Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы
Улучшение догадки методами устранения исключений, сущность стратегического отступления и безопасной игры. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства. Характеристика процесса пересмотра логических и эвристических опровержений.
| Рубрика | Философия |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2016 |
| Размер файла | 336,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы
И.Лакатос
Содержание
Введение
1. Задача и догадка
2. Доказательство
3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров
а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
г) Метод исправления монстров
д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки
5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости
а) Устранение монстров в защиту теоремы
б) Скрытые леммы
в) Метод доказательств и опровержений
г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства
Замечание
6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания
а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах
б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
в) Различные доказательства дают различные теоремы
7. Проблема пересмотра содержания
а) «Наивность» наивной догадки
б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
в) Дедуктивная догадка против наивной догадки
г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания
д) Логические контрапримеры против эвристических
8. Образование понятий
а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения
б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.
в) Пересмотр логических и эвристических опровержений
г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
9. Как критика может математическую истину превратить в логическую
а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую
Литература
Введение
В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как все остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.
Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики. стратегический доказательство опровержение
Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства -- некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения -- «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны».
Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач.
Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики -- с метаматематикой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937). Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки..., но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»..., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой.
Формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует. Любой формалист целиком будет согласен с замечанием Рассела, высказанным «романтически», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когда-либо написанной по математике». Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсолютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной честности (выделение мое.-- Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).
При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.
«Формализм» представляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологической», ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она -- чистый вздор. Догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики.
Целью этих статей является подход к некоторым проблемам методологии математики. Я употребляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристике» Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуационной логике» Поппера. Недавняя экспроприация термина «методология математики» для использования в качестве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия. Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализованной математике. Но что можно открыть в формализованной теории? Два ряда вещей. Во-первых, можно открыть решение задач, которые машина Тюринга при подходящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказательство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым процедурами такого решения. Во-вторых, можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.
Так вот, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую. Исследование неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалистской философии.
История математики и логика математического открытия, т. е. филогенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.
Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве только при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли. В этом большом споре, в котором время от времени аргументы осовременивались, математика была гордой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математический догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и настоящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непогрешимой, неопровержимой математики -- «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматистской теории познания. Бросить этому вызов -- давно уже стало необходимым.
Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов современному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собственном поле описанные здесь образцы.
Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рационально реконструированную или «дистиллированную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, большая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.
1. Задача и догадка
Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотношение между числом V вершин, числом Е ребер и, наконец, числом F граней многогранника -- в частности, правильного многогранника -- аналогично тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольников, а именно: что существует столько же сторон, сколько и вершин: V = Е? Последнее соотношение позволяет классифицировать многоугольники по числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификации многогранников.
После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V-E+F=2.
Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными способами -- она выдерживает хорошо. Этот результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент -- после стадий постановки задачи и догадок -- мы входим в классную комнату. Учитель как раз готовится дать доказательство.
2. Доказательство
Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V -- Е + F = 2, где V -- число вершин, Е -- число ребер и F -- число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?
Ученик Сигма. Я со своей стороны должен сознаться, что пока еще не придумал строгого доказательства этой теоремы... Однако истинность ее была установлена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетворительно. Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.
Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте. Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Е и F не изменятся, так что если и только если V -- Е + F = 2 для первоначального многогранника, то V -- Е + F -- 1 для этой плоской сети -- вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.) Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту -- она действительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V -- Е + F не изменится (рис. 2).
Рис. 3
Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулированной сети треугольники один за другим. Вынимая треугольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V -- Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получаем один треугольник. Для него V -- Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу догадку.
Ученик Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области догадок.
Ученик Альфа. Не знаю. Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.
Ученик Бета. Уверены ли вы, что при триангулировании карты вы всегда получите новую грань для любого нового ребра? У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.
Ученик Гамма. Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтернативы -- исчезновение одного ребра или же двух ребер и одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса останетесь только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага.
Учитель. Конечно, я не уверен.
Альфа. Но ведь это еще хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством»!
Учитель. Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для этого мысленного эксперимента, пожалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот эксперимент устанавливает истинность догадки.
Дельта. Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?
Учитель. Это тонкий вопрос, на который мы попытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохранить освященный временем технический термин «доказательство» для мысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы, таким образом впутывая ее, может быть, в совершенно далекую область знания. Например, наше «доказательство» в первоначальную догадку -- о кристаллах, или, скажем, о твердых телах -- включило теорию резиновых листов. Декарт или Эйлер, отцы первоначальной догадки, наверняка ни о чем подобном не думали.
3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разложение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три возможности для контрапримеров.
Гамма. Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треугольников из сети, получившейся после растягивания и последующей триангуляции, мы имеем только две возможности: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треугольника могут появиться и другие возможности.
Учитель. Подозрение -- это еще не критика.
Гамма. А контрапример будет критикой?
Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогласий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.
Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отличаются от тех, кто их представляет.
Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна -- и не только в случае куба, но для всех многогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тетраэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэдра V -- Е + F = 2, так зачем же это доказывать?
Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V -- Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.
Альфа. Так, вы теперь снимете cвое доказательство?
Учитель. Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.
Гамма. Как?
Учитель. Прежде чем показать «как», давайте введем такую терминологию. Локальным контрапримером я буду называть пример, который отвергает лемму (не отвергая необходимо основную догадку) , а глобальным контрапримером я назову пример, отвергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Локальный, но не глобальный контрапример представляет критику только доказательства, но не догадки.
Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство ее не доказывает.
Учитель. Но я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не сможет опровергнуть. Я не буду спорить, что при вынимании любого треугольника получаются только две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вынимания одного из граничных треугольников может встретиться одна из упомянутых возможностей. Возвращаясь к моему мысленному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другим граничные треугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось только небольшое замечание?
Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяснить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плоскую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треугольников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, будет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вершины, а это изменит V -- Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.
Учитель. Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но интеллектуальная честность препятствует мне скрыто изменять мои положения словами, начинающимися с «я думал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должен заменить третьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V -- Е + F не изменялось.
Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V -- Е + F не изменялось, то V -- Е + F не будет изменяться.
Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V -- Е +F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.
Каппа. Но как же построить эту правильную последовательность, если она вообще существует? Ваш первоначальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому определенному порядку, но не говорите, какой это порядок и существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, т. е. список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.
Ро. Исчез только третий шаг.
Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ваши первые две версии по крайней мере до их опровержения казались тривиально простыми, а ваша длинноватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?
Учитель. «Очевидные» или даже «тривиально простые» предложения обычно скоро отвергаются: софистические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.
Омега. А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем заменить их неложными? Или если вам не удастся улучшить локальными заплатами ваши аргументы? При помощи замены отвергнутой леммы вам удалось справиться с локальным контрапримером, не бывшим глобальным. А что если в следующий раз вам это не удастся?
Учитель. Вопрос хорош -- поставим его завтра в повестку дня.
4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров
Альфа. У меня есть контрапример, который опровергнет вашу первую лемму; кроме того, он будет контрапримером и для основного положения; это значит, что он вполне может быть и глобальным контрапримером.
Учитель. Вот как! Интересно. Посмотрим.
Рис. 5
Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т.е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его (рис. 5). Этот полый куб делает неверной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для каждого куба V -- Е + F = 2, так что для полого куба F -- Е + F = 4.
Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?
а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один контрапример отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте найти радикально новый подход.
Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы -- серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство «полностью взорвано». Если в настоящее время вы согласитесь с моим прежним предложением -- употреблять слово «доказательство» в смысле «мысленного эксперимента, приводящего к разложению первоначального предположения на ряд вспомогательных предположений», и не пользоваться им в смысле «гарантии некоторой истины», то вам нет надобности приходить к такому заключению. Мое доказательство действительно доказало предложение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором. Вы интересуетесь только такими доказательствами, которые «доказывают» то, для доказательства чего они созданы. Я же интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное.
Альфа. Следовательно, по вашей философии -- локальный контрапример (если он не является одновременно глобальным) является критикой доказательства, но не предположения, а глобальный контрапример будет критикой предположения, но не обязательно доказательства. Вы соглашаетесь сдаться в том, что касается предположения, но вы защищаете доказательство. Но если предположение ложно, то что же тогда доказывает доказательство?
Гамма. Ваша аналогия с Колумбом не подходит. Принятие глобального контрапримера равносильно полной сдаче.
б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы доказали вашу догадку -- теперь она стала теоремой. Я принимаю, что она не согласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана? Нужно отступить «критике». Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример.
Гамма. А почему нет? Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольников -- граней. А мой контрапример является телом, ограниченным многоугольниками -- гранями.
Учитель. Назовем это Определение 1.
Дельта. Ваше определение неправильно. Многогранник должен быть поверхностью: он имеет грани, ребра, вершины, он может быть деформирован, растянут на доске и ему нет никакого дела до понятия о «твердом теле». Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников.
Учитель. Назовем это Определение 2.
Дельта. Таким образом, в действительности вы показали нам два многогранника, две поверхности, одна полностью внутри другой. Женщина с ребенком во чреве не может быть контрапримером для тезиса, что люди имеют одну голову.
Альфа. Так! Мой контрапример породил новое понятие о многограннике. Вы осмеливаетесь утверждать, что под многогранником всегда подразумеваете поверхность?
Рис. 6
Учитель. В данный момент позволим себе принять определение 2 Дельты. Можете вы опровергнуть наше предположение, если под многогранником мы теперь будем понимать поверхность?
Альфа. Конечно. Возьмите два тетраэдра, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Или возьмите два тетраэдра, имеющие общую вершину (рис. 6, б). Оба эти близнеца связаны, оба составляют одну единственную поверхность. И вы можете проверить, что в обоих случаях V -- Е + F = 3.
Учитель. Контрапримеры 2, а и 2, б .
Дельта. Я восхищаюсь вашим извращенным воображением, но, конечно, я не считал, что любая система многоугольников будет многогранником. Под многогранником я подразумеваю систему многоугольников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Ваши первые близнецы исключаются первым критерием моего определения, ваши вторые близнецы -- вторым критерием.
Учитель. Определение 3.
Альфа. Я восхищаюсь вашим извращенным остроумием, изобретающим одно определение за другим, как баррикады против уничтожения ваших любимых идей. Почему бы вам не определить многогранник как систему многоугольников, для которых имеет место уравнение V -- Е + F = 2, и это Идеальное Определение...
Учитель. Определение И.
Альфа. ... навсегда покончит с диспутом? Тогда уже не будет нужды в дальнейшем исследовании этого предмета.
Дельта. Но не существует на свете теоремы, которую нельзя было бы опровергнуть при помощи монстров.
Учитель. Извините, что прерву вас. Мы видели, что опровержение при помощи контрапримеров зависит от понимания рассматриваемых терминов. Если контрапример должен служить объективной критике, то нужно уговориться в понимании нашего термина. Мы можем достичь этого соглашения, определив термин, на котором оборвалось сообщение. Я, например, не определял понятия «многогранник». Я считал, что этот термин является общеизвестным, т. е. все заинтересованные обладают способностью отличить вещь, которая является многогранником, от вещи, которая им не является, - то, что некоторые логики называют знанием объема понятия «многогранник». Оказалось, что объем этого понятия совсем не является очевидным: очень часто определения даются и обсуждаются именно тогда, когда появляются контрапримеры.
Рис. 7
Я предлагаю теперь рассмотреть все соперничающие определения вместе и отложить пока обсуждение различий, получающихся в результате выборов разных определений. Может ли кто предложить что-нибудь такое, что можно считать действительно противоречащим примером даже по самому ограничивающему определению?
Каппа. Включая Определение И?
Учитель. Исключая Определение И.
Гамма. Я могу. Взгляните на этот контрапример 3: звездчатый многогранник -- я назову его «морским ежом» (рис. 7). Он состоит из 12 звездных пятиугольников (рис. 8). Он имеет 12 вершин, 30 ребер и 12 пятиугольных граней -- если хотите, вы можете проверить это подсчетом. Таким образом, положение Декарта-Эйлера совершенно неправильно, так как для этого многогранника V -- Е + F = --6.
Дельта. А почему вы думаете, что ваш «морской еж» будет многогранником?
Гамма. Разве вы не видите? Это многогранник, гранями которого являются двенадцать звездчатых пятиугольников. Он удовлетворяет вашему последнему определению: это -- «система многоугольников, расположенных таким образом, что (1) на каждом ребре встречаются только два многоугольника и (2) из каждого многоугольника можно попасть в любой другой многоугольник без перехода через вершину многогранника».
Дельта. Но тогда вы даже не знаете, что такое многоугольник! Звездчатый пятиугольник наверняка не будет многоугольником. Многоугольником называется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Учитель. Назовем это Определение 4.
Гамма. Я не понимаю, почему вы включаете второе условие: 'Правильное определение многоугольника должно содержать только первое условие.
Учитель. Определение 4'.
Гамма. Второе условие не имеет ничего общего с сущностью многоугольника. Смотрите: если я немножко подыму одно ребро, то звездчатый многоугольник все же будет многоугольником, даже в вашем смысле. Вы воображаете многоугольник, начерченный мелом на доске; но его должно представлять себе как структуру из дерева: тогда то, что вы считаете общей точкой, в действительности будет, очевидно, не точкой, но двумя различными точками, лежащими одна над другой. Вас ввело в заблуждение, что вы помещаете многоугольники в плоскость,-- вы должны позволить его членам простираться в пространстве.
Дельта. Не скажете ли вы мне, что такое площадь звездчатого многоугольника? Или вы думаете, что некоторые многоугольники не имеют площади?
Гамма. Да ведь вы же сами сказали, что понятие о многограннике может быть совсем не связано с идеей телесности. Почему же теперь вы полагаете, что понятие о многоугольнике должно быть связано с понятием о площади? Мы согласились, что многогранник представляет собой замкнутую поверхность с ребрами и вершинами -- тогда почему бы нам не согласиться, что многоугольник будет просто замкнутой кривой с вершинами? Но если вы придерживаетесь нашей идеи, то я охотно определю площадь звездчатого многоугольника.
Учитель. Оставим на некоторое время этот диспут и пойдем, как и раньше. Рассмотрим вместе два последних определения -- Определение 4 и Определение 4'. Может ли кто-нибудь дать контрапример для нашего предположения, которое допускало бы оба определения многоугольников?
Альфа. Вот вам один. Рассмотрим раму картины вроде такой (рис. 9). По всем предложенным до сих пор определениям это будет многогранник. Однако после подсчета вершин, ребер и граней вы найдете, что V -- Е + F = 0.
Учитель. Контрапример 4.
Бета. Ну, это конец нашей догадке. Очень жаль, потому что она во многих случаях была подходящей. Но, по-видимому, мы напрасно потеряли время.
Альфа. Дельта, я поражен. Вы ничего не говорите? Вы не можете этот новый контрапример выопределить из существования? Я думал, что на свете не существует гипотез, которых вы не смогли бы спасти от уничтожения при помощи подходящей лингвистической хитрости. Сдаетесь вы теперь? Наконец, соглашаетесь, что существуют неэйлеровы многогранники? Не поверю!
Дельта. Нашли бы вы лучше более подходящее имя для ваших неэйлеровых чудовищ и не путали нас, называя их многогранниками. Но я постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берет отвращение от ваших несчастных «многогранников», для которых неверна прекрасная теорема Эйлера. Я ищу порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос. Наши положения непримиримы.
Альфа. Вы настоящий старомодный консерватор! Вы браните скверных анархистов, портящих ваш «порядок» и «гармонию» и вы «решаете» затруднения словесными рекомендациями.
Учитель. Послушаем последнее спасительное определение.
Альфа. Вы подразумеваете последний лингвистический трюк, последнее сжатие понятия «многогранник»? Дельта разрушает реальные задачи, вместо того чтобы разрешать их.
Дельта. Я не «сжимаю» понятий. Это вы расширяете их. Например, эта картинная рама совсем не настоящий многогранник.
Альфа. Почему?
Дельта. Возьмите какую-нибудь точку в «туннеле» -- пространстве, ограниченном рамой. Проведите плоскость через эту точку. Вы найдете, что всякая такая плоскость будет всегда с картинной рамой иметь два поперечных сечения, составляющих два отдельных, совершенно не связанных многоугольника! (рис. 10).
Рис. 11
Альфа. Ну и что?
Дельта. В случае настоящего многогранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плоскость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоугольника. В случае выпуклого многогранника этому требованию будут удовлетворять все плоскости, где бы мы ни взяли точку. В случае обыкновенного невыпуклого многогранника некоторые плоскости будут иметь большее число пересечений, но всегда будут такие, которые имеют только одно пересечение (рис 11,а и 11,6). В случае этой картинной рамы все плоскости будут иметь два поперечных сечения, если мы возьмем точку внутри рамы. Как же тогда вы можете назвать это многогранником?
Учитель. Это похоже на еще одно определение, выраженное на этот раз в неявной форме. Назовем его Определение 5.
Альфа. Целая серия контрапримеров, подходящая серия определений, которые не содержат ничего нового, но представляют лишь новые откровения богатства одного старого понятия, которое кажется имеющим столько же «скрытых» требований, сколько и контрапримеров. Для всех многогранников V-E+F=2 кажется неопровержимой, старой и «вечной» истиной. Странно думать, что когда-то это было удивительной догадкой, исполненной вызова и волнения. Теперь же, вследствие ваших странных изменений смысла, оно превратилось в скудную условность, в вызывающую пренебрежение частицу догмы. (Он покидает классную комнату.)
Дельта. Я не могу понять, каким образом такой способный человек, как Альфа, может тратить свой талант на пустые словопрения. Он, кажется, весь поглощен производством монстров, но монстры никогда не способствовали росту ни в мире природы, ни в мире мысли. Эволюция всегда следует гармоническому и упорядоченному образцу.
Гамма. Генетики могут легко опровергнуть это. Разве вы не слышали, что мутации, производящие уродства, играют значительную роль в макроэволюции? Такие уродливые мутанты они называют «подающими надежды монстрами». Мне кажется, что контрапримеры Альфы, хотя и уродства, являются «уродами, подающими надежду»
Дельта. Во всяком случае Альфа отказался от борьбы. Теперь никаких новых монстров больше уже не будет.
Гамма. У меня есть новый. Удовлетворяет всем ограничениям Определений 1, 2, 3, 4 и 5, но для него V--E+F=1. Этот контрапример 5 -- простой цилиндр. У него 3 грани (оба основания и боковая поверхность), 2 ребра (оба круга) и нет вершин. Он многогранник по вашему определению: (1) у каждого ребра ровно по два многоугольника и (2) изнутри одного многоугольника можно пройти внутрь любого другого путем, не пересекающим ни одного ребра в вершине. И вам придется грани считать настоящими многоугольниками, так как они удовлетворяют вашим требованиям: (1) у каждой вершины встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Дельта. Альфа растягивал понятия, а вы их режете. Ваши «ребра» -- не ребра! Ребро имеет две вершины!
Учитель. Определение 6 ?
Гамма. Но почему отрицать статус «ребра» для таких ребер, которые имеют только одну или нуль вершин? Вы обычно сокращали содержание понятий, а теперь так калечите их, что почти ничего не остается!
Дельта. Но разве вы не видите всей тщетности так называемых опровержений? До сих пор, когда изобретали новый многогранник, то это делалось для какой-нибудь практической цели; теперь же их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого из них и не получишь. Наш предмет превращается в тератологический музей, где приличные нормальные многогранники могут быть счастливыми, если им удается удержать очень маленький уголок
Гамма. Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследовать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти. Если вы хотите узнать нормальное здоровое тело, то изучайте его, когда оно в ненормальном положении, когда оно болеет. Если вы хотите знать функции, то изучайте их странности. Если вы хотите познать обычные многогранники, то изучайте их причудливые обрамления. Вот только так можно внести математический анализ в самое сердце вещей. Но если даже в основе вы правы, разве вы не видите бесплодия вашего метода ad hoc? Если вы хотите провести пограничную линию между контрапримерами и монстрами, то этого нельзя сделать в припадках и срывах.
Учитель. Я думаю, что мы должны отказаться от принятия стратегии Дельты в работе с глобальными контрапримерами, хотя нужно поздравить его с искусным ее проведением. Его метод мы можем назвать подходящим термином -- метод устранения монстров. При помощи такого метода можно исключить любой контрапример для первоначального предположения при помощи какого-нибудь глубокого, но всегда ad hoc, изменения определения многогранника, или терминов, его определяющих, или определяющих терминов для его определяющих терминов. Мы должны несколько с большим уважением обращаться с контрапримерами, а не упорно заклинать их, называя монстрами. Главной ошибкой Дельты, пожалуй, будет его догматический уклон в понимании математического доказательства; он думает, что доказательство необходимо доказывает то, для доказательства чего оно было предназначено. Мое понимание доказательства допускает «доказательство» и ложного предположения путем разложения его на вспомогательные. Если предположение ложно, то я с уверенностью ожидаю, что будет ложным и, по крайней мере, одно из этих вспомогательных предположений. Но само разложение тоже может быть интересным! Я не смущаюсь, если будет найден контрапример для «доказанной» догадки; я даже согласен пытаться «доказывать» ложное предположение!
Тета. Я не понимаю вас.
Каппа. Он только следует Новому Завету: «Испытывай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое послание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).
в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же должен избавиться от их тяжести.
Учитель. Продолжайте.
(Альфа возвращается.)
Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является правильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «патологическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоятельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и дает право принимать их на равной ноге с подтверждающими примерами, но как-то окрашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соблазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных доказательств. Нет, они являются только исключениями.
Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапример» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» -- это как раз правильное выражение. «Существуют три рода математических предложений:
1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет пи ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.
2. Те, которые основаны на некотором ложном принципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.
3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения...»
Эпсилон. Что?
Сигма . «... Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения», Как говорит пословица: исключения подтверждают правило.
Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следовало бы немного поучиться логике.
Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевклидовых плоских треугольниках.
Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предсказать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажемся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию предложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допустить в математике хаос и смуту.
Альфа. Согласен.
Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет полезно, если я кратко расскажу историю моего интеллектуального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защиты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относительно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоремы. Однако она допускает исключения... Необходимо обратить внимание на эти исключения, так как даже новейшие авторы не всегда ясно признают их». Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указывается, что прекрасная теорема Эйлера V+F=E+2 в некоторых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений». Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответствуют правильному определению рассматриваемых предметов. Таким образом, можно восстановить в правах доказательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.
Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не исключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?
Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы можете? Мое устранение монстров мне кажется более рациональным, чем ваше устранение доказательств.
Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую аудиторию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернемся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой...
Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно неправильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих положений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правильности. В действительности большая часть формул справедлива только при выполнении некоторых условий. Определение этих условий и, конечно, уточнение смысла употребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность». Как видите, я не являюсь сторонником любой формы мирного сосуществования между неисправленными формулами и исключениями. Я исправляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я принимаю метод устранения монстров, поскольку он может служить для установления области правильности первоначальной догадки; но отбрасываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничивающих положений. Эти два вида функционирования метода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функционирования, мне хотелось бы назвать «методом устранения исключений». Я буду использовать его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.
Учитель. Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?
Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V -- Е + F = 2.
Учитель. Вы уверены?
Бета. Да, вполне.
Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?
Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры».
Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправляете догадку, вместо того чтобы просто принять или не принять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения монстров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «заставляет исчезнуть все неопределенности», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достижение уверенности в истине.
Бета. В самом деле?
Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуманным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы исключили многогранники с полостями. Когда вам удалось заметить картинную раму, вы исключили многогранники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюдательный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключения». Хорошо, допустим, что положение «все многогранники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не является догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйлеровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечислили все исключения?
Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?
Альфа. А что вы скажете о моем «морском еже»?
Гамма. И о моем цилиндре?
Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь конкретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.
Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явлениях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в дальнейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда можно будет начать высказывать его с тем исключением, которое появилось». Дайте подумать. Сначала мы высказали догадку, что V-E+F = 2 годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, октаэдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к общему». Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие многогранники, так наше обобщение уже перестало годиться.
Подобные документы
Отличие опровержения от доказательства. Основные составляющие доказательства: тезис, аргументы, доводы и демонстрация. Ведение разделительного косвенного доказательства по одной из схем разделительно-категорического силлогизма. Правила закона тождества.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 13.08.2010Доказательность как важное качество правильного мышления. Структура доказательства, правила по отношению к тезисам, аргументам и демонстрациям и их возможные нарушения. Прямое и косвенное доказательства. Процесс опровержения допущения в форме контртезиса.
контрольная работа [26,0 K], добавлен 12.10.2009Правила доказательства и опровержения и основные ошибки, возникающие при их нарушении. Правила по отношению к тезисам и аргументам. Argumentum ad hominem — аргумент к человеку. их разновидности: к авторитету, к публике, к силе, к жалости и нелепые доводы.
реферат [18,2 K], добавлен 22.02.2009Выводы из сложных суждений. Виды дедуктивных умозаключений: условный, разделительный и условно-разделительный силлогизм. Методы установления причинных связей. Содержание важнейших формально-логических законов, суть доказательства и опровержения.
контрольная работа [28,9 K], добавлен 21.10.2011Изучение логической структуры доказательства - логической процедуры установления истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже установлена. Виды доказательства и опровержение. Условия и правила доказательства.
реферат [30,2 K], добавлен 20.09.2010Основные формы и особенности абстрактного мышления. Виды понятий и отношения между ними. Функции естественных и искусственных языков. Изучение дедуктивного умозаключения, элементов доказательства рассуждения. Гипотезы, их построение и этапы проверки.
контрольная работа [19,7 K], добавлен 21.10.2013Предмет и методы исследования логики как самостоятельной науки, ее семантические категории. Законы правильного мышления. Сущность и приемы образования понятий, характер отношений между ними. Типы суждений, умозаключений, доказательств и опровержений.
курс лекций [448,8 K], добавлен 16.04.2013Логическая форма и законы мышления. Содержание и форма мысли. Виды понятий по содержанию. Таблицы истинности тождества и отрицания. Непосредственные умозаключения из сложных суждений. Прямые и косвенные доказательства.
контрольная работа [27,6 K], добавлен 26.01.2007Смысл и значение логических законов. Характеристика типичных ситуаций нарушения закона тождества. Определение несуразных, ложных и истинных высказываний. Сущность единичных, общих и нулевых понятий. Виды отношений между понятиями и подбор однозначных.
контрольная работа [13,5 K], добавлен 17.03.2009Требования формально-логических законов. Логическая характеристика понятий: "Диктатура", "Следователь", "Бескорыстие". Виды деления понятий. Объединенная классификация суждений. Вид сложного суждения. Разбор силлогизма. Дедуктивная форма обоснования.
контрольная работа [18,6 K], добавлен 14.12.2008
