Блок А	Т	G1. Запомнить формулы и правила G2. Используя факты, понятия и правила, решать обычные задания
Блок В	К	G3. Работать с заданиями, для которых не существует очевидных методов решения G5. Выработать свой алгоритм для решения сложных заданий
Блок С	К	G4. Связать материал, усвоенный на уроках математики, с повседневной жизнью G7. Работать как исследователи: стараться найти закономерности, формулировать утверждения и доказывать их

Блок А можно отнести к традиционалистскому подходу, блоки В и С - к конструктивистскому. Соответственно, можно предположить, что чем более высокий уровень конструктивизма у учителя, тем чаще он дает своим ученикам задания из блоков B и С; и наоборот, чем более высокий уровень традиционализма у учителя, тем чаще он будет давать школьникам задания из блока А.

Для проверки данной гипотезы были подсчитаны 3 индекса, соответствующие каждому блоку заданий. Индексы рассчитывались, как сумма баллов по двум вопросам деленная на 8 (максимально-возможный балл). Индексы могут принимать значения от 0,25 до 1. Далее рассчитана корреляция Пирсона между шкалами конструктивизма и традиционализма и получившимися индексами для каждой из стран-участниц. Результаты представлены в таблице 14.

Таблица 14 - Взаимосвязь подхода к обучению и практик учителя

		Блок A	Блок B	Блок С
Конструктивизм	Латвия	-0,08	,12*	,19**
	Эстония	0,01	,19**	,30**
	Россия	-,04	,11**	,20**
Традиционализм	Латвия	,32**	-0,01	-,13**
	Эстония	,23**	0,06	0,10
	Россия	,20**	,01	-,02
			** - р < 0,01 * - р < 0,05

Гипотеза подтвердилась. Действительно, представления учителя об эффективном обучении реализуются им в его практике. Существует положительная корреляция для всех стран конструктивистского подхода и блоков В и С, которые были отмечены нами как конструктивистски-ориентированные. Более того, для Латвии существует ещё и обратная связь традиционализма и блока С: чем более учитель ориентирован на традиционный подход, тем реже он просит учеников связать материал с повседневной жизнью и работать как исследователь. Блок А, который был отмечен как традиционный, положительно коррелируют с традиционным подходом во всех странах.

Результаты анкетирования учеников

Учащиеся четверых учителей приняли участие в анкетировании, целью которого, было определить практики, которые используют учителя, с точки зрения учеников.

13 вопросов анкеты учеников были разделены на три индекса, принимающих значения от 0,25 до 1. Два индекса соответствуют модели убеждений, используемой в нашей работе: традиционные практики и конструктивные практики. Оставшиеся вопросы были объединены в третий блок, названный нами «активность». Распределение вопросов по блокам представлено в таблице 15.

Таблица 15 - Распределение вопросов анкеты учеников по индексам

Индекс	Вопрос анкеты для учеников
Традиционные практики (practice_trad)	Списываю с доски
	Молча слушаю учителя
	Конспектирую слова учителя
	Записываю под диктовку учителя
	Решаю простые задания для отработки алгоритма решения
Конструктивные практики (practice_constr)	Работаю в группе над каким-либо заданием
	Обсуждаю свою работу с учителем
	Работаю на компьютере, выполняя задание
	Выполняю задание, связанное с жизнью
	Решаю сложные задания, для которых нет очевидного решения
Активность (practice_activity)	Провожу время, думая о своём
	Ничего не делаю
	Участвую в обсуждении
	Отвечаю у доски

Далее было осуществлено сравнение средних значений по полученным индексам у учеников, обучающихся у учителей с различными профилями убеждений. Сравнивались между собой три профиля: «Примирение противоположностей» (ID учителя 783), «Компромисс» (ID 980 и 1245) и «Традиционалист» (ID 1284). По результатам однофакторного дисперсионного анализа ANOVA существуют значимые различия по индексу традиционных практик (F(2, 97) = 6,32, р < 0,005) и по индексу активности (F(2, 97) = 9,57, р < 0,001). По индексу конструктивных практик значимых различий получено не было.

Далее для индекса традиционных практик было проведено апостериорное попарное сравнения методом LSD (приложение 2, табл.1). Результаты говорят о том, что учитель с профилем «традиционалист» с высоким уровнем традиционализма и среднем уровнем конструктивизма, значимо чаще использует традиционные практики, чем учитель с профилем «компромисс» (средний уровень по обеим шкалам). Так же учитель с профилем «примирение противоположностей» (результаты по обеим шкалам высокие) значимо чаще использует традиционные практики, чем учитель «компромисс». Различий между учителем с профилем «традиционалист» и учителем с профилем «примирением противоположностей» по данному блоку не выявлено.

Данные результаты являются ожидаемыми: учителя с высоким уровнем традиционализма в большей мере используют традиционные практики на своих уроках, чем учителя со средним уровнем традиционализма. Таким образом, данный результат является подтверждением критериальной валидности анкеты.

Попарное сравнение для индекса активности показало следующие результаты: у учителя с профилем «традиционалист» (средний уровень конструктивизма, высокий уровень традиционализма) дети значимо более активны, нежели у учителя «примирение противоположностей», что, предположительно, может быть связано с более строгой дисциплиной в классе учителя - традиционалиста. Так же у учителя с профилем «компромисс» (средний уровень конструктивизма, средний уровень традиционализма), дети более «активны», нежели у учителя «примирение противоположностей».

По индексу конструктивных практик значимых различий не выявлено (приложение 2, табл.2). Ожидаемый результатом стало бы значимое отличие учителя с профилем «примирение противоположностей», от учителей с профилями «компромисс» и «традиционалист», так для этих двух профилей уровень конструктивизма средний, в то время как для профиля «примирение противоположностей» - уровень конструктивизма высокий. Однако выше (глава 2.3), мы отмечали, что у учителя ID 783 c профилем «примирение противоположностей» возможно проявление социальной желательности: есть предположение, что балл по шкале конструктивизма у данного учителя завышен. Если принять данное предположение, как истину, то вывод об отсутствии различий по данному индексу подтверждает социальную желательность ответов на вопросы шкалы конструктивизма для данного учителя.

Среди учеников учителя с профилем «традиционализм», принимавших участие в опросе, были ученики 6 и 9 классов, что дало возможность сравнить их ответы между собой. Были выявлены значимые различия (p<0,005, приложение 2, табл. 4) в ответах учеников по всем трем индексам, что говорит о том, что один и тот же учителей, в зависимости от класса, в котором он преподает, может использовать разные практики.

Рис. 12. Различия в ответах учеников 6 и 9 классов

В 9 классе данный учитель в большей степени использует традиционные способы обучения, в то время как в 6 - конструктивные, что вероятнее всего связано с подготовкой 9классников к ГИА. Так же в 9 классе ниже активность учеников. Это видно и в интервью данного учителя: «5-6 класс постоянно задают вопросы, 9 классы, меньше», «в 9 классах нет мотивации учения», «с 9 классами тренируем задания к ГИА».

Сравнение русскоговорящих учителей

В заключительной части работы мы приведем результаты сравнения установок российских учителей математики и тех учителей Эстонии и Латвии, которые работают в школе с русским языком преподавания, и для которых русский язык является основным. Стоит отметить, что около 25% школьников Латвии и 19% школьников Эстонии посещают школы, в которых обучение ведется на русском языке.

Для проведения сравнения были выделены подгруппы русскоговорящих учителей из общей выборки. Латвийская подвыборка состояла из 95 учителей (25% всей выборки), а эстонская из 92 учителей (28% выборки).

На рисунке 13 представлены средние результаты по шкалам Конструктивизма и Традиционализма, а на рисунке 14 по шкалам модуля «Убеждения о преподавании математики».

Рис.13. Средние значения по шкалам части 3 для подвыборки русскоговорящих учителей

Рис. 14. Средние значения по шкалам части 4 для подвыборки русскоговорящих учителей

По результатам дисперсионного анализа (ANOVA) различия между странами статистически значимы для шкалы конструктивизма и незначимы для шкалы традиционализма. Различия между странами по шкалам части 4 являются статистически значимыми для всех трех шкал (табл.16). Российские учителя имеют значимо более высокий уровень конструктивизма по сравнению с русскоговорящими учителями других стран. Так же российские учителя вновь показали себя конструктивистски-ориентированными по отношению к обучению математике: средние значения по шкале «process», которая близка к конструктивистскому подходу, значимо выше у российских учителей, чем у их русскоязычных коллег из Латвии и Эстонии.

Таблица 16 - Результаты дисперсионного анализа убеждений для подвыборки русскоговорящих учителей

ANOVA
		df	F	Знч.
Конструктивизм	Между группами	2	4,54	,011
	Внутри групп	1279
	Всего	1281
Традиционализм	Между группами	2	2,49	,084
	Внутри групп	1279
	Всего	1281
Рrocess	Между группами	2	6,99	,001
	Внутри групп	1278
	Всего	1280
Тoolbox	Между группами	2	10,73	,000
	Внутри групп	1277
	Всего	1279
System	Между группами	2	13,95	,000
	Внутри групп	1277
	Всего	1279

Ниже приведены результаты попарного сравнения российских учителей и русскоговорящих учителей Латвии и Эстонии (таблица 17).

Таблица 17 - Значимость различий в установках между русскоговорящими учителями разных стран

	Рус& Лат_Рус	Рус & Эст_Рус	Все страны
Конструктивизм	Есть различия	Есть различия	Есть различия
Традиционализм	Нет различий	Есть различия	Нет различий
Process	Есть различия	Нет различий	Есть различия
Toolbox	Есть различия	Есть различия	Есть различия
System	Есть различия	Нет различий	Есть различия

Значимые различия между российскими и эстонскими русскоговорящими учителями наблюдаются по шкалам конструктивизма, традиционализма и toolbox, в то время как с латвийскими учителями различия наблюдаются по всем шкалам, кроме шкалы традиционализма.



Выводы

Вторая глава данной работы была посвящена описанию методологии исследования, валидизации методики NorBA и описанию и анализу результатов сравнительного исследования убеждений учителей математики основной школы России, Эстонии и Латвии, а так же описанию результатов качественного исследования особенностей убеждений российских учителей математики. Ниже представлены основные выводы по каждому этапу исследования.

1) Исследование валидности опросника NorBA

· На основании исследования размерности методом эксплораторного факторного анализа и методом главных компонент на стандартизированных остатках (IRT) выделено два фактора, которые можно проинтерпретировать как конструктивизм и традиционализм, что соответствует теоретическим предположениям разработчиков опросника.

· Все задания опросника, формирующие шкалы, обладают удовлетворительными психометрическими характеристиками.

· Анализ кросс-культурной эквивалентности шкал методами КФА и IRT показал частичную эквивалентность шкал для трех выборок. Однако, шкалы, образованные при помощи современной теории тестирования, носят метрический характер. Метрический характер шкалы позволяет сопоставлять результаты измерения, полученные по отчасти разным наборам вопросов и, таким образом, учесть частичную неэквивалентность шкал.

· Анализ интервью подтвердил валидность анкеты: учителя с более высоким уровнем конструктивизма делают больший акцент на самостоятельное конструирование знания учеником, работу в группах, их урок более интерактивный, приветствуются вопросы учеников. В то время как для учителя-традиционалиста во главе угла стоит усвоение программы, путем тренировки и наработки навыков, и дисциплина в классе. Так же анализ интервью показал возможность социально-желательных ответов на вопросы шкалы конструктивизма. Эту проблему можно разрешить путем введения в опросник шкалы лжи.

· Ученики учителей с разными профилями убеждений по-разному описывают практики, которые учитель использует на уроках математики. Это является доказательством критериальной валидности анкеты.

2) Сравнительное исследование убеждений учителей России, Эстонии и Латвии

— Различия между убеждениями учителей из разных стран статистически значимы.

— Российские учителя демонстрируют значимо более высокий уровень конструктивизма, как в общем подходе к обучению, так и в рамках убеждений об эффективном преподавании математики.

— Однако следует отметить, что 27% российских учителей относится к группе традиционалистов, что свидетельствует о том, что традиции преподавания математики, как набора правил, формул и процедур по-прежнему сильны в России.

— 20% российских учителей (8% эстонских, 11% латвийских) образуют группу учителей, которые строят обучение на основании двух подходов одновременно.

— В Эстонии большинство учителей имеют средний уровень традиционных и конструктивистских убеждений. Таким образом, достигается установление компромисса между двумя подходами к обучению.

— В Латвии и Эстонии доля учителей, имеющих низкий уровень традиционализма (около 25 % в каждой из стран), превышает такую долю у российских учителей (17,5 %)

— Общие убеждения учителей о преподавании связаны с их убеждениями об эффективном обучении математике.

— Во всех странах учителя математики, независимо от их убеждений, рассматривают системность как важный фактор преподавания, а использование доказательства и точного математического языка как значимую часть математического обучения.

— Во всех вовлечённых в исследование странах учителя в основном реализуют свои убеждения на практике.

— Убеждения русскоязычных учителей в прибалтийских странах несколько ближе, чем убеждения учителей, преподающих на языках титульных наций, к убеждениям российских коллег. Тем не менее, статистически значимые различия имеют место в тех же шкалах, что и в исследовании всех учителей.

3) Результаты качественного исследования

— Анализ интервью показал, что учителя математики в настоящее время работают в условиях немотивированных учащихся и гетерогенных классов. Однако ученики в целом стали более информированные и эрудированные.

— Учителя, у которых уровень конструктивизма выше, нежели уровень традиционализма отмечают изменения в школьниках и в их собственной деятельности. Учителя - традиционалисты более консервативны и ригидны. Большинство учителей отмечают внедрение новых технологий и методов ИКТ.

— Все учителя, даже с преобладанием традиционных убеждений описывают идеальный урок, как конструктивисткий, что вероятнее всего связано с общепризнанным на данный момент мнением, что конструктивистские практики являются наиболее эффективными.

— Учителя-традиционалисты акцентируют внимание на усвоении основных правил и умений, большое значение отводится дисциплине. Учителя-конструктивисты делают основной акцент на самостоятельное усвоение материала учащимся, работу в группах, связь математики и реальной жизни. Особое внимание учителя-конструктивисты уделяют вопросам на уроках.

— Убеждения учителей, совмещающих оба подхода, могут носить как внутренний, так и внешний характер (обусловлены стандартами образования, ГИА, ЕГЭ).

Результаты качественного исследования соответствуют теоретическому описанию понятий «конструктивизм» и «традиционализм», что подтверждает целесообразность использования данной модели убеждений и свидетельствует о конструктной валидности анкеты NorBA.



Заключение

Значение роли учителя в учебном процессе трудно переоценить. Учитель - это «проводник» в процессе обучения. Поэтому необходимо изучать не только объективные стороны обучения, такие как программы обучения, выполняемые задания, оценки и уровень знаний учеников, но и того, кто транслирует эти знания.

Исследования TIMSS и PISA показали, что математические знания российских, латвийских и эстонских учеников различны. Если в исследовании TIMSS российские учащиеся впереди, то в исследовании PISA они уступают латвийским школьникам и ещё сильнее - эстонским. Поэтому, было уместным предположить, что и убеждения учителей, отражающиеся в их поведении на уроке, отличаются в этих странах. Данная работа была посвящена изучению и сравнению убеждений учителей математики основной школы в трех странах - России, Эстонии и Латвии.

Поскольку пути математического образования в России и прибалтийских странах, несмотря на полувековую общую историю, разошлись в 1991 году и, более того, прибалтийские соседи стали членами Европейского союза и поэтому в вопросах образования ориентируются, главным образом, на западноевропейские образцы, естественно было предположить, что теперь и взгляды учителей математики на преподавание вообще и на эффективное обучение математике будут отличаться от убеждений их российских коллег.

Однако, прежде чем осуществлять подобное исследование, необходимо было выбрать инструмент, который бы позволил провести кросс-культурное сравнение убеждений практикующих учителей математики. Нами была выбрана анкета NorBA, проведено валидизационное исследование данного инструмента, показавшее, что анкета обладает удовлетворительной конструктной валидностью, разработана собственная методология оценки выраженности латентной переменной в условиях частичной эквивалентности шкал в кросс-культурном контексте.

Результаты нашего исследования показали, что и в самом деле различия между учителями разных стран статистически значимы по всем шкалам, участвовавшим в анализе. Российские учителя демонстрируют значимо более высокий уровень конструктивизма, как в общем подходе к обучению, так и в рамках убеждений об эффективном преподавании математики. Это означает, что российские учителя в большей степени соглашаются с утверждениями о том, что в процессе обучения необходимо делать акцент на концепцию в целом, следовать запросам ученика, уделять большее внимание интерактивной работе. Этот же результат подтверждают результаты качественного исследования. Однако следует отметить, что 27% российских учителей относится к группе традиционалистов, что свидетельствует о том, что традиции преподавания математики, как набора правил, формул и процедур по-прежнему сильны в России.

20% российских учителей (8% эстонских, 11% латвийских) образуют группу учителей, которые строят обучение на основании двух подходов одновременно. Можно предположить, что в условиях гетерогенных по уровню подготовленности классов эти учителя поддерживают преподавательскую деятельность, направленную на развитие концептуального понимания математики и в то же время уделяют достаточно внимания инструментальной части математической подготовки школьников, делая акцент на знание фактов и процедур. Об этом учителя упоминают и в своих интервью.

Кроме того, заслуживает внимания следующий факт: в Латвии и Эстонии доля учителей, имеющих низкий уровень традиционализма (около 25 % в каждой из стран), превышает такую долю у российских учителей (17,5 %). Это может говорить о том, что прибалтийские учителя, интегрированные в европейские связи, в большей мере, чем российские, стремятся быстрее освободиться от устаревших, рутинных методов обучения.

Общие убеждения учителей о преподавании связаны с их убеждениями об эффективном обучении математике. Конструктивистски-ориентированные учителя придерживаются взглядов на математику, как на процесс; традиционно-ориентированные учителя, в свою очередь, считают, что эффективнее всего преподавать математику, как набор инструментов. Однако, во всех странах учителя математики, независимо от их убеждений (конструктивистских или традиционных), рассматривают системность как важный фактор преподавания, а использование доказательства и точного математического языка как значимую часть математического обучения. Стоит отметить, что российские учителя имеют наивысший средний балл по данной шкале, что свидетельствует о том, что традиции высокого качества математического образования в России по-прежнему сильны. Акцент на строгих доказательствах, логике, точных определениях и точном использовании математического языка является характеристикой российского математического образования.

Во всех вовлечённых в исследование странах учителя в основном реализуют свои убеждения на практике.

Отдельно было проведено сравнение убеждений российских учителей с убеждениями их русскоязычных коллег из Латвии и Эстонии. Как и можно было ожидать, убеждения русскоязычных учителей в прибалтийских странах несколько ближе, чем убеждения учителей, преподающих на языках титульных наций, к убеждениям российских коллег. Тем не менее, статистически значимые различия имеют место в тех же шкалах, что и в исследовании всех учителей.

Российские учителя и эстонские русскоязычные преподаватели схожи в убеждениях об эффективном преподавании математики, как процесса и системы (шкалы process и system). Различия между российскими учителями и латвийскими русскоязычными учителями значимы по всем шкалам, за исключением традиционализма.

Таким образом, результаты исследования показали, что различные подходы к реформированию системы образования, используемые в России, с одной стороны, и в прибалтийских государствах - с другой, привели к значимым различиям в убеждениях учителей математики, связанных с математическим образованием. В частности, у прибалтийских учителей в большей мере, чем в России, возросла доля учителей с низким уровнем традиционалистских убеждений, и это в некоторой степени объясняет более высокие успехи учащихся Эстонии и Латвии в международном исследовании PISA.

Анализ кросс-культурных различий учительских убеждений может предоставить важную информацию относительно школьной практики учителей и их склонности к различным подходам к обучению, что в свою очередь позволит точнее оценить ситуацию в общеобразовательной школе и спрогнозировать ее развитие, что особенно важно в условиях реформы образования.



Список литературы

1. Карданова Е.Ю. Моделирование и параметризация тестов: основы теории и приложения. - М.: Федеральный центр тестирования, 2008, 304 с.

2. Ковалева Г. С., Денищева Л. О., Шевелева Н. В. Педвузы дают высокое качество математического образования, но их выпускники не спешат в школу (по результатам TEDS-M)// Вопросы образования, №4, 2011.

3. Сафуанов И. С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах. - Уфа, «Магариф», 1999. - 107 c.

4. Тюменева Ю.А., Хавенсон Т.Е. Характеристики учителей и достижения школьников. Применение метода firstdifference к данным TIMSS-2007 // Вопросы образования №3, 2012. С. 112-140.

5. American Educational Research Association, American Psychological Association, & National Council on Measurement in Education. (1999). Standards for educational and psychological testing. Washington, DC: American Educational Research Association.

6. An, S., Kulm, G., & Wu, Z. (2004). The pedagogical content knowledge of middle school mathematics teachers in China and the U.S. Journal of Mathematics Teacher Education, 7, 145-172.

7. Askew, M., Brown, M., Rhodes, V., Johnson, D., & Wiliam, D. (1997). Effective teachers of numeracy. London: School of Education, King?s College.

8. Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, T., Jordan, A., … Tsai, Y-M. (2010). Teachers' mathematical knowledge, cognitive activation in the classroom, and student progress. American Educational Research Journal, 47(1), 133-180.

9. Bayrakdar Zeynep, Demet Deniz, Levent Akgьn, Tevfik leyen (2011) Problem solving approaches of mathematics teacher candidates in PISA 2003// Procedia Social and Behavioral Sciences 15.

10. Beswickr K. (2007) Teachers' beliefs that matter in secondary mathematics classrooms // Educational Studies in Mathematics, Vol. 65, No. 1, pp. 95-120.

11. Brooks, J.G., Brooks, M.G. (1993). The case for constructivist classrooms. Alexandria, Va.: ssociation for Supervision and Curriculum Development.

12. Brown, D. F., & Rose, T. D. (1995). Self-reported classroom impact of teachers? theories about learning and obstacles to implementation. Action in Teacher Education,17(1), pp. 20-29.

13. Byrne, B. M. (2011). Structural equation modeling with Mplus: Basic concepts, applications, and programming. New York: Routledge Academic.

14. Carnoy, M., Beteille, T., Brodziak, I., Loyalka, P., & Luschei, T. (2009). Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M): Do countries paying teachers higher relative salaries have higher student mathematics achievement? Amsterdam: IEA.

15. Cooper, C. R., & Denner, J. (1998). Theories linking culture and psychology: Universal and community-specific processes. Annual Review of Psychology, 49(1), 559-584.

16. Dionne, J. (1984) The perception of mathematics among elementary school teachers.In Proceedings of the sixth annual meeting of the PME-NA (pp. 223-228).Madison: University of Wiskonsin.

17. Ernest, P. (1991) The philosophy of mathematics education. London: The Falmer Press.

18. Even, R., & Ball, D. L. (Eds.). (2009). The professional education and development of teachers of mathematics: The 15th ICMI study (New ICMI Study Series, 11). New York, NY: Springer.

19. Evers, A. (2001). The revised Dutch rating system for test quality. International Journal of Testing, 1:2, 155-182.

20. Evers, A., Sijtsma, K., Lucassen, W. and Meijer, R. R.(2010). The Dutch Review Process for Evaluating the Quality of Psychological Tests: History, Procedure, and Results. The International Journal of Testing, 10:4, 295 -- 317.

21. Falch T., Rшnning M. (2011) Homework assignment and student achievement in OECD countries / Working Paper Series, Norwegian University of Science and Technology (NTNU). Iss. 5.

22. Frank, M.L. (1988) Problem solving and mathematical beliefs //Arithmetics Teacher 35 (5), pp. 32-34.

23. Furinghetti, F., & Pehkonen, E. (2002). Rethinking characterizations of beliefs. In G. C. Leder, E. Pehkonen, & G. Torner (Eds.), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 39-57). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

24. Garofalo, J. (1989). Beliefs and their influence on mathematical performance //The Mathematics Teacher 82 (7), pp. 502-505.

25. Grigutsch, S., Raatz, U., Tцrner, G. (1998) Einstellungen gegenьber Mathematik bei Mathematiklehrern. In: Journal fьr Mathematikdidaktik 19, 1, pp. 3-45.

26. Hagemeister C., Kersting M., Stemmler G. (2012) Test Reviewing in Germany // International Journal of Testing, Volume 12, Issue 2, pp. 185-194.

27. Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. L. (2005). Effects of teachers' mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Educational Research Journal, 42(2), 371- 406.

28. Hoyles С. (1992) Mathematics Teaching and Mathematics Teachers: A Meta-Case.// For the Learning of Mathematics, Vol. 12, No. 3, pp. 32-44

29. Kaasila, R, Hannula, M., Laine, A. & Pehkonen, E. (2006) Faciliators for change of elementary teacher students' view of mathematics. In J. Novotanб, H. Moraovб, M. Krбtkб & N. Stehlikovб (Eds.), Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, (pp. 385-392). Prague: PME.

30. Kislenko, K., & Lepmann, L. (2011) Changes in teachers' approach, teaching mathematics in Estonian schools (1990-2010). Teacher Education, 16(1), pp. 42-49.

31. Lin Cheng-Yao (2011) U.S. and Taiwanese Pre-service Teachers' Geometry Knowledge and Thinking // International Journal for Mathematics Teaching and Learning.

32. Lepic M., Anita Pipere (2011) Baltic-Nordic Comparative Study on Mathematics Teachers' Beliefs and practices // ACTA PAEDAGOGICA VILNENSIA №27, pp. 115-123.

33. Lepik M., Anita Pipere, and Markku S. Hannula (2011) Comparing mathematics teachers' beliefs about good teaching: the cases of Estonia, Latvia and Finland (preprint).

34. Lepik, M. (2005). Baltic school mathematics in TIMSS comparison. In Teaching mathematics: retrospective and perspectives (pp.113-120). Vilnius: Vilnius University Press.

35. Lester F. K. (2007) Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte, NC.

36. Liljedahl, P., Rцsken, B., & Rolka, K. (2007) Analyzing the changing mathematical beliefs of preservice elementary school teachers. In: K. Hoskonen & M.S. Hannula (Eds.), Current State of Research on Mathematical Beliefs XII (pp.71-82). University of Helsinki.

37. Linacre J. M. (2011) A User's Guide to WINSTEPS. Program Manual 3.71.0. (http://www.winsteps.com/a/winsteps.pdf).

38. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

39. Matsumoto, D., & Van de Vijver, F. J. (2012). Cross-cultural research methods. American Psychological Association.

40. Milligan, G. W. (1996). Clustering validation: results and implications for applied analyses. In: P. Arabie, L. J. Hubert, & G. DeSoete (Eds.), Clustering and classification (pp. 341-375). River Edge, NJ: World Scientific Publ

41. Muthйn, L. K., &Muthйn, B. O. BO 1998-2010.Mplus user's guide, 6

42. Murphy P. Karen, Lee Ann M. Delli and Maeghan N. Edwards (2004) The Good Teacher and Good Teaching: Comparing Beliefs of Second-Grade Students, Preservice Teachers, and Inservice Teachers // The Journal of Experimental Education, Vol. 72, No. 2, pp. 69-92.

43. Paul E. Newton (2012) Clarifying the Consensus Definition of Validity, Measurement: Interdisciplinary Research and Perspectives, 10:1-2, p. 1-29

44. Noddings, N. (1990) Constructivism in mathematics education // Davis, R.B., Maher, C.A., & Noddings, N. (Eds.). Constructivist views on teaching and learning mathematics (JRME Monograph No.4). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 7-18.

45. OECD. (2009). Creating Effective Teaching and Learning Environments: First Results from TALIS. Paris: OECD Publishing.

46. Ortiz Dr. Enrique (2011) An Analysis of Middle School Mathematics Pre-service teachers' Development of Teaching Goals // International Journal for Mathematics Teaching and Learning.

47. Pajares, M.F. (1992) Teachers' beliefs and educational research: Cleaning up a messy construct. Review of Educational Research, 62(3), pp. 307-332.

48. Pehkonen, E., & Toerner, G. (1995) Mathematical belief systems and their meaning for the teaching and learning of mathematics // Toerner, G. (Ed.). Current State of Research on Mathematical Beliefs. Duisburg: Gerhard-Mercator-Universitaet.

49. Pehkonen, E.K. (1994) On teachers' beliefs and changing mathematics teaching //Journal fuer Mathematik-Didaktik, v. 16, Heft 3/4, pp. 177-209.

50. Philipp, R. A. (2007) Mathematics teachers' beliefs and affect. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 257-315). United States: Information Age Publishing.

51. Policy, Practice, and Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries Findings from the IEA Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M): http://www.iea.nl/teds-m.html

52. Rokeach, M. (1968) Beliefs, attitudes, and values. San Francisco (Ca): Jossey-Bass.

53. Sapkova A. (2011) Latvian Mathematics Teachers' Beliefs on Effective Teaching // International Journal for Mathematics Teaching and Learning.

54. Schmidt, W., Tatto, M. T., Bankov, K., Blцmeke, S., Cedillo, T., Cogan, L., … Schwille, J. (2007, December). The preparation gap: Teacher education for middle school mathematics in six countries (MT21 report) (NSF REC 0231886/January 2003). East Lansing, MI: Michigan State University. Доступно по адресу: http://usteds.msu.edu/MT21Report.pdf

55. Schoenfeld, A. H. (1998) Toward A Theory Of Teaching-In-Context. Issues In Education, 4(1), pp. 1-94.

56. Shroyer, J. (1980) Critical moments in teaching mathematics.// Proceedings of PME4, Berkley, California, pp.331-337.

57. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-14.

58. Skemp R.R. (1979) Goals of learning and qualities of understanding. //Proceedings of PME3, Coventry, England pp. 197-202.

59. Smith, Jr. E. V. (2002). Detecting and Evaluating the Impact of Multidimensionality using Item Fit Statistics and Principal Component Analysis of Residuals. Journal of Applied Measurement, 3:2, 205-231.

60. Staub, F. C., & Stern, E. (2002). The nature of teachers' pedagogical content beliefs atters for students' achievement gains: Quasi-experimental evidence from elementary mathematics. Journal of Educational Psychology, 94, pp. 344-355.

61. TALIS 2008 Technical Report OECD:

http://www.oecd.org/education/preschoolandschool/oecdteachingandlearninginternationalsurveytalishome.htm

62. Thompson, A. G., Philipp, R. A., Thompson, P. W., & Boyd, B.A. (1994) Calculational and conceptual orientations in teaching mathematics. In D. B. Aichele & A. F. Coxford (Eds.), Professional development for teachers of mathematics(pp. 79-92). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

63. Thompson, A.G. (1984) The relationship of teachers' conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice //Educational Studies in Mathematics 15 (2), pp.105-127.

64. Thompson, A.G. (1992). Teachers' beliefs and conceptions. In: D.A.Grouws (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Learning and Teaching (pp. 127-146). New York: Macmillan.

65. Underhill, R.G. (1988). Mathematics teachers' beliefs: Review and reflections //Focus on Learning Problems in Mathematics 10 (3), pp. 43-58.

66. Wang, W.-C. (2008). Assessment of differential item functioning. Journal of Applied Measurement, 9(4), 387-408.

67. Zuzovsky R. (2009) Teachers' qualifications and their impact on student achievement: Findings from TIMSS 2003 data for Israel // IERI Monograph Series. Issues and Methodologies in Large-Scale Assessments. No. 2. P. 37-62.

68. International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME) http://www.igpme.org/

69. Официальный сайт ICMI http://www.mathunion.org/ICMI/

70. Официальный сайт Nordic-Baltic comparative research in mathematics education (NorBA) http://norbal.wordpress.com/2011/09/29/hello-world/.



Приложение 1. Текст опросника NorBA

Исследование представлений и установок учителей математики об обучении математике в основной школе

Уважаемый учитель математики!

Предлагаем Вам принять участие в международном исследовании, целью которого является анализ внутренних основ практической деятельности учителя математики основной школы - установок, представлений о том, что такое математика, как необходимо её преподавать. В исследовании принимают участие учителя математики основной школы Финляндии, Норвегии, Эстонии, Латвии, Литвы и России.

Учитель является центральной фигурой в процессе обучения школьников. Именно поэтому нам важно узнать Ваше мнение о том, каким должен быть учитель.

Мы надеемся, что результаты исследования позволят сделать выводы об отношении к преподаванию математики в школе, представлениях учителей об эффективном преподавании математики, об используемых ими практиках преподавания предмета, а также о необходимости изменений, как в учебной программе по математике, так и в содержании обучения учителей основной школы и дополнительного обучения учителей.

Ваше участие в исследовании является добровольным, но очень важным для нас. Опросник состоит из утверждений, касающихся Вашей профессиональной деятельности. Рассмотрите последовательно каждое из них и отметьте тот вариант ответа, который наиболее близок Вам. Ваши ответы и комментарии конфиденциальны и будут обработаны анонимно, доступ к исходным данным имеется только у исследователей.

Анкета состоит из 8 частей, заполнение займет у Вас приблизительно 30 минут. Просим Вас отвечать на все вопросы.

I. Основная информация

1. Ваш возраст:__________

2. Укажите тип населенного пункта, в котором Вы проживаете на данный момент

o Город, более 200 тыс. жителей

o Город, 100 тыс. - 200 тыс. жителей

o Город, 100 тыс. жителей и менее

o Поселок городского типа

o Село, деревня

3. Ваше образование:__________

(выберите один ответ)

o Среднее образование

o Степень бакалавра

o Степень магистра / диплом специалиста

o Степень кандидата/доктора наук

4. Ваша основная специальность - математика?

o Да

o Нет

5. Имеете ли Вы в дипломе об образовании квалификацию "Учитель математики" или "Преподаватель математики"?

o Да

o Нет

6. Укажите тип образовательного учреждения, в котором Вы работаете на данный момент:

o Средняя общеобразовательная школа

o Основная общеобразовательная школа

o Лицей

o Гимназия

o Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением математики

o Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением других предметов

7. Сколько лет Вы проработаете учителем на момент окончания этого учебного года?

_________

8. Сколько лет Вы проработаете учителем математики основной школы на момент окончания этого учебного года?

_________

9. В каких классах Вы преподаете математику в текущем учебном году?

(можете выбрать несколько ответов)

o 5

o 6

o 7

o 8

o 9

o 10

o 11

10. Сколько учеников у Вас в классе?

o более 26

o 21-25

o 16-20

o 10-15

o менее 10

II. Ваша общая удовлетворенность работой учителя

Оцените, насколько вы согласны или не согласны со следующими утверждениями. Отвечая, используйте следующую шкалу:

(полностью не согласен) 1...2...3...4...5 (полностью согласен)

1. Учителя нашей школы успешно сотрудничают

2. Иногда люди, с которыми я работаю, не хотят со мной сотрудничать

3. Условия работы в моей школе неудовлетворительны

4. Учителям в нашей школе всегда доступны необходимые материалы и средства (например, учебная литература, учебные материалы, возможность копирования,

5. Учителя в нашей школе имеют большое влияние на процесс принятия важных для школы решений и формирование школьной жизни

6. Мне больше нравится, если ответственность на себя берут другие

7. Работа учителя предполагает много рутинной работы

8. Работа учителя побуждает меня к творчеству

9. Учителя нашей школы получают признание за хорошо сделанную работу

10. Никто мне не говорит, что я хороший учитель

11. Я знаю, что если бы в моем классе появилась какая-то проблема, то администрация школы была бы готова мне помочь

12. Я с радостью жду каждый новый рабочий день в школе

13. Мои болезни/физические недомогания могут быть связаны со стрессами на работе

III. Ваши взгляды на два подхода в обучении

Пожалуйста, прочитайте описание работы двух учителей и ответьте на следующие ниже вопросы.

Учительница Иванова Татьяна Алексеевна оживленно вела урок, задавая ученикам вопросы, на которые они могли найти ответы, опираясь на пройденный вчера материал. После повторения Татьяна Алексеевна перешла к объяснению нового материала. Чтобы удержать внимание учеников и их активность, она продолжала задавать вопросы.

В классе учительницы Петровой Елены Михайловны также проходила дискуссия, но многие вопросы задавали сами ученики. Елена Михайловна старалась не давать готовых ответов, а разбирала с учениками суть заданных ими вопросов и подсказывала, где можно найти материал, который поможет найти ответ на заданный учениками вопрос.

Оцените, насколько вы согласны или не согласны со следующими утверждениями. Отвечая, используйте следующую шкалу:

(полностью не согласен) 1...2...3...4...5 (полностью согласен)

1. Я предпочитаю тип дискуссии учительницы Ивановой

2. Я предпочитаю тип дискуссии учительницы Петровой

3. Тип дискуссии учительницы Ивановой предпочло бы большинство учеников

4. Тип дискуссии учительницы Петровой предпочло бы большинство учеников

5. Тип дискуссии учительницы Ивановой даст ученикам больше знаний

6. Тип дискуссии учительницы Петровой даст ученикам больше знаний

7. На уроке учительницы Ивановой ученики приобретут больше полезных умений

8. На уроке учительницы Петровой ученики приобретут больше полезных умений

IV. Ваши взгляды на эффективную/хорошую работу учителя

1. Проблемы повседневной и будущей жизни учеников являются значимым условием для развития их знаний

2. Обучение нужно основывать на заданиях с ясными правильными ответами и на основании тех идей, которые большинство учеников могут быстро усвоить

3. Объем усвояемого материала зависит от существующего на данный момент объема знаний учеников - поэтому так важно преподавать факты

4. Хорошие учителя показывают, как правильно решать задание

5. Роль учителя - способствовать исследовательской деятельности учеников

6. Ученики учатся лучше всего тогда, когда самостоятельно находят решения заданий

7. Ученикам нужно дать возможность самим поработать над практическими заданиями до того, как учитель покажет правильное решение

8. Учителя должны направлять учеников к их личным открытиям

9. Чтобы развивать концептуальное понимание у учеников, учителям необходимо использовать различные методы (соответствующие ситуации)

10. Учеников следует вовлекать в работу в небольших группах, где они могут объяснить свои новые идеи и выслушать идеи других учеников

11. Процессы мышления и рассуждения важнее, чем содержание конкретной учебной программы

12. Большинство видов деятельности требует использования имеющихся знаний и навыков по-новому

13. Учителю следует акцентировать внимание на использовании знаний и умений, приобретенных на других уроках, для решения заданий и понимания проблем

14. Ученики вместе со своими учителями разрабатывают критерии оценивания и/или средства оценивания

15. Оцениваться должны и практические задачи, проекты, исследования

16. Чтобы учебный процесс был эффективным, в классе должна быть тишина

V. Ваши взгляды относительно эффективного/хорошего преподавания математики

1. Стоит обращать внимание на точное использование терминов (например, нужно понимать различие между углом и градусной мерой угла, между десятичной дробью и десятичной системой счисления)

2. На уроке математики стоит сконцентрироваться на этапе решения заданий и закреплении материала, а не на вводном этапе и не на этапе объяснения материала

3. Математика должна изучаться как открытая система, которая будет развиваться при доказательстве гипотез и в результате преодоления тупиковых ситуаций

4. Работа со строгими доказательствами - значимая цель в математическом обучении

5. Иногда в математическом обучении нужно было бы использовать проектный подход (выходя за рамки одного предмета), для которого нужно было бы создать соответствующие условия/обстоятельства (пример проекта: купить и содержать аквариум)

6. Осваивая математику, главное много тренироваться

7. На уроке математики следует разбирать доказательство теоремы Пифагора

8. На уроке нужно доказывать, что v2 есть число иррациональное

9. В процессе преподавания математики следует использовать дидактические игры

10. Ученикам нужно, по возможности, чаще работать с раздаточными материалами (например, с картонными моделями)

11. Особенно важно практиковаться в использовании математических символов

12. В обучении главное - соблюдать систематичность

13. Следует акцентировать внимание на изучении основных способов вычислений/расчета (например, на применение формул)

14. При решении заданий главное - получить правильный ответ

15. Учителю, в первую очередь, следует вовлекать учеников в интенсивную учебную дискуссию

16. Ученику не обязательно постигать каждое суждение или правило

17. Ученикам чаще нужно решать обычные задания, в которых использование знакомого алгоритма обязательно даст результат

18. В математике следует делать акцент на абстрактных заданиях

19. В первую очередь нужно преподавать такие математические знания, как факты и результаты

20. При изучении математики нужно акцентировать внимание на логических рассуждениях

21. Ученикам самим следует находить как можно больше различных способов решения задачи и их следует обсуждать на уроке

22. Ученикам следует самим формулировать задания и вопросы, а затем решать задания и отвечать на вопросы

23. Оценивая достижения учеников в классе, в первую очередь нужно учитывать предложенные учеником решения заданий

24. Ученикам, по возможности, чаще нужно предлагать задания, в которых прежде всего нужно думать и недостаточно использовать только вычислительные алгоритмы

25. Прежде всего всем ученикам нужно научиться использовать математику в повседневной жизни

26. Ученикам не надо заучивать рутинные математические операции и алгоритмы, которые может выполнить компьютер

VI. Как Вы используете учебник?

Отвечая, используйте следующую шкалу:

(полностью не согласен) 1...2...3...4...5 (полностью согласен)

1. Я сам(а) выбираю, какой учебник буду использовать

2. Учебник - это основное средство, которое я использую, чтобы спланировать урок и подготовиться к нему

3. Используемые в учебнике педагогические подходы часто влияют на те подходы, которые я использую на своих уроках

4.Задания в учебнике рассчитаны на учеников с разным уровнем подготовки

5. В целом я очень доволен/довольна учебниками, которые я использую

6. Как часто Ваши ученики используют учебник для следующих заданий:

Варианты для следующих ответов:

1 - никогда,

2 - на некоторых уроках,

3 - примерно на половине уроков,

4 - (почти) на каждом уроке.

(a) Чтобы самостоятельно изучить новые понятия

(b) Как единственный источник заданий

(c) Как источник заданий для работы в группах

(d) Чтобы найти дополнительный материал к уроку

(e) Как источник упражнений для домашних заданий

VII. Ваша обычная практика в классе

Отвечая, используйте следующую шкалу:

1 - никогда,

2 - на некоторых уроках,

3 - примерно на половине уроков,

4 - (почти) на каждом уроке.

Как часто Вы, обучая математике, просите учеников:

1. Запомнить формулы и правила

2. Используя факты, понятия и правила, решать обычные задания

3. Работать с заданиями, для которых не существует очевидных методов решения

4. Связать материал, усвоенный на уроках математики, с повседневной жизнью

5. Выработать свой алгоритм для решения сложных заданий

6. Работать совместно в небольших группах

7. Работать как исследователи: стараться найти закономерности, формулировать утверждения и доказывать их

8. Работать с компьютером или графическим калькулятором

VIII. Пожалуйста, подумайте и предложите метафору, которая характеризует учителя. Поясните свою метафору.

Учитель это...

_____________

Мое краткое объяснение этой метафоры:_____________________________

Хотели бы Вы получить сертификат участника исследования?

Если да, укажите, пожалуйста,

Ваши фамилию, имя и отчество: _____________________

Название образовательного учреждения, в котором Вы работаете на момент заполнения анкеты, с указанием муниципального образования_______________________

Большое спасибо за участие!



Приложение 2. Результаты попарного апостериорного сравнения для анализа анкеты учеников

Таблица 1 - Попарное апостериорное сравнение методом LSD для индекса «Традиционные практики»

Зависимая переменная	(I) Профиль	(J) Профиль	Средняя разница (I-J)	Ст. ошибка	Знч.
Традиционные практики	LSD	Примирение противоположностей	Компромисс	,09524*	,04182	,025
			Традиционалист	-,00334	,04087	,935
		Компромисс	Примирение противоположностей	-,09524*	,04182	,025
			Традиционалист	-,09858*	,02907	,001
		Традиционалист	Примирение противоположностей	,00334	,04087	,935
			Компромисс	,09858*	,02907	,001

Таблица 2 - Попарное апостериорное сравнение методом LSD для индекса «Конструктивные практики»

Зависимая переменная	(I) Профиль	(J) Профиль	Средняя разница (I-J)	Ст. ошибка	Знч.
Конструктивные практики	LSD	Примирение противоположностей	Компромисс	-,03462	,04968	,488
			Традиционалист	-,08404	,04855	,087
		Компромисс	Примирение противоположностей	,03462	,04968	,488
			Традиционалист	-,04943	,03454	,156
		Традиционалист	Примирение противоположностей	,08404	,04855	,087
			Компромисс	,04943	,03454	,156



Таблица 3 - Попарное апостериорное сравнение методом LSD для индекса «Активность»

Зависимая переменная	(I) Профиль	(J) Профиль	Средняя разница (I-J)	Ст. ошибка	Знч.
Активность	LSD	Примирение противоположностей	Компромисс	-,12897*	,04157	,003
			Традиционалист	-,17743*	,04063	,000
		Компромисс	Примирение противоположностей	,12897*	,04157	,003
			Традиционалист	-,04846	,02890	,097
		Традиционалист	Примирение противоположностей	,17743*	,04063	,000
			Компромисс	,04846	,02890	,097

Таблица 4 - T-test для учеников 6 и 9 класса

		Тест Ливиня на равенство дисперсий
			95% доверительный интерва для различий
		F	Знч.	t	df	Знч.
Традиционные практики	Равенство дисперсий	,652	,424	-3,698	45	,001
	Нет равенства дисперсий			-3,679	41,753	,001
Конструктивные практики	Равенство дисперсий	1,005	,321	12,520	45	,000
	Нет равенства дисперсий			12,642	38,615	,000
Активность	Равенство дисперсий	7,587	,008	3,397	45	,001
	Нет равенства дисперсий			3,433	37,305	,001



Приложение 3. Анкета Ученика

Анкета для учащегося

Что я делаю на уроке математики	На каждом уроке	1-2 раза в неделю	Реже	Никогда
Списываю с доски
Участвую в обсуждении
Молча слушаю учителя
Конспектирую слова учителя
Записываю под диктовку учителя
Работаю в группе над каким-либо заданием
Провожу время, думая о своём
Решаю простые задания для отработки алгоритма решения
Обсуждаю свою работу с учителем
Работаю на компьютере, выполняя задание
Выполняю задание, связанное с жизнью
Ничего не делаю
Решаю сложные задания, для которых нет очевидного решения
Отвечаю у доски



Приложение 4. Гайд интервью

Здравствуйте! Институт образования ВШЭ проводит исследования представлений и практик учителей математики основной школы. Ваш регион принимал участие в анкетировании в прошлом году, по его результатам мы обратились в краевой центр оценки качества образования с просьбой о помощи в проведении дополнительного интервью и предложили список из 10 случайным образом отобранных учителей, которые заполнили анкету в прошлом году, в этот список попали и Вы. Большое спасибо, что согласились принять участие.

Мы хотели бы понять в каких условиях Вы работаете, с какими учениками Вам приходится работать.

· Скажите, пожалуйста, вы давно работаете в школе?

· В каких классах Вы сейчас преподаете?

· За то время, что Вы работаете, изменились ли ученики? Как изменились?