Курс лекций по теоретической механике

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Учебное пособие

Курс лекций по теоретической механике

Часть III Механодинамика

Канарёв Ф.М.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Механодинамика. Введение

1.1 Общие сведения о механодинамике

1.2 Классификация движений и последовательность решения задач механодинамики

2. Законы механодинамики

2.1 Основной закон механодинамики

2.2 Главный принцип механодинамики

2.3 Первый закон механодинамики

2.4 Второй закон механодинамики

2.5 Третий закон механодинамики

2.6 Четвёртый закон механодинамики

2.7 Пятый закон механодинамики

3. Механодинамика криволинейного движения материальной точки

3.1 Механодинамика ускоренного движения материальной точки

3.2 Механодинамика равномерного движения материальной точки

3.3 Механодинамика замедленного движения материальной точки

4. Сложное движение материальной точки

5. Колебательное движение материальной точки

5.1 Свободные колебания

5.2 Затухающие колебания

5.3 Вынужденные колебания. Резонанс

6. Общие теоремы механодинамики

6.1 О количестве движения точки

6.2 Теорема об изменении количества движения материальной точки

6.3 Ударная сила

6.4 Момент количества движения материальной точки

6.5 Теорема моментов относительно центра

6.6 Закон сохранения момента количества движения (кинетического момента)

7. Приложение общих теорем механодинамики к теории удара

7.1 Основные определения

7.2 Общие теоремы удара

7.3 Теорема об изменении главного момента количества движения при ударе

7.4 Частные случаи удара

7.5 Удар по вращающемуся телу

8. Работа, мощность, энергия

8.1 Работа силы

8.2 Мощность

8.3 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

8.4 Потенциальное силовое поле

8.5 Понятие о потенциальной энергии

8.6 Закон сохранения энергии

8.7 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении

8.8 Примеры гравитационных задач

9. Механодинамика механической системы

9.1 Масса системы. Центр масс

9.2 Момент инерции тела относительно оси

9.3 Моменты инерции некоторых однородных тел

9.4 Момент инерции тел относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)

9.5 Физический маятник

9.6 Экспериментальное определение момента инерции тел

9.7 Вращательное движение твёрдого тела и механической системы

9.8 Дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы

9.9 Количество движения механической системы

9.10Теорема об изменении количества движения механической системы

9.11 Закон сохранения количества движения механической системы

9.12 Главный момент количества движения механической системы

9.13 Теорема об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов)

9.14 Теорема моментов относительно центра масс

9.15 Закон сохранения главного момента количества движения

9.16 Кинетическая энергия системы

9.17 Кинетическая энергия тела при разных видах его движения

9.18. Теорема об изменении кинетической энергии системы

9.19. Приложение общих теорем динамики к динамике твердого тела

10. Работа законов механодинамики в микромире

10.1 Теория электрона

11. Принципы механики

11.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

11.2 Порядок решения задач с использованием принципа возможных перемещений

12. Общее уравнение механодинамики

13. Метод обобщенных координат

13.1 Понятия об обобщённых координатах

13.2 Обобщенные силы

13.3 Обобщённые силы в потенциальном поле

13.4 Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа II рода)

13.5 Случай потенциальных сил

13.6 Последовательность решения задач с помощью уравнений Лагранжа II рода

14. Элементы теории гироскопических явлений

14.1 Общие сведения о гироскопах

14.2 Действие силы на ось гироскопа

14.3 Регулярная прецессия тяжелого гироскопа

14.4 Гироскопический момент

Литература

1. Механодинамика. Введение

1.1 Общие сведения о механодинамике

Понятие «Динамика» родилось давно и уже получило различные приставки, которые ограничивают смысл, заложенный в этом понятии, и таким образом конкретнее отражают суть описываемых явлений и процессов. Например, давно используются понятия «Электродинамика», «Гидродинамика» и «Аэродинамика». В результате возникает необходимость выделить динамику, описывающую только механику твёрдых тел. С учётом этого вводим понятие «», в которое закладывается смысл динамики механических движений твёрдых тел, которые описывались до этого понятием «Динамика».

Механодинамика - раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением материальных точек и тел, и силами, действующими на них.

Основные модели реальных объектов в механодинамике - материальная точка и абсолютно твердое тело. В качестве материальных точек рассматриваются такие реальные объекты, у которых различиями в движении отдельных точек можно пренебречь. Если же этого сделать нельзя, то движение такого объекта рассматривается, как движение твердого тела.

Абсолютно твердое тело - это совокупность материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Из этого следует, что материальная точка - частный случай твёрдого тела.

Совокупность материальных тел, в которой они не могут двигаться независимо друг от друга, благодаря связям между ними, называется механической системой.

Законы механодинамики базируются на фундаментальных аксиомах Естествознания: пространство и время абсолютны, пространство, материя и время не разделимы. Достоверность аксиом следует из очевидности их утверждений. Достоверность законов механодинамики, которые базируется на аксиомах, не очевидна и доказывается экспериментальным путём, поэтому законы механодинамики нельзя считать аксиомами, они - постулаты.

1.2 Классификация движений и последовательность решения задач механодинамики

Начало решения любой задачи механодинамики начинается с установления вида и фазы движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы. Существуют следующие виды движений материальных точек, твёрдых тел и механических систем: прямолинейное, криволинейное, вращательное, плоскопараллельное и сложное движения. Все виды этих движений имеют фазы. Первая фаза - ускоренное движение, вторая - равномерное движение и третья - замедленное движение. В некоторых случаях движение может состоять из двух фаз: ускоренного и замедленного. Например, тело, брошенное в поле силы тяжести вверх, имеет только две фазы движения: ускоренное и замедленное.

После установления вида движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы определяются фазы их движения. При этом надо помнить, что любое движение любого материального объекта начинается с фазы ускоренного движения, поэтому для получения полной достоверной информации о движении любого материального объекта надо начинать с анализа фазы его ускоренного движения. Для этого объект исследования изображается графически, упрощённо и к нему прикладываются векторы всех сил и моментов, действующих на этот объект в фазе его ускоренного движения.

Первыми составляются кинематические уравнения движения объекта в фазе ускоренного движения и при наличии исходных данных определяются скорость и ускорение ускоренно движущегося объекта.

Затем составляются векторные уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в фазе его ускоренного движения. Если для решения задачи необходимо иметь проекции сил и моментов на координатные оси, то составляются уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в проекциях на оси координат.

После этого начинается определение всех остальных механических показателей, характеризующих ускоренное движение объекта.

На практике часто встречаются задачи с фазой ударного действия силы на объект, поэтому фаза движения материального объекта под действием ударной силы также анализируется отдельно.

2. Законы механодинамики

2.1 Основной закон механодинамики

Многовековой опыт использования второго закона Ньютона показал его безупречную достоверность, поэтому у нас есть основания поставить его на первое место и назвать основным законом механодинамики.

Согласно основному закону механодинамики сила , действующая на материальное тело, движущееся с ускорением , всегда равна массе тела, умноженной на ускорение и совпадает с направлением ускорения.

(1)

Чтобы отличать силу , формирующую ускорение, от других сил, назовём её ньютоновской силой. Она всегда совпадает с направлением ускорения , которое она формирует. Все остальные силы являются силами сопротивления движению и формируют не ускорения, а замедления, которые мы обозначаем символом .

2.2 Главный принцип механодинамики

В 1743 г. Даламбер дополнил основной закон Ньютона своим постулатом: в каждый данный момент времени на движущееся тело действует сила инерции, равная произведению массы тела на ускорение его движения . Эта сила направлена противоположно ньютоновской силе (1). С тех пор этот постулат начали называть принципом Даламбера. При этом игнорировался тот факт, что тело ускоренно движет только ньютоновская сила , а все остальные силы, в том числе и сила инерции, тормозят ускоренное движение. Из этого автоматически следует, что модуль силы инерции не равен произведению массы тела на ускорение его движения. Обусловлено это тем, что сила инерции является силой сопротивления ускоренному движению и поэтому наряду с другими силами сопротивления генерирует замедление, а не ускорение. Поскольку ньютоновская сила - единственная движущая сила, то ускорение, генерируемое ею, должно быть равно сумме замедлений, генерируемых всеми силами, тормозящими ускоренное движение, в том числе и - силой инерции.

Изложенное выше следует из эксперимента Галилея, который он провёл в начале 17 века. Суть его показана на рис. 1.

Рис. 1. Современное представление эксперимента Галилея

Если одному металлическому шару предоставить возможность свободно падать на Землю, а второму - опускаться на парашюте, то шар без парашюта, имея меньшее сопротивление воздуха, будет падать на Землю быстрее шара с парашютом. Сила тяжести , приложенная к шару, выполняет роль ньютоновской активной силы (рис. 1, а). Поскольку шар опускается ускоренно, то, согласно принципу Даламбера, на него действует сила инерции, направленная противоположно ньютоновской силе и равная . Кроме этих сил на шар действует ещё сила сопротивления воздуха . Вполне естественно, что у шара с парашютом сила сопротивления воздуха больше и он снижается на Землю медленнее шара без парашюта.

Итак, сила тяжести единственная сила, движущая шар. Движению шара к Земле сопротивляются две силы: сила инерции и сила сопротивления воздуха . Согласно принципу Даламбера в каждый данный момент сумма сил, действующих на ускоренно движущееся тело, равна нулю (рис. 1, а), то есть

. (2)

Странный результат (2). При равенстве ускорений ньютоновской силы и силы инерции сила сопротивления воздуха, действующего на шар, равна нулю . Противоречие очевидное и непонятно почему с ним так долго (более 300 лет) мирились механики и физики-теоретики. Чтобы устранить это противоречие, введём понятие замедление движения, обозначим его символом и будем считать, что модули всех сил сопротивления движению равны произведениям массы материальной точки или тела умноженной на замедления, которые они генерируют. Тогда уравнение (2) запишется так

, (3)

где - замедление, генерируемое силой инерции; - замедление, генерируемое силой сопротивления воздуха.

В общем случае ускорение, генерируемое ньютоновской силой, обозначается символом . Тогда, если на ускоренно движущуюся точку или тело действует несколько сил сопротивления движению, то каждая из них будет генерировать замедление и уравнение (3) принимает вид

. (4)

Таким образом, Даламбер ошибся, утверждая, что сила инерции равна произведению массы материальной точки или тела на ускорение его движения и направлена противоположно действию Ньютоновской силы. Теперь мы видим, что сила инерции при ускоренном движении материальной точки или тела, препятствует их движению и совместно с другими силами сопротивления движению генерирует замедление, которое является частью общей суммы замедлений, генерируемых всеми силами сопротивления движению (4).

А теперь посмотрим на рис. 1, b, где показана суть эксперимента Галилея. Представим, что шар без парашюта и - с парашютом помещены в большой цилиндр, из которого выкачан воздух. Оба они опускаются вниз под действием силы тяжести . (Массу парашюта не учитываем). Аналогичный эксперимент, выполненный Галилеем более 300 лет назад, показал, что тела разной массы и плотности опускаются вниз в трубке с выкаченным воздухом, с одной и той же скоростью. Удивительный эксперимент. Отсутствие сопротивления воздуха оставляет одну силу сопротивления ускоренному движению шара без парашюта и с парашютом - силу инерции . Падение происходит потому, что величина силы тяжести в каждый данный момент превышает величину силы инерции и процесс падения шара без парашюта и с парашютом описывается неравенством

. (5)

Когда действие ньютоновской силы прекращается (), то сила инерции никуда не исчезает. Она меняет своё направление на противоположное и её действие обеспечивает равномерное движение тела, как говорят, по инерции. Математическая модель, описывающая это движение, становится такой

(6)

Из этого автоматически следует ошибочность первого закона Ньютона, утверждающего, что сумма сил, действующих на равномерно движущееся тело, равна нулю. Из такого утверждения также сразу следует нарушение принципа причинности. Тело не может двигаться без причины. Оно всегда движется только под действием приложенной силы.

Изложенная информация убедительно доказывает, необходимость признания ошибочности принципа Даламбера и необходимость использования нового главного принципа механодинамики, который формулируется так: в каждый данный момент времени сумма активных сил, приложенных к телу, и сил сопротивления движению, включая силу инерции, равна нулю. При этом, ньютоновское ускорение всегда равно сумме замедлений, генерируемых силами сопротивления движению, включая и силу инерции.

Изложенная исходная информация о видах движения тел, ньютоновской силе и силе инерции , достаточна для понимания законов механодинамики и применения их для решения практических задач.

2.3 Первый закон механодинамики

Более 300 лет считалось, что ньютоновская сила движет тело, а сумма сил сопротивления препятствует этому движению без участия силы инерции , которая также направлена противоположно движению (рис. 2, b). Чтобы убедиться в ошибочности такого подхода к решению задач механодинамики, рассмотрим подробно ускоренное движение центра масс автомобиля, как материальной точки (рис. 2, b).



Рис. 2. Схема сил, действующих на ускоренно (OA) движущийся автомобиль

Каждый из нас ездил в автомобиле и знает, что при его ускоренном движении сила инерции прижимает нас к спинке сиденья. Из этого следует, что при ускоренном движении автомобиля (рис. 2, b) на него действует ньютоновская сила , генерируемая его двигателем; сила инерции , направленная противоположно ускорению автомобиля и поэтому тормозящая его движение; суммарная сила всех внешних сопротивлений , которая также направлена противоположно движению автомобиля. В результате, согласно новому принципу механодинамики, имеем неоспоримое уравнение сил, действующих на ускоренно движущийся автомобиль (рис. 2, b)

. (7)

Это и есть первый закон механодинамики. Он гласит: ускоренное движение тела происходит под действием ньютоновской активной силы и сил сопротивления движению в виде силы инерции , и механических сил сопротивления, сумма которых в любой момент времени равна нулю (7).

Из нового принципа механодинамики следует, что ньютоновская сила совпадает с направлением ускорения , а силы, тормозящие движение и, таким образом, генерирующие замедление, совпадают с направлениями замедлений , формируемых ими (рис. 2, b). Обозначая замедление, принадлежащее силе инерции, через , а замедление, генерируемое силами механических сопротивлений , через , перепишем уравнение (7) таким образом

. (8)

Нетрудно видеть, что при полном отсутствии механических сил сопротивления (в космосе, например) сила инерции равна ньютоновской силе , но тело движется. Это возможно только при условии, когда ньютоновская сила больше силы инерции, поэтому математическая модель, описывающая движение тела в космосе, должна представляться в виде неравенства

, (9)

Или . (10)

Это и есть условие ускоренного движения тела в космосе при отсутствии сопротивлений. Из этого следует, что истинное инерциальное замедление тела можно определить в условиях, когда нет внешних сопротивлений. Вполне естественно, что специалисты по космической технике владеют методами таких определений и имеют экспериментальную информацию об этом.

Таким образом, величина полного ускорения тела, движущегося ускоренно, равна сумме замедлений, генерируемых силами сопротивления движению

 (11)

В старой динамике считалось, что сила инерции , которая также препятствует ускоренному движению тела, не входит в сумму всех сил сопротивлений . Это и есть главная фундаментальная ошибка ньютоновской динамики, которая оставалась незамеченной 322 года. Сила инерции автоматически входила в суммарную силу механических сопротивлений , но все считали, что её там нет. В результате все экспериментальные коэффициенты механических сопротивлений движению тел оказываются ошибочными.

Из уравнений (8) следует, что сила инерции , действующая на автомобиль при его ускоренном движении, равна

, (12)

а скалярная величина инерциального замедления определится по формуле

. (13)

Величина полного ньютоновского ускорения определяется из кинематического уравнения ускоренного движения тела

. (14)

Если начальная скорость автомобиля , то полное ускорение равно скорости автомобиля в момент перехода его от ускоренного к равномерному движению, делённому на время ускоренного движения

. (15)

В принципе, при решении задач, можно принимать величину скорости , равной величине постоянной скорости () тела при его равномерном движении, наступившем после ускоренного движения. Сумма сил сопротивлений - величина экспериментальная, которую следует определять только при равномерном движении, чтобы исключить из неё силу инерции.

Таким образом, имеются все данные необходимые для определения инерциального замедления и расчёта силы инерции по формуле (13). Из неё следует, что инерциальное замедление зависит от сопротивления среды (13).

Если определяются силы сопротивления движению тела, то делать это надо только при его равномерном движении. Если же сумму сил сопротивления движению тела определять при его ускоренном движении, то, в соответствии с формулой (7), сила инерции , препятствующая ускоренному движению тела, автоматически войдёт в сумму сил сопротивлений движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

2.4 Второй закон механодинамики

Когда автомобиль начинает двигаться равномерно (рис. 3, b), то сила инерции автоматически изменяет своё направление на противоположное и уравнение суммы сил (7), действующих на автомобиль, становится таким

. (16)



Рис. 3. Схема сил, действующих на равномерно движущийся автомобиль

Это и есть второй закон механодинамики - закон равномерного прямолинейного движения тела (бывший первый закон ньютоновской динамики). Он гасит: равномерное движение тела при отсутствии сопротивлений (рис. 3, а, интервал АВ) происходит под действием силы инерции (в космосе, например). Равномерное движение тела при наличии сопротивлений также происходит под действием силы инерции , а постоянная активная сила преодолевает силы сопротивления движению (рис. 3, b).

Таким образом, суть второго закона механодинамики заключается в том, что равномерное движение автомобиля (тела) обеспечивает сила инерции , а постоянная сила , генерируемая двигателем автомобиля, преодолевает все внешние сопротивления . Сила постоянна потому, что автомобиль движется равномерно и его ускорение равно нулю .

В космосе, где нет механических сопротивлений движению, не требуется постоянная сила для их преодоления. Поэтому в космосе при переходе тела от ускоренного к равномерному движению, сила инерции меняет своё направление на противоположное и таким образом обеспечивает его равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью (рис. 3, интервал АВ).

А теперь обращаем внимание ещё раз на главную многовековую ошибку механиков. Для этого перепишем уравнение (16) так

. (17)

Это и есть математическая модель второго закона механодинамики (бывшего первого закона динамики). Более 300лет не было математической модели для описания равномерного движения тела. Теперь она есть (16), (17) и мы можем успокоить пилотов. Равномерный полёт их самолёта описывает новый второй закон механодинамики (16). Согласно этому закону сумма сил, действующих на равномерно летящий самолет, не равна нулю (17). Сила, движущая самолёт равномерно, является силой инерции, которая была направлена противоположно его движению, когда он двигался ускоренно (взлетал). Как только самолет начинает лететь равномерно, то сила инерции изменяет своё направление на противоположное и совпадает с силой, генерируемой двигателями самолета. В результате сила инерции начинает обеспечивать равномерный полёт самолета, а силы двигателей самолета - преодолевать силы сопротивления его полету. Таким образом, равномерный полёт самолета управляется новым вторым законом механодинамики (16), согласно которому сумма сил, действующих на него, не равна нолю (17).

2.5 Третий закон механодинамики

Если выключить коробку передач автомобиля, движущегося равномерно (17), то активная сила исчезнет (рис. 3, b) и останутся две противоположно направленные силы: сила инерции и сумма сил механических сопротивлений движению (рис. 4, b). Поскольку сила инерции не имеет источника, поддерживающего её в постоянном состоянии, то она оказывается меньше сил сопротивления движению () и автомобиль, начиная двигаться замедленно (рис. 4, b), останавливается (рис. 4, a, точка С). С учётом этого есть основания назвать силу инерции пассивной силой, которая не может генерировать ускорение, так как сама является следствием его появления.

Рис. 4. Схема сил, действующих на замедленно движущийся автомобиль

Таким образом, надо чётко представлять направленность сил, действующих на автомобиль, при переходе его от равномерного движения к замедленному. Первичная сила инерции (рис. 4, b) не меняет своего направления, а появившееся замедление , генерируемое силами сопротивления движению, оказывается направленным противоположно силе инерции.

Таким образом, если автомобиль переходит от равномерного движения к замедленному, то прежня сила инерции и силы сопротивления движению не меняют своих направлений. Сила инерции не генерирует ускорение, а неравномерность сил сопротивления приводит к постепенному уменьшению силы инерции и тело останавливается.

. (18)

Это и есть математическая модель 3-го Закона механодинамики. Он гласит: замедленное движение твёрдого тела управляется превышением сил сопротивления движению над силой инерции.

Обратим внимание на то, что расстояние движения автомобиля с ускорением меньше расстояния движения с замедлением (рис. 4, a). Обусловлено это тем, что на участке величина сил сопротивлений при разгоне автомобиля больше сил сопротивлений при замедленном движении за счёт того, что при замедленном движении выключен двигатель и коробка передач. Это - главная причина экономии топлива при езде с периодическим выключением передачи.

2.6 Четвёртый закон механодинамики

4-й Закон механодинамики (равенство действия противодействию). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела (рис. 5), всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей центры масс этих тел, в противоположные стороны.

Поскольку , то или

(19).

Рис. 5. Схема контактного взаимодействия двух тел

То есть ускорения, которые сообщают друг другу два тела, обратно пропорциональны их массам. Эти ускорения направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следует особо отметить, что четвёртый закон механодинамики отражает взаимодействие тел, как на расстоянии, так при непосредственном контакте (рис. 5). На рис. 5 показано, что в момент контакта тел A и B силы и их взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению. При этом обе силы и являются силами внешнего воздействия и появляются одновременно. Силы инерции и также равны по величине и противоположны по направлению.

2.7 Пятый закон механодинамики

5-й ЗАКОН механодинамики (независимость действия сил). При одновременном действии на тело или точку нескольких сил сопротивления движению = ньютоновское ускорение материальной точка или тела оказывается равным геометрической сумме замедлений, приходящихся на долю каждой из сил сопротивления движению =. Учитывая, что в уравнении (11) - геометрическая сумма замедлений, приходящихся на долю всех сил сопротивлений =, кроме силы инерции , то есть . Тогда уравнение (11) запишется так

(20)

Это - математическая модель 5-го ЗАКОНА механодинамики. Он гласит: при ускоренном движении твердого тела ньютоновское ускорение, формируемое ньютоновской силой, равно сумме замедлений, формируемых всеми силами сопротивлений движению, в том числе и силой инерции.

Если тело падает в поле силы тяжести Земли, то

 (21)

Масса материального тела равна силе гравитации , деленному на ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности.

В качестве единицы измерения силы в системе единиц СИ принят Ньютон (Н). Один Ньютон - сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение

В технической системе единиц в качестве единицы измерения силы принят 1 кГ, а массы - . Поскольку , то или [1]

Новые знания по механодинамике позволяют точно определить силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формул (17). Если определяются силы сопротивления движению автомобиля экспериментально, то надо выбрать прямолинейный горизонтальный участок дороги, проехать по нему заданное расстояние с заданной постоянной скоростью и измерить расход топлива. Энергия этого топлива будет равна работе силы на зафиксированном участке дороги, которая противодействует всем силам сопротивления движению . Из этого следует, что сила равна сумме сил .

Если же подобный эксперимент проводить при ускоренном движении автомобиля, то, в соответствии с формулой (7), сила инерции , препятствующая ускоренному движению автомобиля, автоматически войдёт в сумму сил сопротивлений и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

Ньютоновская или движущая сила определится по главному закону механодинамики

. (22)

Ньютоновское ускорение удобнее определять в этом случае по формуле (15), а инерциальную составляющую замедления - по формуле (13). Сила инерции определится по формуле (12).

Выводы

1. Все виды движений материальных объектов имеют минимум две фазы движений: ускоренную и замедленную фазу.

2. В Природе и человеческой практике чаще встречаются три фазы движения материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная.

3. В ускоренной фазе движения материального объекта, сила инерции препятствует его движению.

4. В фазе равномерного движения сила инерции направлена в сторону движения и является силой, способствующей равномерному движению объекта.

5. В фазе замедленного движения сила инерции, является главной силой, движущей объект, который постепенно останавливается, так как силы сопротивления движению больше силы инерции.

6. Невозможно составить единую математическую модель, описывающую одновременно все три фазы движения материального объекта.

7. Современный уровень знаний позволяет корректно описать все три фазы движения материального объекта только порознь.

3. Механодинамика криволинейного движения материальной точки

3.1 Механодинамика ускоренного криволинейного движения точки

Криволинейное движение точки описывается обычно в естественной системе координат, имеющей нормальную ось , касательную ось и бинормаль (рис. 7). При этом плоскость называется соприкасающейся плоскостью. Ось перпендикулярна соприкасающейся плоскости. Скорость точки направлена в сторону движения.

Рис. 7. Схема сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и ускоренно

Обратим особое внимание на то, что направления сил, действующих на тело или точку, движущиеся криволинейно (рис. 7) и направления ускорений, генерируемых приложенными силами, зависят от наличия или отсутствия связей и их реакций. Роль связи может выполнять нить, направленная к центру кривизны траектории вдоль нормальной оси , или реакция внешней среды, действующей на точку или тело и таким образом искривляющая её траекторию. Роль такой среды может выполнять воздух, действующий, например, на самолет или вода, действующая на объект, движущийся в воде или по её поверхности.

Отсутствие реакций связей, действующих на криволинейно движущиеся точку или тело или прекращение их действия (обрыв нити) автоматически меняет схему сил, приложенных к такой точке или телу и, как следствие, схему ускорений и замедлений. Поэтому, рассматривая криволинейное движение точки или тела, обязательно надо учитывать наличие связей и их реакций.

Рассмотрим вначале ускоренное криволинейное движение точки при наличии связей и их реакций. Поскольку движение криволинейное, то при наличии связей нормальная составляющая полного ускорения всегда направлена в сторону вогнутости кривой (рис. 7). Направление касательной составляющей полного ускорения зависит от характера криволинейного движения. Если оно ускоренное, то направления касательного ускорения и вектора скорости совпадают (рис. 7).

При ускоренном криволинейном движении на материальную точку действует ньютоновская (движущая сила) , сумма сил сопротивления , направленная противоположно движению, касательная и нормальная составляющие полной силы инерции .

Вектор ньютоновской силы направлен вдоль вектора полного ускорения в сторону вогнутости кривой. Он раскладывается на две составляющие: нормальную и касательную . Поскольку касательная сила инерции направлена противоположно ускорению и генерирует замедление , то нормальная составляющая силы инерции всегда направлена от центра кривизны траектории вдоль радиуса кривизны.Таким образом, уравнение сил, действующих на материальную точку вдоль касательной к криволинейной траектории, запишется так

. (23)

Или, согласно принципу механодинамики можем записать

. (24)

Как видно, уравнения (23) и (24) аналогичны уравнениям сил (7) и (8), действующих на ускоренно движущееся тело при прямолинейном движении. Для решения этого уравнения необходимо знать ускорение и замедление . Чтобы определить их надо знать, прежде всего, уравнение движения точки. В рассматриваемом случае оно задаётся в естественной форме

. (25)

Зная уравнение движения точки (25), находим её скорость

(26)

и касательное ускорение

. (27)

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

, (28)

где - радиус кривизны траектории.

Модуль инерциального замедления можно определить только в том случае, когда будет известна сумма сил сопротивлений , действующих на точку. Величина определяется экспериментально. Зная её, находим замедление , формируемое касательной составляющей силы инерции (рис. 7).

(29)

Из этого уравнения следует, что замедление , приходящееся на долю сил сопротивления , равно

(30)

или

(31)

Таким образом, новые законы механодинамики позволяют корректно описать процесс криволинейного ускоренного движения материальной точки. Приступим к описанию равномерного криволинейного движения точки.

3.2 Механодинамика равномерного криволинейного движения точки

При равномерном криволинейном движении точки касательное ускорение равно нулю, но касательная сила инерции , действовавшая на точку в период, когда она двигалась ускоренно перед переходом к равномерному движению, никуда не исчезает. Она изменяет своё направление на противоположное (рис. 8). В результате сумма касательных сил, действующих на материальную точку, запишется так

. (32)

Напомним, что сумма сил сопротивлений движению точки - величина экспериментальная. Так как скорость криволинейного движения точки в этом случае - величина постоянная , то касательная составляющая её полного ускорения равна нулю и остаётся одно нормальное ускорение , и противоположно направленная центробежная сила инерции (рис. 8).

Физическая суть уравнения (32) заключается в следующем. Движущая касательная сила преодолевает все сопротивления движению , а сила инерции движет точку равномерно.

Рис. 8. Схема сил, действующих на материальную точку при равномерном криволинейном движении

Таким образом, имеется вся информация, необходимая для определения сил, действующих на материальную точку, движущуюся криволинейно и равномерно.

3.3 Механодинамика замедленного криволинейного движения точки

При переходе материальной точки от равномерного к замедленному криволинейному движению касательная составляющая движущей силы исчезает. Остаётся касательная составляющая силы инерции и сумма сил сопротивлений движению, которая генерирует замедление (рис. 9).

Поскольку сумма сил сопротивления движению больше касательной силы инерции , которая не генерирует ускорение, то замедление , соответствующее силе и совпадающее с её направлением, формирует вместе с нормальной составляющей ускорения полное замедление , направленное с левой стороны нормальной оси (рис. 9). Одинаковая размерность ускорения и замедления даёт нам право складывать их геометрически (рис. 9).

При переходе точки к замедленному движению сумма сил сопротивления движению оказывается больше силы инерции и движение точки постепенно замедляется.

Новые знания по механодинамике позволяют определить точно силы сопротивления движению любого тела. Метод определения этих сил следует из формулы (32). Если определяются силы сопротивления движению точки, то делать это надо только при её равномерном движении.

Рис. 9. Схема сил, действующих на точку при её криволинейном замедленном движении

Если же сумму сил сопротивления движению точки определять при её ускоренном движении, то, в соответствии с формулами (23) и (32), сила инерции , препятствующая ускоренному движению точки, автоматически войдёт в сумму сил сопротивления движению и результат определения сил сопротивлений будет полностью ошибочен.

Ньютоновская или движущая сила при криволинейном движении определятся по основному закону Ньютона

. (33)

Полное ньютоновское ускорение , связано с её нормальной и касательной составляющими простой зависимостью

, (34)

поэтому, если известны проекции и ускорения, то это позволяет определить полное ускорение .

Отметим, что если радиус кривизны траектории движения точки постоянен , то всё описанное относится и к движению точки по окружности.

4. Сложное движение материальной точки

Из кинематики известно, что в общем случае абсолютное ускорение точки равно (рис. 10)

(35)

где - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M соответственно (рис. 10).

Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (35) получено без учета массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики сложного движения точки, это уравнение (35) становится неполным, так как не учитывает замедления, генерируемые силами инерции.

С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться силами инерции. Замедления , также как и ускорения, - величины векторные.

Переносное ускорение будет формировать переносную силу инерции , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так .

Относительное ускорение будет формировать относительную силу инерции . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом .

Так как кориолисова сила имеет инерциальную природу, то она тоже формирует замедление , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о том, что кориолисова сила инерции равна произведению массы точки на кориолисово ускорение и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует, что кориолисово ускорение и кориолисово замедление направлены в противоположные стороны.

Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют силы сопротивления, которые также формируют замедление её движению. Обозначим результирующую этих сил так , а результирующее замедление, формируемое силами сопротивления, через . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так

(36)

Рис. 10. Схема к анализу сложного движения точки

Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении, принимает вид

(37)

Из этого следует

(38)

Тогда общее уравнение механодинамики относительного движения материальной точки становится таким

(39)

Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном (38) и относительном (39) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения точки на подвижные оси координат равны:

(40)

и проектируя векторное уравнение (39) на эти оси, имеем:

; (41)

; (42)

. (43)

Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в координатной форме.

Следующий этап - использование этого уравнения для частных случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти случаи.

1 - ускоренные переносное и относительное движения точки;

2 - ускоренное переносное и равномерное относительное движение точки;

3 - ускоренное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;

4 - равномерное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;

5 - равномерное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;

6 - равномерное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;

7 - замедленное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной точки;

8 - замедленное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;

9 - замедленное переносное и замедленное относительное движение материальной точки.

Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением:

1 - подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае и , поэтому в общем виде имеем

(44)

2 - подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно. В этом случае: и , поэтому

; (45)

3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то, очевидно, что , поэтому

; (46)

Пример - 1. Составить уравнения сил, действующих на ползун, движущийся по вращающемуся стержню в горизонтальной плоскости так, как показано на схеме (рис. 11).

Напомним, что вращение стержня называется переносным движением, скорость ползуна в этом движении - переносной скоростью , ускорение - переносным ускорением , сила, вращающая ползун, - переносной силой .

Движение ползуна вдоль стержня называется относительным движением, скорость - относительной скоростью , ускорение - относительным ускорением и сила, движущая ползун вдоль стержня, - относительной силой (рис. 11).

Рис. 11. Схема сил, действующих на ползун М

Прежде чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 11), обратим внимание на жёсткую связь между вращательным (переносным) движением ползуна и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир может менять свою относительную скорость произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная и относительная скорости связаны друг с другом. Такая же жёсткая связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 11).

С учётом изложенного, проведём тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 11) при ускоренном вращении стержня. В этом случае на ползун действуют следующие силы: переносная сила , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону движения и равен нормальной реакции стержня на ползун; сила трения направлена противоположно движению ползуна относительно стержня. Она связана с нормальной реакцией через угол трения и коэффициент трения (). Результирующая сила силы трения и нормальной реакции образуют угол трения .

Решение. Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы отклонится от нормали на угол немного больший угла трения в сторону относительного движения ползуна. Превышение угла отклонения результирующей от угла трения (рис. 11) настолько незначительно, что отклонение результирующей от нормали в момент начала ускоренного движения ползуна можно принимать равным углу трения . Направление абсолютного ускорения , совпадает с направлением вектора результирующей силы .

Вторая составляющая результирующей силы , направленная вдоль оси ОХ, является относительной силой . Эта сила генерирует относительное ускорение . До нашего анализа считалось, что вектор этого ускорения направлен к центру вращения. Поскольку , в данном случае, - движущая сила, то вектор ускорения этой силы совпадает с направлением её действия, то есть вектор ускорения в данном конкретном случае направлен от центра вращения, а не к центру, как считалось до сих пор, поэтому у нас есть основания назвать его относительным центробежным ускорением.

Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения соответствующей коэффициенту трения , который связан с углом трения зависимостью . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения (рис. 11). Как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом .

А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости от нуля до постоянной величины , вторая - увеличением радиуса, равного переменной координате . Так как в этом случае две переменные и , то математическая модель для определения переносного касательного ускорения имеет вид

. (47)

Обратим внимание на то, что составляющие полного переносного ускорения (47) имеют одинаковую размерность и отметим, что математики, физики и механики обычно не пишут размерность радиан, в которой заложен смысл углового перемещения материальной точки. Если размерность радиан опускать, то размерность полного переносного ускорения (47) становится, соответствующей ускорению линейного перемещения материальной точки. Сейчас мы увидим, что нельзя опускать размерность радиан, так как появляется путаница в преставлениях о сути сложного движения материальной точки.

Из формулы (47) следует, что при ускоренном вращении стержня результирующая касательного (переносного) ускорения ползуна состоит из двух составляющих . Первая составляющая - генерируется переменной угловой скоростью , а вторая - переменным радиусом вращения .

Чтобы найти полное относительное ускорение ползуна в момент ускоренного вращения стержня, надо также учесть две переменных величины: переносную угловую скорость и переменный радиус вращения, равный координате . Переменная угловая скорость будет генерировать угловое ускорение . Кроме этого она будет генерировать и переменное ускорение ползуна в относительном движении, направленное, в данном случае, от центра вращения. Поэтому, как мы уже отметили, есть основания назвать его центробежным ускорением.

Теперь надо учесть ту часть относительного ускорения ползуна, которая генерируется меняющейся координатой или переменной относительной скоростью . Она равна . Тогда полное относительное ускорение, при ускоренном вращении стрежня будет равно

(48)

Сразу видна некоторая странность. Размерность первой составляющей полного относительного ускорения , а второй . Из этого следует, что мы не имеем права опускать размерность радиан. В чём суть этого противоречия? Попытаемся поискать его причину. Для этого запишем уравнение изменения угла вращения стержня.

(49)

При переменном вращении стержня переменная угловая скорость этого вращения определится зависимостью

(50)

Теперь надо задать время от начала ускоренного вращения стержня до момента перехода его к равномерному вращению () или угол поворота от начала ускоренного вращения до перехода к равномерному вращению. Примем . Тогда из уравнения (49) имеем

(51)

При таком определении времени ускоренного вращения стержня переносная угловая скорость , входящая в выражение (51), является усреднённой постоянной величиной, но, тем не менее, она отражает время , затраченное на ускоренное вращение ползуна и мы имеем право использовать математическую модель (51) для описания ускоренного вращения стержня и ускоренного относительного движения ползуна. Подставляя этот результат в формулу (50), имеем

(52)

Так будет изменяться угловая скорость , входящая в формулу () для определения ускорения относительного движения ползуна вдоль стержня, в фазе ускоренного вращения стержня. Однако надо учесть и ту часть ускорения, которая возникает в результате увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . В результате математическая модель полного относительного ускорения ползуна при ускоренном вращении стержня принимает вид

. (53)

Как видно, размерности формул (47) и (53) совпадают. Это свидетельствует о правильности определения составляющих полного переносного и полного относительного ускорений движения ползуна при ускоренном вращении стержня.

Таким образом, при ускоренном вращении стержня полное переносное (касательное) ускорение (47) и полное относительное ускорение (53) состоят из двух составляющих, учитывающих ускоренное движение ползуна за счёт увеличения переносной угловой скорости и за счёт увеличения расстояния от центра вращения до ползуна, то есть - координаты .

При равномерном вращении стержня модули обоих ускорений касательного (47) и переносного (53) оказываются одинаковыми и равными .

Так как , то абсолютное ускорение ползуна при равномерном вращении стержня определяется зависимостью

. (54)

Из этого следует математическая модель для результирующей активной силы , действующей на ползун при равномерном вращении стержня.

. (55)

При постоянной угловой скорости переносное касательное ускорение также увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию стержня, которая равна активной переносной силе . Кроме этого, переменная величина формирует переносную силу инерции, направленную противоположно перемещению ползуна и равную проекции результирующей силы инерции на нормаль. Это - кориолисова сила инерции . Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление переносного движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы инерции (рис. 11). Модуль кориолисова замедления равен модулю переносного (касательного) ускорения

. (56)

Обратим внимание на то, что математическая модель бывшего кориолисова ускорения записывается так

. (57)

Это в два раза больше замедления (56). Возникает законный вопрос: какая из математических моделей (56) или (57) точнее отражает реальность? Чтобы получить ответ на этот вопрос надо вернуться к принципу причинности, согласно которому сила первична, а ускорение вторично. Поэтому надо составить уравнения сил, действующих на ползун, и из этих уравнений должен следовать ответ на поставленный вопрос.

При ускоренном движении материальных точек и тел сила инерции направлена противоположно движению и формирует замедление этого движения. Активная же центробежная сила направлена в сторону движения и совпадает с направлением центробежного ускорения, определяемого по формуле .

Согласно принципу механодинамики, в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю, поэтому векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид

. (58)

Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:

; (59)

(60)

Преобразуем уравнение (60) таким образом

(61)

Итак, сумма проекций сил на ось ОУ, действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая равна переносной активной силе , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции стержня на ползун. Это две активные силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно , что полностью совпадает с давно используемым кориолисовым ускорением (57).

Далее, направление вектора суммы ускорений, генерируемых переносной активной силой и нормальной реакции стержня на ползун, совпадает с давно принятым направлением вектора, так называемого, кориолисова ускорения (57). Напомним, что в данном случае направление вектора бывшего кориолисова ускорения (57) определяется поворотом вектора относительной скорости в сторону вращения.