Развитие самоконтроля на уроках математики

Так, если мы хотим, чтобы занятия способствовали развитию наблюдательности у детей, чтобы на уроках математики они учились выделять черты сходства и различия в наблюдаемых явлениях, отличать существенное от несущественного, нужно позаботиться о том, чтобы такого рода задачи постоянно ставились перед детьми на этих уроках и чтобы при этом было обеспечено постепенное возрастание требований к ученикам.

Начиная с первых дней занятий, когда у детей формируется понятие о числе, важнейшее значение приобретает наблюдение и сравнение различных совокупностей предметов, наблюдение и сравнение различных действий, производимых с предметными группами, и результатов, к которым они приводят. В дальнейшем предметом наблюдения и сравнения должны стать сами числа и арифметические действия.

В опыте работы лучших учителей имеются самые разнообразные приемы, направленные на развитие наблюдательности у учащихся, обучение их анализу, синтезу, сравнению, обобщению, абстрагированию.

Так, уже в I классе при решении первых задач детям предлагается внимательно наблюдать за тем, что будет делать учитель, а затем самостоятельно составить задачу по этим наблюдениям. Например, учитель показывает детям тарелку, на которой лежат четыре яблока, а затем кладет на тарелку еще одно яблоко. После того как соответствующая задача на сложение составлена и решена, учитель предлагает детям еще раз посмотреть, что он теперь будет делать с яблоками, и составить новую задачу. На этот раз в соответствии с наблюдениями дети составляют задачу на вычитание.

После этого повторяются и первая и вторая задачи и перед учащимися ставится вопрос: «Такая же получилась задача второй раз или другая? Чем она отличается от первой, почему для решения первой нужно было прибавить, а для решения второй вычитать одно яблоко?»

Богатые возможности заложены в методическом приеме составления детьми задач по аналогии, который способствует формированию умения сравнивать и показывать, что значение того или иного элемента задачи относительно: то, что существенно в одних условиях, может стать второстепенным в других.

Наконец, имеется ряд самых разнообразных заданий, специально направленных на проведение детьми сравнения и обобщения.

В программе содержится большой материал для таких заданий во всех классах, однако на практике не всегда придается достаточное значение этой работе. Так, в I классе могут быть даны для сравнения простая и составная задачи, отличающиеся только вопросом. Решив эти задачи, дети должны объяснить, какие различия в тексте задач приводят к различиям в ходе решения.

Могут быть даны для сопоставления задачи на увеличение и уменьшение данного числа на несколько единиц и др.

В течение всех трех лет начального обучения программами и учебниками математики предлагается целая система упражнений, связанных со сравнением выражений различных видов. Так, начиная с простейших случаев сравнения чисел (7 и 5; 1 и 2 и т.п.), дети уже в I классе учатся сравнивать выражения вида 7+1 и 7+2; 8-1 и 8-2; 6+5 и 5+6, а далее и еще более сложные для сравнения. (Например, 20 - (4+6) и (20-4)+6.) Сравнение этих и других выражений в подобных заданиях без (предварительных вычислений (а задача состоит именно в этом!) требует не только хорошего знания соответствующих математических закономерностей, но и развитого умения наблюдать, сравнивать, выделять черты сходства и различия в сравниваемых выражениях, умения подвести наблюдаемые частные факты под известное общее правило.

1.2 Некоторые методы и приемы, используемые при формировании вычислительных навыков в курсе математики начальных классов

Рассмотрим особенности использования различных методов обучения на разных ступенях работы над учебным материалом.

При подготовке к изучению нового материала важно обеспечить необходимые предпосылки для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. Главное на этой ступени - создать, систематизировать или расширить опыт детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизвести те знания, на которые придется опираться при раскрытии нового.

Подготовка к изучению нового осуществляется главным образом через выполнение учащимися системы упражнений, т.е. определенных математических заданий (операции над множествами, нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, задач). Система упражнений на этой ступени определяется содержанием изучаемого материала и целями его изучения.

При подготовке к ознакомлению с теоретическими знаниями упражнения должны обеспечить создание как бы наглядной модели формируемого знания, понятия, закономерности и др.

Во многих случаях лучшей подготовкой к ознакомлению с теоретическими знаниями оказывается самостоятельное практическое выполнение детьми тех или иных операций над множествами предметов.

Так, прежде чем ознакомиться с действием сложения, учащиеся должны многократно выполнить операцию объединения множеств, не имеющих общих элементов (к 5 кубикам присоединить 1 и узнать, сколько всего кубиков; к 3 шарам присоединить 4 и узнать, сколько всего, и т.д.). Здесь в плане подготовки к ознакомлению с действием сложения важно не нахождение числа элементов объединения, а выполнение операции объединения (присоединение 1 кубика к 5 и др.), что в дальнейшем даст возможность ввести на этой основе действие сложения натуральных чисел. Операции с множествами используются в качестве подготовки к раскрытию смысла и других арифметических действий и их свойств.

Чтобы операции над множествами действительно явились основой для дальнейших обобщений, важно соблюдать ряд условий: операции должны выполняться неоднократно; надо выполнять операции над множествами, составленными из различных элементов (в одних случаях - это реальные предметы, в других - изображение тех или иных предметов и др.); соответствующие упражнения должны выполняться каждым учеником. При этом надо опасаться формирования преждевременных обобщений, соответствующим образом отбирая материал для практических упражнений и определяя их число с учетом индивидуальных особенностей детей.

Подготовкой к ознакомлению с новым теоретическим материалом является также воспроизведение ранее изученного материала, который служит для раскрытия нового. Например, для ознакомления первоклассников с переместительным свойством сложения необходимо хорошее знание конкретного смысла действия сложения, названия чисел и результата действия сложения, умение находить результат сложения.

Подготовкой к формированию умений (умение вычислять, решать задачи, выполнять измерения, простейшие геометрические построения и т.д.) является овладение учащимися соответствующими знаниями по математике и некоторыми умениями применять эти знания.

Так, подготовкой к формированию у первоклассников умения использовать прием перестановки слагаемых для случаев 1+7; 2+9 и т.д. будет знание ими переместительного свойства сложения и умение использовать его в ситуациях, подводящих учащихся к открытию приема. Например, после рассмотрения примера 8+2 дети сами смогут найти сумму чисел 2 и 8. Здесь они еще не используют прием перестановки слагаемых, им предложен пример, отличающийся от только что решенного лишь порядком слагаемых, но подобные упражнения приведут к «открытию» самого приема, если учащиеся сравнят второй пример с первым (слагаемые одинаковые, но переставлены местами, значит, получим тоже 10).

Знание конкретного смысла арифметических действий является подготовкой к формированию умения решать задачи. Чрезвычайно сложной, но важной и актуальной является проблема формирования ряда общих умений, которыми должны овладеть младшие школьники (например, формирование общего умения работы над задачей). В настоящее время эта проблема усиленно разрабатывается как теоретически, так и практически [4], но многое еще в этом направлении предстоит сделать.

Для формирования навыков при обучении математике подготовкой служат достаточно сформированные и осознанные умения (например, при формировании вычислительных навыков), а также те навыки, которые включаются в новые в качестве их элементов и достаточно отработаны на предыдущих этапах обучения (например, навыки письма, счета и т.д.). Есть еще одна очень важная сторона в подготовке ученика к усвоению нового материала - это формирование у него умений выполнять умственные операции: умение выполнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделяя наиболее существенное, выполнять обобщение, отвлекаясь от несущественного. Работа по формированию умений выполнять эти умственные операции должна начинаться с первых дней обучения детей (в школе и органически связываться с изучением программного материала. Особого внимания заслуживает обучение умению сравнивать объекты, так как для сравнения надо выполнять анализ и синтез, а сама операция сравнения лежит в основе обобщения.

Формируя у детей умение сравнивать, полезно больше включать упражнений на сравнение чисел, математических выражений, задач, геометрических фигур и т.п. При этом можно использовать такой прием: сказать детям, что сначала надо рассказать себе все, что знаешь о сравниваемых выражениях, числах и т.д., а затем сказать, чем они похожи и чем отличаются. Так, при сравнении выражений 6+2 и 2+6 в соответствии с перечисленными заданиями ученик I класса рассуждает: первый пример на сложение, первое слагаемое - 6, второе - 2, сумма - 8; второй пример тоже на сложение, первое слагаемое - 2, второе слагаемое - 6, сумма тоже 8; сходное в примерах: они на сложение, слагаемые одинаковые, суммы одинаковые, различное: одинаковые слагаемые находятся в примерах на разных местах.

Сначала подобные рассуждения ведутся под руководством учителя, но постепенно учащиеся овладевают соответствующими умениями. Как показало исследование, целенаправленная работа по формированию умения сравнивать положительно влияет на интеллектуальное развитие младших школьников. [5]

Таким образом, на подготовительной ступени, выполняя соответствующие практические работы и другие задания учителя (чаще самостоятельно), дети обогащают свой жизненный опыт.

Существенно важной представляется разработка и использование уже на этом этапе таких методов и приемов работы, которые не только актуализируют ранее приобретенные знания, умения и навыки, но предполагают и продуктивную деятельность.

При ознакомлении с новым материалом в зависимости от содержания материала и целей его изучения используются различные методы. Приведем для иллюстрации еще несколько примеров.

При ознакомлении с теоретическим материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами и т.п.), при ознакомлении с некоторыми приемами вычислений (приемов сложения, когда второе слагаемое число 2 и т.п.), при инструктаже учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля и др.) и в других случаях используется метод изложения (объяснения) учителем нового материала. Учитель при этом излагает (объясняет) материал, а учащиеся воспринимают его, т.е. приобретают знания в готовом виде, со слов учителя, или наблюдая за его действиями.

Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным во времени. При этом по мере надобности используются разнообразные наглядные пособия и технические средства обучения.

Например, знакомя с приемом вычитания числа 2, учитель на наборном полотне, а дети у себя на партах выполняют соответствующие операции над множествами. Например, из 6 палочек берут и откладывают по одной 2 палочки, после чего записывают: 6-1-1. Здесь операции над множествами и соответствующая запись являются наглядной основой приема вычисления.

В результате объяснения учителя и выполнения ряда практических операций учащиеся знакомятся с приемами вычислений.

При ознакомлении с математическими понятиями (число, арифметические действия и т.п.), с теоретическими знаниями типа закономерностей (свойства арифметических действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и т.п.) чаще всего используется метод беседы. Беседы (и соответствующая система упражнений) в этом случае строятся так, чтобы они вели детей от частных фактов к общему выводу, к «открытию» той или иной закономерности. Более всего отвечает этой задаче эвристическая беседа.

При ознакомлении с новым материалом индуктивным путем учитель, проведя беседу, предлагает детям ряд упражнений. Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют существенные стороны формируемого знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т.е. обобщение.

Рассмотрим, как можно ознакомить учащихся II класса с переместительным свойством умножения, подводя их к выводу индуктивным путем, используя эвристическую беседу.

«Разложите квадраты в 3 ряда по 5 квадратов в каждом ряду. Сколько всего квадратов вы положили? Как узнали? (5•3=15.) Если считать ряды квадратов сверху вниз, то сколько будет квадратов в каждом ряду? (3.) А сколько рядов? (5.) Сколько всего квадратов? (15.) Как узнали? (3•5=15.) Сравните полученные выражения. (Это произведения. Множители одинаковые, только переставлены местами, произведения равны.) Почему получили одинаковое число квадратов? (Сосчитали все квадраты, только считали их по-разному.)»

Далее аналогичным образом находят и сравнивают еще несколько произведений, отличающихся только порядком множителей.

«Чем же сходны все эти пары произведений? (Произведения одинаковые, множители тоже одинаковые, только переставлены местами.) Какой вывод можно сделать? (При перестановке множителей произведение не изменяется.)»

К системе упражнений, которая определяет эффективное использование метода эвристической беседы при индуктивном пути ознакомления с новыми теоретическими знаниями, предъявляются определенные требования.

Система упражнений должна обеспечить наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений очень важно во многих случаях использовать наглядность. При ознакомлении с математическими понятиями и закономерностями в начальных классах часто используют в качестве наглядности не только операции над множествами предметов, но и записи соответствующих арифметических действий. Так, в приведенном примере учащиеся объединили равночисленные множества, затем, найдя разными способами численность объединения, выполнили запись: 5•3=15; 3•5=15. Эта запись явилась наглядной основой для «открытия» ими переместительного свойства умножения.

Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть обеспечено достаточное число упражнений, т.е. столько, сколько потребуется, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению.

В рассмотренном примере ознакомления с переместительным свойством умножения несущественной стороной являются числа, а потому их надо брать в каждой паре произведений различными: 7•3 и 3•7; 6•2 и 2•6 и т.д. Существенной стороной является то, что в сравниваемых произведениях множители одинаковые, но переставлены местами. Это должно быть главным при проведении беседы. Если будет сохраняться неизменным какой-либо из несущественных признаков, то учащиеся могут сделать неверное или узкое обобщение. Например, в одном из классов при ознакомлении с переместительным свойством умножения учитель предложил для сравнения такие пары выражений: 4•3 и 3•4; 5•3 и 3•5; 7•3 и 3•7. Как видим, здесь оставался неизменным один из множителей, т.е. несущественная сторона формируемого знания. В результате учащиеся сделали узкое обобщение: можно переставлять местами множители, и произведение не изменится, если один из множителей 3, а другой - любое число.

При ознакомлении с новым материалом, который сходен с уже изученным, возникает такая ситуация, когда предшествующий опыт может оказать как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Если сходство охватывает наиболее существенные стороны рассматриваемых явлений и позволяет опереться на проведшие аналогии, то полезно так подбирать упражнения, чтобы раскрывать новый материал в сопоставлении со сходным, т.е. сравнивать этот новый вопрос со сходным, выделяя существенное сходное. Так, до изучения переместительного свойства умножения следует повторить переместительное свойство сложения. При раскрытии переместительного свойства умножения целесообразно использовать ту же методику, что и при раскрытии переместительного свойства сложения. Опора на аналогию в этом случае быстрее приведет к требуемому обобщению,

В других случаях приходится, проводя сравнение нового материала с изученным ранее, выделять в ходе сопоставления не только сходство, но и различие. Например, до ознакомления учащихся II класса с распределительным свойством умножения относительно суммы следует повторить свойство прибавления к числу суммы, а после раскрытия нового свойства сравнить его с ранее изученным, установив существенное различие: при прибавлении суммы к числу прибавляют одно из слагаемых, затем к полученному результату прибавляют другое слагаемое; при умножении числа на сумму это число умножают на каждое слагаемое и полученные результаты складывают.

Если такого сравнения не выполнить, то отдельные ученики будут смешивать эти свойства, в результате чего возникнут ошибки вида: 300•(200+40) =(300+200)+(300+40).

Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого знания, предупреждают смешение сходного.

Анализ особенностей учебного материала под углом зрения возможного взаимовлияния ранее приобретенных знаний и вновь формируемых, как было показано выше, накладывает отпечаток как на подбор и систему расположения соответствующих упражнений, так и на методику их проведения.

При ознакомлении с вопросами практического характера, которые вводятся на основе теоретических знаний, также часто используется эвристическая беседа. Однако здесь система упражнений должна обеспечить дедуктивный путь рассуждения: от общего к частному, подведение частного под общее.

Наибольшую трудность для детей представляет само подведение частного под общее положение. Правильному применению дедукции помогают упражнения в конкретизации (ученики приводят свои примеры на определенное правило или сами подбирают и используют соответствующие средства наглядности), в классификации (например, когда требуется выписать из данных выражений сначала все суммы, а потом все разности.

В начальных классах при ознакомлении с новым материалом иногда используется и самостоятельная работа учащихся. Дети самостоятельно выполняют упражнения и на их основе приходят к нужному выводу. В приобретении знаний, таким образом, используются элементы поисковых методов. Например, составляя неоднократно таблицы умножения (3•3; 3•4; 3/5 и т.д.), они замечают, что каждое новое произведение увеличивается на число, равное первому множителю. В дальнейшем, при составлении таблиц, они используют это знание.

Чаще метод самостоятельных работ применяется при ознакомлении с вопросами практического характера, когда учащиеся самостоятельно находят на основе полученных знаний новые вычислительные приемы, новые способы решения задач и т.п. Например, после того как первоклассники усвоят свойства вычитания суммы из числа, вычитания числа из суммы, связь между компонентами и результатами действия сложения, десятичный состав двузначных чисел и таблицу сложения, они могут самостоятельно найти три способа вычитания для случая 12-5, рассуждая так:

1) 12 - это сумма чисел 5 и 7, если вычесть 5, то получится 7 (здесь используется знание связи между суммой и слагаемыми и знание табличных случаев сложения);

2) 12-5=12 - (2+3)=(12-2) - 3=7. Заменю число 5 суммой чисел 2 и 3. Чтобы из 12 вычесть эту сумму, можно из 12 вычесть 2 и из полученного результата (из 10) вычесть 3, получится 7;

3) 12-5=(10+2) - 5=(10-5)+2-7. Заменю число 12 суммой его разрядных слагаемых 10 и 2, вычесть из суммы чисел 10 и 2 число 5 можно так: вычесть 5 из первого слагаемого (из 10) и к полученному результату (5) прибавить второе слагаемое (2).

Два последних способа основываются на знании уже изученных свойств действий и знании десятичного состава чисел.

Самостоятельная работа как метод обучения дает +возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность.

Совершенствование и закрепление знаний, умений и навыков происходят в результате выполнения системы упражнений на применение этих знаний. Эта система упражнений должна удовлетворять ряду требований: упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и имеющимися знаниями. Рассмотрим систему упражнений на закрепление знания связи между суммой и слагаемыми.

На этапе ознакомления с новыми знаниями учащиеся I класса пришли к обобщению: если из суммы двух чисел вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое, и если вычесть второе слагаемое, то получится первое.

В дальнейшем предлагаются упражнения на непосредственное применение этих знаний:

1. Объясните, как получен второй и третий примеры из первого: 6+3=9; 9-6=3; 9-3=6.

2.

Слагаемое	5	6	8	3	5
Слагаемое	2	2	2	4	4
Сумма

Вычислите суммы. Вычитайте из каждой суммы первое слагаемое. Получилось ли второе слагаемое? Вычитайте из каждой суммы второе слагаемое. Получилось ли первое слагаемое?

3. По каждому примеру на сложение составьте по два примера на вычитание: 5+3; 7+1; 2+4; 1+9.

Образец: 7+3=10; 10-7=3; 10-3 = 7.7

Затем ставится цель научить детей использовать знание связи между суммой и слагаемыми для решения простейших уравнений вида: 5+х=9. Учащиеся должны переосмыслить известный им вывод и сформулировать новый: чтобы найти неизвестное второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое. Далее этот новый вывод применяется при выполнении таких упражнений:

1. Найдите неизвестное число: х+2=5; 4+x=7 и т.п.

2. Сумма равна 6, первое слагаемое 1. Найти второе слагаемое.

После изучения связи между компонентами и результатами других арифметических действий предусматриваются специальные упражнения на противопоставление. Например, пары уравнений вида: х+6=10; х-6=10. После их решения полезно сравнить как сами уравнения, так и их решения, выявив, что в первом уравнении неизвестное-слагаемое, а во втором - уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают другое слагаемое, а чтобы найти неизвестное уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое. Надо подчеркнуть, что здесь неизвестное находят разными действиями. Позднее выполняется сравнение уравнений, в которых неизвестное находят с помощью одного и того же действия. Например: 10+х=18 и 10-х=8. После решения этих уравнений устанавливается, что неизвестные слагаемое и вычитаемое находятся действием вычитания.

Подобные упражнения предупреждают часто возникающие неправильные обобщения. Например, после решения уравнений, в которых требуется найти неизвестное уменьшаемое, учащиеся заключают, что если в уравнении имеется знак «плюс», то неизвестное находят действием вычитания, а если «минус» - то действием сложения. Этим объясняется типичная ошибка в нахождении неизвестного вычитаемого действием вычитания.

Далее знание формируемой связи между суммой и слагаемыми используется для нахождения табличных результатов вычитания по известным результатам сложения. Учащимся предлагаются такие упражнения:

1. Используя числа 5, 3, 8, составьте два примера на сложение и два примера на вычитание так, чтобы одно из этих чисел получилось в результате выполнения арифметических действий над двумя другими (5+3=8; 8-5=3; 8-3=5).

2. Пользуясь примером на сложение, решить пример на вычитание:

4+5=9; 9-5=;

7+3=10; 10-7=;

2+6=8; 8-6=.

Приведенные упражнения, при выполнении которых используется знание связи между суммой и слагаемыми, прямо подводят к рассмотрению, приема вычитания, выполняемого на основе знания табличных случаев (например, если надо из 8 вычесть 6, то рассуждаем так: 8 - это сумма чисел и 6 и 2, если из 8 вычесть 6, то получится 2).

В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся вновь используют знание установленной ими связи, применяя его в более сложных условиях. Знание связи между суммой и слагаемыми нашло большую сферу применения в начальном курсе математики. В процессе применения оно неоднократно переосмысливалось, т.е. раскрывались его новые стороны, знание обогащалось.

Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся должны овладеть вычислительными, измерительными, графическими умениями и навыками, а также умениями решать задачи. Для формирования этих умений и навыков предлагаются упражнения на вычисления, измерения, построения, разнообразные задачи.

Система упражнений должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего она должна обеспечить осознанное овладение умениями и навыками. Например, овладевая умением выполнять вычитание для случая 40-16, ученик должен понимать, что сначала он заменяет число 16 суммой разрядных слагаемых 10 и 6, затем вычитает эту сумму из числа 40, для этого из 40 вычитает 10 и из полученного результата, из 30, вычитает 6. Однако если на ступени ознакомления с приемом использовалась развернутая запись вида: 40-16=40 - (10+6)=(40-110) - 6=24, по ходу выполнения которой дети поясняли каждую операцию, то при закреплении умений важно, чтобы выполняемые операции свертывались. Этим процессом также следует руководить. По отношению к только что рассмотренному приему это будет выглядеть так: учитель говорит, что заменять число суммой надо быстро, про себя представить выражение, а называть только действия над числами: «из 40 вычесть 10, получится 30, и из 30 вычесть 6, получится 24». Развернутой записи при этом выполнять не следует. Через некоторое время надо сказать детям, чтобы и действия над числами они выполняли про себя. Такие указания учителя помогут перевести объяснения в план внутренней речи; к развернутому объяснению на этой ступени целесообразно вернуться в том случае, если ученик допустит ошибку или когда надо воспроизвести прием, чтобы перенести его на новую область чисел (например, 400-160).

Чтобы сформировать прочные умения и навыки, необходимо детям выполнить достаточное число упражнений и по возможности разнообразного характера. Например, для формирования (вычислительных навыков предлагаются упражнения на нахождение значений не только данных числовых выражений, но и буквенных выражений при данных значениях букв, на заполнение таблиц, на сравнение выражений с последующей проверкой путем вычислений, на составление выражений и нахождение их значений и т.д.

Система упражнений должна предусмотреть и здесь сопоставление и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их смешение.

При формировании умений и навыков следует широко использовать метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возможности каждого из учащихся.

Из рассмотренных особенностей методики обучения на разных этапах овладения новым учебным материалом видно, что каждый из этих этапов (подготовка к рассмотрению нового, ознакомление с новым и т.п.) оказывается связанным с использованием всех тех основных методов обучения. Вместе с тем роль каждого из них, соотношение между ними в значительной степени меняются в зависимости от конкретной дидактической задачи, решаемой учителем.

Таким образом, различные методы и приемы, используемые при формировании вычислительных навыков, также формируют элементы самоконтроля в процессе учебной деятельности.

1.3 Средства обучения математике в начальных классах, способствующие формированию навыков самоконтроля

самоконтроль воспитание начальный математика

Одним из направлений по формированию навыков самоконтроля при обучении вычислительным операциям является проблема оснащения процесса обучения средствами обучения, разработка и использование оборудования уроков математики в начальных классах.

Потребности начальной школы, связанные с совершенствованием содержания обучения, с одной стороны, и большие потенциальные возможности средств обучения, например технических средств, с другой, сделали эту многогранную проблему актуальной. При этом малоразработанными и исключительно актуальными оказались не только сама по себе разработка и совершенствование системы средств обучения, но и исследование взаимосвязи средств обучения (как компонента математической системы) с остальными ее компонентами, такими, как цели, содержание, методы и формы обучения. Заметим, что под таким углом зрения вопрос о средствах обучения стал рассматриваться только в последнее время под влиянием и в ходе перестройки обучения в школе. [6]

Условимся понимать под учебным оборудованием совокупность объектов любой природы, для которых характерно, что они:

1) представляют или частично замещают изучаемое понятие,

2) дают новую информацию о нем.

Иначе говоря, средства обучения - это совокупность моделей самой различной природы. В зависимости от способа воспроизведения изучаемого факта, т.е. тех средств, при помощи которых строится модель, различают материально-предметные (иллюстративные) модели и идеальные (мысленные) модели. В свою, очередь, материально-предметные модели подразделяются на физические, предметно-математические (прямой и непрямой аналогии) и пространственно-временные. Среди идеальных моделей различают образные и логико-математические модели (модели-описания, модели-интерпретации, модели-аналогии).

Рассматривая средства обучения как совокупность либо предметных, либо идеальных моделей, можно получить их основную классификацию.

К средствам обучения как совокупности, состоящей из материально-предметных моделей, можно отнести приборы, таблицы, диапозитивы, диафильмы и т.п. К средствам обучения, строящимся на идеальных моделях, - учебники «Математика» (I, II, III классы), дидактические материалы, учебные пособия, методические статьи журналов, различного рода рекомендации в помощь учителю и т.п.

Урок как основная форма обучения, представляет собой цепочку последовательных действий учителя и ученика, направленных на сознательное усвоение знаний, умений и навыков. В настоящее время в нем одно из центральных мест отводится той деятельности учителя, которая связана с использованием средств обучения не только для передачи знаний учащимся, но и организации и управления сторонами учебной деятельности учащихся, и главным образом самостоятельной деятельности, на всех этапах обучения. По данным исследований Н.Ф. Вапняр, А.Т. Катасоновой, Т.Г. Минчук, Н.А. Янковской применена система учебных средств, значительно повышающая эффективность обучения. Функции этих средств обучения многообразны, но в основном они заключаются в том, чтобы помогать раскрывать содержание и объем новых понятий, содействовать формированию необходимых навыков, быть средством контроля и самоконтроля.

Как результат взаимовлияния конкретных целей и средств обучения на методы обучения можно отметить усиление удельного веса методов, формирующих продуктивные стороны учебной деятельности младших школьников. Так, только применение учебных диафильмов заметно увеличивает роль метода беседы, рассказа-беседы в сравнении с методами репродуктивного действия.

В последнее время в связи с интенсивным применением различных средств обучения математике происходит пересмотр принципа наглядности обучения. Этот принцип уточняется с точки зрения марксистско-ленинского положения о единстве конкретного и абстрактного (В.Г. Болтянский, А.М. Пышкало, В.П. Казанский, А.Т. Катасонова и др.).

Рассматривая вопрос о сочетании абстрактного и конкретного, диалектическая логика определяет основной путь познания математических понятий через абстракцию. Осязаемость, непосредственность, воспринимаемость считаются главными чертами конкретного в математике начальной школы. С помощью их абстрактное понятие на том или ином этапе становится конкретным, а конкретное - абстрактным. Так, например, на первом этапе ознакомления с числом и операциями над числами характерным является переход от действий над конечными (предметными) множествами к операциям над числами, и наоборот. Считая конкретным в познании нечто целое, воспринимаемое в модели, диалектическая логика под абстрактным понимает лишь одну сторону, часть целого, характерное свойство модели.

Формирование любого; математического понятия в начальной школе развивается в форме двух противоположностей - движения от конкретного к абстрактному и от абстрактного вновь к конкретному. В процессе познания математических фактов конкретное отображается дважды - в начале познания и в конце его. И это не одно и то же конкретное, а поэтому функции дидактического принципа наглядности обучения при восхождении от конкретного к абстрактному и при движении от абстрактного к конкретному не одинаковы.

На пути движения от абстрактного к конкретному в начальном обучении конкретное выступает в форме чувственного, осязаемого, непосредственно воспринимаемого. Назначение наглядных средств обучения в том и состоит на этом этапе, чтобы обучение, математике сделать чувственно-конкретным.

При движении от абстрактного к конкретному роль наглядных средств обучения меняется. Чувственное, осязаемое и непосредственно воспринимаемое может сыграть здесь отрицательную роль, так как конкретное выступает не как чувственное, а как мысленное.

Следуя логике - процесса усвоения знаний на каждом этапе познавательной работы, средства наглядности могут обеспечить естественный и одновременно закономерный переход от восприятия единичного, конкретного, к общему, абстрактному, и от общего, абстрактного, к единичному конкретному.

Накопление ребенком в начальный период обучения конкретного материала как базы для активной мыслительной деятельности имеет важное значение. Однако это совсем не говорит о том, что наглядное обучение именно в этот период должно быть решающим. В современных условиях значительно ускорился процесс накопления детьми конкретных знаний и переход к новым, более сложным процессам познавательной деятельности. А поэтому, если учитель будет ограничиваться лишь процессом наглядности обучения, то он будет задерживать естественное развитие мышления ребенка.

Наглядное обучение должно обеспечивать формирование у учащихся первичных обобщений и установление простых связей. Оно должно способствовать углублению мысли, движению от жизненных наблюдений к сущности изучаемого понятия, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т.п. В решении этих задач неоценимую помощь должен оказать не какой-нибудь один, а различные виды средств обучения.

При создании и использовании этих средств необходимо прежде всего тщательно определять характер и объем информации, которая должна быть усвоена учащимися. В связи с этим появляется возможность выяснить необходимый вид оборудования, его место и роль на уроке, методику и последовательность в работе с ним.

Средства обучения, в основе которых лежат предметные математические модели, могут быть использованы при переходе от сущности первого порядка к сущности второго порядка, при восхождении от конкретного к абстрактному. Выбор того или иного средства обучения, правильное согласование его с другими средствами невозможны без глубокого понимания особенностей и места применения каждого вида - такого понимания, которое предполагает анализ математической сущности, дидактических требований к средствам обучения в целом и к отдельным их видам.

Самым распространенным видом наглядности является чертеж учителя на классной доске. Чертеж создается на доске учителем постепенно, на глазах учащихся, и этим объясняется высокая эффективность его воздействия в процессе обучения. Во время создания чертежа учащиеся получают возможность внимательно следить за объяснением учителя, пояснениями к чертежу.

В качестве примера можно указать на следующие объекты, реализуемые в форме чертежа на доске во время объяснения: геометрические фигуры, диаграммы, графы, схемы к задачам. Эти виды традиционной наглядности просты в графическом отношении, доступны для восприятия, требуют минимальной затраты времени для их создания.

Например, для выполнения задания 740 («Математика», III кл., 1972), начертив на доске отрезок, учитель поясняет, что этот отрезок изображает путь в 5 км. Затем он чертит отрезок 1, показывая на чертеже небольшими отметками, сколько отрезков, изображающих 5 км, укладывается в этом отрезке. Можно поставить вопросы классу: какой длины путь изображает отрезок 1? Как определить, какой длины путь изображает в этом масштабе отрезок 2? Учитель чертит отрезок 2 на доске без нанесения меток. После ответа ученика на поставленный вопрос учитель предлагает нанести метки на отрезок и ответить на поставленный вопрос. После такой подготовительной работы учащиеся без особого затруднения выполняют последнюю часть задания: «Начертите в тетради отрезок, изображающий путь в 15 км».

При решении задачи 336 («Математика», III кл., 1972) можно во время чтения ее текста создать чертеж, изображенный на рисунке. Чертеж поможет найти и реализовать разные способы решения этой задачи.

В последнее время на уроках математики в начальной школе широкое применение получили пособия-аппликации (таблицы с подвижными и сменными деталями), укрепляемыми на вертикальной плоскости с помощью магнитных держателей или другими способами (фланелеграф).

Тот факт, что учащиеся имеют возможность участвовать в создании аппликации, делает учебную работу более интересной, активной и продуктивной. Например, на магнитной доске можно укрепить многоугольники и поставить перед классом такие задания: «Выделить из множества многоугольников множество треугольников (показать треугольники)», «Показать равные треугольники», «Среди треугольников показать треугольники, у которых стороны равны между собой». В отличие от аналогичной работы с плакатом в этом случае имеется возможность переставлять, по-иному группировать рассматриваемые фигуры.

Другим видом традиционной наглядности является учебная таблица. Применение таблиц приносит большой педагогический эффект в том случае, когда демонстрация их связана не только с объяснением учителя, но и с организацией самостоятельной работы, а также сообщением справочного материала. Например, таблица разрядов и классов в теме «Нумерация многозначных чисел» должна быть перед глазами учащихся во время изучения этой темы почти на всех уроках, длительное время используются и таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Среди технических средств обучения математике в связи с переходом на новую программу обучения математике в начальных классах все большую роль стали играть экранные средства, применяемые с помощью кинопроекторов, диапроекторов, эпипроекторов, шрайбпроекторов - кодоскопов. Эти проекторы и кодоскопы позволяют во многом заменить использование мела и классной доски в ходе изложения (объяснения) учителем нового материала, что неизбежно влияет на выбор методов обучения. Их применение позволяет более полно реализовать индивидуальные творческие возможности учителя, а также более широкие возможности использования (готового изографического и печатного материала учебника и других пособий.

Кинопроекторы и диапроекторы позволяют применять на уроках математики готовые (издаваемые массовым тиражом) кинофильмы - кинофрагменты, диафильмы, диапозитивы. По своим дидактическим качествам эти учебные пособия существенно отличаются. Если, например, кинофильм (диафильм), как правило, посвящен рассмотрению определенного (одного и более) вполне законченного вопроса (например, сравнения чисел в I классе) и учитель вынужден принять последовательность и логику изложения, предписанные автором, то диапозитивы (отдельные, рассыпанные кадры) дают возможность в большей степени использовать творческие возможности каждого учителя.

Не вдаваясь в детальную, техническую характеристику каждого из видов экранных пособий, остановимся кратко на основных общих вопросах методики их применения.

Особое распространение среди различных видов учебного оборудования занимают диафильмы. Учебные диафильмы представляют одно из новых средств обучения математике в начальной школе.

Для начальной школы выпускают главным образом цветные диафильмы, которые помогают лучшему усвоению материала, активизируют познавательную деятельность школьников на уроке.

Учебные диафильмы в начальной школе могут быть использованы в процессе знакомства с новой темой, при закреплении учебного материала и при опросе учащихся.

Используя систему упражнений, данную в учебном диафильме, учитель сможет значительно разнообразить и оживить учебную работу (кадры диафильма можно демонстрировать с различной скоростью, приспособив ее к особенностям класса).

Некоторые диафильмы применяются отдельными фрагментами (или кадрами) на протяжении всего учебного года по мере изучения соответствующих разделов программы. По усмотрению учителя фрагменты и отдельные кадры диафильма могут быть применены в ходе ознакомления с новым материалом, для закрепления и «повторения пройденного материала или, наоборот, для опроса учащихся и проведения контрольных работ. Опыт показал, что одновременный просмотр всего диафильма (например, для повторения темы или раздела) в методическом отношении не оправдан.

Полезно сочетать диафильм с использованием других учебных пособий (прибор, чертежи на доске, таблицы).

Диапозитивы являются эффективным дидактическим подобием (в виде заданий, вопросов, задач, табличного материала), позволяющим организовать активное обучение на всех его этапах (проведение самостоятельных работ, опроса, контрольных работ и т.д.), особенно в связи с решением задач.

Отдельные кадры или группы кадров серии диапозитивов, отобранные для урока, могут либо представлять собой основной материал, на котором строится весь урок (или его часть), либо играть вспомогательную роль (в последнем случае диапозитивы используют наряду с другими средствами обучения - таблицами, моделями, диафильмами и кинофильмами).

Большие возможности открывает применение классной доски со светлым (лучше серо-зеленым) покрытием. Такая доска одновременно может служить экраном. Проекция непосредственно на классную доску расширяет дидактические возможности экранных средств. Это позволяет, например, прямо на изображении выполнять построения белым и цветным мелом (дополнительные построения, введение обозначений, числовых данных и т.д.).

Экспериментальные исследования возможностей по применению в обучении математике расширенного, по сравнению с традиционным, набора учебных средств свидетельствует о том, что их комплексное использова-ние создает предпосылки для повышения эффективности урока даже в условиях использования далеко не оптимального учебного комплекса, имеющегося в распоряжении учителя. Приведем только один пример. Для выяснения дидактических возможностей кинофрагментов при обучении младших школьников математике применялся незнакомый, но доступный третьеклассникам материал, связанный с первоначальным ознакомлением детей с прямоугольным параллелепипедом. Для этого использовались кинофрагмент, в котором демонстрировался прямоугольный параллелепипед и его элементы, и деревянная модель параллелепипеда.

Демонстрация кинофрагмента длится 5 минут. За это время учащиеся наблюдают в разных ракурсах «полупрозрачное» изображение прямоугольного параллелепипеда (им сообщается: «это прямоугольный параллелепипед»), поочередно высвечиваются (вспыхивают) его грани (сообщается: «это грани параллелепипеда»), затем поочередно вспыхивают ребра («это ребра параллелепипеда») и наконец высвечиваются поочередно его вершины («это вершины»).

В эксперименте приняли участие четыре третьих класса одной и той же школы. В двух из них по одному разу продемонстрировали кинофрагмент, в двух других - учителя (в течение 15 минут), пользуясь деревянной моделью прямоугольного параллелепипеда, непосредственно показывали и называли (в том же порядке, что и в кинофрагменте) все его элементы. После этого учащиеся письменно отвечали на вопросы: как называется предмет, который вам показали? Сколько у него граней? Ребер? Вершин?

На следующий день (с соблюдением указанных условий) в классах, где демонстрировалась модель, был показан кияофрагмент, а в классе, где был показан кинофрагмент, - модель. После этого учащимся было предложено ответить на те же вопросы.

Анализ результатов показывает, что после первого опыта заметно большего успеха достигли учащиеся, просмотревшие кинофрагмент. После второго опыта в обоих сравниваемых группах результаты возросли, но сохранилось преимущество, достигнутое первой группой. Опыт убедительно показывает эффективность экранных динамических средств, которые еще не находят применения в массовом обучении младших школьников математике.

Сейчас делаются первые попытки разработать кинофильмы (в виде кинофрагментов) для уроков математики в начальных классах. Продолжительность демонстрации каждого фрагмента не более 3 минут. Фрагменты могут быть использованы при первоначальном ознакомлении учащихся с рассматриваемыми в них вопросами я при уточнении и закреплении уже изученного материала. Можно использовать их и для проверки знаний - устного опроса. С этой целью соответствующий фрагмент демонстрируется без звукового сопровождения (дикторский текст выключается), а ученик комментирует изображение.

Подготовку к использованию экранных учебных пособий следует начинать с тщательного ознакомления с их содержанием. Причем личный просмотр учителем избранного экранного пособия позволит наиболее точно наметить план урока, на котором оно будет использовано. Во время просмотра кинофрагмента, диафильма или серии, диапозитивов учитель знакомится не только с их содержанием, но и (что является не менее важным, особенно для кинофрагментов) с темпом раскрытия содержания изучаемых фактов. Особенно тщательно должны быть изучены вопросы и задачи, которые ставятся учащимся, (с экрана).

Подготовка позволяет:

1. Определить место и время демонстрации пособия или его фрагмента на уроке.

2. Наметить места остановок для проведения беседы, практической работы, решения, задачи или опроса. Наметить места, в которых могут быть применены, и другие учебные пособия (таблицы, модели и т.д.).

3. Наметить места, когда следует давать дополнительное объяснение в ходе демонстрации экранного пособия и содержание этих объяснений.

4. Определить виды учебных средств, применяемых совместно с экранным пособием.

5. Наметить содержание учебной работы в классе и дома, предшествующей демонстрации экранного пособия, в ходе этой демонстрации и после завершения демонстрации.

Разработка средств обучения весьма актуальная, многогранная педагогическая проблема дальнейшего совершенствования обучения и воспитания в начальной школе.

Дальнейшие поиски путей совершенствования средств обучения немыслимы в отрыве от исследования содержания, методов и форм обучения и, что весьма важно, без знания содержания и характера связей между всеми компонентами методической системы обучения математике младших школьников.

Большое внимание уделяется рассмотрению тех видов средств обучения, которые пока еще только завоевывают себе место в практике современной массовой школы (диафильмы, диапозитивы и др.). Одной из наиболее актуальных задач методики является разработка путей их эффективного применения в процессе обучения математике. Не вызывает сомнения, что они могут оказать серьезное положительное влияние, на улучшение постановки самостоятельной работы учащихся, не говоря уже о том значении, которое имеет их применение для совершенствования объяснения нового учебного материала. Особую ценность такие пособия имеют в условиях малокомплектной школы, где при умелом использовании они могут открыть новые возможности для организации самостоятельных работ с одним из классов и даже одновременной работы учащихся по разным заданиям (с использованием диаскопов индивидуального пользования и других несложных приспособлений).

1.4 Выводы

Итак, самоконтроль сам по себе не возникает. Это свойство мыслительных процессов, которые формируются у учащихся системой работы учителя. Она состоит из следующих взаимосвязанных компонентов: постановка целей, отбор педагогических средств, их применение (собственно ход процесса обучения), оценка хода, результатов процесса обучения и его корректировка.

Взаимосвязь компонентов системы обеспечивает развитие репродуктивных и продуктивных умений учиться.

Изменение одного из компонентов системы влечет за собой изменение других. Развитие всей системы происходит в соответствии с развитием формируемых качеств. По мере развития умений изменяются цели, педагогические средства (содержание, методы, организационные формы, методы воздействия классного коллектива и учителя на учащихся, технические средства обучения и т.д.). Это ведет к изменениям в самом процессе обучения, в контроле за его течением.

Развитие системы, ее динамику можно охарактеризовать с помощью понятия «состояние». Функционирование обучения выражается в цепи переходов системы из одного состояния в другое до тех пор, пока не наступит такое, которое удовлетворит заданным целям. Например, учитель проводит серию упражнений по решению задач до тех пор, пока не убедится, что сформировано умение определенного уровня развития. Организуемая при этом деятельность учащихся может быть представлена в виде последовательности учебных действий, управление которыми осуществляется с учетом взаимосвязи уровней развития умений и мотивов.

Переход умения на более высокий уровень развития требует изменений системы работы учителя. Здесь важно, чтобы применяемые педагогические средства были бы соответствующими уровням развития у школьников умений учиться во взаимосвязи с мотивами учебных действий.

Совершенствование умений репродуктивной и продуктивной познавательной деятельности является сложным процессом. Развитие умений за период обучения в школе осуществляется от низших к более высоким уровням. С другой стороны, этот же процесс представляет собой постепенное изменение соотношения между репродуктивными и продуктивными умениями, которое зависит от возраста учащихся и особенностей обучения. По мере развития продуктивных умений повышается их роль в обучении, но при этом совершенствуются и репродуктивные умения. Это соответствует диалектической взаимосвязи между воспроизводящими и творческими компонентами мышления учащихся.

В начальной школе, по мере того как происходит развитие аналитико-синтетической деятельности мозга учащихся в направлении от наглядно-действенного к абстрактно-умственному анализу, возникает возможность уделить все большее внимание организации продуктивной познавательной деятельности детей. Следовательно, в начальных классах имеется возможность обучать школьников как умениям репродуктивной, так и продуктивной познавательной деятельности. Хотя роль продуктивных умений повышается в обучении по мере развития учащихся, преобладают здесь репродуктивные умения. Формирующиеся у младших школьников умения продуктивной познавательной деятельности создают необходимую основу для формирования самоконтроля, для овладения более сложными вычислительными операциями в дальнейшем.