Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы
Улучшение догадки методами устранения исключений, сущность стратегического отступления и безопасной игры. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства. Характеристика процесса пересмотра логических и эвристических опровержений.
| Рубрика | Философия |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2016 |
| Размер файла | 336,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Альфа. Вы все еще надеетесь, что в конце дойдете до совершенно строгого анализа доказательства? Если так, то скажите мне, почему вы, «стимулированные» цилиндром, не начали с формулировки вашей новой теоремы? Вы только указали ее. Ее длина и сложность заставили бы нас смеяться от отчаяния. И это только после первого из ваших новых контрапримеров! Вы заменили нашу первоначальную теорему последовательностью все более точных теорем,-- но только в теории. А как относительно практики этой релятивизации? Все более и более эксцентрические контрапримеры будут учитываться все более тривиальными леммами, давая «порочную бесконечность» все более длинных и сложных теорем. Если мы чувствовали животворность критики, когда она казалась приводящей к истине, то теперь, когда она вообще разрушает всякую истину и гонит нас бесконечно и бесцельно, она, конечно, будет разочаровывающей. Я останавливаю эту порочную бесконечность в мысли, но в языке вы никогда не остановите ее.
Гамма. Но я никогда не говорил, что здесь необходимо бесконечное множество контрапримеров. В некотором пункте мы можем дойти до истины и тогда поток опровержений прекратится. Но, конечно, мы не будем знать, когда это будет. Решающими являются только опровержения -- доказательства же относятся к области психологии.
Ламбда. Я все-таки верю, что свет абсолютной достоверности вспыхнет, когда взорвутся опровержения!
Каппа. А взорвутся ли они? А что если Бог так создал многогранники, что все правильные общие их определения, формулированные человеческим языком, будут бесконечно длинными? Разве не будет богохульным антропоморфизмом предполагать, что (божеские) верные теоремы обладают конечной длиной?
Будьте откровенны; по той или другой причине нам всем надоели опровержения и складывание теорем по кусочкам. Почему бы нам не сказать «шабаш» и прекратить игру? Вы уже отказались от «Quod erat demonstrandum». Почему бы не отказаться также и от «Quod erat demonstratum»? Ведь истина только для Бога.
Тета (в сторону). Религиозный скептик -- худший враг науки!
Сигма. Не будем чрезмерно драматизировать! В конце концов дело идет лишь об узкой полутени неясности. Просто, как я сказал раньше, не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими».
Тета (в сторону). Трехзначная логика -- конец критического рационализма!
Сигма... и мы область их применимости определяем с более или менее адекватной строгостью.
Альфа. Адекватной чему?
Сигма. Адекватной решению задачи, которую мы хотим решить.
Тета (в сторону). Прагматизм! Разве уж все потеряли интерес к истине?
Каппа. Или адекватной Zeitgeist (Духу времени - Пер.)! «Довлеет дневи строгость его» 83.
Тета. Историзм! (Падает в обморок.)
Альфа. Правила Ламбды для «строгого анализа доказательства» лишают математику ее красоты, дарят нам дотошный педантизм длинных, сложных теорем, наполняющих скучные толстые книги, и могут даже при случае посадить нас в порочную бесконечность. Каппа ищет выхода в условности, Сигма в математическом прагматизме. Какой выбор для рационалиста!
Гамма. Должен ли такой рационалист насладиться «строгими доказательствами» Альфы, его нечленораздельной интуицией, «скрытыми леммами», осмеянием принципа обратной передачи ложности и исключением опровержений? Должна ли математика не иметь никаких отношений с критицизмом и логикой?
Бета. Во всяком случае я устал от всей этой, не приводящей к решению, словесной грызни. Я хочу заниматься математикой и я не заинтересован философскими трудностями оправдания ее оснований. Даже если рассудок не в состоянии дать такое оправдание, то меня успокаивает мой природный инстинкт.
Я чувствую, что у Омеги есть интересная коллекция возможных доказательств -- я лучше бы послушал их.
Омега. Но я помещу их в «философскую» оболочку!
Бета. Мне нет дела до упаковки, если внутри имеется что-нибудь.
Замечание.
В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики.
Сделанное нами различие между доказательством и анализом доказательства и соответствующее различение строгости доказательства и строгости анализа доказательства, по-видимому, является решающим. Около 1800 г. строгость доказательства (кристально ясный мысленный эксперимент или конструкция) противопоставлялась путаной аргументации и индуктивному обобщению. Именно это подразумевал Эйлер под термином «rigida demonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой математике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716--717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Никому не приходило в голову, что словесное выражение мысленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математика были двумя совершенно раздельными дисциплинами -- математики считали первую совершенно бесполезной. Доказательство мысленного эксперимента имело полную убедительность без какой-нибудь формы «логической» структуры.
В начале XIX в. поток контрапримеров вызвал смущение. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных доказательств. Введенная Коши революция строгости базировалась на эвристическом нововведении, что математик не должен останавливаться на доказательстве: он должен пойти вперед и выяснить, что именно он доказал путем перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым. Но Коши -- или Абель -- не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голову, что если они открыли исключение, то им следовало бы еще раз обратить внимание на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «закрывали глаза» -- но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)
Происшедший в XIX в. союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию и вейерштрассову революцию строгости. Этот союз привел к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность развивать анализ доказательства, постепенно вводя дедуктивные формы в мысленный эксперимент доказательства. Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»: оно впервые соединило логику и математику. Вейерштрассова строгость одержала победу над ее реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми леммами, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от строгости», «искусственности против красоты» и т. д. Строгость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство математиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.
Теория множеств Кантора, давшая еще одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реакционеров» более старого типа за такие же грехи.
Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказательства и опровержений ведет к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разрушающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства был осужден и для доказательства были изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены еще раз.
Логики пытались снасти это супружество и провалились на парадоксах. Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительного знания (Uncriticisable familiarity), переместился в мысленные эксперименты математики. (См. Lakatos, 1962, стр. 179-184.)
При каждой «революции строгости» анализ доказательства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundational layer) хорошо знакомого основного знания (familiar background knowledge)** См. сноску 73.- Прим. пер. , где верховно правила кристально ясная интуиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.
6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания
а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах
Омега. Мне нравится у Ламбды его метод доказательства и опровержений и я разделяю его веру, что как-нибудь мы сможем окончательно дойти до строгого анализа доказательства и таким образом до достоверно истинной теоремы. Но даже и так сам наш метод создает новую задачу: анализ доказательства при возрастании достоверности уменьшает содержание. Каждая новая лемма в анализе доказательства, каждое соответствующее .новое условие в теореме уменьшают область ее применения. Возрастающая строгость применяется к уменьшающемуся числу многогранников. Разве включение лемм не повторяет ошибки, которую сделал Бета в игре на безопасность? Разве мы тоже не смогли бы «отступить слишком радикально, оставляя вне стен большое количество эйлеровых многогранников»? В обоих случаях мы могли бы вместе с водой выплеснуть и: ребенка. Мы должны иметь противовес против уменьшающего содержание давления строгости.
Мы уже сделали несколько шагов в этом направлении. Позвольте мне напомнить вам о двух случаях и снова исследовать их.
Один случай мы имели, когда впервые натолкнулись на локальные, но не глобальные примеры. Гамма опроверг третью лемму в нашем первом анализе доказательства (именно, что «при вынимании треугольников из плоской триангулированной сети мы встречаемся только с двумя возможностями: или мы вынимаем одно ребро, или же мы вынимаем два ребра и вершину»). Он вынул треугольник из середины сети, не вынимая ни одного ребра или вершины.
Мы имели тогда две возможности. Первая состояла во включении ложной леммы в теорему. Это было бы совершенно правильной процедурой по отношению к достоверности, но так нехорошо уменьшило область применения нашей теоремы, что ее можно было бы применить только к тетраэдру. Вместе с контрапримерами мы выбросили бы и все наши примеры, кроме одного.
Поэтому мы разумно приняли вторую возможность: вместо сужения области теоремы вследствие включения леммы мы расширили ее, заменив лемму, сделанную ложной, другой, не являющейся таковой. Но этот существенный образец формирования теоремы был скоро забыт, и Ламбда не позаботился о том, чтобы сформулировать его в качестве эвристического правила. Оно было бы таким:
Правило 4. Если вы имеете контрапример, являющийся локальным, но не глобальным, попробуйте исправить ваш анализ доказательства, заменив отвергнутую лемму неопровергнутой другой.
Контрапримеры первого типа (локальные, но не глобальные) могут представить нам возможность увеличивать содержание нашей теоремы, которое постоянно сокращается под давлением контрапримеров третьего типа (глобальных, но не локальных).
Гамма. Правило 4 снова выявляет слабость предложенной Альфой и теперь устраненной «анализирующей доказательства зрелой интуиции». Он составил бы список подозрительных лемм, непосредственно включил их и затем -- не беспокоясь о контрапримерах -- формулировал бы почти пустые теоремы.
Учитель. Омега, послушаем обещанный вами второй пример.
Омега. У Беты в анализе доказательства вторая лемма состояла в том, что все грани треугольны. Это может быть опровергнуто известным числом локальных, но не глобальных контрапримеров, например при помощи куба или додекаэдра. Поэтому вы, сэр, заменили ее леммой, которая нами не опровергается, а именно, что «любая грань, рассеченная диагональным ребром, распадается на два куска». Но вместо того чтобы призвать Правило 4, вы порицали Бету за «невнимательный анализ доказательства». Вы согласитесь, что Правило 4 будет лучшим советом, чем просто «будьте внимательнее».
Бета. Вы правы, Омега, и вы также заставляете меня лучше понимать «метод лучшего сорта устранителей исключений». Они начинают с осторожного, «безопасного» анализа доказательства и, систематически применяя Правило 4, постепенно строят теорему, не высказывая никаких ложных положений. В конце концов только от темперамента зависит, приближаться ли к истине сверху при помощи всегда неверных чрезмерных утверждений или же снизу при помощи всегда верных недостаточных утверждений.
Омега. Возможно, что это правильно. Но Правило 4 можно толковать двумя способами. До сих пор мы рассматривали только первую более слабую интерпретацию: «можно легко обработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка измененной, которую контрапример не может отвергнуть; для этого нужно только «более внимательное» рассмотрение доказательства и «небольшое замечание». При этой интерпретации Правило 4 будет просто заплаткой в рамках первоначального доказательства.
В качестве альтернативы я допускаю радикальную интерпретацию: заменить лемму -- или, может быть, все леммы -- не только пытаясь выжать последнюю каплю содержания из данного доказательства, но, может быть, изобретая совершенно другое, более охватывающее, более глубокое доказательство.
Учитель. Например?
Омега. Я обсуждал ранее догадку Декарта -- Эйлера с одним другом, который сразу же предложил следующее доказательство: вообразим, что многогранник полый и имеет поверхность, сделанную из какого-нибудь твердого материала, например картона. Ребра должны быть отчетливо раскрашены с внутренней стороны; хорошо осветим внутренность, и пусть одна из граней будет линзой обыкновенной камеры -- та самая грань, из которой я могу снять фотографию, показывающую все ребра и вершины.
Сигма (в сторону). Камера в математическом доказательстве?
Омега. Таким образом, я получаю изображение плоской сети, с которой можно проделать то же самое, что и с плоской сетью вашего доказательства. Таким же образом я могу показать, что для односвязных граней V -- Е + F = 1 и после добавления невидимой грани-линзы на фотографии я получаю формулу Эйлера. Основная лемма заключается в том, что у многогранника имеется такая грань, которая, будучи преобразована в линзу камеры, так фотографирует внутренность многогранника, что на пленке будут все ребра и вершины. Теперь я ввожу следующее сокращение: вместо «многогранника, имеющего одну грань, с которой можно сфотографировать всю внутренность», я буду говорить «квазивыпуклый многогранник».
Бета. Таким образом, ваша теорема будет: «Все квазивыпуклые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».
Омега. Для краткости и признания заслуги изобретателя этого частного доказательства я бы сказал: «Все многогранники Жергонна будут эйлеровыми» .
Гамма. Но имеется множество простых многогранников, которые, будучи вполне эйлеровыми, имеют такие скверные выступы внутри, что у них нет грани, с которой можно было бы сфотографировать всю внутренность. Доказательство Жергонна не будет более глубоким, чем у Коши,-- наоборот, доказательство Коши глубже жергоннова!
Омега. Конечно! Я полагаю, что Учитель знал о доказательстве Жергонна, обнаружил его неудовлетворительность при помощи какого-нибудь локального, но не глобального контрапримера, и заменил оптическую лемму -- фотографирование -- более общей топологической леммой -- растягиванием. При этом он пришел к более глубокому доказательству Коши не путем «тщательного анализа доказательства», сопровождавшегося небольшим изменением, но в результате радикального нововведения, полученного воображением.
Учитель. Я принимаю ваш пример, но доказательства Жергонна я не знал. Но если вы знали, почему же нам о нем не сказали?
Омега. Потому что я непосредственно отверг его при помощи нежергонновых многогранников, которые были эйлеровыми.
Гамма. Как я только что сказал, я тоже нашел такие многогранники. Но будет ли это доводом для совершенного уничтожения этого доказательства?
Омега. Думаю, что да.
Учитель. А вы не слышали о доказательстве Лежандра? Вы и его захотите уничтожить?
Омега. Я, конечно, уничтожил бы. Оно еще менее удовлетворительно; его содержание еще беднее, чем доказательство Жергонна. Его мысленный эксперимент начинался с картографирования многогранника при помощи центральной проекции на сферу, содержавшую этот многогранник. Радиус сферы он выбирал равным 1. Он выбрал центр проекции так, чтобы сфера была полностью один и только один раз покрыта сетью сферических многоугольников. Таким образом, первой его леммой было, что такая точка существует. Второй его леммой было, что для сети на сфере, полученной из многогранника, будет V -- Е + F = 2; это он нашел при помощи тривиально истинных лемм сферической тригонометрии. Точка, из которой возможна такая центральная проекция, существует только для выпуклых и немногих приличных, «почти выпуклых» многогранников -- класс еще более узкий, чем «квазивыпуклых» многогранников. Но теорема - «Все многогранники Лежандра являются эйлеровыми» -- полностью отличается от теоремы Коши, но только к худшему. Она, «к несчастью, неполна». Она представляет «пустое усилие, предполагающее условия, от которых теорема Эйлера совершенно не зависит. Она должна быть уничтожена и нужно поискать более общих принципов».
Бета. Омега прав. «Выпуклость в известной степени для эйлеровости является акцидентальной. Выпуклый многогранник может быть, например, при помощи выступа или вталкивания во внутрь одной или нескольких вершин, преобразован в невыпуклый многогранник с теми же самыми конфигурационными числами. Соотношение Эйлера соответствует чему-то более фундаментальному, чем выпуклость». И вы никогда не поймаете это вашими «почти» или «квази» пустяками.
Омега. Я думал, что учитель нашел это в топологических принципах доказательства Коши, в котором все леммы Лежандрова доказательства заменены совершенно новыми. Но тогда я натолкнулся на многогранник, отвергший даже это доказательство, которое наверняка является самым глубоким из всех до него.
Учитель. Послушаем.
Омега. Вы все помните «морского ежа» Гаммы (рис. 7). Он, конечно, не был эйлеровым. Но не все звездчатые многогранники будут неэйлеровыми. Возьмите, например, «большой звездчатый додекаэдр» (рис. 15). Он состоит из пентаграмм, но только иначе расположенных. Он имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин, так что V -- Е + F = 2.
Учитель. Значит, вы отбрасываете наше доказательство?
Омега. Да. Удовлетворительное доказательство должно объяснить также и эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра».
Ро. А почему не допустить, что «большой звездчатый додекаэдр» состоит из треугольников? Ваши затруднения мнимы.
Дельта. Я соглашаюсь. Но они будут мнимыми по другой причине. Я теперь занялся звездчатыми многогранниками; они так увлекательны. Но я боюсь, что они существенно отличаются от обычных многогранников; поэтому возможно, что нельзя придумать доказательство, которое одной единственной идеей объяснило бы эйлеров характер, скажем, куба и также «большого звездчатого додекаэдра».
Омега. Почему же нет? У вас нет воображения. Стали бы вы настаивать после доказательства Жергонна и до Коши, что выпуклые и вогнутые многогранники будут существенно различными? Поэтому возможно, что нельзя придумать доказательства, которое одной единственной идеей объяснило бы Эйлеров характер выпуклых и вогнутых многогранников. Позвольте мне привести место из «Диалогов» Галилея.
«Сагредо. Как вы видите, все планеты и спутники -- назовем всех их «планетами» -- движутся по эллипсам.
Сальвиати. Я боюсь, что существуют планеты, движущиеся по параболам. Посмотрите на этот камень. Я бросаю его; он движется по параболе.
Симпличио. Но этот камень не планета! Это два совершенно различных явления!
Сальвиати. Конечно, этот камень будет планетой, только брошенной менее могущественной рукой, чем та, которая бросила Луну.
Симпличио. Глупости! Как вы можете соединять вместе небесные и земные явления? Одно не имеет ничего общего с другим! Конечно, оба явления могут быть объяснены доказательствами, но я, конечно, ожидаю, что оба объяснения будут совершенно различными! Я не могу вообразить доказательства, которое при помощи одной единственной идеи объяснило движение планеты в небе и ядра на Земле!
Сальвиати. Вы не можете вообразить его, а я могу придумать его».
Учитель. Бросим ядра и планеты. Омега, удалось ли вам найти доказательство, которое охватило бы вместе обычные эйлеровы многогранники и эйлеровы звездчатые многогранники?
Омега. Я не нашел. Но я его найду.
Ламбда. Скажите, в чем же дело с доказательством Коши? Вы должны объяснить, почему отвергаете одно доказательство за другим.
б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контрапримеров второго типа. Доказательство должно объяснить явление эйлеровостн в полном его объеме.
Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность. Теорема должна быть верной -- не должно быть никаких контрапримеров внутри ее области; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне ее области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, безопасной областью с небольшим числом примеров, а, с другой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.
Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!
Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему. «Все магистральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончательной» только в том случае, если будет верной обратная теорема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками»?
Омега. Конечно.
Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконечности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должны находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.
Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить проблему окончательности, не решив проблемы верности. Я уверен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.
Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержания очень важны. Но почему не признать ваш второй критерий удовлетворительности -- окончательность -- лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматривать их как опровергнутые?
Омега. Ну...
Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил меня, что единственное доказательство может быть недостаточным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».
Мю. Извините мое вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевел в квазитопологические термины. Метод включения лемм дал сужающуюся последовательность найденных областей постепенно исправляемых теорем: в процессе появления скрытых лемм эти области сокращались под непрерывной атакой глобальных контрапримеров и стремились к некоторому пределу; назовем этот предел «областью анализа доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локальных контрапримеров. Эта расширяющаяся последовательность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства». Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придется придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включающую все более и более упорствующие эйлеровы многогранники, бывшие локальными контрапримерами для предшествующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пределу-- «области наивной догадки», -- которая является целью исследования.
Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последовательности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым множеством?
Эпсилон. Я нашел более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра»! (Передает записку Учителю.)
Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровсти!
Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утонченное доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время. Все, что я вижу, сводится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?
в) Различные доказательства дают различные теоремы
Бета. Наиболее интересная вещь, которую я уяснил из этой дискуссии, заключается в том, что различные доказательства той же самой наивной догадки приводят к различным теоремам. Единственная догадка Декарта -- Эйлера исправляется каждым доказательством в отдельную теорему. Наше первоначальное доказательство дало: «Все многогранники Коши суть эйлеровы». Теперь мы узнали кое-что о двух совершенно различных теоремах: «Все многогранники Жергонна суть эйлеровы» и «Все многогранники Лежандра суть эйлеровы». Три доказательства и три теоремы с одним общим предком. Обычное выражение «различные доказательства теоремы Эйлера» будет тогда не совсем правильным, так как оно скрывает жизненную роль доказательства в образовании теорем .
Пи. Разница между различными доказательствами лежит гораздо глубже. Только наивная догадка относится к многогранникам. Теоремы касаются соответственно объектов Коши, жергонновых и лежандровых, - но никоим образом не многогранников.
Бета. Вы пытаетесь шутить?
Пи. Нет, я объясню мою точку зрения. Но я сделаю это в более широком контексте -- я хочу обсудить вообще формирование понятий.
Дзета. Лучше бы сначала обсудить содержание. Я нахожу Правило 4 Омеги очень слабым -- даже в его радикальной формулировке.
Учитель. Правильно. Давайте послушаем сначала о том, как Дзета подходит к проблеме содержания, а затем откроем наши дебаты дискуссией об образовании понятий.
7. Проблема пересмотра содержания
а) «Наивность» наивной догадки
Дзета. Я согласен с Омегой и также оплакиваю факт, что устранители монстров, исключений и инкорпораторы лемм все стремятся к некоторой истине за счет содержания. Но его Правило 4, требующее более глубоких доказательств той же самой наивной догадки, не будет достаточным. Почему наши поиски содержания должны быть ограничены первой наивной догадкой, на которую мы напали? Почему целью нашего исследования должна быть «область наивной догадки»?
Омега. Я не понимаю вас. Конечно, нашей задачей было найти область истинности отношения V--E+F=2?
Дзета. Нет! Нашей задачей было найти связь V, Е и F для любого многогранника. Ведь только по чистой случайности мы сначала познакомились с многогранниками, для которых F--E+F=2. Но критическое исследование этих «эйлеровых» многогранников показало нам, что неэйлеровых многогранников существует гораздо больше, чем эйлеровых. Почему же нам не обратить внимания на область истинности V--E+F= -6, V--E+F=28 или V--E+F=0? Разве они не так же интересны?
Сигма. Вы правы. Мы обратили так много внимания на V--E+F=2 только по той причине, что первоначально считали это истинным. Теперь же мы знаем, что это не так,-- нам нужно найти новую, более глубокую наивную догадку...
Дзета ..., которая будет менее наивной...
Сигма ..., которая даст соотношение между V, Е и F для любого многогранника.
Омега. Зачем спешить? Решим сначала более скромную задачу, которую мы поставили перед собой: объяснить, почему некоторые многогранники являются эйлеровыми. До сих пор мы пришли только к частичным объяснениям. Например, ни одно из найденных доказательств не объяснило, почему картинная рама с кольцеобразными гранями спереди и сзади будет эйлеровой (рис. 16). Она имеет 16 вершин, 24 ребра и 10 граней...
Тета. Она, конечно, не будет многогранником Коши: у нее есть туннель, кольцеобразные грани...
Бета. И все-таки она эйлерова! Как неразумно! Если многогранник провинился один раз -- туннель без кольцеобразных граней (рис. 9), -- то его отбрасывают к козлищам, а тот, который сделал вдвое больше преступлений -- имеет кольцеобразные грани (рис. 16), -- допущен к овцам.
Омега. Вы видите, Дзета, у нас достаточно загадок и для эйлеровых многогранников. Решим же их, прежде чем заняться более общей задачей.
Дзета. Нет, Омега. «На много вопросов иногда бывает легче ответить, чем только на один. Новая более претенциозная проблема может оказаться более легкой, чем первоначальная» 108. В самом деле, я покажу, что ваша узкая случайная задача может быть решена только после решения более широкой, существенной.
Омега. Но я хочу раскрыть секрет эйлеровости!
Дзета. Я понимаю ваше упорство: вы поставили задачу определить, где Бог поместил твердь, отделяющую эйлеровы многогранники от неэйлеровых. Но нет основания думать, что слово «эйлеров» вообще встречалось у Бога в плане вселенной. А что если эйлеровость только случайное свойство некоторых многогранников? В этом случае будет неинтересно, или даже невозможно, найти случайные зигзаги в демаркационной линии между эйлеровыми и неэйлеровыми многогранниками. Тем более это допущение оставит незапятнанным рационализм, потому что эйлеровость не будет тогда частью рационального плана вселенной. Поэтому забудем об этом. Один из основных пунктов критического рационализма заключается в том, что надо быть всегда готовым во время решения оставить свою первоначальную задачу и заменить ее другой.
б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
Сигма. Дзета прав. Какое несчастье!
Дзета. Несчастье?
Сигма. Да. Вы теперь хотите ввести новую «наивную догадку» о соотношении между V, Е и F для любого многогранника, не правда ли? Невозможно! Взгляните на большую толпу контрапримеров. Многогранники с полостями, многогранники с кольцеобразными гранями, с туннелями, сросшиеся друг с другом в ребрах, в вершинах... V--E+F может принять вообще любое значение. Вы, пожалуй, не сумеете разглядеть в этом хаосе какой-нибудь порядок! Твердую почву эйлеровых многогранников мы покинули для болота! Мы невозвратно потеряли наивную догадку и не имеем надежды получить другую!
Дзета. Но...
Бета. А почему нет? Вспомните кажущийся безнадежным хаос в нашей таблице чисел вершин, ребер и граней даже у самых обыкновенных многогранников.
|
Многогранники |
F |
V |
E |
||
|
1. |
Куб |
6 |
8 |
12 |
|
|
2. |
Треугольная призма |
5 |
6 |
9 |
|
|
3. |
Пятиугольная призма |
7 |
10 |
15 |
|
|
4. |
Четырехугольная пирамида |
5 |
5 |
8 |
|
|
5. |
Треугольная пирамида |
4 |
4 |
6 |
|
|
6. |
Пятиугольная пирамида |
6 |
6 |
10 |
|
|
7. |
Октаэдр |
8 |
8 |
12 |
|
|
8. |
«Башня» |
9 |
9 |
16 |
|
|
9. |
Усеченный куб |
7 |
10 |
15 |
Мы столько раз не могли .подобрать для них формулу.Но потом внезапно нас поразил настоящий закон, управляющий ими:
V-E+F = 2.
Каппа (в сторону). «Настоящий закон»? Странное название для полнейшей ложности.
Бета. Все, что мы должны теперь сделать, это дополнить нашу таблицу новыми данными для неэйлеровых многогранников и поискать новую формулу: при наличии терпеливого прилежного наблюдения и некоторого счастья мы попадем на правильную формулу; затем мы можем снова ее улучшить, применяя метод доказательств и опровержений!
Дзета. Терпеливое, прилежное наблюдение? Пробовать одну формулу за другой? Может быть, вы придумаете гадательную машину, которая будет давать вам случайные формулы и пробовать их на вашей таблице? Неужели вы так думаете о прогрессе науки?
Бета. Не понимаю вашего гнева. Ведь вы, конечно, согласитесь, что начало нашего знания, наши наивные догадки могут прийти только после прилежного наблюдения и внезапного прозрения, как бы много ни взял на себя наш критический метод «доказательств и опровержений», после того как мы найдем наивную догадку? Любой дедуктивный метод должен начинаться с индуктивного основания!
Сигма. Ваш индуктивный метод никогда не принесет удачи. Мы пришли к F-E + F=2 только потому, что в нашей первоначальной таблице не было ни картинной рамы, ни морского ежа. Теперь же, когда этот исторический инцидент...
Каппа (в сторону) ... или благосклонное божественное руководство...
Сигма... более уже не существует, вы никогда не сможете из хаоса «индуцировать» порядок. Мы начали с долгого наблюдения и со счастливым прозрением -- и потерпели поражение. Теперь вы предлагаете начать снова с еще более долгим наблюдением и с более счастливым прозрением. Даже если бы мы пришли к какой-нибудь новой наивной догадке -- в чем я сомневаюсь -- мы кончили бы только такой же путаницей.
Бета. Может быть, вы хотите совсем отказаться от исследования? Нам нужно начать снова -- прежде всего с некоторой новой наивной догадки, а затем снова пройти через метод доказательств и опровержений.
Дзета. Нет, Бета. Я согласен с Сигмой, поэтому и не начну опять с новой наивной догадки.
Бета. Тогда с чего же вы хотите начать, если не с индуктивного обобщения на низшем уровне в качестве наивной догадки? Или у вас есть какой-нибудь другой метод для начала?
в) Дедуктивная догадка против наивной догадки
Дзета. Начинать? Зачем я должен начинать? Мой ум не пуст, когда я открываю (или изобретаю) задачу.
Учитель. Не дразните Бету. Вот задача: имеется ли соотношение между числами вершин, ребер и граней многогранника, аналогичное тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольника V=E ? Как вы приметесь за эту задачу?
Дзета. Прежде всего я не имею стипендии от правительства для производства подробной описи многогранников, а также не обладаю армией ассистентов для подсчета их вершин, ребер и граней и составления таблиц по этим данным. Но если бы даже все это у меня было, я не имел бы терпения -- или интереса -- испытывать пригодность одной формулы за другой.
Бета. Что же тогда? Вы ляжете на диван, закроете глаза и забудете о данных?
Дзета. Так точно я и сделаю. Чтобы начать, мне нужна идея, а не какие-либо данные.
Бета. А откуда вы возьмете идею?
Дзета. Она уже имеется в нашем уме, когда мы формулируем задачу; фактически она имеется уже в самой формулировке задачи.
Бета. Какая же идея?
Дзета. Та, что для многоугольника V=E.
Бета. Ну так что же?
Дзета. Задача никогда не приходит с неба. Она всегда связана с нашим земным знанием. Мы знаем, что для многоугольников V = Е. Теперь многоугольник есть система многоугольников, состоящая из одного единственного многоугольника. Многогранник есть система многоугольников, состоящих более чем из одного многоугольника. Но для многогранников VE. В каком пункте отношение V=E отказалось служить при переходе от монополигональных систем к полиполигональным? Вместо того чтобы собирать данные, я прослежу, как эта задача возникла на основе нашего земного знания, или каковы были ожидания, опровержение которых представило эту задачу.
Рис. 17
Сигма. Правильно. Последуем вашим рекомендациям. Для всякого многоугольника Е--V = 0 (рис. 17, а). Что случится, если я прикреплю к нему другой многоугольник (необязательно в той же плоскости)? Добавляемый многоугольник имеет n1 сторон и n1 вершин; если мы прикрепим его к первоначальному по цепочке из n1' ребер и n1'+1 вершин, то мы увеличим число ребер на n1-- n1', а число вершин на n1-- (n1' + 1); значит, в новой 2-полигональной системе получится избыток в числе ребер над числом вершин: Е -- V = 1 (рис. 17,6); необычное, но совершенно допустимое прикрепление мы видим на рис. 17, в. «Прикрепление» новой грани к системе будет всегда увеличивать этот избыток на единицу; следовательно, для построенной таким образом F-полигональной системы будет всегда E--V=F--1.
Бета. Или V--E + F=1.
Ламбда. Но ведь это неверно для большей части полигональных систем. Возьмите куб...
Сигма. Но мое построение может привести только к «открытым» полигональным системам -- ограниченным цепочкой ребер. Мой мысленный эксперимент я могу легко распространить на «закрытую» полигональную систему без такой границы. Это закрытие может быть произведено, если мы такую сосудообразную систему покроем многоугольником -- крышкой; прикрепление такого покрывающего многоугольника увеличит F на единицу без изменения V или Е...
Дзета. Итак, для закрытой полигональной системы -- и закрытого многогранника,-- построенной таким образом, V--E+F=2; догадка, которую мы теперь получили без «наблюдения» числа вершин, ребер и граней одного многогранника!
Ламбда. И теперь вы можете применить метод доказательств и опровержений без какой-нибудь «индуктивной отправной точки».
Дзета. С той разницей, что вам уже не надо будет выдумывать доказательство -- оно уже получилось готовым. Вы можете продолжать непосредственно с опровержениями, анализом доказательства, образованием теоремы.
Ламбда. Тогда в вашем методе -- вместо наблюдений-- доказательство предшествует наивной догадке.
Дзета. Ну, я не назвал бы «наивным» предположение, которое выросло из доказательства. В моем методе нет места для индуктивных наивностей.
Бета. Есть возражение! Вы только отодвинули назад наивное индуктивное начало: вы же начали с «V=E для многоугольников». Разве вы не основываете это на наблюдениях?
Дзета. Как большинство математиков, я не умею считать. Я только что попытался сосчитать стороны и вершины у семиугольника; сначала я нашел 7 сторон и 8 вершин, а затем, второй раз, 8 сторон и 7 вершин...
Бета. Шутки в сторону, как вы получили V=E?
Дзета. Я был глубоко потрясен, когда впервые понял, что для треугольника V--E=0. Я, конечно, хорошо знал, что для одного ребра V -- Е = 1 (рис. 18,а). Я знал также, что присоединение новых ребер всегда увеличивает на единицу и число ребер и число вершин (рис. 18,6 и 18,в). Почему же тогда в полигональных системах ребер будет V -- Е = 0? Потом я понял, что это получается вследствие перехода от открытой системы ребер (которая ограничивается двумя вершинами) к закрытой системе ребер (которая не имеет такой границы), так как мы «закрываем» открытую систему, вставляя ребро без добавления новой вершины. Таким образом, я доказал, но не наблюдал, что для многоугольников будет V--Е = 0.
Бета. Ваша хитрость не поможет вам. Вы только еще дальше отодвинули назад индуктивную отправную точку; теперь обратимся к утверждению, что для всякого ребра V--Е = 1. Вы это доказали или наблюдали?
Дзета. Я доказал это. Я, конечно, знал, что для одной вершины V = 1 (рис. 19). Моей задачей было построить аналогичное соотношение...
Бета (яростно). Разве вы не наблюдали, что для точки V=1?
Дзета. А вы наблюдали это? (В сторону, к Пи.) Должен ли я сказать ему, что моей «индуктивной отправной точкой» было пустое пространство? Что я начал с того, что «наблюдал» ничто?
Ламбда. Во всяком случае два пункта мы установили. Сначала Сигма аргументировал, что только благодаря исторической случайности можно прийти к наивной индуктивной догадке; если имеешь перед собой реальный хаос фактов, то вряд ли сможешь подвести их под изящную формулу. Затем Дзета показал, что для логики доказательств и опровержений мы совсем не нуждаемся ни в наивной догадке, ни в индуктивистской отправной точке.
Бета. Возражение! А как быть с теми прославленными наивными догадками, которым не предшествовали (или даже за которыми не следовали) доказательства, вроде догадки о четырех цветах, которая говорит, что четырех цветов вполне достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту, или догадки Гольдбаха? Ведь только благодаря историческим случайностям доказательства могут предшествовать теоремам, или может иметь место «дедуктивная догадка» Дзеты; в других случаях первыми бывают наивные индуктивные догадки.
Учитель. Мы, конечно, должны усвоить оба эвристических образца; дедуктивная догадка является самой лучшей, но наивная догадка лучше, чем отсутствие всякой догадки. Но наивная догадка - не индукция; такие вещи, как индуктивные догадки, не существуют!
Бета. Но ведь мы нашли наивную догадку при помощи индукции! «Это значит, что она была внушена наблюдением, указана особыми событиями... И среди частных случаев, которые мы рассмотрели, мы могли различить две группы: те, которые предшествовали формулировке догадки, и те, которые появились потом. Первые подсказали догадку, вторые поддержали ее. Оба ряда случаев произвели некоторого рода контакт между догадкой и «фактами»... Этот двойной контакт и представляет сердце индукции; первый создает индуктивную эвристику, второй дает индуктивное оправдание, или индуктивную логику.
Учитель. Нет! Факты не подсказывают догадок и тем более не поддерживают их!
Бета. Тогда что же подсказало мне F--E+F=2, если не факты, собранные в моей таблице?
Учитель. Я скажу вам. Вам самим несколько раз не удавалось подвести их под формулу . Произошло следующее: у вас были три или четыре догадки, которые по очереди были быстро отвергнуты. Ваша таблица была построена в процессе проверки и опровержения этих догадок. Эти мертвые и теперь уже забытые догадки подсказали факты, а не факты подсказали догадки. Наивные догадки не являются индуктивными догадками; мы приходим к ним путем испытаний и ошибок, через предположения и опровержения.
Но если вы думаете -- неправильно,-- что пришли к ним индуктивным путем от ваших таблиц, если вы верите, что чем длиннее таблица, тем больше догадок она подскажет и потом поддержит, то вы можете потратить даром свое время, собирая ненужные данные. Таким образом, проникшись доктриной, что путь открытия ведет от фактов к догадкам и от догадки к доказательству (миф индукции), вы можете полностью забыть об эвристической альтернативе: дедуктивном угадывании.
Математическая эвристика очень похожа на научную эвристику -- не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказательствами и опровержениями. Важная разница заключается в природе соответствующих догадок, доказательств (в науке -- объяснений) и контрапримеров .
Бета. Понимаю. Тогда наша наивная догадка никогда не была первой догадкой, «подсказанной» жесткими непредположительными фактами; ей предшествовали многие «донаивные» догадки и опровержения. Логика догадок и опровержений не имеет исходной точки, но логика доказательств и опровержений имеет ее: она начинается с первой наивной догадки, за которой должен последовать мысленный эксперимент.
Альфа. Может быть. Но тогда я не стал бы называть ее «наивной» .
Каппа (в сторону). Даже в эвристике нет такой вещи, как совершенная наивность.
Бета. Главное - как можно скорее выйти из периода испытаний и ошибок, быстро перейти к мысленным экспериментам, не имея слишком много «индуктивного» уважения к «фактам». Это уважение может задерживать рост знания. Представьте себе, что при помощи испытаний и ошибок вы пришли к догадке V--E+F = 2 и что она будет сразу же отвергнута наблюдением: для картинной рамы V -- Е + F = 0. Если вы слишком уважаете факты, в особенности когда они опровергают ваши догадки, вы пойдете снова к до-наивным испытаниям и ошибкам и будете искать другую догадку. Но если вы обладаете лучшей эвристикой, то вы по крайней мере попытаетесь игнорировать неприятное испытание наблюдением и попробуете испытание мысленным экспериментом, вроде доказательства Коши.
Сигма. Какая путаница! Зачем называть испытанием доказательство Коши?
Бета. Зачем называть испытанием доказательство Коши? Это было испытание! Послушайте. Вы начали с наивной догадки: V--E + F=2 для всех многогранников. Затем вы отсюда вывели следствие: «если наивная догадка справедлива, то после устранения одной грани для оставшейся сети будет V--E+F = 1»; «если это следствие справедливо, то V--E+F=1, даже после триангуляции»; «если это последнее следствие справедливо, то V--E+F=1 будет справедливым, когда мы будем отнимать треугольники по одному»; «если это верно, то V--Е + F = 1 для одного-единственного треугольника»...
Теперь это последнее заключение оказалось общеизвестным, истинным. Но что произошло бы, если бы мы заключили, что для единственного треугольника V--E+F = 0? Мы сразу же отвергли бы первоначальное предположение как ложное. Все, что мы сделали, сводится к тому, что мы испробовали нашу догадку, а именно выводили из нее следствия. Испытание, по-видимому, подтвердило нашу догадку. Но подтверждение еще не доказательство.
Сигма. Но тогда наше доказательство доказало даже еще меньше, чем мы думали! Тогда нам нужно обратить процесс и попытаться построить мысленный эксперимент, который идет в противоположном направлении: от треугольника назад к многограннику!
Бета. Это верно. Только Дзета показал, что вместо решения нашей задачи сначала путем создания наивной догадки при помощи испытаний и ошибок, затем проверки, затем обращения испытания в доказательство можно сразу же начать с реального доказательства. Если бы мы поняли возможность дедуктивного угадывания, то мы могли бы избежать всей этой псевдоиндуктивной возни!
Каппа (в сторону). Что за драматическая серия поворотов на 180°! Критически настроенный Альфа обратился в догматика, догматик Дельта в опровергателя, а теперь индуктивист Бета в дедуктивиста!
Сигма. Но подождите. Если за испытательным мысленным экспериментом...
Бета. Я назову его анализом...
Сигма ...может всегда сразу последовать доказательный мысленный эксперимент...
Бета. Я назову его синтезом...
Сигма. ...то будет ли «аналитическая теорема» необходимо тождественной с «синтетической»? Идя в противоположном направлении, мы можем пользоваться другими леммами.
Бета. Если они будут другими, то синтетическая теорема должна заменить аналитическую; в конце концов анализ только испытывает, тогда как синтез доказывает.
Учитель. Ваше открытие, что наше «доказательство» фактически было испытанием, как будто шокировало класс и отвлекло его внимание от вашего главного аргумента: именно, если мы имеем догадку, уже опровергнутую контрапримером, то мы должны отложить опровержение в сторону и попытаться испробовать догадку при помощи мысленного эксперимента. Таким путем мы могли бы напасть на доказательство, оставить фазу испытаний и ошибок и пустить в ход метод доказательств и опровержений. Но ведь именно это и заставило меня сказать, что «я готов заняться „доказательством" ложного предположения». И тогда Ламбда потребовал в своем Правиле 1: «Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать ее и опровергнуть ее».
Дзета. Это верно. Но позвольте мне дополнить правило Ламбды и Правило 4 Омеги так:
Подобные документы
Отличие опровержения от доказательства. Основные составляющие доказательства: тезис, аргументы, доводы и демонстрация. Ведение разделительного косвенного доказательства по одной из схем разделительно-категорического силлогизма. Правила закона тождества.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 13.08.2010Доказательность как важное качество правильного мышления. Структура доказательства, правила по отношению к тезисам, аргументам и демонстрациям и их возможные нарушения. Прямое и косвенное доказательства. Процесс опровержения допущения в форме контртезиса.
контрольная работа [26,0 K], добавлен 12.10.2009Правила доказательства и опровержения и основные ошибки, возникающие при их нарушении. Правила по отношению к тезисам и аргументам. Argumentum ad hominem — аргумент к человеку. их разновидности: к авторитету, к публике, к силе, к жалости и нелепые доводы.
реферат [18,2 K], добавлен 22.02.2009Выводы из сложных суждений. Виды дедуктивных умозаключений: условный, разделительный и условно-разделительный силлогизм. Методы установления причинных связей. Содержание важнейших формально-логических законов, суть доказательства и опровержения.
контрольная работа [28,9 K], добавлен 21.10.2011Изучение логической структуры доказательства - логической процедуры установления истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже установлена. Виды доказательства и опровержение. Условия и правила доказательства.
реферат [30,2 K], добавлен 20.09.2010Основные формы и особенности абстрактного мышления. Виды понятий и отношения между ними. Функции естественных и искусственных языков. Изучение дедуктивного умозаключения, элементов доказательства рассуждения. Гипотезы, их построение и этапы проверки.
контрольная работа [19,7 K], добавлен 21.10.2013Предмет и методы исследования логики как самостоятельной науки, ее семантические категории. Законы правильного мышления. Сущность и приемы образования понятий, характер отношений между ними. Типы суждений, умозаключений, доказательств и опровержений.
курс лекций [448,8 K], добавлен 16.04.2013Логическая форма и законы мышления. Содержание и форма мысли. Виды понятий по содержанию. Таблицы истинности тождества и отрицания. Непосредственные умозаключения из сложных суждений. Прямые и косвенные доказательства.
контрольная работа [27,6 K], добавлен 26.01.2007Смысл и значение логических законов. Характеристика типичных ситуаций нарушения закона тождества. Определение несуразных, ложных и истинных высказываний. Сущность единичных, общих и нулевых понятий. Виды отношений между понятиями и подбор однозначных.
контрольная работа [13,5 K], добавлен 17.03.2009Требования формально-логических законов. Логическая характеристика понятий: "Диктатура", "Следователь", "Бескорыстие". Виды деления понятий. Объединенная классификация суждений. Вид сложного суждения. Разбор силлогизма. Дедуктивная форма обоснования.
контрольная работа [18,6 K], добавлен 14.12.2008
