Курс лекций по теоретической механике

Если точку A связать с другой неподвижной точкой O связью , то количество степеней свободы у точки A уменьшится на единицу и ее положение можно будет описать уже двумя параметрами: и . При этом уравнение связи будет иметь вид (уравнение сферы). Обобщенные параметры обозначаются буквой: , где - число степеней свободы системы. Следовательно, для точки A обобщенные параметры и

Рис. 63. Схема к анализу возможных перемещений точки A

Если на точку A (рис. 63) наложить еще одну связь, то у нее останется одна степень свободы и один обобщенный параметр, а именно и появятся два уравнения связи (рис. 63)

И

Из изложенного следует, что свободная материальная точка имеет три степени свободы, а таких точек - степеней свободы. После объединения этих свободных точек с помощью связей в систему общее количество степеней свободы точек уменьшится на количество связей между ними. Поэтому любая механическая система, состоящая из точек, имеет степеней свободы.

Рис. 64. Схема кривошипно-шатунного механизма

У кривошипно-шатунного механизма (рис. 64) точка A имеет две связи, точка B - три. Из этого следует, что тогда

Пример (рис. 65). Плоский математический маятник имеет очевидно одну () степень свободы, поэтому его положение определяется одной обобщенной координатой . Её роль здесь могут выполнить: угол дуга и площадь .

Координата не определяет положение точки M однозначно, так как точка M может отклониться вправо и влево от оси OX и иметь при этом одну и ту же координату . Поэтому не может выполнить роль обобщенной координаты.

Рис. 65. Схема плоского математического маятника

Кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах записываются так:

Наряду с понятием обобщенные координаты системы существует понятие обобщенная скорость.

1. Если - линейная величина, то - линейная скорость;

2. Если - угол, то - угловая скорость;

3. Если - площадь, - секториальная скорость.

13.2 Обобщенные силы

Сообщая системе независимое возможное перемещение, при котором у нее изменится только одна обобщенная координата , найдем элементарную работу

где - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате .

Здесь включает в себя все силы, действующие на систему на перемещении . Как ее определить?

Если на точку системы действует сила , то элементарная работа этой силы на элементарных изменениях декартовых координат определится так

(270)

Связь между приращениями декартовых и обобщенных координат устанавливается на основании того, что приращения (изменения, вариации) декартовых координат равны полным дифференциалам функций: по независимым переменным.

Заменяя вариации и в уравнении (270), имеем:

(271)

Просуммируем результаты в скобках и обозначим:

(272)

Тогда выражение элементарной работы сил системы в обобщенных координатах

(273)

где - обобщенные силы, являющиеся коэффициентами при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Пример (рис. 66). На точку действует сила .

Декартовы координаты точки ;

Найти обобщенные силы и , соответствующие обобщенным координатам и . На основании уравнений (272) имеем:



Рис. 66. Схема к определению обобщенных сил

После подстановки в эти уравнения частных производных от координат точки по обобщенным координатам и , получим

Сумма (273) элементарных работ обобщенных сил и запишется так

Если у системы изменяется какая-нибудь одна обобщенная координата, например, , то и откуда Таким образом, чтобы найти интересующую нас обобщенную силу , нужно дать системе перемещение, соответствующее одной обобщенной координате , а все остальные обобщенные координаты оставить неизменными. Тогда обобщенная сила будет равна ее элементарной работе по перемещению всех точек системы , деленной на приращение соответствующей обобщенной координаты .

(274)

Как видно, размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.

13.3 Обобщенные силы в потенциальном силовом поле

Если на систему действуют только потенциальные силы, то силовая функция в декартовых координатах , а в обобщенных координатах

(275)

Тогда полный дифференциал функции (275) равен сумме элементарных работ потенциальных сил.

(276)

Как видно, в данном случае:

(277)

Так как потенциальная энергия , то

(278)

Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии по соответствующим обобщенным координатам.

Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) в декартовых координатах

2) в обобщенных координатах

Так как - независимые между собой величины, то указанное условие будет выполнено при или при

Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам, были равны нулю.

В случае потенциальных сил условие равновесия запишется так:

(279)

(280)

то есть при равновесии системы полный дифференциал функции или равен нулю:

Таким образом, система, на которую действуют потенциальные силы, находится в равновесии в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеют экстремумы ( или ) или, если ее потенциальная энергия постоянна.

13.4 Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода)

Чтобы найти дифференциальные уравнения движения механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики

(281)

Будем считать все связи, наложенные на систему, идеальными. Тогда в первую сумму войдут работы активных сил, а во вторую - сил инерции. Если система имеет степеней свободы, то:

где - обобщенные активные силы;

здесь - обобщенные силы инерции.

Подставляя полученные данные в уравнение (281), имеем

(282)

Так как все между собой не зависимы, то полученное равенство будет выполняться тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности будет равен нулю.

(283)

Выразим силы инерции через кинетическую энергию системы, то есть через массы точек системы и их скорости

(284)

Учтем, что частная производная от по есть предел отношения частного приращения к приращению .

Откуда в соответствии с правилом Лопиталя

(285)

где - скорость -той точки системы, определяемая радиусом-вектором ; - обобщенная скорость, соответствующая координате

Операции полного дифференцирования по и частного дифференцирования по переместительны, что дает

(286)

Теперь равенство (284) можно представить так

(287)

или

(288)

Обозначим - кинетическая энергия системы. Тогда

(289)

Подставляя этот результат в уравнение (284) и учитывая все обобщенные координаты, имеем:

(290)

Это и есть дифференциальные уравнения движения системы с геометрическими связями или уравнения Лагранжа II-го рода. Это - дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Если реакции связей оказываются известными, то они включаются в уравнения Лагранжа совместно с активными силами.

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Преимущество этих уравнений в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся.

При идеальных связях в правые части уравнений входят обобщенные активные силы и, следовательно, эти уравнения позволяют исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Основная задача механики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде:

(291)

13.5 Случай потенциальных сил

Если все действующие на систему силы потенциальны то, учитывая, что

(292)

а также то, что потенциальная энергия зависит от обобщенных координат и не зависит от обобщенных скоростей, из уравнений (290) имеем

(293)

Подчеркнем, чтоэто равенство справедливо потому, что потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от обобщенных скоростей .

Введем функцию . Это функция Лагранжа или кинетический потенциал. В случае потенциальных сил уравнения Лагранжа (285) примут вид:

(294)

Из этого следует, что если на систему действуют только потенциальные силы, то ее состояние определяется заданием только функции Лагранжа. Зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. Уравнения Лагранжа удобны тем, что их можно использовать для изучения относительного и абсолютного движения любой механической системы с геометрическими связями независимо от количества точек или тел, входящих в систему.

13.6 Последовательность решения задач с помощью уравнений Лагранжа II-го рода

1) Изобразить механическую систему схематически;

2) установить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты;

3) показать на схеме все действующие силы (для систем с идеальными связями - только активные);

4) вычислить обобщенные силы (при этом, чтобы избежать ошибок в знаках, каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным); если перемещение изменяет две обобщенные координаты, то соответствующие ей обобщенные силы определятся по формулам:

(295)

5) вычислить кинетическую энергию системы и выразить ее через обобщенные координаты и обобщенные скорости , и подставить все вычисленные величины в конечные уравнения (295).

Если заданы начальные условия и известны силы, приложенные к системе, то после интегрирования полученных уравнений будет найден закон движения системы в виде:

(296)

Если закон задан, то составленные уравнения позволят определить силы, действующие на систему. Когда они являются потенциальными, то вместо обобщенных сил определяют потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты. Затем определяют кинетическую энергию системы и составляют функцию Лагранжа . Подставляя в уравнения (294) и интегрируя их, находят искомый результат.

14. Элементы теории гироскопических явлений

14.1 Общие сведения о гироскопах

Гироскопом называют твердое тело, вращающееся вокруг оси, направление которой в пространстве может изменяться со временем.

В гироскопических приборах гироскопы обычно закрепляют в кольцевом подвесе так, чтобы при любом повороте гироскопа его центр масс оставался неподвижным (рис. 67).

Гироскопы имеют очень большую угловую скорость собственного вращения вокруг своей оси симметрии, что дает возможность не учитывать (в первом приближении) другие вращения. Кинетический момент гироскопа относительно его неподвижной точки O направлен по оси OZ в ту же сторону, куда и вектор .

(297)

где - момент инерции гироскопа относительно оси его симметрии.

Рис. 67. Схема гироскопа

Свободный гироскоп. Гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра, называется свободным (рис. 67). Пренебрегая трением в осях, имеем

(298) и - условие равновесия.

Поскольку вектор направлен все время по оси гироскопа, то отсюда следует, что ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Кинетический момент гироскопа определится по формуле

(299)

14.2 Действие силы на ось гироскопа

Пусть на ось быстро вращающегося гироскопа действует сила (рис. 68), тогда и по теореме моментов имеем

(300)

где B - конец вектора

Учитывая, что , получаем

Рис. 68. Схема действия силы на ось гироскопа

Скорость конца вектора кинетического момента тела относительно центра O равняется по модулю и по направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра (теорема Резаля). Следовательно, при действии силы на ось гироскопа точка B, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора

Таким образом, если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор момента этой силы относительно неподвижной точки O гироскопа, то есть, перпендикулярно силе . Когда действие силы прекращается, то и , и ось гироскопа возвращается в исходное положение.

Если сила действует кратковременно (толчок), то ось гироскопа практически не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа.

14.3 Регулярная прецессия тяжелого гироскопа

Если неподвижная точка O гироскопа (рис. 69) не совпадает с центром тяжести C, то на ось гироскопа все время действует сила, которая по доказанной выше теореме Резаля будет отклонять ось гироскопа не вниз, а по направлению , то есть по направлению, перпендикулярному плоскости в результате ось гироскопа начнет вращаться вокруг вертикальной оси , описывая коническую поверхность. Такое движение оси гироскопа называется прецессией (рис. 69).

Найдем угловую скорость прецессии . Введем обозначение . Учтем, что и . С другой стороны так как

Поскольку , то . Следовательно, равенство дает откуда

(301)

Рис. 69. Схема к анализу прецессии гироскопа

Так как велика, то угловая скорость прецессии будет величиной малой.

Период прецессии оси Земли в силу того, что равнодействующая сил притяжения Солнца и Луны не проходит через центр масс Земли (из-за ее не шарообразной формы) равен примерно 26000 лет.

14.4 Гироскопический момент

Так как и , то момент создает реактивную пару сил N и N', которая стремится совместить ось вращения с осью (рис. 69). За счет этой пары у быстровращающегося прецессирующего волчка ось вращения принимает вертикальное положение.

Пара сил называется гироскопической парой, а ее момент - гироскопическим моментом. Так как по модулю , то

(302)

Отсюда следует правило Н.Е. Жуковского. Если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, будет действовать пара сил с моментом , стремящимся кратчайшим путем установить ось его собственного вращения параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов и при этом совпали.

Кроме давления на подшипники гироскопический момент может вызвать движение того тела, с которым скреплены эти подшипники, если это движение допускается наложенными связями. Это обязательно надо учитывать.

У массивных и быстро вращающихся механизмов сельхозмашин тоже возникает гироскопический момент. Гироскопический момент вращающегося молотильного барабана комбайна настолько велик, что при резком повороте этого комбайна с включенной молотилкой может произойти поломка подшипников вала молотильного барабана.

Литература

1. Бурдун Г.Д. Справочник по международной системе единиц. Издательство стандартов. М. 1977. 232с.

2. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика. М.: «Колос», Высшая школа, 2000.

3. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах.- СПб.: Издательство «Лань», 2004.-730 с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. 14-е изд. М.: Высшая. школа. 2004.- 416 с.

5. Канарев Ф.М. Начала физхимии микромира. 12-е издание. Краснодар, 2010. 754 с.

Размещено на allbest.ru