Моделювання систем

Етапи аналізу проблеми:

1) формулювання проблеми;

2) визначення цілей дослідження;

3) визначення об'єкту дослідження та предмету дослідження;

4) визначення типу системи

5) проведення структурного та функціонального аналізу;

Формулювання проблеми повинно задовольняти наступним вимогам:

- проблема повинна існувати;

- проблема повинна бути актуальною;

- формулювання повинно бути конкретним і реальним;

- необхідно уникати занадто загальних, глобальних проблем;

- у формулюванні має бути присутня тільки одна проблема.

Для формулювання проблеми використовують наступну схему:

- нагальні потреби;

- що і ким зроблено (існує) в обраному напрямку;

- чого не вистачає і що необхідно доробити;

- виділення актуальності.

Актуальність проблеми повинна бути обґрунтована. Актуальність теми характеризує її сучасність, життєвість, нагальність, важливість, значущість. Іншими словами - це аргументація необхідності дослідження, розкриття реальної потреби в її вивченні та необхідності вироблення практичних рекомендацій. Іншими словами - це аргументація необхідності дослідження, розкриття реальної потреби в її вивченні та необхідності вироблення практичних рекомендацій.

Проблема формулюється на звичайній мові, і опис має бути зрозумілим. Головне тут - визначити об'єкт моделювання і зрозуміти, що повинен являти собою результат.

Цілі моделювання. Практично у всіх науках про природу, живої та неживої, про суспільство, побудова та використання моделей є потужним знаряддям пізнання. Реальні об'єкти і процеси бувають настільки багатогранні і складні, що найкращим способом їх вивчення часто є побудова моделі, що відображає лише якусь грань реальності і тому багато разів більш простий, ніж ця реальність, і дослідження спочатку цієї моделі. Моделі використовуються для розв'язання різноманітних задач. На цій множині можна виділити основні цілі використання моделей:

1. Зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт, яка його структура, основні властивості, закони розвитку і взаємодії з навколишнім світом (розуміння); Пізнання навколишнього світу.

2. Створення об'єктів з заданими властивостями (завдання типу «Як зробити, щоб…»).

3. Визначення наслідків впливу на об'єкт і прийняття правильного рішення (завдання типу «Що буде, якщо…». Навчитися керувати об'єктом (або процесом) і визначати найкращі способи управління при заданих цілях і критеріях (управління);

4. Прогнозування прямих і непрямих наслідків реалізації заданих способів і форм впливу на об'єкт (прогнозування).

5. Визначення ефективності управління об'єктом або процесом.

Мета дослідження орієнтує на його кінцевий результат, теоретико-пізнавальний і практично-прикладний, завдання формулюють питання, на які повинна бути отримана відповідь для реалізації цілей дослідження. Необхідно розрізняти такі поняття як «дерево проблем», «дерево задач» і «дерево цілей».

Цілі і завдання дослідження утворюють взаємопов'язані ланцюжки, в яких кожна ланка служить засобом утримання інших ланок.

Кінцева мета дослідження може бути названа його спільним завданням, а часткові завдання, які виступають в якості засобів вирішення основної, можна назвати проміжними цілями, або цілями другого порядку. В інтересах однозначності термінології ми будемо розрізняти цілі, і завдання дослідження в зазначеному сенсі.

Дерево цілей - структурована сукупність цілей, побудована за ієрархічним принципом (розподілена по рівнях, стратифікована). По суті, це візуальне уявлення досягнення цілей (рис. 5.4). Принцип, згідно з яким головна мета досягається за рахунок сукупності другорядних і додаткових цілей.

Назва цього графічного зображення завдань пов'язана з тим, що схематично представлена сукупність розподілених за рівнями цілей нагадує по виду перевернуте дерево. Зверху - генеральна мета (вершина дерева); далі - підпорядковані їй підцілі першого, другого і подальшого рівнів («гілки дерева»). Підцілі повинні відповідати наступним показникам: точність, вимірність, важливість, досяжність, реальні часові рамки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.4. Дерево цілей

Принципи побудови дерева цілей:

1. Врахування потреб і ресурсів. Складні завдання вимагають планування. Цілком можливо, що поставлена задача не може бути вирішена, тому що не вистачає ресурсів для її вирішення. Або немає можливості оцінити наявність ресурсів, так як проблема занадто велика. У цьому випадку дерево цілей хороший варіант для аналізу ситуації.

2. Конкретизація. Формулюючи завдання, треба враховувати, що вони повинні бути кінцевими. Слід описати параметри, за якими в результаті можна буде визначити або виконати задачу. У тому числі встановити час для виконання поставленого завдання.

3. Поетапність. Раціонально розбити завдання на кілька етапів. Спочатку ставиться генеральна мета. Потім для її виконання шукаються і аналізуються ресурси. Далі ставляться підцілі. Для реалізації підцілей теж шукаються ресурси. Таким чином, відбувається розгортання головного завдання, поки не буде продумана вся схема її рішення. Завдання уточнюються і прояснюються до тих пір, поки це необхідно.

4. Сумісність. Досягнення кожної з підцілей має бути достатньо для вирішення головного завдання. Якщо ж після виконання всіх цілей нижніх рівнів для вирішення головного завдання потрібні додаткові дії або ресурси, значить, дерево цілей було побудовано невірно.

5. Відповідність структурі системи. Структура дерева цілей для організації роботи системи повинна відповідати її структурі. Таким чином, кожен компонент досягає своїх цілей, що в підсумку повинно привести до досягнення загального задуму.

6. Метод декомпозиції. Суть цього методу в тому, щоб зробити розбивку стратегічної мети на приватні підцілі, грунтуючись на головній властивості здатності до швидкого розгортання і підпорядкованості. Мета вищого рівня - це досить віддалене майбутнє. Виникає питання, які події і стани заповнять часовий простір між сьогоденням і майбутнім. Відповідь на це питання і дає декомпозиція стратегічної мети на підцілі.

Формулювання проблеми та визначення цілей ще недостатньо для формулювання задачі. Задачі необхідно ставити такі, які можна розв'язати. Щоб визначити принципову можливість розв'язати задачу, необхідно мати певну інформацію про об'єкт дослідження та можливі методи її вирішення.

Аналіз об'єкту моделювання. В основу моделі при її формуванні кладуться деякі початкові знання про об'єкт, закономірності, що встановлюють властивості цього об'єкта (або класу об'єктів), його характеристики, особливості зв'язку між складовими об'єкт, елементами. Отримання цих знань та їх уточнення і є змістом першого етапу моделювання.

Необхідно пам'ятати, що моделювання можливе лише при наявності достатнього обсягу інформації.

Одним з основних джерел отримання інформації про об'єкт дослідження є науковий експеримент.

Першим кроком перед проведенням аналізу йде збір інформації стосовно об'єкту моделювання. Що відомо про об'єкт, що зроблено і ким зроблено в даній предметній області. Виконується пошук існуючих аналогів та підсистем.

На цьому етапі формується можливо більш повний опис об'єкта: виділяються його елементи, встановлюються зв'язки між ними, виділяються істотні для дослідження характеристики, виявляються параметри, зміна яких впливає або може впливати на об'єкт.

На цьому ж етапі формуються гіпотези.

Наукова гіпотеза - це обгрунтоване припущення про суттєві залежності, закономірності, властиві в досліджуваному об'єкта пізнання, про характер впливу на нього тих чи інших параметрів, про зв'язки між його елементами, яка виступає як форма розвитку знання.

Гіпотези підлягають подальшій перевірці. Гіпотези грають велику роль в наукових дослідженнях. Це певні передбачення, що ґрунтуються на невеликій кількості експериментальних даних, спостережень, здогадів. Швидка і повна перевірка гіпотез може бути проведена в ході спеціально поставленого експерименту. При формулюванні та перевірки правильності гіпотез велике значення як метод суджень має аналогія.

Гіпотези і аналогії, що відображають реальний, об'єктивно існуючий світ, повинні мати наочністю або зводиться до зручним для дослідження логічним схемам. Такі логічні схеми, що спрощують міркування і логічні побудови або дозволяють проводити експерименти, уточнюючі природу явищ, називаються моделями.

В кінцевому рахунку, гіпотеза передує як вирішення проблеми в цілому, так і кожного завдання окремо. Гіпотеза в процесі дослідження уточнюється, доповнюється або змінюється.

У науково-методичній літературі пропонуються шаблони формулювань гіпотез:

1. Щось впливає на щось в тому випадку, якщо…

2. Передбачається, що формування чого-небудь стає дієвим при будь-яких умовах.

3. Щось буде успішним, якщо…

4. Передбачається, що застосування чого-небудь дозволить підвищити рівень чого-небудь.

Таким чином, наявність гіпотези - це важлива умова наукового дослідження. Гіпотеза - це зв'язок між справжніми і майбутніми знаннями.

На тому ж етапі вихідні припущення переводяться на чітку однозначну мову кількісних відносин і усувається нечіткі, неоднозначні висловлювання або визначення, які замінюються, можливо, і наближеними, але чіткими,; не - допускають різних тлумачень висловлюваннями.

Для перевірки гіпотез, перевірки та вставлення зв'язків між параметрами плануються та проводяться експериментальні дослідження.

Результати аналізу об'єкта моделювання можуть бути представлені різними способами: формалізованим опис; схемами; таблицями і є основою побудови концептуальної моделі.

Завершенням етапу є постановка завдання.

Постановка завдання - точне формулювання умов завдання з описом вхідний і вихідний інформації.

Вхідна інформація по завданню - дані, що надходять на вхід завдання і використовуються для її вирішення.

Вихідна інформація може бути представлена у вигляді документів, кадрів на екрані монітора, інформації в базі даних, вихідного сигналу пристрою управління.

Також на цьому етапі визначаються критерії ефективності системи та моделі.

Етап П. Розробка моделі

На вибір підходу та методу побудови моделі значною мірою впливає об'єм апріорної інформації. Інформація може бути обмеженою і єдиним можливим підходом до побудови моделі є «чорний ящик», інформація може бути повно, з різною мірою повноти. Тоді можна говорити про застосування підходів на основі сірого або білого ящика і про більш інформативні моделі.

Розробка моделі виконується за схемою, наведеною на рис. 5.5:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.5. Схема порядку побудови моделі

Процес побудови моделі включає наступні кроки:

1). Аналіз виділених властивостей і виділення істотних властивостей і ознак з точки зору цілей моделювання. Для одного і того ж об'єкта при різних цілях моделювання істотними будуть вважатися різні властивості. Немає єдиного вірного для всіх випадків способу (правила, алгоритму) виділення істотних ознак, властивостей, відносин. Іноді вони очевидні, а іноді доводиться побудувати багато різних моделей з різними наборами цих властивостей, перш ніж буде досягнута мета моделювання. Від того, наскільки правильно і повно виділені істотні ознаки, залежить відповідність побудованої моделі заданій меті, іншими словами ЇЇ адекватність меті моделювання.

2). Визначення параметрів та змінних моделі. Параметри використовуються для задання статичних характеристик системи. Значення параметра зазвичай залишається незмінним під час «прогону» моделі. Якщо потрібно створити в моделі елемент даних, що змінює своє значення по ходу моделювання, то краще використовувати змінну. Зазвичай використовуються числові параметри, хоча ви можете створювати параметри будь-якого типу.

Змінні (фактори, невідомі величини які враховуються як аргументи функції) зазвичай використовуються для моделювання змінюються характеристик системи або для зберігання результатів роботи моделі.

Розрізняють два основних типи змінних:

- Незалежні (зовнішні [екзогенні], що впливають) змінні - змінні, значення яких не залежать безпосередньо від інших змінних моделі. Знаходження таких змінних часто є метою моделювання, тому вони іноді називаються рішеннями. Значення цих змінних говорять про те, як потрібно впливати на досліджувану систему, щоб отримати бажаний результат.

- Залежні (внутрішні, [ендогенні], вихідні) змінні - змінні, значення яких формуються всередині моделі в залежності від значень вхідних змінних. Залежні змінні бувають двох типів: показники ефективності (критерії, цільові функції) які визначають ступінь наближення до мети і результуючі змінні, що дозволяють краще розуміти результати рішення.

3) Вибір форми представлення моделі. Адекватність моделі об'єкту моделювання залежить від того, в якій формі відображаються виділені нами істотні ознаки. Формами представлення моделей можуть бути: словесний опис, креслення, таблиця, схема, алгоритм, комп'ютерна програма і т.д. Для математичних моделей важливо визначити який математичний апарат буде застосовуватись для їх представлення. На перших етапах моделювання це може бути теорія множин, структур.

Приклад: Об'єкт моделювання - дачна ділянка (мета моделювання - визначити площу ділянки; істотні ознаки - форма ділянки, його розміри, форма подання моделі - формула площі прямокутника, модель - .

4) Визначення критеріїв оцінки ефективності системи. Критерії ефективності формулюється на основі показників, що описують кількісно мету (або цілі).

Критерії ефективності можуть бути скалярними або векторними. Вони необхідні для того, що б з множини результатів моделювання обрати або кращу модель (наприклад, за характеристиками точності або ефекивності) або значення параметрів системи, що забезпечують виконання принципів моделювання та вимог до системи і моделі. Часто критерії ефективності формулюються як задачі мінімізації або максимізації.

Вимоги та деякі критерії оцінки ефективності вивчались в курсах «Дослідження операцій» та «Теорія прийняття рішень».

5) Формалізація - побудова інформаційних моделей за допомогою формальних знаків. Побудова остаточної математичної моделі повинна виконуватись засобами певного розділу математичної теорії. Не рекомендується для математичної формалізації моделі застосовувати різний апарат.

Приклад. Змістовна постановка задачі: необхідно визначити та дослідити траєкторії руху центрів Землі, Місяця навколо Сонця з врахуванням сил взаємодії між тілами.

Концептуальна постановка: Для вирішення поставленої задачі достатньо дослідити динаміку системи, яка складається з трьох елементів, що взаємодіють між собою.

Припущення:

- Взаємодією елементів системи з оточуючим середовищем в наслідок їх малості впливу можна знехтувати.

- Не будемо враховувати форму тіл, так як можна вважати що лінії дії рівнодіючих сил тяжіння між тілами проходять через їх центри.

- Так як маса Сонця значно перевищує маси Землі і Місяця, дією сил тяжіння на рух Сонця також можна знехтувати. Це дозволяє в якості моделей кожного елементу системи вибрати матеріальну точку із заданою масою.

- При цьому одну точку можна вважати нерухомою (Сонце), а дві інші - рухаються в одній площині під дією центральних сил, які визначаються законом всесвітнього тяжіння.

Побудова моделі. Для кращого розуміння задачі зробимо її схематичне представлення в Декартовій системі координат (рис. 5.6).



Рис. 5.6. Графічна модель взаємодії трьох тіл

Математичну модель: на основі 2_го закону Ньютона, рівняння руху для кожної матеріальної точки в проекціях на вісі координат ОХУ можна записати:

, , .

Якщо інформації про об'єкт моделювання недостатньо то модель будується за принципом «чорного ящика» на основі експериментальних даних.

Контрольні питання

1. Яке основне положення є основою наукового пізнання?

2. Що таке формалізація? Наведіть приклади формалізованого опису системи.

3. Що способи формалізованого представлення систем Ви знаєте?

4. Що таке математична формалізація?

5. Які виділяють групи математичного формалізованого представлення систем?

6. Визначте структуру формалізованого представлення.

7. Яким вимогам повинен задовольняти формалізований опис?

8. Які два основних підходи застосовують в моделюванні систем?

9. Які Ви знаєте підходи до моделювання систем, орієнтовані на прикладні задачі?

10. Щ таке аксіологічний та казуальних підходи до представлення систем?

11. Що називається індукцією (дедукцією)?

12. В чому полягає індуктивний підхід до вивчення систем?

13. В чому полягає декомпозиція і агрегування в представлені систем?

14. Які недоліки індуктивного підходу?

15. В чому полягає дедуктивний підхід в моделюванні?

16. Визначте основні принципи системного підходу в моделюванні.

17. З яких основних ланок складається процес моделювання?

18. Перерахуйте основні етапи процесу моделювання.

19. З яких етапів складається процес аналізу системи?

20. Яким вимогам повинно задовольняти формулювання проблеми?

21. Чим характеризується актуальність проблеми?

22. Які виділяють основні цілі моделювання?

23. Що таке дерево цілей і за якими правилами воно будується?

24. Що є основою для побудови моделі?

25. Який перший крок в процесі аналізу системи?

26. Що таке наукова гіпотеза? ЇЇ місце та роль у процесі аналізу системи?

27. За яким шаблоном формується наукова гіпотеза?

28. Що включає постановка задачі? Чим відрізняється постановка задачі від формулювання проблеми?

29. Від чого залежить вибір підходу та методу побудови моделі?

30. Визначте порядок процесу побудови моделі?

31. Які кроки включає процес побудови моделі?

32. Що таке ендогенні та екзогенні змінні?

Лекція 6. Значення експерименту та його планування в процесі моделювання

Науковий експеримент

При вивчені етапів моделювання була зазначена роль наукового експерименту. Науковий експеримент присутній на багатьох етапах, починаючи з першого. Проведення фізичного експерименту є основою збору інформації про об'єкт дослідження, перевірки адекватності та визначення області адекватності, визначення таких характеристик моделі як точність та стійкість. Тому, перш ніж переходити до процесу побудови моделі, розглянемо основні аспекти наукового експерименту.

Експеримент - це метод пізнання, при якому явища вивчаються в контрольованих і керованих умовах. Експеримент, як правило, здійснюється на основі теорії або гіпотези, що визначають постановку задачі та інтерпретацію результатів. Переваги експерименту в порівнянні зі спостереженням полягають у тому, по-перше, що виявляється можливим вивчати явище, так би мовити, в «чистому вигляді», по-друге, можуть варіюватися умови протікання процесу, по-третє, сам експеримент може багаторазово повторюватися.

Експерименти розрізняються:

* за способом формування умов (природний і штучний);

* за цілями дослідження (перетворюють, що констатують, контролюючі, пошукові, вирішальні);

* по організації проведення (лабораторні, натурні, польові, виробничі і т. п.);

* за структурою досліджуваних об'єктів і явищ (прості, складні);

* за характером зовнішніх впливів на об'єкт дослідження (речові, енергетичні, інформаційні);

* за характером взаємодії засоби експериментального дослідження з об'єктом дослідження (звичайний і модельний);

* за типом моделей, досліджуваних в експерименті (матеріальний і уявний);

* по контрольованим величинам (пасивний і активний);

* за кількістю варійованих факторів (однофакторний і багатофакторний);

* за характером досліджуваних об'єктів або явищ (технологічний, соціометричний) і т. п.

Для класифікації експериментів можуть бути використані і інші ознаки. З числа названих видів природний експеримент передбачає проведення дослідів в природних умовах існування об'єкта дослідження (найчастіше використовується в біологічних, соціальних, педагогічних і психологічних науках).

Виділимо два основних типи експериментів:

- Фізичний експеримент - спосіб пізнання природи, що полягає у вивченні природних явищ в спеціально створених умовах. Експеримент проводиться безпосередньо на системі.

- Модельний (або комп'ютерний) експеримент - це експеримент над математичною моделлю об'єкта часто з дослідженням ЕОМ, який полягає в тому що, по одним параметрам моделі обчислюються інші її параметри і на цій основі робляться висновки про властивості об'єкта, що описується математичною моделлю. Даний вид експерименту можна лише умовно віднести до експерименту, тому що він не відображає природні явища, а лише є чисельної реалізацією створеної людиною математичної моделі.

Науковий експеримент є невід'ємною частиною процесу моделювання і проводиться на його різних етапах:

- в процесі збору інформації;

- при перевірці гіпотез;

- для визначення значень параметрів системи і моделі:

- для перевірки адекватності моделі;

- для балансування моделі;

- для отримання і обробки результатів моделювання.

Розрізняють декілька видів експерименту. Найпростіший вид експерименту - якісний, що встановлює наявність або відсутність пропонованих теорією явищ.

Другим, більш складним видом є вимірювальний або кількісний експеримент, який встановлює чисельні параметри якого-небудь властивості (або властивостей) предмета, процесу.

Особливою різновидом експерименту у фундаментальних науках є уявний експеримент.

Нарешті, специфічним видом експерименту є соціальний експеримент, який здійснюється з метою впровадження нових форм соціальної організації та оптимізації управління. Сфера соціального експерименту обмежена моральними і правовими нормами.

Особливе значення має правильна розробка методики експерименту. Методика - це сукупність розумових і фізичних операцій, розміщених в певній послідовності, відповідно до якої досягається мета дослідження. При розробці методики проведення експерименту необхідно передбачати:

- проведення попереднього цілеспрямованого спостереження над досліджуваним об'єктом або явищем з метою визначення вихідних даних (гіпотез, вибору варіюють факторів);

- створення умов, в яких можливо експериментування (підбір об'єктів для впливу, усунення впливу випадкових факторів);

- визначення меж вимірювань;

- систематичне спостереження за ходом розвитку досліджуваного явища і точні описи фактів;

- проведення систематичної реєстрації вимірювань і оцінок фактів різними засобами і способами;

- створення ситуацій, що повторюються, перехресних впливів, зміна їх характеру і умов;

- створення ускладнених ситуацій з метою підтвердження або спростування раніше отриманих даних;

- перехід від емпіричного вивчення до логічних узагальнень, до аналізу і теоретичної обробці отриманого фактичного матеріалу.

Перед кожним експериментом складається його план, який включає:

- мету і завдання експерименту;

- вибір варійованих факторів;

- обґрунтування обсягу експерименту, числа дослідів; порядок реалізації дослідів;

- визначення послідовності зміни чинників;

- вибір кроку зміни чинників, завдання інтервалів між майбутніми експериментальними точками;

- обґрунтування засобів вимірювань;

- опис проведення експерименту;

- обґрунтування способів обробки і аналізу результатів експерименту.

Важливе місце в експериментальних дослідженнях займають вимірювання.

Вимірювання - це знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів. Суть вимірювання складає порівняння вимірюваної величини з відомою величиною, прийнятої за одиницю (еталон).

Теорією і практикою вимірювань займається метрологія - наука про вимірювання, методи і засоби забезпечення їх єдності та способи досягнення необхідної точності. До основних проблем метрології відносяться:

- загальна теорія вимірювань;

- одиниці фізичних величин і їх системи;

- методи і засоби вимірювань;

- методи визначення точності вимірювань;

- основи забезпечення єдності вимірювань.

Найважливіше значення в метрології відводяться стандартам і зразковим засобам вимірювань.

Важливим розділом методики є вибір методів обробки і аналізу експериментальних даних. Обробка даних зводиться до систематизації всіх цифр, класифікації та аналізу. Результати експериментів повинні бути зведені в таблиці, графіки, формули, номограми, що дозволяють швидко і якісно зіставляти і аналізувати отримані результати. Всі змінні повинні бути оцінені в єдиній системі одиниць фізичних величин.

Особлива увага в методиці повинна бути приділена математичним методам обробки і аналізу даних, наприклад, встановлення емпіричних залежностей, апроксимації зв'язків між варьйованими характеристиками, встановленню критеріїв і довірчих інтервалів та ін. Діапазон чутливості (нечутливості) критеріїв повинен бути стабілізований (експлікований).

На обсяг і трудомісткість проведення експериментальних робіт істотно впливає вид експерименту. Наприклад, натурні та польові експерименти, як правило, завжди трудомісткі, що слід враховувати при плануванні.

Планування експерименту

При розробці плану-програми експерименту завжди необхідно прагнути до його спрощення без втрати точності і достовірності.

Планування експерименту включає ряд етапів.

1. Встановлення мети експерименту (визначення характеристик, властивостей і т. п.) І його виду (визначальні, контрольні, порівняльні, дослідницькі).

2. Уточнення умов проведення експерименту (наявне або доступне обладнання, терміни робіт, фінансові ресурси, чисельність і кадровий склад працівників і т. П.). Вибір виду випробувань (нормальні, прискорені, скорочені в умовах лабораторії, на стенді, полігонні, натурні або експлуатаційні).

3. Виявлення і вибір вхідних та вихідних параметрів на основі збору і аналізу попередньої (апріорної) інформації. Вхідні параметри (фактори) можуть бути детермінованими, тобто реєструється і керованими (залежними від спостерігача), і випадковими, тобто реєструється, але некерованими. Поряд з ними на стан досліджуваного об'єкта можуть впливати незареєстровані і некеровані параметри, які вносять систематичну або випадкову похибку в результати вимірювань. Це - помилки вимірювального обладнання, зміна властивостей досліджуваного об'єкта в період експерименту, наприклад, через старіння матеріалу або його зносу, вплив персоналу і т.д.

4. Встановлення потрібної точності результатів вимірювань (вихідних параметрів), області можливої зміни вхідних параметрів, уточнення видів впливів. Вибирається вид зразків або досліджуваних об'єктів, враховуючи ступінь їх відповідності реальному виробу станом, влаштуванню, формою, розмірами та іншими характеристиками.

На призначення ступеня точності впливають умови виготовлення і експлуатації об'єкта, при створенні якого будуть використовуватися ці експериментальні дані. Умови виготовлення, тобто можливості виробництва, обмежують найвищу реально досяжну точність. Умови експлуатації, тобто умови забезпечення нормальної роботи об'єкта, визначають мінімальні вимоги до точності.

Точність експериментальних даних також істотно залежить від обсягу (кількості) випробувань - чим випробувань більше, тим (при тих же умовах) вище достовірність результатів.

Для ряду випадків (при невеликому числі факторів і відомому законі їх розподілу) можна заздалегідь розрахувати мінімально необхідну кількість випробувань, проведення яких дозволить отримати результати з необхідною точністю.

5. Складання плану і проведення експерименту - кількість і порядок випробувань, спосіб збору, зберігання і документування даних.

Порядок проведення випробувань важливий, якщо вхідні параметри (фактори) при дослідженні одного і того ж об'єкта протягом одного досвіду приймають різні значення. Наприклад, при випробуванні на втому при ступінчастому зміні рівня навантаження межа витривалості залежить від послідовності навантаження, так як по-різному йде накопичення пошкоджень, і, отже, буде різна величина межі витривалості.

У ряді випадків, коли систематично діючі параметри складно врахувати і проконтролювати, їх перетворюють в випадкові, спеціально передбачаючи випадковий порядок проведення випробувань (рандомізація експерименту). Це дозволяє застосовувати до аналізу результатів методи математичної теорії статистики.

Порядок випробувань також важливий в процесі пошукових досліджень: в залежності від обраної послідовності дій при експериментальному пошуку оптимального співвідношення параметрів об'єкта або якогось процесу може знадобитися більше або менше дослідів. Ці експериментальні завдання подібні математичним завданням чисельного пошуку оптимальних рішень. Найбільш добре розроблені методи одновимірного пошуку (однофакторні однокритеріальні завдання)

Весь комплекс дій з планування експерименту поділяють на дві самостійні функціональні частини:

* стратегічне планування;

* тактичне планування.

Стратегічне планування - розробка умов проведення експерименту, визначення режимів, які забезпечують найбільшу інформативність експерименту.

Тактичне планування забезпечує досягнення заданих точності і достовірності результатів.

6. Статистична обробка результатів експерименту, побудова математичної моделі поведінки досліджуваних характеристик.

Необхідність обробки викликана тим, що вибірковий аналіз окремих даних, поза зв'язком з іншими результатами, або ж некоректна їх обробка можуть не тільки знизити цінність практичних рекомендацій, а й призвести до помилкових висновків. Обробка результатів включає:

- визначення довірчого інтервалу середнього значення і дисперсії (або середнього квадратичного відхилення) величин вихідних параметрів (експериментальних даних) для заданої статистичної надійності;

- перевірка на відсутність помилкових значень (викидів), з метою виключення сумнівних результатів з подальшого аналізу. Проводиться на відповідність одному зі спеціальних критеріїв, вибір якого залежить від закону розподілу випадкової величини та виду викиду;

- перевірка відповідності дослідних даних раніше апріорно введеному закону розподілу. Залежно від цього підтверджуються обраний план експерименту і методи обробки результатів, уточнюється вибір математичної моделі.

Побудова математичної моделі виконується у випадках, коли повинні бути отримані кількісні характеристики взаємопов'язаних вхідних і вихідних досліджуваних параметрів. Це - завдання апроксимації, тобто вибору математичної залежності, яка найкраще відповідає експериментальним даним. Для цих цілей застосовують регресивні моделі, які засновані на розкладанні шуканої функції в ряд з утриманням одного (лінійна залежність, лінія регресії) або декількох (нелінійні залежності) членів розкладання (ряди Фур'є, Тейлора). Одним з методів підбору лінії регресії є широко поширений метод найменших квадратів.

Для оцінки ступеня взаємозв'язку факторів або вихідних параметрів проводять кореляційний аналіз результатів випробувань. В якості оцінки взаємозв'язку використовують коефіцієнт кореляції: для незалежних або нелінійно залежних випадкових величин він дорівнює або близький до нуля, а його близькість до одиниці свідчить про повний взаємозв'язок величин і наявність між ними лінійної залежності.

При обробці або використанні експериментальних даних, представлених в табличному вигляді, виникає потреба отримання проміжних значень. Для цього застосовують методи лінійної та нелінійної (поліноміальної) інтерполяції (визначення проміжних значень) і екстраполяції (визначення значень, що лежать поза інтервалом зміни даних).

7. Пояснення отриманих результатів та формулювання рекомендацій по їх використанню, уточненню методики проведення експерименту.

Елементи стратегічного планування експериментів

Формування стратегічного плану виконується в так званому факторному просторі.

Факторний простір - це множина зовнішніх і внутрішніх параметрів, значення яких дослідник може контролювати в ході підготовки і проведення експерименту.

Об'єктами стратегічного планування є:

* вихідні змінні (відгуки, реакції, екзогенні змінні);

* вхідні змінні (фактори, ендогенні змінні);

* рівні факторів.

Математичні методи планування експерименту засновані на так званому кібернетичному поданні процесу проведення експерименту (рис. 6.1), де:

- вхідні змінні, фактори;

- вихідна змінна (реакція, відгук);

- похибка, перешкода, обумовлена впливом випадкових факторів;

- оператор, що моделює дії реальної системи та визначає залежність між вихідною змінною та факторами . Інакше: - модель процесу, що протікає в системі.



Рис. 6.1. Кібернетичне представлення експерименту

Першою проблемою, що розв'язується при стратегічному плануванні, є вибір відгуку (реакції), тобто визначення, які величини потрібно вимірювати під час експерименту, щоб отримати шукані відповіді. Природно, вибір відгуку залежить від мети дослідження.

Наприклад, при моделюванні інформаційно-пошукової системи може цікавити дослідника час відповіді системи на запит. Але може цікавити такий показник як максимальне число обслужених запитів за інтервал часу. А може, те й інше. Вимірюваних відгуків може бути багато: . Надалі будемо говорити про один відгук .

Другою проблемою стратегічного планування є вибір (визначення) істотних факторів і їх поєднань, що впливають на роботу об'єкта, що моделюється. Факторами можуть бути напруги, температура, вологість, ритмічність поставок комплектуючих і багато іншого. Зазвичай число факторів велике і чим менше ми знайомі з системою, що моделюється, тим більше, нам здається, число їх впливає на роботу системи. У теорії систем наводиться так званий принцип Парето:

* 20% чинників визначають 80% властивостей системи;

* 80% чинників визначають 20% властивостей системи. Отже, треба вміти виділяти суттєві чинники. А це досягається досить глибоким вивченням модельованого об'єкта і протікають в ньому процесів.

Фактори можуть бути кількісними та (або) якісними.

Кількісні фактори - це ті, значення яких числа. Наприклад, інтенсивності вхідних потоків і потоків обслуговування, ємність буфера, число каналів в СМО, частка браку при виготовленні деталей і ін.

Якісні фактори - дисципліни обслуговування (LIFO, FIFO і ін.) В СМО, «біла збірка», «жовта збірка» радіоелектронної апаратури, кваліфікація персоналу і т. п.

Фактор повинен бути керованим. Керованість фактора - це можливість установки і підтримки значення фактора постійним або постійно змінюваних відповідно до плану експерименту. Можливі й некеровані фактори, наприклад, вплив зовнішнього середовища.

До сукупності факторів, що впливають пред'являються дві основні вимоги:

* сумісність;

* незалежність.

Сумісність факторів означає, що всі комбінації значень факторів здійсненні.

Незалежність факторів визначає можливість встановлення значення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів.

У стратегічних планах фактори позначають латинською буквою , де індекс вказує номер (тип) фактора. Зустрічаються і такі позначення факторів: A, B, C і т.д.

Третьою проблемою стратегічного планування є вибір значень кожного фактора, званих рівнями фактора.

Число рівнів може бути два, три і більше. Наприклад, якщо в якості одного з факторів виступає температура, то рівнями можуть бути: 80^o С, 100^o С, 120^o С.

Для зручності і, отже, здешевлення експерименту число рівнів слід вибирати менше, але достатня для задоволення точності і достовірності експерименту. Мінімальна кількість рівнів - два.

З точки зору зручності планування експерименту доцільно встановлювати однакове число рівнів у всіх чинників. Таке планування називають симетричним.

Аналіз даних експерименту істотно спрощується, якщо призначити рівні факторів, рівновіддалені один від одного. Такий план називається ортогональним. Ортогональність плану зазвичай досягають так: дві крайні точки області зміни фактора вибирають як два рівня, а інші рівні розташовують так, щоб вони ділили отриманий відрізок на дві частини.

Наприклад, діапазон напруги живлення 30… 50 В на п'ять рівнів буде розбитий так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В.

Види стратегічних планів. Стандартні плани

Багато планів експериментів в даний час стандартизовані. Вони є в довідниках, математичних пакетах програм і системах моделювання. Однак дослідник повинен бути готовий до модифікації наявних планів і пристосування їх до специфічних умов конкретних завдань.

1. Повним факторним експериментом (ПФЕ) називається експеримент, в якому реалізуються всі поєднання рівнів всіх факторів. План ПФЕ гранично інформативний, але він може зажадати неприйнятних витрат ресурсів.

Якщо відволіктися від комп'ютерної реалізації плану експерименту, то число вимірів відгуків (реакцій) моделі при ПФЕ дорівнює:

де - число рівнів i_го фактора, ; - число факторів експерименту.

Величина визначає структуру стратегічного плану, тобто кількість спостережень (інформаційних точок).

При машинній реалізації ПФЕ в кожному спостереженні (інформаційній точці) потрібно виконати певне число прогонів (реалізацій) моделі, щоб забезпечити задану точність і достовірність значень відгуків. Визначення числа прогонів моделі є предметом тактичного планування.

Позначимо число прогонів в кожному спостереженні . Тоді для симетричного ПФЕ загальне число необхідних прогонів моделі дорівнює: .

Приклад. Планується провести комп'ютерний експеримент, в якому на відгук моделі впливають три фактори. Для кожного фактора встановлено три рівні. Вимоги по точності і достовірності вимагають 6000 прогонів моделі на кожному рівні (для кожного спостереження). Час одного прогону моделі дорівнює 2 с.

Оцінити витрати часу на проведення комп'ютерного експерименту.

Розв'язок. Початкові дані: , , , хв.

Кількість прогонів: .

Витрати часу: год.

ПФЕ самий інформативний план, зрозумілий по структурі, але і самий неекономічний. Тому ПФЕ застосовують, коли число факторів невелике. Тому актуальною стає проблема більш-менш обґрунтованого скорочення плану експерименту (числа спостережень). Способів скорочення плану і, отже, зменшення витрат часу на проведення експериментів, багато, але всі вони, в кінцевому рахунку, засновані на зневазі ефектами парних, потрійних і більш взаємодій чинників. Природно, це знижує точність моделювання, але в багатьох випадках це допустимо.

2. Напіврепліки. Розглянемо приклад.

Приклад. Необхідно провести експеримент з моделлю, що має три дворівневих фактора, з метою побудови математичної моделі («вторинної моделі») процесу у вигляді:

Рівняння має вісім коефіцієнтів, отже, досить провести вісім спостережень. Це рівняння відповідає ПФЕ типу .

Повний факторний експеримент дає можливість визначити не тільки коефіцієнти , , відповідні так званим лінійним ефектам (їх також називають головними), але і коефіцієнти, які відповідають усім ефектам взаємодії чинників , , , , а також вільний член .

Ефекти взаємодії двох і більше факторів проявляються, якщо вплив кожного з них на відгук залежить від рівнів, на яких встановлені інші фактори.

Тепер припустимо, що число спостережень в експерименті, рівне восьми, неприйнятно і план треба скоротити. Цілком природно припустити, що ефекти взаємодії чинників надають на реакцію системи істотно менший вплив, ніж лінійні, або навіть відсутні зовсім, якщо чинники мають властивість незалежності.

Виключимо їх і тоді модель процесу (рівняння відгуку, рівняння реакції, «вторинна модель») набирає вигляду:

.

Тепер число невідомих коефіцієнтів скоротилося вдвічі і число необхідних спостережень для їх визначення стало дорівнювати чотирьом.

Що це за спостереження?

Чотири спостереження достатні для проведення ПФЕ при двох факторній моделі . Цими факторами, наприклад, можуть бути , або інша двофакторна комбінація з трьох чинників.

Рівні третього фактора отримують з перших двох з допомогою, так званого генеруючого співвідношення:

Оскільки фактори дворівневі, то в загальному вигляді рівні прийнято позначати так:

* верхній рівень: +1;

* нижній рівень: -1.

Новий, скорочений план експерименту називають напіврепліки і позначають План наведено в табл. 6.1.

Одиничний стовпець забезпечує обчислення вільного члена в моделі процесу.

Таблиця 6.1

План ПФT
№	План ПФT	Відгук
1	1	-1	-1	+1
2	1	+1	-1	-1
3	1	-1	+1	-1
4	1	+1	+1	+1

Таким же чином можна проводити подальше скорочення планів типу отримуючи чверть репліки і більш дрібні репліки.

Природно, таке скорочення числа експериментів призводить до «огрубіння» коефіцієнтів . Отже, отриману модель процесу потрібно перевіряти на адекватність, використовуючи для цього «зекономлені» спостереження.

Розглянуте планування є основою і складовою частиною для розробки більш складних - несиметричних багаторівневих планів.

Не менш часто метою експериментів є перевірка різного роду гіпотез про природу порівнюваних об'єктів. Наприклад, однорідні чи виходи двох систем в сенсі законів розподілу, характеристик цих законів. Оскільки обробка даних експерименту ведеться методами дисперсійного аналізу, то і плани в даному випадку називаються планами дисперсійного аналізу. Сутність дисперсійного аналізу ми розглянемо в наступній темі.

Плани дисперсійного аналізу можуть бути повні, якщо використовуються всі можливі поєднання умов (аналогічно ПФЕ), і неповні, які застосовуються тоді, коли повні плани виявляються громіздкими і неекономічними. Скорочення планів відбувається, як і раніше, за рахунок виключення деяких поєднань чинників (взаємодій) і рівнів випадковим або традиційним чином.

3. Латинський квадрат. Найбільш популярним з неповних планів є симетричний план «латинський квадрат» або його варіації. Цей план доцільно застосовувати, коли з усіх істотних факторів можна виділити один домінуючий (найістотніший).

У планах дисперсійного аналізу часто фактори позначають латинськими буквами A, B, C, а рівні - індексами при відповідних факторах: , , .

Приклад. Побудувати план «латинський квадрат» симетричного трифакторного чотирирівневого експерименту. Домінуючий фактор А.

Розв'язок.

Початкові дані: , .

Введемо позначення чинників і рівнів:

- рівні домінуючого фактора;

- рівні фактора ;

- рівні фактора .

План наведено в табл. 6.2.

Таблиця 6.2. План «латинський квадрат»

Рівні	Рівні

В цьому плані число спостережень . У повному плані їх було б Скорочення відбулося за рахунок виключення деяких комбінацій: , і ін.

Зауважимо, що план може бути і несиметричним. У цьому випадку замість квадрата буде прямокутник. І ще: виділення домінуючого фактора не є істотним, тобто, всередині квадрата можна розташовувати рівні будь-якого з діючих факторів.

У практиці планування експериментів зустрічаються і такі неповні плани: один з факторів змінює свої значення при фіксованих значеннях інших. Тобто досліджується по черзі вплив кожного фактора окремо.

Маємо приклади застосування та так звані рандомізовані плани. В таких планах поєднання чинників і рівнів для кожного прогону моделі вибираються випадково. Вид випадковості і обсяг вибірки визначається дослідником.

Формальний підхід до скорочення загального числа прогонів

Розглянуті способи скорочення загального числа прогонів носять евристичний (суб'єктивний) характер. Вони здійснювалися за рахунок виключення якихось комбінацій рівнів факторів.

Однак у багатьох випадках дослідник має свободу дій у виборі числа факторів числа рівнів і числа прогонів моделі в одному спостереженні. Кожен з цих аргументів в конкретній ситуації по-різному впливає на загальне число прогонів моделі .

Дослідимо ці впливи.

Як нам вже відомо, загальне число прогонів (реалізацій) моделі дорівнює: .

Розглянемо відносний вплив аргументів ,, на число реалізацій .

Спочатку потрібно отримати вирази для обчислення швидкостей зміни функції при зміні одного аргументу і незмінних інших аргументах. Для цього послідовно знайдемо приватні похідні першого порядку від функції по цих аргументах:

, , . (1)

Тепер порівняємо попарно отримані похідні:

1., 2. , 3. (2)

Із співвідношень 1 та 2 випливає: якщо i , то найбільший вплив на значення має змінна числа кількості рівнів .

Із співвідношень 1 та 3 випливає: якщо i , то найбільший вплив на значення має змінна числа кількості факторів.

Із співвідношень 2 та 3 випливає: якщо i , то найбільший вплив на значення має змінна числа реалізацій моделі на кожному рівні факторів .

Розглянутий формальний підхід до скорочення числа реалізацій не зовсім коректний, тому що функція загального числа прогонів носить не неперервний, а дискретний характер. Проте, такий підхід застосовується з наступним округленням результатів до цілих чисел.

Покажемо застосування формального підходу скорочення реалізацій на прикладі.

Приклад. На вхід моделі об'єкта діють чотири трирівневих фактора (, ). В кожному спостереженні передбачаються вісім прогонів моделі (). Повний факторний експеримент потребуватиме прогонів або 81 спостереження. Такі витрати ресурсів неприйнятні.

Потрібно визначити, який з аргументів слід зменшити, щоб досягти найбільш істотного зменшення числа реалізацій .

Розв'язок.

Підготуємо дані для порівнянь:

; ; .

Виконується умова:

.

Отже, найбільший вплив на зміну надає зміна числа рівнів .

Зменшимо на одиницю: . В цьому випадку при ПФЕ потрібно виконати прогонів або 16 спостережень, тобто в п'ять разів менше.

Варіювання факторів на двох рівнях зустрічається часто і рішення буде прийнятно, якщо немає обставин, які не влаштовують це рішення.

Елементи тактичного планування

Основним завданням тактичного планування є забезпечення результатами комп'ютерного експерименту заданих точності і достовірності.

Розглянемо випадок, коли імітаційна модель будується для визначення характеристик деяких випадкових величин.

Такими випадковими величинами можуть бути:

* час обслуговування заявки в СМО;

* кількість протиборчих сторін;

* витрата ресурсів;

* час напрацювання на відмову технічного пристрою і ін.

З характеристик випадкових величин, як правило, цікавлять середнє значення (мат. очікування), дисперсія і характеристика зв'язку випадкових величин - коефіцієнт кореляції.

Характеристику випадкової величини позначають грецькою літерою .

За допомогою імітаційного моделювання точне значення визначити не можна, так як число реалізацій моделі скінченне. При кінцевому числі реалізацій моделі визначається наближене значення характеристики .

Наближене значення називають оцінкою відповідної характеристики: оцінкою мат. очікування, оцінкою дисперсії, оцінкою коефіцієнта кореляції.

Точністю характеристики називають величину у відношенні

де - мат. очікування випадкової величини.

Величина являє собою абсолютне значення помилки у визначенні значення шуканої характеристики.

Достовірність оцінки характеристики називають імовірність того, що задана точність досягається:

.

Достовірність характеризує повторюваність, стійкість експерименту і трактується так: якщо для оцінки використовувати величину то в середньому на кожні 1000 застосувань цього правила в випадків величина буде відрізнятися від на величину менше.

У ряді випадків доцільно користуватися поняттям відносної точності:

В цьому випадку вірогідність оцінки має вигляд:

.

Точність і кількість реалізацій моделі при визначенні середніх значень параметрів. Знайдемо функціональний зв'язок точності і достовірності з кількістю реалізацій моделі, коли в якості показників ефективності виступають мат. очікування і дисперсія деякої випадкової величини (часу, відстані і т. п.).

Визначення оцінки мат. очікування. Знайдемо шуканий зв'язок для випадку, коли метою експерименту є визначення оцінки мат. очікування деякої випадкової величини.

У прогонах моделі отримані незалежні значення даного показника ефективності: ,…, ,…,. В якості оцінки мат. очікування візьмемо вибіркове середнє (середнє арифметичне):

.

Згідно центральній граничній теоремі, якщо значення незалежні і мають кінцеві дисперсії одного порядку, то при великому числі доданків випадкова величина має практично нормальний розподіл з мат. очікуванням і дисперсією відповідно:

, , ,

де - дисперсія шуканої випадкової величини .

Отже справедливо:

,

де - інтервал ймовірності.

Іноді під інтегралом ймовірності розуміють дещо інше вираз, тому доцільно користуватися інтегралом Лапласа, який пов'язаний з інтегралом ймовірності, так: , - інтеграл Лапласа. З наведеного випливає:

.

, . (1)

Інтеграл Лапласа табульований, отже, задаючись значенням достовірності , визначається аргумент . Отже, шуканий зв'язок між точністю , достовірністю і числом реалізацій моделі отримана:

,

Звідси випливає:

* збільшення точності на порядок (зменшення помилки) вимагатиме збільшення числа реалізацій на два порядки;

* число необхідних реалізацій моделі не залежить від величини шуканого параметра , а від дисперсії .

Достовірність результату вказана значенням аргументу функції Лапласа . Зв'язок значення з знаходиться з таблиці значень функції (інтеграла) Лапласа (табл. 6.3).

Таблиця 6.3.

Фрагмент таблиці функції (інтеграла) Лапласа
	0.8	0.85	0.9	0.95	0.99	0.995	0.999
	1.28	1.44	1.65	1.96	2.58	2.81	3.30

Щоб користуватися формулами (1), потрібно знати дисперсію . Дуже рідкісні випадки, коли значення дисперсії відоме з експерименту, тому можливі два способи попереднього визначення дисперсії.

Перший спосіб. Іноді заздалегідь відомий розмах значень шуканої випадкової величини:

.

У припущенні нормального розподілу випадкової величини , можна з використанням «правила трьох сигм» отримати наближену оцінку :

, , .

Другий спосіб. Треба скористатися оцінкою дисперсії. Для цього необхідно виконати попередній прогін моделі в кількості реалізацій . З використанням отриманого ряду , , знайдемо оцінку дисперсії:

, .

Тут - середньоарифметичне значення за вимірюваннями . І в цьому випадку:

, .

Обчислену дисперсію підставимо в формулу для визначення . Якщо виявиться , то моделювання повинно бути продовжено до виконання реалізацій . Якщо ж , то моделювання закінчується. Необхідна точність оцінки випадкової величини (шуканого показника ефективності) при заданій достовірності досягнута.

Якщо в технічних умовах задана відносна точність :

, .

Значення визначається на підставі прогонів моделі. Всі подальші розрахунки аналогічні щойно розглянутим аналітичним виразам.

Вищенаведені міркування і вирази були справедливі в припущенні нормального закону розподілу випадкової величини . Якщо в цьому є сумнів, то для визначення зв'язку , , і можна скористатися нерівністю П.Ф. Чебишева:

З урахуванням напрямку знаків нерівностей отримаємо:

.

Як і в попередніх випадках замість невідомої дисперсії слід використовувати її оцінку , обчислену за даними прогонів моделі . І ще: звернемо увагу, що в даному випадку достовірність бере участь в формулах в явному вигляді.

У цьому випадку замість аргументу функції Лапласа треба використовувати параметр розподілу Стьюдента, значення якого залежать не тільки від рівня достовірності, але і від числа так званих ступенів свободи , - число прогонів моделі. Взагалі-то, при розподіл Стьюдента прямує до нормального розподілу, але при малому числі прогонів моделі помітно відрізняється від .

Для практичних цілей значення можна взяти з табл. 6.4.

З табл. 6.4 видно, що при значенні і практично збігаються, але при менших значеннях користуються величиною .