В главе 3 “Подобные фигуры” в §4 “Подобие фигур произвольного вида” имеется пункт “Задачи на построение”, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применение метода данный пункт не содержит. В §5 “Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках” рассматривается задача о построении четвертого пропорционального отрезка. В §6 “Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур” рассматривается задача о построении отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками. §8 “Тригонометрические функции острого угла” содержит пункт “Построение угла по заданной величине одной из его тригонометрических функций”. В §9 “Понятие о приложении алгебры к геометрии” рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, а затем следует пункт “Алгебраический способ решения геометрических задач”, который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующим пунктом идет “Построение простейших формул” с помощью циркуля и линейки. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.

В главе 4 “Правильные многоугольники” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается задача: вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса. Также далее в пункте “На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?”, в котором дается указание, как разделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать в окружность правильные многоугольники с таким числом сторон).

В главе 5 “Измерение площадей” в §1 “Площади многоугольников” рассматриваются задачи на построение треугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которого равна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которого относится к площади данного квадрата, как m:n; разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В §2 “Площадь круга и его частей” приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.

Вывод: Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебнике [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа.

В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) - по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический метод решения задач на построение не вводится в данных учебниках. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.

В таблице приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках[5], [6] и [7]:

Учебники	Класс	Всего задач в учебнике	Из них на построение	Процент от общего числа задач
Александров А.Д. и др. “Геометрия 7-9”	7	33	8	24
	8	643	95	15
	9	556	89	16
Атанасян Л.С. и др. “Геометрия 7-9”	7	362	90	25
	8	448	64	14
	9	321	36	11
Погорелов А.В. “Геометрия 7-9”	7	218	42	20
	8	298	35	12
	9	206	10	5

Приложение 2

Задачи к п. 1.1 (2 главы) “ Этапы решения задач на построение ”

2.1. Анализ

Анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.

Рис. 1

Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольника даны. Для этого начертим произвольный треугольник A₁B₁C₁ (рис.1) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона A₁C₁ и угол C₁A₁B₁. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность. Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки C₁ или от точки B₁ либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки B₁, так и от точки A₁. Если разность будет около точки В₁, то тогда данные не связаны между собой, и нельзя наметить план решения. Если же В₁А₁ отложим от точки В₁ на В₁С₁, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон -- будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру D₂C₁A₁B₁. Лучше всего ввести разность, откладывая B₁D₁ = B₁C₁, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру C₁A₁D₁. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.

4. Построив на произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А₁ и С₁. Зная угол С₁А₁В₁, мы можем найти и положение точки D₁, где D₁A₁ = B₁A₁ -- В₁С₁. Остается рассмотреть, как построить точку В₁, зная положение точки D₁. Так как C₁B₁ = B₁D₁, то точка B₁ равноудалена от точек C₁ и D₁, поэтому она должна лежать на перпендикуляре P₁Q₁, проведенном к отрезку C₁D₁ через его середину. Точка пересечения прямой P₁Q₁ и луча A₁D₁ и будет точкой В₁. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основания и получаем, искомый треугольник [11]

2.2. Доказательство

Задача. Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).

Решение. Проведя CK||BA, решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АВ = КС), a KD = AD -- BC. Построим треугольник КCD, и, считая сторону AD построенной, дополним его до трапеции различными способами:

1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А.

Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.



Рис. 2

2) Если провести АВ||КС и BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.

3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В₁ отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В₁ будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.

4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В₂ (рис. 2) только точка В будет искомой.

5. Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11]

.

Приложение 3

Задачи к п. 1.2 (2 главы) “ Методы решения задач на построение ”

3.1 Метод геометрических мест точек

Задача. Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А.

Рис3 Решение.

Предположим, что треугольник АВС построен.

Опустим из середины А₁ стороны ВС перпендикуляры А₁В' и А₁С' на прямые АС и АВ соответственно.

Ясно, что АА₁ = m_a, А₁В' = h_b/2 и А₁С' = h_с/2. Из этого вытекает следующее построение.

Строим отрезок АА₁ длиной m_a. Затем строим прямоугольные треугольники АА₁В' и АА₁С' по известным катетам и гипотенузе так, чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА₁. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А₁ пополам.

Для этого отложим на луче АА₁ отрезок AD = 2АА₁, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'.

6. Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис.3) [22]

3.2 Метод геометрических преобразований

Метод подобия

Задача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.

Рис. 4

Рис. 5

Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис. 4). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB₁C₁D₁, у которой А = hk и AB₁:C₁D₁:AD₁ = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ₁ и отрезок AD₁ = 3AB₁ (рис. 5). После этого через точку В₁, проводим прямую l, параллельную AD₁ и строим окружность радиуса 2АВ₁, с центром в точке D₁,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С₁ и C₁'.

Итак, мы построили две трапеции AB₁C₁D_l и АВ₁С₁'D₁, у которых A = hk и стороны АВ₁, ВС₁ (В₁С₁') и C₁D_l (С₁'D₁) относятся как 1:2:3.

Возьмем одну из этих трапеций, например, AB₁C₁D_l, проведем прямую АС₁, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В₁АС₁, который параллелен B₁C₁ и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD₁ откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB₁. Она пересекается с прямой АС₁ в точке С (рис. 6). Через точку С проводим прямую, параллельную B₁C₁, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C₁D_l. Она пересекает луч AD₁, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB₁C₁, ACD и AС₁D₁). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB₁:C₁D₁:AD₁ = 1:2:3.

Рис. 6

Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB₁C₁D_l взять трапецию АВ₁С₁'D₁ и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения [4]

Рис. 7

3.3. Алгебраический метод

Пример. Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Пусть ABC (рис. 8) -- данный треугольник, а, b, с -- его стороны, х, у и z -- радиусы искомых окружностей.

Рис. 8

Выразим длины отрезков х, у, z через длины известных отрезков а, b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z = a+b+c, x+y+z=(a+b+c),откуда .

Строим теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно с -- х и b -- х.

Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов (с -- х) + (b -- х) = с + b -- 2х = (с + b) -- (с + b -- а) = а = ВС, то есть равна расстоянию между их центрами.

Задача всегда однозначно разрешима, так как:

1) в треугольнике ABC b+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;

2) с>х, потому что с -- х = (так как а+с>b);

3) b>х, потому что b - х = >0 [2]

Приложение 4

К главе 2. §2. Методические особенности обучения решению задач на построение.

Обучение решению элементарных задач

Первыми задачами на построение в 7 классе являются, так называемые, основные задачи («Элементарные задачи») - простейшие задачи на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных. В 7 классе изучаются не все, а наиболее простые элементарные задачи, которые впоследствии потребуются для выполнения изображений изучаемых четырехугольников. Именно на этих задачах учащиеся обучаются применению схемы решения и оформлению задачи на построение. Учитель должен подчеркнуть важность этих задач, так как они, являясь составными частями более сложных задач, будут использоваться в дальнейшем в качестве шагов построений. В связи с этим перед учащимися ставится следующие цели:

1. научиться быстро выполнять построения каждой из элементарной задачи инструментами;

2. уметь описать ход построения и обосновать, что полученная фигура. Это необходимо для понимания построений, без которого они быстро забудутся;

3. научиться видеть элементарные задачи в более сложных задачах и уметь применять алгоритм построений в новой ситуации.

В действующих учебниках рассматриваются такие элементарные задачи: построение отрезка и угла, равных данным, деление их пополам, построение перпендикуляра к прямой, построение треугольника по трем его элементам.

При обучении решению этих элементарных задач на учителя возлагается огромная ответственность, если учащиеся не усвоят эти построения, то в дальнейшем при решении более сложных задач у них будут возникать трудности. И для большего понимания учащимися этого материала учителю необходимо продемонстрировать каждый «шаг» построения. Для этого используется методический прием, называемый «кадровкой». Он заключается в том, что каждое новое построение (вспомогательные построения) появляются на новом чертеже. Причем это последнее построение удобнее выделять новым цветом. Рассмотрим, как это можно сделать.

1. Построение угла, равного данному.

Дано: Построение:

1). Построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла А. Пусть В и С - точки пересечения этой окружности со сторонами утла (рис. 1).

2). Радиусом АС проведем окружность с центром в точке а начальной точке луча а и точку пересечения луча и окружности обозначим С (рис. 2).

3). Радиусом СВ (рис. 3) проведем окружность с центром в точке и точку пересечения двух окружностей обозначим буквой В (рис. 4).

4). Проведем луч A B (рис. 5).

5). Получили угол BAСравный данному. Равенство углов следует из равенства треугольников АВС и ABС

2. Построение биссектрисы угла.

Дано: Построение:

1) Построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла А. Пусть В и С - точки пересечения этой окружности со сторонами утла (рис.1)

2) Из точек В и С тем же радиусом проведем окружности и точу

пересечения этих двух окружностей обозначим D (рис. 2).

3) Проведем луч АD.

4) Луч АDО биссектрисой А, что следует из равенства треугольников CAD и BAD.

3. Построение прямой, перпендикулярной данной.

При построении перпендикуляра возможны два случая.

1. Через точку С, лежащую на прямой n, провести прямую перпендикулярную прямой

Дано: С n.

Построить прямую, перпендикулярную

прямой n

Построение:

1) Пусть B и А - точки пересечения этой окружности с прямой n, проходящую через точку С.

2) Из точек В и А радиусом АВ проведем окружности и точки пересечения этих двух окружностей обозначим О (рис.3).

3) Проведем прямую СО (рис. 4).

4) Перпендикулярность прямых СО и n следует из равенства треугольников АОС И ВОС.



2. Через данную точку С, не лежащую на прямой n, провести прямую, перпендикулярную данной прямой n.

Дано: С n

Построение:

1)Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В и А точки пересечения этой окружности с прямой n (рис.2) .

2) Из точки В и А тем же радиусом проведем окружности и точки пересечения этих окружностей обозначим С и С1 ( рис.3).

3)Проведем прямую СС1 (рис. 4).

Докажем перпендикулярность прямых СС1 и n. Точку пересечения прямых СС1 и n обозначим О. Треугольник АСВ и АС1В равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому яСАО = яС1АО. Тогда треугольники САО и С1АО равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что углы СОА и С1ОА равны. А так как они смежные, то они - прямые. Следовательно, СО- перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую n.

4. Деление отрезка пополам.

Дано: А_________В

Построить точку О - середину отрезка АВ.

( АО=ОВ)

Построение: 1) Из точки В и А радиусом АВ проведем окружности и точки пересечения этих двух окружностей обозначим С и С1 (рис. 2).

2) Проведем прямую СС1. Точку пересечения СС1 и АВ обозначим О (рис.3).

Докажем, что точка О является серединой отрезка АВ. Треугольники С1АС и С1ВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что стороны АО ВО равны. Следовательно, точка О является серединой отрезка АВ.

Библиография

1. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями [Текст] : Пособие для школьников, преподавателей, студентов

/ И.И.Александров. - М.: Учпедгиз, 1954. - 176 с.

2. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия [Текст] : Учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966. - 198 с.

3. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Учеб. пособие / Л.В. Виноградова - Ростов н/Д.: Феникс, 2005. - 252 с.

4. Геометрия [Текст] : Доп. главы к шк. учеб. 8 кл. : Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996. - 156 с.

5. Геометрия [Текст] : Учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2004. - 402 с.

6. Геометрия [Текст] : Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. - 389 с.

7. Геометрия [Текст] : 7-9 : Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян. - 16-е изд. - М.: Просвещение: Моск. учеб., 2006. - 384 с.

8. Геометрия [Текст] : Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А.П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. - М.: Дрофа, 1995. - 353 с.

9. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] : Учеб. пособие / В.А. Крутецкий.- М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

10. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления [Текст] / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып. 9. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - 71 с.

11. Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе [Текст] : Пособие для учителей / А.А. Мазаник. - Минск: Народная асвета, 1967. - 144 с.

12. Математика [Текст] : 5 кл.: В 2 ч.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. - 23-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 280 с.: ил.

13. Математика [Текст]: 6 кл.: В 2 ч.: Учеб для общеобразоват. учреждений Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 20-е изд. - М.: Мнемозина, 2007. - 288 с.: ил.

14. Математика [Текст]: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Просвещение, 1994. - 240 с.: ил.

15. Математика [Текст] : Учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Дрофа, 1998. - 112 с.

16. Немов, Р.С. Психология. Книга 1 [Текст]: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений. / Р.С. Немов. - М., 1997. - 688 с.

17. Общая психология [Текст] : Учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А.В. Петровского. - М.: Просвещение, 1986. -384 с.

18. Овезов, А.Б. Особенности рассуждений в приложениях математики [Текст] : О развитии логического мышления на уроках математики / А.Б. Овезов // Математика в школе. - 1991. - № 4 - C. 45 - 48.

19. Платонов, К.К. Краткий словарь системы психологических понятий [Текст]: Учеб. пособие для учеб. заведений проф. тех. образования / К.К. Платонов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1984. - 174 с.

20. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия [Текст] : В 2 т. - Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П. Понарин. - М.: МЦНМО, 2004. - 312 с.

21. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия [Текст]: В 2 т. - Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства / Я.П. Понарин - М.: МЦНМО, 2006. - 256 с.

22. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии [Текст] : В 2 ч. Ч. 1. / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991. - 318 с.

23. Преподавание алгебры и геометрии в школе [Текст] : Пособие для учителей / сост. О.А. Боконев. - М.: Просвещение, 1982. - 224 с.

24. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований [Текст]: Дидактический аспект / сост. Ю.К Бабанский. - М. : Педагогика, 1982. 192 с.

25. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] : Книга для преподавателей и аспирантов психологии и педагогики, студентов высших педагогических учеб. заведений и университетов / С.Л. Рубинштейн.- СПб.: Питер, 2000. - 712 с.: ил.

26. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе [Текст] : Учебно - метод. пособие для учителей общеобразоват. учеб. заведений / Г.И. Саранцев.- М.: Владос, 2006. - 182 с.

27. Сенников, Г.П. Методика обучения решению задач на построение [Текст] : 6-8 кл.: Пособие для учителей / Г. П. Сенников.- М.: Учпедгиз, 1953. - 302 с.

28. Смирнова, И.М. Геометрия [Текст] : 7-9 кл.: Кн. для учащихся / И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. - М.: Мнемозина, 2005. - 376 с.: ил.

29. Тихомиров, О.К. Психология мышления [Текст] : Классическая учебная книга / О.К. Тихомиров.- М.: Академия, 2002. - 288 с.

30. Философский энциклопедический словарь / Гл. редакция: Л.Ф. Ильичёв, П.Н. Федосеев, С.М. Ковалёв и др. - М.: Сов. Энциклопедия, 1983. - 840 с.

31. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия) [Текст] : Для школьников, преподавателей, студентов / И.Ф. Шарыгин.- М.: Наука, 1982. - 160 с.

32. Шарыгин, И.Ф. Геометрия [Текст] : Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин.- М.: Дрофа, 2007. -367 с.

33. (http://www.exsolver.narod.ru/Books/Other/Logica). 30.03.10

34. (http://www.wiki.km-school.ru/wiki/index.php/Методические рекомендации (геометрия)). 16.03.10

35. (http://www.wikipedia.org/wiki/Формы мышления). 14.03.10

36. (http://www.fsu-expert.ru/node/1445). 3.04.10

Размещено на Allbest.ru