Механика движения

(27)

Произведение n·sin(u) = A - называется числовой апертурой объектива. У современных микроскопов максимальное значение апертурного угла около 70⁰, что дает для сухого объектива А = 1·sin70⁰ = 0.94, а для иммерсионного с n = 1,5 - А = 1,5·0,94 = 1,4. Теперь для л = 555 нм получим для разрешающей способности в лучшем случае Z = 200 нм. Т.е. клетки размером более 1000 нм (10 мкм) в оптический микроскоп увидеть можно, а вот вирусы, размеры которых от 275 до 10 нм мы не увидим.

32. Дисперсия света

Строгий подход к вопросу о механизме взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, вообще говоря, требует привлечения представлений и математического аппарата квантовой механики. Однако, как показал Лоренц, основные выводы относительно большинства оптических явлений можно получить, если рассматривать вещество как систему заряженных частиц, образованную ядрами атомов и квазиупругими связанными с ними электронами. Если один из таких электронов вывести из положения равновесия, то он будет совершать гармонические колебания с собственной частотой щ₀, значение которой зависит от строения атома и места электрона в нем. Колеблющийся электрон и ядро атома образуют электрический диполь с переменным моментом - р_е. В соответствии с постулатами Максвелла, это означает, что такая система будет излучать электромагнитную волну. Конечно, в системе электрон-ядро колебания будет совершать и ядро, однако его амплитуда столь незначительна, что колебаниями ядра можно пренебречь. Т.к. на генерирование волны требуется энергия, то колебания будут затухающими.

Рассмотрим, что произойдет, если световая волна частотой щ проникнет в вещество. Т.к. электромагнитные волны представляют собой переменное электромагнитное поле, то со стороны этого поля на все электроны атомов и молекул будет действовать переменная электрическая сила:

F_i = еЕ_i = eE₀ cos(щt + ц_0,i), (1)

где е - заряд электрона, E₀ cos(щt + ц_0,i) - напряженность поля в точке, где расположен i - ый электрон, ц_0,i - начальная фаза, которая определяется положением электрона в атоме. Под воздействием этой силы электроны будут совершать вынужденные колебания с частотой щ, уравнение которых можно найти, решив дифференциальное уравнение (см. Лк № 2):

, (2)

где s - смещение электрона от положения равновесия. Это уравнение мы записали по аналогии с дифференциальным уравнением механических вынужденных колебаний, соответственно его решение имеет вид (см. Лк. № 2):

s = Аcos(щt - ц), (3)

где амплитуда -

, (4)

а отставание по фазе колебаний электрона от изменений переменной силы (1) будет определяться выражением :

, (5)

где щ_0,i - собственная частота электронов i-ого сорта, в - коэффициент затухания, m_e - масса электрона. Вынужденные колебания электрона обуславливают излучение системой электрон-ядро вторичных электромагнитных волн, которые будут распространяться в среде со скоростью х. Если среда оптически однородна, то вторичные волны будут когерентны как между собой, так и с падающей волной. Наложение этих волн друг на друга приводит к образованию новой волны только в направлении падающего излучения. Эта новая волна представляет собой результат интерференции вторичных и первичной волны. Результирующая новая волна имеет ту же частоту, что и падающее излучение, но отличается от него амплитудой и фазой. Это означает, что скорость х распространения результирующей волны в среде не будет равна скорости света в вакууме. Это различие будет тем больше, чем ближе частота вынужденных колебаний щ к собственной частоте электронов i - ого сорта - щ_0,i. Таким образом, значение скорости результирующей волны в среде зависит не только от природы вещества, но и от частоты падающего излучения. Это явление называется в физике дисперсией света.

В частности дисперсией объясняется разложение белого света (400ч700 нм) при преломлении на границе раздела двух сред на простые монохроматические волны. При этом образуется окрашенная полоска с непрерывным переходом цветов от красного к фиолетовому, которую Ньютон назвал спектром.

Как известно, отличие скорости света х в данной среде от скорости света в вакууме характеризуется абсолютным показателем преломления n: n = c/х. Поэтому явление дисперсии обычно определяют как зависимость показателя преломления n от частоты - n = f(щ) или длины волны - n = f(л). Чтобы проанализировать эту зависимость, необходимо увязать значения n с параметрами вынужденных колебаний электронов. Т.к. n = с/х = , а м для диэлектриков равно единице, то

n = . (6)

Диэлектрическую проницаемость среды можно выразить через модуль вектора поляризации Р. Если пренебречь затуханием, то в результате смещения из положения равновесия дипольный момент i-го электрона с учётом (3) и (4) будет:

(7)

Молекула в целом приобретает электрический дипольный момент

. (8)

Суммирование ведется по всем электронам молекулы. Умножив р_м(t) на число молекул в единице объема N, получим мгновенное значение вектора поляризации вещества:

Р(t) = N? p_м = N . (9)

По определению

, (10)

где ч - диэлектрическая восприимчивость среды.

Подставляя в (10) Р/Е из (9), получим для n² = е:

, (11)

где е и m_е - заряд и масса электрона; е₀ - диэлектрическая постоянная.

Если учесть затухание электромагнитных волн в веществе, то график данной зависимости будет иметь вид.

Быстроту изменения показателя преломления характеризуют величиной , которая называется дисперсией вещества.

Перейдём к зависимости n = f(л) и проанализируем поведение дисперсии вещества в зависимости от длины волны. На участках 1 - 2 и 3 - 4 D < 0, т.е. с ростом длины волны n убывает, причем по мере приближения к значениям резонансных длин волн скорость изменения показателя преломления растет. Эта область нормальной дисперсии.

На участке 2 - 3 D > 0 и показатель преломления увеличивается практически по линейному закону - область аномальной дисперсии. Эта область совпадает с резонансной частотой колебания электронов, что приводит к сильному поглощению энергии падающей световой волны. Этот факт имеет важное практическое значение, т.к. позволяет определить частоты собственных колебаний электронов в атомах и молекулах, тем самым даёт возможность судить об их структуре.

Явление дисперсии лежит в основе широко известного метода качественного и количественного исследования веществ, который называется спектральным анализом. Практическое значение для этого метода имеет область нормальной дисперсии. Зависимость n = f(л) в этом случае достаточно хорошо описывается функцией:

, (12)

где а и b - const, зависящие от природы вещества.

33. Поглощение света

Как уже было сказано, при прохождении пучка света через вещество его энергия растрачивается на возбуждение и поддержание колебаний электронов в атомах и молекулах. Частично эта энергия возвращается излучению в виде вторичных волн, а частично переходит в другие виды энергии, свойственные процессам, которые сопровождают колебательное движение электронов. Это рост теплового движения частиц, ионизация и возбуждение атомов, фотохимические реакции и т.д. Т.о. интенсивность пучка света после прохождения через вещество уменьшается за счёт превращения энергии электромагнитного поля в другие виды энергии - это явление называется поглощением света.

В целом поглощение света носит селективный характер, т.е. разные длины волн поглощаются по-разному: одни больше, другие меньше. В частности, этим фактом объясняется окраска прозрачных тел. Например, материал будет казаться красным, если данное вещество преимущественно поглощает коротковолновую часть спектра и слабо - красные и оранжевые лучи. Особенно сильное поглощение наблюдается в области аномальной дисперсии - так называемое резонансное поглощение. Этот факт имеет важное теоретическое значение, т.к. позволяет определять частоты собственных колебаний электронов в атомах, тем самым дает возможность судить о строении атомов и молекул.

Рассмотрим, как изменяется интенсивность пучка света по мере его продвижения в веществе. Пусть на вещество падает интенсивность I_0. Выделим на некоторой глубине элементарный слой толщиной dl, интенсивность на входе в который I_l (рис.4). Как установил Бугер, изменение интенсивности в этом слое

dI_l = - м I_l dl, (13)

где коэффициент пропорциональности м зависит от свойств вещества и длины волны и называется монохроматическим, натуральным показателем поглощения. [м] = 1/м. Знак (-) указывает на убыль интенсивности по мере продвижения пучка.

Записанное выражение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

; ; ; .

По определению логарифма окончательно имеем:

- закон Бугера -Ламберта. (14)

Для разреженных газов и паров в атомарном состоянии показатель поглощения м для большинства длин волн близок к нулю и лишь для очень узких спектральных областей (Дл ~10^-3 - 10^-4 нм) обнаруживает резкие максимумы. Эти максимумы соответствуют резонансным частотам электронов практически не взаимодействующих друг с другом атомов - линейчатый спектр поглощения.

В случае многоатомных молекул обнаруживаются также частоты соответствующие колебаниям атомов внутри молекулы. В результате спектры таких веществ представляют собой сравнительно широкие (~ 0,1-100 нм) полосы поглощения. Это имеет место для твердых тел, а так же для жидкостей и газов под высоким давлением.

Для диэлектриков коэффициент поглощения невелик (10^-5 - 10^-7 м^-1), и хотя для них характерно селективное поглощение (м велико только для определённых длин волн), в спектре наблюдаются довольно широкие полосы, что связано со строением диэлектриков.

Металлы практически непрозрачны для света (м = 10⁵ - 10⁷ м^-1). Под воздействием электрического поля световой волны в них возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулева тепла. Это приводит к быстрому превращению энергии волны во внутреннюю энергию металла. Чем выше концентрация свободных электронов в металле, тем сильнее в нем поглощается свет.

Исследуя поглощение света растворами окрашенных веществ, А. Бер показал, что в случае не поглощающего растворителя и малой концентрации растворенного вещества для монохроматического излучения справедливо:

м = ч·с, (15)

где с - концентрация, а ч - показатель поглощения для раствора единичной концентрации. Теперь закон Бугера -Ламберта для растворов примет вид:

. (16)

Это закон Бугера-Ламберта-Бера. Если с_м - молярная концентрация, то ч - натуральный молярный показатель поглощения. В лабораторной практике закон Бугера-Ламберта-Бера часто выражают через показательную функцию с основанием 10:

, (17)

где е - молярный показатель поглощения, если с_м - молярная концентрация.

Способность растворов поглощать свет характеризуют также коэффициентом светопропускания (прозрачностью) - ф = I / I₀ и оптической плотностью раствора

D = lg(I₀ / I) = lg(1/ф) = еcl. (18)

На явлении поглощения основаны: абсорбционный спектральный анализ, спектрофотомерия и колориметрия. Эти методы используются при исследовании химического состава и структуры молекул вещества, характера движения электронов в металлах, зонной структуры полупроводников, определении концентрации растворов и т.д. При этом измеряемыми величинами являются: I, D и ф.

34. Рассеивание света

При прохождении света через неоднородную среду ослабление интенсивности в направлении первичной волны происходит не только из-за поглощения, но и за счёт перераспределения части энергии на неоднородностях по другим направлениям. Это явление называется рассеиванием света.

В однородной чистой среде, как известно, вторичные волны, возбуждённые падающим излучением, являются когерентными. В результате их интерференции происходит полное погасание волновых процессов во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны, т.е. рассеивания света отсутствует.

Картина меняется, если в среде имеются хаотически распределённые неоднородности соизмеримые с длиной волны. Дифракция световых волн на таких неоднородностях частично нарушает строгие фазовые соотношения вторичных волн, что приводит к достаточно равномерному распределению части интенсивности по всем направлениям.

Если неоднородность среды создаётся беспорядочно расположенными посторонними частицами, то говорят о рассеивании Тиндаля (или диффузном рассеянии). Такие среды называются мутными. К ним относятся дымы, туманы, суспензии, эмульсии и некоторые твёрдые тела (перламутр, опалы, молочные стёкла).

Рассеивание света наблюдается и в оптически чистых средах. Появление неоднородностей в этом случае обусловлено флуктуациями плотности вещества - с, возникающими в процессе хаотического теплового движения молекул. Этот тип рассеивания называется молекулярным рассеянием.

Изучение явления рассеивания показало, что интенсивность пучка в выбранном направлении тем больше, чем меньше размер неоднородностей по сравнению с длиной волны. При этом короткие волны рассеиваются сильнее, чем длинные.

Рэлей установил, что для неоднородностей размером d < 0,2?л

I ~ ~ н⁴. (19)

Такая зависимость интенсивности рассеянного излучения от длины волны объясняет, почему небо имеет голубой цвет днём, а на закате кажется красным. Днём в глаз человека попадает рассеянный свет, в котором преимущественно содержится коротковолновое излучение. Утром или на закате мы воспринимаем прямые лучи, идущие от солнца и состоящие в основном из длинноволнового излучения.

Совокупность методов изучения явлений природы, основанных на измерении параметров рассеянного излучения, называется нефелометрией, а соответствующие приборы - нефелометрами.

Отметим в заключение, что в общем случае при взаимодействии пучка света с веществом имеют место оба явления. Учёт убыли энергии в направлении падающей волны из-за рассеивания видоизменит закон Бугера-Ламберта:

, (20)

где д - показатель ослабления пучка света из-за рассеяния.

35. Комбинационное рассеивание света

Комбинационное рассеяние было открыто в 1928 году (Раман, Кришнан и Ландсберг Г.С., Мандельштам Л.И.). Это явление заключается в том, что в спектре рассеивания газов, жидкостей и твёрдых тел наряду с длиной волны падающего излучения появляются частоты, представляющие собой комбинацию частоты падающего излучения щ₀ и частот щ_i колебательных или вращательных энергетических переходов рассеивающих молекул: щ= щ₀ ± щ_i.

Дополнительные линии в спектре комбинационного рассеивания выступают парами: «красные» спутники, т.е. линии смещённые в сторону меньших частот (больших длин волн) - щ_к = щ₀ - щ_i и «фиолетовые» спутники - щ_Ф = щ₀ + щ_i - смещённые в сторону коротковолнового излучения

Согласно квантовой теории процесс комбинационного рассеяния, можно интерпретировать как результат неупругого соударения фотонов с молекулами. При этом фотон может отдать молекуле или получить от неё некоторое количество энергии, равное разности энергий двух уровней колебательного или вращательного движения атомов в молекуле - ДЕ = Е^' - Е^''. Переход молекулы из состояния Е^'' в состояние Е^' означает: если Е^' > Е^'', то энергия рассеянного фотона станет и ; если Е^' < Е^'', то и н_ф > н₀ .

При обычных температурах подавляющее большинство молекул находится в основном состоянии, поэтому более вероятным является переход на уровень с большей энергией. Это значит, что переходов с образованием красных спутников будет больше, т.е. интенсивность соответствующих линий будет больше, чем для спутников фиолетовых.

Исследование спектров комбинационного рассеяния позволяет судить о строении молекул, о характере симметрии молекул, определить собственные частоты колебаний электронов, осуществлять анализ сложных молекулярных смесей и, особенно, молекул органических.

36. Физика атомов и молекул

Применение модели строения атомов, предложенной в 1913 году Н. Бором (датч.), к многоэлектронным атомам, показало, что эта теория несостоятельна и требуется новый, отличный от законов классической механики подход к изучению условий движения электронов в атоме. Первый шаг в этом направлении сделал в 1924 году французский физик Луи де Бройль. Развивая принцип корпускулярно-волнового дуализма, де Бройль утверждал: не только фотоны, но и любые другие частицы материи, в том числе и электроны, наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Т.о. согласно де Бройлю с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергия е и импульс р), а с другой - волновые параметры (частота н_Б и длина волны л_Б). Количественные соотношения, связывающие эти величины, такие же, как и для фотонов:

е = hн_Б , р = . (1)

Т.о. любой частице, обладающей импульсом р = mх, соответствует волновой процесс с длиной волны

. (2)

Например, электронам ускоренным электрическим полем с разностью потенциалов от 1 до 10⁴ В, что имеет место в электровакуумных приборах, соответствует дебройлевская длина волны от 1 до 0,01 нм. По шкале электромагнитных волн это диапазон рентгеновского излучения. Следовательно, если пучок таких электронов направить на кристалл, то он должен дифрагировать подобно рентгеновскому излучению. И действительно, проверяя гипотезу де Бройля, в 1927 году американские физики К. Девиссон и Л. Джермер направили на кристалл никеля пучок электронов, который после рассеяния дал четкую дифракционную картину Расчет длины волны по положениям дифракционных максимумов дал значение, совпадающее с длинной волны, вычисленной по формуле (2).

Следует иметь ввиду, что волны де Бройля не связаны с каким-либо колебательным процессом. Они только лишь характеризуют волновые свойства движущихся частиц, в том числе и макроскопических тел. Однако для тел большой массы длина волны де Бройля настолько мала, что ее невозможно обнаружить никакими современными приборами.

Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению новых исследовательских физических методов. В настоящее время широкое распространение имеют электронография (основана на дифракции электронов) и нейтронография (дифракция нейтронов).

Методы электронографии широко используются при исследовании структуры поверхностей, процессов коррозии, адсорбции газов и ряда других поверхностных явлений. Это связано с тем, что наличие заряда у электронов вызывает их сильное взаимодействие с электронными оболочками атомов вещества и как следствие рассеяние электронов атомами поверхностного слоя исследуемого тела.

Нейтронография оказывается особенно полезной при изучении структур содержащих водород, в частности органических веществ. Объясняется это тем, что нейтроны сильно поглощаются атомами водорода, в то время как электроны и рентгеновские лучи слабо взаимодействуют с водородосодержащими молекулами.

Волновые свойства частиц можно использовать не только для дифракционного структурного анализа, но и для получения увеличенных изображений предметов. Электронные микроскопы позволяют получить увеличение порядка 10⁵ - 10⁶, а их предел разрешения в сравнении с оптическим микроскопом в тысячу раз меньше.

37. Соотношение неопределённостей

Обнаружение волновых свойств микрочастиц означает, что классическая механика не может дать правильного описания поведения микро-объектов. Новая физическая теория, устанавливающая законы движения и взаимодействия микрочастиц и фотонов с учетом их волновых и корпускулярных свойств, была разработана, главным образом, тремя физиками: Э. Шредингером (австр.), В. Гейзенбергом (нем.) и П. Дираком (англ.) в начале ХХ века и получила название волновой или квантовой механики.

В классической механике всякая частица движется по определённой траектории, так что ее координаты и импульс могут быть точно рассчитаны для любого момента времени. Совсем по иному обстоит дело, если рассматривается вопрос о локализации волнового процесса, т.е. о месте нахождения волны в данный момент времени. Ведь волна не имеет ни определенной траектории, ни определенной координаты. Т.о. возникает необходимость внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

Эти ограничения сформулированы Гейзенбергом и получили название соотношений неопределенностей. Основное из них гласит: чем точнее определены какие-либо из координат частицы, тем больше неопределенность в значении составляющей импульса (или скорости) в том же направлении, и наоборот. Количественно это записывается так:

Дx?Дp_x ? ђ Дx?Дх_x ? ђ/m,

Дy?Дp_y ? ђ Дy?Дх_y ? ђ/m, (3)

Дz?Дp_z ? ђ Дz?Дх _z ? ђ/m,

где Дx, Дy, Дz - неопределенности координат; Дp_x, Дp_y, Дp_z - неопреде-ленности проекций импульса на соответствующие оси - x, y, z. Дх_x, Дх_y , Дх_z - неопределенности проекций скоростей на оси - x, y, z; m - масса микрочастицы; ђ = h/2р - постоянная Планка с крышечкой.

Из соотношения неопределенностей следует: если положение частицы точно известно (Дx=0), то в этом состоянии проекция импульса на ось х-ов совершенно не определена (Дp_х > ?), и наоборот.

Покажем, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Рассмотрим мысленный опыт по дифракции потока электронов на щели шириной Дx ~ л, расположенной перпендикулярно к направлению движения частиц.

До прохождения через щель p_х = 0; ?p_х = 0, а координата x не определена, т.е. ?x > ?. В момент прохождения через щель координата электрона имеет неопределенность ?x. В то же время, из-за дифракции, электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2ц, где ц - угол дифракции. Теперь появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси x-ов:

?p_х = p?sinц = h sinц / л_Б (4)

Если даже ограничиться электронами, попадающими на экран в пределах центрального максимума, то sinц найдем из условия 1-ого минимума на щели (bsinц = kл, где b - ширина щели, k - порядок минимума):

?x?sinц = л_Б. (5)

Подставляя выражение для sinц в (4), после преобразования получим

Дx?Дp_x = h (6)

Учитывая главные max более высоких порядков, куда тоже попадают электроны, окончательно будем иметь:

Дx?Дp_x ? h ? ђ (7)

Следует подчеркнуть, что невозможность одновременного и точного определения координаты и соответствующей составляющей импульса не связана с несовершенством наших знаний или неточностью приборов, а является следствием специфических и вместе с тем объективных свойств микрообъектов.

Проиллюстрируем оценку границ применимости теории на примерах.

Скорость движения электрона в электроннолучевой трубке составляет х_х=10⁶ м/с и определена с точностью до Дх_х=10² м/с. Тогда неопределенность координаты:

Дx?Дх_x ? ђ/m,

т.е. в данном случае можно говорить о точке падения каждого отдельного электрона на экран и о траектории.

Скорость движения электрона в атоме водорода х_х ~ 10⁶ м/с, неопределенность координаты порядка диаметра атома Дx = d ~10^-10 м. Тогда неопределенность величины скорости

Т.е. неопределенность скорости соизмерима с самой скоростью. Это означает, что электрон не может теперь рассматриваться как дискретная частица.

Соотношение неопределенностей может быть записано для любой пары взаимосвязанных характеристик состояния микрочастиц, например, для энергии и времени пребывания в этом энергетическом состоянии:

ДЕ?Дt ? ђ (8)

Из данного соотношения видно, что разброс энергии ДЕ = ђ/Дt возрастает с уменьшением среднего времени пребывания системы в состоянии с энергией Е. Отсюда, следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность

Дv = ДЕ / h, (9)

т.е. линии спектра, обусловленные переходом электронов между уровнями Е₁ и Е₂ с ДЕ = Е₁ - Е₂, будут иметь размытие по частоте равное Дv= v₀ ± ДЕ / h, что подтверждается опытом.

38. Волновая функция

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением рассеянных частиц по разным направлениям. С точки зрения волновой теории это означает, что направлениям максимумов соответствует наибольшая интенсивность волн де Бройля, а минимумам - наименьшая. Т.е. интенсивность волны де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Т.о. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности. Это означает, что описание поведения микрочастиц должно носить вероятностный характер, что и является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории.

Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается с помощью, так называемой, волновой функции вида ш = f(x,y,z,t). Ее называют еще ш-функция. Квадрат модуля ш-функции определяет вероятность обнаружения частицы в момент времени t в области с координатами: x и x + dx; y и y + dy; z и z + dz - т.е. в элементе объема dV = dx dy dz:

dW = | ш |² dV (10)

Величина | ш |² = dW /dV - имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами x,y,z. Т.о. физический смысл имеет не сама ш-функция, а квадрат её модуля, |ш|², которым и задается интенсивность волн де Бройля. Теперь вероятность найти частицу в момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что объективность существования частицы во времени и в пространстве будет выражаться вероятностью достоверного события:

. (12)

Это соотношение является условием нормировки ш- функции.

Волновая функция позволяет рассчитать вероятность реализации тех или иных значений параметров микрообъекта или их средние величины, например, расстояние электрона от ядра атома или вероятность перехода электрона с одного энергетического уровня на другой, что в свою очередь позволяет оценить относительную интенсивность спектральных линий.

Что бы ш-функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы она должна удовлетворять следующим условиям: быть 1) конечной, т.к. W ? 1; 2) однозначной, т.к. вероятность не может быть неоднозначной; 3) непрерывной, т.к. вероятность не может изменяться скачком.

39. Уравнение шредингера

В зависимости от конкретных условий волновая функция, как основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц должна иметь разный вид. Соответственно, уравнение из которого определяется вид ш-функции должно быть волновым, подобно дифференциальному волновому уравнению механических или электромагнитных волн. Такое уравнение составлено в 1926 году Э. Шредингером. В наиболее простом случае для стационарных режимов, когда состояние движущейся частицы не зависит от времени U = const, оно имеет вид:

, (13)

где - оператор Лапласа, m - масса частицы, Е и U - полная и потенциальная энергии частицы.

Следует иметь в виду, что уравнение Шредингера нельзя вывести из каких-либо ранее известных соотношений. Оно постулируется на основе большого числа опытных данных, подобно тому, как это имело место с за-конами динамики Ньютона. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом тех результатов, которые получают с его помощью. Это, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

40. Электрон в потенциальной яме

Рассмотрим, в качестве примера использования уравнения Шредингера, задачу о движении частицы вдоль оси х-ов в пределах 0 ‹ х ‹ l. Это означает, что ш = 0, U> ? - при х ? 0 и при х ? l. По условию внутри заданного интервала при 0 ‹ х ‹ l - ш ? 0, а U = const. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии так, чтобы он совпадал с осью х-ов. Тогда внутри интервала U = 0. Е - это кинетическая энергия частицы. Теперь (13) примет вид:

. (14)

(15)

С учетом (15), (14) перепишется:

Дш + щ²ш = 0 (16)

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид:

Ш(х) = А sin (щх + б₀ ) (17)

Используя граничные условия, найдем: Ш(0) = А sin б₀ = 0 , что имеет место при б₀ = 0. С учетом этого факта, Ш(l) = А sin щl = 0. Это возможно, если щl = ± рn, где n =1,2,3… . Следовательно, и из соотношения (15), для Е, получим:

(18)

Т.о., микрочастица в потенциальной яме может иметь только определенные значения энергии, т.е. энергия квантуется.

Оценим расстояние между соседними уровнями:

(19)

При m ~ 10^-31 кг, n =1 и l ~ 10^-10 м - ?Е ~ 4,5 эВ, что хорошо согласуется с данными по водороду. Если l ~ 10^-1 м, когда электрон можно считать свободным, то ?Е ~ 10^-16 эВ, т.е. энергетические уровни практически сольются.

Определим амплитуду А волновой функции. Воспользуемся для этого условием нормировки:

.

Проинтегрировав, получим . Подставив в (17) щ = рn / l и выражение для амплитуды А, получим окончательный вид волновых функций:

, (n = 1, 2, 3 … .) (20)

(21)

41. Атом водорода

Квантовомеханическое описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для водородоподобных атомов, электронная оболочка которых содержит один электрон: однократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий и т. д.

Атом водорода состоит из одного протона и одного электрона. Т.к. масса протона многократно больше массы электрона, то можно считать, что электрон находится в электрическом потенциальном поле ядра и его потенциальная энергия

(22)

Графически U = f(r) имеет вид потенциальной ямы с гиперболическими стенка-ми и без дна. Уравнение Шредингера (13) примет вид:

(23)

Решение этого уравнения выходит за рамки наших возможностей. По этой причине ограничимся описанием результатов этого решения.

Отметим, прежде всего, что т.к. это пространственная задача, то решение можно представить в виде трех функций, каждая из которых зависит только от одной переменной - х, y или z. Каждая из них представляет собой дискретный набор решений, за который отвечает определенный набор целых чисел, который называются квантовыми. Во-вторых, функции, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности, и, являющиеся решениями уравнения (23), существуют только в том случае, если собственные значения энергии электрона в атоме равны:

, (24)

где n - главное квантовое число (n = 1, 2, 3, 4…), которое определяет уровни полной энергии электрона.

Из решения уравнения Шредингера вытекает также, что орбитальный момент импульса электрона тоже квантуется. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l определяет дискретные значения орбитального момента импульса электрона относительно ядра.

. (25)

При заданном n, l принимает значения: 0, 1, 2, … n-1.

m_l - магнитное квантовое число, которое определяет значения проекций момента импульса L_e на любое выбранное направление Z.

L_e,z=m_lh . (26)

При заданном l, m_l принимает значения: 0, ±1, ±2, ±3…±l. может иметь только такие ориентации в пространстве, для которых выполняется (26), т.е. L_e может иметь 2l+1 ориентацию в атоме.

Таким образом каждому E_n (кроме Е₁) будет соответствовать несколько волновых функций ш_n,l,m с разными l и m_l. Это означает - атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях - всего их n².

В 1822 г. было обнаружено, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса, который не связан с орбитальным движением. Этот собственный момент назвали спином. Спин электрона и всех других микрочастиц квантуется. s (m_s) - спиновое квантовое число.

(27)

По аналогии с орбитальным моментом проекция спина квантуется так, что может принимать 2s+1 положение в атоме. Впоследствии выяснили, что в атоме может иметь только два положения, т.е. 2s+1=2, тогда s = + Ѕ и определяет возможные значения проекции спина на направление Z.