Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы
Улучшение догадки методами устранения исключений, сущность стратегического отступления и безопасной игры. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства. Характеристика процесса пересмотра логических и эвристических опровержений.
| Рубрика | Философия |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2016 |
| Размер файла | 336,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Правило 5. Если у вас есть контрапример любого типа, попробуйте при помощи дедуктивного гадания найти более глубокую теорему, для которой уже более не будет контрапримеров.
Омега. Вы теперь расширяете мое понятие «глубины» и, может быть, вы и правы. Но как же быть с действительным применением нашего нового правила? До сих пор оно только давало нам результаты, которые мы уже знали. Легко быть мудрым после события. Ваше «дедуктивное гадание» как раз представляет синтез, соответствующий первоначальному анализу Учителя. Но теперь вы должны быть честным -- вы должны использовать ваш метод для нахождения догадки, которой вы еще не знали, с обещанным увеличением содержания.
Дзета. Правильно. Я начну с теоремы, рожденной моим мысленным экспериментом: «Все закрытые нормальные многогранники будут эйлеровыми».
Омега. «Нормальные»?
Дзета. Я не желаю тратить времени на прохождение через метод доказательств и опровержений. Я просто называю «нормальными» все многогранники, которые могут быть построены, исходя из «совершенного» многоугольника, прикладывая к нему (а) первые F -- 2 граней без изменения V -- Е + F (это будут открытые нормальные многогранники) и (б) наконец, закрывающую грань, которая увеличивает V--E+F на 1 (и превращает открытый многогранник в закрытый).
Омега. «Совершенный» многоугольник?
Дзета. Под «совершенным» многоугольником я подразумеваю такой, который может быть построен, исходя из одной-единственной вершины, прикладыванием к ней сначала n--1 ребер без изменения V--Е и, наконец, последнего закрывающего ребра, которое уменьшает V--Е на 1.
Омега. Будут ли ваши закрытые нормальные многогранники совпадать с многогранниками Коши?
Дзета. Я не желаю сейчас углубляться в это.
г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания
Учитель. Достаточно предварительных замечаний. Посмотрим ваш вывод.
Дзета. Хорошо, сэр. Я беру два закрытых нормальных многогранника (рис. 20,а) и склеиваю их вместе по многоугольному обводу так, чтобы исчезли две склеивающиеся грани (рис. 20, б). Так как для двух многогранников V--E+F=4, то исчезновение двух граней в соединенном многограннике восстановит формулу Эйлера -- ничего удивительного после доказательства Коши, так как новый многогранник может быть легко раздут в шар. Таким образом, формула хорошо выдерживает это испытание приклеиванием. Но попробуем теперь испытать двойное приклеивание: склеим вместе два многогранника по двум многоугольным обводам (рис. 20, в). Теперь исчезнут 4 грани и для нового многогранника V--E+F = 0.
Рис. 20
Гамма. Это контрапример 4 Альфы, картинная рама!
Дзета. Теперь если при помощи «двойного приклеивания» я прикреплю к этой картинной раме (рис. 20, в) еще один нормальный многогранник (рис. 21,а), то V -- Е + F будет --2 (рис. 21,б).
Сигма. Для моносфероидального многогранника V--E+F=2, для дисфероидального V--E+F = 0, для трисфероидального V -- Е + F = -- 2, для n-сфероидального V -- E + F = 2--2*(n-1)...
Дзета. ...что представляет вашу новую догадку с содержанием, бывшим еще неизвестным, полную и с доказательством и без составления какой-нибудь таблицы .
Рис. 21
Сигма. Это действительно прекрасно. Вы не только объяснили упорную картинную раму, но вы создали еще бесконечное множество новых контрапримеров...
Дзета. С полным объяснением.
Ро. Я как раз пришел к тому же результату другим путем. Дзета начал с двух эйлеровых примеров и превратил их в контрапример, контролируя экспериментом. Я начинаю с контрапримера и превращаю его в пример. Я сделал следующий умственный эксперимент с картинной рамой: «Пусть многогранник будет из какого-нибудь материала, который легко режется как мягкая глина; пропустим нитку через туннель, а затем через глину. Многогранник не распадется... Но он сделается знакомым, простым сфероидальным многогранником! Это верно, мы увеличим число граней на 2, а числа и ребер и вершин на m; но так как мы знаем, что эйлерова характеристика простого многогранника равна 2, то первоначальный должен был иметь характеристику 0. Теперь, если для того чтобы сделать многогранник простым, необходимо большее число, скажем n, таких разрезов, то его характеристика будет 2-2*n.
Сигма. Это интересно. Дзета уже показал нам, что мы можем не нуждаться в догадке для начала доказательства, что мы можем непосредственно произвести синтез, т. е. доказательный умственный эксперимент над близким предложением, которое, как мы знаем, является верным. Теперь Ро показывает, что мы можем обойтись без догадки даже для начала испытания, но, предполагая, что результат уже имеется, мы можем заняться придумыванием анализа, т. е. проверочного мысленного эксперимента .
Омега. Однако какой бы путь вы ни выбрали, все еще остаются кучи необъясненных многогранников. По вашей новой теореме для всех многогранников V--E + F будет четным числом, меньшим 2. Но мы видели также несколько многогранников с нечетными эйлеровыми характеристиками. Возьмите увенчанный куб (рис. 12) с V-E+F=1...
Дзета. Я никогда не говорил, что моя теорема приложима ко всем многогранникам. Она применима только ко всем n-сфероидальным многогранникам, построенным согласно моей конструкции. В настоящем ее состоянии она не приводит к кольцеобразным граням.
Рис. 22
Омега. Да?
Сигма. Я знаю! Ее можно распространить и на многогранники с кольцеобразными гранями: можно построить кольцеобразный многоугольник, уничтожив ребро в рожденной доказательством подходящей системе многоугольников, не изменяя числа граней (рис. 22, а и 22, б). Я думаю, не существуют ли также «нормальные» системы многоугольников, построенные в согласии с нашим доказательством, в которых можно уничтожить даже более одного ребра, не уменьшая числа граней...
Гамма. Это правда. Посмотрите на такую «нормальную» систему многоугольников (рис. 23,а). Вы можете уничтожить два ребра, не уменьшая числа граней (рис. 23,б).
Сигма. Хорошо! Тогда вообще
для n-сфероидальных, или n-связных, многогранников с lk ребрами, которые можно уничтожить без уменьшения числа граней.
Бета. Эта формула объясняет мой увенчанный куб (рис. 12) , моносфероидальный многогранник (с n=1) с одной кольцеобразной гранью: все lk равны нулю, кроме l1, которое будет 1, или:
следовательно, V-E+F=1.
Сигма. Она также объясняет ваш «иррациональный» эйлеров каприз: куб с двумя кольцеобразными гранями и туннелем (рис. 16). Это дисфероидальный многогранник (n = 2) с
Следовательно, его характеристика будет V-E+F=2-2+2=2. В мире многогранников восстановлен моральный порядок
Омега. А как для многогранников с полостями?
Сигма. Я знаю! Для них нужно сложить эйлеровы характеристики каждой отдельной несвязанной поверхности,
Бета. А тетраэдры-близнецы?
Сигма. Я знаю!..
Гамма. Какой смысл всей этой точности? Остановите этот поток претенциозных тривиальностей!
Альфа. А почему должен он прекратиться? Разве тетраэдры-близнецы -- монстры, а не настоящие многогранники? Тетраэдр-близнец такой же хороший многогранник, как и ваш цилиндр! Но вам нравилась лингвистическая точность. Почему же вы осмеиваете нашу новую точность? Мы должны добиться, чтобы теорема охватила все многогранники; делая ее точной, мы увеличиваем, а не уменьшаем ее содержание. В этом случае точность будет добродетелью!
Каппа. Скучные добродетели так же плохи, как и скучные пороки! Кроме того, вы никогда не достигнете полной точности. Мы должны остановиться там, где нам перестанет быть интересным идти дальше.
Альфа. Моя точка зрения иная. Мы начали с положения
(1): одна вершина есть одна вершина.
Отсюда мы вывели
(2) : V=E для всех совершенных многоугольников.
Отсюда мы вывели
(3):V -- E + F=1 для всех нормальных открытых систем многоугольников.
Отсюда
(4):V--E+F=2 для всех нормальных закрытых систем многоугольников, т. е. для многогранников.
Отсюда, по очереди, снова
(5) : F -- Е + F = 2-- 2 (n -- 1) для нормальных n-сфероидальных многогранников.
для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями,
для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями и полостями.
Разве это не чудесное раскрытие скрытых богатств, содержавшихся в тривиальной исходной точке? И так как (1) несомненно истинно, то также будет и остальное.
Ро (в сторону). Скрытые «богатства»? Два последних пункта показывают только, как дешево можно получить обобщения.
Ламбда. Вы серьезно думаете, что (1) является единственной аксиомой, из которой вытекает все остальное? Что дедукция увеличивает содержание?
Альфа. Конечно! Разве это не чудо дедуктивного мысленного эксперимента? Если вы уж схватили маленькую истину, то дедукция неизбежно развернет ее в дерево познания. Если дедукция не увеличивает содержания, то я назвал бы ее не дедукцией, но «проверкой»; проверка отличается от истинного доказательства как раз тем, что она бывает чисто аналитической и также бесплодной.
Ламбда. Но, конечно, дедукция не может увеличить содержания. Если критика устанавливает, что заключение богаче предпосылок, то нам нужно усилить предпосылки, выявив скрытые леммы.
Каппа. А эти скрытые леммы содержат софистич-ность и погрешимость и в конце концов уничтожают миф о непогрешимой дедукции.
Учитель. Есть еще вопросы относительно метода Дзеты?
д) Логические контрапримеры против эвристических
Альфа. Мне нравится Правило 5 Дзеты так же, как и Правило 4 Омеги. Мне нравился метод Омеги за то, что он искал локальные, а не глобальные контрапримеры, как раз те самые, которые первоначальными тремя правилами Ламбды игнорировались как логически безобидные и, следовательно, эвристически неинтересные. Омега был ими побужден к изобретению новых мысленных экспериментов: реальный прогресс в нашем знании!
Теперь Дзета вдохновляется контрапримерами, которые одновременно являются и локальными, и глобальными -- прекрасными подтверждениями с логической, но не с эвристической точки зрения; хотя они и подтверждения, но все же призывают к действию. Дзета предлагает распространить, сделать усложненным наш первоначальный мысленный эксперимент, превратить логические подтверждения в эвристические, логически удовлетворительные примеры в такие, которые будут удовлетворительными и с логической, и с эвристической точки зрения.
И Омега, и Дзета стоят за новые идеи, тогда как Ламбда, и особенно Гамма, заняты лишь лингвистическими трюками с их неуместными глобальными, но не локальными контрапримерами -- единственными существенными с их причудливой точки зрения.
Тета. Так что же, логическая точка зрения будет «причуднической»?
Альфа. Если это ваша логическая точка зрения, то да. Но я хочу сделать еще одно замечание. Увеличивает ли дедукция содержание или нет -- заметьте, что она, конечно, это делает -- она, по-видимому, наверняка гарантирует непрерывный рост знания. Мы начинаем с одной вершины и заставляем знание расти насильственно и гармонически для выяснения соотношения между числами вершин, ребер и граней какого угодно многогранника: чистый не драматический рост без опровержений!
Тета. (Каппе). Разве Альфа потерял способность суждений? Начинают с задачи, а не с вершины!
Альфа. Эта постепенная, но неодолимо победоносная кампания приведет нас к теоремам, которые «не являются сами по себе очевидными, но только выведены из истинных и известных принципов при помощи постоянного и непрерывающегося действия ума, который отчетливо видит каждый шаг процесса». Эти теоремы никак не могут быть получены «беспристрастным» наблюдением и внезапной вспышкой интуиции.
Тета. В этой окончательной победе я все же сомневаюсь. Такого рода рост никогда не приведет нас к цилиндру -- так как (1) начинает с вершины, а у цилиндра их нет. Также, может быть, мы никогда не достигнем односторонних многогранников или многогранников с большим числом измерений.
Это постепенное непрерывное распространение вполне может остановиться на какой-нибудь точке и вам придется ждать нового революционного толчка. И даже такая «мирная непрерывность» полна опровержений и критики! Что заставляет нас идти от (4) к (5), от (5) к (6) и от (6) к (7), как не постоянное давление контрапримеров, являющихся и глобальными, и локальными? В качестве подлинных контрапримеров Ламбда принимал только такие, которые являются глобальными, но не локальными: они обнаруживают ложность теоремы. Правильно оцененным Альфой было нововведение Омеги -- в качестве подлинных контрапримеров рассматривать и такие, которые являются локальными, но не глобальными: они обнаруживают, что теорема бедна истиной. Теперь Дзета советует нам считать подлинными и такие контрапримеры, которые являются и глобальными, и локальными: они тоже обнаруживают у теоремы бедность истиной. Например, картинные рамы для теоремы Коши будут и глобальными, и локальными контрапримерами: они, конечно, будут подтверждениями, если рассматривать одну только истину, но опровержениями, если рассматривать содержание. Мы можем первые (глобальные, но не локальные) контрапримеры назвать логическими, а остальные -- эвристическими контрапримерами. Но чем больше мы признаем опровержений -- логических или эвристических -- тем быстрее растет знание. Логические контрапримеры Альфа считает неуместными, а эвристические контрапримеры вообще отказывается называть контрапримерами и все по причине его одержимости идеей, что рост математического знания непрерывен и критика не играет никакой роли.
Альфа- Понятие об опровержении и понятие о критике вы искусственно распространяете только для того, чтобы оправдать вашу критическую теорию роста знания. Разве лингвистические хитрости могут быть орудиями философов?
Пи. Я думаю, что обсуждение образования понятий поможет нам выяснить исход спора.
Гамма. Мы все навострили уши.
8. Образование понятий
а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения
Пи. Я хотел бы сначала вернуться назад в период до Дзеты или даже до Омеги, к трем основным методам формирования теории: устранению монстров, устранению исключений и методу доказательств и опровержений. Оба они начинали с одной и той же наивной догадки, но кончили различными теоремами и различными теоретическими терминами. Альфа уже очертил некоторые аспекты этих различий, но его обзор недостаточен -- особенно в случае устранения монстров и метода доказательств и опровержений. Альфа думал, что устраняющая монстры теорема «за тождеством лингвистического выражения скрывает существенное улучшение» наивной догадки: он думал, что Дельта класс «наивных» многогранников постепенно сжимал в класс, очищенный от неэйлеровых монстров.
Гамма. А что было дурного в обзоре Альфы?
Пи. То, что не устранители монстров сжимают понятия, это опровергатели расширяют их.
Дельта. Слушайте, слушайте!
Пи. Вернемся назад ко времени первых исследователей нашего вопроса. Они были зачарованы прекрасной симметрией правильных многогранников; они думали, что пять правильных тел содержат тайну космоса. В то время была выставлена догадка Декарта -- Эйлера, и понятие многогранника включало всякого сорта выпуклые многогранники и даже некоторые с вогнутостями. Но тогда это понятие не включало многогранников, которые не были простыми, или многогранников с кольцеобразными гранями. Для всех многогранников, которые тогда имелись в виду, догадка в ее тогдашнем состоянии была правильна и доказательство не имело погрешностей .
Затем выступили опровергатели. В своей критической ревности они расширяли понятие многогранника, чтобы покрыть предметы, которые были чуждыми предложенному истолкованию. В предположенном истолковании догадка была верной, она оказалась неправильной только в непредполагавшемся истолковании, внесенном контрабандой опровергателями. Их «опровержение» не обнаружило ни неверности в первоначальной догадке, ни ошибки в первоначальном доказательстве; оно обнаружило только ложность новой догадки, которую никто не выставлял и о которой никто еще раньше не думал.
Бедный Дельта! Он храбро защищал первоначальное толкование многогранника. Он противодействовал каждому контрапримеру новым ограничением для спасения первоначального понятия...
Гамма. Но разве не Дельта изменял каждый раз своей позиции? Когда мы выставляли новый контрапример, он менял свое определение на более длинное, которое обнаруживало еще одно из его скрытых «ограничений»!
Пи. Какая чудовищная переоценка устранения монстров! Он только казался изменяющим свою позицию. Вы несправедливо обвиняли его в пользовании потайными терминологическими эпициклами в защиту упорной идеи. Его несчастием было это пышное Определение 1: «Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольных граней», за которое опровергатели сразу же и ухватились. Но Лежандр предполагал покрыть им только свои наивные многогранники; что оно покрывало гораздо большее число, этого предложивший и не понял и не намеревался понять. Математическая публика была готова проглотить чудовищное содержание, которое медленно выплывало из этого правдоподобного, невинного по виду определения. Вот почему Дельте приходилось все время лепетать: «Я думал...» и продолжать выявление своих бесконечных «молчаливых» ограничений; все это потому, что наивное понятие никогда не было закреплено, и простое, но чудовищное, непредполагавшееся определение вытеснило его. Но вообразим другую ситуацию, когда определение правильно фиксировало предположенное толкование «многогранника». Тогда опровергателям пришлось бы выдумывать все более длинные определения, включающие монстры, скажем, для «комплексных многогранников»: «Комплексным многогранником называется агрегат (реальных) многогранников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнтными гранями». «Грани комплексных многогранников могут быть комплексными многоугольниками, которые являются агрегатами (реальных) многоугольников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнтными ребрами». Такой комплексный многогранник будет соответствовать рожденному опровержением понятию многогранника у Альфы и Гаммы -- первое определение допускало также многогранники не являвшиеся простыми, а второе -- грани, которые не были односвязными. Таким образом, изобретение новых определений не будет необходимым делом устранителей монстров или охранителей понятий -- им могут также заниматься включатели монстров или распространители понятий.
Сигма. Понятия и определения -- т. е. предположенные понятия и непредполагавшиеся определения -- могут тогда устраивать хитрые штуки одно другому. Я никогда не думал, что образование понятий может тянуться вслед за бессознательно широким определением!
Пи. Да, может. Устранители монстров только сохраняют первоначальное определение, тогда как расширители понятий увеличивают его; любопытная вещь заключается в том, что расширение понятий идет скрыто; никто этого не сознает и так как «координатная система» всякого человека расширяется по мере того, как увеличивается объем понятий, то он становится жертвой эвристического обмана зрения, что устранение монстров сужает понятия, тогда как в действительности оно сохраняет их неизменными.
Дельта. Тогда кто же был интеллектуально нечестным? Кто сделал тайные изменения в своей позиции?
Гамма. Я допускаю, что мы были неправы, обвиняя Дельту за скрытые сжатия его понятия о многограннике; .все шесть его определений означали то же самое доброе старое понятие о многограннике, которое он унаследовал от своих предков. Он определял одно и то же бедное понятие в возрастающем богатстве теоретических форм выражения или языков; устранение монстров не образует понятий, но только переводит определения на другой язык. Устраняющая монстры теорема не представляет улучшения наивной догадки.
Дельта. Вы считаете, что все мои определения были логически эквивалентными?
Гамма. Это зависит от вашей логической теории -- по моей они, конечно, не были такими.
Дельта. Вы должны сознаться, что такой ответ не очень помогает. Но скажите мне, опровергали ли вы наивную догадку? Вы опровергали ее, только извращая тайком ее первоначальное толкование!
Гамма. Ну, мы опровергли ее более интересным толкованием, заставляющим работать воображение, как вы и не грезили. Это-то и составляет разницу между опровержениями, которые только обнаруживают глупую ошибку, и опровержениями, являющимися большими событиями в росте знания. Если вследствие неумения считать вы нашли бы, что «для всех многогранников V -- E+F=1» и я исправил бы вас, то я не назвал бы это «опровержением».
Бета. Гамма прав. После откровения Пи мы могли бы колебаться называть наши контрапримеры логическими контрапримерами, так как они все же не являются несовместными с догадкой в ее первоначально предполагавшемся толковании: однако они определенно будут эвристическими контрапримерами, так как побуждают рост знания. Если бы нам пришлось принять узкую логику Дельты, то знание не возрастало бы. Предположим, что кто-нибудь с узкой системой понятий познакомится с данным Коши доказательством эйлеровой теоремы. Он найдет, что все этапы этого мысленного эксперимента легко могут быть выполнены на любом многограннике. Он примет как очевидный, не вызывающий сомнения «факт», что все многогранники являются простыми и что все грани односвязны. Ему никогда не придет в голову превратить свои «очевидные» леммы в условия для некоторой исправленной догадки и таким образом построить теорему, -- потому что отсутствует стимул контрапримеров, показывающих, что некоторые «тривиально истинные» леммы неверны. Таким образом, он будет думать, что «доказательство» без всякого сомнения устанавливает истинность наивной догадки, что ее правильность вне всяких сомнений. Но его «уверенность» совсем не будет признаком успеха, она только симптом отсутствия воображения, концептуальной бедности. Она создает уютную удовлетворенность и препятствует росту знания.
б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.
Пи. Давайте вернемся к рожденной доказательством теореме «Все простые многогранники с односвязными гранями будут эйлеровыми». Эта формулировка может ввести в заблуждение. Нужно так: «Все простые объекты с односвязными гранями будут эйлеровыми».
Гамма. Почему?
Пи. Первая формулировка заставляет думать, что класс простых многогранников, встречающихся в этой теореме, является подклассом класса «многогранников» наивной догадки.
Сигма. Конечно, класс простых многогранников будет подклассом многогранников. Понятие «простого многогранника» сужает первоначальный широкий класс многогранников, ограничивая их теми, для которых выполняется первая лемма нашего доказательства. Понятие «простого многогранника с односвязными гранями» указывает на дальнейшее сужение первоначального класса...
Пи. Нет! Первоначальный класс многогранников содержал только те многогранники, которые были простыми и грани которых были односвязными. Омега ошибался, когда говорил, что включение лемм уменьшает содержание.
Омега. Но разве каждое включение лемм не исключает контрапример?
Пи. Конечно, исключает; но контрапример был произведен расширением понятия.
Омега. Значит включение леммы сохраняет содержание, как и устранение монстров?
Пи. Нет. Включение леммы увеличивает содержание; устранение же монстров нет.
Омега. Что? Вы действительно хотите убедить меня, что включение леммы не только не уменьшает содержания, но даже, что оно увеличивает его? Что вместо сужения понятий оно их расширяет?
Пи. Совершенно верно. Послушайте. Был ли элементом первоначального класса многогранников глобус, на котором нарисована политическая карта?
Омега. Конечно, нет.
Пи. Но он сделался им после доказательства Коши. Потому что вы без малейшего затруднения можете выполнить на нем доказательство Коши -- если только на нем нет кольцеобразных стран или озер.
Гамма. Это верно! Если вы надуете многогранник в шар и измените ребра и грани, вы ничуть не помешаете выполнению доказательства -- пока искажение не изменит числа вершин, ребер и граней.
Сигма. Я вижу, что вы хотите сказать. Тогда рожденный доказательством «простой многогранник» будет не только сужением, спецификацией, но также и обобщением, распространением наивного «многогранника». Идея такого обобщения понятия многогранника, чтобы оно могло включить смятые, криволинейные «многогранники» с искривленными гранями, вряд ли могла прийти кому-нибудь в голову до доказательства Коши; даже если бы это случилось, то идея была бы отброшена как причуда. Но теперь это является естественным обобщением, так как операции нашего доказательства могут быть для них истолкованы так же хорошо, как и для обыкновенных простых многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями.
Пи. Хорошо. Но вам придется сделать еще один шаг. Рожденные доказательством понятия не представляют ни «спецификаций», ни «обобщений» наивных понятий: напор доказательств и опровержений на наивные понятия еще более революционен, чем это -- они полностью уничтожают основные наивные понятия и заменяют их понятиями, рожденными доказательством. Наивный термин «многогранник», даже после его расширения опровергателями, обозначал нечто похожее на кристалл, тело с «плоскими» гранями и прямыми ребрами. Идеи доказательства полностью проглотили и переварили это наивное понятие. В различных теоремах, рожденных доказательством, от этого наивного понятия ничего не осталось. Оно бесследно исчезло. Вместо этого каждое доказательство выявляет его характерные, рожденные доказательством понятия, которые касаются возможностей быть растянутым, надутым, фотографированным, проектированным и тому подобное. Старая задача исчезла, появились новые. После Колумба не следует удивляться, если человек не решает ту задачу, которую он поставил себе для решения.
Сигма. Таким образом «теория твердых тел», -- первоначальное «наивное» царство эйлеровой догадки,-- исчезает, новая переработанная догадка проявляется в проективной геометрии, когда ее доказал Жергонн, в аналитической топологии, когда ее доказал Коши, в алгебраической топологии, когда ее доказал Пуанкаре...
Пи. Совершенно верно. И теперь вы поймете, почему я не формулирую теоремы, как Альфа или Бета: «Все жергонновы многогранники являются эйлеровыми», «Все многогранники Коши являются эйлеровыми» и так далее, но скорее так: «Все жергонновы объекты являются эйлеровыми», «Все объекты Коши являются эйлеровыми» и так далее. Таким образом, я не считаю возможным ссориться не только из-за точности наивных понятий, но также из-за истинности или ложности наивных догадок.
Бета. Но, конечно, мы можем сохранить термин «многогранник» для нашего излюбленного, рожденного доказательством термина, например, «объектов Коши»?
Пи. Если хотите, но помните, что ваш термин уже не обозначает более того, для обозначения чего он был выдуман, что наивное понимание исчезло и что теперь он употребляется...
Бета... для более общего, исправленного понятия!
Тета. Нет! Для совершенно отличного, нового понятия.
Сигма. Я думаю, что ваши взгляды парадоксальны!
Пи. Если под парадоксальным вы понимаете «мнение пока еще не общепризнанное» , и возможно несовместимое с некоторыми из ваших укоренившихся наивных идей, то не беспокойтесь: вам только придется ваши наивные идеи заменить парадоксальными. Это может быть способом «решения» парадоксов. Но какое частное мое мнение вы имеете в виду?
Сигма. Вы помните, мы нашли, что некоторые звездчатые многогранники являются эйлеровыми, другие же нет. Мы искали доказательства, которое было бы достаточно глубоким для объяснения эйлеровости как обыкновенных, так и звездчатых многогранников...
Эпсилон. У меня оно есть.
Сигма. Я знаю. Но для целей аргументации представим, что у нас такого доказательства не имеется, но что в добавление к доказательству Коши для «обыкновенных» эйлеровых многогранников кто-то предлагает соответственное, но совершенно различное, доказательство для эйлеровых звездчатых многогранников. Захотели бы вы тогда, Пи, вследствие этих двух различных доказательств, предложить разбиение на два того, что мы ранее классифицировали как нечто единое? И захотели ли вы также объединить под одним именем две совершенно различные вещи только вследствие того, что кто-то нашел общее объяснение для некоторых из их свойств?
Пи. Конечно, я так бы и сделал. Ясно, что я не захотел бы назвать кита рыбой, или радио -- шумовым ящиком (как могут назвать туземцы), но я не выхожу из себя, когда физик назовет стекло жидкостью. Действительно наивную классификацию прогресс заменяет теоретической классификацией, т. е. классификацией, рожденной теорией (доказательством или, если хотите, объяснением). И догадки, и понятия одинаково должны пройти через чистилище доказательств и опровержений. Наивные догадки и наивные понятия заменяются исправленными догадками (теоремами) и понятиями (рожденными доказательством или теоретическими), вырастающими из метода доказательств и опровержений. И как теоретические идеи и понятия вытесняют наивные идеи и понятия, так и теоретический язык вытесняет наивный.
Омега. В конце концов от наивной, случайной, чисто номинальной классификации мы придем к окончательной, истинной, реальной классификации, к совершенному языку.
в) Пересмотр логических и эвристических опровержений
Пи. Позвольте снова обратиться к некоторым выводам, получившимся в связи с дедуктивным угадыванием. Прежде всего возьмем проблему выбора между эвристическими и логическими контрапримерами, вставшую в дискуссии между Альфой и Тетой.
Мое изложение, я думаю, показало, что даже так называемые логические контрапримеры были эвристическими. В первоначальном понимании толкования нет несовместности между
а) все многогранники будут эйлеровыми и
б) картинная рама неэйлерова.
Если мы будем придерживаться молчаливых семантических правил нашего первоначального языка, то наши контрапримеры не будут контрапримерами. Они превратились в логические контрапримеры только от изменения правил языка при расширении понятий.
Гамма. Вы подразумеваете, что все интересные опровержения будут эвристическими?
Пи. Совершенно верно. Вы не можете поместить отдельно, с одной стороны, опровержения и доказательства, а с другой изменения в концептуальной, таксономической и лингвистической системе. Обычно при появлении «контрапримера» вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашем данном языке L1 он совсем не контрапример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрапример на вашем новом языке L2.
Дзета ...и объяснить его на L3!
Пи. В соответствии с традиционной, не меняющейся рациональностью вы должны сделать первый выбор. Наука учит нас выбирать второй.
Гамма. Иначе мы можем иметь два утверждения, которые совместны на L1, но мы переключаемся на L2, где они несовместны. Или мы можем иметь два утверждения, несовместные на L1, но мы переключаемся на L2, где они совместны. По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка». Рост знания нельзя промоделировать на любом заданном языке.
Пи. Это верно. Лингвистика занимается динамикой языка, а логика только его статикой.
г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
Гамма. Вы обещали вернуться к вопросу, может или нет дедуктивное угадывание дать непрерывное изображение роста знания.
Пи. Позвольте мне сначала очертить некоторые из многочисленных исторических форм, которые может принять эта эвристическая картина.
Первое основное изображение получается, когда наивное расширение понятий намного обгоняет теорию и производит большой хаос контрапримеров: наши наивные понятия ослабляются, но теоретические понятия не заменяют их. В этом случае дедуктивное угадывание может -- постепенно -- справиться с залежами контрапримеров. Это будет, если хотите, непрерывное «обобщающее» изображение. Но не забывайте, что оно начинает с опровержений, что его непрерывность представляет постепенное объяснение растущей теории эвристических опровержений ее первой версии.
Гамма. Или «непрерывный» рост только указывает, что опровержения далеко впереди!
Пи. Это верно. Но может случиться, что каждое отдельное опровержение, или распространение наивных понятий, непосредственно влечет за собой распространение теории (и теоретических понятий), которые объясняют контрапример; тогда «непрерывность» уступает место возбуждающему чередованию опровержений, расширяющих понятия, и еще более мощных теорий, наивных расширений понятий и объяснительных теоретических расширений понятий.
Сигма. Две случайные исторические вариации на ту же самую эвристическую тему!
Пи. Ну, в действительности между ними не так уже много различия. В них обоих сила теории лежит в способности объяснить опровержения в процессе роста. Но есть еще второе основное изображение дедуктивного угадывания.
Сигма. Еще другая случайная вариация?
Пи. Да, если хотите. Однако в этой вариации растущая теория не только объясняет, но и производит ее опровержения.
Сигма. Что?
Пи. В этом случае теоретический рост обгоняет -- и, конечно, исключает -- наивное расширение понятий. Например, кто-нибудь начинает, скажем, с теоремы Коши без единого контрапримера на горизонте. Затем испытывают эту теорему, преобразуя многогранник всеми возможными способами: разрезая пополам, отрезая пирамидальные углы, сгибая, растягивая, раздувая... Некоторые из этих идей-испытаний приведут к идеям-доказательствам (если мы получим результат, о котором уже было известно, что он верен, и затем: повернем назад, т. е. будем следовать папповой картине анализа-синтеза), но некоторые -- вроде «испытания двойным склеиванием» Дзеты -- приведут нас не назад к чему-либо уже известному, но к действительной новости, к какому-нибудь эвристическому опровержению испытываемого предложения -- не при помощи расширения наивного понятия, а путем расширения теоретической системы. Такое опровержение само себя объясняет...
Йота. Как в диалектике! Испытания превращаются в доказательства, контрапримеры становятся примерами по самому методу их построения...
Пи. Почему диалектика? Испытания одного предложения превращаются в доказательство другого более глубокого предложения, контрапримеры первого в примеры второго. Зачем смещение называть диалектикой? Но позвольте вернуться к моей точке зрения: я не думаю, что мою вторую основную картину дедуктивного угадывания можно рассматривать -- как хотел бы Альфа -- как непрерывный рост знания.
Альфа. Конечно, так можно. Сравните наш метод с идеей Омеги о замене одной идеи доказательства другой, радикально отличной, более глубокой. Оба метода увеличивают содержание, но в то время как в методе Омеги операции доказательства, применимые в узкой области, заменяются операциями, применимыми в более широкой области, или более радикально, все доказательство заменяется другим, применимым в более широкой области, -- дедуктивное угадывание расширяет данное доказательство добавлением операций, расширяющих его приложимость. Разве это не непрерывность?
Сигма. Это верно! Из данной теоремы мы выводим цепь еще более широких теорем! Из частного случая все более и более общие случаи! Обобщение путем дедукции!
Пи. Но насытившись контрапримерами, вы когда-то признали, что любое увеличение содержания, любое более глубокое доказательство впереди себя имеет или порождает эвристические опровержения предшествующих более бедных теорем...
Альфа. Тета распространял понятие «контрапример», чтобы покрыть эвристические контрапримеры. Вы теперь распространяете его, чтобы покрыть эвристические контрапримеры, которые никогда реально не существуют. Вы считаете, что ваша «вторая картина» полна контрапримерами и основана на распространении понятия контрапримера на контрапримеры с нулевой продолжительностью жизни, открытие которых совпадает с их объяснением! Но почему всякая интеллектуальная активность, всякая борьба за увеличение содержания в объединенной теоретической системе должна быть «критической»? Ваша догматическая «критическая позиция» затемняет исход!
Учитель. Исход спора между вами и Пи безусловно темен, потому что ваш «непрерывный рост» и «критический рост» Пи вполне совместимы. Я более интересуюсь ограничениями, если такие имеются, дедуктивного угадывании или «непрерывного критицизма».
д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
Пи. Я думаю, что рано или поздно «непрерывный» рост обязательно зайдет в тупик, достигнет точки насыщения теории.
Гамма. Но, конечно, я всегда могу расширить некоторое понятие!
Пи. Конечно. Наивное расширение понятий может продолжаться, но теоретическое расширение имеет пределы. Опровержения при помощи наивного расширения понятий -- это только поводы, побуждающие идти вперед при помощи теоретического расширения понятий. Имеются два сорта опровержений. На первый сорт мы наталкиваемся вследствие совпадения, или счастья, или произвольного расширения какого-нибудь понятия. Они вроде чудес, их «аномальное» поведение необъяснимо, мы принимаем их как контрапримеры bona fide (добросовестно (лат).) только потому, что привыкли принимать расширяющий понятие критицизм. Я буду называть их наивными контрапримерами или причудами. Далее существуют теоретические контрапримеры: они или производятся первоначально от расширения доказательств, или в других случаях являются причудами, которые получаются от расширенных доказательств, объясняются ими и поэтому повышаются до статуса теоретических контрапримеров. На причуды надо смотреть с большим подозрением: они могут быть не подлинными контрапримерами, а примерами из совершенно другой теории, если не простыми ошибками.
Сигма. Но что мы должны делать, когда застрянем? Когда не сможем превратить наши наивные контрапримеры в теоретические, расширяя наше первоначальное доказательство?
Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше дедуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конечно, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяснить нам лишенный вершин цилиндр.
Альфа. Значит, все-таки цилиндр был не монстром, а причудой!
Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являются действительными опровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизировать нашу теоретическую систему...
Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получить точку относительного насыщения -- но тогда кто-нибудь найдет революционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге все-таки попадаешь на окончательное доказательство -- без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!
Пи. Что? Единая объединенная теория для объяснения всех явлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вроде абсолютной точки насыщения.
Гамма. Мне по настоящему безразлично, придем мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснен дешевым, тривиальным расширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один многогранник, но класс многогранников. Я также хотел бы забыть о «многосвязных гранях» -- почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за оружие: это годится лишь, чтобы изготовлять сложные претенциозные формулы для ничего.
Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправления монстров! Он освобождает вас от узкого обобщения. Омега не должен был называть содержание «глубиной» -- не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о формулах (6) и (7) .
Альфа. Значит, в моем ряду вы остановились на (5)?
Гамма. Да;(6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашел бы и объяснил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример.
Альфа. По-видимому, вы все-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина -- дело только вкуса.
Гамма. А почему бы не иметь математических критиков наподобие литературных для развития математического вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в математической литературе.
Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим теорию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности справиться с тривиальными аномалиями, вроде объясненных в (6) и (7)?
Мю. Детская игра!
Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5). Но можем ли мы остановиться? Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игнорировать расширение понятия, если оно дает контрапример, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение дает контрапример, который ясно показывает ее ложность, то как тогда? Мы можем отказаться от применения наших увеличивающих содержание Правила 4 или Правила 5 для объяснения причуды, но нам придется применить наше сохраняющее содержание Правило 2 для устранения опровержения при помощи причуды.
Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешевые» обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешевые» опровержения.
Сигма. Почему бы не построить устраняющее монстры определение «многогранника», добавив новое условие для каждой причуды?
Тета. В обоих случаях снова вернется наш старый кошмар, порочная бесконечность.
Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы развиваете идеи, делаете математику; после этого вы выясняете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остановиться совсем, когда перестаешь увеличивать содержание? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечностей?
Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингвистикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.
Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.
Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь может сказать нам что-нибудь новое?
Каппа. Я думаю, что могу.
9. Как критика может математическую истину превратить в логическую
а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
Каппа. Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности . Гамма и Ламбда ответили надеждой, что поток опровержений может иссякнуть; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений -- расширение понятий,-- мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения всегда найдется некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое достаточно широкое, которое окажется ложным. Какое толкование предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от наших намерений. Первое толкование можно было бы назвать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скептическим, критическим или опровергательным. Альфа назвал первое конвенционалистской стратагемой, но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наивной догадки, а затем догматическое толкование Альфой теоремы . Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утверждения.
Гамма. Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигурирует больше в теореме.
Каппа. Но тогда вы начнете расширять термин в теореме -- теоретический термин, не правда ли? Вы сами решили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра. Вы подразумевали, что интеллектуальная честность требует подставить шею, добиться почетного статуса опровергаемости, т. е. сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость означает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заменяя ее более «строгой» -- такой, ложность которой еще не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложности.
Сигма. А что, если мы остановимся на некотором пункте, примем оправдательные толкования и не будем трогаться дальше от истины или от той частной лингвистической формы, в которой была выражена истина?
Каппа. Тогда вам придется отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими монстры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» вашей истинной теоремы, которая не будет достаточно точной, и вы будете принуждены включать в нее все более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых еще не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.
Тета (в сторону). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?
Альфа. Я сказал вам: точные понятия и непоколебимые истины живут только в мысли, но не в языке!
Гамма. Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V--Е+F = 2». Как вы опровергнете это методом расширения понятий?
Каппа. Прежде всего я вернусь к определяющим терминам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» стоит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6,а). Этот многогранник будет простым, его грани--односвязными, но V--Е+F = 3. Итак, наша теорема неверна.
Гамма. Но эти близнецы-тетраэдры не будут простым многогранником!
Каппа. Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придется только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.
Рис. 24
Гамма. Но это же не растягивание! Вы режете -- или расщепляете -- ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растягивание является дважды непрерывным однозначным отображением.
Каппа. Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетворит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в воображении растянуть квадрат (рис. 24,а) в два вложенных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовете ли вы это растягивание разрезом или расщеплением только потому, что оно не представляет «дважды непрерывного однозначного отображения». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не определили растягивание как преобразование, которое оставляет F, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?
Гамма. Верно, вы опять выиграли. Я должен или согласиться с вашим опровергательным толкованием «растягивания» и расширить мое доказательство, или найти более глубокое, или включить лемму, или ввести определение, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих случаев я всегда буду делать более и более ясными мои определяющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единственное толкование, как в случае с 2 + 2=4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержимого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.
Подобные документы
Отличие опровержения от доказательства. Основные составляющие доказательства: тезис, аргументы, доводы и демонстрация. Ведение разделительного косвенного доказательства по одной из схем разделительно-категорического силлогизма. Правила закона тождества.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 13.08.2010Доказательность как важное качество правильного мышления. Структура доказательства, правила по отношению к тезисам, аргументам и демонстрациям и их возможные нарушения. Прямое и косвенное доказательства. Процесс опровержения допущения в форме контртезиса.
контрольная работа [26,0 K], добавлен 12.10.2009Правила доказательства и опровержения и основные ошибки, возникающие при их нарушении. Правила по отношению к тезисам и аргументам. Argumentum ad hominem — аргумент к человеку. их разновидности: к авторитету, к публике, к силе, к жалости и нелепые доводы.
реферат [18,2 K], добавлен 22.02.2009Выводы из сложных суждений. Виды дедуктивных умозаключений: условный, разделительный и условно-разделительный силлогизм. Методы установления причинных связей. Содержание важнейших формально-логических законов, суть доказательства и опровержения.
контрольная работа [28,9 K], добавлен 21.10.2011Изучение логической структуры доказательства - логической процедуры установления истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже установлена. Виды доказательства и опровержение. Условия и правила доказательства.
реферат [30,2 K], добавлен 20.09.2010Основные формы и особенности абстрактного мышления. Виды понятий и отношения между ними. Функции естественных и искусственных языков. Изучение дедуктивного умозаключения, элементов доказательства рассуждения. Гипотезы, их построение и этапы проверки.
контрольная работа [19,7 K], добавлен 21.10.2013Предмет и методы исследования логики как самостоятельной науки, ее семантические категории. Законы правильного мышления. Сущность и приемы образования понятий, характер отношений между ними. Типы суждений, умозаключений, доказательств и опровержений.
курс лекций [448,8 K], добавлен 16.04.2013Логическая форма и законы мышления. Содержание и форма мысли. Виды понятий по содержанию. Таблицы истинности тождества и отрицания. Непосредственные умозаключения из сложных суждений. Прямые и косвенные доказательства.
контрольная работа [27,6 K], добавлен 26.01.2007Смысл и значение логических законов. Характеристика типичных ситуаций нарушения закона тождества. Определение несуразных, ложных и истинных высказываний. Сущность единичных, общих и нулевых понятий. Виды отношений между понятиями и подбор однозначных.
контрольная работа [13,5 K], добавлен 17.03.2009Требования формально-логических законов. Логическая характеристика понятий: "Диктатура", "Следователь", "Бескорыстие". Виды деления понятий. Объединенная классификация суждений. Вид сложного суждения. Разбор силлогизма. Дедуктивная форма обоснования.
контрольная работа [18,6 K], добавлен 14.12.2008
