Революция в физике. Луи де Бройль

Следовательно, нельзя спросить о фотоне, связанном с какой-то световой волной: какова поляризация этого фотона? Этот вопрос не имеет смысла: на него не существует сколько-нибудь разумного ответа. Единственный вопрос, который можно задать, заключается в следующем: какова вероятность того, что эксперимент (проделанный с плоским анализатором) позволит нам приписать фотону поляризацию в данном направлении D (нормальном к направлению распространения)? Мы только что видели, как волновая теория дает нам ответ на этот вопрос, и этот ответ существенно опирается на возможность разложения волновой функции на две компоненты.

Паули, чтобы ввести спин электрона в волновую механику, считал необходимым точно так же приписать Ш-волне две компоненты, не предполагая при этом, что эти две компоненты обязательно должны иметь смысл взаимно перпендикулярных компонент вектора, как в случае света. Точно так же, как нельзя говорить о плоской поляризации фотона, нельзя говорить и о направлении спина электрона. Можно лишь спросить о том, какова вероятность, что спин электрона имеет заданное направление.

Однако спин имеет направление и знак. Предполагалось также, что величина спина равна половине квантовой единицы момента количества движения, или h/4р. Поэтому Паули предположил, что для каждого направления D (которое не перпендикулярно направлению распространения, поскольку Ш-волны не поперечны) спин может иметь два значения ±h/4р в зависимости от знака, который он имеет в данном направлении. Должна быть определенная вероятность обнаружить на опыте, что спин рассматриваемого электрона направлен вдоль D и имеет величину +h/4р; и определенная вероятность, что эксперимент даст значение спина - h/4р в направлении D.

Паули по аналогии с поляризацией света предположил, что для каждого заданного направления D волну можно разложить на две компоненты, интенсивности которых являются мерой вероятностей двух возможных величин ±h/4р спина в направлении D. Конечно, если направление D меняется, разложение Ш-волны на две компоненты производится иным способом, точно так же, как для света разложение на две взаимно перпендикулярные компоненты производится различно в зависимости от того, какова система взаимно перпендикулярных осей. Паули выписал систему двух дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять две компоненты Ш-волны для данного направления D. Он изучил также способ преобразования этой компоненты, когда направление D меняется. При этом он заметил, что компоненты Ш-волны преобразуются не как компоненты вектора. Перед нами первый пример применения в физике особого математического понятия. Действительно, Ш-волна частицы со спином не попадает в общий класс тензоров, частным случаем которых, как известно, являются скаляры и векторы. Это математическое понятие совершенно нового типа впоследствии было хорошо изучено и получило название полу вектора, или спинора.

Мы не можем здесь подробно описывать формализм теории Паули, к тому же он не получил широкого применения, ибо вскоре был заменен теорией Дирака. Кроме того, теория Паули не релятивистская. Поэтому ее нельзя применить для предсказания тонкой структуры в смысле, указанном ранее Зоммерфельдом. Однако соображения Паули представляют огромнейший интерес. Они показывают, как можно ввести спин в волновую механику, рассмотрев вероятности двух возможных знаков спина для данного направления и введя вместо однокомпонентной Ш-функции Ш-функцию с несколькими компонентами. И Дираку в его блестящей работе удалось довести до конца эту первую черновую попытку.

4. Теория Дирака

Конечно, Дирак руководствовался идеями Паули, но у него был, кроме того, еще один руководящий принцип: создать вполне удовлетворительную релятивистскую волновую механику. Действительно, как мы видели, с самого начала развития волновой механики предполагалось, что релятивистская волновая механика должна базироваться на волновом уравнении второго порядка по времени. Дирак подверг это предположение тщательному изучению и пришел к заключению, что оно должно быть отвергнуто.

Главное возражение Дирака состояло именно в том, что уравнение распространения в релятивистской квантовой механике не может быть уравнением второго порядка по времени. Из такого уравнения в противоположность выводам нерелятивистской волновой механики следует, что если задано какое-либо начальное состояние, выраженное с помощью некоторой Ш-волны, то закон сохранения полной вероятности не выполняется автоматически. Автоматическое же сохранение полной вероятности необходимо для того, чтобы могли соблюдаться общие принципы новой механики.

Дирак проследил эти соображения с железной логикой и пришел к выводу, что уравнение или уравнения релятивистской волновой механики должны обязательно быть уравнениями первого порядка по времени и что, следовательно, в силу релятивистской симметрии пространства и времени они равным образом должны быть уравнениями первого порядка по координатам пространства. Затем с помощью соображений, на которых мы не можем здесь останавливаться, он показал, что в релятивистской волновой механике волновая функция должна иметь четыре компоненты, которые подчиняются системе четырех уравнений в частных производных, которые в целом заменяют единственное уравнение распространения нерелятивистской волновой механики.

Наконец, Дирак исследовал вопрос о том, как преобразуются уравнения распространения и компоненты волновой функции при переходе от одной системы координат к другой. Он довольно красиво показал, что эти уравнения инвариантны относительно преобразования Лоренца. Это сразу сделало его теорию удовлетворительной с релятивистской точки зрения. Он нашел формулы преобразования для четырех компонент волновой функции, которые оказались не такими, как для пространственно временного четырехвектора, а относятся, как мы покажем, к новому типу спинорных преобразований, уже встречавшихся у Паули.

Поразительна именно эта особенность теории Дирака. Уравнения его теории, полученные только с помощью аргументов чисто релятивистской и квантовой природы, в которых нигде не появляется гипотеза о спине, сами по себе содержат все свойства магнитного вращающегося электрона. Действительно, согласно новым уравнениям распространения, электрон будет вести себя так, будто он обладает собственным магнитным моментом, равным магнетону Бора, и собственным механическим моментом, равным половине квантовой единицы момента. Появление спиновых свойств в уравнениях, полученных без привлечения гипотезы о спине, - один из замечательнейших результатов всей современной теоретической физики среди многих, которыми она богата.

Покажем теперь, как теория Дирака связана с теорией Паули. Все, касающееся спиновых свойств в теории Дирака, нужно привести к форме Паули. Иными словами, следует определить, какова вероятность того, что спин будет обладать той или иной из двух возможных величин в некотором направлении D. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего выяснить, как разлагается Ш-функция на четыре компоненты, если ось z направить вдоль D. Вероятность одной из величин +h/4р будет тогда выражаться суммой интенсивностей двух четных компонент (второй и четвертой), а вероятность величины - h/4р - суммой интенсивностей нечетных компонент Ш-функции (первой и третьей). Дальнейшее исследование решений уравнения Дирака показывает, что если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, то первыми двумя компонентами волновой функции можно пренебречь по сравнению с двумя последними. Иными словами, если можно пренебречь релятивистскими эффектами, то Ш-функцию достаточно считать двухкомпонентной. При этом интенсивность одной компоненты определяет вероятность одного из возможных значений спина, а интенсивность второй - другого.

Таким образом, мы в точности приходим к теории Паули. Оказывается, последняя - просто нерелятивистское ньютоново приближение теории Дирака. В то же время становится понятным, почему вместо двух компонент в теории Паули Ш-функция в теории Дирака имеет четыре компоненты: существование спина приводит к расщеплению Ш-функции на две компоненты; релятивистские эффекты еще раз приводят к расщеплению каждой из этих двух компонент, причем это второе расщепление исчезает в ньютоновом приближении.

Между прочим заметим, что вся вероятностная интерпретация новой механики очень легко переносится в теорию Дирака ценой некоторого усложнения обозначений. Эта новая точка зрения оказывается здесь совершенно правильной. Прежде всего она позволяет понять проблему тонкой структуры и однозначно обосновать формулы Зоммерфельда, одновременно внося в них исправления.

Действительно, если с помощью уравнения Дирака снова проквантовать атом водорода, то оказывается, что благодаря появлению нового свойства - спина - возникают новые, доселе неизвестные квантовые числа. Они в точности совпадают с внутренними квантовыми числами, введенными эмпирически за несколько лет до этого при классификации спектральных термов, наблюдавшихся на опыте.

Полученная таким путем формула для тонкой структуры совпадает с формулой Зоммерфельда, в которой старые азимутальные квантовые числа заменены новыми квантовыми числами. В результате такой последовательной повсеместной замены достигается полное совпадение экспериментально наблюдаемых спектров с теоретическими. Аналогичные результаты получаются и для более тяжелых атомов, если, конечно, можно довести до конца все расчеты, введя некоторые упрощающие предположения. Таким образом, трудности, связанные с рентгеновскими дублетами, устраняются. Итак, важная идея Зоммерфельда о введении в квантовую теорию релятивистских понятий для объяснения тонкой структуры оказалась верной. Однако, чтобы получить вполне удовлетворительные результаты, понадобилось ввести также спин. Первый успех Зоммерфельда не случаен, однако в его теории отсутствовал еще один важный элемент: спин.

Теории Дирака удалось также полностью объяснить магнитные аномалии. При изучении эффекта Зеемана было обнаружено существование аномальных эффектов, которые вызвали большой интерес теоретиков того времени. Причину такого успеха легко понять. Чтобы добиться объяснения аномальных эффектов, нужно было приписать отношению магнитного момента атома к его механическому моменту значение, отличное от так называемого нормального. Это нормальное значение возникает из гипотезы, что магнитный момент атома - результат исключительно орбитального движения его электронов. Приписывая же электрону в соответствии с гипотезой Уленбека и Гоудсмита собственный магнитный момент, отношение которого к его собственному механическому моменту равно удвоенному по сравнению с нормальным значению, теории Дирака удалось выйти из рамок нормального эффекта Зеемана и предсказать аномальные эффекты. И это успех не только качественный, но и количественный. Действительно, расчеты позволяют подтвердить формулу Ланде и предсказать несколько эмпирически величину коэффициента, введенного им для описания аномальных эффектов.

В действительности очень красивая работа Дирака дала, таким образом, замечательные результаты. Она охватила весь комплекс спектроскопических и магнитных явлений, упорно не поддававшихся никаким попыткам объяснения, которые в конце концов с необходимостью привели к представлению о спине. Вызывает восхищение путь, которым было осуществлено объединение квантовой точки зрения с гипотезой Уленбека и Гоудсмита. Можно спросить, сколь далеко идет теория Дирака в применении и слиянии квантовых и релятивистских представлений, ибо первые требуют существенной дискретности, а вторые пронизаны представлением о непрерывности. Это трудный вопрос, который мы не хотели бы здесь обсуждать. Нам кажется, что слияние релятивистских и квантовых представлений осуществлено в теории Дирака не вполне удовлетворительно. Однако в целом здание этой теории восхитительно и представляет собой в настоящее время кульминационный пункт волновой механики электрона.

Не останавливаясь на изучении других приложений теории Дирака, например на проблеме рассеяния излучения веществом (формула Клейна - Нишины), мы хотели бы поговорить об одном странном следствии уравнений Дирака, которое на первый взгляд составляет слабый пункт теории, а на самом деле оказывается ее достижением.

5. Состояния с отрицательной энергией. Положительный электрон

Уравнения теории Дирака проявляют особые свойства, допуская решения, соответствующие состояниям частицы, энергия которой может быть отрицательной. Электрон в одном из этих состояний должен обладать довольно странными свойствами. Чтобы увеличить его скорость, у него нужно отнять энергию. И, наоборот, чтобы его остановить, нужно сообщить ему некоторую энергию. В эксперименте электрон никогда не вел себя так странно. Поэтому вполне законно было считать, что состояния с отрицательной энергией, существование которых допускает теория Дирака, в действительности в природе не реализуются. Можно было бы сказать, что в этом смысле теория дает слишком много, по крайней мере на первый взгляд.

То, что уравнения Дирака допускают возможность существования состояний с отрицательной энергией, это, несомненно, результат их релятивистского характера. Действительно, даже в релятивистской динамике электрона, развитой Эйнштейном в рамках специальной теории относительности, обнаруживается возможность движения с отрицательной энергией. Однако в то время в динамике Эйнштейна трудность была не очень серьезной, ибо она, как и все предыдущие теории, предполагала, что все физические процессы непрерывны. А так как собственная масса электрона конечна, то он всегда обладает конечной внутренней энергией в соответствии с релятивистским принципом эквивалентности массы и энергии. Поскольку эта внутренняя энергия не может исчезать, то мы не можем непрерывным образом перейти от состояния с положительной к состоянию с отрицательной энергией. Таким образом, предположение о непрерывности физических процессов полностью исключает такого рода переход.

Следовательно, достаточно предположить, что в начальный момент времени все электроны находятся в состояниях с положительной энергией, чтобы увидеть, что состояние всегда остается таким же. Трудность становится гораздо более серьезной в механике Дирака, ибо это механика квантовая, допускающая существование дискретных переходов в физических явлениях. Можно легко видеть, что переходы между состояниями с положительной и отрицательной энергией не только возможны, но и должны происходить довольно часто. Клейн привел интересный пример того, как электрон с положительной энергией, попав в область, где действует быстро меняющееся поле, может покинуть эту область в состоянии с отрицательной энергией. Следовательно, то, что экспериментально электрон с отрицательной энергией ни разу не был обнаружен, оказывалось очень опасно для теории Дирака.

Чтобы обойти эту трудность, Дирак выдвинул очень остроумную идею. Заметив, что согласно принципу Паули, о котором мы поговорим в следующей главе, в одном состоянии не может находиться более одного электрона, он предположил, что в нормальном состоянии окружающего мира все состояния с отрицательной энергией заняты электронами. Отсюда следует, что плотность электронов с отрицательной энергией везде одинакова. Дирак выдвинул предположение, что эту однородную плотность наблюдать невозможно. В то же время электронов существует больше, чем необходимо для заполнения всех состояний с отрицательной энергией.

Этот избыток и представляют собой электроны с положительной энергией, их-то мы и можем наблюдать в наших экспериментах. В исключительных случаях электрон с отрицательной энергией может под действием внешней силы перейти в состояние с положительной энергией. При этом мгновенно появляется наблюдаемый электрон и в то же время образуется дырка, пустое место, в распределении электронов с отрицательной энергией. Дирак показал, что такая дырка может наблюдаться экспериментально и должна вести себя подобно частице с массой, равной массе электрона и равным ему, но противоположным по знаку зарядом. Мы будем воспринимать его как антиэлектрон, положительный электрон. Эта неожиданно образовавшаяся дырка не может долго существовать. Она будет заполнена электроном с положительной энергией, который испытает спонтанный переход в пустое состояние с отрицательной энергией, сопровождающийся излучением. Итак, Дирак объяснил не наблюдаемость состояний с отрицательной энергией и в то же время предсказал возможность, пусть редкого и эфемерного существования, положительных электронов.

Несомненно, гипотеза Дирака была очень проста, однако на первый взгляд она казалось несколько искусственной. Возможно, что большое число физиков оставалось бы настроенными в этом отношении несколько скептически, если бы эксперимент немедленно не доказал существования положительных электронов, характерные свойства которых только что предсказал Дирак.

Действительно, в 1932г. сначала тонкие эксперименты Андерсона, а затем и Блэкетта и Оккиалини обнаружили, что при распаде атомов под действием космических лучей появляются частицы, которые ведут себя в точности как положительные электроны. Хотя абсолютно строго еще и нельзя было утверждать, что масса новых частиц равна массе электрона, а их электрический заряд равен и противоположен по знаку заряду электрона, последующие эксперименты делали это совпадение все более вероятным. Далее, оказалось, что положительные электроны имеют тенденцию быстро исчезать (аннигилировать), приходя в соприкосновение с веществом, причем аннигиляция сопровождается излучением. Эксперименты Тибо и Жолио-Кюри, казалось, не оставили в этом вопросе никакого сомнения.

Исключительные обстоятельства, при которых появляются положительные электроны и их способность к аннигиляции, сокращающая время их существования, - это как раз и есть те свойства, которые предвидел Дирак. Таким образом, ситуация оказалась обратной: существование решений уравнений Дирака с отрицательной энергией не только не ставит их под сомнение, но, наоборот, показывает, что эти уравнения предсказали существование и описали свойства положительных электронов.

Тем не менее мы должны признать, что дираковские представления о дырках приводят к серьезным трудностям, касающимся электромагнитных свойств вакуума. Вполне вероятно, что теория Дирака будет преобразована и установит большую симметрию между электронами обоих типов, в результате чего идея о дырках вместе со связанными с ней трудностями будет отброшена. В то же время несомненно, что экспериментальное открытие положительных электронов (ныне носящих название позитронов) представляет собой новое и замечательное подтверждение идей, лежащих в основе механики Дирака. Симметрия между обоими типами электронов, которая устанавливается в результате более тщательного исследования некоторых аналитических особенностей уравнений Дирака, представляет большой интерес и несомненно ей предстоит сыграть важную роль в дальнейшем развитии физических теорий.

Глава XII. Волновая механика систем и принцип Паули

До сих пор мы рассматривали новую механику только для случая, когда в заданном силовом поле движется одна частица. Иногда мы предполагали, что тот или иной принцип справедлив и для системы; а поскольку физика предполагает существенно дискретный характер элементарных физических представлений, он справедлив и для группы частиц. Теперь необходимо уточнить, как выглядит эта волновая механика систем частиц.

Отметим с самого начала, что настоящую систему образуют только взаимодействующие друг с другом частицы: невзаимодействующие частицы можно рассматривать независимо друг от друга, и мы снова приходим к случаю одной частицы. Это замечание, конечно, справедливо как в старой, так и в новой механике.

Напомним теперь, как классическая механика решает проблему движения системы взаимодействующих частиц. Для каждой из этих частиц выписываются основные уравнения Ньютона, выражающие пропорциональность между ускорением материальной точки и действующей на нее силой. Поскольку предполагаем, что между частицами имеется взаимодействие, т.е. сила, действующая на каждую частицу, зависит от положения всех остальных частиц, то полученные таким образом уравнения образуют систему дифференциальных уравнений. Если их выписать в явном виде в прямоугольных декартовых координатах, то число этих уравнений будет равно утроенному числу частиц, ибо каждая частица имеет три координаты.

Решение этой системы уравнений, если оно возможно, дает выражение для каждой координаты как функции времени, т.е. позволяет проследить положение и движение каждой частицы с течением времени. Кроме того, из всех решений этих уравнений нужно взять только то решение, которое полностью определено, если заданы положения и скорости частиц в начальный момент времени, иными словами, если задано начальное положение и состояние движения системы. Так, оказывается, что в классической динамике систем выполняется механический детерминизм.

Не вдаваясь слишком глубоко в описание классической механики систем, мы только напомним, что уравнения движения можно во многих случаях привести к хорошо известным уравнениям Лагранжа и Гамильтона. Однако благодаря более абстрактной форме указанных уравнений движения полезно рассмотреть новое геометрическое представление этой системы. Вместо того чтобы рассматривать систему в физическом пространстве трех измерений и говорить о положении каждой ее частицы в каждый момент времени, мы можем связать координаты всех частиц и мысленно сконструировать тем самым абстрактное пространство, число измерений которого втрое превышает число частиц (причем это число измерений можно уменьшить, если существуют соотношения, ограничивающие свободу движения частиц). В этом абстрактном пространстве, носящем название конфигурационного пространства, каждое состояние системы представлено в виде точки, координаты которой равны координатам частиц системы. Эволюция системы с течением времени будет, таким образом, описываться перемещением этой изображающей точки в конфигурационном пространстве. Вся задача механики состоит в этом случае в вычислении траектории и скорости изображающей точки. Группу уравнений классической динамики можно рассматривать как уравнения движения этой точки. Итак, мы свели изучение движения множества точек в физическом трехмерном пространстве к исследованию поведения единственной точки в абстрактном конфигурационном пространстве. Механический детерминизм при этом просто выражается словами, что движение изображающей точки полностью определено, если известны ее начальное положение и скорость в конфигурационном пространстве.

Использование конфигурационного пространства становится обязательным, когда хотят применить к динамике систем теорему Якоби. Говоря языком физики, сущность этой теоремы заключается в разбиении возможных движений рассматриваемой системы на группы таким образом, чтобы в каждой группе совокупность всевозможных траекторий движения соответствовала лучам распространяющихся волн. Очевидно, что если все движущиеся частицы описывать в физическом пространстве, то такого соответствия установить невозможно просто из-за обилия траекторий. С другой стороны, его легко установить, если рассматривать конфигурационное пространство, ибо в нем каждому движению соответствует единственная траектория изображающей точки. Следовательно, в этом случае теория Якоби позволяет нам классифицировать возможные движения системы, т.е. возможные движения изображающей точки в конфигурационном пространстве, таким образом, что траектории изображающей точки, принадлежащие одному классу, представляют в последнем лучи волн, распространяющихся в смысле геометрической оптики. Уравнение Якоби, зависящее от координат всех частиц системы, т.е. от всех координат конфигурационного пространства, будет уравнением геометрической оптики для распространения этих волн в рассматриваемом многомерном пространстве. Принцип наименьшего действия оказывается в этом случае эквивалентным принципу Ферма.

Поскольку теория Якоби и принцип наименьшего действия открывают самый легкий путь для перехода от старой механики к волновой, можно было ожидать, что дальнейшее развитие волновой механики будет происходить с применением представления о конфигурационном пространстве. Именно так это и произошло. Обобщая процедуру, разработанную для уравнения распространения волны одной частицы, Шредингер сумел записать в конфигурационном пространстве уравнение распространения для Ш-функции, связанной с системой. Это уравнение построено таким образом, что если выполняется приближение геометрической оптики, то получается вновь уравнение Якоби.

Однако здесь Ш-функция зависит не только от времени, но и от координат всех частиц системы, и ее изменение происходит в конфигурационном пространстве. Таким образом, здесь еще больше проявляется символический характер Ш-волны, чем в случае одной частицы. Могло бы даже показаться странным, что движение системы нельзя рассмотреть в трехмерном пространстве, ибо, чтобы это сделать, мы обязательно должны начать с представления об абстрактном конфигурационном пространстве. Ведь в классической механике использование конфигурационного пространства часто оказывается полезным, но совершенно необязательным: все частицы системы всегда можно описать в физическом пространстве.

Автор этой книги в течение долгого времени ощущал некоторое беспокойство по поводу обязательного применения конфигурационного пространства в квантовой механике: даже сегодня он надеется, что, когда мы сможем заменить наши современные представления о физическом пространстве, о частицах и т.д. представлениями, лучше соответствующими действительности, законы волновой механики систем будут выражены в менее искусственной форме. В случае систем, содержащих частицы одинаковой природы, можно избежать обязательного использования абстрактного пространства конфигураций, применив метод вторичного квантования, Этот метод основан на том, что при любых эволюциях такой системы полное число частиц должно оставаться неизменным.

Так или иначе, в настоящее время волновая механика систем формулируется в терминах волн в конфигурационном пространстве, и мы увидим, что ее методы увенчались успехом. Квантование системы заключается в исследовании того, для каких значений полной энергии системы (равной частоте Ш-волны, умноженной на h) существуют в конфигурационном пространстве стационарные Ш-волны, т.е. в поисках собственных значений уравнений распространения. Далее, для этих квантованных систем находятся дискретные спектры собственных значений, которым соответствуют собственные функции, образующие полный набор и т.д. Таким образом, производится непосредственное обобщение физического объяснения волновой механики.

Интенсивность Ш-волны дает в каждой точке конфигурационного пространства вероятность того, что эксперимент, обнаруживающий частицы системы в данных точках, позволит приписать системе конфигурацию, соответствующую данной точке. Аналогично, парциальная интенсивность компонент спектрального разложения волновой функции по собственным функциям энергии дает вероятности того, что точное измерение энергии даст то или иное собственное значение гамильтониана. Короче говоря, сюда непосредственно переносятся все принципы вероятностной интерпретации. Следует также попутно отметить, что здесь можно определить понятие центра тяжести и что некоторые классические теоремы механики, такие, как теорема Кенига, имеют свои аналоги в волновой механике.

Волновая механика систем, развитая в работах Шредингера, не является релятивистской. Это волновое обобщение ньютоновой, а не эйнштейновой механики систем по той причине, что релятивистская механика систем никогда не будет окончательно создана. Эта неспособность релятивистской механики строго описать движение систем обусловлена несколькими причинами, в частности тем, что теория относительности существенно отвергает все мгновенные воздействия на расстоянии. Релятивистская волновая механика Дирака применима только к изолированным частицам, помещенным в заданное силовое поле: ее обобщение на случай систем представляет собой сложную проблему, далекую еще от окончательного решения.

В п.4 еще будет идти речь о нескольких замечательных приложениях волновой механики систем. Однако, прежде чем сделать это, мы должны рассмотреть один важный случай, где ярко проявляются некоторые специфические свойства новой механики: случай систем, содержащих частицы одинаковой природы.

2. Системы, состоящие из частиц одинаковой природы. Принцип Паули

Вопрос, который мы собираемся обсудить, всецело связан с важной и совершенно новой идеей, возникающей в квантовой теории в связи с введением в статистическую механику кванта действия.

В атомной физике раньше всегда предполагали, что две частицы одинаковой природы, например два электрона, тождественны. Однако эту тождественность нельзя считать абсолютной, не позволяющей, хотя бы мысленно, различить две частицы одинаковой природы. Так, например, при статистических расчетах два состояния одной и той же системы, в которых лишь переставлены две частицы одинаковой природы, считаются различными. Следовательно, если представить себе систему, образованную электронами, то коллективное состояние системы, в котором первый электрон находится в состоянии a, а второй - в состоянии b, считается отличным от коллективного состояния системы, когда первый электрон находится в состоянии b, а второй - в состоянии a. При этом индивидуальные состояния остальных электронов остаются в обоих случаях одинаковыми. Развитие квантовой статистики привело к полному отрицанию возможности различить две частицы одинаковой природы внутри одной системы. Квантовая статистика считает, что два состояния системы, отличающиеся друг от друга только перестановкой двух частиц одинаковой природы, тождественны и неразличимы.

Перестановка частиц одинаковой природы приводит в квантовой механике систем к очень важным последствиям. Рассмотрим систему, состоящую из частиц одинаковой природы. Пусть Ш - одна из возможных волновых функций системы. Согласно определению, эта волновая функция называется симметричной по отношению к двум частицам, если при перестановке координат двух частиц выражение для Ш-функции не меняется. Наоборот, она называется антисимметричной по отношению к двум частицам, если перестановка координат двух частиц меняет лишь знак Ш-функции. Важно отметить, что в общем случае Ш-функция не будет ни симметричной, ни антисимметричной. Однако взаимозаменяемость частиц одинаковой природы позволяет нам доказать следующую важную теорему: если система состоит из частиц одинаковой природы, то всегда существуют волновые функции, одни симметричные, другие антисимметричные по отношению ко всем парам частиц одинаковой природы.

Будем называть состояние, волновая функция которого симметрична, симметричным состоянием системы, а состояние, волновая функция которого антисимметрична, - антисимметричным состоянием системы. Тот факт, что потенциал взаимодействия симметрично зависит от координат каждой пары частиц, позволяет нам доказать теорему, не менее важную, чем первая: невозможно осуществить переход системы из симметричного состояния в антисимметричное и обратно.

Иными словами, невозможны никакие иные комбинации, в смысле Ритца, кроме как между состояниями одинаковой природы. Отсюда следует, что симметричные состояния, с одной стороны, и антисимметричные, с другой, образуют два совершенно отдельных ансамбля, между которыми невозможны никакие переходы. Таким образом, волновая механика допускает принцип, который утверждает, что для частиц определенного сорта существуют в природе лишь симметричные или лишь антисимметричные состояния, поскольку если в начальный момент времени существовали только состояния одного типа, то они навсегда и останутся такими. Этот принцип не является следствием волновой механики, допускающей любые состояния, однако он ей и не противоречит. Теперь мы должны пояснить, как Паули пришел к предположению о существовании этого принципа по крайней мере для электронов.

При изучении строения атома мы отмечали, что существует насыщение энергетических уровней, и подчеркивали фундаментальную важность этого явления, так как именно оно определяет эволюцию структуры атома в периодической системе элементов и все различия в химических, оптических и магнитных свойствах этих элементов. Мы также говорили о том, что порядок последовательного заполнения уровней при добавлении новых электронов был установлен эмпирически: он задается правилом Стонера, которое вначале теоретически не было подтверждено.

Благодаря правилу Стонера стало известно максимальное число электронов, которое может находиться на каждом энергетическом уровне атома. Пытаясь объяснить эти факты, Паули выдвинул замечательную идею о расщеплении уровней, происходящем в результате того, что два электрона не могут находиться в строго тождественных квантовых состояниях, т.е. описываться одними и теми же квантовыми числами. Иными словами, наличие электрона в одном квантовом состоянии запрещает появление в том же состоянии еще одного электрона. Отсюда название принцип запрета, данное этому новому физическому постулату. На языке волновой механики принцип Паули выражается следующим образом: электроны могут находиться только в антисимметричных состояниях. Мы видели, что такое утверждение не противоречит принципам новой механики. Чтобы показать, что обе приведенные формулировки принципа запрета действительно совпадают, предположим, что система содержит два электрона в одном и том же индивидуальном состоянии. Но в соответствии со второй формулировкой это предположение означает, что волновая функция антисимметрична по отношению к этой паре электронов, она должна, следовательно, менять знак при перестановке этих электронов местами. Однако, так как индивидуальные состояния электронов тождественны, то такая перестановка не должна менять волновую функцию.

Итак, поскольку волновая функция одновременно и меняет и не меняет знак при перестановке электронов, то она должна быть равна нулю. На языке волновой механики это означает, что такого состояния не существует. Таким образом, два электрона не могут находиться в одном и том же индивидуальном состоянии и мы видим, что вторая формулировка приводит нас к первой. Легко доказать также и обратное.

Принцип Паули можно, следовательно, выразить в волновой механике аналитически, записав волновые функции систем, содержащих электроны, в антисимметричной форме по отношению к электронным парам. Однако, применяя этот принцип на деле, следует помнить, что электрон обладает спином. Поэтому его индивидуальное состояние является функцией не только его координат, но также и значения его спина. Волновые функции, допускаемые принципом Паули, антисимметричны по отношению ко всем пространственным координатам и спину.

Огромная важность принципа Паули заключается в том, что он дал возможность объяснить насыщение уровней. Он позволил прямым путем получить правило Стонера. Достаточно учесть, что несколько различных состояний, т.е. состояний, соответствующих различным комбинациям квантовых чисел, обладают одинаковой энергией и, следовательно, относятся к одному энергетическому уровню. Таким образом, достаточно подсчитать для каждого энергетического уровня, сколько ему соответствует различных квантовых состояний, и мы узнаем, согласно принципу Паули, максимальное число электронов на этом уровне, ибо оно достигает максимума, когда заполнено каждое квантовое состояние. Из этого подсчета и вытекает правило Стонера. Принцип Паули имеет фундаментальное назначение при построении волновой механики систем. В частности, он приводит к статистике Ферми - Дирака для электронов.

Для электронов единственно возможными оказываются антисимметричные состояния. Возникает вопрос, а как обстоит дело с другими элементарными и неэлементарными частицами микромира? Применим ли принцип Паули также и к ним? Или, наоборот, для них возможны лишь симметричные состояния? Или, наконец, допустимы и те и Другие? По-видимому, эта последняя альтернатива никогда не реализуется: в Природе осуществляются только симметричные или антисимметричные состояния.

Первый случай - это случай электронов, а также некоторых атомных ядер: в одном квантовом состоянии не может быть больше одного электрона, и они всегда подчиняются, как мы видели, статистике Ферми - Дирака.

Второй случай охватывает фотоны, б-частицы и остальные атомные ядра. При этом нет никаких препятствий для накопления любого числа частиц в одном квантовом состоянии, ибо симметричная функция не меняется при перемене местами двух частиц одной природы: поэтому в этом случае частицы подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Для фотонов она изображается формулой Планка. Вообще оказывается, что частицы, спин которых нечетный в единицах h/4р, подчиняются принципу Паули и статистике Ферми - Дирака. Частицы же, спин которых равен нулю или четный в единицах h/4р, подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Это очень важное правило. Вопросы спина и статистики играют большую роль в исследовании полосатых спектров, а также в изучении строения атомного ядра.

Принцип Паули выражает весьма специфическое свойство электронов и других частиц, которые ему подчиняются. Действительно, на сегодняшний день почти невозможно понять, каким образом две тождественные частицы взаимно запрещают друг другу занять одно и то же состояние. Этот тип взаимодействия совершенно отличается от взаимодействий в классической физике. Его физическая природа пока нам совершенно неизвестна. По-видимому, это одна из самых важных задач и к тому же самых трудных, которую предстоит решить физикам-теоретикам будущего, чтобы выяснить физические истоки принципа запрета.

Чтобы показать, насколько далеко мы ушли от старых представлений, рассмотрим случай газа из частиц одинаковой природы, подчиняющихся принципу Паули, например электронного газа. Согласно принципу запрета, никакие два электрона этого газа не могут находиться в одном и том же состоянии прямолинейного равномерного движения, ибо здесь состояния прямолинейного равномерного движения квантованы. С. классической точки зрения это означало бы, что частица, расположенная в некоторой точке сосуда, содержащего газ, будет мешать любой другой частице газа иметь Такое же состояние. Это совершенно парадоксально, так как сосуд с газом можно взять сколь угодно большим и, следовательно, расстояние между частицами может быть сколь угодно велико. Однако этот парадокс тесно связан с соотношениями неопределенности Гейзенберга и исчезает, если принять их во внимание. Действительно, прямолинейное и равномерное движение частиц соответствует вполне определенной энергии этих частиц.

Таким образом, соотношения неопределенности запрещают говорить одновременно о положении и состоянии движения двух частиц. Сам факт, что мы говорим о том, что энергетические состояния частиц вполне определены, не позволяет нам больше говорить о расстоянии между ними, ибо они при этом никак не локализованы. Этот пример показывает, что физическую интерпретацию принципа запрета нужно обязательно проводить целиком вне рамок классических представлений.

3. Приложения волновой механики систем

Волновая механика систем, развитая с учетом принципа Паули и спина, добилась многочисленных блестящих успехов. Одним из них было объяснение спектра гелия. В то время как спектр ионизованного гелия нашел свое объяснение еще в теории Бора (ионизованный гелий относится к простейшей группе систем с одним электроном), спектр нейтрального гелия оставался загадкой. Действительно, линии нейтрального гелия делились на две отдельные категории, соответствующие термам, которые, по крайней мере в первом приближении, не были взаимно связаны.

Эти две системы совершенно независимых линий получили название спектров ортогелия и парагелия. Долгое время считалось, что эти два различных типа атомов гелия реально существуют, причем каждый испускает свой спектр. Но, наконец, удалось обнаружить, что различия между парагелием и ортогелием нет: один и тот же атом гелия в зависимости от обстоятельств излучает то орто-, то пара-спектр.

Гейзенберг в своей знаменитой работе дал ключ к разгадке этого явления. Поскольку оба орбитальных электрона нейтрального атома гелия подчиняются принципу Паули, то волновая функция этого атома должна быть антисимметричной по отношению ко всем координатам и спинам обоих электронов. Но эта антисимметрия может осуществляться двумя путями: волновая функция может быть симметрична по отношению к координатам и антисимметрична по отношению к спинам или наоборот. Таким образом, существует два типа волновых функций и, следовательно, спектральных термов. Наконец, поскольку спектральные термы относятся к разным категориям, они не могут быть взаимосвязаны, по крайней мере в первом приближении. Теперь достаточно отождествить одну из категорий термов с термами ортогелия, а другую - с термами парагелия, чтобы получить вполне удовлетворительное объяснение распада спектра гелия на две независимые части. С помощью такой интерпретации Гейзенбергу удалось объяснить некоторые особенности спектров ортогелия и парагелия, в частности: в то время как линии парагелия одинарные, линии ортогелия тройные и образуют триплеты. Объяснение Гейзенбергом этого незначительного факта теории представляет само по себе прекрасное подтверждение принципа Паули, ибо такое различие между тонкой структурой этих двух серий возникает именно из-за принципа Паули. Без него мы получили бы иной результат, противоречащий эксперименту.

Другим замечательным приложением волновой механики систем стала теория молекулы водорода или, в более общем виде, теория гомеополярной молекулы. Классическая теория в некоторой степени позволяет нам понять происхождение связей, соединяющих атомы гетерополярной молекулы, т.е. молекулы, атомы которой обладают различным сродством к электрону. Действительно, в этом случае можно себе представить, что различные атомы молекулы превращаются в ионы, отдавая или присоединяя электроны. Поэтому можно думать, что стабильность молекулярной структуры обусловлена действием кулоновых сил между различными образовавшимися ионами. Однако случай гомеополярных молекул, например, весьма важный случай молекул, состоящих из двух атомов одинаковой природы, был раньше для физиков наиболее затруднительным, так как не существовало никаких причин, чтобы атомы с одинаковым сродством к электрону превращались в ионы различных знаков.

Следовательно, оставалось неясным, какого типа силы могут действовать между этими нейтральными атомами, чтобы обеспечить их связь в молекуле. Все, что приходило в голову, оказывалось для этой роли слишком слабым. Волновая механика позволяет, и это немалый успех, понять природу гомеополярных связей, введя понятие обменной энергии. Вот что означает это несколько таинственное выражение: если тщательно исследовать с помощью волновой механики поведение системы, содержащей тождественные частицы, оказывается, что в выражении для энергии системы наряду с членами, описывающими известное взаимодействие между частицами, появляются члены нового типа, связанные с тем, что тождественные частицы могут меняться местами.

Эти члены и описывают то, что мы назвали обменной энергией. Им соответствуют силы совершенно нового типа, которые невозможно представить в классической векторной форме и которые огромны по величине. Эти новые силы - неизбежное следствие формализма новой механики, однако, оказывается, их нельзя объяснить физически, в старом смысле этого слова. Мы снова оказались перед фактом, выходящим за рамки всех классических представлений и показывающим, сколь ошибочен наш обычный прием локализации физических величин в непрерывном пространстве трех измерений. Весьма поучительно следующее замечание: обменная энергия существует лишь тогда, когда вероятность найти две одинаковые частицы в одной области пространства не равна нулю. Иными словами, так как частицы в волновой механике, вообще говоря, не локализованы, то существует некоторое распределение плотностей вероятности. Обменная энергия существует в том и только в том случае, когда распределения плотности вероятности для двух частиц одного сорта перекрываются. Это замечание проливает свет на зависимость между обменной энергией и невозможностью локализовать частицу в пространстве.

Не останавливаясь больше на этих очень интересных свойствах обменной энергии, мы хотели бы показать, как объяснить образование гомеополярной молекулы. Простейший пример такой молекулы дает молекула водорода, состоящая из двух атомов, каждый из которых содержит один электрон. Когда два атома водорода, вначале находящиеся далеко друг от друга, начинают сближаться, они стремятся образовать механическую систему с двумя электронами. Поэтому между этими двумя электронами появляется обменная энергия.

Эту энергию можно вычислить методами волновой механики с учетом принципа Паули и существования спина. Это и проделали Гайтлер и Лондон. Они получили следующий результат: если спиновые векторы обоих электронов имеют одинаковые знаки, то обменная энергия соответствует отталкиванию между атомами, и молекула образоваться не может. Если, наоборот, векторы спинов имеют противоположные знаки, обменная энергия соответствует притяжению атомов, когда же атомы сближаются еще больше, снова возникает отталкивание. Это как раз и есть случаи, когда появляется тенденция к образованию стабильной молекулы.

Эта теория хорошо объясняет образование и свойства молекулы водорода. По существу ее можно трактовать следующим образом: электроны двух атомов водорода способны образовать пару с противоположно направленными векторами спина. Эта пара, обладая очень большой стабильностью, представляет собой связующее звено между двумя атомами и заставляет их соединяться в единую молекулу. В таком виде объяснение можно обобщить на случай всех двухатомных молекул и даже молекул, содержащих больше двух атомов. Рассмотрим, например, любую двухатомную молекулу. Два атома, способных объединиться в эту молекулу, содержат то или иное число электронов; определенное число этих электронов образует внутри атома пары электронов одинаковой энергии и противоположных спинов, некоторые же из них таких пар не образуют.

Электроны, не имеющие пары, остроумно названные холостыми электронами, стремятся, как только представится такая возможность, объединиться с электронами другого атома и образовать пару. Действительно, расчеты показывают, что в большинстве случаев сближение двух атомов приводит к образованию молекулы, в которой по крайней мере некоторые из холостых электронов этих двух атомов образуют пары. Образование таких пар и оказывается причиной молекулярной связи между двумя атомами. Очевидно, что это объяснение можно обобщить на случай молекул, содержащих более двух атомов.

Представление о том, что образование молекул происходит благодаря формированию электронных пар с противоположно направленными векторами спинов, позволяет нам дать объяснение понятию валентности, играющему фундаментальную роль в химии. Вообще можно сказать, что атом, содержащий в основном состоянии некоторое число n холостых электронов, будет иметь химическую валентность n. Действительно, такой атом способен присоединить к себе еще n атомов водорода, поскольку каждый из его n свободных электронов может образовать пару с электроном атома водорода.

Таким образом, валентность данного атома или по крайней мере максимальная его валентность равна n. Отсюда видно, что существование химической валентности связано с наличием обменной энергии между электронами. Теперь понятно, почему попытки объяснить валентные силы с помощью векторной схемы, применимой в остальных случаях, не дали по-настоящему удовлетворительного результата. Кроме того, тот факт, что два электрона, образуя пару, как бы нейтрализуются и не влияют больше ни на какие молекулярные взаимодействия, объясняет валентное насыщение, абсолютно несовместимое с представлением о валентностях как о силах старого типа. Отсюда уже видно, насколько удовлетворительна и разумна новая теория валентности, основанная на волновой механике.

В то время как это новое основание теории валентности кажется вполне несомненным, детальное объяснение различных фактов химии, связанных с этой теорией (многократная или направленная валентность, стереохимия, свободные связи и т.д.), остается еще трудной задачей. Решением ее уже начали заниматься серьезно, однако такая математическая химия оказывается сложной наукой, и многое еще предстоит сделать, чтобы довести ее до конца. За исключением простого случая молекулы водорода, точный расчет собственных значений и собственных функций невозможен и приходится ограничиваться вычислением собственных значений и классификацией их в соответствии со свойствами симметрии отвечающих им волновых функций, выражения для которых остаются неизвестными. Для этого приходится обращаться к весьма общим методам, основанным на теории групп. Эта теория пока еще мало известна физикам, но она оказывается незаменимой в этом разделе волновой механики. Кроме того, мы с ее помощью очень быстрым и красивым путем приходим к прекрасным весьма общим результатам. Однако, поскольку физики-теоретики, умеющие обращаться с этим сложным методом, за недостатком времени не всегда занимаются изучением даже основных многочисленных и сложных химических фактов, для успешного завершения уже начавшей развиваться теории необходимо тесное сотрудничество между физиками и химиками. Что же касается нынешнего состояния науки о квантах, то во всяком случае одним из славных успехов новой механики стало объяснение некоторых важнейших законов химии.

4. Квантовая статистика

Методы классической статистики Больцмана и Гиббса, успех которых в макроскопической физике известен, должны были претерпеть изменения в связи с развитием новой механики. Мы не можем здесь вдаваться в детали того, как видоизменились с введением кванта действия сами основы статистической механики. Рассмотрим лишь случай идеального газа с точки зрения представлений волновой механики. В идеальном газе атомы все время, не считая моментов соударений, находятся в состоянии прямолинейного равномерного движения. В классической статистике эти состояния движения образуют непрерывные наборы, ибо все значения и направления скоростей одинаково возможны. Методы Больцмана и Гиббса состоят по существу в подсчете возможных распределений атомов газа между состояниями движения с данной энергией и нахождении наиболее вероятного из них.