Курс лекций по теоретической механике

Давно условились силы инерции направлять противоположно ускорениям. На рис. 11 кориолисова сила инерции направлена противоположно нормальной реакции , а значит и противоположно ускорению , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами и . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение движения ползуна, а его замедление , вектор которого совпадает с направлением кориолисовой силы инерции (рис. 11). Таким образом, мы оказались в противоречивой ситуации. С одной стороны суммарное ускорение генерируется активными силами и , приложенными к ползуну и направленными в сторону его переносного движения, а с другой стороны суммарное ускорение давно названо кориолисовым ускорением, принадлежащим кориолисовой силе инерции, которая по своей природе генерирует не ускорение, а замедление материальных точек и тел при их ускоренном движении. Из этого следует, что направление действия кориолисовой силы инерции определяется правильно, но модуль его вычисляется неправильно. Произведение массы ползуна на ускорение его движения равно не кориолисовой силе инерции (рис. 11), а суммарной активной силе (), действующей на ползун в переносном движении. Модуль кориолисовой силы инерции , замедляющей переносное движение ползуна, равен произведению массы ползуна на замедление , генерируемое кориолисовой силой инерции , направленной противоположно переносному движению ползуна (рис. 11).

Конечно, в изложенном выше, неясна причина сложения (). Но без этого не появляется двойка в выражении (57) кориолисова ускорения. Однако, если представить, что ползун удаляется от центра на удлиняющейся гибкой нити, вращающейся относительно центра, то в такой схеме будет отсутствовать реакция стержня на ползун и останется одна переносная сила . Этот пример позволяет считать, что при движении ползуна по жёсткому стержню на него действуют в переносном движении две силы (). В этом случае численная величина кориолисова ускорения (57) остаётся прежней. Если же убрать силу , то численная величина кориолисова ускорения будет в два раза меньше и потребуется экспериментальная проверка достоверности новой формулы для вычисления теперь уже не кориолисова ускорения, а кориолисова замедления.

Обращаем внимание на то, что если ползун будет жёстко связан с вращающимся стержнем, то на него будет действовать связь в виде стержня, которая будет удерживать ползун от перемещения вдоль стержня. В результате координата относительного перемещения стержня станет постоянной величиной и её в таких случаях называют радиусом. Реакция связи, удерживающая ползун от относительного перемещения вдоль стержня, будет направлена к центру вращения и будет выполнять функции активного воздействия на ползун. Вполне естественно, что ускорение, генерируемое этой связью, также будет направлено к центру вращения и мы обязаны назвать его в этом случае центростремительным ускорением. Вполне естественно, что оно будет равно . Так как ползун закреплён жёстко, то . Отметим, что до проводимого нами анализа процесса сложного движения точки понятие «центростремительное ускорение» отсутствовало. Но, как мы видим, необходимость введения этого понятия существует.

Итак, мы выявили все особенности в описании сложного движения ползуна по вращающемуся стержню и физическую суть этого движения ввели в рамки причинно-следственных связей.

Пример-2. (рис. 12). Дано: ; Найти относительную скорость тела в момент вылета его из трубки (без учета силы трения).

Рис. 12. Схема к примеру 2

Решение

(62)

5. Колебательное движение материальной точки

В принципе, все действующие технические устройства генерируют колебания, которые могут выполнять определенные технологические процессы или наносить вред устройствам. Поэтому изучение колебаний - одна из важнейших сторон подготовки инженера.

Для теоретического описания колебательного процесса используют материальную точку в качестве объекта совершающего механические колебания. Большинство механических колебательных процессов имеют синусоидальный закон колебаний, в котором фаза ускоренного движения материальной точки переходит сразу в фазу замедленного движения. Фаза равномерного движения отсутствует. Поскольку сила инерции в фазе ускоренного движения материальной точки направлена противоположно движению и таким образом тормозит движение материальной точки, а в фазе замедленного движения она направлена в сторону движения материальной точки, то суммарное её действие за один период колебаний равно нулю. Поэтому есть основания не учитывать действие силы инерции при описании колебательных движений материальной точки. Её действие автоматически учитывается экспериментальными коэффициентами, которые входят в уравнения её колебательных движений.

5.1 Свободные колебания

Рассмотрим колебания груза , подвешенного на пружине, имеющей в естественном состоянии (без подвешенного груза) длину (рис. 13). За начало отсчета примем положение груза, в котором вес груза уравновешивается реакцией пружины (точка О, рис. 13).

Статическое удлинение пружины ВО, соответствующее положению равновесия груза, обозначим через . Тогда текущее удлинение определится из рис. 13 так

Рис. 13. Схема к выводу дифференциального уравнения свободных колебаний материальной точки

Согласно закону Гука, сила упругости (реакция) пружины пропорциональна ее удлинению, то есть , где - коэффициент пропорциональности (жесткость пружины).

Так как в положении статического равновесия модуль силы равен весу груза , то , откуда по результатам эксперимента можно найти коэффициент жесткости пружины

(63)

Как видно (рис. 13), дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид

, или

Поскольку и , а также то Обозначим ( - частота свободных гармонических колебаний), тогда

(64)

Это дифференциальное уравнение гармонического колебания. Следовательно, груз, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания около положения равновесия. Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общий интеграл дифференциального уравнения (64) второго порядка выражается так

(65)

Если вместо постоянных и ввести постоянные и , такие, что то получим

(66)

где - амплитуда колебаний (наибольшее отклонение груза от положения равновесия); - фаза колебания; - начальная фаза (при ).

График гармонического колебания (рис. 14) представляет собой, очевидно, синусоиду. Промежуток времени , в течение которого груз совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Так как период синуса и косинуса равен , то . Откуда

(67)

Величина , обратная периоду и определяющая число колебаний за секунду, называется частотой колебаний

(68)

Скорость точки при гармоническом колебании равна

(69)

Амплитуда и начальная фаза колебания определяются по начальным условиям движения. Полагая, что при (66 и 69) имеем: Отсюда

(70)

Pис. 14. График закона гармонического (синусоидального) колебания материальной точки

Свойства свободных колебаний при отсутствии сопротивления: 1 - амплитуда и начальная фаза (70) зависят от начальных условий; 2 - круговая частота (68) и период колебаний не зависят от начальных условий и являются независимыми характеристиками данной колебательной системы.

5.2 Затухающие колебания

Если свободные колебания совершаются в какой-то среде (жидкость, газ), то среда, создавая сопротивление, приводит к затуханию этих колебаний.

Пусть сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости . Знак минус означает, что сила направлена противоположно вектору (рис. 15). Таким образом, при затухающих колебаниях на точку (груз) действует восстанавливающая сила и сопротивление среды , поэтому дифференциальное уравнение затухающего колебания имеет вид

или

(71)

Рис. 15. Схема сил, действующих на точку в сопротивляющейся среде

Разделим обе части уравнения (71) на и введем обозначения:

где - коэффициент затухания.

Тогда

(72)

Для интегрирования этого уравнения применим способ замены переменного, полагая

(73)

где - новая переменная. После двукратного дифференцирования уравнения (73), подстановки результата в уравнение (65) и преобразований, получим

(74)

Полагая , имеем

(75)

Это дифференциальное уравнение гармонического колебания, сходное с уравнением (68). Интегрируя его, получим

(76)

Подставляя этот результат в уравнение (73), найдем

(77)

Это уравнение отличается от уравнения гармонического колебания множителем , который делает размахи колебаний точки M около положения равновесия переменными; они быстро уменьшаются с течением времени, поэтому их называют затухающими колебаниями (рис. 16).

Период затухающих колебаний равен

(78)

Рис. 16. График затухающих колебаний

Так как то и

,

то есть период затухающих колебаний больше, чем период гармонического колебания, совершаемого точкой под действием той же силы при отсутствии сопротивления.

Отвлеченное число называется декрементом затухающих колебаний. Величина - логарифмический декремент затухания.

5.3 Вынужденные колебания. Резонанс

В этом случае на "колеблющуюся" точку, кроме восстанавливающей силы , действует еще и периодически изменяющаяся сила , возбуждающая колебания. Ее проекция на ось OX равна . Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие под действием такой силы - вынужденными. Величина является частотой возмущающей силы. В данном случае - гармоническая возмущающая сила. Она может иметь и другой закон.

Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Если на движущуюся точку действует только восстанавливающая и возбуждающая силы, а сила сопротивления отсутствует, то дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

(79)

Разделим обе части этого уравнения на и положим Тогда учитывая, что , имеем

(80)

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления. Общее решение этого уравнения имеет вид:

(81)

где и - постоянные интегрирования.

Полученное уравнение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1 - колебаний с амплитудой , и частотой , называемых свободными колебаниями; 2 - колебаний с амплитудой

(82)

и частотой , которые называют вынужденными колебаниями. Здесь . Амплитуда не зависит от начальных условий, а амплитуда - зависит.

В практике, как правило, колебания происходят при наличии сопротивлений, поэтому собственные колебания с частотой быстро затухают, а вынужденные колебания с частотой оказываются основными. Но бывают и исключения, когда .

Амплитуда

(83)

вынужденных колебаний в этом случае неограниченно растет, так как знаменатель в формуле (83) стремится к нулю.

(84)

и наступает явление резонанса (рис. 17).

Рис. 17. Схема к анализу явления резонанса

Когда , амплитуда близка к нулю. Когда близка к , то становится очень большой. Если работающая конструкция проявляет явно выраженные признаки, близкие к резонансу, то надо экспериментально определить величину статической деформации тела, формирующего колебания с учетом приложенных к нему нагрузок, затем вычислить частоту собственных колебаний этого тела по формуле

Далее, используя характеристики привода конструкции, вычислить частоту возбуждающих колебаний и сравнить ее с частотой собственных колебаний. Если значение близко к единице, то конструкция работает в режиме, близком к резонансу (рис. 17).

Изменяя геометрические () и кинематические () параметры, можно добиться величины , далекой от ее резонансного значения.

Общие свойства вынужденных колебаний

1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий.

2. Вынужденные колебания не затухают при наличии сопротивлений.

3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы, и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила "навязывает" системе свою частоту колебаний).

4. Если сопротивление среды мало, то даже при малой возмущающей силе можно получить интенсивные вынужденные колебания.

6. Общие теоремы механодинамики

Вводная часть

Общие теоремы механодинамики являются следствием основного закона механодинамики. Применение этих теорем избавляет исследователя от необходимости ряда операций интегрирования, так как эти операции раз и навсегда выполняются при доказательстве общих теорем. Указанные теоремы базируются на таких фундаментальных понятиях, как количество движения материальной точки, момент количества движения и действие силы на материальную точку.

6.1 О количестве движения материальной точки

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на её скорость . Направлен вектор так же, как и вектор - по касательной к траектории (рис. 18).

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени - следствие действия силы на материальную точку. Длительность этого действия может быть разной, поэтому изменение количества движения материальной точки нельзя называть импульсом силы, так как понятие импульс силы соответствует её кратковременному действию. С учётом этого назовём величину, равную изменению количества движения материальной точки, просто: «действие силы» и обозначим символом (рис. 18).

Обратим внимание на то, что изменение количества движения материальной точки при ускоренном её движении происходит под действием ньютоновской силы и сил сопротивления движению, в виде сил, формируемых механическими сопротивлениями, и силой инерции. Изменение количества движения происходит за счёт превышение величины ньютоновской силы над силами сопротивления движению.

При ускоренном движении материальной точки результат действия силы всегда положительный.

Рис. 18. Схема к определению действия силы

При замедленном движении материальной точки ньютоновская сила отсутствует. Изменение количества движения материальной точки происходит за счёт превышения сил сопротивления движению над силой инерции, которая направлена в сторону движения материальной точки. При замедленном движении материальной точки результат действия силы всегда отрицательный.

6.2 Теорема об изменении количества движения материальной точки

Связь действия силы с основным уравнением механодинамики выражает теорема об изменении количества движения материальной точки.

Теорема. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно действию силы () на материальную точку за тот же промежуток времени.

(85)

Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному действию силы на материальную точку. Интегрируя выражение (85) дифференциала количества движения материальной точки, имеем

(86)

Теорема доказана. Если известны и , то легко построить и вектор действия силы (рис. 18). Проектируя уравнение (86) изменения количества движения точки на оси координат, получим:

(87)

(88)

(89)

Изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции действия силы на ту же ось.

Следствия теоремы:

1) когда , то

и (90)

2) если , то и выполняется закон сохранения количества движения, эквивалентный второму закону механодинамики.

3) если , то

и (91)

Обратим внимание на размерность действия силы. Чем дольше действует сила, тем больше величина её действия на материальную точку, поэтому понятие действие силы не может отражать ударное действие силы, которое совершается за малый промежуток времени. Поэтому для характеристики кратковременного действия силы вводим понятие ударная сила.

6.3 Ударная сила

Ударная сила - векторная величина, равная силе , делённой на время её действия при ударе . Логичность изменения ударной силы очевидна. Чем меньше время действия одной и той же силы, тем больше её ударное действие.

В качестве примера можно взять пулю, вылетевшую из патрона. Главным критерием определения расстояния действия ударной силы будет момент, когда под действием давления пуля вылетает из закрытого пространства патрона или ствола оружия. Тогда длину той части патрона, которую занимала пуля до выстрела, или длину ствола оружия можно принять за расстояние, на котором действует ударная сила, перемещающая пулю. Поскольку скорость вылета пули из ствола известна, то время действия ударной силы можно определять, как частное от деления длины ствола, по которому движется пуля, на скорость её движения.

Величину ударной силы, выстрелившей 2-й энергоблок Саяно-Шушенской ГЭС невозможно рассчитать, используя старые понятия импульс силы и ударный импульс. Новое понятие ударная сила позволяет решить эту задачу. Для этого возьмём расстояние от места крепления крышки энергоблока 80-ю шпильками до поверхности пола машинного зала, где заканчивалась герметизация полости колодца, в котором размещался энергоблок (рис. 19). Это расстояние эквивалентно расстоянию движения, например, пули в закрытой полости ствола перед вылетом из него. Для 2-го энергоблока это расстояние было принято равным S=0,80м (рис. 19). Средняя скорость взлёта энергоблока на высоту 14м составила V=16,56м/с. Тогда время действия ударной силы на энергоблок будет равно

. (93)

Рис. 19. Схема к определению времени действия ударной силы на энергоблок

Сила сопротивления подъёму энергоблока, закреплённого к фундаменту 80-ю шпильками, с учетом массы блока, прочности шпилек, крепивших крышку энергоблока и силы инерции, тормозившей его ускоренный вылет, составила

. (94)

В результате величина ударной силы, действовавшей на энергоблок, оказалась, примерно, равной

(95)

Отметим, что старые понятия импульс силы и ударный импульс не позволяют решать подобные задачи.

6.4 Момент количества движения материальной точки

Часто при изучении движения точки вместо изменения вектора возникает необходимость рассмотреть изменение его момента относительно данного центра O или оси OZ. При этом момент вектора относительно центра O или оси OZ обозначают соответственно: и и называют моментом количества движения или кинетическим моментом точки M относительно центра O или оси OZ. Вычисляется момент так же, как и момент силы (рис. 20).

На рис. 20 векторы и лежат в плоскости П перпендикулярной к оси OZ. Модуль момента силы относительно центра O равен .Модуль момента количества движения материальной точки относительно центра O равен где - длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора . Приведем векторную запись момента силы и момента количества движения :

(96)

Направление вектора определяется так же, как и вектора . Момент силы относительно координатных осей записывается так:

Аналогично записывается и момент количества движения относительно осей:

(97)

Рис. 20. Схема к вычислению момента количества движения материальной точки

Если известны координаты () точки, то моменты количества движения этой точки относительно осей равны:

(98)

(99)

(100)

6.5 Теорема моментов относительно центра

Производная по времени от момента количества движения точки (взятого относительно какого-нибудь центра O) равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра.

Дифференцируя выражение по , получим:

(101)

Так как векторы и параллельны, то и учитывая, что , окончательно имеем

(102)

Или (103)

Теорема доказана

Следствие теоремы. Если то То есть, если момент действующей на точку M силы относительно некоторого центра O равен нулю, то момент количества движения точки M относительно этого же центра O есть величина численно и по направлению постоянная. Считается, что точка в этом случае движется под действием центральной силы. Центральной силой называется сила, линия действия которой проходит через центр O. Классическим примером такой силы является сила притяжения планет к Солнцу или спутника к Земле.

Теорема о моменте количества движения в координатной форме. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Спроектируем векторное уравнение

(104)

на оси координат:

(105)

(106)

(107)

Эти уравнения и выражают теорему о моменте количества движения в координатной форме.

6.6 Закон сохранения момента количества движения (кинетического момента)

Из (103) и (107) следует, что если и , то и . Это значит, что при отсутствии внешних сил точка будет вращаться относительно центра O или оси OZ вечно не меняя направления векторов или . В этом и заключается суть закона сохранения кинетического момента. Совсем недавно выяснилось, что этот закон управляет постоянством самой фундаментальной константы Природы - постоянной Планка [1], [2].

Поскольку постоянная Планка является фундаментальной величиной Квантовой механики, описывающей поведение обитателей микромира, то закон сохранения кинетического момента оказывается главным законом, управляющим формированием и поведением элементарных частиц. Так как постоянная Планка имеет размерность момента количества движения или кинетического момента и та как это - понятие классической ньютоновской механики, то законы этой механики должны работать в микромире также успешно, как и в макромире. Это уже доказанный факт. Дальше мы подтвердим достоверность этого утверждения на примере новой теории электрона.

7. Приложение общих теорем механодинамики к теории удара

7.1 Основные определения

Мы уже отметили, некорректность связи ударного импульса с ударной силой. Суть этой некорректности в том, что с увеличением времени действия ударного импульса увеличивается сила удара и она теряет характер ударного действия. Поэтому закладываем в понятие «ударный импульс» лишь изменение количества движения тела или механической системы, то есть результат действия ударной силы. Мы уже заменили понятие сила удара понятием ударная сила, которая определяется, как частное от деления величины суммарной силы сопротивления движению тела при ударе на время её удара. С учетом изложенного и будем рассматривать явление удара.

Ударное действие силы зависит от упругих свойств соударяющихся тел. Эти свойства характеризуются величиной, называемой коэффициентом восстановления.

Процесс удара о плиту, например, падающего шара можно разделить на две фазы.

1. В момент начала удара скорости всех частиц шара убывают до нуля (рис. 21, а). Шар деформируется, и его кинетическая энергия переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформируемого тела (рис. 21, б).

2. Шар под действием внутренних упругих сил начинает восстанавливать свою форму, и потенциальная энергия переходит в кинетическую, - шар начинает двигаться в обратном направлении (рис. 21, б). В конце удара скорости частиц шара оказываются меньше их скорости до удара, за счет этого уменьшается и кинетическая энергия, так как часть ее идет на деформацию шара. В начале удара скорость шара , а в конце . На основании этого вводится величина , называемая коэффициентом восстановления при ударе.

Рис. 21. Схема к описанию процесса удара

Величина , равная отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара называется коэффициентом восстановления при ударе.

Из определения следует, что для абсолютно упругого удара , а абсолютно неупругого удара и вся механическая энергия теряется на деформацию и нагревание соударяющихся тел.

Для экспериментального определения можно воспользоваться формулой Галилея. До удара , после удара . Отсюда

(108)

Здесь - высота падения тела; - высота подъема тела после удара о плиту. Значения некоторых .

Дерево о дерево -

сталь о сталь -

стекло о стекло -

При изучении удара действием неударных сил (например, сил тяжести) пренебрегают из-за их малости. Пренебрегают также и перемещением точек тела при ударе. В основе изучения удара лежит изменение скоростей точек тела за время удара.

7.2 Общие теоремы теории удара

Общие теоремы теории удара базируются на общих теоремах механодинамики.

Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Для одной точки действие внешних сил равно

(109)

Для системы точек можем записать

(110)

Или (111)

По свойству внутренних сил Поэтому

(112).

Изменение количества движения системы за время удара равно сумме действий всех внешних сил. В проекции на ось OX

(113)

Если то , то есть количество движения системы не изменяется. Следовательно, внутренние действия сил не могут изменить количества движения всей системы.

7.3 Теорема об изменении главного момента количества движения при ударе

Если равнодействующая действий внешних сил , то, учитывая, что за время удара тело остается неподвижным, определим по теореме Вариньона сумму моментов векторов относительно какого-нибудь центра O.

(114)

Для всех точек системы

(115)

Обозначим главные моменты количества движения системы относительно центра O в конце и начале удара:

, . (116)

Тогда (117)

то есть изменение за время удара главного момента количества движения системы относительно какого-нибудь центра O равно сумме моментов всех действий на систему внешних сил относительно того же центра.

Если , то , то есть главный момент количества движения не изменяется. В проекциях на любую ось, например, ось ОХ имеем

7.4 Частные случаи удара

1. Удар тела о неподвижную преграду

Если нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела, то удар называется центральным.

Если центра масс тела в начале удара направлена по нормали к плите, то удар прямой. В противном случае - косой.

При прямом ударе о плиту (рис. 21)

Но при прямом ударе о плиту векторы и направлены противоположно друг другу, поэтому , кроме того

(118)

Ударное действие тем больше, чем больше .

2. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров рис. 22).

Рис. 22. Схема удара двух шаров

Удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры.

Считая и известными, найдем и . Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как систему.

(119)

Так как масса шаров разная, то и , поэтому

(120)

Действия сил соударяющихся тел:

(121)

Здесь возможны два предельных случая:

а) абсолютно неупругий удар ().

Из (119) и (120) имеем

(122)

Подставляя полученный результат в выражение (119), получим действие силы

(123)

б) абсолютно упругий удар (). Из (119) и (120) имеем

(124)

(125)

Ударный импульс

(126)

При абсолютно упругом ударе действие силы вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. Когда и шары одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

7.5Удар по вращающемуся телу

Из этого имеем

(127)

Угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного действия к моменту инерции тела относительно оси вращения.

8. Работа, мощность, энергия

8.1 Работа силы

Для характеристики действия силы на точку или тело при их движении вводится понятие о работе силы. При ускоренном движении точки или тела работу совершает ньютоновская сила. При равномерном движении точки или тела нютоновская сила отсутствует, а работа совершается или постоянной активной силой или силой инерции. При замедленном движении точки или тела работа совершается только силой инерции. Таким образом, перед тем как определять работу силы надо обязательно установить вид движения материальной точки, так как от этого зависит сила, совершающая работу. Однако в любом случае элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении равна

(128)

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки. Размерность работы в системе СИ

Составляющая , формируя давление на связь, которая (при идеальных связях) считается недеформируемой, не совершает работу. Поскольку , то

(129)

Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения .

Рис. 23. Схема к анализу работы силы

Следствия, вытекающие из формулы (129):

1) если , то - ускоренное движение;

2) если , то - ускоренное движение;

3) если , то замедленное движение;

4) если , то - замедленное движение;

5) если , то - равномерное движение.

Знак работы имеет следующий смысл: 1 - работа положительна, когда сила ускоряет движение; 2 - работа отрицательна, когда сила замедляет движение.

Аналитическое выражение элементарной работы. Работу силы на перемещении можно вычислить как сумму работ ее составляющих на перемещениях , то есть

(130)

Это аналитическое выражение элементарной работы силы. Интегрируя на участке пути , имеем

Поскольку интеграл берется вдоль кривой , то он является криволинейным. Если постоянна по модулю, то

(131)

Графический способ вычисления работы. Если известен график зависимости от , то работу можно вычислить графически, измерив площадь (рис. 24). С учетом масштаба величин и эта площадь будет равна работе силы на перемещении . Единица измерения работы в системе СИ

Рис. 24. Схема к графическому определению работы силы

Пример. Вычислить работу силы тяжести (рис. 25).

где

Работа силы тяжести равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения

Рис. 25. Работа силы тяжести

Пример. Вычислить работу силы, приложенной к вращающемуся телу (рис. 26).

.

С другой стороны вращающий момент. Поэтому откуда

Если то Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OZ, то момент пары.

Рис. 26. Работа силы , вращающей тело относительно оси OZ

8.2 Мощность

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность , где - время, в течение которого произведена работа. В общем случае

(132)

Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения . Если тело вращается под действием вращающего момента , то

(133)

То есть, мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость вращения тела. При одной и той же мощности вращающий момент тем больше, чем меньше угловая скорость . Размерность мощности

8.3 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки определяется выражением

(134)

Размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы.

Теорема. Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Из основного закона механодинамики (рис. 27) имеем . Проектируя уравнение на направление скорости , получим (рис. 27)

(135)

Умножим обе части уравнения (135) на

Подведя под знак дифференциала, получим

(136)

Мы доказали теорему: Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.

Рис. 27. Схема движения точки M под действием силы

Интегрируя последнее выражение, имеем

(137)

Разность кинетических энергий материальной точки равна работе силы, приложенной к ней на пройденном пути.

8.4 Потенциальное силовое поле

Силовым полем называется часть пространства, в котором на находящуюся там материальную точку действует некоторая сила, зависящая от положения этой точки, то есть от координат . Проекции силы, действующей на точку, в этом случае - функции координат.

(138)

Силовое поле часто называют потенциальным. Оно описывается силовой функцией , частные производные которой по координатам равны проекциям силы поля на соответствующие оси координат.

(139)

Элементарная работа силы потенциального поля равна

То есть элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции . Интегрируя полученный результат, имеем

(140)

Работа силы потенциального поля на конечном пути равна Как видно, работа сил потенциального поля равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и, следовательно, не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемещается точка из положения в положение . Отсюда следует, что работа силы потенциального поля на замкнутой траектории равна нулю.

8.5 Понятие о потенциальной энергии

Если материальная точка перемещается в потенциальном поле из положения , в котором в положение , в котором , то работа , производимая силой поля по перемещению точки из положения в положение , называется потенциальной энергией точки .

(141)

В силовом поле Земли в качестве нулевой принимается точка на уровне моря. В ней и поэтому в общем случае

(142)

На основании этого запишем:

(143)

То есть проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратными знаками частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.

Пример. Определить работу силы гравитации Земли по перемещению материальной точки из положения в положение (см. рис. 25).

Так как

и то

Из этого имеем

8.6 Закон сохранения энергии

Пусть и - два разных положения материальной точки в силовом поле, в которых она имеет:

, , ,

, , ,

Поскольку и , то

(144)

Отсюда

(145)

При движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Этот результат, выражающий закон сохранения только механической энергии и не распространяется на другие виды энергии, например, электромагнитную.

8.7 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении

Кинетическая энергия материальной точки определяется по средней величине скорости её движения при любом виде движения. Теорема о кинетической энергии материальной точки в относительном движении часто применяется при решении инженерных задач. При этом необходимо принимать во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки.

Но так как кориолисово замедление всегда относительной скорости , то работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю и эта сила не входит в уравнение кинетической энергии. Поэтому уравнение кинетической энергии материальной точки в относительном движении c учетом (120) и (136) будет иметь вид

 (146)

Правая часть этого уравнения выражает элементарную работу сил и на относительном перемещении точки.

8.8 Пример гравитационной задачи

Известно, что Общая теория относительности (ОТО) А. Эйнштейна предсказывает искривление пространства гравитационным полем и существование черных дыр. Доказательством искривления пространства служили результаты наблюдений за отклонением траектории светового фотона далекой звезды гравитационным полем Солнца. Впоследствии эти результаты были признаны ошибочными. Законы Классической механики достаточно просто предсказывают эту ошибочность [5].

Если длина волны фотона , частота колебаний , то скорость фотона и его энергия определяется зависимостями:

(147)

где - постоянная Планка.

Сила , движущая световой фотон с длиной волны со скоростью , будет равна [5]

. (148)

Учитывая массу Солнца кг, радиус Солнца м, постоянную гравитации и обозначая массу фотона через , определим силу гравитации Солнца, действующую на пролетающий мимо фотон, по формуле

(149)

Тангенс угла отклонения фотона от прямолинейного движения при пролете вблизи Солнца будет равен

(150)

Если указанный фотон пролетает вблизи Солнца по прямой, которая параллельна линии, соединяющей центры масс Солнца и Земли, то величина его отклонения от прямолинейного движения в окрестностях Земли будет равна (рис. 28)

Рис. 28. Схема к анализу искривления траектории фотона гравитационным полем Солнца: 1 - Солнце; 2- Земля; 3- звезда

(151)

где м - расстояние от Земли до Солнца.

Наука пока не располагает приборами, способными зафиксировать величину

Гравитационный радиус Солнца, при котором оно превращается в черную дыру, сейчас определятся по формуле, не учитывающей длину волны фотона

(152)

Если гравитационный радиус черной дыры определять из равенства гравитационной силы силе , движущей фотон, то длина волны фотона учитывается.

(153)

Для Солнца и светового фотона с м имеем

(154)

Для гамма фотона с длиной волны гравитационный радиус Солнца, как черной дыры, будет равен

(155)

и ему будет соответствовать плотность вещества Солнца . Если учесть, что плотность ядер атомов оценивается величиной , то появляются серьезные основания сомневаться в существовании черных дыр [5].

Таким образом, ошибка в определении гравитационного радиуса черной дыры по формуле (152) составляет 11 порядков, но астрономы до сих пор не знали об этом [5].

точка тело движение инерция гравитация

9. Механодинамика механической системы

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки или тела зависят от положения и движения всех остальных точек (тел). Классическим примером механической системы являются трактор, комбайн, автомобиль.

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (группа работающих в поле тракторов), не образует механическую систему. Силы, действующие на точки или тела системы, могут быть внешними и внутренними. Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны других тел или точек, не входящих в состав данной системы. Внутренними называют силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Основное свойство внутренних сил заключается в том, что геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. Это свойство вытекает из четвёртого закона механодинамики.

Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси также равняется нулю.

9.1 Масса системы. Центр масс

Движение системы зависит не только от действующих на нее сил, но и от ее суммарной массы и распределения масс, входящих в систему. Масса системы M равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему .

Как известно, координаты центра тяжести тела определяются по формулам:

 (156)

где - координаты точек приложения сил тяжести частиц тела, - веса частиц тела, - вес всего тела.

Учитывая, что и , имеем:

(157)

где - координаты геометрической точки C, называемой центром масс, системы (рис. 29).

Рис. 29. Схема комбайна - механической системы

Если положение центра масс определяется его радиусом-вектором , то

(158)

где - радиусы-векторы точек, образующих систему.

В однородном поле тяжести положения центра масс и центра тяжести совпадают, но понятия эти не тождественны. Понятие о центре тяжести имеет смысл для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие о центре масс имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, находящихся как в поле тяжести, так и вне этого поля.

9.2 Момент инерции тела относительно оси

Положение центра масс не полностью характеризует распределение масс системы. Например, при увеличении (рис. 30) положение центра масс C системы двух шаров и штанги, соединяющей их, не меняется, а распределение масс станет другим, и изменится движение (вращение замедлится).

Чтобы учесть распределение масс в системе, введено понятие момент инерции системы, который характеризует распределение масс.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси (или осевым моментом) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек этого тела (системы) на квадрат их расстояний до оси.

(159)

Рис. 30. Схема к определению момента инерции системы двух шаров

Момент инерции тела (системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

Осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Единицей измерения момента инерции в системе СИ будет

При вычислении осевых моментов инерции расстояния от точек тела или системы до осей можно выражать через координаты этих точек. Например, через координаты точки тела (рис. 31).

Или (160)

Рис. 31. К определению осевых моментов инерции

В плоскости XOY (если материальная точка лежит в этой плоскости).

(161)

Радиусом инерции тела относительно оси OZ, называется линейная величина , определяемая равенством . То есть

(162)

где и - координаты центра масс тела.

Радиус инерции тела равен расстоянию от оси OZ до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки относительно оси OZ был равен моменту инерции всего тела относительно той же оси.

Для сплошного тела , но , где - плотность вещества; - объем тела; - расстояние от элемента тела до оси OZ, поэтому

9.3 Моменты инерции некоторых однородных тел

1. Момент инерции тонкого однородного стержня длиной и массой M относительно оси OZ, проходящей перпендикулярно стержню через его конец (рис. 32). Для любого элементарного отрезка длиной , величина , масса . Поскольку плотность , то

(163)

Таким образом, момент инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной его концу, равен одной третьей произведения массы стержня на квадрат его длины.



Рис. 32. Схема к определению момента инерции однородной пластинки

2. Момент инерции круглого однородного кольца радиуса и массы относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис. 33), равен

(164)

Рис. 33. К определению момента инерции однородного кольца

Момент инерции однородного кольца относительно оси OZ, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, равен произведению массы кольца на квадрат его радиуса.

3. Момент инерции круглого однородного диска относительно оси OZ, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (рис. 34), равен



Рис. 34. К определению момента инерции однородного диска. Ось CZ перпендикулярна плоскости рисунка

(165)

где - поверхностная плотность круга.

Переходя к пределу, получим

(166)

4.Момент инерции круглого цилиндра равен

5. Момент инерции шара равен

9.4 Момент инерции тел относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями (рис. 35).

Момент инерции точки тела относительно оси O'Z' равен . Тогда момент инерции тела относительно этой же оси определится по формуле

но из рис. 33 следует, что а , поэтому

(167)

Рис. 35. К доказательству теоремы Гюйгенса

Так как ось OY лежит в плоскости, проходящей через центр масс C тела, то , поэтому и

(168)

Как видно, , поэтому из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс тела.

9.5 Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 34). P - вес маятника; - момент инерции относительно оси подвеса; - расстояние от оси подвеса до центра масс C маятника.

Дальше будет показано, что дифференциальное уравнение колебаний физического маятника (на основании рис. 34) имеет вид

(169)

Обозначая и ограничиваясь малыми колебаниями, когда , имеем

(170)

Рис. 36. Схема физического маятника

Это дифференциальное уравнение свободных колебаний точки и его общее решение имеет вид

(171)

Если при то и закон малых колебаний маятника при заданных начальных условиях запишется так

(172)

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими. Период этих колебаний определяется по формуле

(173)

Как видно, для малых колебаний период от угла начального отклонения не зависит. При указанная формула определяет период с погрешностью до 1%.

9.6 Экспериментальное определение момента инерции тел

Подвесив тело так, чтобы ось подвеса OZ была горизонтальна, найдем период его малых колебаний . Затем методом взвешивания найдем положение центра масс C тела и величину (рис. 37, а). Тогда из формулы (173) будем иметь

(174)

Определение момента инерции по способу крутильных колебаний. Испытуемое тело подвешивается в центре масс на проволоке к неподвижной точке C (рис. 37, b).

Поскольку момент упругих сил проволоки пропорционален углу ее закручивания , то дифференциальное уравнение гармонических колебаний тела относительно оси CO имеет вид

(175)

где - момент инерции тела относительно оси OC.

Рис. 37. К определению момента инерции тела

Так как момент инерции тела во вращательном движении играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении, то период колебаний определяется по аналогичной формуле (173).

(176)

Для определения постоянной находят период крутильных колебаний эталонного тела на той же проволоке с известным моментом инерции относительно оси CO. Решая последнее уравнение относительно и приравнивая результаты, имеем

(177)

Откуда

(178)

9.7 Вращательное движение твёрдого тела и механической системы

Законы механодинамики позволяют описать все фазы вращательного движения твёрдого тела или их совокупностей, представляющих механическую систему, и проанализировать процесс генерации инерциальных моментов.

Методика применения законов механодинамики требует четкого учёта фазы движения или вращения материальных тел. Их три: ускоренное, равномерное и замедленное движение (вращение). Начальной фазой вращения ротора электромеханической системы, вращающейся за счёт энергии электродвигателя, является ускоренное вращение. Оно действует в течение короткого промежутка времени в момент начала его вращения, но мы не можем игнорировать роль этой фазы в формировании равномерного вращения системы (рис. 38).

Рис. 38. График изменения вращающих моментов, действующих на ротор электрогенератора при запуске его в работу и при равномерном вращении

Ускоренное вращение ротора электродвигателя обеспечивает активная ньютоновская сила, которая в этом случае формирует момент вращения ротора электродвигателя, поэтому у нас есть основания назвать его ньютоновским моментом . Ему сопротивляются все механические сопротивления и инерциальный момент (рис. 38). В соответствии с главным принципом механодинамики уравнение моментов, действующих на ускоренно вращающийся ротор электродвигателя и всей его нагрузки, запишется так

(179)

В момент начала вращения ротора его пусковой момент преодолевает сопротивления в виде моментов механических и рабочих сопротивлений и в виде инерциального момента . Сумма этих сопротивлений равна (рис. 38). Как только ротор начинает вращаться равномерно, то инерциальный момент становится положительным и не сопротивляется вращению ротора, а способствует его равномерному вращению (рис. 38). Равномерному вращению ротора сопротивляются: рабочая нагрузка, механические и аэродинамические сопротивления -.

На рис. 39 - экспериментальное доказательство достоверности описанного и - математической модели (179).

В соответствии с законами механодинамики, равномерное вращение ротора всегда следует после ускоренного вращения. Осциллограмма изменения пускового момента ротора убедительно доказывает это (рис. 39). Амплитуда первого импульса тока более 10А. Она больше средней амплитуды почти в 2 раза и это естественно, так как в этот момент вращению ротора сопротивляются не только механические моменты , но и инерциальный момент (рис. 39). Особо подчеркнём - инерциальный момент, а не момент инерции ротора.

Рис. 39. Осциллограмма пусковых значений напряжения и тока обмотки возбуждения ротора при питании от сети

Анализ осциллограммы на рис. 39, показывает, что величины амплитуд импульсов тока становятся одинаковыми, примерно, после 5-го импульса. Это значит, что равномерное вращение ротора, в данном случае, начинается после 5-го импульса.

Связь между кинетической энергией равномерно вращающегося тела и его мощностью следует из работы, совершаемой им при равномерном вращении за одну секунду

. (180)

Так как мощность генерирует момент сил, то его величина определяется по формуле

. (181)

Из формул (180) и (181) следует, что сумма моментов, действующих на вращающиеся тела, не может равняться нулю, что и доказывает ошибочность первого закона Ньютона.

Однако, для нас важнее фаза равномерного вращения, так как в ней скрыт весь многочасовый рабочий режим вращающейся механической системы. На рис. 38 моменты, приложенные к механической системе, вращающейся равномерно после короткой фазы ускоренного вращения. Равномерное вращение тела или механической системы описывает второй закон механодинамики, который гласит: равномерное вращение тела при наличии сопротивлений происходит под действием инерциального момента , а постоянный активный момент преодолевает моменты сопротивления вращению тела. Его математическая модель имеет вид

. (182)

Как видно (182), суммарный момент сопротивления вращению тела преодолевается не только активным приводным моментом , но и инерциальным моментом . В подобных уравнениях динамики Ньютона инерциальный момент отсутствует, а в механодинамике (182) присутствует. Величина инерциального момента зависит от момента инерции вращающегося тела и определяется по формуле