, перекладається на мову зрозумілих іншим людям символів або малюнків (креслень). Таким чином створюється формалізована модель. Формалізована модель, створена за допомогою комп'ютера, є комп'ютерної. Формалізована модель, створена без участі комп'ютерної техніки, є некомп'ютерною.

Контрольні питання

1. Визначте основні цілі моделювання. Наведіть приклади відповідних моделей.

2. Як класифікують моделі за призначенням та сферою застосування? В чому полягає різниця між цими класифікаційними ознаками?

3. Які моделі називають емпіричними (теоретичними)? Наведіть приклади відповідних моделей.

4. Як класифікують моделі за об'ємом доступної інформації про систему?

5. Що таке модель типу «чорний ящик»?

6. В яких випадках застосовують підхід «чорного ящика» до розробки моделі?

7. Які моделі відносять до типу «сірого ящика»?

8. Що таке модель типу «білий ящик»? В яких випадках застосовується цей підхід до створення моделі?

9. Наведіть приклади моделей типу «білий ящик».

10. Як класифікують моделі за рівнем деталізації?

11. Які моделі називають мета моделями? Які особливості мета моделей?

12. Які моделі називають макромоделями і яке їх призначення?

13. Що таке мікромодель?

14. Який математичний апарат застосовують для представлення макромоделей?

15. Як представляється система на макрорівні?

16. Які моделі називають відкритими, замкненими? В чому полягає різниця у їх представленні?

17. В яких випадках модель відносять до детермінованих, а у яких - до стохастичних?

18. Які моделі називають динамічними, а які статичними? В чому різниця у їх представленні?

19. Яка різниця між моделями із зосередженими та розподіленими параметрами?

20. Які моделі відносяться до неперервних, а які до дискретних? Яка різниця між математичним інструментарієм у їх представленні та дослідженні?

Лекція 4. Основні вимоги та принципи моделювання

Вимоги до моделей

До математичних моделей (ММ) пред'являється ряд вимог:

- універсальності;

- адекватності;

- точності;

- економічності.

Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відображення в моделі властивостей реального об'єкта. Математична модель відображає лише деякі властивості об'єкта. Отже, більшість ММ, використовуваних при функціональному проектуванні, призначені для відображення фізичних або інформаційних процесів, що протікають в об'єкті, при цьому не потрібно, щоб ММ описувала, наприклад, такі властивості об'єкта, як геометрична форма складових його елементів.

Наприклад, ММ резистора в вигляді рівняння закону Ома характеризує властивість резистора пропускати електричний струм, але не відображає габарити резистора, як деталі, його колір, механічну міцність, вартість і т. п.

Точність ММ оцінюється ступенем збігу значень параметрів реального об'єкта і значень тих же параметрів, розрахованих за допомогою оцінюваної ММ. Нехай відображаються в ММ властивості оцінюються вектором вихідних параметрів . Тоді, позначивши справжнє і розраховане за допомогою ММ значення j_го вихідного параметра через та відповідно, визначимо відносну похибку розрахунку параметра як

Отримана векторна оцінка . При необхідності зведення цієї оцінки до скалярної використовують будь-яку норму вектора , наприклад .

Адекватність ММ - здатність відображати задані властивості об'єкта з точки зору поставленої задаічі з похибкою не вище заданої. Оскільки вихідні параметри є функціями векторів параметрів зовнішніх Q і внутрішніх X, похибка залежить від значень Q і X. Зазвичай значення внутрішніх параметрів ММ визначають з умови мінімізації похибки в деякій точці Qном простору зовнішніх змінних, а використовують модель з розрахованим вектором X при різних значеннях Q. При цьому, як правило, адекватність моделі має місце лише в обмеженій області зміни зовнішніх змінних - області адекватності (ОА) математичної моделі:

,

де задана константа, яка дорівнює гранично припустимій похибці моделі.

Область адекватності - область в просторі параметрів, в межах якої похибки моделі залишаються в допустимих межах. Наприклад, область адекватності линеаризованной моделі поверхні деталі визначається системою нерівностей

де та - допустима і гранично допустима відносні похибки моделювання поверхні, максимум береться по всіх координатах і контрольованим точкам:



, - і-та координата в j_й точці поверхні в об'єкту та моделі відповідно.

У більшості випадків області адекватності будуються в просторі зовнішніх змінних. Так, область адекватності моделі електронного радіоелементу зазвичай визначає допустимі для застосування моделі діапазони зміни модельованих температур, зовнішніх напруг, частот.

Система може мати декілька різних моделей для різних діапазонів вхідних змінних. Наприклад, моделі для стаціонарного режиму роботи системи і модель перехідних процесів.

За ступенем відповідності параметрів моделі і оригіналу розрізняють подібності абсолютну і практичну (неабсолютну). Остання, в свою чергу, буває повною, неповною і наближеною. За адекватністю фізичної природи аналогічних явищ подібність поділяють на математичну і фізичну (електричну, механічну, теплову тощо).

Фізична подібність досягається за однакової фізичної природи явищ, математична - за відповідності схожих параметрів процесів різної фізичної природи. І перша, і друга подібності можуть бути повною, неповною і наближеною.

При абсолютній подібності оригінал і модель структурно та фізично подібні; вони відрізняються лише значеннями параметрів, що характеризують елементи і зв'язки між ними. Процеси у моделі і оригіналі в цілому, так само як стани окремих елементів, описуються однаковими функціональними залежностями, що пропорційно відрізняються лише значеннями аргументів. Відтворення процесу на моделі здійснюється без жодних спотворень щодо оригіналу і відрізняється від нього лише масштабом.

Слід підкреслити, що якщо з абсолютної фізичної подібності процесів випливає реальна або потенційна ідентичність математичних співвідношень, що їх описують, то зворотне ствердження у загальному випадку неправильне: ідентичність форм запису математичних рівнянь ще не означає подібності процесів, оскільки характер перебігу процесу визначається не лише видом функціональної залежності між змінними, що беруть в них участь, але і співвідношенням їх конкретних значень.

Абсолютна подібність свідчить про тотожність явищ, яка є поняттям доволі абстрактним і реалізується на практиці виключно в геометричних побудовах та в окремих видах математичної подібності. В переважній більшості випадків розв'язання конкретних задач дослідник не має змоги працювати з явищами, схожими абсолютно у всіх деталях. Тому виникає потреба введення поняття практичної подібності, в межах якої розрізняють повну, неповну і наближену подібності.

Повна подібність - це подібність перебігу у часі та просторі тих процесів, які є суттєвими для цього дослідження і з достатньою повнотою характеризують досліджуване явище стосовно конкретної постановки задачі дослідження.

Неповна подібність - це подібність перебігу процесів лише в просторі чи лише в часі (наприклад, при подібності перебігу перехідних процесів у двох електричних лініях розподіл електричного поля може бути різним внаслідок різної геометрії дроту).

Наближена подібність характеризується існуванням спрощених допущень, які дозволяють вважати подібними відмінні процеси за рахунок свідомих спотворень деяких їх властивостей. Наближена подібність може бути і повною, і неповною. Так, наближеною можна вважати подібність двох генераторів, виявлену на основі їх спрощених рівнянь, що не враховують аперіодичну складову струму статора і періодичну складову струму ротора.

Стосовно фізичної природи розрізняють фізичну і математичну подібності.

Фізична подібність передбачає однакову фізичну природу подібних явищ. За фізичної подібності механічним процесам у досліджуваній системі ставляться у відповідність механічні процеси у подібних їй системах, електричним - електричні тощо. Деколи виділяють кінематичну (подібність швидкостей і прискорень), матеріальну (подібність мас окремих елементів системи) і динамічну (подібність сил, що викликають рух) подібності. Системи, подібні кінематично, матеріально і динамічно, вважаються механічно подібними. Електрична подібність існує при подібності електричних і магнітних полів, напруг, струмів і потужностей окремих елементів. Аналогічно системи тіл, у яких подібні теплові потоки і температура мають теплову подібність тощо.

Фізична подібність може встановлюватися не лише для фізичних явищ, що підпорядковуються детермінованим законам, а і для стохастичних процесів; в цих випадках говорять про статистичну подібність.

Основні поняття та положення теорії подібності розглянемо нижче.

Економічність ММ характеризується витратами обчислювальних ресурсів (витратами машинних часу ТМ і пам'яті ПМ) на її реалізацію. Чим менше ТМ і ПМ тим модель більш економічна. Замість значень ТМ і ПМ, що залежать не тільки від властивостей моделі, а й від особливостей застосовуваної ЕОМ, часто використовують інші величини, наприклад: середня кількість операцій, які виконуються при одному зверненні до моделі, розмірність системи рівнянь, кількість використовуваних в моделі внутрішніх параметрів і т. п.

Вимоги високої точності, ступеня універсальності, широкої області адекватності, з одного боку, і високої економічності, з іншого боку, суперечливі. Найкраще компромісне задоволення цих суперечливих вимог залежить від особливостей вирішуваних завдань, ієрархічного рівня і аспекту проектування. Ця обставина обумовлює застосування в САПР широкого спектру математичних моделей.

Аналогічні вимоги по точності і економічності фігурують при виборі чисельних методів розв'язання рівнянь моделі.

Інші характеристики

Якість моделі в сенсі її відповідності своєму призначенню і практичної користі характеризується також такими показниками як:

* наочність, видимість основних властивостей і відносин;

* керованість, що припускає наявність у моделі повинна хоча б одного параметра, змінами якого можна імітувати поведінку модельованої системи в різних умовах;

* доступність і технологічність для дослідження або відтворення;

* адаптивність, під якою розуміється здатність моделі пристосовуватися до різних вхідних параметрів і впливів оточення

* здатність до еволюції, тобто, до кількісного та якісного розвитку

Теорія подібності

Теорія подібності застосовується на різних етапах моделювання. Не тільки для перевірки адекватності системи і моделі, а і при побудові самої моделі. Одним з перших кроків процесу побудови моделі є пошук аналогів. Існування аналогів дозволяє перенести результати моделювання з однієї системи на іншу але зробити це можливо лише при виявленні не просто аналогії (схожості), а при встановленні саме подібності.

Теорія подібності - метод математичного моделювання, заснований на переході від звичайних фізичних величин, що впливають на моделюєму систему, до узагальнених величин комплексного типу, складених з вихідних фізичних величин, але в певних поєднаннях, що залежать від конкретної природи досліджуваного процесу. Комплексний характер цих величин має глибокий фізичний зміст відображення взаємодії різних впливів.

Теорія подібності вивчає методи побудови і застосування цих змінних і застосовується в тих випадках математичного моделювання, коли аналітичне рішення математичних задач моделювання неможливо через складність і вимог до точності. Теорія подібності застосовується в цих випадках для синтезу співвідношень, одержуваних на основі фізичного механізму досліджуваного процесу і даних чисельного рішення або експерименту.

Через обмежені можливості аналітичного рішення багатьох рівнянь велике значення набуває експеримент. Однак, число експериментальних даних як правило велике, і потрібні методи узагальнення досвідчених даних. Одним із засобів для вирішення цього завдання є теорія подібності, яка тісн пов'язана з теорією експерименту.

При постановці будь-якого експерименту необхідно заздалегідь знати:

1. які величини треба вимірювати в експерименті;

2. як обробляти результати експерименту;

3. які явища подібні досліджуваному, тобто на які випадки можна поширювати отримані залежності.

Відповіді на ці питання дає теорія подібності.

Особливості застосування теорії подібності

Поняття подібності може бути поширене на будь-які фізичні явища. Можна говорити, наприклад, про подібність картини руху двох потоків рідини - кінематичному подобі; про подібність сил, що викликають подібні між собою руху - динамічному подобі; про подібність картини розподілу температур і теплових потоків - тепловому подобі і т.д.

У загальному випадку поняття подібності фізичних явищ зводиться до наступних положень:

а) Поняття подібності щодо фізичних явищ може бути застосовано тільки до явищ одного і того ж роду, які якісно однакові і аналітично описуються рівняннями, однаковими як за формою, так і за змістом.

Якщо ж математичний опис двох будь-яких явищ однаковий за формою, але різний за фізичним змістом, то такі явища називаються аналогічними. Така аналогія існує, наприклад, між процесами теплопровідності, електропровідності і дифузії.

б) Обов'язковою передумовою подібності фізичних явищ повинно бути геометрична подібність. Останнє означає, що подібні явища завжди протікають в геометрично подібних системах.

в) При аналізі подібних явищ зіставляти між собою можна тільки однорідні величини і лише в подібних точках простору і в подібні моменти часу.

Однорідними називаються такі величини, які мають один і той же фізичний зміст і однакову розмірність. Подібними точками геометрично подібних систем називаються такі, координати яких задовольняють умові:

, , .

Два проміжку часу називаються подібними, якщо вони мають спільний початок відліку і пов'язані перетворенням подібності.

г) Нарешті, подібність двох фізичних явищ означає подібність всіх величин, які характеризують розглянуті явища. Це означає, що в подібних точках простору і в подібні моменти часу будь-яка величина першого явища пропорційна однорідній з нею величиною другого явища:

.

Коефіцієнт пропорційності називається константою (постійною) подібності; яка не залежить ні від координат, ні від часу. При цьому кожна фізична величина має свою постійну подібності, чисельно відмінну від інших. Щоб знати, до якої величиною відноситься постійна подібності, при кожній з них ставиться відповідний індекс.

Таким чином, сутність подібності двох явищ означає подібність полів однойменних фізичних величин, що визначають ці явища.

Постійні подібності для різних величин в подібних явищах можна призначати або обирати довільно. Між ними завжди є строго певні співвідношення, які виводяться з аналізу математичного опису процесів. Ці співвідношення мають центральне значення в теорії подібності, так як вони встановлюють існування особливих величин, званих числами подібності (інваріантами), які для всіх подібних між собою явищ зберігають одне і те ж числове значення. Числа подібності є безрозмірними комплексами, складеними з величин, що характеризують явище. Нульова розмірність є їх характерною властивістю. Числа подібності прийнято називати іменами вчених, які працюють у відповідній галузі наук, і позначати двома початковими буквами їхніх прізвищ, наприклад: Re (Reynolds), Eu (Euler), Nu (Nusselt) або просто літерами: К, N і ін.

Числа подібності можна отримати для будь-якого фізичного процесу. Для цього необхідно мати його математичний опис. Останнє є необхідною передумовою теорії подібності.

Геометрична і фізична подібність; аналоги

Вперше з поняттям подібності зустрічаємося в геометрії, в якій введено поняття геометрично подібних фігур. Наприклад, зображені на рис. 4.1 трикутники мають наступну властивість: їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні, тобто

де l1, l2, l3 - лінійні розміри фігур; штрихи (') і ('') відносяться до позначень першої і другої фігури; С - коефіцієнт пропорційності, який називається константою подібності.



Рис. 4.1. Подібні фігури та тіла

Геометрично подібними є фігури однакової форми, відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорціональні (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Геометрично подібні трикутники

Подібність цих трикутників можна виразити двома способами. Це може бути зроблено як рівність відношень схожих відрізків подібних фігур:

де , , , - лінійні розміри одного трикутника; , , , - відповідні, схожі лінійні розміри другого подібного трикутника.

За допомогою константи подібності можна порівнювати між собою тільки дві подібні фігури, тому що для різних пар подібних фігур константи подібності - різні. Константа подібності показує, у скільки разів розміри однієї фігури відрізняються від розмірів другої, і від цього часто називається множником подібного перетворення.

Подібність трикутників можна виразити також рівністю відносних, безрозмірних схожих відрізків фігур. Безрозмірні відрізки виражаються відношенням довжини відрізка до довжини певного відрізка фігури, прийнятого як масштаб виміру всіх інших довжин. Якщо в подібних трикутниках за масштаб прийняти висоту h, то подібність трикутників виразиться рівняннями:

, ,

Позначення idem («ідемпотентність») означає «одне і те ж», «те ж саме». Оскільки цей термін означає, що значення залишиться не зміниться при дії і повторній дії над ним. До ідемпотентності можна віднести множення на 0 і 1, додавання до 0.

Відносні безрозмірні елементи фігур можна називати інваріантами чи числами подібності. Використовуючи поняття відносної, безрозмірної довжини (число подібності), можна порівнювати довільну кількість подібних між собою фігур. При цьому всі подібні фігури, побудовані в одиницях масштабного розміру, тобто у відносних величинах, повністю однакові. Рівняння у відносних, безрозмірних величинах, які описують подібні фігури, оказуються теж однаковими. Це можна показати на наступному прикладі. Рівняння двох еліпсів можна записати так:

,

де а і b - відповідно велика і мала півосі еліпса. Приймаючи велику піввісь еліпса як масштаб виміру всіх інших довжин і віднесемо всі лінійні величини рівняння до цієї величини, можна записати рівняння еліпсів у відносних величинах:

,

де , , , - відносні, безрозмірні змінні;

, - відносні, безрозмірні величини малих піввісей еліпсів.

Для подібних еліпсів відносні, безрозмірні схожі довжини однакові. З цього випливає, що подібні еліпси мають тотожні рівняння у відносних величинах:

Таким чином, якщо геометричні фігури можна представити рівняннями, то умовою їх подібності є однаковість, тотожність їх рівнянь у відносних, безрозмірних величинах. Багато корисних практичних задач можна розв'язати, якщо відомі умови подібності. Властивості подібних трикутників, наприклад, дозволяють визначити висоту дерева чи ширину річки без посереднього їх вимірювання.

Фізична подібність. Поняття подібності можна розповсюдити і на фізичні явища. Можна, наприклад, говорити про подібність руху двох потоків рідини, так звана кінематична подібність; подібність сил - динамічна подоба; про подібність температур - теплова подоба.

Поняття подібності щодо фізичних величин може бути застосовано тільки до явищ одного роду, які якісно однакові, і аналітично описуються одними рівняннями і за формою, і за змістом. Якщо аналітичні рівняння двох будь-яких явищ однакові за формою, але різні за фізичним змістом, то такі явища називають аналогічними. Така аналогія існує, наприклад, між явищами теплопровідності і електрики. Основний закон і в тому і в іншому випадку формулюється однаково: потік (тепла q, електрики i) пропорційний градієнту (температури - , потенціалу - ) - відповідно закони Фур'є і Ома:

,

де та - коефіцієнти пропорційності, тобто коефіцієнт теплопровідності і коефіцієнт питомої провідності.

Хоча конструкції рівнянь однакові за формою, але за змістом вони абсолютно різні. Це дозволяє явища переносу тепла і електрики віднести до аналогічних явищ.

Ознакою подібності є однаковість відносних, безрозмірних значень фізичних величин у всіх схожих точках.

Схожими називаються точки, безрозмірні координати яких рівні, тобто точки, які задовольняють умову геометричної подібності. Тому що значення фізичних величин змінюються від точки до точки, то можна сказати, що ознакою подібності є однаковість, тотожність полів безрозмірних фізичних величин, побудованих у безрозмірних координатах. Відносне безрозмірне значення довільної фізичної величини отримують діленням дійсного значення цієї величини в даній точці на деяке характерне значення тієї ж величини, прийнятої як масштаб виміру цієї величини.

Рис. 4.3. Подібність фізичних процесів під час руху рідини в трубах

Дамо пояснення подібних фізичних явищ на наступному прикладі. Допустимо, що є дві геометрично подібних системи наведених на рис. 4.3, в яких мають місце подібні процеси течії рідини. Тоді, приймаючи як схожі точки 1 і 2, які задовольняють умову:

,

можемо стверджувати, що має місце рівність при наявності:

· кінематичної подібності: ;

· динамічної подібності: або ;

· теплової подібності: або .

Для подібності нестаціонарних явищ необхідна ще наявність часової подібності, яка визначає схожі моменти часу, в які в схожих точках повинні бути однаковими ті чи інші відносні величини подібності. Наявність часової подібності визначається наступним чином. Допустимо, що у початковий момент часу певна фізична величина у схожих точках двох систем мають значення і . Через проміжок часу відповідно для систем , при цьому будемо мати відповідні значення , .

При Дф?₁ ? Дф?₁, у цих же схожих точках систем маємо значення фізичних величин і . Через інший проміжок часу відповідно для систем Дф?₂ і Дф?₂ (Дф?₂ ? Дф?₂) значення фізичних величин в схожих точках систем і . Якщо тепер виконуються рівності

,

то це значить, що має місце часова подібність явищ - гомохронність. Якщо при цьому Дф?₂ = Дф?₂, то є синхронність.

Таким чином, при подібності фізичних явищ для будь-якої фізичної величини, яка характеризує дане явище в схожих точках і в схожі моменти часу, повинно виконуватися співвідношення

, і т.д.

Координати схожих точок і схожих моментів часу визначаються відповідно співвідношеннями:

, ,

,

Тому що у подібних фізичних явищах значення безрозмірних фізичних величин тотожні в схожих точках у схожі моменти часу, то функції, які виражають залежності безрозмірних фізичних величин від безрозмірних координат і часу: , і т.д. також тотожні, однакові для всіх подібних між собою явищ.

Подібні фізичні явища, як і геометрична подібність, можуть бути виражені за допомогою констант подібності. Із навеених вище співвідношень можна для двох подібних явищ записати:

, .

Значення констант подібності Сц і Сш показують, у скільки разів величини і у системі відрізняються від аналогічних величин взятих у схожих точках подібної системи. Значення константи подібності даної фізичної величини однакове для всіх схожих точок двох систем з подібними фізичними явищами. Для фізичних величин різної фізичної природи значення констант подібності можуть бути різними. Поняття константи подібності використовується для попарного порівняння подібних явищ. Якщо існує декілька подібних явищ, то константи подібності при переході від одної пари явищ до іншої різні.

Математична подібність

Математичні моделі представляються рівняннями або системами рівнянь. Рівняння можна представити як функції, які можна прирівняти до нуля. Отже, можна сказати, що математичні моделі мають ознаки схожості, якщо в їх основі лежать схожі функції.

Функції, що мають ознаки схожості - це ідентичні функції однакового вигляду, які відрізняються тільки аргументами та відмінними від нуля коефіцієнтами.

Змінними, що мають ознаки схожості називають змінні, які однаковим чином входять до функцій.

Приклад.

1. ;

2.

3.

В даному прикладі функції 1 і 2 є схожими, а функція 3 ні, ьак як відрізняється наявністю 1. Змінні x, y та v, a відповідно є схожими змінними.

Теореми подібності

Основні положення теорії подібності узагальнені трьома теоремами подібності.

Перша теорема подібності (Ньютона-Бертрана)

Перша теорема подібності встановлює зв'язок між постійними подібності і дозволяє виявити числа подібності.

Якщо системи подібні, то завжди можна знайти такі безрозмірні комплекси величин, які мають однакові значення в схожих точках систем.

Для знаходження безрозмірних комплексів величин користуються двома методами:

· методом подібного перетворення диференційних рівнянь, що описують процес;

· методом аналізу розмірностей величин, що впливають на протікання процесу.

Суть першого методу полягає у наступному:

1. У диференційному рівнянні відкидають знаки математичних операторів (знак диференціювання d, +, -) і одержують при цьому декілька комплексів величин, що мають однакову розмірність;

2. Обирають один із комплексів величин в якості масштабу (одиниці порівняння) і ділять на нього по черзі інші комплекси величин, в результаті чого одержують безрозмірні комплекси величин (критерії подібності систем).

Наприклад, рух тіла під дією приложеної сили описується другим законом Ньютона:

Відкинувши знаки диференціювання одержимо два комплекси, що мають розмірність сили:

Поділивши першу величину на комплекс величини , обрану в якості масштабу, одержимо: , де - безрозмірний комплекс Ньютона, який характеризує відношення імпульсу сили до кількості руху, одержані тілом.

Перша теорема подібності показує, які величини необхідно вимірювати при проведені експериментів, тобто ті, що входять в критерії подібності.

Друга теорема подібності (Бекінгема-Фезермана)

Рішення будь-якого диференційного рівняння, що описує процес, може бути представлена у вигляді функціональної залежності між критеріями подібності, одержаними шляхом подібного перетворення цього рівняння.

Хай р₁, р₂, р₃, … р₄ - безрозмірні комплекси величин, одержані шляхом подібного перетворення диф. рівняння. Тоді рішення цього рівняння може бути представлено у вигляді залежності між цими комплексами:

В більшості випадків цю залежність виражають степеневою функцією:

Значення постійних С, m, k, … p знаходять на основі обробки результатів експериментів.

Критерії р₂, р₃, … р_n називаються визначальними, а критерій р₁ - визначним.

В визначальні критерії входять тільки величини із умов однозначності, які визначають хід процесу і його результат. В визначений критерій входять окрім деяких з цих величин також величина, яку потрібно визначити, тобто розрахувати.

Друга теорема подібності показує, як необхідно обробляти результати експериментів, проведених на моделях, а саме: їх необхідно представляти у вигляді функціональної залежності між безрозмірними комплексами величин, тобто між критеріями подібності.

Третя теорема подібності (Кирпигова-Гухмана)

Системи подібні, якщо їх визначальні критерії мають одинакові значення в схожих точках систем.

Ця теорема є наслідком перших двох теорем подібності.

Умови підвищення ефективності аналогій

Для підвищення міри імовірності аналогії треба дотримуватися таких вимог:

1. Число спільних для зразка і суб'єкта ознак повинно бути якомога більшим.

2. Основа аналогії повинна бути суттєвою для зразка і суб'єкта аналогії.

3. Спільні ознаки для зразка і суб'єкта повинні бути найрізноманітніші.

4. Переносна ознака повинна бути зв'язана із спільними ознаками.

Аналогія є своєрідним генератором нових ідей. За допомогою аналогій розкриваються нові грані ідей, які довели свою ефективність, встановлюються зв'язки між новими ідеями, гіпотезами і достовірним знанням.

Контрольні питання

1. Перерахуйте основні вимоги до моделей.

2. В чому полягає принцип універсальності моделей?

3. Як визначається точність моделі?

4. Що таке адекватність моделі і як вона визначається?

5. Що таке область адекватності? Наведіть приклади.

6. Чим характеризується ефективність моделі?

7. Які додаткові показники якості моделі Ви знаєте?

8. Яка теорія є метологічною основою моделювання?

9. І чому полягає різниця між аналогією і подібністю?

10. Які виділяють основні типи подібності?

11. Що таке повна, неповна, наближена подібність?

12. Що означає фізична подібність?

13. Що є предметом теорії подібності?

14. Які особливості має застосування теорії подібності?

15. Які величини називають однорідними?

16. Що таке константи подібності?

17. В яких випадках можна говорити про геометричну подібність? Наведіть приклади.

18. Що означає позначення idem?

19. Як встановлюється фізична подібність?

20. Що таке математична подібність? Наведіть приклади.

21. Сформулюйте першу теорему подібності.

22. В чому полягає друга теорема подібності?

23. Сформулюйте третю теорему подібності.

24. За рахунок чого можна підвищити рівень аналогії?

Лекція 5. Основні підходи та етапи моделювання

Поняття формалізації

Процес моделювання складається з послідовних етапів, де на кожному з них виконується поповнення інформації про об'єкт дослідження та впорядкування накопиченого інформаційного масиву. Важливим засобом впорядкування даних та представлення їх у більш стислому та зручному для обробки вигляді є формалізація.

При побудові моделі треба керуватись наступним положенням: основою процесу наукового пізнання і моделювання, зокрема, є встановлення зв'язків тиру «причина-наслідок».

Перш ніж побудувати модель об'єкта (явища, процесу), необхідно виділити складові елементи цього об'єкта і зв'язку між ними (провести системний аналіз) і «перевести» (відобразити) отриману структуру в будь-яку певну форму - формалізувати інформацію.

Формалізація - це процес фіксації знань про об'єкт дослідження в рамках категорій, класів і систем понять засобами їх формальної мови.

Можна ще сказати так: формалізація - це зведення змісту до форми.

Процес моделювання починається із словесного опису (вербальної моделі). Для впорядкування зібраної інформації, на наступних етапах моделювання, вона представляється у вигляді схем, креслень, таблиць, графіків, переводиться у більш стисле знакове представлення.

Формули, що описують фізичні процеси, - це формалізація цих процесів. Радіосхема електронного пристрою - це формалізація функціонування цього пристрою. Ноти, записані на нотному аркуші, - це формалізація музики і т. п.

Реалізація інформаційної моделі на комп'ютері зводиться до її формалізації в формати даних, з якими «вміє» працювати комп'ютер.

Формалізований опис з використанням математичних понять і формул, називаються математичною формалізацією.

Темників Ф.Е. виділив наступні узагальнені групи (класи) методів математичного формалізованого представлення систем:

а) аналітичні (методи класичної математики, включаючи інтегральне і диференціальне числення, методи пошуку екстремумів функцій, варіаційне числення і т.д.; методи математичного програмування, методи теорії ігор);

б) статистичні (включають теорію ймовірностей, математичну статистику і напрямки прикладної математики, що використовують стохастичні уявлення - теорію масового обслуговування, методи статистичних випробувань (засновані на методі Монте-Карло), методи висунення та перевірки статистичних гіпотез Вальда А. і інші методи статистичного імітаційного моделювання);

в) теоретико-множинні, логічні, лінгвістичні, семіотичні уявлення (методи дискретної математики), що становлять теоретичну основу розробки мов моделювання, автоматизації проектування, інформаційно-пошукових мов;

г) графічні (включають теорію графів і різного роду графічні представлення інформації типу діаграм, гістограм і інших графіків).

Моделювання будь-якої системи неможливе без попередньої формалізації, причому формалізація виконується на кожному етапі моделювання. Можна сказати, що поступова формалізація на кожному етапі моделювання це шлях від реального об'єкту до представлення його у формі, зручній для виконання дослідницьких робіт.

Структура формалізації:

1) визначення предметної області дослідження;

2) символізація інформації про предмет певною формальною мовою, але формалізація не зводиться тільки до символізації;

3) перетворення отриманих виразів за деякими строгими правилами;

4) інтерпретація (зворотний переклад) і перевірка;

Вимоги, яким повинна задовольняти процедура дослідження:

1) несуперечність формалізованого представлення матеріалу дослідження;

2) коректність - те, що ми отримуємо на формалізованій мові має в змістовному поданні відповідати фактам, гіпотезам;

3) адекватність - те, що в змістовно представленому матеріалі є істинним, повинно в формалізованому поданні виводиться, бути доказовим, обчисленим і т.д.

4) забезпечення однозначності та еквівалентності об'єкту дослідження.

Побудову моделі раціонально виконувати на основі формалізованого опису системи (рис. 5.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.1. Типи формалізації та моделей

Приклад. Відомо, що силу підземних поштовхів прийнято вимірювати за десятибальною шкалою. По суті, ми маємо справу з найпростішою моделлю оцінки сили цього природного явища. Дійсно, ставлення «сильніше», що діє в реальному світі, тут формально замінено на ставлення «більше», що має сенс на множині натуральних чисел: слабшому підземному поштовху відповідає число 1, найсильнішому - 10. Отримана впорядкована множина з 10 чисел - це модель, що дає уявлення про силу підземних поштовхів.

Індуктивний і системний підходи до моделювання

Нагадаємо, що система S визначається як цілеспрямована множина взаємопов'язаних елементів. Зовнішнє середовище E - це множина, яка знаходяться поза системою елементів, які впливають на систему S і відчувають вплив з боку системи Е. Система може бути виділена з середовища різними способами в залежності від мети дослідження (моделювання) і відношення спостерігача (дослідника, експериментатора) до системи. При моделюванні систем можливі два принципово різні підходи: класичний (індуктивний) і системний (дедуктивний).

Індуктивний і дедуктивний підходи, аналіз і синтез - дозволяють визначити основні принципи дослідження. Однак ці категорії можуть трактуватися і реалізовуватися по-різному. Тому з самого початку виникнення системних теорії пропонувалися підходи, в більшій мірі орієнтовані на прикладні завдання. Наведемо основні з них:

* в початковий період становлення теорії систем розвивався біхевіористський підхід, заснований на дослідженні поведінки (тобто функціонування) систем; однак цей підхід досить трудомісткий і його не завжди можна реалізувати;

* американський вчений Месарович М. запропонував підхід, який назвав цілеспрямованим і термінальним (від терм - елементарна частинка, яка цікавить дослідника). Польський вчений Р. Куликівський запропонував називати аналогічні підходи декомпозицією і композицією системи;

* швейцарський астроном Цвіккі Ф. запропонував і розвинув морфологічний підхід, який допомагає шукати корисні об'єднання елементів шляхом їх комбінацій;

* американський дослідник Черчмен Ч. запропонувала підхід до створення складних програм і проектів, названий «дерево цілей»;

* в практиці проектування складних технічних комплексів виникли терміни «мова моделювання», що застосовуються для відображення взаємозв'язків між компонентами проекту; при розробці мов моделювання застосовують математичну логіку і математичну лінгвістику, в якій є зручний термін для опису структури мови - «тезаурус», і підхід називають іноді лінгвістичним або тезаурусний;

* при дослідженні і формуванні структур були запропоновані наступні підходи: пошук зв'язків між елементами або, навпаки, усунення зайвих зв'язків.

З урахуванням розглянутих підходів на основі узагальнення попереднього досвіду сформувалося два основних підходи до відображення систем:

а) «зверху» - методи структуризації або декомпозиції, цільовий або цілеспрямований підхід;

б) «знизу» - підхід, який називають морфологічним (в широкому сенсі), лінгвістичним, тезаурусним, термінальним, методом «мови» системи. За допомогою цього підходу визначається «простір станів» системи і реалізується пошук взаємозв'язків (заходів близькості) між елементами.

Підходи «згори» і «знизу» називають також аксіологічними і каузальними відповідно.

Аксіологічне уявлення системи - відображення системи в термінах цілей і цільових функціоналів. Цей термін використовують в тих випадках, коли необхідно вибрати підхід до відображення системи на початковому етапі моделювання і протиставити це відображення опису системи в термінах «перерахування» елементів системи і їх безпосереднього впливу друг на друга, тобто каузального уявлення.

Каузальне уявлення системи - опис системи в термінах впливу одних змінних на інші, без вживання понять мети та засобів досягнення цілей. Цей термін походить від поняття «cause» - причина, тобто має на увазі причинно-наслідкові зв'язки. Застосовують каузальне уявлення у разі попереднього опису системи, коли мета відразу не може бути сформульована і для відображення системи або проблемної ситуації не може бути застосоване аксіологічне уявлення.

Розглянемо індуктивний і дедуктивний підходи і покажемо суттєву перевагу системного підходу при моделюванні систем.

Індукцією називається спосіб міркування від часткового до загального. При індуктивному підході до моделювання систем модель системи формується за принципом «від часткового до загального», тобто компоненти системи і їх моделі розробляються окремо, незалежно один від одного, а система і її загальна модель формуються шляхом об'єднання окремих моделей в загальну модель системи; при цьому не вдається врахувати взаємозв'язок (взаємозалежність) елементів.

При класичному (індуктивному) підході до моделювання вихідна система розбивається на окремі підсистеми, які розглядаються як відносно незалежні. Для кожної з підсистем вибираються вихідні дані і формулюється мета моделювання. Кожна з цілей і сукупність даних відображають окремі сторони функціонування системи. Для кожної з підсистем формується часткова модель, яка є компонентою майбутньої загальної моделі. Потім отримані часткові моделі агрегуються (об'єднуються) в загальну модель системи. Таким чином, при формуванні моделі системи на основі класичного підходу виконуються наступні основні операції над моделями: декомпозиція і агрегування.

Декомпозицією називається поділ (розбиття, розчленування) вихідної системи S на підсистеми Si, i = 1, 2,…, n, які не залежать одне від одного як відносно цілей Pi(Si), так і по відношенню до заходів ефективності i (Pi(Si)), тобто Pi(Si) Pj(Sj) = 0, ij, i (Pi(Si)) (Pj(Sj)) = і, отже

.

Агрегування - це операція, зворотна декомпозиції, яка полягає в об'єднанні кількох систем Si, i = 1, 2,…, n в одну загальну систему S:

.

Операція агрегування виконується по відношенню до моделей Mi:

.

При агрегування систем функція ефективності визначається наступним чином:

.

Таким чином, класичний (індуктивний) підхід до формування моделей систем полягає в тому, що

* модель формується за принципом «від часткового до загального»;

* системна модель формується шляхом агрегування (об'єднання) окремих моделей-компонент.

Очевидно, що індуктивний підхід не враховує виникнення нових якостей в системі, які притаманні системі в цілому і не можуть бути віднесені до жодного з елементів системи, взятих окремо. Тому індуктивний підхід може застосовуватися лише для моделювання відносно простих об'єктів. У випадку складних об'єктів застосовується дедуктивний (системний) підхід.

При системному (дедуктивному) підході до формування моделей система S розглядається як підсистема деякої системи більш високого рівня (більш загальної), яка в цьому випадку називається метасистема. В основі системного підходу лежить розгляд системи як інтегрованого цілого. При цьому підході до моделювання модель системи розробляється починаючи з формулювання мети функціонування на основі вихідних даних, доступних з аналізу метасистеми (ззовні), обмежень, які накладаються на систему зверху, і на основі мети її функціонування формулюються вихідні вимоги, що пред'являються до моделі системи.

Далі при системному підході формуються деякі підсистеми, з яких складається вихідна система. Потім здійснюється вибір складових системи на основі спеціальних критеріїв вибору.

Системний підхід до моделювання заснований на наступних загальносистемних принципах.

Принцип формування законів. Відповідно до цього принципу моделі постулюється, і з цих моделей виводяться закони поведінки систем (теореми). Закони є дедуктивними, тому вони не потребують підтвердження, і, отже, якщо реальний експеримент не підтверджує поведінки системи, то це говорить лише про неадекватність моделі (або класу моделей) системи, для якої (якого) виведений відповідний закон.

Принцип рекурентного пояснення. Властивості систем довільного рівня k-ї ієрархії виводяться у вигляді теорем з властивостей підсистем безпосередньо нижчого рівня і зв'язків між ними. Тому підсистеми попереднього рівня стають елементами системи наступного рівня, а це означає, що при ускладненні систем модель не обов'язково повинна ускладнюватися.

Принцип мінімальності засобів моделювання. Складність моделі не обов'язково повинна відповідати складності модельованої системи. Модель системи (теорія) повинна складатися з найпростіших моделей системи наростаючої складності. «Не слід робити за допомогою більшого то, чого можна досягти за допомогою меншого» (принцип простоти в теорії складності).

Етапи моделювання

На початку будь-якої роботи потрібно чітко уявити собі відправний і кожен пункт діяльності. Те ж саме можна сказати і про моделювання. Відправною точкою моделювання є прототип або завдання на створення нового об'єкту. Їм може бути існуючий або проектований об'єкт або процес. Кінцевий етап моделювання - прийняття рішення на підставі знань про об'єкт. Ланцюжок процесу моделювання, як дослідницького завдання представлений на рис. 5.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.2. Процес моделювання

Приклад.

Моделювання при створенні нових технічних засобів можна розглянути на прикладі історії розвитку космічної техніки.

Для реалізації космічного польоту треба було вирішити дві проблеми: подолати земне тяжіння і забезпечити просування в безповітряному просторі. Про можливості подолання тяжіння Землі говорив ще Ньютон в XVII в. К.Е. Ціолковський запропонував для пересування в просторі реактивний двигун, в якому використовується паливо з суміші рідкого кисню і водню, що виділяють при згорянні значну енергію. Він склав досить точну описову модель майбутнього міжпланетного корабля з кресленнями, розрахунками та обґрунтуваннями. Описова модель Ціолковського К.Е. стала основою для реального моделювання в конструкторських бюро Корольова С.П. та NACA. В натурних експериментах випробовувалися різні види рідкого палива, форма ракети, система управління польотом і життєзабезпечення космонавтів, прилади для наукових досліджень і т. п. Результатом різнобічного моделювання стали потужні ракети, які вивели на навколоземний простір штучні супутники Землі, кораблі з космонавтами на борту і космічні станції.

Моделювання - творчий процес. Укласти його в формальні рамки дуже важко. У найбільш загальному вигляді, з урахуванням сучасних комп'ютерних технологій, його можна представити поетапно, як зображено на схемі 5.3.

Як було зазначено раніше, необхідність в моделюванні з'являється при виникненні проблеми, вирішення якої є актуальнім. Сам процес моделювання складається з послідовних етапів, наведених на рис. 5.3.

При вирішенні конкретної задачі ця схема може зазнавати деяких змін: якийсь блок буде прибраний або вдосконалений, якийсь - доданий. Зміст етапів визначається поставленим завданням і цілями моделювання. Розглянемо основні етапи моделювання докладніше.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.3. Основні етапи моделювання

Як видно з рис. 5.3, процес моделювання є ітераційним циклічним процесом. Зміст робіт на кожному етапі залежить від об'єкту дослідження, мети дослідження та обсягу апріорної інформації.

Етап I. Постановка задачі

Під задачею розуміють деяку проблему, яку необхідно вирішити.

Проблема з'являється там, де не вистачає наявних знань, а суспільна практика вимагає вирішення виниклих питань.

Наукова проблема - це завдання, яке призведе до отримання нового знання про досліджуваний об'єкт. Постановка проблеми це опис умов і обставин стану області, сфери і т. п., про яку йде мова, в тому аспекті (в напрямку, в площині), в якому хочуть підняти проблему.

Аналіз проблем - це процес усвідомлення реальних проблем і потреб користувачів і пропозиції рішень, що дозволяють задовольнити ці потреби. Мета аналізу проблеми полягає в тому, щоб домогтися кращого розуміння розв'язуваної проблеми до початку побудови моделі. Результати аналізу проблеми є підставою до побудови концептуальної моделі системи, яка, в свою чергою є основою для подальшого процесу моделювання.