Цель исследования - изучить возможности применения схематического моделирования условия текстовой задачи в развитии знаково-символических действий младших школьников.

1. Изучить и проанализировать литературу по теме исследования.

2. Систематизировать собственные знания по схематическому моделированию условия задачи как средства развития знаково-символических действий младших школьников.

3. Изучить опыт работы учителей начальных классов по исследуемой проблеме.

4. Разработать методические рекомендации «Формы схематического моделирования в решении текстовых задач».

В процессе исследования были использованы следующие методы исследования: анализ теоретических источников по заявленной теме, анализ программ и методических пособий, анализ учебников и журналов.

Структура работы: введение, две главы, заключение, список использованной литературы и приложение.

Глава 1. Содержательно-педагогический аспект в обучении младших школьников решению текстовых задач

В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.

В более узком (собственно психологическом) значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.

Способность учащегося самостоятельно успешно усваивать новые знания, формировать умения и компетентности, включая самостоятельную организацию этого процесса, т. е. умение учиться, обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщенные действия открывают учащимся возможность широкой ориентации, как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включающей осознание ее целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик [6, c.75].

Таким образом, достижение умения учиться предполагает полноценное освоение школьниками всех компонентов учебной деятельности, включая: 1) познавательные и учебные мотивы; 2) учебную цель; 3) учебную задачу; 4) учебные действия и операции (ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка). Умение учиться - существенный фактор повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования умений и компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора [29, c.17].

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности; обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса; лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания. Универсальные учебные действия обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и развития учащихся.

Реализация деятельностного подхода в образовании осуществляется в ходе решения следующих задач [15, c.153-154]:

- определение основных результатов обучения и воспитания в зависимости от сформированности личностных качеств и универсальных учебных действий;

- построение содержания учебных предметов и образования в целом с ориентацией на сущностные знания в соответствующих предметных областях;

- определение функций, содержания и структуры универсальных учебных действий для каждого возраста/ступени образования;

- выделение возрастно-специфической формы и качественных показателей сформированности универсальных учебных действий в отношении познавательного и личностного развития учащихся;

- определение круга учебных предметов, в рамках которых оптимально могут быть сформированы конкретные виды универсальных учебных действий;

- разработка системы типовых задач для диагностики сформированности универсальных учебных действий на каждом этапе образовательного процесса;

- разработка системы задач и организация ориентировки учащихся в их решении, обеспечивающем формирование универсальных учебных действий.

В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре блока: 1) личностный; 2) регулятивный (включающий также действия саморегуляции); 3) познавательный; 4) коммуникативный.

Личностные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделить три вида личностных действий:

- личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

- смыслообразование, т. е. установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: какое значение и какой смысл имеет для меня учение? - и уметь на него отвечать;

- нравственно-этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор [15, c.154].

Регулятивные действия обеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности. К ним относятся:

- целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

- планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

- прогнозирование - предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

- контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

- коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

- оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

- саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодолению препятствий [6, c.75].

Познавательные универсальные действия включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы.

Общеучебные универсальные действия:

- самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

- поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

- структурирование знаний;

- осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

- выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

- смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

- постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера [6, c.76].

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

- моделирование - преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);

- преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область [35, c.35].

Коммуникативные действия обеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.

К коммуникативным действиям относятся:

- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками - определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

- постановка вопросов - инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

- разрешение конфликтов - выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

- управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка его действий;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка [15, c.155].

Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих развитие психологических способностей личности, осуществляется в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной деятельности ребенка и тем самым определяет зону ближайшего развития указанных универсальных учебных действий (их уровень развития, соответствующий «высокой норме») и их свойства.

К критериям оценки сформированности универсальных учебных действий учащихся относятся:

- соответствие возрастно-психологическим нормативным требованиям;

- соответствие свойств универсальных действий заранее заданным требованиям [6, c.79].

Возрастно-психологические нормативы формулируются для каждого вида универсальных учебных действий с учетом определенной стадии их развития.

Свойства действий, подлежащие оценке, включают: уровень (форму) выполнения действия, полноту (развернутость), разумность, сознательность (осознанность), обобщенность, критичность и освоенность (П.Я. Гальперин).

Анализ происхождения и развития универсальных учебных действий, особенностей их функционирования позволяет установить их взаимозависимость и взаимообусловленность, прямо вытекающие из активно-деятельностной природы развития психологических новообразований.

Универсальные учебные действия представляют собой целостную систему, в которой происхождение и развитие каждого вида учебного действия определяется его отношением с другими видами учебных действий и общей логикой возрастного развития. Общение выступает основой дифференциации и развития форм психической деятельности в раннем онтогенезе (Л.С. Выготский, М.И. Лисина). Так, происхождение личностных, познавательных и регулятивных действий определяется развитием коммуникации и общения ребенка с социальным (учитель) и близким (родители) взрослым и сверстниками. Из общения и сорегуляции вырастает способность ребенка регулировать свою деятельность. Из оценок окружающих и в первую очередь оценок близкого взрослого формируется представление о себе и своих возможностях, появляется самопринятие и самоуважение, т.е. самооценка и Я-концепция как результат самоопределения. Из ситуативно-познавательного и внеситуативно-познавательного общения формируются познавательные действия ребенка (М.И. Лисина).

В теории привязанности (Д. Боулби, М. Эйнсворт) было показано, что автономия ребенка и его познавательное развитие в значительной степени предопределены типом его привязанности, особенностями его взаимоотношений и сотрудничества с близким взрослым. Можно утверждать, что содержание и способы общения и коммуникации обусловливают развитие способности ребенка к регуляции поведения и деятельности, познанию мира, определяют образ «Я» как систему представлений о себе, отношений к себе. Именно поэтому особое внимание в концепции развития универсальных учебных действий уделяется становлению коммуникативных универсальных учебных действий.

По мере становления личностных действий ребенка (смыслообразование и самоопределение, нравственно-этическая ориентация) функционирование и развитие универсальных учебных действий (коммуникативных, познавательных и регулятивных) претерпевает значительные изменения. Регуляция общения, кооперации и сотрудничества проектирует определенные достижения и результаты ребенка, что вторично приводит к изменению характера его общения и Я-концепции [20, c.118].

Познавательные действия также являются существенным ресурсом достижения успеха и оказывают влияние как на эффективность самой деятельности и коммуникации, так и на самооценку, смыслообразование и самоопределение учащегося.

Таким образом, функциями универсальных учебных действий являются:

- обеспечение возможностей учащегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учет конкретные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;

- создание условий для гармоничного развития личности и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию; обеспечение успешного усвоения знаний, формирования умений, навыков и компетентностей в любой предметной области.

1.2 Классификация и функции текстовых задач в математике

Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии математического мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практическом применении математики. Решение задач служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.

Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

Обучающая роль математических задач реализуется при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли [11, c.73]:

§ задачи для усвоения математических понятий,

§ задачи для овладения математической символикой,

§ задачи для обучения доказательствам,

§ задачи для формирования математических умений и навыков,

§ задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, создающие проблемную ситуацию.

Развивающая роль задач заключается в активизации мыслительной деятельности учеников на уроке. Математические задачи должны будить мысль учеников, активизировать их познавательную деятельность, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования, запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения [39, c.32].

Перечислим виды задач, активизирующих и развивающих мышление учащихся:

§ задачи и упражнения, включающие элементы исследования,

§ задачи на доказательство,

§ задачи и упражнения на поиск ошибок,

§ занимательные задачи,

§ определение различных вариантов решения и выбор наиболее рационального, составление задач учащимися.

Воспитательная роль задач заключается в формировании личностных качеств: силы воли, аккуратности, кропотливости и т.п.

Задача - это вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышления. Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия - это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной.

Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели.

Найти решение задачи - это значит установить связь между заранее дифференцированными объектами или идеями (объектами, которые у нас имеются, и объектами, которые нам требуется отыскать, данными и неизвестным, предпосылкой и заключением) [49, c.15].

В работе выделяются задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями. Задачи с дидактическими функциями (вводные, тренировочные) предназначаются преимущественно для облегчения введения или закрепления изучаемых теоретических сведений. Это задачи на непосредственное применение изучаемой теории, закрепление основных понятий и фактов. Задачи с познавательными функциями (теоретические, практические) содержат новую для учащихся учебную информацию. Они ориентированы на более глубокое усвоение основного материала школьного курса, в процессе их решения учащиеся знакомятся с новыми в познавательном отношении теоретическими сведениями: новыми понятиями, фактами, методами решения задач. К задачам с развивающими функциями относятся задачи, содержание которых несколько отходит от основного курса, посильно осложняет вопросы программы. Это задачи на сообразительность, развитие числовой и геометрической интуиции, пространственного представления и воображения, логического мышления. Часто одна и та же задача выполняет в обучении несколько функций одновременно [2, c.71-72].

Задачи являются и предметом, и средством обучения. Они способствуют достижению всех целей обучения: воспитательных, образовательных, развивающих. Возможны различные подходы к определению последовательности в изучении теоретического материала и решении задач:

а) изучается небольшой блок теоретического материала, затем решаются задачи, связанные с ним (традиционный подход);

б) ведется «опережающее» изучение теоретического материала, после изучения крупного блока теории решаются задачи сразу по всему материалу этого блока;

в) ведется «опережающее» решение задач (теоретический материал темы рассматривается вначале на ознакомительном уровне, теоремы пока не доказываются; после ознакомления с формулировками определений и теорем сразу переходят к решению задач; по мере приобретения навыков решения задач обращаются к изучению доказательств теорем теоретической части курса, причем многие из этих доказательств проводятся учащимися самостоятельно). Опыт учителей-новаторов показывает, что «крупноблочное» изучение теоретического материала позволяет решить проблему дефицита учебного времени, интенсифицировать учебный процесс, не перегружая учащихся [10, c.26].

Перейдем к рассмотрению классификаций задач. Сначала необходимо определить тот признак, по которому будем классифицировать.

По содержанию задачи делятся на практические (задачи с практическим содержанием) и математические. При решении практических задач используется метод математического моделирования, его суть в следующем:

а) переводим реальную ситуацию на математический язык и строим математическую модель;

б) работаем внутри математической модели и получаем результат;

в) переводим обратно на реальный язык или интерпретируем результат. При решении математической задачи используется только второй этап.

По требованию выделяют задачи на доказательство, на построение и на вычисление.

По характеру мыслительной деятельности различают стандартные и нестандартные задачи. К стандартным относятся задачи, которые имеют определенный алгоритм решения (алгоритмически разрешимые задачи). Задачи, не имеющие общего алгоритма решения, называются нестандартными. Нестандартные задачи имеют отчетливо выраженную развивающую функцию. Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какими теоретическими знаниями обладают учащиеся к моменту ее решения. Если учащимся известен алгоритм решения этой задачи, то ее можно считать шаблонной. Если к моменту решения стандартной задачи общий метод ее решения не известен, то такая задача является нешаблонной (при ее решении необходимо обнаружить общий метод решения или применить какой-либо искусственный прием). Нестандартные и нешаблонные задачи (вследствие общности их функции в обучении) можно объединить в одну группу - группу творческих задач.

По целям применения задач в учебном процессе выделяют задачи подготовительные, задачи на закрепление, на приобретение новых знаний, на развитие мышления.

В начальных классах ученики рассматривают и решают разнообразные задачи, большинство которых содержит числовые данные. Кроме того, учащиеся должны познакомиться с решением задач, в которых значения одной - двух величин выражены буквами. Эти задачи подводят учеников к более широким обобщениям и служат вводным материалом к изучению алгебры. Сюжет некоторых решаемых в начальных классах задач построен на геометрическом материале, то есть в них идет речь о фигурах и протяженности. Большинство этих задач назвать геометрическими в полном смысле нельзя [19, c.101-104].

Таким образом, основное внимание обращается на рассмотрение задач с числовыми данными, при решении которых используют как арифметические, так и алгебраические методы. Среди математических задач различают задачи простые и составные.

К простым задачам относят те, которые можно решить одним действием. Задачи, которые составлены из нескольких простых и поэтому решаются с помощью двух и более действий, называют составными задачами.

К любой простой задаче можно составить две обратные задачи, то есть две такие задачи, у каждой из которых в тот же сюжет искомое число из прямой задачи включено в виде одного из данных, а в качестве искомого выступает число, известное из условия прямой задачи.

Кроме того, среди простых задач выделяются задачи, выраженные в косвенной форме.

В зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, простые задачи делят на три группы.

Первая группа включает простые задачи, при которых учащиеся усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий:

o нахождение суммы;

o нахождение остатка;

o нахождение суммы одинаковых слагаемых;

o деление на равные части; деление по содержанию.

Вторая группа включает простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента.

Третья группа - простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения [16, c.20-21].

Однако, рассматривая различные подходы к классификации простых задач, Л.В. Занков замечает, что ни одна классификация не позволяет установить последовательность, в какой следует рассматривать их при обучении детей решению задач. Это является существенным недостатком различных классификаций. Однако, зная принципы классификации простых задач, учитель с меньшей затратой труда и времени научит школьников правильно находить, каким действием решается та или иная задача [14, c.12].

Методика располагает достаточно обоснованными суждениями о значении и системе использования простых задач в начальных классах. Простые задачи нужны ученику для того, чтобы:

§ ознакомиться со структурой математической задачи;

§ выработать у ребенка сознательное отношение к выбору действия, которое нужно произвести для нахождения ответа на вопрос задачи;

§ задачи помогают раскрыть смысл действий;

§ увидеть элементарные функциональные зависимости между величинами, входящими в условие, понять связь между компонентами действий;

§ связать различные математические упражнения с жизнью, что повышает у детей интерес к предмету, оживляет процесс овладения навыками;

§ работа с изменением текста простой задачи позволяет ученику овладеть более отвлеченными математическими понятиями, переходить к обобщениям и абстрагированию;

§ готовить ученика к пониманию решения разнообразных составных задач [31, c.116].

Важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами и передавал эти знания своим ученикам.

Выводы по первой главе

Что дают универсальные учебные действия?

· обеспечивают учащемуся возможность самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты;

· создают условия развития личности и ее самореализации на основе «умения учиться» и сотрудничать с взрослыми и сверстниками. Умение учиться во взрослой жизни обеспечивает личности готовность к непрерывному образованию, высокую социальную и профессиональную мобильность;

· обеспечивают успешное усвоение знаний, умений и навыков, формирование картины мира, компетентностей в любой предметной области познания.

Универсальный характер УУД проявляется в том, что они:

· носят надпредметный, метапредметный характер;

· обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности;

· обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса;

· лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания;

· обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и формирования психологических способностей учащегося.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся, в т.ч. развитию УУД. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Глава 2. Развитие знаково-символических действий младших школьников в обучении решению текстовых задач

Под моделью (от лат. тodе1u - мера) понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте [35, c.36].

Модель в самом широком смысле - это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т.п. При этом следует помнить, что модель всегда является отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучении знания на исходный объект [48, c.55].

Обычно модель строится с таким расчетом, чтобы охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и требуют изучения.

Моделирование - это процесс построения моделей, а так изучения на них соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс следования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми, существенными в данных условиях, свойства моделируемого объекта [35, c.37].

Моделирование является одним из основных методов любой науки. Когда ученые, изучая какое-либо реальное явление, создают его модель, то дальнейшее изучение явления производится на созданной модели. Исследовав модель, изучив ее свойства и закономерности, их проверяют на практике. Обычно модель определяется как некоторый объект, исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). Разные люди с одной и той же целью, для одного и того объекта могут построить совершенно разные модели.

Чтобы модель была пригодной для этих целей, она должна удовлетворять соответствующим признакам. В большинстве случаев модель обладает не одним признаком, а несколькими, и, следовательно, пригодна и для других целей. Говоря о том, что уравнение это знаковая модель задачи, очевидно, необходимо указать, какие еще существуют виды моделей.

Можно также отметить такую важную закономерность: создание материальных и идеальных (образных и знаково-символических) моделей производится на основе предварительного создания мысленных моделей - наглядных образов моделируемых объектов [29, c.20].

То есть субъект, разрабатывая модель того или иного объекта, сначала создает у себя мысленный, наглядный образ этого объекта - его мысленную модель, а затем уже на ее основе строит материальную или образную, знаково-символическую модель. Понимание, усвоение, осознание готовой модели происходит в обратном порядке, а именно: сначала чувственно воспринимают модель (материальную, образную или знаково-символическую) а затем строят соответствующую ей мысленную модель - наглядный образ моделируемого объекта. Модель не просто дает возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, а создает образ его наиболее существенных свойств, все остальные, несущественные в данном случае свойства, отбрасываются. Таким образом, создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

В моделировании можно выделить следующие этапы:

1. выявление в ситуации или явлении существенных факторов и отбрасывание несущественных;

2. построение схемы взаимосвязи существенных факторов;

3. получение из построенной схемы необходимых выводов.

Для реализации описанного содержания процесса моделирования необходимо:

1. знать некоторые объекты, отношения и факты некоторой области деятельности;

2. уметь выделять основное и отбрасывать несущественное;

3. создавать на полученной основе схему ситуации;

4. выбрать язык, на котором она будет рассматриваться;

5. получить из схемы выводы, т.е. решить задачу на выбранном языке [43, c.78]

Л.М. Фридман дает следующее определение модели в широком смысле:

Моделью некоторого объекта А (оригинала) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, выбранный или построенный субъектом по крайней мере для одной из следующих целей :

1) замена объекта А в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии (процессе), так как объект В более удобен для этого действия в данных условиях (модель заместитель).

2) создание представления об объекте А (реально существующем или воображаемого) с помощью объекта В (модель-представление).

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде объекта В (модель интерпретация).

4) Исследование объекта А с помощью объекта В, посредством изучения объекта В (исследовательская модель) [45, c.40-41].

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта:

1. Моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть.

2. Моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Мышление школьников при изучении математики строится не только на основе общих психологических механизмов и операций, адекватных усвоению научного знания, но и включает формирование специфических механизмов, моделирующих существенные признаки и способы описания познаваемых объектов, выраженные в использовании символьно-вербальных и символьно-формульных способов представления информации [20, c.115].

В общей системе обучения задачи играют особую роль. Через решение задач осуществляется необходимая связь теоретических знаний с практикой, умение решать задачи определяет степень обученности, общей подготовленности детей. В них заложены большие возможности для повышения общего и математического образования школьников: развитие смекалки, начал исследовательской работы, логического мышления. Раздел обучения решению задач считается наиболее трудным. И это естественно, т. к. решение задач вообще и математических в частности процесс творческий, требующий продуктивного подхода, проникновения в скрытые в каждой задаче связи и зависимости, которые зачастую могут быть необычными, нестандартными, а иногда уникальными [16, c.21].

Школа должна формировать у детей истинное умение решать задачи, которое заключается в способности решить любую задачу, доступного для данного возраста уровня трудности, если в ней отсутствуют незнакомые понятия и если для решения не требуется выполнить незнакомые операции.

Для начальной школы эти требования означают, что в тексте задачи каждое слово должно быть детям понятно и решение задач должно требовать выполнение изученных на данном этапе операций. Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики - развитие мышления и творческой активности учащихся.

2.2 Методический аспект развития знаково-символических учебных действий

Наглядно-образный тип мышления младших школьников - психологическая основа развития знаково-символических действий учащихся в обучении решению текстовых задач. Чтобы решить задачу, младших школьников должен визуально представить (увидеть) ее условие и понять взаимосвязи ее данных.

Развитие знаково-символических учебных действий в процессе обучения решению задач имеет строго определенную последовательность, которая определяется системой типов текстовых задач в программе по математике. Представим последовательность моделей в соответствии с типами текстовых задач.

1. Простейшим видом знаково-символической модели условия задачи является рисунок. Эта форма краткой записи условия задачи применяется в 1 классе.

Задача. Мальчик для украшения новогоднего зала вырезал 10 елочек, а девочка 8. Сколько елочек вырезали дети?

Имея наглядное представление задачи на нахождение суммы, первоклассники осознанно записывают ее решение.

2. Задачи с более сложными объектами для изображения представляются в виде условного рисунка.

Задача. В магазин привезли 3 коробки шоколадных конфет, а карамели на 2 коробки больше. Сколько коробок конфет привезли в магазин?

В выполнении модели краткой записи условия коробки изображают условно квадратами. Получается условная модель:

Ш.к. ???

К. ????? - ?

3. В процессе формирования опыта решения задач эту же составную задачу в целях сокращения выполнения модели условия можно представить в виде простейшей схемы:

Ш.к. _________3________

К. ____________________|______2______ - ?

В процессе ее анализа схема дополняется промежуточным вопросом (Сколько коробок карамели привезли в магазин?)

Ш.к. _________3________

К. ____________________|______2______ - ?

- ?

В данной схеме знаково-символически представлен план решения задачи. Его можно обозначить знаково на схеме:

Ш.к. _________3________

К. ____________________|______2______ - ? (2)

- ? (1)

В работе со схематическими моделями используются различные приемы усвоения этого вида знаково-символического моделирования условия задач. В качестве иллюстрации приведем пример.

Выбери схему для задачи:

1. Во 2 классе 8 отличников, а в 3 классе 4. Во сколько раз во 2 классе отличников больше, чем в третьем?

2. В ателье за 1 день сшили 12 платьев, а костюмов в 3 раза меньше. Сколько костюмов сшили в ателье?

3. Купили 15 кг яблок, а винограда на 8 кг меньше. Сколько килограммов винограда купили?

а) _______________________ б) ____________________

___________ ___________

в) ________________________ г) ____________

__________ _____________________

Решение задач на движение сопровождается моделями другого вида. Проиллюстрируем это примерами.

Задача. Из двух городов навстречу друг другу вышли два автомобиля. Скорость первого 80 км/ч, скорость второго 100 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между городами 540 км?

80 км/ч 100 км/ч

_________________________________________________________

540 км

4. Модели условий. Задач на пропорциональное деление чаще всего представляют в виде таблицы.

Задача. За 3 м ткани уплатили 540 руб. Сколько будут стоить 5 м такой же ткани?

Знаково-символическая форма записи условия этой задачи позволяет определить план решения задачи.

Знаково-символическая модель условий задач на движение как одного из видов задач на пропорциональное деление может представляться и в виде таблицы.

Задача. Автомобиль, двигаясь со скоростью 75 км/ч, преодолевает некоторое расстояние за 4 ч. За сколько часов он преодолеет это расстояние, если его скорость увеличить на 25 км/ч?

Эта модель условия содержит промежуточные вопросы, которые не только направляют ход анализа задачи, но и помогут обозначить план ее решения.

5. На более позднем этапе развития знаково-символических действий учащихся (по мере накопления опыта решения задач и формирования абстрактного мышления) практикуется словесный вид краткой записи условия задачи.

Задача. В первый день туристы проехали 120 км, во второй - на 40 км больше, в третий день - в 2 раза меньше, чем за первые два дня, а в четвертый - 1/7 пути, пройденного в третий день. Сколько километров туристы проехали за 3 дня?

I д. - 120 км

II д. - ? 1, на 40 км больше ? 2 - ? 5

III д. - ? 3, в 2 раза меньше

IV д. - ? 4, 1/7 пути

Эта модель после анализа задачи поможет учащимся упорядочить процесс ее решения посредством присвоения промежуточным и главному вопросам порядка выполнения действий.

6. Менее применимой является знаково-символическая модель условия задачи в виде кругов Эйлера.

Задача. В группе туристов 18 чел. знали английский язык, 25 человек знали немецкий. Причем 8 чел. владели и английским, и немецким языками. 24 человека знали французский, причем 2 человека французов владели тремя языками, 4 человека французским и английским, 5 человек французским и немецким. Сколько было всего иностранных туристов в группе?

Этот тип задачи достаточно легко решается с применением именно такого вида краткой записи условия. Посредством логических рассуждений без опоры на знаково-символическую модель решение возможно лишь для незначительной части детей, у которых на достаточно высоком уровне для их возраста развито абстрактное мышление. Применение такого вида модели условия задачи возможно, та как учащиеся к периоду появления в учебнике таких задач владеют некоторыми элементарными основами теории множеств, выполняют операции объединения и пересечения множеств.

Мы показали процесс развития опыта представления условия текстовых задач посредством знаково-символических действий разного вида. Усвоение видов моделирования условий текстовых задач позволяет развивать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение), характеризующие уровень развития математического мышления.

2.3 Из опыта работы учителей начальных классов

Для представления в работе опыта работы учителей по использованию схематических моделей для решения задач на уроках математики, мы проанализировали несколько статей из журнала «Начальная школа» за 2010 - 2013 гг.

Так, З.А. Клепинина в статье «Моделирование в системе УУД» [29, c.17-22] описывает свой опыт работы по данному направлению. Автор указывает, что в методической литературе принято рассматривать два основных подхода в формировании умения решать задачи. Первый - направлен на формирование умения решать задачи определённого вида, т.е. частное умение решать задачи; второй - на формирование общих способов действий при решении задач.

При первом подходе одновременно решаются две методические задачи, которые с точки зрения процесса обучения младших школьников математике противоречат друг другу. Противоречие заключается в том, что, с одной стороны, простую задачу используют как средство формирования математического понятия, а с другой стороны, через эту же задачу организуется процесс формирования умения решать задачи. Поэтому, чтобы преодолеть это противоречие рекомендует решать простые задачи на предметном уровне, практически (с помощью присчитывания). И, как правило, используются однообразные текстовые конструкции, которые всегда начинаются с условия, затем следует вопрос. Часто часть условия заменена рисунком. Это не способствует возникновению у младших школьников потребности анализировать текст задачи, т.е. представлять ситуацию, выявлять структурные компоненты задачи и устанавливать их взаимосвязь, формулировать текст задачи своими словами, моделировать условие задачи. Дети выделяют условие и вопрос, ориентируясь на внешние признаки. Далее даётся образец записи решения каждого типа задачи и на этапе закрепления решается большое количество аналогичных задач. Дети ориентируются на слова-действия: «было - осталось; прилетели - улетели» и т.д., или слова, указывающие на математические понятия: «увеличить на…», «уменьшить на…» и др. Поэтому суть всей работы сводится к «узнаванию» вида задачи.

1. «В гараже стояло 16 машин. 8 машин уехали. Сколько машин осталось в гараже?»

- Определите вид задачи. (ученики «рассуждают» так: «Это задача на нахождение остатка. Остаток нахожу вычитанием»).

2. «У Коли было 20 марок, а у Саши на 6 марок меньше. Сколько марок у Саши?»

- Определите вид задачи: (дети ориентируются на слова: «на меньше…» и меньшее число находят вычитанием)

Самым трудным этапом работы над составной задачей является целенаправленный поиск решения. Использование разнообразных поисков пути решения задачи: аналитического, синтетического, аналитико-синтетического, не давало желаемых результатов, т. к. тот или иной путь привязан к способу решения, который наметил учитель. И младшие школьники, в лучшем случае, запишут решение задачи одним способом, либо оставят задачу нерешённой, потому что забыли способ, который показал учитель, или не узнали вид задачи. Приведем примеры таких заданий:

а) Таня полила шесть грядок огурцов. Сколько грядок ей осталось полить?

б) На шахматной доске 20 фигур. Из них 13 чёрных, остальные - белые.

Сколько белых фигур на шахматной доске?»

«Какую из этих задач ты можешь решить, а какую - нет? Почему? (прочитав оба текста, младшие школьники рассуждают так: «Первую задачу нельзя решить, т. к. не известно, сколько Тане надо полить грядок».Одни предлагают свои варианты числовых данных. Например: «Тане надо полить 10 грядок огурцов. Она полила шесть грядок огурцов. Сколько грядок ей осталось полить?» Другие, выслушав одноклассников, тянут руки, чтобы ответить на поставленный вопрос, пользуясь понятием «целое» и «части», объясняют, как найти неизвестную часть: «10 - это целое, 6 - это часть, чтобы найти другую часть, надо от целого отнять известную часть». «Вторую задачу можно решить, т. к. есть все необходимые данные».)

Конечно, видно тех младших школьников, которые ещё не определились с выбором арифметического действия для решения задачи. Можно использовать приём выбора схемы.

«Миша и Маша (учащиеся нашего класса), тоже для решения выбрали эту задачу и построили схемы:

- Какая схема соответствует тексту задачи?

Если в классе находятся учащиеся, которые выбрали схему Маши, то действуем так: предлагаем им воспроизвести текст задачи, показывая на схеме, что обозначает каждое число. Один ученик читает текст задачи, другой демонстрирует на схеме, используя слова «целое и часть». Эти учащиеся убеждаются, что не обратили внимание в тексте на слова «из них».

Остаётся записать решение задачи в тетрадь. В зависимости от результатов самостоятельной работы организуем дальнейшую деятельность младших школьников. Например: