Механика движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекции

Механика



1. Кинематика и динамика вращательного движения. Момент инерции. Момент импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Простейшей формой движения материи является механическое движение. Оно представляет собой изменение положения тела или его отдельных частей в пространстве, т.е. относительно друг друга. Основная задача механики состоит в ответе на вопрос: где будет находиться тело в интересующий нас момент времени.

Любое движение в механике может быть представлена как комбинация двух основных видов движения: поступательного и вращательного.

Рассмотрим наиболее простой случай вращательного движения: вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси.

Тело называется абсолютно твердым, если расстояние между его любыми двумя точками неизменно. Понятно, что это понятие является физической абстракцией. Реально этому условию удовлетворяют тела, деформациями которых при решении тех или иных задач можно пренебречь.

При вращении разные точки твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых образуют прямую. Эта прямая и называется осью вращения. Легко заметить, что угловые перемещения всех точек за один и тот же промежуток времени t будут при этом одинаковыми. По этой причине положение вращающегося тела целесообразно определять углом, на который оно поворачивается относительно своего начального положения. Уравнением вращательного движения в этом случае будет функция = f(t), которая будет иметь один и тот же вид для всех точек тела. Получим выражение этой функции в общем виде. Для этого достаточно рассмотреть движение одной из точек тела вокруг оси.

Пусть твердое тело вращается вокруг оси . Траектория движения точки М будет представлять собой окружность, плоскость которой перпендикулярна , а центр 0 лежит на этой прямой. Положение произвольной точки М на траектории будем определять углом , который образует радиус-вектор , проведенный из центра окружности к точке М, с лучом 0х, лежащим в плоскости траектории и выбранным за начало отсчета.

В СИ измерение угла производится в радианах. Угол в 1 радиан - это центральный угол, который опирается на дугу длинной равной радиусу окружности r. Т.е., чтобы определить угол в радианах надо длину дуги разделить на её радиус кривизны:

(1)

Рассмотрим основные кинематические параметры вращательного движения. Пусть за бесконечно малый промежуток времени dt материальная точка из положения М переместится в положение , пройдя путь ds. При этом радиус-вектор повернётся на бесконечно малый угол d.

Угловая скорость - это вектор численно равный углу поворота радиус-вектора за единицу времени и направленный так, что с его острия движение точки совершается против часовой стрелки. Начало находится в точке О.

. . (2)

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения (Т). Т.к. угол поворота, соответствующий одному полному обороту = 2 рад, то при равномерном движении



. (3)

Величину равную числу оборотов тела за единицу времени называют частотой вращения n:

; . (4)

Уравнение равномерного вращательного движения (щ = const) получим, решив дифференциальное уравнение (2):

. (5)

При неравномерном вращении быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением :

. . (6)

- это вектор, расположенный на оси вращения и направленный, так как и , если скорость растет, и в противоположном направлении, если скорость уменьшается.

В общем случае, уравнение равноускоренно вращательного движения (в = const) можно получить, решив дифференциальное уравнение (6) относительно :



= ₀ + t, (7)

(8).

Для описания движения по круговой траектории можно использовать и уже знакомые нам линейные кинематические параметры. Например, скорость движения точки по траектории:

. . (9)

Эта скорость при переходе из одной точки траектории (М) в другую будет меняться в общем случае как по величине, так и по направлению:

(10)

Разложим вектор на две составляющие:- направленную вдоль и - проведенную так, что . Из чертежа видно, что d_ф -равна приращению модуля скорости , а определяет изменение направления вектора скорости при переходе точки тела из положения М в .

(11).

Разделив (11) на dt, получим:

(12)



Так как - это полное линейное ускорение , то (12) перепишется

, (13) где - тангенциальное ускорение, которое характеризует быстроту изменения скорости по величине (по модулю); d_n/dt = a_n - нормальное ускорение, которое определяет „быстроту” изменения направления скорости. Установим взаимосвязь линейных и угловых параметров движения по окружности. Из соотношения (1)

s = r. (14)

Продифференцировав правую и левую часть по t, имеем:

, т.е. = r . (15)

Эта формула определяет взаимосвязь модуля линейной скорости и модуля угловой скорости . Дифференцируем (15) еще раз по t, получим для тангенциального ускорения:

, а = r. (16)

Из треугольника при радианной мере малых углов:

d_n = ·sind = ·d. Но , тогда .

Дифференцируя по t правую и левую часть последнего равенства, получим: кинематика динамика импульс колебание



отсюда . (17)

Учитывая (15), из (17) получим:

a_n = ²r (18)

Из АВС (dх)² = (dх_ф)² + (dх_n)² или после деления на (dt)² - . С учетом (16) и (18)

. (19)

2. Динамика вращательного движения

Установим взаимосвязь между кинематическими и динамическими параметрами вращательного движения. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ZZ^?. Т.к. все точки тела движутся по окружностям, плоскость которых перпендикулярна оси вращения, то это означает, что равнодействующие сил приложенных к каждой точке лежат в плоскости траекторий. Разложим равнодействующую сил , приложенную к элементу массы m_i на две составляющие:- вдоль радиуса и - касательную к траектории. Нормальная составляющая сил , линия действия которой лежит в плоскости траектории, проходит через ZZ^? и обеспечивает центростремительное ускорение элемента массы m_i и не влияет на величину углового ускорения. Составляющая вызывает тангенциальное ускорение . По второму закону Ньютона



. (20)

С учетом (16)

F_i,=m_ir_i. (21)

Умножив (21) на r_i, получим:

, (22)

, (23)

где - момент силы относительно оси ZZ^?.

Моментом силы называется вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на длину плеча. Направление вектора перпендикулярно к плоскости, в которой лежит вектор силы, и определяется по правилу буравчика.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Скалярная величина называется момент инерции материальной точки относительно оси вращения ZZ^?.

Просуммируем (23) по всем элементам массы тела: . Получим: или в векторном виде (24)

Здесь - результирующий момент силы, действующий на тело; - момент инерции тела.

Равенство (24) называется основным уравнением динамики вращательного движения. Т.к. скалярная величина J всегда положительная, то векторные величины и всегда направлены в одну сторону вдоль оси вращения тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения по форме сходно с математическим выражением второго закона Ньютона :

-

Из сопоставления вытекает, что при вращательном движении роль силы играет момент силы (вращательный момент), а инертные свойства тела выражаются моментом инерции тела - J.

3. Момент импульса. закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называют векторную величину, модуль которой

. (25)

Тогда момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения

или в векторной форме

, (26)



т.е. лежит на оси вращения и совпадает по направлению с (направление определяется так же как и для - по правилу буравчика).

Запишем для нашего тела основное уравнение динамики вращательного движения в виде:

(27)

Если М = 0, то dL/dt = 0 т.е.

L = J = const. (28)

Момент импульса тела остается неизменным, если суммарный момент всех внешних сил действующих на тело равен нулю - это закон сохранения момента импульса.

Для системы из N тел, которые вращаются вокруг общей оси, закон сохранения импульса записывается в виде:

. (29)

4. Работа и энергия при вращательном движениии

Пусть под действием силы , приложенной в точке В, тело повернулось на угол d. Определим элементарную работу этой силы. Разложим силу на нормальную и тангенциальную составляющие. Очевидно, что работы не производит, т.к. перпендикулярна перемещению тела. Тогда



. (30)

Работа при повороте тела из положения определяющегося углом в положение будет

. (31)

Кинетическую энергию вращающегося тела можно представить как сумму кинетических энергий бесконечно малых элементов этого тела с массой m и скоростью ₁.

. (32)

Подставим и в (30)

. (33)

Механические колебания. Незатухающие и затухающие колебания. Дифференциальное и кинематическое уравнение затухающих колебаний. Параметры затухания: коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания. Резонанс. Механические волны. Кинематическое и дифференциальное уравнение волны. Поток энергии волны. Вектор Умова.

Колебаниями называется вид движения физических тел или такие процессы, для которых характерна та или иная степень повторяемости во времени. Например, принципом повторяемости обладают: движения маятника и гитарной струны, голосовых связок и барабанной перепонки уха, колебания температуры воздуха и напряжения в электросети, изменение освещенности на улице в связи со сменой дня и ночи и т.д. Как видно из приведенных примеров, колебания имеют различное происхождение, иначе говоря, разную физическую природу: колебания механические, тепловые, электрические, электромагнитные, оптические и др.

Если повторяемость состояний колеблющейся системы имеет произвольный характер, то такие колебания называются апериодическими или непериодическими. Колебания, для которых последовательность состояний системы повторяется через равные промежутки времени, называются периодическими. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном периодические колебания.

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колебательную систему извне, различают: свободные (или собственные) колебания и колебания вынужденные. По этому признаку различают еще автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются колебания, которые совершаются за счет внутренних сил системы, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщён внешний первоначальный толчок, породивший эти колебания. Например, шарик на нити.

Вынужденными называются колебания, которые совершаются под постоянным воздействием внешней переменной силы. Например, колебания моста, когда по нему идут пешеходы.

Если с течением времени запас энергии колебательной системы не меняется, то такое колебание называется незатухающим. Если же эта энергия уменьшается, то - затухающим.

Независимо от природы, все виды колебательного движения имеют общие закономерности, т.е. протекают по одним и тем же законам и характеризуются одними и теми же параметрами: периодом Т, частотой н, амплитудой А и фазой ц.

Закон колебательного движения - это уравнение, которое показывает, как с течением времени изменяются параметры, описывающие состояния колеблющегося тела. Простейшими являются гармонические колебания, для которых изменение величин, описывающих состояние системы, происходит по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, т.к. в природе и в практической сфере колебания очень часто имеют характер близкий к гармоническому или могут быть представлены как сумма нескольких простых гармонических колебаний.

5. Незатухающие гармонические колебания

Получим закон гармонических колебаний на примере механического движения механических колебаний. Это вид колебаний, при котором тело поочерёдно и многократно совершает отклонения от своего положения равновесия в одну и другую сторону.

Рассмотрим колебания пружинного маятника вдоль горизонтальной оси при отсутствии силы сопротивления. Пружинный маятник представляет собой массивный шарик массой m, прикрепленный к пружине с ничтожно малой массой и жесткостью k. Другой конец пружины закреплен неподвижно. Если вывести шарик из равновесия и отпустить, то под воздействием силы упругости деформированной пружины система пружина-шарик придет в колебательное движение. Положение шарика на оси будем определять смещением s, т.е. расстоянием от положения равновесия до шарика. Наша цель решить основную задачу механики - найти ответ на вопрос: где будет находиться тело в произвольный момент времени t, т.е. найти вид функции s = f(t)?

Примем за начало отсчета точку 0, в которой находится центр шарика в равновесном состоянии системы, т.е. при отсутствии деформации в пружине. Пусть в момент времени t шарик находится на расстоянии s от положения равновесия. Характер движения в данный момент времени определяется равнодействующей приложенных к шарику сил: . Т.к. трение по условию отсутствует, а сила тяжести перпендикулярна стержню, то характер движения будет определяться только силой упругости деформированной пружины:

(1)

В соответствии со 2-ым законом Ньютона эта сила сообщает шарику ускорение , тогда в скалярном виде можно записать:

, (2)

но т.к. a = d²s /dt² то

. (3)

Разделим правую и левую часть (3) на m и обозначим k/m = . Сгруппировав все члены в левой части равенства, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

или . (4)



Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: к² + = 0, корни которого к_1,2 = ±iщ₀ - мнимые числа. Тогда общее решение (4) будет:

s = С₁cosщ₀t + C₂sinщ₀t. (5)

Для любых С₁ и С₂ всегда можно подобрать другие произвольные постоянные А и ц₀ такие, что С₁ = Аsin ц₀ а С₂ = Аcosц₀, Тогда общее решение (4) примет вид:

s = А(sin ц_0,1·cosщ₀t + cosц_0,1·sinщ₀t) = Аsin(щ₀t + ц_0,1). (6)

Если выражения для С₁ и C₂ поменять местами (С₁ = Аcosц₀ а С₂ = Аsin ц₀), то общее решение будет иметь вид:

s = А(cos ц_0,2·cosщ₀t + sinц_0,2·sinщ₀t) = Аcos(щ₀t + ц_0,2) (7)

Данные функции (6) и (7) и есть искомые кинематические уравнения гармонического колебания. Аргумент этой функции (₀t + ц₀) называется фазой колебания; ₀ - постоянная составляющая фазы называется начальной фазой; - собственная циклическая (круговая) частота колебаний данного пружинного маятника (, , тогда ); А - амплитуда колебаний, в данном случае максимальное значение смещения s. В общем случае амплитуда А - это наибольшее значение величины, изменение которой с течением времени выбрали для описания изучаемых колебаний.

Графики гармонического колебания представляют собой синусоиды:

Получим уравнения, описывающие изменения скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания. Пусть s = Аcos(щ₀t + ц₀), тогда

, (8)

. (9)

Как видно, скорость и ускорение тоже изменяются по гармоническим законам, но скорость опережает по фазе смещение на /2, а ускорение на , т.е. ускорение находится в противофазе со смещением. В целом, тела, на которые действуют равнодействующие вида F = -kx (такие силы называются квазиупругими), будут совершать гармонические колебания.

Рассмотрим процесс колебательного движения с энергетической точки зрения. Смещая тело из положения равновесия, мы деформируем пружину, сообщая системе тем самым запас потенциальной энергии. Отпустив тело, мы даем ему возможность двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы, превращается в кинетическую. В момент прохождения положения равновесия потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую. Продолжая движение по инерции, тело опять деформирует пружину, т.е. кинетическая энергия начинает превращаться в потенциальную. В момент, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, смещение достигнет амплитудного значения, тело остановится и начнет двигаться обратно. Опять потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую и т.д. (рис4). Т.о., с точки зрения энергетической, механическое колебание - это процесс многократных, последовательных превращений потенциальной энергии в кинетическую и обратно.



(10)

, (11)

, (12)

т.е. полная энергия системы величина постоянная.

6. Затухающие гармонические колебания

В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колебательной системе обязательно будет действовать и сила сопротивления. Будет считать, что скорости движения при колебаниях будут небольшими, тогда сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:

, (13)

где r -коэффициент сопротивления. Учитывая только силу сопротивления (13) и силу упругости (1) согласно II закону Ньютона для уравнения движения получим:

(14)

(15)

Разделив правую и левую часть (15) на m и обозначив k/m = , а r/m = 2в, получим:



или (16).

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

к² + 2·к + = 0 имеет корни . (17)

Отсюда видно, что движение будет колебательным, только если ² При этом условии корни (17) будут комплексными числами и решением уравнения (16) будет периодическая функция. Представим корни (17) в виде:

, где .

Теперь решением уравнения (16) будет функция: s = е^-вt(С₁cosщ₀t + C₂sinщ₀t). Заменяя С₁ и С₂ через другие постоянные А₀ и ц₀ такие, что С₁ = А₀cosц₀ а С₂ = А₀sinц₀ окончательно получим:

s = А₀е^?вtcos(щt + ц_{_}) (18).

Это уравнение свободных затухающих колебаний, график которых представлен на рис. 5. Как видно амплитуда свободных затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону

А = А₀ е^?вt , (19)



Круговая частота этого колебания =, а период Т = 2р/. Как видно ни частота, ни период затухающих колебаний не равны соответствующим параметрам собственных колебаний системы.

Для описания быстроты затухания колебаний используют три взаимосвязанные величины: коэффициент затухания

, [] = 1/с.

Декремент затухания -

(20)

и логарифмический декремент затухания

?n ?nе^вТ = вТ. (21)

7. Вынужденные колебания

Свободные колебания в силу наличия трения всегда будут затухающими. Чтобы колебания были незатухающими необходимо компенсировать потери энергии. Если рассматривать механические колебания, то роль фактора восполняющего эти потери будет играть внешняя переменная сила, которую называют вынуждающей.

Рассмотрим колебания под воздействием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:



F = F_{_}соsщ_вt. (22)

С учетом квазиупругой силы (1) и силы сопротивления (13) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется:

(23).

Разделив правую и левую часть на m, и обозначив: , , , после перегруппировки слагаемых, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(24).

Решением этого уравнения будет функция:

s = Acos(щ_вt+ц₀) (25).

Это уравнение установившихся вынужденных колебаний. Здесь:

, (26)

. (27)



Как видно из (25) эти колебания, происходящие под воздействием гармонической вынуждающей силы, тоже будут гармоническими . Их частота равна частоте вынуждающей силы, однако как показывает сопоставление (22) и (25), вынужденные колебания тела отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы на ц₀.

Из выражения для амплитуды видно, что ее значение зависит от соотношения частоты вынуждающей силы щ_в и собственной частоты колебательной системы щ_о. Очевидно, если подкоренное выражение будет минимально, то амплитуда вынужденных колебаний достигнет своего максимального значения. Исследование на экстремум дает:

-2(щ₀² - щ_в²) ·2щ_в + 8в²щ_в = 0,

щ_в² - щ₀² + 2в² = 0,

что будет иметь место, если

_. (28)

Амплитуда при этом достигает значения

А_рез = . (29)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы получило название резонанса, а соответствующая частота вынуждающей силы - резонансной частотой колебаний.

Резонанс может иметь как полезные, так и вредные последствия. В одних случаях он может вызвать разрушение, и это приходится учитывать при конструировании мостов, самолетов, высотных домов. В других случаях, наоборот, стремятся создать условия для резонанса, например, при изготовлении музыкальных инструментов, в радиотехнике и т.д.

Автоколебания (качели, часы, электрический колебательный контур) -незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии. Причем поступление энергии регулируется самой колебательной системой.

Параметрические колебания - это колебания, возбуждаемые путем периодического изменения параметров колебательной системы. Пример: шарик на нити, длина которой периодически меняется.

8. Волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. При распространении частицы среды последовательно вовлекаются в колебательное движение около своих положений равновесия, но не движутся вместе с волной. Вместе с волной от частицы к частице передается только колебательное движение, а значит, и энергия.

Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные. Они бывают продольные (если колебания ¦х^>) и поперечные (колебания х^>). Волны в общем случае представляют собой пространственное образование. Поверхность, до которой волна дошла в некоторый момент времени, называется фронтом волны.

В зависимости от формы фронта волны бывают волны: плоские, сферические, цилиндрические.



9. Уравнение бегущей волны

Получим уравнение волны вдоль произвольно выбранного направления ох в однородной среде. Предположим, что в точке О частица совершает колебания по гармоническому закону s₀ = Acosщ₀t. Тогда очевидно, что колебание в точке С на оси ОХ будет совершаться с опозданием на некоторое время С по отношению к колебаниям в точке О:

s₀ = Acosщ₀(t-ф)

Время запаздывания ф- это время, за которое волновой процесс достигнет точки С. Если скорость волны обозначить через u, а ОС - х, то ф = , и уравнение колебаний в произвольной точке на расстоянии х от источника примет вид:

S_x = Acosщ₀(t-ф) = Acosщ₀(t-).

Введем понятие длина волны - л, или расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц. Тогда л

UT = и S = Acosщ₀(t-) = Acos2р(v₀t-), т.к. Т = .

В общем случае распространение волн в однородной среде описывается волновым уравнением. Это диф. уравнение второго порядка в частных производных. Найдем его, для чего запишем первые и вторые производные уравнения волны S = Acosщ₀(t-) по t и х.



;

;

;

В трехмерном случае:

Скорость распространения продольных механических волн , для поперечных - , где - плотность недеформированной среды, Е - модуль Юнга, G - модуль сдвига, Е и G - параметры упругости среды.

Свойства волн: прямолинейность распространения в однородной среде, преломление на границе раздела сред, интерференция, дифракция.

Энергия волны. Вектор Умова.

Последовательное вовлечение в колебательное движение частиц среды означает, что волна передает от частицы к частице некоторую механическую энергию. Найдем выражение для энергии, переносимой волной. Рассмотрим для этого некоторый объем среды V. Все частицы этого объема вовлечены волной в колебательное движение. В момент времени t каждая частица массой m занимает свое определенное положение, но ее полная механическая энергия, как мы установили ранее, от этого не зависит и равна Е_пол = Полагая, что все частицы среды одинаковы, и их в объеме V будет N, получим:



.

Разделив правую и левую часть этого равенства на V , получим: объемная плотность энергии, т.е. количество энергии в единице объема волны:

где с - плотность вещества среды, в которой распространяется волна. Определим теперь на сечении, перпендикулярном скорости волны , площадку с площадью S.

За время t волна удалится от S на расстояние ut и вовлечет в колебательное движение объем V = S?ut, перенеся при этом через площадку S энергию

W = щ?V = щ? S?ut.

Количество энергии, перенесенное через площадку S за единицу времени, иначе говоря, поток энергии волны

Ф = =щ? S?u.

Количество энергии через единицу площади за единицу времени называется интенсивностью энергии волны

.



Т.к. скорость - величина векторная, а щ - скалярная, то слева в этом равенстве должен стоять вектор, т.е. - интенсивность энергии волны в направлении переноса, т.е. называется вектором Умова.

10. Молекулярная физика

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя квадратичная скорость молекул газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Степени свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Распределение Максвелла. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Молекулярная физика изучает круг физических явлений, объяснение которых может быть дано исходя из движения и взаимодействия молекул. Методом молекулярной физики является молекулярно-кинетическая теория, основные положения которой гласят:

1) вещества состоят из мельчайших частиц, атомов или молекул, которые находятся в непрерывном, хаотическом движении;

2) в любом, даже очень малом объеме, к которому еще можно применить выводы молекулярно-кинетической теории, число частиц очень велико;

3) размеры частиц малы по сравнению с расстояниями между ними;

4) соударения частиц между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;

5) при отсутствии внешних сил частицы распределяются по всему занятому объему равномерно;

6) по абсолютной величине скорости движения частиц могут изменяться от бесконечно малых до бесконечно больших.

Первая задача, которую мы рассмотрим, состоит в определении величины давления газа на стенки сосуда.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа (уравнение Клаузиуса 1857г.)

Воспользуемся моделью идеального газа: размеры его молекул столь малы, что их суммарным объемом можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда; подавляющую часть времени каждая молекула движется свободно и лишь иногда испытывает упругие столкновения с другими молекулами сосуда. При ударе о стенку молекула воздействует на неё с некоторым импульсом силы (f_mДt_m). Каждый элемент поверхности стенки непрерывно подвергается "бомбардировке" большим количеством молекул, что и создает определенное силовое воздействие, т.е. давление молекул на стенку. Это силовое воздействие направленно по нормали к стенке.

Выделим на стенке сосуда произвольную элементарную площадку ДS и подсчитаем число соударений с ней за время Дt. Очевидно, оно равно числу молекул, которые за это время успеют долететь до элемента ДS. Понятно, что скорости молекул могут быть самыми различными как по величине, так и по направлению. Кроме того, они беспрерывно меняются при каждом столкновении. Однако, если внешние условия неизменны, то сумма кинетических энергий молекул газа будет величиной постоянной. Так что убывание скорости одной молекулы приводит к возрастанию скорости другой. Принимая во внимание огромное число таких процессов можно считать, что распределение скоростей по значениям неизменно.

Любое движение в пространстве можно рассматривать как движение вдоль трех взаимно перпендикулярных осей: OX, OY, OZ независимо, как эта система координат сориентирована. В силу хаотичности вероятность движения молекул вдоль любого направления одинакова. Тогда условно можно считать, что вдоль любой из осей движется 1/3 всех молекул, причем половина этой трети (т.е. 1/6 от общего числа) - в одну сторону, а вторая половина - в противоположную.

Применим эти рассуждения к прямому цилиндру, построенному на элементе ДS как основании. Рассматривая движение в направлении нормали к ДS как движение вдоль одной из осей координат (X, Y или Z), получим, что число частиц ДN_i, имеющих скорость _i и достигших элемента стены ДS за время Дt:

, (1)

где n_i - число молекул i-ого сорта в единице объема, т.е. таких, которые имеют скорость _i; ?Ѕ•х_i•?t - объем цилиндра, содержащего молекулы i-ого сорта, способные долететь до элемента ?Ѕ за время ?t. При соударении каждая такая молекула массой m изменяет свой импульс на величину

|?( mх_i)| = |- mх_i- mх_i| = 2 mх_i (2).

Тогда, в соответствии с третьим законом Ньютона, стенка получает при единичном соударении импульс силы f_i•?t = 2mх_i , а суммарный импульс, переданный молекулами i-ого сорта элементу ?Ѕ за время ?t:

f_i•?t = ?N_i ?2mх_i =?2mх_i = (3).

Умножим и разделим правую часть равенства на 2:

f_i•?t = n_i ••?Ѕ•?t = , (4)

где - кинетическая энергия поступательного движения одной частицы, движущейся со скоростью х_i.

Полный импульс силы, переданный площадке ?Ѕ за время ?t всеми молекулами, будет представлять собой сумму выражений вида (4), записанных для частиц, двигающихся со скоростями х₁, х₂, … х_i … х_к. к - число сортов молекул:

f?t = (5).

Разделив правую и левую часть (5) на ?Ѕ?t, получим:

(6).

- представляет собой суммарную кинетическую энергию молекул в единице объема, т.е. объемную плотность энергии поступательного движения. Обозначим =w. Теперь (6) примет вид:

p = w (7).

Это и есть основное уравнение МКТ, которое гласит: давление идеального газа равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения частиц в единице объема.

Рассмотрим другие формы представления основного уравнения МКТ. Введем понятие о средней кинетической энергии молекулы идеального газа как



Тогда w и (7) примет вид:

p = . (8)

Получим ещё один вид основного уравнения МКТ. Для этого выразим среднюю кинетическую энергию молекулы через её скорость:

. (9)

Здесь, - называется средней квадратичная скоростью частиц (следует иметь ввиду, что ). Теперь с учетом (9):

. (10)

Найдем взаимосвязь с макропараметрами идеального газа. Умножим (8) на молярный объем V_м :

pV_м = . (11)



Здесь nV_м = N_А - число Авогадро. Сопоставляя (11) с уравнением состояния ( уравнение Менделеева-Клапейрона ) для моля идеального газа - pV_м = RT, имеем RT = , что дает:

. (12)

Здесь, - постоянная Больцмана, k = 1,38•10^-23 Дж/К.

Формула (12) позволяет сделать очень важный вывод: абсолютная температура идеального газа прямо пропорциональна средней энергии поступательного движения частиц.

как оказывается, этот вывод справедлив не только для газов, но и для любых других агрегатных состояний вещества.

Подставив в (8) из (12), получим:

p = . (13)

Анализ выражения (13) позволяет сделать вывод: т.к. n = , то для любого газа при одних и тех же значениях p и Т концентрация молекул одинакова. Например, при нормальных условиях n = 2,69•10²⁵ м^-3 - число Лошмидта.

Для смеси газов (13) можно представить в виде:

p = nkT = kT= n₁kT + n₂kT + n₃kT + … n_ikT + … .



Выражение n_ikT = p_i определяет давление, которое создавал бы газ i-ого сорта, если бы в сосуде он был один. Это так называемое парциальное давление газ i-ого сорта. T.o. давление смеси газов равно сумме парциальных давлений соответствующих компонентов:

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃… = Р_i

закон Дальтона. (14)

Получим выражение для через макропараметры идеального газа: Из (9) и (12) имеем: . Тогда

; . (15)

Внутренняя энергия идеального газа. Распределение энергии по степеням свободы.

В общем случае внутренняя энергия тела представляет собой сумму всех видов энергии, которыми обладают частицы тела. В молекулярной физике под внутренней энергией идеального газа понимают сумму кинетических энергий всех молекул (молекулярное взаимодействие отсутствует).

Полученное нами выражение для средней кинетической энергии молекулы учитывает только энергию поступательного движения. Однако наряду с поступательным движением возможно также вращение молекул и колебания атомов, входящих в их состав. Понятно, эти виды движения тоже связаны с некоторым запасом энергии. Возникает вопрос, какая доля энергии приходится на тот или другой вид движения? Чтобы ответить на него, введем понятие степени свободы. Под степенями свободы понимают те независимые от других движения, которые может совершать данное тело. Например, любое тело обладает тремя степенями свободы поступательного движения: вправо-влево, вперед-назад, вверх-вниз. Соответственно, это приводит к изменению трех координат - X,Y,Z, которые определяют его положение в пространстве. Кроме того, тело может совершать три независимых вращательных движения вокруг трех пространственных осей. Изменение положения тела из-за вращения определяется углами поворота - б, в, г. Бильярдный шар на столе имеет две степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения. Соответственно, положение шара на столе можно задать пятью координатами - x, y и б, в, г. Таким образом, число степеней свободы любого тела или системы тел равно количеству независимых величин (координат), с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Исходя из хаотичности молекулярного движения, Максвелл и Больцман пришли к принципу равномерного распределения кинетической энергии молекул по всем степеням свободы. Это значит, что на одну степень свободы поступательного, вращательного или колебательного движения должна приходится одна и та же величина энергии. Т.к. выражение (12) определяет энергию молекулы, которая приходится на три степени свободы поступательного движения, тогда на одну степень приходится:

. (16)

Тогда кинетическая энергия каждой отдельной молекулы будет определятся формулой:

. (17)



где j - число степеней свободы молекулы.

Таким образом, проблема внутренней энергии газа сводится к определению числа степеней свободы, которое следует приписать его молекулам. Так как для идеального газа молекулы следует считать материальными точками, то одноатомные газы имеют только три степени свободы поступательного движения. Кинетическая энергия вращательного движения таких молекул бесконечно мала. В приближении шарообразной молекулы, имеем для момента инерции относительно оси вращения проходящей через центр масс - I = 2mr²/5. Но т.к. r > 0, то I ? 0.

Для двухатомных молекул одну из осей вращения всегда можно совместить с осью молекулы. Вращение вокруг этой оси равносильно вращению отдельных атомов вокруг оси через центр масс. Энергия такого движения равна нулю. Поэтому двухатомной молекуле с жесткой связью между атомами следует приписать пять степеней свободы: три поступательного и две вращательного.

Для молекул с числом атомов три и более, которые связаны между собой жестко, число степеней свободы равно шести. Если связь между атомами в молекуле имеет упругий характер, то появляются колебательные степени свободы. Однако учет энергии, связанной с колебательными степенями свободы, как оказалось, довольно сложен, т.к. энергия, которая приходится на одну степень свободы колебательного движения зависит от температуры и частоты колебаний атомов:

. (18)



Опыт показывает, что при небольших температурах энергией колебательного движения можно пренебречь. И мы её в дальнейшем учитывать не будем.

Если обозначить теперь число степеней свободы через j, то кинетическая энергия одной молекулы , а внутренняя энергия одного моля идеального газа:

, (19)

где j = 3 для одноатомных; j = 5 для двухатомных; j = 6 для трёхатомных молекул.

Для произвольной массы газа ?m:

. (20)

Эксперимент при низких температурах и невысоких давлениях подтверждает полученные выводы.

Распределение молекул по скоростям (Распределение Максвелла).

Молекулы газа движутся с самыми разными скоростями, причем, и величина, и направление скорости каждой отдельной молекулы непрерывно меняются из-за соударений. Каждая молекула при н.у. испытывает за секунду порядка 10⁹ столкновений. Хаотичность движения предполагает равновероятность направлений движения, т.е. равномерное распределение молекул по направлениям. Иначе дело обстоит с численными значениями скорости. Согласно М-КТ, возможные значения , которые лежат в интервале от нуля до бесконечности, отнюдь не равновероятны. Задача состоит в том, чтобы установить, какая часть от общего числа молекул движется с той или иной скоростью, т.е. найти закон распределения молекул по скоростям. При выводе этого закона Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа одинаковых молекул - N, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при постоянной температуре Т, причем, никакие внешние силы на газ не действуют. Если разбить всю числовую ось скоростей молекул на малые интервалы dх, то на каждый из них придется некоторое свое число молекул dN(х) Число dN(х), очевидно, будет пропорционально общему числу молекул N и ширине интервала dх. Чтобы записать равенство, необходимо ввести коэффициент пропорциональности, значения которого будут разными для разных интервалов, т.е. этот множитель представляет собой некую функцию f(х). Теперь

dN(х) = f(х)N?dх. (21)

Множитель f(х) характеризует распределение молекул по скоростям и называется функцией распределения. Смысл этой функции в том, что она определяет, какая часть молекул имеет скорости, лежащие в интервале от х до х + dх, т.е. вероятность того, что произвольно взятая молекула в данном газе имеет значение скорости из интервала dх.

или . (22)

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел -

. (23)



Относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от х до х + dх, как это видно из рисунка, находятся, как площадь заштрихованной полоски: dN/N = f(х)?dх. Очевидно, что площадь под кривой равна единице, т.е.

(24)

Значение скорости, на которую приходится максимум функции распределения, называется наиболее вероятной скоростью. Ее можно найти, исследовав функцию f(х) на экстремум:

(25).

Из формулы (25) следует, что при повышении температуры максимум функции f(х) сместится вправо, но площадь под кривой всегда равна единице. Это означает, что при повышении температуры кривая распределения будет растягиваться и понижаться (см. пунктирную линию).

Из закона распределения скоростей можно получить выражение для средней арифметической скорости молекул:

(26).

Распределение молекул в поле сил тяжести (Распределение Больцмана).

При выводе основного уравнения МКТ газов и распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, а это значит, что молекулы распределяются по объему равномерно. Однако молекулы любого газа всегда находятся в потенциальном поле сил тяжести Земли. Тяготение с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой приводят к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с ростом высоты убывает.

Получим закон изменения давления с высотой, предполагая, что по всей высоте: поле тяготения однородно (g = const); температура одинакова (Т = const); масса всех молекул одна и таже.

Пусть на высоте h давление р, тогда на высоте h + dh давление - р+dp. Причём, если dh > 0, то dp < 0.

(р + dp) - р = -gdh. Из уравнения состояния , имеем

.

Теперь или .

Интегрируем правую и левую часть:

; .

. (26)

Это так называемая барометрическая формула. Она позволяет определять давление атмосферы как функцию высоты над уровнем моря:



Т.к. давление прямо пропорционально концентрации молекул, то можно получить закон изменения концентрации молекул с высотой:

(27)

Учитывая , что М = m•N_A, а R = k•N_A из (27) получим:

. (28)

Или, т.к. mgh = U(h)-потенциальная энергия одной молекулы на высоте h,

то (29)

- распределение Больцмана.

Явление переноса в газах. Средняя длина свободного пробега молекул. Общее уравнение переноса. Уравнение диффузии, уравнение вязкости, уравнение теплопроводности. Коэффициенты переноса. Реальные газы. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние вещества.

Молекулы газа в результате хаотического движения непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекула проходит некоторый путь л, который называется длиной свободного пробега.

В общем случае длина этого пути различна, но т.к. число столкновений очень велико, а движение беспорядочно, то при постоянных внешних условиях можно говорить о средней длине свободного пробега - . Если молекулы данного газа испытывают за 1 секунду в среднем столкновений, то

, (30)

где - средняя арифметическая скорость молекул.

Молекулы идеального газа мы рассматриваем как шарики. Очевидно, что соударение произойдет, если две молекулы сблизятся до расстояния равного двум радиусам, т. е. диаметру молекул d. Минимальное расстояние, на которое сближаются при соударении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекул. Этот параметр зависит от , а значит и от температуры газа.

Для определения представим себе молекулу с эффективным диаметром d, которая движется со скоростью среди других молекул, которые при этом остаются неподвижными.

Эта молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри "ломаного" цилиндра радиусом d. Это значит, что равно числу молекул в объеме этого цилиндра

, (31)

где n - концентрация молекул, а V - объём цилиндра: . С учётом этого -

. (32)



Учет движения других молекул увеличивает число столкновений в раз. Окончательно для Z получим:

(33)

(34)

Т.к. p n, то для разных внешних условий имеем:

(35).

При н.у. Z = 10⁹ c^-1 и = 5•10^-8 м.

11. Явления переноса

В термодинамических неравновесных системах, т.е. в системах, для которых значения макропараметров (Т, Р, ) в разных ее точках различны, возникают необратимые процессы, получившие название явлений переноса. В результате таких процессов из одной локальной области системы в другую происходит перенос энергии (явление теплопроводности), массы (явление диффузии), импульса (внутреннее трение), заряда и т.д. Это ведет к выравниванию значений макропараметров по объему системы. Понятно, что перенос любой величины объясняется переходом с места на место некоторого числа частиц (молекул и атомов) в результате их хаотического движения.

Получим общее уравнение переноса вдоль направления Ох. Выделим мысленно элемент плоскости, перпендикулярный Ох и площадью ?S.

Тогда в силу хаотичности движения за время ?t через ?S в направлении Ох перейдёт N частиц:

(1)

Здесь n - концентрация молекул (атомов), а - их средняя арифметическая скорость. Переходя через ?S, каждая молекула переносит присущие ей массу, заряд, импульс, энергию или какие-то другие величины. Обозначим значение величины, переносимое одной молекулой буквой ц. Тогда за время ?t через площадку ?S в направлении оси Ох будет перенесено количество физической величины

(2).

Очевидно, если концентрация справа тоже n, то и справа налево перейдет столько же частиц. Т.е. результирующий перенос в этом случае равен нулю: ДN = 0 и ДNц = 0.

Если же среда неоднородна, т.е. либо концентрация частиц, либо значения ц слева и справа неодинаковы, то более вероятными будут переходы из областей, где значение (nц) больше в области, где оно меньше. Если предположить, что (nц)₁ > (nц)₂ , то результирующий перенос величины ц:

(3)

Знак «минус» в (3) отражает факт убыли величины (nц) в направлении переноса. Выясним, на каком расстоянии от ?S слева и справа следует взять значения (nц). Т.к. изменение физических характеристик молекул происходит только при соударениях, а до соударения каждая из молекул прошла расстояние равное длине свободного пробега, то можно считать, что (nц) молекул сохраняются неизменными на расстоянии, равном длине свободного пробега влево и вправо от ?S. Поэтому разделим и умножим правую часть (3) на 2:

.

Распределение величины nц вдоль оси Ох характеризуется градиентом. Если в точке с координатой х₂ значение величины - (nц)₂, а в точке х₁ - (nц)₁, то под градиентом переносимой величины понимают отношение:

= . (5)

Тогда градиент величины nц в области площадки ?S.

. (5)

(5) - общее уравнение переноса.

Диффузия - это перенос массы. При условии однородного по объему распределения скоростей (х = const), одинаковой температуры, массы и концентрации молекул (T = const, n = const, m₀ = const), подставляя вместо ц массу m₀, одной молекулы в (5), получим:



, или . (6)

Это закон Фика. Здесь D = - коэффициент диффузии. [D] = м²/с.

Теплопроводность - это перенос энергии. При условии, что по всему объему газа n = const, масса m₀ = const молекул одинакова - m₀ = const, распределение скоростей по объёму однородно (х = const), а средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы , получим:

, или . (7)

Это закон Фурье.

коэффициент теплопроводности. [ч] = Вт/(м·К) = кг·м/(с³·К).

Вязкость - это перенос импульса между параллельными слоями, которые движутся со скоростями u₁ и u₂. При условии m₀ = const, концентрация частиц n = const, распределение скоростей хаотического движения по объёму однородно = const, а импульс одной молекулы, связанный со скоростью упорядоченного движения слоев ц = р = m₀u, для импульса силы взаимодействия слоёв имеем:



, или . ()

Это закон внутреннего трения Ньютона. - поперечный градиент скорости, величина характеризующая быстроту изменения скорости в направлении х перпендикулярном направлению движения трущихся слоев. Динамический коэффициент вязкости . [з] = Па·с.

12. Молекулярные силы

Силы взаимодействия между молекулами, или, как их еще называют, Ван-дер-Ваальсовские силы имеют электрическую природу. Это кулоновские силы взаимодействия заряженных частиц, из которых состоят атомы и молекулы.

Они проявляются на расстояниях, соизмеримых с размерами самих молекул и очень быстро убывают при увеличении расстояния. При этом одновременно действуют силы притяжения (взаимодействие разноименных зарядов) и силы отталкивания (взаимодействие одноименных зарядов). Т.к. реальные частицы не являются точечными, то величина этих сил по разному зависит от расстояния между ними.

Различают три типа сил Ван-дер-Ваальса:

ориентационные - действуют между полярными молекулами;



индукционные - описывают взаимодействие молекул, поляризация зарядов в которых возникает под воздействием электрических полей соседних частиц;

.

Здесь: р_инд = е₀бЕ - электрический дипольный момент частиц; б - поляризуемость молекул.

дисперсионные - определяют взаимодействие молекул, несимметричное распределение зарядов в которых возникает случайно, в процессе движения электронов по орбитам, что и приводит к образованию мгновенных диполей.

В общем случае все три типа сил могут действовать одновременно F_м = F_о + F_и + F_д . Рассмотрим зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния.

Силы притяжения F_пр считаются отрицательными, а силы отталкивания F_от - положительными. Сумма этих сил дает результирующую F_рез = f(r). На некотором расстоянии r₀ между молекулами [F_пр] = [F_от] и результирущая сила F = F_пр + F_от = 0. Если r < r₀, то преобладают силы отталкивания. Если r >r₀, то преобладают силы притяжения. Однако на расстоянии r > 10^-9 м силы В-д-В быстро стремятся к нулю.

Система взаимодействующих молекул характеризуется некоторым запасом потенциальной энергии, которая сложным образом зависит от r, Е_п = f(r): r > ? - Е_п > 0 ;

r > 0 и r > r₀ - Е_п > Е_{п min} , Е_п < 0 ;

r = r₀ - Е_п < 0, Е_п = Е_{п min} ;

r < r₀ и уменьшается - Е_п > ?, Е_п > 0.

Наименьшая потенциальная энергия взаимодействия называется энергией связи молекул. Она равна работе, которую необходимо совершить против сил притяжения, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в равновесии.

Соотношение Е_{п min} и величины удвоенной средней энергии одной степени свободы является критерием агрегатного вещества. Если:

Е_{п min} << kT - газ;

Е_{п min} kT - жидкость;

Е_{п min} >> kT - твердое тело.

Таким образом, любое вещество в зависимости от температуры может находиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии.

13. Реальные газы

Уравнения молекулярно-кинетической теории довольно хорошо описывают поведение реальных газов при достаточно высокой температуре и низком давлении. Это и понятно, ведь такое состояние реального газа наиболее близко к модели идеального газа, на основе которой получены все выводы МКТ. Однако с ростом давления и понижением температуры среднее расстояние между молекулами уменьшается и силы молекулярного взаимодействия растут. Например, при н.у. объем молекул составляет от занятого газом объема, а при давлении 500 атм (500 МПа) он будет составлять уже половину всего объема газа. Совершенно очевидно, что при этих условиях законы МКТ перестает работать, например, PV const при Т = const.