Курс лекций по теоретической механике

, (183)

где - угловое ускорение вращения тела в фазе его ускоренного вращения, оно определяется по формуле

. (184)

Поскольку - угловая скорость вращения ротора, то для определения углового ускорения и инерциального момента необходимо знать время ускоренного вращения ротора. Эта задача решается экспериментально.

Возникает вопрос: нельзя ли использовать инерциальный момент для совершения полезной механической работы? Инженеры многократно пытались сделать устройства для реализации этой идеи, но они оказывались ненадёжными и, как следствие, малоэффективными. Указанная идея получила своё воплощение лишь при импульсном использовании инерциального момента. Оказалось, что если его увеличивать импульсно и после этого разрывать связь вала электродвигателя с валом потребителя механической энергии с помощью обгонной муфты, то существуют режимы работы, при которых уменьшается расход электрической энергии на привод электродвигателя, оборудованного устройством импульсного увеличения инерциального момента (рис. 40).

Если в системе привода электродвигателя установить дисбалансы, то они будут генерировать импульсы моментов сил, которые импульсно увеличивают рабочий момент , равный суммарному моменту всех сопротивлений (рис. 38). Эти импульсы передаются всем вращающимся деталям. В результате импульсно увеличивается и инерциальный момент . Если в этот момент прервать механическую связь между электродвигателем и потребителем механической энергии с помощью обгонной муфты, то потребитель механической энергии будет вращаться некоторое время по инерции, а рабочий момент на валу электродвигателя уменьшится до величины момента его холостого хода (рис. 40). В результате электродвигатель некоторое время будет потреблять из электросети электроэнергию, только на холостой ход (рис. 40, а-b).

Рис. 40. Диаграмма изменения механических моментов вращающегося тела с дисбалансным приводом

Из рис. 40 следует, что наличие инерциального момента при равномерном вращении механической системы позволяет использовать его для экономии энергии подобно тому, как сила инерции равномерно движущегося автомобиля используется для экономии топлива. Для этого надо периодически отключать электродвигатель от нагрузки. Тогда и подача, и потребление электрической энергии будет импульсной. Эту задачу можно решить двумя способами: электрическим и механическим. Рассмотрим механический способ решения этой задачи.

Известно, что пусковой (ньютоновский) момент (рис. 40) при запуске электродвигателя в несколько раз больше рабочего момента . Это обусловлено тем, что пуск электродвигателя - ускоренное вращение, при котором этому процессу препятствуют не только механические и рабочие силы сопротивлений, но и инерциальный момент (рис. 40).

На рис. 40 показаны изменения моментов, вращающих механическую систему при переходе от пускового ускоренного вращения к равномерному вращению. После завершения ускоренного вращения начинается процесс равномерного вращения. Механические и рабочие силы сопротивления вращению, достигнув максимума, сохраняют свои величины, которые формируют постоянный момент механических и рабочих сопротивлений. Инерциальный же момент ведёт себя по другому. При переходе системы к равномерному вращению он меняет свой отрицательный знак на положительный и превращается в инерциальный момент, поддерживающий вращение электродвигателя, его привода и потребителя его механической энергии (рис. 40).

Нетрудно видеть (рис. 40), что инерциальный момент , препятствовавший ускоренному вращению электродвигателя, никуда не исчезает. Он изменяет свое направление на противоположное при переходе к равномерному вращению и после отключения электрической энергии, формирующей рабочий момент , инерциальный момент готов поддержать вращение электродвигателя. Такое вращение называется вращением по инерции.

В момент, когда импульс инерциального момента уменьшается до величины его среднего значения (рис. 40, точки К1, К2, К3…), обгонная муфта вновь включается и рабочий момент электродвигателя увеличится до своей прежней величины.

Итак, в процессе работы электродвигателя с дисбалансным приводом, появляются моменты времени полного освобождения электродвигателя от рабочей нагрузки (рис. 40, зоны 1, 2, 3…) и использование в эти моменты инерциальных импульсов для привода потребителя механической энергии.

Рис. 41. Центробежный усилитель мощности:

1 - электродвигатель; 2 и 3 - дисбалансы; 4 - шестерни, 5 - зубчатое колесо; 6 - неподвижная ось; 7 - обгонная муфта; 8 - подшипник; r - радиус вращения центра масс дисбаланса;

Описанная схема работы электродвигателя с дисбалансным приводом (рис. 41) испытана и запатентована российским изобретателем Линевич Э.И. Она дала положительные экспериментальные результаты по экономии электрической энергии.

А теперь представим математическое описание работы электродвигателя с дисбалансным приводом. Поскольку его работа начинается с ускоренного вращения, то его работа описывается первым законом механодинамики, который формулируется так: ускоренное вращение тела происходит под действием ньютоновского активного пускового момента и моментов сопротивления вращению в виде инерциального момента , и моментов механических сопротивлений. Математическая модель этого закона имеет вид

, (185)

Составляющие этой математической модели рассчитываются следующим образом.

, (186)

- сумма моментов инерции всех вращающихся деталей; - угловое ускорение вращения, которое определяется из формулы

, (187)

 - начальная угловая скорость вращения, которая обычно равна нулю; - угловая скорость равномерного вращения; - время от начала вращения до перехода к равномерному вращению.

Из формулы (187) при , имеем

. (188)

Здесь - количество оборотов в минуту. - сумма моментов инерции всех вращающихся деталей определяется теоретически по специальным формулам, учитывающим массу детали, её геометрию и расположение относительно оси вращения.

Следующая составляющая закона ускоренного вращения - инерциальный момент . Он рассчитывается по формуле

, (189)

где - инерциальное замедление, генерируемое инерциальным моментом ; - сумма всех моментов механических и рабочих сопротивлений, которую можно принимать, с некоторыми допущениями, равной рабочему моменту электродвигателя при установившемся равномерном вращении. Величина инерциального замедления вращения двигателя определяется из формулы (189)

(190)

Таким образом, все составляющие, входящие в закон ускоренного вращения (185), определены. Равномерное вращение электродвигателя и потребителя его механической энергии описывается формулой

. (191)

Из этой математической модели следуют такой вывод. Рабочий момент электродвигателя преодолевает все механические сопротивления , а сумма инерциальных моментов равномерно вращает электродвигатель и потребителя его механической энергии.

Анализ процесса перехода от ускоренного к равномерному вращению показывает более простой метод расчёта инерциального момента . Поскольку он является моментом сопротивления ускоренному вращению вместе с моментом рабочих и механических сопротивлений , то его величина входит в пусковой момент . Далее, если учесть, что при равномерном вращении рабочий момент незначительно превышает момент механических и рабочих сопротивлений , то инерциальный момент можно определять, как разность между пусковым и рабочим моментами, то есть

. (192)

Итак, методики расчёта всех показателей ускоренного и равномерного вращений электродвигателя и потребителя его механической энергии представлены. Следующий этап - расчёт дисбалансного привода.

На рис. 42 показана схема для вывода уравнения импульса инерциального момента, генерируемого дисбалансами и . Обратим внимание на то, что центральная шестерня 1 на валу электродвигателя и две шестерни 2 и 3 с дисбалансами и представляют единую механическую систему, поэтому проекции и центробежных сил инерции , действующих на оба дисбаланса, формируют пары с моментами (рис. 42):

(193)

(194)

Обратим внимание также и на то (рис 42), что в начальный момент способствует вращению вала 1 электродвигателя, поэтому он взят со знаком плюс, а - препятствует вращению, поэтому взят со знаком минус. Закономерность изменения моментов этих пар и будет формировать дополнительное воздействие на вал 1 электродвигателя и потребителя его механической энергии.

Рис. 42. Схема для анализа действия силы инерции на дисбалансы и : R-радиус центральной шестерни 1; r - радиусы дисбалансных шестерён 2 и 3; - радиус дисбалансов и

Анализ показывает, что теоретическая закономерность (195) изменения суммы моментов , как скалярных величин, близка к экспериментальной закономерности (рис. 43, сплошная искажённая синусоида).

(195)

Следует обратить внимание и на то (рис. 43), что положительная амплитуда импульсов моментов центробежных сил инерции дисбалансов и угол поворота вала электродвигателя, формирующий положительную амплитуду, больше отрицательной амплитуды и больше угла , формирующего отрицательную амплитуду импульса. На рис. 40 это отражено схематически импульсным увеличением рабочего момента с вершинами импульсов в точках А1, А2, А,…..

Амплитуда импульса при угле поворота дисбалансов на (рис. 43, сплошная искажённая синусоида) значительно меньше его теоретической величины. Обусловлено это тем, этот импульс соответствует моменту отключения вала электродвигателя от вала потребителя его механической энергии с помощью обгонной муфты. Так, что большая, теоретическая величина импульса передаётся только валу потребителя механической энергии и увеличивает его инерциальный момент .

Рис. 43. Экспериментальный (А) и теоретический (В) максимумы суммы импульсов составляющих и моментов центробежных сил инерции дисбалансов

Анализ представленной теории механодинамики работы дисбалансного привода показывает, что этот привод надо монтировать на корпусе потребителя механической энергии. В этом случае положительная и отрицательная амплитуды импульса окажутся на валу потребителя и большая величина положительной амплитуды импульса усилит вращение потребителя, а вал электродвигателя в этот момент будет отключён от вала потребителя и энергия, потребляемая электродвигателем из сети уменьшится. Из изложенного следует, возможен вариант дисбалансного источника энергии без обгонной муфты, если дисбалансные импульсы согласовать с импульсами нагрузки (рис. 43, b).

9.8 Дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы

Классическим примером движущейся системы является движущийся трактор (рис. 44).

Рис. 44. К составлению дифференциальных уравнений движения системы

Выделим какую-нибудь точку системы с массой . Обозначим равнодействующую всех внешних сил сопротивления через , приложенных к точке а сил инерции - через . Равнодействующую внутренних сил обозначим . Если механическая система движется ускоренно, то её точка имеет ускорение и в соответствии с первым законом механодинамики уравнение её движения будет иметь вид

(196)

Таким образом, можно составить уравнение движения всех точек системы, затем спроектировать их на оси координат и искать решения полученных уравнений. Но такой путь очень сложен и применяется редко. В большинстве случаев при решении задач механодинамики достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не каждой ее точки в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики. При этом необходимо помнить, что центр масс механической системы может двигаться ускоренно, равномерно и замедленно и уравнения его движения будут аналогичны уравнениям движения материальной точки при соответствующих видах движений. Но в отличие от материальной точки на центр масс механической системы будут действовать ещё внутренние силы и их моменты.

Теорема. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Чтобы найти этот закон, составим уравнение движения -той точки системы

, (197)

где - результирующая внешних сил сопротивления; - сила инерции; - внутренняя сила.

Затем сложим по членно левые и правые части полученного уравнения и найдем дифференциальные уравнения движения всех точек механической системы

. (198)

Так как сумма внутренних сил , то

(199)

где = 1, 2, 3,...,n.

После такого сложения сил должны получить общие характеристики системы: массу системы и ускорение ее центра масс. Зафиксируем положение центра масс C системы (рис. 44) с помощью радиуса-вектора , который определяется по формуле

(200)

где - масса всей системы (трактора). Перепишем уравнение (200) так

(201)

Продифференцируем левую и правую части равенства (201) дважды по времени

(202)

Учитывая что , имеем

(203)

где - ускорение центра масс системы. Подставляя результат (203) в формулу (199), получим

(204)

Это уравнение выражает теорему о движении центра масс системы.

Сравнивая полученное уравнение (204) с уравнением движения материальной точки , можем по другому сформулировать теорему.

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы и силы инерции, действующие на систему.

Проектируя обе части уравнения на оси координат, получим:

(205)

Это дифференциальные уравнения движения центра масс системы в проекциях на декартовы оси координат.

Следствия теоремы

1. Если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс.

2. Если тело движется не поступательно, то его движение можно рассматривать как движение материальной точки лишь в том случае, когда для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

3. Из теоремы о движении центра масс имеем, если ньютоновская сила , то и , и

(206)

Из этого следует, что при равномерном движении механической системы сила инерции равна и противоположно направлена сумме сил механического сопротивления движению. Если это равенство выполняется строго, то скорость движения механической системы постоянна . Однако, в реальных условиях обычно и равномерное движение механической системы переходит в замедленное. В космосе, вдали от звёзд и планет и на движущуюся механическую систему действует только постоянная сила инерции . В результате механическая система движется прямолинейно и равномерно. Следовательно, когда движущая сила постоянна, то она преодолевает внешние сопротивления, а постоянная сила инерции движет механическую систему прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью Это следствие второго закона механодинамики.

Если сумма внешних сил, действующих на систему, и сил инерции не равна нулю, но сумма их проекций на какую-либо ось (например, OX) равна нулю , то

(207)

Если , то , то есть в данном случае проекция скорости центра масс системы на ось OX - величина постоянная. Если же в этом случае то Отсюда следует, что Это следствие выражает закон сохранения движения центра масс системы.

Пример. Центр масс ротора электромотора смещен от оси вращения A на величину . Масса ротора , масса всех остальных частей (рис. 45). Определить, по зкому закону будет двигаться центр масс C электромотора, поставленного на гладкую горизонтальную плоскость, когда ротор вращается с постоянной угловой скоростью . Найти, какое максимальное горизонтальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью закрепить электромотор.

Решение. Движение мотора будет подчиняться закону сохранения движения центра масс системы. Так как плоскость гладкая, и сумма проекций всех внешних сил на ось OX равна нулю, то согласно закону сохранения движения центра масс системы , а это значит, что , то есть центр масс системы не будет перемещаться вдоль оси OX.

Следовательно, алгебраическая сумма произведений масс тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс вдоль оси OX должна быть равна нулю. Поэтому, из рис. 45 имеем Поскольку то



Здесь: - масса ротора; - масса статора;

Рис. 45. К закону сохранения движения центра масс механической системы

Откуда

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с частотой вдоль оси OX. Если его закрепить одним болтом, то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы, горизонтальная реакция на болт будет равна

где - координата центра масс системы.

Исходя из рис. 45 имеем

Так как то

При наличии болта поэтому, дифференцируя дважды по времени последнее выражение, получим

и сила будет равна Напомним ещё раз, что при синусоидальном законе колебаний механической системы на её центр масс действует не только активная сила, но и сила инерции, которая меняет своё направление также по синусоидальному закону и суммарное её действие на центр масс механической системы за период колебаний, равно нулю.

Пример. Диск массой =20 кг вращается относительно центра O с постоянной угловой скоростью OC=0,5cм. Найти главный вектор внешних сил, действующих на диск (реакцию опоры в точке О, рис. 46).

Рис. 46. К теореме о движении центра масс системы

Решение. Так как угловая скорость вращения постоянна , то в соответствии с теоремой о движении центра масс системы имеем: Тогда

9.9 Количество движения механической системы

Количество движения механической системы - векторная величина, как и количество движения материальной точки. Она равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движений всех точек системы (рис. 47).

(208)

Рис. 47. Схема к определению количества движения механической системы

Проектируя уравнение (208) на оси координат, имеем:

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Как видно, вектор может принимать любые значения и даже оказываться равным нулю, поэтому по величине нельзя судить полностью о характере движения системы (рис. 48).

Рис. 48. К анализу количества движения механической системы

На рис. 48, а , но тело (система) движется (вращается). На рис. 48, b , значит и . Следовательно, количество движения системы характеризует только поступательную часть ее движения.

9.10 Теорема об изменении количества движения механической системы

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил, в том числе и сил инерции.

Доказательство. Количество движения механической системы равно

(209)

Напомним ещё раз, что началом движения механической системы является ускоренное движение. Главный признак ускоренного движения системы - наличие ускорения и присутствие его в математической модели, описывающей ускоренное движение. С учетом этого процесс дифференцирования уравнения (209) должен завершиться добавлением, в полученный результат, силы инерции. Учитывая изложенное, возьмём производную от левой и правой частей этого уравнения.



Поскольку , то

(210)

Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат получим:

(211)

Эта теорема имеет и другую формулировку. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Доказательство. Пусть в момент времени , а при . Тогда, интегрируя выражение , имеем:

Изменение количества движения системы в проекциях на оси координат равно:

Можно найти связь доказанной теоремы с теоремой о движении центра масс системы. Теорема об изменении количества движения системы

(212)

Количество движения центра масс системы

Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим

(213)

Ещё раз напомним о том, что появление ускорения в уравнении механодинамики автоматически рождает необходимость присутствия в нём силы инерции. Подставив результат (213) в уравнение (212), имеем

(214)

Это уравнение движения центра масс системы.

Следовательно, теорема о движении центра масс системы и теорема об изменении количества движения системы представляют по существу две разные формы одной и той же теоремы.

В ряде задач, например, при изучении движения жидкости или газа, понятие о центре масс теряет смысл, и тогда пользуются теоремой об изменении количества движения.

Практическая важность теоремы об изменении количества движения системы заключается в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы, например, силы давления друг на друга частиц жидкости.

Пример. Струя жидкости диаметром со скоростью направлена на стену. Определить силу воздействия струи жидкости на стену, если eё плотность равна (рис. 49).

Рис. 49. К анализу количества движения системы

Учитывая, что сумма внутренних сил, действующих между частицами жидкости, равна нулю, обозначим реакцию стены на действие струи жидкости через . Тогда, используя теорему об изменении количества движения системы (жидкости), имеем

Секундный (=1) расход жидкости будет равен

, поэтому

9.11 Закон сохранения количества движения механической системы

Если сумма внешних сил и сил инерции, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению. Действительно, если , то из следует, что Обратим внимание на то, что в этом случае механическая система движется равномерно.

Если сумма проекций всех действующих на систему внешних сил и сил инерции на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная. Из этого следует

Следствие закона. Внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.

9.12 Главный момент количества движения механической системы

Главным моментом количества движения системы (или кинетическим моментом) относительно данного центра O называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра

(215)

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:

(216)

где - проекции вектора на оси координат.

Количество движения системы - главная характеристика ее поступательного движения.

Главный момент количества движения системы - главная характеристика вращательного движения системы.

Чтобы уяснить механический смысл , вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 50).

Рис. 50. К определению кинетического момента вращающегося тела

Для любой точки Количество движения Момент количества движения относительно оси OZ равен

(217)

Главный момент количества движения системы относительно оси Кинетический момент (главный момент) вращающегося тела относительно оси OZ вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то очевидно, что



Сравнивая формулы и , видим, что - масса тела, величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении; - момент инерции тела относительно оси OZ - величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

9.13 Теорема об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов)

Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

(218)

где - равнодействующая внешних сил, - равнодействующая внутренних сил.

Учитывая что , а также то, что и то, что по свойству внутренних сил , получим

(219)

Это уравнение выражает теорему моментов для механической системы. Проектируя обе части полученного уравнения на оси координат, получим:

 (220)

Эти уравнения выражают теорему моментов относительно координатных осей. Практическая ценность теоремы моментов состоит в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения системы, позволяет при изучении вращательного движения исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

9.14 Теорема моментов относительно центра масс

Эта теорема используется при изучении сложного движения. Пусть OX, OY, OZ - неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система с центром масс C. Свяжем с центром масс C подвижную систему CX', CY' и CZ' так, чтобы она перемещалась по отношению к неподвижной системе поступательно с ускорением (рис. 51).

На рис. 51 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид

(221)

На рис. 51 - внутренняя и внешняя силы соответственно и - переносная сила инерции. Так как система отсчета CX'Y'Z', а, значит, и центр масс C движутся поступательно, то кориолисова сила инерции равна нулю и уравнение механодинамики в подвижных осях имеет вид

 (222)

Рис. 51. К теореме моментов относительно центра масс механической системы

По свойству внутренних сил , а переносная сила инерции . Так как подвижные оси перемещаются поступательно, то , поэтому Так как то после подстановки получим

Остается только сумма моментов от внешних сил и уравнение (221) принимает вид

(223)

Итак, доказана теорема: Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно поступательно движущегося ее центра масс C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра. То есть теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

9.15 Закон сохранения главного момента количества движения системы

Он вытекает как следствие из теоремы моментов. Пусть сумма моментов относительно центра O всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю . Тогда из уравнения

(224)

следует, что и закон формулируется так:

Если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к данной системе внешних сил равна нулю, то главный момент количества движения этой системы относительного этого центра будет численно и по направлению постоянен.

Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно какой-нибудь оси OZ равна нулю, то есть, тогда из уравнения

следует, что и закон формулируется так:

Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти два следствия выражают общий закон сохранения главного момента количества движения системы.

Пример. Вращение тела с изменяющимся моментом инерции относительно оси OZ (например, фигурист). Закон гласит: если , то

(225)

Значит, при увеличении за счет внутренних сил будет уменьшаться, и наоборот.

9.16 Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина , равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы

(226)

Главное отличие кинетической энергии системы от количества движения системы и момента количества движения в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и положительной, поэтому она не зависит от направления движения частей системы и не характеризует этих направлений. Но вместе с тем на изменение кинетической энергии системы влияет изменение не только внешних, но и внутренних сил.

9.17 Кинетическая энергия тела при разных видах его движения

Поступательное движение тела. При поступательном движении тела все его точки имеют одинаковые скорости , поэтому

(227)

Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси OZ с угловой скоростью , то скорость любой его точки на расстоянии от оси и кинетическая энергия

(228)

Плоскопараллельное движение (рис. 52).

(229)

где - момент инерции системы (тела) относительно оси, проходящей через мгновенный центр P вращения. Так как положение P все время меняется, то введем постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С. Тогда на основании теоремы Гюйгенса Так как P - мгновенный центр скоростей, то - скорость центра масс. Окончательно имеем

(230)

Рис. 52. К определению кинетической энергии при плоскопараллельном движении твердого тела

При плоскопараллельном движении тела его кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенному с кинетической энергией вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр вращения и перпендикулярной к плоскости движения.

Общий случай движения. Если за полюс взять центр масс C тела, то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного движения со скоростью и вращения вокруг мгновенной оси CP, проходящей через этот полюс (рис. 53). Для i-ой точки имеем

(231)

Рис. 53. К расчету кинетической энергии тела для общего случая его движения

При этом - абсолютная скорость i - ой точки. Тогда и

(232)

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Учитывая, что и и то, что , имеем

Тогда

(233)

Но

Так как ось вращения CP проходит через центр масс тела, то величина количества движения, получаемого телом при вращении относительно оси CP, проходящей через центр масс тела, равна нулю. Поэтому окончательно имеем

(234)

Кинетическая энергия тела в общем случае движения равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

9.18 Теорема об изменении кинетической энергии системы

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Для i-той точки системы имеем

где - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил.

Складывая элементарные работы всех сил, действующих на точки системы, имеем

(235)

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав это равенство в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где она становится равной , будем иметь

(236)

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Всегда ли надо учитывать работу внутренних сил системы при определении ее кинетической энергии? Ответ зависит от вида связей системы.

Система с неизменяемыми связями имеет такие связи, при которых расстояния между точками системы не изменяются. Для такой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

(237)

Примером такой системы является абсолютно твердое тело.

Система с идеальными связями. Если система имеет связи, то внешние и внутренние силы могут быть активными и реакциями связей. Тогда

(238)

где - элементарная работа действующих на i-ю точку внешних и внутренних активных сил; - элементарная работа внешних и внутренних реакций связей.

Внешние и внутренние связи механической системы будут идеальными, если .

Таким образом, если сумма работ всех реакций связей при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Примером идеальных связей являются неизменяемые связи и связи без трения.

Изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями, при любом ее перемещении равно сумме работ внешних и внутренних активных сил на этом перемещении.

Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии системы состоит в том, что при неизменяющихся со временем связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

9.19 Приложение общих теорем динамики к динамике твердого тела

Дифференциальное уравнение ускоренного вращательного движения твердого тела (рис. 54).

Рис. 54. Схема сил, действующих на вращающееся тело

- система заданных сил; - реакции подшипников. Моменты сил и относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ос OZ. Поскольку , то

(239)

где - вращающий момент.

Это дифференциальное уравнение движения твердого тела, из которого следует, что . Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту. При - чем больше , тем меньше . Если , то - тело вращается равномерно. Если , то и - тело вращается равнопеременно.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного ускоренного движения твердого тела. Положение твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением любой его точки, взятой в качестве полюса, и углом вращения относительно полюса. Задачи динамики упрощаются, если за полюс взять центр масс C тела и определить положение тела координатами (рис. 55).

Используя теорему о движении центра масс, имеем:

(240)

Рис. 55. Схема плоскопараллельного движения твердого тела

В проекциях на оси координат получим:

(241)

Это дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. С помощью этих уравнений можно по заданным силам определить закон движения тела, или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих на тело внешних сил.

При несвободном движении тела, когда траектория центра масс известна, уравнение движения точки C удобнее составлять в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории. Тогда дифференциальные уравнения движения твердого тела в естественных осях становятся такими:

(242)

где - радиус кривизны траектории центра масс.

Пример (рис. 56). Определить работу сил трения, прижимающих тормозные колодки к барабану при его торможении. Дано:

Решение:

Рис. 56. Схема к примеру определения работы сил трения

В ХХ веке считалось, что законы классической механики успешно работают в макромире, а в микромире работают другие - квантовые законы. Однако, наши исследования показывают, что законы классической механики также успешно работают и микромире. Любой объект, имеющий массу, подчиняется законам Ньютона. Поэтому есть основания владеть минимумом знаний о работе законов классической механики в микромире. Для реализации этого пожелания рассмотрим современную теорию электрона.

10. Работа законов механодинамики в микромире

10.1 Теория электрона

Сейчас мы увидим, как некоторые законы механодинамики работают в микромире. Уже известно, что длины волн элементарных частиц равны радиусам их вращений и прояснился физический смысл размерности постоянной Планка [5].

. (243)

Обратим внимание на размерность постоянной Планка (239). В классической механике эта размерность имеет названия: момент количества движения и кинетический момент. В классической физике эту размерность называют момент импульса или угловой момент [5].

Мы уже знаем, что постоянством кинетического момента управляет закон сохранения кинетического момента. Он гласит: если сумма моментов внешних сил, действующих на вращающееся тело, равна нулю, то кинетический момент этого тела остаётся постоянным по величине и направлению. Из этого следует, что постоянная Планка - величина векторная, но физики ХХ века использовали её только как скалярную величину [5].

Наиболее ярко проявление сути кинетического момента наблюдается при вращении волчка. Кинетический момент удерживает волчок от падения при его вращении. Но самое главное не в этом, а в том, что кинетический момент - величина векторная, так же как скорость, ускорение движения тела или сила, действующая на него.

Вектор направлен вдоль оси вращения кольца (рис. 57, а, b) так, что если смотреть с его острия, то вращение будет направлено против хода часовой стрелки.

Рис. 57. Схема к определению понятий: а) количество движения материальной точки; b) кинетический момент кольца

Если постоянная Планка имеет размерность кинетического момента и если с ее помощью теоретически описывать поведение элементарных частиц, то эти частицы (в том числе и электрон), как и волчок, обязательно должны вращаться вокруг своих осей [5].

Поскольку электрон - локализованное в пространстве электромагнитное образование, обладающее отрицательным зарядом, то он должен иметь константу локализации. Обратим внимание на то, что в развёрнутой записи постоянной Планка (239) присутствует константа - скорость света С. Это значит, что оставшаяся совокупность символов - тоже константа. Поскольку электрон имеет постоянную массу , то тоже константа. Назовём её константой локализации электрона и обозначим её через и запишем в следующем развёрнутом виде

(244)

Поскольку - постоянная Планка, а - скорость света, то численная величина константы локализации электрона будет равна

 (245)

Разделим константу локализации электрона (245) на экспериментальную величину его массы . В результате будем иметь [5]

. (246)

Обратим внимание на то, что полученная величина совпадает с экспериментальной комптоновской длиной волны электрона. Такое совпадение не может быть случайным. Поскольку комптоновская длина волны электрона определена в экспериментах взаимодействия рентгеновских фотонов с электронами, то у нас есть веские основания считать, что комптоновская длина волны электрона равна радиусу его вращения. Эти основания усиливаются физическим смыслом, следующим из размерности константы (246) локализации электрона. Она означает, что произведение радиуса электрона, как параметра его локализации, на массу электрона - величина постоянная. В то время как произведение массы электрона на длину его волны не содержит какого-либо смысла локализации.

Поскольку радиус электрона - величина постоянная, то материальная плотность кольца электрона будет также постоянна.

, (247)

Второй физический смысл константы локализации - постоянный момент сил, действующих во внутренней структуре электрона. Угловую скорость вращения кольца определим, используя постоянную Планка

(248)

Мощность кольца электрона будет равна

(249)

Скорость точек кольца равна скорости света

(250)

Исследования показали, что вторым приближением к реальной модели электрона является тор.

Тороидальная модель электрона

Итак, электрон в первом приближении имеет форму кольца. В качестве второго приближения к электромагнитной модели электрона рассмотрим тор. Для начала будем считать, что тор полый. Радиус окружности сечения тора (рис. 58) обозначим через [5].

Рис. 58. Схема тороидальной модели электрона

Тогда площадь его поверхности определится по формуле

(251)

Обозначим поверхностную плотность электромагнитной субстанции электрона . Тогда

(252)

Определим момент инерции полого тора. Из рис. 58 имеем

(253)

(254)

(255)

Тороидальная модель электрона с совокупностью магнитных силовых линий, формирующих его магнитный момент, показана на рис. 59.

Рис. 59. Схема модели электрона (показана лишь часть магнитных силовых линий)

Поскольку электрон проявляет одновременно электрические и магнитные свойства и имеет кинетический момент, то у нас есть основания предполагать, что он имеет два вращения. Обычное вращение относительно оси симметрии с угловой частотой назовем кинетическим вращением, формирующим его кинетический момент и кинетическую энергию . И второе - вихревое вращение относительно кольцевой оси с угловой частотой (рис. 58). Назовем его потенциальным вращением, формирующим его потенциальную энергию и потенциальные свойства. Вполне естественно предположить, что сумма кинетической и потенциальной энергий свободного электрона равна его фотонной энергии . Посмотрим на возможность реализации нашего постулата. Кинетическая энергия вращения полого тора определится по формуле (рис. 58, 59) [5]

(256)

Учитывая частоту (248), имеем

(257)

Угловая скорость вращения поверхностной субстанции тора относительно его кольцевой оси связана с его угловой скоростью вращения относительно оси симметрии зависимостью

(258)

Поверхностная субстанция тора вращается относительно его кольцевой оси со скоростью света С, поэтому радиус сечения тора равен

(259)

Полагая, что вихревое вращение электрона генерирует его потенциальную энергию, имеем

(260)

Складывая кинетическую энергию электрона (257) с потенциальной (260), получим полную фотонную энергию электрона

(261)

На этом мы остановимся и сообщим, что законы механодинамики синхронно с законами новой электродинамики описывают тороидальную структуру электрона. Подробности этой необычной информации можно прочитать в монографии «Начала физхимии микромира» [5].

11. Принципы механодинимики

11.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Возможным перемещением системы называется любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы изображают элементарным вектором , направленным в сторону перемещения. Сразу обращаем внимание на то, что при возможных элементарных перемещениях механической системы силы инерции близки к нулю и их можно не учитывать.

Пример. Рассмотрим возможные перемещения точек кривошипно-шатунного механизма (рис. 60).

Рис. 60. Схема к анализу принципа возможных перемещений

Возможные перемещения точек системы должны быть такими, чтобы при этом все наложенные на систему связи сохранялись, так как иначе изменится вид рассматриваемой механической системы. Например, нельзя допустить или считать возможным перемещение точки A вдоль радиуса OA на рис. 60 или перемещение точки B перпендикулярно стенкам цилиндра.

Из перечисленных требований вытекает, что число независимых между собой возможных перемещений системы равно числу eё степеней свободы.

Перемещения точек A и B на рис. 60 взаимозависимые, поэтому кривошипно-шатунный механизм имеет одну степень свободы.

Другие примеры:

- материальная точка на плоскости имеет одну степень свободы, так как ее элементарные перемещения и вдоль перпендикулярных осей всегда можно представить одним перемещением ;

- свободная точка имеет три степени свободы - перемещения вдоль координатных осей;

- свободное тело имеет шесть степеней свободы: три - перемещения вдоль координатных осей и три - вращения относительно этих осей.

Сущность применения принципа возможных перемещений для решения задач заключается в том, что он позволяет выразить условие равновесия системы в виде равенства нулю не сил, приложенных к системе, а их элементарных работ на всех возможных перемещениях системы.

Если к системе приложены активные силы и реакции связей , то принцип возможных перемещений запишется в общем виде так

(262)

где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ реакций связей.

В большей части задач механики рассматриваются системы с идеальными (неизменяемыми) связями и связями без трения, поэтому для систем с идеальными связями и с учетом (262) имеем

(263)

- основное уравнение принципа возможных перемещений.

В проекциях на оси координат уравнение принципа (263) запишется так

(264)

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю.

Таким образом, принцип возможных перемещений в наиболее общем виде устанавливает условия равновесия любой механической системы. При применении принципа возможных перемещений действие связей учитывается не путем введения неизвестных реакций, а путем учета перемещений, которые можно сообщить точкам системы при выводе ее из занимаемого положения. Эти перемещения называются возможными.

Значение принципа возможных перемещений состоит в том, что он дает в общей форме условие равновесия для любой механической системы, в отличие от методов геометрической статики, которые требуют рассмотрения равновесия каждого из тел системы в отдельности. Этот принцип позволяет исключить неизвестные реакции связей, когда они являются идеальными.

11.2 Порядок решения задач с использованием принципа возможных перемещений

1. Выбирают оси координат, связанные с телом, которые при возможных перемещениях системы остаются неподвижными.

2. Составляют условие равновесия в виде

(265)

3. Вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси.

4. Выражают координаты точек () приложения активных сил через какой-нибудь параметр, например, угол поворота системы.

5. Величины находят дифференцированием координат по выбранному параметру.

6. Если все координаты не удается выразить через один параметр сразу, то вводят несколько параметров и устанавливают зависимость между ними.

7. Полученные результаты подставляют в условие равновесия

(266)

Этими условиями можно пользоваться при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить и реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией и включить ее в число активных сил.

Пример (рис. 61). Найти зависимость между и в подъемном механизме, детали которого скрыты в коробке K, если известно, что при каждом повороте рукоятки на угол винт C выдвигается на величину . Учитывая, что (рис. 61), составим уравнение принципа возможных перемещений (условие равновесия) в виде

Рис. 61. Схема к примеру

Считая движения рукоятки AB и винта C равномерными, имеем

Подставляя в условие равновесия, находим

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма неизвестны. Вместо суммы элементарных работ приложенных сил на возможных перемещениях системы можно брать сумму элементарных мощностей на возможных перемещениях точки системы.

Рис. 62. Схема механизма

Пример (рис. 62).

Дано: Найти .

Сумма мощностей

где .

С учетом этого имеем

12. Общее уравнение механодинамики

Это уравнение базируется на двух принципах: принципе возможных перемещений Лагранжа и главном принципе механодинамики. Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. Главный принцип механодинамики позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач механодинамики.

Если мы рассматриваем систему с идеальными связями, то, прибавляя ко всем точкам системы кроме действующих на нее активных сил и реакций связей соответствующие силы инерции согласно главному принципу механодинамики, получим систему сил, которая будет находиться в равновесии.

Далее, применяя ко всем силам принцип возможных перемещений, получим

(267)

Так как связи идеальные, то , поэтому

(268)

Это общее уравнение динамики. Из него вытекает принцип Лагранжа. При движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. В аналитической форме уравнение имеет вид

 (269)

Этот принцип позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным силам добавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений.

13. Метод обобщённых координат

13.1 Понятие об обобщённых координатах

Обобщенными (лагранжевыми) координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно в любой момент времени выразить декартовы координаты всех ее точек и таким образом определить положение этой системы.

Количество таких независимых параметров системы равно числу ее степеней свободы, а значит, и числу независимых между собой возможных перемещений системы. Геометрические связи уменьшают количество указанных параметров. Например, свободная точка имеет три степени свободы и три независимых друг от друга возможных перемещения (рис. 63) вдоль координатных осей.